Exempelsamling till Janfalk, U: Linjär algebra. Ulf Janfalk Matematiska institutionen Linköpings universitet

Exempelsamling till Janfalk, U: Linjär algebra Ulf Janfalk Matematiska institutionen Linköpings universitet c Ulf Janfalk Typeset by L A TEX november 5

Innehållsförteckning Linjära ekvationsystem. Successiv elimination................................ Analytisk geometri i planet och rummet. Vektorer........................................ Bas och koordinater.................................4 Ortsvektorer, punkter och koordinatsystem................... 4.5 Skalär- och vektorprodukt............................. 5.6 ON-baser och beräkning av skalär- och vektorprodukt............. 7.7 Area och volym................................... 9.8 Linjer och plan................................... 9 Matriser 4. Matriser....................................... 4. Linjära ekvationssystem och matrisekvationer.................. 6.4 Radoperationer och trappstegsform........................ 7.5 Trappstegsmatriser och rangbegreppet...................... 8.6 Matrisinvers..................................... 9.7 Blandade övningar................................. 4 Determinanter 4. Definitionen..................................... 4. Att beräkna en determinant............................ 4.. Hur påverkas determinanten av radoperationer............. 4.. Kofaktorer................................. 4 4.. Radoperationer och kofaktorutveckling.................. 4 4. Determinanter och ekvationssystem........................ 5 4.4 Produktlagen för determinanter.......................... 7 4.5 Geometriska tolkningar.............................. 7 5 Vektorrum 8 5. Definitionen..................................... 8 5. Underrum...................................... 9 5.4 Linjärt (oberoende, bas och dimension..................... 5.5 Basbyte....................................... 7 6 Euklidiska rum 8 6. Skalärprodukt.................................... 8 6. ON-baser...................................... 4 6.4 Minstakvadrat-metoden.............................. 4 7 Linjära avbildningar 44 7. Definitionen..................................... 44 7. Matrisframställning................................. 45 7.4 Basbyte....................................... 48 7.5 Värderum och nollrum............................... 49

7.6 Sammansatta avbildningar............................. 5 7.7 Isometriska och symmetriska avbildningar.................... 5 7.8 Area- och volymsskala............................... 54 8 Spektralteori 55 8. Egenvärden och egenvektorer........................... 55 8. Sekularpolynomet.................................. 55 8. Symmetriska avbildningar och spektralsatsen.................. 58 9 Tillämpningar av spektralteori 6 9. Kvadratiska former................................. 6 9. Andragradskurvor................................. 6 9. Andragradsytor................................... 6 9.4 System av differentialekvationer.......................... 64 9.5 Matrisvärda exponentialfunktionen........................ 65 9.6 Differensekvationer................................. 66 Svar 69

Linjära ekvationsystem. Successiv elimination... Verifiera att (sätt in (a x = /, y = / är en lösning till det linjära ekvationssystemet { x + 7y = 5 7x 5y = (b x = /4, y = 7/4, z = 7/4 är en lösning till det linjära ekvationssystemet x + y + z = 9 x + y + z = 4 x + y + z = 6... Verifiera att (a x = 5+9t, y = 5 t, z = t är en lösning till { x + y + z = 5 5x + 7y 4z = för alla värden på t R. (b x = +s+6t, x = +s t,,x = s, x 4 = +t är en lösning till { x + 5x + 9x + x 4 = för alla värden på s,t R. x + x + 4x =... Uttryck, på parameterform, samtliga lösningar till ekvationerna nedan på minst två sätt: (a x+y = 4, (b x+4y +5z =, (c x x +x 4x 4 +5x 5 = 6...4. Lös ekvationssystemen nedan med både substitution och successiv elimination (se Exempel {.., sid : { { x y = x + y = x + 7y = 5 (a x 7y =, (b x + 4y =, (c x y =...5. Lös nedanstående ekvationssystem: { { x + 4y = x + y = (a x + 6y =, (b 4x + 6y = 6, (c x + y = 4x + 6y = 6. 6x + 9y = 8..6. Lös med successiv elimination ekvationssystemen (se Exempel.., sid : x + x x = x + y + z = (a x + 4x + x =, (b x + y z =. x x x = x + 4y 4z =

LINJÄRA EKVATIONSYSTEM..7. Lös med successiv elimination ekvationssystemen (se exempel.., sid och exempel..4, sid 4: x + x + x = x + x + x = (a x + x x =, (b x + x x =. x + 4x 5x = x + 4x 5x =..8. Lös ekvationssystemen (se exempel..5, sid 5 och exempel..6, sid 7: x x + x + x 4 + x 5 = (a x + x + x 4 + 4x 5 =, x + x x + x 5 = x + x + x 4 x 5 = (b x x x x 4 + x 5 =. x + x + 4x + x 4 x 5 =..9. Lös ekvationssystemen: x + y + z = 9 x + y z = (a x 4y + z = 5, (b x + 5y z =, 5x + 7y + z = 4 x + 4y z = x y + z = x + y 4z = (c x y + z = 5, (d x y + z = 5. x + y + z = x + y z = 7... Lös ekvationssystemen: x x + x x 4 = x + x + x x 4 = 4 x (a + x + x + x 4 = x, (b x + 4x 4 =. x + x x + x 4 = x + x x + 5x 4 = x + x + x + x 4 = x + x 5x + 6x 4 =... Ange villkor på a,b R så att systemen nedan får (i entydig { lösning, (ii ingen { lösning, (iii oändligt { många lösningar. x y = x + by = ax + y = (a ax + by = 5, (b ax + y = 5, (c x + y = b.... Ange (om möjligt villkor på a,b,c R så att systemen nedan får (i entydig lösning, (ii ingen lösning, (iii oändligt många lösningar. (se Exempel..7, sid 8 x + y z = a x + y z = a (a y + z = b, (b x y + z = b. x z = c 5x + y 4z = c... Ange (om möjligt villkor på a,b,c R så att systemen nedan får (i entydig lösning, (ii ingen lösning, (iii oändligt många lösningar. x y + az = x + ay = (a x + y z =, (b y + bz =. x y + z = b cx + z =..4. Ange (om möjligt villkor på a,b R så att systemen nedan får (i entydig lösning, (ii ingen lösning, (iii oändligt många lösningar. x + y + z = ax + (a y + (a z = b (a x + y + az = b, (b (a y + (a 4z =. x + ay + z = (a 5z =

Analytisk geometri i planet och rummet. Vektorer I uppgifterna...., använd vektorerna i nedanstående figur.... Rita figurer som illustrerar räknereglerna för vektorer.... Rita, på rutat papper så noggrant som möjligt, u+v, u v, u+w, u v+4w, u+v+w... Rita in u+v +w. Utnyttja resultatet till att uttrycka u med hjälp av v och w. Uttryck sedan v med hjälp av u och w w och w med hjälp av u och v. Figur.:..4. Rita på separat papper (RITA STORT och använd linjal! in två vektorer u, v (välj själv och, mellan dessas spetsar, u v. Rita sedan, i samma figur, följande vektorer: u+ v, u+ v, u+ v, 5 u+ 5 v. Vad ser du? Förklara din iakttagelse. Generalisera...5. Ange ett villkor för att avgöra om tre givna vektorer u, v och w är kantvektorer i en triangel.. Bas och koordinater... Låt e,e,e vara en bas för rummet. Vad får e,e,e för koordinatmatriser om de själva används som bas? (se Exempel..8, sid 4... Låt u = e och v = e. Bestäm (se Exempel..7, sid (a u+v, (b u v, (c u+e, (d u+ v.... Låt u,v,w vara som i (se Figur., sid ovan. Vad blir koordinatmatrisen för u då vi använder v och w som bas (använd uppgift..? Hur blir koordinaterna för v med u och w som bas? Koordinaterna för w med u och v som bas?..4. Vad blir koordinatmatrisen för u resp v då vi använder u och v som bas? För v resp w då vi använder v och w som bas? v u..5. (a Rita vektorerna ( ( ( u = e, v = e, w = e. Är de kantvektorer i en triangel (se uppgift..5?

4 ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET (b Är vektorerna u = e, v = e, w = e. kantvektorer i en triangel?..6. Undersök om nedanstående vektorer är parallella (läs Definition.., sid : (a e och e 4, (b e och e, (c e och e. 4..7. Bestäm, om möjligt, talet t så att nedanstående vektorer blir parallella (se Definition.., sid : / / (a e och e 6, (b e och e t, (c e t och e 4. t t / t 5..8. Skriv u som linjärkombination av v och w då ( ( ( 5 (a u = e, v = e, w = e, 6 (b u = e 7, v = e, w = e...9. Ligger vektorerna u = e, v = e, w = e 4 5 i samma plan?... Visa att vektorerna f = e, f = e 4 4, f = e 9 7 är en bas i rummet. Ange koordinaterna för u = 5e +4e +e i basen f,f,f. Hur påverkas koordinaterna om vi byter ordning på f och f (dvs nya f = gamla f och nya f = gamla f.4 Ortsvektorer, punkter och koordinatsystem.4.. Låt O, A, B, C, D vara punkter i rummet. Förenkla följande vektorsummor: (a OB+BD+DC, (b AC+CO+OB, (c AB+OA+BD, (d BD BA+DC.

.5 Skalär- och vektorprodukt 5.4.. Låt P, Q och O vara tre punkter i rummet. Låt M vara mittpunkten på sträckan PQ. Uttryck OM med hjälp av OP och OQ..4.. Låt O, u vara ett vanligt rätvinkligt koordinatsystem i planet och markera punkterna A = (,, B = (,, C = (, i koordinatsystemet (fyra rutor per enhet för dig som använder rutat papper. (a Rita in vektorerna OA, OB, OC, AB, BC och AC i koordinatsystemet och bestäm deras koordinater (se Exempel.4., sid. (b Beräkna AB +BC +CA (jämför med uppgift..5. (c Sätt OP = ( OA+OB +OC. Beräkna koordinaterna för OP och rita in P i koordinatsystemet. Vad kan sägas om P? (d Beräkna mittpunkterna P, Q, R på triangelns sidor och verifiera påståendet i uppgift.4.5..4.4. Låt O,u vara ett koordinatsystem i rummet och A = (,,, B = (,,, C = (4,,. (a Bestäm koordinaterna för vektorerna (se Exempel.4., sid (b Beräkna AB +BC +CA. OA, OB, OC, AB, BC och AC (c Beräkna mittpunkterna P, Q, R på triangelns sidor och verifiera påståendet i uppgift.4.5..4.5. Låt P, Q och R vara mittpunkterna på sidorna i triangeln ABC. Visa att.5 Skalär- och vektorprodukt OP +OQ+OR = OA+OB +OC..5.. Låt u, v och w vara tre vektorer i planet sådana att u =, v =, w = 5, vinkeln mellan u och v är π och vinkeln mellan u och w är 5π (RITA FIGUR!. 6 Bestäm (se Exempel.5., sid 5 (a u v, (b u w, (c v w, (d u (v + w..5.. Låt u och v vara två vektorer sådana att u = 4, v = och vinkeln mellan u och v är π.

6 ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET Bestäm längden av (a u + v, (b u v..5.. Visa skalärproduktens motsvarigheter till kvadrerings- och konjugatregeln, d v s (a (u+v (u+v = u+v = u + v +u v (b (u v (u v = u v = u + v u v (c (u+v (u v = u v.5.4. Bevisa parallellogramlagen, d v s u+v + u v = ( u + v. Förklara varför parallellogramlagen är ett bra namn på detta samband..5.5. Vad kan sägas om en parallellogram där diagonalerna är vinkelräta mot varann?.5.6. Låt u, v och w vara som i uppgift.5.. Beräkna (se Exempel.5.6, sid 9 (a v u, (b u w..5.7. Låt e och e vara två enhetsvektorer som är vinkelräta mot varann och orienterade så att om e pekar åt höger så pekar e uppåt. Uttryck enhetsvektorn w i e och e då (se Exempel.5.6, sid 9 (a w bildar vinkeln π 4 med både e och e. (b w bildar vinkeln π 6 med e och π med e. RITA!.5.8. Uttryck w i u och v (RITA! då (se Exempel.5.7, sid (a u =, v =, w =, u och v bildar vinkeln π 4, u och w vinkeln π 4 w vinkeln π. (b u = 6, v = 8, w = 7, u och v bildar vinkeln π 6, u och w vinkeln π och v och och v och w vinkeln π. Ledning: Utnyttja.5.7..5.9. Låt e,e,e vara en bas i rummet. Betrakta vektorerna Beräkna u v då u = e +e +e och v = e e +4e. (a e =, e = 4, e =, e e = 6, e e = 4 och e e = 4, (b e,e,e är parvis ortogonala, e =, e = och e =,

.6 ON-baser och beräkning av skalär- och vektorprodukt 7 (c e,e,e är en ON-bas..5.. Låt u,v,w vara tre nollskilda vektorer i rummet. Vad kan sägas om dem ifall (a u v = w och w u = v? (b u v = w och u w = v?.5.. Låt u,v,w vara tre nollskilda vektorer i rummet sådana att u +v+w =. Visa att då är u v = v w = w u.6 ON-baser och beräkning av skalär- och vektorprodukt Från och med nu förutsätter vi, om inget annat sägs, att alla koordinater är givna relativt en högerorienterad ON-bas. Detta betyder (se figur i planet: vridning π moturs överför e i e, i rummet: vridning π moturs, sett från toppen av e, överför e i e. e e e e Figur.: Positivt orienterade ON-system i planet och rummet e.6.. Beräkna alla skalärprodukter som kan bildas med två av vektorerna ( ( ( u = e, v = e, w = e. 4.6.. Beräkna längden av vektorerna i uppgift.6. (se Exempel.6., sid 6..6.. Beräkna vinkeln mellan vektorerna i uppgift.6. (se Exempel.6., sid 6..6.4. Beräkna alla skalärprodukter som kan bildas med två av vektorerna 9 u = e 7, v = e, w = e. 4

8 ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET.6.5. Beräkna längden av vektorerna i uppgift.6.4 (se Exempel.6., sid 6..6.6. Beräkna vinkeln mellan vektorerna i uppgift.6.4 (se Exempel.6., sid 6..6.7. (a Bestäm vinkeln mellan e +e och e +e. (b Ange, genom att tänka (inte räkna, hur många enhetsvektorer det finns som bildar 45 vinkel med e +e och e +e. (c Bestäm de i (b efterfrågade vektorerna. (d Finns det någon vektor som bildar,5 vinkel med e +e och e +e?.6.8. Bestäm vinklarna och sidlängderna i triangeln ABC där A = (,,, B = (,,, C = (,,. Kontrollera dina svar med hjälp av cosinussatsen..6.9. Låt u = e +e och v = e e. (a Bestäm den ortogonala projektionen av u resp v på e och e. (b Bestäm den ortogonala projektionen av u på v. (c Dela upp u i komposanter; u = u v +u v där u v är parallell med v och u v är ortogonal mot v. RITA!.6.. Låt u = e och v = e. Dela uppikomposanter: u = u v +u v (se.6.9(c..6.. Punkterna (,, och (,, 4 är ändpunkter till hypotenusan i en rätvinklig triangel. Den enakatetens kantvektor är parallell med vektorn e +e. Bestäm det tredjehörnet..6.. Utgå från sambandet (.6., sid 7, i boken och beräkna (a (e e (e e (b (e +e +e (e e +e Beräkna sedan ovanstående vektorprodukter med hjälp av minnesregeln (.6.4, sid 7 och verifiera slutligen att reslutaten är ortogonala mot vektorerna som kryssas..6.. Beräkna nedanstående vektorprodukter (se Exempel.6., sid 8: 4 (a e e 4, (b e 7 e 4, (c e e. 5 Kontrollera i vart och ett av fallen att resultatet är ortogonalt mot de ingående faktorerna..6.4. Låt u = (,4,, v = (,,6 och w = (,,5. Beräkna (a u u, u v och u w.

.7 Area och volym 9 (b u (v w dels genom att räkna ut v w och sedan beräkna kryssprodukten på vanligt sätt, dels genom att utnyttja resultaten i (a och räknelagarna för kryssprodukt..6.5. Verifiera att vektorerna e +e +e, e e, e +e e är parvis ortogonala. Normera dem, d v s bestäm enhetsvektorer (längd parallella med de givna så att vi får en ON-bas..6.6. Verifiera att vektorerna (,, och (,, är ortogonala. Normera dem och lägg till en tredje vektor sådan att de tre utgör en högerorienterad ON-bas..7 Area och volym.7.7. Beräkna arean av triangeln med hörn i (se Exempel.7., sid 9 (,, (, och (,.7.8. Beräkna arean av den parallellogram som spänns upp av vektorerna (se Exempel.7.(a, sid 4 e +4e +6e och e +e e..7.9. Beräknaareanavdentriangelsomharhörnipunkterna(,4,, (,,7 och(,,..7.. En fyrhörning har hörnen i punkterna (,,, (7,,, (,4, och (4,,. Visa att den är en parallellogram och bestäm dess area..7.. Beräkna volymen av den tetraeder som har hörn i (, 4,, (,, 7, (,, och (,,..7.. Beräkna volymen av den parallellepiped som har parallellogrammen i uppgift.7. som basyta och (,, som kantvektor (se Exempel.7.(b, sid 4..8 Linjer och plan.8.. Bestäm den linje genom (,7 som är (a parallell med linjen x y = 5, (b vinkelrät mot linjen x y = 5..8.. Ange, på parameter-, normal- och riktningskoefficientform linjen genom punkterna (se Exempel.8.5, sid 47 (a (, och (, (b (, och (5,

ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET (c (, och (,.8.. Ange, på parameter-, normal- och riktningskoefficientform den normal till (a linjen i uppgift.8.(a som går genom punkten (,, (b linjen i uppgift.8.(b som går genom punkten (,, (c linjen i uppgift.8.(c som går genom punkten (,..8.4. Låt L vara linjen i uppgift.8.(a. Bestäm denpunktpå L som ligger närmastpunkten (6, samt avståndet mellan L och (6,. Bestäm också spegelbilden av (6, i L. Rita figur! (se Exempel.8.6, sid 47.8.5. Ange en ekvation på parameterform för linjen L genom punkterna (se Exempel.8., sid 4 (a (,,4 och (,,6 (b (, 5, 599 och ( 48, 57, 5 (c (6π, π,π och ( π,π, 4π.8.6. Ange en ekvation på parameterform för linjen genom punkterna (,, och (,, 4. Ligger någon av punkterna (,, och (5,, på linjen?.8.7. En partikel rör sig i planet, med konstant hastighet, längs en rät linje. Vid tiden t = befinner den sig i punkten (, och vid tiden t = i (,4. Var befann den sig vid tiden t =? Kommer den att gå genom punkterna(9,6 resp (,8 och, om så är fallet, vid vilken tidpunkt?.8.8. Avgör huruvida linjerna L och L nedan skär varann, är parallella, identiska eller inget av föregående (se Exempel.8., sid 4: x x (a L : e y = e +te, L : e y = e +te z z x (b L : e y z x (c L : e y z x (d L : e y z = e = e = e 4 5 5 x 6 65 +te, L : e y = e +te 9 z 6 4 +te +te, L : e, L : e x y z x y z = e = e 6 5 4 +te.8.9. Låt L vara linjen genom punkten (,, med riktningsvektor e normal till L som går genom (,,. 6 +te. Ange den

.8 Linjer och plan.8.. Vilken punkt på linjen x L: e y = e z ligger närmast (se Exempel.8., sid 44 (a origo? (b (,, +te Bestäm även avståndet mellan resp punkt och linjen., t R.8.. LåtLvaralinjengenom origomedriktningsvektor e +e +5e ochlåt P = (, 6,. Ange vilken punkt på L som ligger närmast P samt avståndet mellan P och denna punkt (se Exempel.8., sid 44..8.. Samma uppgift som.8. men L går genom punkten (,,4 istället för origo (se Exempel.8., sid 44..8.. Bestäm ekvationen på normalform för det plan som innehåller punkten (,, och (a har normalriktning parallell med e +e +e. (b är parallellt med vektorerna u = e och v = e 5. 4.8.4. Ange ekvationen på parameterform och normalform för planet genom punkterna (se Exempel.8.7, sid 5 (a (,,, (,,4 och (,5, (b (,,, (,, och (,, (c (,,, (,, och (,,.8.5. Ange, på normalform, ekvationen för nedanstående plan samt deras normalvektorer och skärningspunkter med koordinataxlarna. (a xy-planet, (b planet parallellt med yz-planet genom punkten (, 4, 7.8.6. Ange nedanstående plans normalvektorer och skärningspunkter med koordinataxlarna. Gör också en enkel skiss av planen. (a x+y =, (b x+y =,

ANALYTISK GEOMETRI I PLANET OCH RUMMET (c x+y +z =..8.7. Bestäm skärningslinjen L mellan planen (se Exempel.8.7, sid 5 (a x+y +z = 5 och 5x+7y 4z = (b x+5y +9z = och x+y +4z = Verifiera i båda fallen att skärningslinjens riktningsvektor är parallell med kryssprodukten mellan normalerna..8.8. Bestäm skärningslinjen L mellan planen { x + y + z = x y + z = 5 N och avgör om L är parallell med planet Π: 5x+y +4z =..8.9. Låt P = (,, och Π: x+y z =. Bestäm (a P:s ortogonala projektion i Π, OP P OP n (b P:s spegelbild, (c P:s avstånd till Π. n genom att följa nedanstående: (i Beräkna den ortogonala projektionen, OP n, av OP på n. n O OP p P p (ii Ange en formel för sambandet mellan OP, OP n och OP p. (iii Samma som (ii men med P s istället för P p. OP s P s (iv Svara på de ursprungliga frågorna..8.. Samma uppgift som.8.9 men gör istället enligt nedan: (i Ange, på parameterform, ekvationen för den linje N som går genom P och har n som riktningsvektor. (ii Sätt in i ekvationen för Π och bestäm t-värdet för skärningspunkten. (iii Hur förhåller sig t-värdet för spegelbilden till skärningspunktens t-värde? (iv Uttryck avståndet med hjälp av skärningspunktens t-värde och n. (v Svara på de ursprungliga frågorna..8.. Gör om uppgifterna.8.9 och.8. med Π: x+y z =. Hur påverkar bytet av plan de olika lösningsvägarna? Se exempel.8., (se Figur.9, sid 5, sid 5 i boken.

.8 Linjer och plan.8.. Bestäm avståndet mellan punkten (7,4, och planet x+y +5z = 6 (se Exempel.8., sid 5..8.. Bestäm punktens (7,, ortogonala projektion och spegelbild i planet x y+z = 5 (se Exempel.8., sid 5..8.4. Planet Π : x+y+z =, vektorn u = e och punkten P = (,, är givna. Bestäm ekvationen för den linje L som går genom P, är parallell med planet Π och ortogonal mot vektorn u..8.5. Låt L vara linjen genom punkterna (,4, och (,6,. Bestäm spegelbilden av L i planet x+y = 5..8.6. Planet Π går genom punkterna (,,, (4,, och (,4,. Låt Q = (,4, och Q = (,,. Ange avståndet från Q respektive Q till Π. Avgör också om Q och Q ligger på samma sida om Π eller inte..8.7. Låt Π vara planet x+y+z=5. Linjen L går genom punkten P=(,, och är ortogonal mot Π. Bestäm de punkter på L som ligger dubbelt så långt från Π som P gör..8.8. En ogenomskinlig cirkulär skiva med radie placeras på xy-planet så att cirkelskivans medelpunkt hamnar i punkten (,,. En punktformad ljuskälla placeras i punkten (9, 8, och strålar ut ljus i alla riktningar. Ligger punkten ( 9,, i cirkelskivans skugga?.8.9. LinjenL gårgenompunkterna(,, och(,, ochlinjenl gårgenompunkterna (,, och (,,. Bestäm kortaste avståndet mellan linjerna samt punkternap L och Q L sådana att PQ =kortaste avståndet genom att följa nedanstående: (a Ange linjerna på parameterform. (b Övertyga dig om att det finns en riktning, ortogonal mot båda linjerna och beräkna den. (c Bestäm ekvationen för det plan Π med riktningen från (b som normal och som innehåller L. (d Tag en punkt på L och beräkna avståndet från denna till planet. Vad har detta med avståndet mellan linjerna att göra? (e Ange en vektor u parallell med Π:s normal och vars längd är densamma som avståndet mellan linjerna. (f Vilket samband råder mellan u, OP och OQ? Utnyttja detta samband till att bestämma parametervärdena för P resp Q som punkter på L resp L samt ange P och Q..8.. Samma uppgift som.8.9 men gör enligt nedan:

4 MATRISER (a Skriv linjerna på parameterform. (b Låt P L och Q L, i övrigt godtyckliga. Beräkna vektorn PQ. (c Om P och Q är de sökta punkterna, hur förhåller sig då PQ till linjernas riktningsvektorer? Utnyttja detta till att ta fram ett ekvationssystem för parametervärdena och lös detta..8.. Ange på parameterform ekvationen för den linje som skär linjerna x = +t x = L : y = +t och L : y = +s z = z = +s under rät vinkel. (ON-system.8.. Punkterna (,,7 och (6, 5, är varandras spegelbilder i planet Π. Ange ekvationen för Π. Matriser. Matriser... Ange formatet (r k till nedanstående matriser: A = ( 4, B = ( α, C = β... Givet matriserna (se Exempel.., sid 58 ( ( 4 4 A =, B = 5 D = 5 7 8 och F = 8 5 ( 4, C = 5 / 5 / Ange vilka av följande summor som är definierade och beräkna i förekommande fall summorna. (a A+D, (b D+F, (c B+C, (d A+C, (e B+F +C, (f D+D.... Avgör vilka av nedanstående multiplikationer som är definierade och utför dessa (se Exempel..4, sid 59. (a ( 4 ( 4, (b, ( 4 (c 4, (d,..

. Matriser 5 (e 4, (f ( 4...4. Följande matriser är givna (se Exempel..5, sid 59: ( ( A =, B = 5, C = och D =. Utför nedanstående multiplikationer i de fall de är definierade: (a AA, (b AB, (c CA, (d CB, (e (ABD. Gäller AB = BA?..5. Givet matriserna A =, B = och X = 4 5. Beräkna ABX. Vilken beräkningsgång, (ABX eller A(BX kräver minst antal additioner och multiplikationer?..6. Ange alla matriser B som kommuterar med matrisen ( A =, 4 dvs sådana att AB = BA...7. Visa att A n = för n då (se Exempel..7, sid 6 A =...8. Verifiera att (AB t = B t A t då A = ( 4 5 6 7 8 och B = 9...9. (a Avgör vilka av följande matriser som är symmetriska, diagonala och/eller enhetsmatriser: A =, B =, C =, D =. 4 (b Samma fråga för matriserna A+B, B +C, C D, B t D och A+A t.

6 MATRISER... Utnyttja transponeringsreglerna (se Sats.., sid 6 till att förenkla uttrycken (a (A+B t t A t, (b (BA t A t (B t A.... (a Visa att (ABC t = C t B t A t. (b Låt A vara en symmetrisk n n-matris och låt P vara en n m-matris. Visa att matrisen P t AP är symmetrisk.... Låt A vara en -matris sådan att (AX t = X t A för alla -matriser X. Visa att A är symmetrisk.... (a Beräkna A t A då A = ( 4 7. 7 (b Låt B vara en matris av godtyckligt format. Visa att BB t är symmetrisk. (c Låt B vara en matris av godtyckligt format. Visa att BB t = B =.. Linjära ekvationssystem och matrisekvationer... Skriv om ekvationssytemen nedan som matrisekvationer AX = Y (se Exempel.., sid 66 och Exempel.4., sid 7. (a { x + 7y = 5 7x 5y =, (b x + y + z = 9 x + y + z = 4. x + y + z = 6 Verifiera sedan med hjälp av matriskalkyl att X = x (a och att X = y = 7 4 z 7 ( x y är en lösning till (b.... Skriv om ekvationssytemen nedan som matrisekvationer AX = Y. { { x + y + z = 5 (a 5x + 7y 4z =, (b x + 5x + 9x + x 4 = x + x + 4x =. Verifiera sedan med hjälp av matriskalkyl att x 5 X = y = 5 z X = x x x x 4 = är lösningar till (a respektive (b. +t +s 9, t R, +t 6 = ( är en lösning till, s,t R

.4 Radoperationer och trappstegsform 7... Lös med successiv elimination ekvationssystemet (se Exempel.., sid 66 x + x x = x + 4x + x = x x x = och ge en geometrisk tolkning av de ingående ekvationerna och lösningsmängden...4. Skriv ekvationssystemet i.. som en matrisekvation, AX = Y. Lös denna med matrismetod och jämför, steg för steg, med din lösning av....4 Radoperationer och trappstegsform I uppgift.4..4.8, skriv ekvationssystemen på matrisform och lös dem med successiv elimination { { { x y = x + y = x + 7y = 5.4.. (a x 7y =, (b x + 4y =, (c x y =..4.. (a { x + 4y = x + 6y =, (b { x + y = 4x + 6y = 6, (c x + y = 4x + 6y = 6. 6x + 9y = 8.4.. Lös med successiv elimination ekvationssystemen (se Exempel.4., sid 68: x + x x = x + y + z = (a x + 4x + x =, (b x + y z =. x x x = x + 4y 4z = x + x + x = x + x + x =.4.4. (a x + x x =, (b x + x x =. x + 4x 5x = x + 4x 5x =.4.5. Lös med successiv elimination ekvationssystemen (se Exempel.4.4, sid 69: x x + x + x 4 + x 5 = (a x + x + x 4 + 4x 5 =, x + x x + x 5 = x + x + x 4 x 5 = (b x x x x 4 + x 5 =. x + x + 4x + x 4 x 5 = x + y + z = 9 x + y z =.4.6. (a x 4y + z = 5, (b x + 5y z =, 5x + 7y + z = 4 x + 4y z = x y + z = x + y 4z = (c x y + z = 5, (d x y + z = 5. x + y + z = x + y z = 7.4.7. Ange (om möjligt villkor på a,b,c R så att systemen nedan får (se Exempel.4.5, sid 7 (i entydig lösning, (ii ingen lösning, (iii oändligt många lösningar. x + y z = a x + y z = a (a y + z = b, (b x y + z = b. x z = c 5x + y 4z = c

8 MATRISER.4.8. Lös ekvationssystemen (se Exempel.4.7, sid 7 och Sats.4.9, sid 7: x + x + x x 4 = x + x + x x 4 = 4 x (a x + 4x 4 = x, (b x + 4x 4 =. x + x x + 5x 4 = x + x x + 5x 4 = x + x 5x + 6x 4 = x + x 5x + 6x 4 =.5 Trappstegsmatriser och rangbegreppet.5.. Lös nedanstående ekvationssytem AX = Y (a A =, Y = 4 resp. (b A =, Y = resp (c Titta på dina kalkyler i (a och (b. Vid vilket steg i kalkylen kan du se om resp system är lösbart eller inte..5.. Överför med elementära radoperationer matrisen A = 4 5 till en med A radekvivalent trappstegsmatris och ange rangen för A..5.. (a Skriv ekvationssystemet x + x + x = x + 4x + 5x = x + x = på matrisform. Använd.5. till att lösa det. (b Lösningsmängden i(a kan tolkas som en linje i rummet. Låt A vara systemets koefficientmatris, X h koordinatmatrisen för linjens riktningsvektor och X p koordinaterna för den fixa vektorn i uttrycket för linjen. Beräkna AX h och AX p. (c Förklara varför resultaten i (b blir som de blir..5.4. (a Lös ekvationssystemen nedan samt ange rangen för respektive koefficientmatris. 5 7 4 5 4,. 4 Utnyttja resultaten i.5. (b till att kontrollera dina lösningar. (b Med ledning av lösningarna till ovanstående system, avgör hur antalet parametrar i lösningen beror av koefficientmatrisens rang och antalet obekanta.

.6 Matrisinvers 9.5.5. Beräkna för alla reella tal a rangen av matrisen A = a a. a a.6 Matrisinvers.6.. Bestäm a och b så att matriserna A och B blir varandras inverser. 4 A = a /4 b, B = 6. /8 /8 /8 RÄKNA INTE UT INVERSERNA! Använd definitionen av invers!.6.. Bestäm inversen till de av nedanstående matriser som är inverterbara (se Exempel.6.4, sid 77: ( ( ( 4 A =, B =, C = 5.6.. Bestäm inversen till (se Exempel.6.5, sid 78 (a A = 4, (b B =..6.4. (a Bestäm inversen till matrisen A = 5 4. (b Utnyttja resultatet i (a till att lösa ekvationssystemet x x x + x 4 = 7 x + x + 5x x 4 = 9. x + x x + x 4 = 8 x x + x + 4x 4 = 5.6.5. Bestäm det X som löser matrisekvationen XA + B = I där (se Exempel.6.8, sid 8 ( ( 5 6 A =, B = 4 7 8 och I är enhetsmatrisen..6.6. Lös ekvationen AX = CX +B där A =, B = 4 och C =. 4

MATRISER.6.7. Lös matrisekvationen A XB +A X = C där (se Exempel.6.8, sid 8 ( A = 5, B = och C =. 4.6.8. Låt Lös matrisekvationen AXB = A+B t. A =, B =..6.9. Antag att de kvadratiska matriserna A och B uppfyller ekvationen A +AB = I. Visa att, i tur och ordning, (a A är inverterbar, (b B = A A, (c AB = BA..6.. Låt B vara en n n-matris sådan att B +B +B +I =. Bevisa att B är inverterbar och ange B som ett polynomuttryck i B..6.. Låt A vara en matris sådan att (A+I existerar. Visa att A(A+I = (A+I A..6.. Låt N vara ett positivt heltal, I enhetsmatrisen och A en n n-matris sådan att A I är inverterbar. Visa att (A I ( A N+ I = A N +A N +A N +...+A +A+I..6.. LåtAvaraensymmetriskn n-matrissådanatta = A.VisaattAinteärinverterbar genom att fullfölja bevisstegen nedan. (a Motsägelsebevis. Antag att A = A och att A är inverterbar. Visa att i så fall är A +I =. (b Visa att A +I genom att studera diagonalelementen i A. Genomför det först för en godtycklig symmetrisk -matris så du ser vad som händer innan du gör det allmänna fallet..6.4. Bestäm inversen till n n-matrisen........ Ledning: Addera först raderna tom rad n till rad.

.7 Blandade övningar.6.5. Låt A =. Beräkna, om möjligt, inverserna till A och A (se Sats.6.7, sid 79..6.6. Antag att A I, A I, A I och att A 4 = I. Ange inverserna till A, A och A (se Definition.6., sid 75..7 Blandade övningar.7.. (a Bestäm A (= A A då A = ( cosα sinα. sinα cosα (b Bestäm A n, n =,4,... ( ( (c Låt e vara en ON-bas i planet. Sätt X = och X = så att e i = ex i. För α = 6, rita i samma koordinatsystem vektorerna e, e, eax och eax. Hur förhåller sig eax i till e i?.7.. (a Låt a a a A = och B = a a a. a a a Beräkna AB. Hur förhåller sig matrisen AB till B? (b Samma uppgift som i (a med A =.7.. Låt A = 4. (a Betrakta matrisekvationen AX = Y. Om vi ser högerledet Y som koordinater för en vektor i rummet så är ekvationen lösbar endast då vektorn ligger i ett visst plan genom origo. Visa detta och ange planets ekvation. (b Verifiera att vektorprodukten mellan kolonnvektorerna är parallell med planets normalvektor. (c Beräkna vektorprodukten mellan de av A:s radvektorer som ej är parallella. Använd detta för att bestämma lösningen till AX =.

MATRISER.7.4. Ekvationssytemet x + x x + 4x 4 = 4 x x + x + x 4 = 4 x + 7x 9x + ax 4 = x + 8x ax + x 4 = 6 saknar entydig lösning för vissa värden på parametern a. Bestäm dessa a-värden och lös om möjligt ekvationssystemet för dessa värden på a..7.5. Bestäm alla reella a-värden för vilka systemet är lösbart och lös det för dessa a-värden. x + ay z = y + 4z = a + x 5z = 4 x + 4y + z = 4a.7.6. Bestäm alla tripler (a, b, c för vilka ekvationssystemen är samtidigt lösbara. x + y + 8z = a x y 6z = b x 5y z = c.7.7. För vilka a R har ekvationssystemet entydig lösning?.7.8. Lös ekvationssystemet, 5x y + z = a 4y z = b 7x + y + z = c (x ay(+x+ay = x+ay +z = (a y +z = { ( X + AY = I AX + Y = A där A =..7.9. Bestäm matrisen A så att ( (A t I t = B där B = och I är enhetsmatrisen.

4 Determinanter 4. Definitionen 4... Vilka av de antydda produkterna i determinanterna nedan är tillåtna och vad är deras tecken (se Exempel 4..5, sid 8? a a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 (a, (b, a a a a 4 a a a a 4 a 4 a 4 a 4 a 44 a 4 a 4 a 4 a 44 a a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 a a a a 4 (c, (d. a a a a 4 a a a a 4 a 4 a 4 a 4 a 44 a 4 a 4 a 4 a 44 4... Beräkna nedanstående determinanter utgående från definitionen (se Exempel 4..7, sid 8: (a 5 7, (b 4, (c. 4... Beräkna nedanstående determinanter enligt definitionen (se Exempel 4..7, sid 8: (a, (b 4 5, (c. 4 4 5 4. Att beräkna en determinant 4.. Hur påverkas determinanten av radoperationer 4... Varför är följande determinanter? Motivera med hjälp av räknelagarna. (a 4 5, (b 4 6, (c 5 5. 4... Givet att a b c d e f g h i = 6, Beräkna d e f (a g h i a b c, (b a b c d e f 5g 5h 5i, (c a b c g +a h+b i+c d e f. genom att göra radoperationer baklänges.

4 4 DETERMINANTER 4... Om A är en n n-matris och k R, verifiera att det(ka = k n deta då ( 5 (a A =, k =, (b A =, k =, 4 4 5 (c A = 4 5, k = 5. 4 5 6 4 4..4. Beräkna nedanstående determinanter genom att överföra till trappstegsform (se Exempel 4.5., sid 88. (a 4, (b 6 9 7 5, (c. 4.. Kofaktorer 4..5. Ange alla kofaktorer till (se Exempel 4.6., sid 88 (a A = 6 7, (b B = 6. 4 4 4..6. Beräkna 5 genom att utveckla efter (a rad, (b kolonn, (c rad. 9 4 Vilken tycker du blev enklast? 4..7. Beräkna, genom att utveckla efter lämplig rad eller kolonn, nedanstående determinanter (se Exempel 4.6.4, sid 9: (a 4, (b 4, (c 5 4. 4..8. Verifiera att ( a b = c d om ad bc. 4.. Radoperationer och kofaktorutveckling ( d b ad bc c a 4..9. Beräkna följande determinanter (se Exempel 4.5., sid 9 och Exempel 4.7., sid 9 4 (a 5 4, (b, (c 4 4, 4 4

4. Determinanter och ekvationssystem 5 (d 4 8 4 4, (e 4 4 5 4 5 8, (f 4. 4... Beräkna följande determinanter 4 8 6 (a 9 7 8, (b 4 6 64 56 5 5 5 65 t t +t 4 t 7 t t +t 7. 4... Lös ekvationerna x (a x =, (b x x x x x x x x x x x =, (c x x x x =. 4... Beräkna determinanterna, av ordning n, nedan x n n n x n n n (a x, (b n n n, (c.............. x n n n n a b b b b a b b b b a b........ b b b a 4... Vilka villkor måste ställas på s, t, u för att Vandermondes determinant skall vara s s t t u u 4. Determinanter och ekvationssystem 4... Ange villkor på a,b R så att systemen nedan får (se Sats 4.7., sid 9 (i entydig { lösning, (ii ingen { lösning, (iii oändligt { många lösningar. x y = x + by = ax + y = (a ax + by = 5, (b ax + y = 5, (c x + y = b. 4... (a Avgör för varje reellt a huruvida ekvationssystemet x + x + ax = 6 x + ax + 8x = ax x = har entydig, oändligt många eller ingen lösning (se Exempel 4.7., sid 9.

6 4 DETERMINANTER (b Samma uppgift för ekvationssystemet (se Sats 4.7., sid 9 x + x + ax = x + ax + 8x =. ax x = 4... Ange (om möjligt villkor på a,b,c R så att systemen nedan får (i entydig lösning, (ii ingen lösning, (iii oändligt många lösningar. x y + az = x + ay = (a x + y z =, (b y + bz =. x y + z = b cx + z = 4..4. Ange (om möjligt villkor på a,b R så att systemen nedan får (i entydig lösning, (ii ingen lösning, (iii oändligt många lösningar. x + y + z = ax + (a y + (a z = b (a x + y + az = b, (b (a y + (a 4z =. x + ay + z = (a 5z = 4..5. Beräkna för alla reella tal a rangen av matrisen A = a a. a a 4..6. För vilka värden på a R har ekvationssystemet ax + y + 4z = x + y + a z = x z = a entydig, ingen eller oändligt många lösningar. Ange lösningen i de fall det finns oändligt många. Kontrollera din lösning på det sätt som beskrivs i uppgift.5. (b 4..7. Ange för varje reellt tal a om ekvationssystemet x + y + z + v = ax + y + z + v = ax + y + z + v = a x + y + z + av = saknar lösning, har exakt en lösning eller har oändligt många lösningar. 4..8. För vilka λ har ekationssystemet x + x x = λx x x = λx x + x + x = λx icke-triviala lösningar? Lös ekvationssystemet för dessa λ.

4.4 Produktlagen för determinanter 7 4.4 Produktlagen för determinanter 4.4.. Låt 4 A =. 7 Beräkna (a deta, (b det(5a, (c 5detA, (d det ( At, (e det ( A A. 4.4.. (a Formulera ett nödvändigt och tillräckligt villkor för att en kvadratisk matris skall ha invers. (b Avgör om matriserna nedan har invers. A = 4 5, B = 4 6 5 6 7 5 6 (c För vilka värden på a R existerar en invers till matrisen nedan? a. a 4.4.. (a Låt A vara en -matris sådan att A = A. Visa att A inte är inverterbar (jämför uppgift.6.. (b Ge ett exempel på en inverterbar -matris sådan att A = A. 4.4.4. (a Visa att om deta och AB = (nollmatrisen så är B =. (b Låt A och B vara två kvadratiska matriser sådana att AB =. Visa att deta = detb =. 4.4.5. Låat A och T vara n n-matriser och antag att T är inverterbar. Visa att 4.5 Geometriska tolkningar det ( T AT = deta. 4.5.. Betrakta en fyrhörning med hörnen i P i = (x i,y i, se figuren. Visa att dess area är ( x x y y + x x y y + x x 4 y y 4 + x 4 x y 4 y. y P P 4 P P x

8 5 VEKTORRUM Figur 4.: Observera hörnens inbördes ordning. 4.5.. Beräkna arean av fyrhörningen med hörn i Använd föregående uppgift. (,, ( 4,, (, och (,. 4.5.. Betrakta parallellogrammen med kantvektorerna u = e dess area som en determinant och beräkna den. 4.5.4. Betrakta den parallellogram som spänns upp av vektorerna e +4e +6e och e +e e. Uttryck dess area som en determinant och beräkna den. 4.5.5. Betrakta den parallellepiped som har fyra närliggande hörn i (,4,, (,,7, (,, och (,,. Uttryck dess volym som en determinant och beräkna den. 5 Vektorrum 5. Definitionen ( ( 7 och v = e. Uttryck 5... Avgör vilka av följande mängder som är vektorrum över de reella talen (addition och multiplikation med skalär är de vanliga på respektive mängd. (a M a = { alla polynom} (b M b = { alla polynom av grad exakt } (c M c = { alla polynom av grad } (d M d = { alla matriser med reella elemnt } (e M e = { alla reella funktioner definierade på [,]} (f M f = C (, =allareellvärdakontinuerliga funktionermeddefinitionsmängd],[ (g M g = { f(x C (,: f( = } (h M h = { f(x C (,: f( = } (i M i = Z = de hela talen 5... Definieranyaadditions-och multiplikationsoperationer, AochMpåR + = {x R: x>} enligt följande: a,b R +, λ R aab = a b, λma = a λ. Visa att R + är ett linjärt rum om + och ersätts med A och M. Vilket blir det nya nollelementet?

5. Underrum 9 5. Underrum 5... Är (a M = { (x,x R : x +x } (b M = { (x,x R : x +x = } underrum av R? 5... Vilka av följande mängder är underrum av R? (se Exempel 5..5, sid 6 och Exempel 5..6, sid 6 (a M = { (x,x,x R : x x +x = } (b M = { (x,x,x R : x x +x = } (c M = { (x,x,x R : x x +x = och x x = } (d M 4 = { (x,x,x R : x x +x = eller x x = } (e M 5 = { s(,, +t(,, R : s,t R } (f M 6 = { (,, +t(,, R : t R } Beskriv mängderna geometriskt. 5... Låt M vara det vektorrum som består av alla -matriser med reella element och utrustat med de vanliga räkneoperationerna för addition och multiplikation med tal. Är mängden M = {A M : deta = } ett underrum av M? 5..4. Låt U och U vara två underrum av ett vektorrum V sådana att U U {}. Är U U ett underrum av V? 5..5. Låt U och U vara underrum av V sådana att U U = {}. Definiera Är U U ett underrum av V? U U = {u +u : u U,u U }. 5..6. Låt U och U vara två icke-parallella linjer genom origo i R. Beskriv mängden U U (definieras som i uppgift 5..5. 5..7. Låt W R 4 vara lösningsmängden till ekvationssystemet (se Exempel 5..5, sid { x + x + x + x 4 = x x 4 =. (a Verifiera att vektorerna w = ( 4,,,, w = ( 7,4,, W. (b Lös systemet. (c Verifiera att varje lösning är en linjärkombination av w och w, dvs W är det linjära höljet av w och w så att W är ett underrum av R 4. (Härav talar vi om lösningsrum när det gäller homogena ekvationssystem.

5 VEKTORRUM 5..8. Beskriv geometriskt följande mängder i rummet (koordinater relativt någon ON-bas M = e, e M = e, e M = e, e 4 6, e 7 7, e 9 5..9. Reducera antalet vektorer som beskriver det linjära höljet (se Exempel 5.4.7, sid 5: 4 (a M = e,e,e,e 8, (b M = e,e,e,e. 4 5 5... Låt U = e,e,e, V = ex R4 : x +x +x +x 4 = och x +x +x +4x 4 = beteckna underrum av R 4. Ange underrummet U V både som hölje och lösningsrum. Ledning: Skriv U som lösningsrum (se Exempel 5.4., sid 4 5.4 Linjärt (oberoende, bas och dimension 5.4.. Vilka av nedanstående uppsättningar av vektorer i R är linjärt beroende? (se Exempel 5.4., sid (a (,, (, (b (,, (, 6 (c (,, (, 4 (d (,,(, (e (,,(,,(5, 5.4.. Vilka av nedanstående uppsättningar av vektorer är linjärt beroende? (se Exempel 5.4.7, sid 5 (a (, 7,,(,5,,(,, R (b (,,,(,,,(,,,(/,7/9,4 R

5.4 Linjärt (oberoende, bas och dimension (c (,,,,(,,,,(,,,,(,,, R 4 (d x+x, x x, +x, x P. 5.4.. Skriv vektorerna u=(,,, v=(,, och w=(x,x,x i R som linjärkombinationer av e=(,,, f=(,, och g=(,,. 5.4.4. Skriv om möjligt vektorerna u = (,4,, och v = (,, som linjärkombinationer av e = (,,, f = (,, och g = (,,. Vad är villkoret för att w = (x,x,x skall kunna skrivas som en linjärkombination av e, f, g? Tolka villkoret geometriskt. 5.4.5. Visa att vektorerna (,,,, (,,, (4,,,, (6,,,4 R 4 är linjärt beroende. Skriv (,,, som linjärkombination av de övriga. Kan (,,, skrivas som linjärkombination av de övriga? 5.4.6. Ange alla a R sådana att är linjärt beroende. (,4,a, (,,, (,a, R 5.4.7. Låt u = e a a a a, u = e a a, u = e a, u 4 = e a, vara vektorer i R 4. För vilket eller vilka värden på a är vektorerna linjärt oberoende? 5.4.8. Visa att polynomen p (x = +x, p (x = x+x, p (x = +x i P är linjärt oberoende. 5.4.9. Undersök om (5,,,, (,5,,, (,,, R 4 är linjärt beroende eller oberoende. Ange en bas för höljet av de tre vektorerna ovan och utvidga denna till en bas i R 4. (se Exempel 5.4., sid 4 5.4.. Ange en bas i vektorrummet (a M = { (x,x,x R : x +x +x = } (b M = { (x,x,x R : x = x och x = }

5 VEKTORRUM 5.4.. Ange en bas i lösningsrummet W R 4 till ekvationssystemet x + x + x + x 4 = x + x x + x 4 =. x + x + x 4 = 5.4.. Betrakta e = (,,,, e = (,,,, e = (,,,, e 4 = (,,, R 4. Vektorerna e,e,e,e 4 kallas standardbasen i R 4. (a Visa att ett godtyckligt element u = (x,x,x,x 4 R 4 kan skrivas som en linjärkombination av e,e,e,e 4. (b Låt e vara radmatrisen vars element är e,e,e,e 4, dvs e = (e e e e 4. Visa att det finns en 4 -matris X, koordinatmatrisen, så att linjärkombinationen från (a kan skrivas som en matrisprodukt mellan 4-matrisen e av vektorer och X, dvs u = (x,x,x,x 4 = ex. Bestäm X. Hur ser koordinatmatriserna till standardbasvektorerna ut? (c Betrakta u =(,,,4, u =(,,,, u =(4,,4,, u 4 =(,,, R 4. Ange koordinatmatriserna till u, u, u och u 4 med avseende på standardbasen i R 4. Är u, u, u, u 4 linjärt beroende eller oberoende. (d Betrakta det ekvationssystem du får i (c. Var i detta ekvationssystem kan du läsa av koordinatmatriserna till u, u, u och u 4? Hädanefter, om inget annat anges, så står e = (e e... e n för standardbasen i R n. 5.4.. Välj ut en bas för R bland vektorerna u = e,u = e 5,u = e 4,u 4 = e,u 5 = e 5. 8 Kan man ta tre, vilka som helst, av u,...,u 5 till bas? Motivera. (se Exempel 5.4.7, sid 5 5.4.4. I vilka av nedanstående fall är f, f, f en bas i P? (se Exempel 5.4.7, sid 7 (a f = x, f = x, f = x (b f = +x, f = x, f = x+x (c f = +x, f = x, f = +x+x (d f = 8, f = 8x, f = 8x (e f =, f = (x+, f = (x 5.4.5. Betrakta vektorrummet P bestående av alla polynom i x av grad eller lägre. Elementen,x,x,x P utgör standardbasen i P. (se Exempel 5.4.7, sid 7

5.4 Linjärt (oberoende, bas och dimension (a I analogi med uppgift 5.4. inför vi radmatrisen av basvektorer x = ( x x x. Ange koordinatmatrisen för,x,x respektive x med avseende på standardbasen i P. Jämför med koordinatmatriserna för standardbasvektorerna i R 4. Vad ser du? (b Betrakta följande polynom i P : p = +x+x +4x, p = +x+x x, p = 4 x+4x +x, p 4 = x+x +x. Ange koordinatmatriserna till p, p, p och p 4 med avseende på standardbasen i P. Är p, p, p, p 4 linjärt beroende eller oberoende. (c Jämför det ekvationssystem du får med det du fick i uppgift 5.4.(c. Vad ser du? 5.4.6. Låt e,e vara en bas i R och sätt { v = e e v = e +e. ( Visa att v,v är en bas i R. Låt u = e. Bestäm koordinaterna för u i basen v,v. (se Definition 5.4., sid 7 5.4.7. Låt e = (e e e vara en bas i vektorrummet V och låt u = e +e 4e. (a Bestäm koordinatmatrisen X e för vektorn u i standardbasen e. (b Inför en ny bas v = (v v v definierad genom v = e + e + e v = e + e. v = e + e + e Bestäm koordinatmatrisen X v för u i basen v. (se Definition 5.4., sid 7 5.4.8. Låt f = e 4,f = e,f = e,f 4 = e och u = e. Visa att f,f,f,f 4 är en bas i R 4. Ange koordinatmatrisen för u i den nya basen f. 5.4.9. Låt v,v,v vara en bas för rummet V. Vilka av följande mängder spänner upp V? (se Sats 5.4.9, sid och Sats 5.4.5, sid (a {v,v +v,v v +v } (b {v +v,v v } (c {v,v v,v +v,v +v +v }

4 5 VEKTORRUM (d {v +v +v,v v +v,v +v } Är varje mängd som spänner upp V också en bas i V? 5.4.. Vilka av följande mängder genererar P? (se Sats 5.4.9, sid och Sats 5.4.5, sid 5.4.. Bestäm en bas i rummet M = {,x,x }, M = {+x,x+x,+x }, M = {(+x,( x,+x }. M = { (x,x,x,x 4 R 4 : x +x x 4 = } och ange dess dimension.(se Exempel 5.4., sid 8 och Exempel 5.4.8(c, sid 5.4.. (a Bestäm dimensionen av de nedanstående underrummen U och V av R 4 : (se Definition 5.4.7, sid (b Är V U? (c Är V = U? 5.4.. Vektorerna U = { (x,x,x,x 4 R 4 : x +x +x +x 4 = }, V = e,e,e. v = (,,,, v = (,,,4, v = (,,, R 4 ligger i lösningsrummet W till ekvationen x x x +x 4 =. Härled ett villkor för att u = (x,x,x,x 4 skall vara en linjärkombination av dem. Spänner de upp hela W? (se Exempel 5.., sid 9 5.4.4. Låt U= e,e,e,e och sätt u=e Bestäm dimensionen av U och avgör om u tillhör U eller ej. 5.4.5. Undersök om följande likheter gäller: (a [(,,,(,,] = [(,,,(,,] (b [(,,,(,,] = { (x,x,x R : x x x = } (c [(,,,(,,] = [(,,,(,,,(,,,(,,] 6.

5.4 Linjärt (oberoende, bas och dimension 5 5.4.6. Betrakta följande underrum av R 4 : M = e,e, M = e 4 5 5,e. Visa att M = M. 5.4.7. Visa att nedanstående mängder är linjärt oberoende och fyll sedan ut dem till en bas för respektive rum: (a {(,,,,(,,,,(,,,} R 4, (b {(,,,,(,,,} R 4, (c {(,,,,(,,,} W = { ex R 4 : x x x +x 4 = }. 5.4.8. Givet vektorerna f = e, f = e 7 ange en vektor f så att f,f,f bildar en bas för R. Ange ett nödvändigt och tillräckligt villkor på f :s koordinater i standardbasen för att f skall duga som utfyllnad. 5.4.9. Ange en bas för U V om U = [(,,,(,, ] och V = [(,,,(,,]. Beskriv de ingående rummen geometriskt 5.4.. Bestäm en bas i, och dimensionen av nedanstående linjära höljen: M = [(,,,,,(,,,,,(,,,,,(,,,,,(,,,,], M = [(,,,,,(,,,,,(,,,,,(,,,,,(,,,,]. Ange en bas i, och dimensionen av M M. 5.4.. Låt p,p,p var tre polynom i P som alla har olika gradtal. Visa att p,p,p är en bas för P 5.4.. Vektorerna v,v,...,v k R n är linjärt oberoende. Vad är dimensionen av det underrum som genereras av vektorerna v v, v v,...,v k v k, v k v? 5.4.. Låt U = e 4,e,e och V = e,e,e. Bestäm ett underrum W av R 5 sådant att

6 5 VEKTORRUM dimw =, dim(w U = och dim(w V =. 5.4.4. Ange en bas och dimensionen för det underrum M av R 5 som genereras av u = e, u = e, u = e, u 4 = e samt utvidga den framtagna basen till en bas för R 5. Lös uppgiften på två olika sätt genom att följa nedanstående lösningsvägar: I. (a Bilda en linjärkombination av u,u,u,u 4 och sätt dels =, dels = godtycklig vektor. Ger två ekvationssystem med samma vänsterled och olika högerled. Överför till triangulär form (behandla båda högerleden samtidigt. LÖS INTE SYSTEMET! (b Betrakta först systemet med nollor i högerledet. Hur många nollrader får du? Hur många parametrar innehåller lösningen (lös inte systemet? Är någon av u,u,u,u 4 en linjärkombination av de andra? dimm =? Ange ett samband mellan dim M, antalet kolonner och antalet parametrar i lösningen. (c Stryk sista vänsterledskolonnen i det triangulära systemet, fortfarande nollor i högerledet. Hur ser motsvarande ursprungssystem ut? Hur förhåller sig lösbarheten i det bantade systemet till det ursprungliga systemet? Vilken linjärkombination svarar det bantade systemet mot? Vad kan nu sägas om vektorerna i denna linjärkombination? (d Nu till godtyckligt högerled. Under vilka villkor på högerledet är systemet lösbart? För ett givet högerled, vad kan sägas om högerledsvektorn ifall systemet inte är lösbart? (e Utfyllnad till bas för R 5 : Vad måste vi kräva av de element vi fyller ut med? Hur skall utfyllnaden väljas? II. (a Fyll direkt ut med fem vektorer som spänner upp R 5, tex standardbasen. Bilda en linjärkombination av alla de nio ingående vektorerna och sätt = (u,...,u 4 först.gerhomogent ekvationssystem. Överfördettatill triangulär form. (b Studera det triangulerade systemet. Hur kan du på detta se vilka av de nio vektorerna som kan skrivas som linjärkombination av de andra. Stryk kolonner, från höger, till dess du får ett entydigt lösbart system. (c Vilken linjärkombination svarar detta system mot? Vad kan sägas om vektorerna i denna linjärkombination? (d Vilka kolonner strök du? Med ledning av detta, ange en bas i M samt dimm. Fördelar, nackdelar med de olika metoderna? Diskutera.

5.5 Basbyte 7 5.5 Basbyte 5.5.. Låt e,e vara en bas i R och sätt (se sid - { f = e e f = e +e. ( Visa att f,f är en bas i R. Låt u = e f,f. 5.5.. Låt e,e vara en bas i R och sätt { f = 4e +e f = e e.. Bestäm koordinaterna för u i basen Visaatt f,f ärenbasir.vilket sambandrådermellan koordinaternarelativtbaserna e och f? (se sid - 5.5.. Visa att (,,,(,,,(,, utgör en bas för R och ange koordinaterna för (,,5 i denna bas. (se Sats 5.6., sid 5.5.4. Låt e och f vara baser i R för vilka gäller f = e + e f = e + e + e. f = e + e + e Bestäm koordinaterna för u = 4e 5e i basen f. (se Sats 5.6., sid 5.5.5. Låt e, f och g vara baser i ett vektorrum V för vilka gäller att ( ( f = e = et och g = e = et. Bestäm dimv. Ange en matris T sådan att g = f T. 5.5.6. Koordinatsambandet vid ett basbyte ges av y = x + 4x + x y = x + x + x. y = x Bestäm transformationsmatrisen som förmedlar basbytet från e till f (koordinaterna x i hör ihop med e. (se Sats 5.6., sid 5.5.7. Betrakta vektorerna u = e, u = e Bestäm, om möjligt, en bas f så att u = f, u = f 5, u = e, u = f 8 5..

8 6 EUKLIDISKA RUM 5.5.8. En ogenomskinlig parallellepiped i rummet har ett hörn i origo och tre närliggande hörn i (,,, (,,, (,,. (se Exempel 5.6., sid (a Var skär linjen L: ex = te epipeden förutom i origo? ( (b Hur av många epipedens sidytor är synliga från punkten,,? 5 5 5.5.9. Visa att polynomen x +, x, x + x+ utgör en bas för P. Låt e = ( x x = standardbasen i P och sätt f = (x+ x x +x+. Bestäm transformationsmatrisen T sådan att f = et. 6 Euklidiska rum 6. Skalärprodukt 6... Vilka av följande funktioner från R R till R är skalärprodukter på R? (se Definition 6.., sid 6 (a (u v = x y +x y + (b (u v = x y (c (u v = x y +x y +x y +x y (d (u v = x y +x y +x y +x y 6... Vilka av nedanstående operationer definierar skalärprodukter på respektive rum? (a V = C(a, b, rummet av funktioner kontinuerliga på [a, b], (f g = b a f(tg(tp(t dt där p(t > och p C(a,b. (se Exempel 6..4, sid 7 (b V = P, (f g = f(g(+f(g( +f(g(. (c V = P, (f g = f(g(+f(g( +f(g(. 6... Ange alla talpar a, b sådana att (u v = x y +x y +ax y +bx y definierar en skalärprodukt på R. (se Exempel 6..5, sid 8 6..4. Ange för vilka värden på a som (u v = x y +5x y +ax y +x y +x y +x y +x y +4x y +4x y definierar en skalärprodukt på R. (se Exempel 6..5, sid 8

6. Skalärprodukt 9 6..5. Beräkna u, v och (u v då u = (,,, v = (,, R och R utrustats med skalärprodukten (a (u v = x y +x y +x y (standardskalärprodukten, (b (u v = x y +x y +x y +x y +x y. I fortsättningen kommer vi att beteckna ett godtyckligt euklidiskt rum med E. Beteckningen R n kommer fortsättningsvis endastatt användas om det euklidiska rumsom fås dår n försetts med standardskalärprodukten som skalärprodukt. 6..6. u, v E och u+v = 5, u = och v = 4. Beräkna (u v. (se beviset av Pythagoras sats, Sats 6..8, sid 4 6..7. Låt u och v vara vektorer i ett godyckligt euklidiskt rum E. Visa (a Pythagoras sats: u v u±v = u + v, (b parallellogramlagen: u+v + u v = u + v 6..8. Låt u och v vara vektorer i ett godyckligt euklidiskt rum E. Hur förhåller sig u till v om u+v = u v. Rita figur för fallet E = R först innan du visar det allmänna fallet. 6..9. Låt u, v och w vara tre enhetsvektorer i E som uppfyller (u v =, (u w = 6 och (v w =. (a Konstruera en vektor som är ortogonal mot u och v. (Ledning: Ansätt den sökta vektorn som en linjärkombination av, tex v och w. (b Visa att u,v,w är linjärt oberoende. 6... Inför skalärprodukten (f g = i rummet P. Beräkna längden av +x. f(xg(xdx 6... Låt E vara det euklidiska rum som fås då R förses med skalärprodukten (u v = x y +x y +x y +x y. Ange en enhetsvektor v E som är ortogonal mot u = (,. 6... Låt u = (,,,4, v = (,,4, R 4. Beräkna u v och verifiera att Cauchy- Schwarz olikhet gäller. (se Sats 6..(a, sid 4 6... Visa att x +x +x +x 4 = x +x +x +x 4. Ange ett u = (x,x,x,x 4 R 4 så att likhet råder. (se Sats 6..(a, sid 4