KONTROLLSKRIVNING 1 Kurs: HF1012, Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Tisdag 12 april 2016 Skrivtid: 8:15-10:00 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst. Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet. Inga toabesök eller andra raster. Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 5 av max 9 poäng. Uppgift 1. (2 p) För händelserna A och B gäller att P ( A B) = 0. 8, P ( A B) = 0. 2 och P ( B) = 0. 4 a) Bestäm sannolikheten P (A) b) Bestäm sannolikheten att exakt en händelse (antingen A eller B) inträffar. Uppgift 2. (2p) Bland 40 produkter finns 10 av typ A, 25 av typ B och 5 av typ C. Man tar 15 produkter på måfå utan återläggning och utan hänsyn till ordning. a) Vad är sannolikhet att få exakt 4 av typ A (av 15 valda)? b) Vad är sannolikhet att få exakt 4 av typ A, 9 av typ B och 2 av typ C (bland15 valda)? n Du svarar med binomiska koefficienter. k Uppgift 3. (1p) En produkt som produceras i fabriken Fab är defekt med sannolikheten 0.1. Man producerar 8 produkter. Bestäm sannolikheter att exakt 2 bland de 8 producerade är defekta. Uppgift 4. (2p) Ett företag som tillverkar glödlampor av en viss typ har tillverkningen förlagt i 4 olika fabriker. Fabrik A står för 40 % av tillverkningen, fabrik B för 30 %, fabrik C för 20%, och D för 10%. Sannolikheten för att en glödlampa från fabrik A är defekt är 4%. Motsvarande sannolikheten för en defekt lampa från B är 3 %, från C 2% och från D 1%. Produkter blandas och skickas till försäljning. a) Anna köper en glödlampa. Vad är sannolikheten att lampan är defekt? b) Nicklas köper en glödlampa och finner att den är defekt. Vad är sannolikheten att den tillverkats i fabrik C? Var god vänd! Sida 1 av 5
Uppgift 5. (1p) Meddelanden kodade i binäratecken 0 och 1 överförs i ett nätverk. Av de utsända tecken förekommer tecken 1 i 55% fall och tecken 0 i 45% fall. Signalerna störs av ett brus och därför förekommer felaktiga överföringar. Ett utsänt tecken 0 mottags som 0 med sannolikhet 0.98 ( och felaktigt som 1 med sannolikhet 0.02). Ett utsänt tecken 1 mottags som 1 med sannolikhet 0.96 ( och felaktigt som 0 med sannolikhet 0.04). Om 0 har mottagits, vad är då sannolikheten att 0 har sänts? Uppgift 6. (1p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger (hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Ur en kortlek på 52 kort väljer vi slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten att vi får fem kort i följd i samma färg (straight flush eller Royal flush)? T ex: ess, 2, 3, 4, 5, alla hjärter eller 8, 9, 10, knekt, dam, alla spader även 10, knekt, dam, kung, ess i samma färg räknas (s.k. Royal flush). Lycka till! FACIT Uppgift 1. (2 p) För händelserna A och B gäller att P ( A B) = 0. 8, P ( A B) = 0. 2 och P ( B) = 0. 4 a) Bestäm sannolikheten P (A) b) Bestäm sannolikheten att exakt en händelse (antingen A eller B) inträffar. Sida 2 av 5
a) Från P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) får vi 0.8 = P ( A) + 0.4 0.2 P( A) = 0.6 b) Sannolikheten att exakt en händelse (antingen A eller B) är P( A B) P( A B) = 0.6. Uppgift 2. (2p) Bland 40 produkter finns 10 av typ A, 25 av typ B och 5 av typ C. Man tar 15 produkter på måfå utan återläggning och utan hänsyn till ordning. a) Vad är sannolikhet att få exakt 4 av typ A (av 15 valda)? b) Vad är sannolikhet att få exakt 4 av typ A, 9 av typ B och 2 av typ C (bland15 valda)? n Du svarar med binomiska koefficienter. k Svar: a) 10 30 4 11 40 15 10 25 5 b) 4 9 2 40 15 Uppgift 3. (1p) En produkt som produceras i fabriken Fab är defekt med sannolikheten 0.1. Man producerar 8 produkter. Bestäm sannolikheter att exakt 2 bland de 8 producerade är defekta. Svar: 8 6 2 0.1 0.9 = 0.1488 2 Uppgift 4. (2p) Ett företag som tillverkar glödlampor av en viss typ har tillverkningen förlagt i 4 olika fabriker. Fabrik A står för 40 % av tillverkningen, fabrik B för 30 %, fabrik C för 20%, och D för 10%. Sannolikheten för att en glödlampa från fabrik A är defekt är 4%. Motsvarande sannolikheten för en defekt lampa från B är 3 %, från C 2% och från D 1%. Produkter blandas och skickas till försäljning. a) Anna köper en glödlampa. Vad är sannolikheten att lampan är defekt? b) Nicklas köper en glödlampa och finner att den är defekt. Vad är sannolikheten att den tillverkats i fabrik C? a) Pa= 0.40 0.04 + 0.30 0.03 + 0.20 0.02 + 0.10 0.01 = 0. 03 Sida 3 av 5
0.20 0.02 0.004 b) Pb= = = 0. 13333 0.40 0.04 + 0.30 0.03+ 0.20 0.02 + 0.10 0.01 0.03 Uppgift 5. (1p) Meddelande kodade i binäratecken 0 och 1 överförs i ett nätverk. Av de utsända tecken förekommer tecken 1 i 55% fall och tecken 0 i 45% fall. Signalerna störs av ett brus och därför förekommer felaktiga överföringar. Ett utsänt tecken 0 mottags som 0 med sannolikhet 0.98 ( och felaktigt som 1 med sannolikhet 0.02). Ett utsänt tecken 1 mottags som 1med sannolikhet 0.96 ( och felaktigt som 0 med sannolikhet 0.04). Om 0 har mottagits, vad är då sannolikheten att 0 har sänts? Beteckning: Os = 0 sänds Om= 0 mottags Is= 1 sänds Im= 1 mottags. Den totala sannolikheten för Om = 0.45 0.98 + 0.55 0. 04 =0.4630 P( Os Om) 0.45 0.98 0.4410 P ( Os Om) = = = =0.9524838013 P( Om) 0.45 0.98 + 0.55 0.04 0.4630 Uppgift 6. (1p) En kortlek med 52 kort består av fyra färger (hjärter, spader, klöver, ruter) och 13 valörer: ess, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, knekt, dam, kung. Ur en kortlek på 52 kort väljer vi slumpvis 5 kort. Vad är sannolikheten att vi får fem kort i följd i samma färg (straight flush eller Royal flush)? T ex: ess, 2, 3, 4, 5, alla hjärter eller 8, 9, 10, knekt, dam, alla spader även 10, knekt, dam, kung, ess i samma färg räknas (s.k. Royal flush). Vi har 10 möjliga händer i en färg: Sida 4 av 5
(ess, 2, 3, 4, 5), (2, 3, 4, 5, 6), (4, 5, 6, 7, 8),, (9, 10, knekt, dam, kung) och (10, knekt, dam, kung, ess ). Eftersom vi har fyra färger har vi totalt 40 gynnsamma fall. Antalet alla fall är N 52 = 5 40 1 Därmed är P = = = 0.00001539077169 52 64974 5 Sida 5 av 5