Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard Sammanfattning Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer om vi skär en kon med ett plan. De har en många geometriska egenskaper gemensamma, vilka bl.a. ger dem lite speciella optiska egenskaper. Dessa hänger ihop med deras karakterisering som punkter med summan respektive skillnaden av avstånden till två givna punkter. Vi följer upp diskussionen med att diskutera hur en biljardklot rör sig på ett elliptiskt biljardbord.
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard 1 (8) 1 Introduktion Ellipsen och hyperbeln är kurvor man får om man skär en kon med ett plan. Det betyder att de är de kurvor som definieras av konstanta värden på ett andragradspolynom i två variabler, förutom att man i vissa speciella fall kan få en linje eller en parabel. I det här kapitlet ska vi titta närmare på dessa kurvor och diskutera deras optiska egenskaper. Och varför en parabel egentligen är en ellips. Utifrån de optiska egenskaperna följer vi sedan upp med en kort diskussion om hur biljarklot rör sig på elliptiska bord. 2 Ellipsens definition och ekvation Det finns två sätt att rent geometriskt definiera vad som menas med en ellips. Det ena bygger på kägelsnittet som antyddes i introduktionen, det andra är mer direkt. Vi uppskjuter diskussionen om kägelsnitt till sist i detta kapitel, och börjar med den alternativa karakteriseringen. Intuitivt är en ellips en tillplattad cirkel, och en cirkel är därför en ellips som inte är tillplattad. Definitionen av en ellips utgår ifrån två punkter i planet, kalla dem F 1 och F 2. Tag sedan ett snöre av längd 2a som fästs i dessa punkter. Ellipsen utgörs nu av de punkter vi kan få genom att dra ut snöret (se figuren). Med andra ord: en punkt ligger på ellipsen precis då summan av sträckorna F 1 och F 2 är lika med 2a. Av skäl som snart ska framgå kallas punkterna F 1 och F 2 för ellipsens brännpunkter. Anmärkning En cirkel är det specialfall vi får när F 1 = F 2, som då utgör cirkelns medelpunkt. Då blir a lika med cirkelns radie. F 1 F 2 Om vi vill ange en ekvation för ellipsen måste vi införa ett koordinatsystem. Vi gör det så att x-axeln går genom F 1 och F 2 och y-axeln är vinkelrät mot den och går genom punkten mitt emellan F 1 och F 2. Det innebär att koordinaterna för dessa punkter är (±c, 0) för något c. Vidare ser vi att ellipsen måste skära x- axeln i punkterna (±a, 0), och att vi har att a > c för att konstruktionen ska fungera. För att härleda ekvationen för ellipsen inför vi de två brännpunktsradierna z, w genom z 2 = (x + c) 2 + y 2, w 2 = (x c) 2 + y 2. y (x, y) z w ( c, 0) (c, 0) x Definitionen på ellipsen är då att z + w = 2a. Vidare har vi att (z w)(z + w) = z 2 w 2 = (x + c) 2 (x c) 2 = 4cx,
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard 2 (8) och stoppar vi in uttrycket för z + w i vänsterledet får vi att z w = 2cx/a. Inför vi talet e = c/a, som kallas ellipsens eccentricitet och uppfyller 0 < e < 1, så har vi därför följande ekvationer: z + w = 2a z w = 2ex z = a + ex w = a ex Stoppar vi in uttrycket för z i formeln för z 2 ovan, får vi ett samband mellan x och y som efter en kort räkning visar sig vara x 2 a 2 + y 2 a 2 (1 e 2 ) = 1. Vi kan skriva om detta om vi låter b > 0 definieras av att b 2 = a 2 (1 e 2 ), och får då slutligen ekvationen för ellipsen i detta koordinatsystem: x 2 a 2 + y2 b 2 = 1. Talet b identifieras lätt i figuren som avståndet från origo till kurvan i rent vertikal riktning. Man kallar talen a och b för ellipsens halvaxlar.. 3 En alternativ beskrivning av ellipsen Vi vet att enhetscirkeln dels kan beskrivas genom ekvationen x 2 + y 2 = 1, dels genom en parametrisering c() = (cos, sin ) (den senare innebär egentligen definitionen på de trigonometriska funktionerna). Men då ser vi att för ellipsen med halvaxlar a och b har vi att vi kan skriva x a = cos y b = sin Men vad innebär då denna parametrisering? För att se det antar vi att a > b (av bekvämlighetsskäl) och skriver x = a cos y = b sin. Då gäller att R = a + b 2, r = a b 2. (x, y) = (a cos, b sin ) = ((R + r) cos, (R r) sin ) = R(cos, sin ) + r(cos( ), sin( )). Det innebär att vi får punkten (x, y) genom att först gå R längdenheter i riktning vinkeln relativt strålen från ellipsens centrum genom den högra brännpunkten, och därifrån sedan r längdenheter i riktning.
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard 3 (8) Om vi roterar moturs betyder det att den första punkten rör sig längs cirkeln med medelpunkt i origo och radien R (röd i figuren), och samtidigt roterar slutpunkten medurs längs cirkeln med medelpunkt i denna punkt på cirkeln och radien r. Vi får alltså ellipsen genom att betrakta en punkt på en liten cirkel som roterar medurs medan dess centrum rör sig moturs längs en större cirkel. Anmärkning Denna beskrivning av ellipsen är intressant eftersom man i antiken trodde att ett perfekt universum måste vara uppbyggt av cirklar, d.v.s. planeterna roterade runt jorden i cirkulära banor. Men för att få det att passa med observationer av planeterna fick man införa att de följde cirklar som snurrar på cirklar, s.k. epicykler. Det är då intressant att veta att man på detta sätt kan få ellipser, vilket är den typ av banor vi idag vet att planeterna följer. En stor skillnad är dock att våra ellipser går runt solen, som ligger i ena brännpunkten, medan antikens astronomer utgick ifrån att jorden utgjorde världsalltets mittpunkt. Mer om epicykler finns i kapitlet Om cykloiden. 4 Ellipsens optiska egenskaper Vi ska nu titta närmare på en geometrisk egenskap hos ellipsen och dess praktiska konsekvens. Vi vet att om, Q är två punkter på samma sida om en linje L så gäller att den punkt R på L som minimierar summan R + RQ av avstånden till punkterna är sådana att R och RQ har samma vinkel mot L ( i figuren nedan). Antag nu att R + RQ = 2a. De punkter R som uppfyller denna ekvation definierar enligt ovan en ellips. Det vi ska visa är att L är tangent till denna ellips. För detta börjar vi med att observera att för varje annan punkt R på L gäller att R + R Q 2a. Att vara tangent betyder att L skär ellipsen i precis en punkt. Antag därför att det inte gäller, utan att det finns två skärningspunkter mellan ellipsen och L och mellan dem finns ett linjesegment som ligger inuti ellipsen. För en punkt R på det segmentet gäller då att R + R Q < 2a (eftersom den ligger inuti ellipsen), vilket inte är en motsägelse. Alltså är L en tangent till ellipsen. Den viktiga slutsatsen från detta är att för tangenten till ellipsen i en punkt gäller att brännpunktsradierna har samma vinkel mot denna. Det i sin tur betyder att ljud eller ljus som utgår från ena brännpunkten kommer att reflekteras till den andra brännpunkten. Oavsett var på ellipsen det reflekteras. Anmärkning Observationen att ljud som utgår från en brännpunkt reflekteras i den andra har följande konsekvens. Om vi roterar ellipsen runt linjen mellan brännpunkterna, så får vi en yta som kallas en rotationsellipsoid. Om vi delar den i två längs rotationsaxeln får vi något som kan fungera som ett tält. Sätt i detta tält upp en ljudabsorberande skiva som förhindrar att ljud går från den ena halvan till den andra utan att studsa mot väggen. Om vi då säger något när vi står i den ena brännpunkten, så kan detta endast höras i den andra brännpunkten, inte någon annanstans. Q
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard 4 (8) Den annan observation att notera är att vi kan tänka på en parabel som en ellips vars ena brännpunkt ligger i oändligheten. Ljus som kommer från den oändligheten faller in parallellt med linjen genom brännpunkterna och det som skulle definiera något som en ellips är att de reflekteras i den andra brännpunkten. Och det är precis vad som händer i en parabel! Vi kan också notera följande geometriska egenskap hos ellipsen som följer av diskussionen ovan: den består av de punkter som har samma avstånd till en given cirkel som till en punkt inne i cirkeln. Detta följer om vi betraktar den cirkel som har medelpunkt i ena brännpunkten F 1 och radien 2a. Då gäller att triangeln i figuren till höger är likbent, och att ellipsens tangent skär triangelns bas vinkelrät. Detta därför att påståendet att tangenten skär brännpunktsradierna under samma vinkel är ekvivalent med att tangenten är bissektris till triangelns topvinkel, och alltså vinkelrät mot basen, eftersom triangeln är likbent. F 1 F 2 5 Hyperbelns definition Vi kommer nu till det andra kägelsnittet i detta kapitel, hyperbeln. Den uppkommer genom att vi som tidigare tar två brännpunkter F 1, F 2, men nu ska differensen mellan avstånden vara lika med ett tal 2a. Med differensen menas här skillnaden mellan det längre och det kortare avståndet. För att härleda en ekvation för en hyperbel använder vi samma beteckningar och koordinatsystem som vi gjorde ovan när vi härledde ekvationen för ellipsen. Antag till en början att z > w så att villkoret innebär att z w = 2a. Liksom tidigare har vi att (z w)(z + w) = 4cx, men nu får vi ur det att z + w = 2cx/a Liksom ovan inför vi eccentriciteten e = c/a, vilket ger oss ekvationerna z w = 2a z + w = 2ex z = a + ex w = ex a. F 1 F 2 Notera att nu gäller att eccentriciteten e > 1. Om vi nu inför vi talet b > 0 genom b 2 = c 2 a 2, får vi som ekvationen för hyperbeln (i detta koordinatsystem) x 2 a 2 y2 b 2 = 1. De två streckade linjerna i figuren ovan är speciella. De är asymptoter till hyperbeln enligt följande definition.
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard 5 (8) Definition En asymptot till en kurva γ är en rät linje L sådan att avståndet mellan γ och L går mot noll då avståndet till origo går mot oändligheten. Anmärkning För en sned (alltså inte vertikal) asymptot med riktningskoefficient tan gäller att om det kortaste avståndet är s för en viss punkt på kurvan, så kommer avståndet i y-led att vara s/ cos (rita figur), så påståendet är ekvivalent med att skillnaden i y-led går mot noll då x. Det är nu lätt att se att de två asymptoternas ekvationer är x a + y b = 0, x a y b = 0. Om vi nämligen drar roten ur ekvationen y 2 /b 2 = x 2 /a 2 1 får vi y x b = 2 a 1 = x 1 a2 2 a x x då x, 2 a så asymptoterna ges av ekvationen x /a = y /b, vilket är ekvivalent med de två räta linjerna. I syfte att diskutera hyperbelns geometriska egenskaper börjar vi med följande problem Givet två punkter och Q på varsin sida om en rät linje L, hur ska vi välja en punkt R på L så att differensen av sträckorna R och QR är maximal. Figuren till höger visar på lösningen. är spegelbilden av i linjen, och vi ser att vi har en triangel R Q där R är en given punkt på L. Men sträckan R är lika lång som sträckan R och differensen mellan sidorna R och R Q måste vara mindre än eller lika med längden av sträckan Q. Likhet gäller precis då punkterna Q,, R ligger på en rät linje. Notera också att vinklarna R och R gör med L är lika stora. Vi resonerar nu likadant som vi gjorde för ellipsen ovan. Kalla differensen för 2a. Då gäller att linjen L är tangent till den kurva, alltså hyperbeln, som definieras av att differensen är 2a. Av detta ser vi ett par saker som kommer ur figuren nedan. För det första, en alternativ definition av hyperbeln är som de punkter som har samma avstånd till en cirkel som till en punkt utanför cirkeln. Cirkeln ifråga är cirkeln med radien 2a och centrum i F 1 och den andra punkten är F 2. För det andra, en ljusstråle med riktning mot den ena brännpunkten reflekteras i hyperbeln på sådant sätt att den hamnar i den andra brännpunkten. Notera att Q är spegelbilden av F 2 i tangenten till hyperbeln i. R Q F 1 F 2 Q R
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard 6 (8) 6 Biljard på ett elliptiskt bord De optiska egenskaperna vi har diskuterat ovan har konsekvenser för ett biljardspel på ett elliptiskt bord. Vi tänker oss ett punktformat klot av massa ett (oavsett hur vi mäter vikt) som stöts mot en ellipsformad sarg på vilken den studsar enligt den kända fysikaliska principen att infallsvinkel är lika med utfallsvinkel. Vi ignorerar all friktion och reflektionen vid sargen är fullständigt elastisk. Klotets bana är därför en polygonkurva vars alla hörn ligger på en ellips (sargen) och i dessa gäller att den ingående och utgående räta linjen har biljardegenskapen att dessa linjers vinkel med tangenten till ellipsen i skärningspunkten är lika, som i figuren till höger. Exempel 1 Vi såg ovan att för varje punkt på en ellips gäller att de två linjer som går genom brännpunkterna har biljardegenskapen. Det betyder att en biljardbana som startar i en brännpunkt kommer att reflekteras så att den går igenom den andra brännpunkt också, och därefter omväxlande går genom den ena och den andra brännpunkten. Lemma 1 Låt två linjer uppfylla biljardegenskapen på en ellips. Om en av linjerna då tangerar en ellips inuti i denna, som har samma brännpunkter, så gäller att även den andra linjen tangerar den mindre ellipsen. För att förstå konsekvensen av detta kan vi notera att om första linjestycket inte går genom sträckan mellan de två brännpunkterna, så måste klotets bana följa en väg så att den hela tiden tangerar en mindre ellips med samma brännpunkter. Vilken ellips det blir bestäms naturligtvis av i vilken riktning första stöten går. Bevis. Låt 0, 1, 2 vara punkter på den yttre ellipsen sådana att linjestyckena 0 1 och 0 2 uppfyller biljardegenskapen, att 0 1 inte skär sträckan F 1 F 2, och antag att 0 1 tangerar den inre ellipsen i punkten B. Vi vet då från ovan att 1 0 F 2 = 2 0 F 1. å samma sätt tangerar linjestycket 0 2 en ellips med brännpunkter i F 1 och F 2. Vi ska visa att dessa två ellipser är samma ellips genom att visa att sträckan F 2 BF 1 är lika med sträckan F 1 CF 2. 0 F 2 B F 2 C F 1 F 1 2 1
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard 7 (8) För detta inför vi spegelbilderna F i av brännpunkterna F i i linjerna 0 i för i = 1, 2. Vi ska då visa att trianglarna 0 F 2F 1 och 0 F 1F 2 är kongruenta. Att sidorna 0 F 1 och 0 F 1 är lika långa, liksom 0 F 2 och 0 F 2, av konstruktionssskäl. Vidare är vinkeln vid 0 för de två trianglarna lika stora av motsvarande skäl, vilket visar kongruensen enligt SVS-fallet. Vidare är sträckorna F 2 B och BF 2 lika långa, liksom sträckorna F 1 C och CF 1. Resultatet följer ur detta. å samma sätt kan vi visa att Lemma 2 Låt två linjer uppfylla biljardegenskapen på en ellips. Om en av linjerna är tangent till en hyperbel som har samma brännpunkter som ellipsen, så gäller även att den andra linjen tangerar hyperbeln. Detta betyder att om första stöten går mellan brännpunkterna på ellipsen, så kommer alla polygonsträckorna att tangera en hyperbel med samma brännpunkter som ellipsen. Vi kan sammanfatta i följande sats. Sats 1 Ett biljardklots bana på ett elliptiskt bord blir för evigt tangentiellt till en andragradskurva med samma brännpunkter. Om något segment i banan inte skär linjen mellan brännpunkterna, så gäller det alla segment och andragradskurvan är en ellips. Om något segment i banan skär linjen mellan brännpunkterna, så gäller det också alla andra segment och andragradskurvan är en hyperbel. Satsen illustreras i figurerna nedan. Det finns naturligtvis många frågor man kan ställa sig kring detta. En är Under vilka förutsättningar gäller att biljardbanan blir en sluten polygonkurva? Denna fråga besvaras av en sats av oncelet. Denna gör sig bättre i den komplexa analysen, så vi går inte in på den. Det räcker med att konstatera att om det händer för ett visst startvärde, så gäller det för alla startvärden, och villkoret för att banan är en sluten n-hörning definieras av ett villkor på den omskrivna och den inskrivna (alternativt hyperbeln) ellipsen.
Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper. Och lite biljard 8 (8) 7 Kägelsnitt Antag att vi har en dubbelkon som uppkommit genom att vi roterar en linje runt en axel, och vi skär den med ett plan. Då kommer skärningen i det planet att definiera en kurva. Sådana kurvor kallar vi kägelsnitt. För dessa finns följande möjligheter: Cirkel: om vi skär konen vinkelrät mot symmetriaxeln får vi uppenbarligen en cirkel (i ett fall får vi en punkt, alltså en cirkel med radien noll). arabel: om vi skär konen med ett plan som är parallellt med konens sida (alltså linjen som vi roterade), så får vi en parabel. Det diskuteras i kapitlet arabeln vad kan man ha den till?. Ellips: Om vi lutar planet lite mindre än i parabelfallet, så blir skärningen en ellips Hyperbel: Om vi lutar planet lite mer än i parabelfallet blir skärningen en hyperbel, med en skänkel i var konhalva. Ett raffinerat geometriskt bevis för ellipsfallet bygger på s.k. Dandelin-klot. Innan vi ser efter vad det är för något ska vi göra följande observation (se figuren till höger): Om två tangenter till en cirkel skär varandra i en punkt, så är avståndet från skärningspunkten till de två tangeringspunkterna lika stort. Det betyder också att alla tangenter till en sfär som skär i samma punkt kommer att ha lika långt från sfären till denna. Om vi nu skär konen med ett plan som lutar mindre än konen, så kan vi stoppa in ett litet klot i konen som tangerar planet och konen ovanför planet, och ett större klot under som också tangerar kon och plan. Det är dessa vi kallar Dandelin-klot och vi döper de två tangeringspunkterna i planet till F 1, F 2 och de två cirklar som utgör de punkter där klot och kon tangerar varandra för C 1 respektive C 2. Låt nu vara en godtycklig punkt på skärningskurvan mellan kon och plan och drag den räta linjen på konen som går genom både och konens vertex O. Kalla skärningspunkten mellan denna linje och cirkeln K i för Q i. När vi rör längs skärningskurvan kommer då dessa punkter att röra sig längs sina cirklar. Men nu är avståndet mellan F i och lika med avståndet från Q i till, eftersom motsvarande linjer är tangenter till samma sfär. Det betyder att summan av avstånden F 1 och F 2 hela tiden måste vara lika med Q 1 + Q 2, som är konstant eftersom ligger på linjen mellan Q 1 och Q 2.