Utvärdering av matematikundervisning

Transkript

1 Utvärdering av matematikundervisning Vilka förkunskaper har eleverna när de börjar på högstadiet och i gymnasiet och vilka borde de ha? Hur kan man genomföra ett diagnostiserande arbetssätt? Vilka mål är realistiska? Hur stora är skillnaderna iförkunskaper hos elever från olika alternativ kurser? Dessa frågor har bl a många lärare ställt. Madeleine Löwing, Borås och Edor Oscarsson, Växjö försöker att lämna svar på dessa i sammandraget som följer. Hur utvärderar vi vår undervisning? MADELEINE LÖWING Serien ovan visar olika resultat från undervisningen i matematik. Det är vi lärare inte särskilt bra på. Om vi kan det, så är vi ofta handfallna inför hur vi ska arbeta vidare utifrån vad utvärderingen visat. De flesta lärare arbetar mycket hårt för att lära sina elever så mycket som möjligt. Tyvärr har vi inte klart för oss att eleverna inte alltid uppfattar det vi säger på samma sätt som vi avsett. När vi lärare går igenom och berättar fakta är dessa färgade av vår ämneskunskap, våra erfarenheter och vår vuxenkunskap. Eleven lyssnar på vad vi säger men tolkar det utifrån sina erfarenheter och sina vardagskunskaper. Detta gör att elevens tolkning av vad vi säger inte alltid sammanfaller med vad vi avsett. Detta visas av den fackdidaktiska forskning som bedrivs idag. Fackdidaktisk forskning är enligt Marton (1983) vetenskapliga studier av frågor som hänger samman med vilket innehåll man väljer att undervisa om och hur man undervisar om detta innehåll. Det (dvs fackdidaktisk forskning) gäller såväl frågan om vad som ska läras ut, vad som faktiskt framkommer i undervisningen och vilka effekter man lyckas uppnå. Låt oss titta närmare på de tre punkterna.

2 1. Vad ska vi lära ut? Innehållet i vår undervisning finner vi i läroplanen Lgr 80 och kommentarmaterialet Att räkna. Läroplanen är skriven så att det för alla elever finns nödvändiga kunskaper och för så många elever som möjligt önskvärda kunskaper på varje stadium. Strävan efter att lära alla elever mycket matematik (de önskvärda kunskaperna) resulterar i att många elever förlorar stora bitar (de nödvändiga kunskaperna). När man arbetar parallellt med hela klassen och följer läromedlet resulterar detta i att många elever arbetar utifrån bristfälliga förkunskaper med för svåra uppgifter. Ett diagnostiserande arbetssätt med fördiagnoser kan förhindra detta. Vi måste också vara medvetna om att läroboken inte är lika med läroplanen. 2. Hur uppfattar eleven undervisningen? Ett sätt att få reda på detta är att fråga. Istället för att säga att en uppgift är rätt eller fel frågar du eleven hur han/hon har tänkt eller varför han/ hon har gjort på ett speciellt sätt. Med utgångspunkt härifrån är det lättare att hjälpa eleven på rätt väg. Det är viktigt för oss lärare, att få veta hur eleven tänkt. De tankar förklarar ofta varför uppgiften blivit fel. Talad matematik är en viktig del i undervisningen, för den stärker begreppsbildningen och ger oss möjligheter att förklara eventuella oklarheter. 3. Vad har eleven lärt sig? För att få reda på detta är det lämpligt att göra kvalitativa mätningar i form av diagnoser. I detta sammanhang är det inte intressant hur många fel en elev har gjort. Det viktiga är vilka fel han har gjort och varför han har gjort dessa fel. En diagnos är (enligt Kilborn): Allt medvetet sökande efter information i avsikt att förbättra undervisningen. Kilborn säger vidare att Om man inte har någon idé om hur man ska följa upp en diagnos på åtgärdssidan så bör man inte ge diagnosen. Ett utvärderande arbetssätt enligt ovan verkar förvånansvärt nytt och osäkert. En omfattande fortbildning är nödvändig för att vi i framtiden skall få en effektivare och innehållsmässigt bättre undervisning. Lästips Löwing. M. (1985). Läroplan i teori och verklighet. Nämnaren nr 2, 85/86. Diagnostiska test i matematik ett prognosinstrument EDOR OSCARSSON Bakgrund Läsåret 83/84 fick matematiklärarna på gymnasiet i Kronobergs län besvara en enkät angående behovet av förkunskaper i matematik vid övergång till olika linjer i gymnasieskolan. Enkäten bestod av en katalog över olika moment som finns med i högstadiekursen. Varje moment hade brutits ned i delmoment och inom varje delmoment fanns ett antal exempel. Lärarna fick ange behovet av förkunskaper för olika linjer (NT, HSE, SoEk, Yt) i en tregradig skala med följande alternativ: 1. Krav på goda förkunskaper 2. Önskvärt med förkunskaper 3. Inga krav på förkunskaper Testkonstruktion Med utgångspunkt från resultaten i enkäten konstruerade jag två diagnostiska test. Den ena versionen skulle användas på gymnasiets treåriga linjer och den andra för övriga linjer. Version A hade 60 uppgifter och version B hade 50. Provtiden var i båda fallen 80 minuter och eleverna behövde enbart ange svar. Version A redovisas i denna uppsats. Mål Testen konstruerades för att ge besked om elevernas förkunskaper inom de moment som lärararna bedömt som viktiga för respektive linje de moment där eleverna hade svaga förkunskaper vilka elever som var i behov av kontinuerligt stöd vilka elever som behövde hjälp med enstaka moment hur matematikundervisningen skulle organiseras i den enskilda klassen

3 Genomförande Testen genomfördes vid de större gymnasieskolorna i Kronobergs län under de första veckorna ht 84. I testen deltog 576 elever från NT 492 elever från HSE 614 elever från tvååriga linjer Resultat Antal Medel- Sprid- Min Linje elever poäng ning Max NT ,9 9,3 36,5 47,6 HSE ,8 10,5 28,2 41,3 2-åriga ,2 9,5 So 25,2 30,5 Ek 24,4 28,2 Yt 18,2 26,4 Kommentarer till tabellen Det är värt att notera den stora variationen i medelpoäng mellan olika klasser på samma linje. På T-linjen beror detta sannolikt på att elevernas språkval i många fall fått styra klasssammansättningen. Det är i regel så att elever som väljer C-språk på gymnasiet har något sämre ingångsdata än elever med B-språk. På HSE-linjerna är det en H-klass som har medelpoängen 28,2 och en E-klass som har medelpoängen 41,3. På de tvååriga linjerna är variationen störst på yrkeslinjerna. Den lägsta medelpoängen som redovisas är en klass med tillval i matematik med elever från Ba-, Fo- och Ve-linjen. Klassen med den högsta medelpoängen är en Dk/ Ko-klass. Lösningsfrekvenser Eftersom lösningsfrekvenserna för uppgifterna i version A finns redovisade, ska jag här plocka några uppgifter som var gemensamma i de båda testversionerna och kommentera dessa. För varje uppgift redovisar jag också de felaktiga svar som eleverna gett. Det fel som har högst frekvens står först. Ex I Beräkna 2/0, Fel svar: 0, ,02 0,019 0,5 Den stora differensen i lösningsfrekvens mellan tre- och tvååriga linjer beror till stor del på att elever med allmän kurs i matematik har svårt att klara denna typ av uppgifter. Det vanligaste felet tycks vara en omkastning av täljare och nämnare vid beräkningen. Är det trappan som spökar? Lämplig uppgift för att träna huvudräkning. Alla elever borde förstå att svar < 2 är orimliga. Det borde vara en baskunskap att klara denna uppgift. Ex 2 Skriv med siffror talet "fjorton hundradelar" i decimalform Fel svar: 0,014 Alla elever bör kunna detta innan de lämnar åk 9. Eleverna som ombeds tolka 0,14 säger nog i de flesta fall "noll komma fjorton" och inte "fjorton hundradelar". Det måste vara en baskunskap att kunna tolka och skriva tal i decimalform. Ex 3 Beräkna 12 3/ Fel svar: 3/ /48 6/8 48,75 De felaktiga svaren ovan tyder på att eleverna har bristande förståelse för tal i bråkform. Bristerna beror troligen på att man för snabbt har lärt eleverna en metod att utföra beräkningen, innan eleverna har förstått själva innebörden i uppgiften. Man bör anslå mer tid att resonera om innebörden i dylika uppgifter innan man anger en metod för beräkningen. Innan eleven utför beräkningen måste han/hon ha en känsla för storleksordningen på resultatet. Ex 4 Vad är hälften av a) 3/4 b) 2/3 Uppgiften a gavs på treåriga linjer och b på tvååriga Felsvar: a 37,5 1,5/2 1,5/4 6/8 15/4 b 4/6 1/1,5 33,3

4 Frågeställningen tycks obekant för eleverna. "Vad är hälften av" i stället för 2/3 delat med 2. Många elever på tvåårig linje hoppar över denna uppgift. Svaret 37,5 visar att eleverna förknippar 3/4 med 75 % som de sedan tar hälften av utan att sätta ut procenttecken. Det borde vara en baskunskap att klara denna typ av uppgift även för elever med allmän kurs. Ex 5 Beräkna Fel svar: Eleverna har dålig kunskap om potenser. Svaret 0 som är det vanligaste felaktiga svaret, är, ologiskt. Tolkar eleven 4 2 som 4 2 borde man få 2. Övriga felaktiga svar visar en provkarta på hur krokiga elevernas tankebanor är. Det är inte meningsfyllt att arbeta med formler eller algebraiska uttryck som innehåller potenser om eleverna ej har en ordentlig grund att stå på. Det är ju inte så konstigt om eleverna tolkar x 2 som 2x i uttrycket x 2-2x. Åter en uppgift som behandlar en baskunskap. Som framgår av de felaktiga svaren är det problem med enhetsbyten här. Ex 8 En cyklist har en konstant hastighet av 20 km/h. Hur många minuter tar det för cyklisten att åka 12 km? Fel svar: 35 min 60 min 40 min 24 min En realistisk och rimlig tillämpning som ger förvånansvärt låg lösningsfrekvens. Delvis kan det förklaras av att uppgiften var placerad som näst sista uppgift i båda versionerna. Denna typ av uppgifter borde man träna eleverna att lösa utan formella metoder. Vad betyder det att farten är 20 km/h? Hur många minuter behöver cyklisten för att köra 1 km? Hur lång tid tar det då att tillryggalägga sträckan 12 km? Ex 6 Lös ekvationen 6x = Felsvar:x = 2 x = - 3 x = 1/3 x = 3 Det måste anses som en baskunskap att kunna lösa denna ekvation. Eleverna borde tränas att formulera uppgiften i ord på följande sätt: Vilket tal ska man multiplicera 6 med, för att produkten ska bli 3? Eleverna borde tränas att pröva ekvationen och att bedöma rimligheten i svaret. En del elever tycks ej förstå att 6x betyder 6 x. Ex 7 På en karta i skalan 1: är avståndet mellan två orter 12 cm. Hur stort är avståndet i verkligheten uttryckt i km? Felsvar: 120 km 1200 km 0,012 km Korrelationsstudier I samband med utvärderingen av testerna blev jag road av att utföra följande delundersökningar: korrelationen mellan elevens betyg i åk 9 och den poäng eleven hade på testet. korrelationen mellan elevens betyg ht 84 i gymnasiet och poängen på testet. en specialstudie av elever där elevens betyg i åk 9 ej korrelerade särskilt bra med poängen på testet. Det skulle kräva alltför stort utrymme att här redovisa alla detaljer i dessa undersökningar. För

5 den som är intresserad av resultaten hänvisar jag till den dokumentation som finns redovisad i slutet av denna artikel. Sammanfattning Utvärderingen av dessa tester ger mig anledning till följande slutkommentarer: Det är väsentligt att eleverna på högstadiet får en korrekt information om kraven på förkunskaper på olika linjer i gymnasieskolan. Även om allmän kurs ger behörighet till alla utbildningsvägar inom gymnasieskolan bör detta inte leda till taktiska val av kurs på högstadiet. Den allmänna kursen i matematik måste göras mycket konkret och tillämpningsinriktad. Eleverna bör få ägna lång tid åt begreppsinlärning och man bör undvika att presentera "räknescheman" i ett tidigt stadium. Den allmänna kursens innehåll bör utformas så att den dels ger en god allmänbildning i matematik, dels förbereder eleverna för de tvååriga studiegångarna i gymnasieskolan. Det är då värt att notera att behoven av förkunskaper växlar ganska mycket mellan olika yrkesinriktade linjer. Jag tror det är väsentligt att elever och lärare talar matematik. En undervisning som i alltför hög grad präglas av att presentera modeller förlösning av olika problemtyper utan en grundläggande förståelse ger på lång sikt små effekter. Inom samtliga moment måste överslagsräkning och huvudräkning förekomma. Det är också viktigt att eleverna lär sig bedöma rimligheten i avgivna svar. Inom varje enskilt moment är det väsentligt att man försöker fastställa de baskunskaper och färdigheter en elev måste ha för att på ett rimligt sätt kunna tillgodogöra sig nästa avsnitt i kursen. Det är t ex inte meningsfullt att arbeta med formler, ekvationer eller algebraavsnitt om eleverna ej har förstått innebörden av 2x eller x 2 eller vet skillnaden mellan - x 2 och ( - x) 2. Jag tror att det är viktigt att lärare på högstadiet och gymnasiet träffas regelbundet för utbyte av erfarenheter. Praktiskt kan detta ordnas genom att man i varje kommun har en referensgrupp med lärare från högstadiet och gymnasiet som träffas t ex en gång per läsår för att t ex följa upp ett test av den typ som beskrivs i denna artikel. Vad bör man prioritera i grundskolan? 1. Följande moment bör ägnas stor uppmärksamhet positionssystemet (0,14 0,014) tal i decimalform (2/0,1 0,25 3,2) rationella tal (begreppsförståelse) ekvationer av typen ax = b, a + bx = c potensbegreppet ( ) elementär geometri area, omkrets, volym skala enheter och enhetsbyten algebra variabelbegreppet ökad satsning på förståelse (stryk hellre vissa moment) försök att konkretisera algebran 2. Överslagsräkning, huvudräkning, rimlighetskontroll. 3. Problemlösning (uppgifter med flera steg) 4. Låta eleverna tala matematik. Dokumentation En fullständig beskrivning av försöket ovan finns redovisad i en rapport Diagnostiska test i matematik, rapport 6, som kan beställas från Länsskolnämnden i Kronobergs län, Klostergatan 13, Växjö Tfn 0470/ Datorn i gymnasiets matematikundervisning 1 Dan Laksov, professor i matematik vid KTH, höll ett föredrag, där han gav personliga synpunkter på matematikkursernas innehåll och på undervisningen i matematik i en värld där datorer börjat invadera skolan. En sammanfattning av föredraget publiceras i Skolan och Datorn, 2/86. 2 Hans Brolin, Uppsala, och Karl Greger, Göteborg, höll en dialog med datorillustrationer om matematikundervisningen i en skola där datorer finns tillgängliga i klassrummen. En sammanfattning publiceras i ett kommande nummer av Skolan och Datorn, 1/86.