Talteori Von Kochs kurva, även känd som snöflingekurvan, först beskriven av Helge von Koch (1904). Kochkurvan är en kurva som saknar tangent i alla punkter. Numera även känd för att vara en av de först beskrivna fraktalerna. 1 Grundbegrepp och kongruenser...1 2 Talföljder och rekursion 6 3 Induktionsbevis..14 4 Fraktaler.16 Facit.. 18 Bilder: Foton, illustrationer och konstruktioner av Nils-Göran Mattsson Vi är tacksamma för att Niklas Gyulai gett oss tillstånd att använda Java pseudokod från hans lärobok Java från A till O. (www.gyulai.se/java) Författarna och Bokförlaget Borken, 2011 Talteori - 1
1 Grundbegrepp och kongruenser Teori Grundbegrepp De hela talens teori kallas talteori. Vi har redan i de olika modulerna (kurserna) berört detta kunskapsområde. Jämna och udda tal kan sägas vara två elementära talteoretiska begrepp. Primtal och sammansatta tal är ett annat. Varje sammansatt tal kan faktoriseras i enkla tal (primtal). T ex har talet 15 primfaktorerna 5 och 3 och kan skrivas 15 = 5 3. Talet 4022 kan på samma sätt skrivas 4022 = 2 2011. Avsnittet Primtal i modulen Aritmetik är ett moment av talteorin. Tidigare (sid. 22 23 i samma modul) har vi även behandlat några algoritmer som t ex liggande stolen för divisioner, Euklides algoritm för största gemensamma faktor (SGF). Vi har sett att de hela talen kan skrivas med olika baser som t ex (734) 10 = 7 10 2 + 3 10 1 + 4 10 0 varifrån vi har skrivsättet med talet 7 i hundraposition, talet 3 i tioposition och slutligen talet 4 i entalsposition. Teorin om binära tal (basen 2) och hexadecimala tal (basen 16) finns beskriven i Tema Binära tal. Ekvationen 11x + 13y = 1 har en heltalslösning (6, 5) ty V.L = 11 6 + 13 (-5) = 1. Alltså V.L. = H.L. Ekvationer där man söker heltalslösningar kallas diofantiska ekvationer efter matematikern Diofantos som verkade i Alexandria på 200-talet e.kr. En typ av lösningar till diofantiska ekvationer behandlas i Tema Diofantiska ekvationer. I detta avsnitt behandlas Kongruenser. I avsnitt 2 behandlas Talföljder och rekursion. I avsnitt 3 behandlas Induktionsbevis. Talteori - 2
Teori Kongruensräkning Vi har ett förkortat skrivsätt för resten som fås om a divideras med m, nämligen a(mod m). Alltså är 34 (mod 6) = 4 och 40 (mod 6) = 4. Detta innebär att 40 (mod 6) = 34 (mod 6). Detta samband i sin tur kan skrivas som 40 34 (mod 6) Definition: Låt m vara ett positivt heltal. Om a b är delbart med m så säger vi att a är kongruent med b modulo m (lat. a överensstämmer med b med avseende på det lilla måttet m). Detta skrivs a b (mod m) Sats Om och endast om m >1 så gäller: a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) och b c (mod m) a c (mod m) Bevis: Vi visar endast det sista påståendet. Försök själv att bevisa de två andra. a b (mod m) och b c (mod m) ger a b = mk 1 och b c = mk 2 Ledvis addition ger a b + (b c) = mk 1+ mk 2 vilket medför a c = m(k 1 + k 2) vilket är detsamma som a c (mod m). Exemplifieringar: 13 13 (mod m) ty 13 13 = är delbart med alla positiva tal. Eftersom 13 3 (mod 5), (13 3) är delbart med 5, så är även (3 13) är delbart med 5. Eftersom 17 12 (mod 5) och 12 7 (mod 5) så är även 17 7 delbart med 5. Sats Om a b(mod n) och c d(mod n) så gäller a + c b + d (mod n) och ac bd (mod n) ka kb (mod n) a n b n (mod n) Exemplifieringar: Eftersom 19 8 (mod 11) så är även 3(19 8) = =3 19 3 8 delbart med 11. Kan du ge fler exemplifieringar? Talteori - 3
G1.1 Vilka av följande påståenden är sanna? a) 37 2(mod 7) b) 88 1(mod 7) c) 187 73(mod 3) d) 58 20(mod 13) e) 7873 7856(mod 17) f) 999999999999 19 3 19(mod 19) g) För alla heltalsvärden på a gäller 65a 2a(mod 9) h) 169 3 13 3 (mod 13) G1.2 Bestäm det minsta heltal a som är större än 7, där a 7(mod 11). G1.3 För heltalet n gäller n 5 (mod 11). Ange det minsta positiva heltal som är större än 16 för vilket påståendet gäller. G1.4 För vilka heltal m gäller a) 28 6(mod m) b) 301 233(mod m) c) 68 37(mod m) G1.5 Den 25 november 2002 var en måndag. Vilken veckodag är det den 25 nov 2035? (Hjälp: Vilka år är skottår?) G1.6 Bestäm det heltal x som ligger i intervallet 0 < x < 16, om x 1(mod 4) och x 3(mod 5). G1.7 Visa att 13 3 13 är delbart med 6. Talteori - 4
G1.8 Visa att a) 1 2 3 1(mod 5) b) 1 2 3 4 5 1(mod 7) c) 7 är delare till 15 n 8 n. G1.9 Visa att talet abcd är delbart med 3 om siffersumman a + b + c + d är delbar med 3. (Hjälp: Använd dig av sambanden: 1 1(mod 3), 10 1(mod 3), 100 1(mod 3) och 1000 1(mod 3) p 1 G1.10 Fermats lilla sats lyder a 1(mod p) för alla primtal p och alla heltal, a, som inte är multipler av p. Pröva satsen för några olika värden på a och p. a p p 1 a 1(mod p) Varför stämmer 2 3 inte en av de tre 3 7 prövningarna? 9 3 G1.11 Visa att 6 n 2 n är delbart med 4 för alla positiva heltal. V1.12 Varför är summan 3 n + 7 n en multipel av 10 för n = 3, 5, 7, 9, 11,? V1.13 En pojke har ett antal tennsoldater som är mindre än 100. När han delar dem i tre högar med lika många soldater i varje blir det en tennsoldat över, när han delar dem i fyra högar blir det två över, och när han delar dem i fem högar blir det tre över. Hur många tennsoldater har han? V1.14 Visa med två olika primtal p och q att följande kongruens gäller: p q 1 + q p - 1 1(mod pq). Talteori - 5
2 Talföljder och rekursion Teori Talföljder Vi har tidigare i modulen Förändringsfaktor stött på talföljder t ex den geometriska. Talföljder består av ett ändligt eller oändligt antal tal skrivna i en bestämd ordningsföljd. En talföljd är geometrisk om varje efterföljande tal fås ur det föregående genom multiplikation av ett bestämt tal, k (= kvoten). Talföljden är en funktion eftersom för varje positivt heltal n, finns högst ett tal a n. Den geometriska talföljden ovan kan skrivas a n = a 1 k n-1 Exempel 1 Om a 1 = 7 och k = 3 får vi a 2 = 7 3 = 21, a 3 = 7 3 3 = 63, a 4 = 7 3 3 3 = 189... Exempel 2 En talföljd är aritmetisk om till varje efterföljande tal adderas ett konstant tal. Om a 1 = 5 och d = 3 får vi a 2 = 5 + 3 = 8, a 3 = 5 + 3 + 3 = 11, a 4 = 5 + 3 + 3 + 3 = 14, Vi kan skriva fortsättningen a 5 = 5 + 4 3, där talet 3 kallas talföljdens differens (= d ). Formeln för talföljden är alltså a n = a 1 + (n-1) d Talteori - 6
G2.1 Vilka är de tre följande talen i nedanstående talföljder: a) 10, 15, 20, 25, c) 81, 27, 9, 3, 1,... b) 17, 11, 5, 1, 7,.. d) 1, 2, 6, 24, 120,... G2.2 Vilka tal fattas i följande aritmetiska talföljd: 20,,,,,, 22? G2.3 Vilka tal fattas i följande geometriska talföljd: 20,, 5,, 1,25? G2.4 Vilket tal är utelämnat i talföljden 7,, 63 om talföljden är a) geometrisk b) aritmetisk G2.5 Ange de fem första talen i följande talföljder a) a n = 3n +7 b) a n = 5/n 6 G2.6 Bestäm a 10 i den följd av tal som definieras av funktionen 2 n + n 2 an = n 1 G2.7 Vilket nummer har talet 14 i föregående talföljd? G2.8 Skriv ned de första 4 elementen i följande talföljder: a) 1 a n = n b) a n = ( 1) n c) an + 10 an+ 1 = och a1 = 2 3 d) 2 an+ 1 a1 2 a + 1 n e) a 1 = 7 och an+ 1 3an n f) a 1 a 1 = 2 och a n n+ 1 = + 2 an G2.9 Bestäm det 10:e elementet i talföljden 1000, 700, 490, G2.10 Vilken är kvoten till talföljden 2, 6, 18, 54,? G2.11 En boll studsar lodrätt mot marken från två meters höjd. Studshöjden minskar med 20% efter varje studs. Hur högt kommer bollen efter att ha studsat åtta gånger? G2.12 Vinklarna i en triangel är termer i en aritmetisk talföljd. Beräkna triangelns vinklar om en vinkel är 50. Talteori - 7
V2.13 I en aritmetisk serie är a 2 = 3 a 3. Summan av n termer med start från a 1 är 0. Beräkna n. V2.14 De tre första talen i Fibonaccitalföljden är 1, 1, 2,. De två följande finns i växterna nedan. Skriv rekursionsformeln för talföljden. V2.15 Tre tal, a, b och c vars summa är 3 bildar en aritmetisk talföljd. Talen a 2, b 2 och c 2 bildar en geometrisk talföljd. Vilken är den aritmetriska talföljden? V2.16 Vi antar att den slutna formeln till talföljden 0, 2, 5, 9, 14 är a n = bn 2 + cn + d, vilken är då formeln? V2.17 Kan du hitta någon metod för att beräkna antalet mynt som behövs för att bilda de fortsatta mönstren enligt konstruktionen nedan? Ange åtminstone antalet mynt för det 5:te, 6:te, och 7:de mönstret. 1 mynt 6 mynt 15 mynt 28 mynt V2.18 Tre tal bildar en aritmetisk talföljd med differensen 5. Vi kan bilda en geometrisk serie ur denna genom att det första talet ökas med 2, det andra med 3 och det sista med 6. Vilken är den aritmetiska serien? Talteori - 8
får Modell Rekursion Vi konstaterar att vår tidigare nämnda aritmetiska talföljd kan definieras på två olika sätt, antingen a 1 = 5 och an+1 = an + 3, en rekursionsformel eller a n = a 1 + (n-1) 3 (en sluten formel) Exempel Bestäm en rekursionsformel för talföljderna: a) 12, 15, 18, 21, 24, c) 3, 6, 12, 24, 48, 96,. b) 5, 20, 80, 320, 1280,. d) 3, 4, 8, 17, 33, 58,... Lösning a) Skillnaden mellan två närliggande element är 2. Alltså a 1 = 12 och a n+1 = a n + 2. b) Varje efterföljande element har vi fått genom att multiplicera det föregående talet med 4. Alltså a 1 = 5 och a n+1 = a n 4 c) Varje efterföljande element har vi fått genom att multiplicera det föregående talet med 2. Alltså a 1 = 3 och a n+1 = a n ( 2) d) Skillnaden mellan två närliggande element är kvadraten på närmast föregående tals nummer i följden. Alltså a R R1 = 3 och a R Rn+1 = a RnR + np2 a 2 G2.19 Beräkna 10 element ur den rekursiva formeln a n n+ 1= + 2 an med en räknare om ar1r=3. (Hjälp: Tryck in talet ar1r=3 och därefter Enter. ar2r du genom att trycka Ans/2+2/Ans. Nu trycker du på Enter tills du fått tio tal i följden på skärmen. Under kommandot Iteration i GeoGebra finns en bra räknare av iterationer. Talteori - 9
G2.20 Den första termen i en aritmetisk serie är 3. Summan av de sex första termerna är 4 gånger större än summan av de tre första termerna. Beräkna differensen. Ingen lösning finns i facit. G2.21 Finn en rekursionsformel för a) 7, 14, 28, 56, 112, b) 1, 5, 14, 30, 55, c) 11, 16, 21, 26, 31, d) 2, 4, 8, 16, 32, 64, e) 16000, 4000, 1000, 250, f) 1, 8, 27, 64, G2.22 Ange en sluten formel för a n om a) a n+1 = 2a n och a 1 = 2 b) a n+1 = a n + 7 och a 1 = 5 c) a n+1 = 2a n + 1 och a 1 = 0 (Du känner igen denna rekursionsformel om du studerar Hanois torn.) d) a n+1 = 2a n 1 och a 1 = 2 Talteori - 10
Teori Algoritmer stegvis och i pseudokod En algoritm är en följd av instruktioner som i ett ändligt antal steg anger hur man utför en beräkning eller löser ett bestämt problem. En algoritm skall tydligt visa: Vilka data vi skall börja med (t ex en division mellan talen 132 och 11). Algoritmen skall ange de enskilda steg som skall tas för att lösa problemet (t ex den liggande stolen vid division). Det bör dessutom framgå hur vi skall avbryta algoritmen och ange ett resultat. En viktig fördel med en algoritmisk lösningsmetod är att problemet lätt kan datorbehandlas. Algoritmer innehåller en eller flera av följande komponenter: Sekvenser (följder) av beräkningssteg Villkor Iterationer (upprepningar) Lagring av mellanresultat Pseudo Java I programmeringsspråket Java, liksom många andra språk finns en metod att programmera algoritmer med villkorssatser. En algoritm i Java inleds med orden public static void följt av algoritmens namn. Beskrivningen av algoritmen inleds och avslutas med måsvingar, {, }. Vi skriver följande kanske inte helt korrekta program: public static void Kaffe( ) { int temp:= 93; if (temp > 95) System.out.println ( Kaffet kokar snart över! ) else System.out.println( Kaffestatus: OK ) } Programmet tilldelar variabeln temp (med tecknet :=), som är ett heltal (Integer), Int, värdet 93 grader. Om detta värde är större än 95 så skrivs Kaffet kokar snart över! på skärmen. Om inte värdet är större än 95 så skrivs ( Kaffestatus: OK ) Talteori - 11
Exempel Stoppsträckan är den sträcka som en bil rör sig från det ögonblick en fara uppmärksammas tills bilen stannar. Stoppsträckan s m beräknas med formeln s = 0,3v + 0,006v 2 där v är bilens fart i km/h. Vilka steg skall utföras om en algoritm skall kontrollera det inmatade värdet och skriva För hög fart om stoppsträckan är större än 40 m? Lösning 1. Mata in ett värde på v (med enheten km/h). 2. Beräkna s med formeln s = 0,3v + 0,006v 2. 3. Om s > 40 skriv på skärmen För hög fart, annars skriv Farten är OK. 4. Slut Låt oss skriva algoritmen i PseudoJava: public static void Fart( ) { Real fart:= 80; Real sträcka:= 0,3 fart + 0,006 (fart) if (sträcka > 40) System.out.println( För hög fart ) else System.out.println( Farten är OK ) } Vi skulle t ex med denna pseudokod kunna få följande resultat med olika inmatade farter, alltså inte bara farten 80: fart (km/h) sträcka (m) Println 80 62,4 För hög fart 40 21,6 Farten är OK 60 39,6 Farten är OK Som exempel på en algoritm med iteration (upprepning) ger vi följande enkla program: public static void Hej( ) { int n:= 0 for( n < 20; n:= n + 1) System.out.println( Hej ); } Programmet tilldelar variabeln n, som är ett heltal, Int, värdet 0. Om detta värde är mindre än 20 så skrivs Hej på skärmen. Värdet 0 tilldelas nu ett värde som ökas med 1, dvs 0 + 1 som blir 1. Talteori - 12
Proceduren börjar därefter om igen. 1 är mindre än 20 och alltså skrivs Hej. Så småningom tilldelas n värdet 20 och upprepningen upphör. Hur många Hej skrivs ut? Teori Fakultet(n) som rekursiv algoritm Man kan definiera n! eller fakultet(n) rekursivt på följande sätt: 1 om n = 0 fakultet( n) = n fakultet( n 1) om n > 0 Vi skriver en pseudokod för beräkning av n! public static int Fakultet( int n) { if (n = 0) Return (1) else Return(n Fakultet(n-1)) } Return innebär att värdet innanför parentes returneras till metoden int Fakultet Hur sker då beräkningarna i denna rekursiva algoritm, t ex för n = 3? Fakultet(3) = 3 fakultet(2) = 3 2 = 6 fakultet(2) = 2 fakultet(1) = 2 1 = 2 fakultet(1) = 1 fakultet(0) = 1 1 = 1 Rad 1 ger bara resultatet 3, fakultet(2) måste beräknas. Rad 3 ger bara resultatet 2, Fakultet(1) måste beräknas. Rad 5 ger både fakultet(1) och fakultet(0) och därmed produkten 1. Denna etta förs upp till rad 2 och ger 2 som förs upp i rad 1 med slutresultat 6. Talteori - 13
3 Induktionsbevis Teori Induktionsprincipen Antag att P(n) är ett påstående med variabeln, heltalet n. n nn ( + 1) Pn ( ) : k = är ett sådant påstående. 2 k= 1 nn ( + 1) (1) Detta betyder utan summatecken: 1+2+3+4+...+ n =. 2 Vi antar dessutom att formeln gäller för n = 1 vilket tycks vara fallet 1(1 + 1) med vårt exempel ty V.L.=1 och H.L. = = 1 vilket ger VL=HL. 2 (2) Om dessutom P(n) är sant för något tal n större än 1 så är även P(n+1) sant. Under dessa två förutsättningar säger induktionsprincipen att P(n) är sant för varje heltal n större än 1. (Detta verkar högst rimligt ty om P (1) så gäller P(2) så gäller P (3) osv i all oändlighet.) Exempel 1 Bevisa påstående ovan med induktionsprincipen Lösning (1) Vi har redan visat att P (1) stämmer. (2) Vi antar att P(n) är sant. 1 + 2 + 3 +... + n = n (n + 1) / 2. Vi visar nu att P(n+1)stämmer genom att addera (n+1) till bägge leden. 1 + 2 + 3 +... + n + (n +1) = n(n + 1)/2 + (n +1) = =n(n + 1)/2 + 2(n +1)/2 = [bryt ut (n + 1)] = (n +1)(n/2 + 2/2)= =(n +1)(n+ 2)/2 vilket är detsamma som påståendet P (n +1) dvs villkor (2) är uppfyllt. Alltså gäller P(n) för alla n. Talteori - 14
Exempel 2: Vi ser att 6 1 =6, 6 2 =36, 6 3 =216, dvs de 3 första heltalspotenserna av 6 har slutsiffran 6. Vi bevisar att detta gäller för alla positiva heltalspotenser 6 n. (1) 6 1 =6 har slutsiffran 6. (2) Vi påstår att detta är sant för n, dvs 6 n har slutsiffran 6. Tal med denna slutsiffra kan skrivas 6 n = 10k + 6 där k är ett heltal. Om detta antagande gäller har vi för 6 n+1 får vi 6 n+1 = 6 6 n = 6(10k + 6) = 60k + 36 = 60k + 30 + 6 = 10(6k + 3) + 6 dvs, 6 n+1 har också slutsiffra 6. Eftersom vi har visat att påståendet gäller för n=1 samt att antagandet att påståendet gäller för n medför att det också gäller för n+1, följer ur induktionsprincipen att påståendet gäller för alla heltal n=1,2,3,... G3.1 Bevisa att 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = n (n + 1)(2n + 1)/6 för alla heltal. G3.2 Visa att n 3 + 2n är delbart med 3 för alla positiva heltal. G3.3 Visa att n! > 2 n för alla positiva heltal n större än eller lika med 4. V3.4 Vi kan lätt kontrollera följande likheter: 1 3 = 1 och 1 3 + 2 3 = 9 Kan du formulera en generell regel för summan av kuber? Kan du bevisa den? 1 3 + 2 3 +... + n 3 =?? V3.5 Visa att 11 n 4 n är delbart med 7 för varje n=1,2,3,.. Fundera på detta Antag att du fått 20 piller för att bota en allvarlig sjukdom. Tyvärr är ett av pillren dödligt giftigt. Den enda skillnaden mellan pillren är vikten. Det dödliga pillret är antingen tyngre eller lättare än de övriga. Kan du med tre mätningar på en balansvåg ta reda på vilket det dödliga pillret är? Antag att du har 5 påsar med många pärlor i varje. Antalet pärlor i varje påse skiftar. Alla pärlor väger 5 g styck utom pärlorna i en påse som väger 6 g styck. Kan du med bara en vägning på en digitalvåg, bestämma vilken påse som innehåller de tyngre pärlorna? Du får hälla ut pärlorna ur påsen på ett bord om du tror att det hjälper dig men det varken syns eller känns på pärlorna vilka som är tyngst. Talteori - 15
4 Fraktaler Modell Iteration av matematiska funktioner Exempel med lösning Låt oss se på funktionen f(x) = x. Vi utför en iteration genom att använda oss av Ans-verktyget för iterationer på en avancerad räknare samt startvärdet x = 12. Skärmbild från miniräknare 12 (Enter) 3.464101 1.861209 1.364261 Vilket värdet går iterationen mot då antalet iterationer växer över alla gränser? Pröva med olika startvärden. V4.1 Antag att vi har en funktion g(x) = x 2. Pröva med olika startvärden, negativa tal eller positiva tal, tal större än 1, mindre än 1 och se mot vilket värdet går iterationen mot då antalet iterationer växer över alla gränser. 1 V4.2 Antag att vi har en funktion h(x) =. Vad händer med x iterationerna då antalet iterationer växer över alla gränser om startvärdet är x = 1? V4.3 Antag att vi har en funktion h(x) = x(1 x). Vad händer med iterationerna då antalet iterationer växer över alla gränser om startvärdet är x = 1? Definition Mängden av startpunkten (startvärdet) tillsammans med alla dess iterationer kallas startpunktens bana (eng. orbit). Talteori - 16
Bana för startvärdet x = 2 till g(x) = x 2 är {2, 4, 16, 256, 65536, }. I uppgifterna ovan hände något av alternativen: Banan flyr mot oändligheten. Banan dras mot en punkt (attraktor) vilket innebär att (i) banan kommer närmare och närmare ett visst värde, (ii) banan rör sig först för att till slut stanna vid ett visst värde (iii) banan rör sig inte alls. Banan är periodisk, dvs banan går fram och tillbaka mellan två värden. V4.4 Vilka banor finns till funktionen f(x) = x 2 + c, där c = 0,25? V4.5 Vilka banor finns till funktionen f(x) = x 2 0,5? V4.6 Har någon av banorna i de två föregående uppgifterna någon attraktor? Exempel Vi använder komplexa tal i stället för reella tal. Vi undersöker f(z) = z 2 + c. Formeln är i detta fall grunden för s k Juliamängder. Värdet på c bestämmer utseendet av Juliamängden. Antag att vi har funktionen f(z) = z 2 0,1 + 0,8i. De komplexa talen i vår iteration kallar vi a + bi. Vi färgar startpunkterna med olika färger beroende på 2 2 hur snabbt banan (orbit) flyr, dvs a + b går mot oändligheten och vi färgar startpunkten svart om banan inte flyr. Denna färgning av startpunkterna ger nedanstående figur. Vi lämnar nu åt dig att undersöka fraktaler, en bra plats för detta är: Fractal Modeling Tools Stimulation Software A Java version of the Fractal Microscope Formula: z^2 + c; Julia seed, c: Talteori - 17
Facit 1.1 a) c) d) e) f) g) h) 1.2 Det minsta heltalet a är 18. 1.3 27 1.4 a) 2 och 22 b) 2, 4, 17, 34 och 68 c) 31 1.5 33 år med 365 dagar plus 1 dag för varje skottår: 2012, 2016, 2020,2024, 2028 och 2032 ger 12051 dagar. Beräkna nu 12051(mod7) = 4. Alltså är den 25 nov 2035 en fredag 1.6 Det heltal som uppfyller de båda villkoren är 13 1.7 Visa att 13 3 13 0(mod 6). Eftersom 13 13 (mod 6) är 13 3 13 +13 13 (mod 6) Û 13 3 13 (mod 6) Û 13 2 1 (mod 6) vilket är korrekt. 1.8 a) är ekvivalent med 6 1 (mod 5) som är korrekt. b) 120 1 (mod 7) som är korrekt. c) 15 8 (mod 7) vilket ger 15 n 8 n (mod 7) 1.9 1 1(mod 3), 10 1(mod 3), 100 1(mod 3) och 1000 1(mod 3) vilket ger d d (mod 3), c 10 c(mod 3), b 100 b(mod 3) och a 1000 a(mod 3). Alltså gäller d + c 10 + b 100 + a 1000 d + c + b + a(mod 3). Vilket är detsamma som abcd d + c + b + a(mod 3). 1.10 Den sista raden stämmer inte och mycket riktigt a är en multipel av p 1.11 6 n 2 n 0 (mod 4) Û 6 n 2 n (mod 4) Û 6 2 (mod 4) vilket är korrekt 1.12 7 3 (mod10) Û 7 n ( 3) n (mod10)û7 2m+1 ( 3) 2m+1 (mod10) Û 1.13 58 2.1. a) 30, 35, 40 Û7 2m+1 ( 3) 2m+1 (mod10) Û 7 2m+1 3 2m+1 (mod10) Û Û7 2m+1 + 3 2m+1 0 (mod10). 3 n + 7 n en multipel av 10 för n = 3, 5, 7, 9, b) 13, 19, 25 c) 1/3, 1/9, 1/27 d) 720, 5040, 40320 2.2 13, 6, 1, 8, 15 2.3 10 och 2,5 2.5a 10, 13, 16, 19, 22 2.4 Aritmetisk = 35; geometrisk = 21 2.5b 1, 3,5, 13/3, 4,75, 2.6 12 2.8 a) 1, 1/2, 1/3, 1/4 b) 1, 1, 1, 1 c) 2, 4, 14/3, 44/9 d) 2, 2/3, 6/5, 10/11 e) 7, 22, 68, 207 f) 2; 3/2; 17/12, 577/408 Talteori - 18
(n + = = = = = 2.9 40,353607 (ungefärligt värde) 2.10 Kvoten = 3 2.11 36 cm 2.12 Varför finns det bara lösningen 50, 60 och 70? 2.13 Den aritmetiska serien är a 1, 3 a 3, a 3.. Detta innebär att a 1 = 5 a 3 eftersom differensen är konstant = 2 a 3. Om vi skriver termerna en och en så blir summan noll för 5 a 3 + 3 a 3 + a 3 + ( a 3) + ( 3a 3) + ( 5a 3). Alltså är n = 6 2.14 F 0 = F 1 =1 och F n = F n-1 + F n-2 2.15 Summan är tre ger a + d = 1 Alltså är d = 1 a. Alltså är talen a, 1, 2 a. Om vi kvadrerar dessa får vi a 2, 1, (2 a) 2 eller expanderat: a 2, 1, 4 + a 2 4a. Detta är en geometrisk serie eller talföljd, alltså 2 1 4 + a - 4a 2 4 3 4 3 2 = 4 a + a - 4a = 1 a - 4a + 4a 1= 0 2 a 1 4 3 2 2 2 a = 1 är en dubbellösning och division ger a 4a + 4a 1 = ( a 2a+ 1)( a 2a 1) 2 Ekvationen ( a 2a 1) = 0 har lösningarna a = 1± 2. Endast lösningen a = 1 2 duger, varför? 2.16 Användandet av den slutna formeln ger: a 1 = b + c + d osv ger (1) 0 = b + c + d (2) 2 = 4b + 2c + d (3) 5 = 9b + 3c + d Ekvationerna (1) och (2) ger 2 = 3b + c Ekvationerna (3) och (2) ger 3 = 5b + c med lösningen b = 0,5 och c = 0,5 Alltså d = -1 med den slutna formeln: a n = 0,5n 2 + 0,5n 1. Du kan kontrollera att detta även stämmer för a 4 a 5 2.17 45, 66 och 91 2.18 Antag att den aritmetiska serien är a, a+5, a+10. Den geometriska blir då a+2, a+8, a+16 vilket ger ekvationen (a+8)/(a+2)=(a+16)/(a+8) med lösningen a = 16. Den aritmetiska serien är 16, 21, 26 2.21. a) a n+1 = a n 2 med a 1 = 7 e) arn+1r = arnr ( 1/4)med ar1r 2 b) arn+1r = arnr + 1)P Pmed 1600 ar1r 1 n + 1 3 f) arn+1r = arnr ( ) med ar1r 1 c) arn+1r = arnr 5 med ar1r 11 n 2 d) arn+1r = arnr ( 2)med ar1r Talteori - 19
2.22 a) a n =2 2 n-1 b) a n = 5 + 7(n-1) c) a n = 2a n-1 + 1= 2(2a n-2 + 1) + 1 osv till: a n = 16a n-4 + 8 + 4 + 2 + 1 a n = 2 4 a n-4 + 2 3 + 2 2 + 2 + 1 osv till: a n = 2 n-1 a 1 + 2 n-2 + 2 n-3 + 2 n-4 +.1 = 2 n-1 a 1 +(2 n-1 1) Eftersom a 1= 0 får vi a n = 2 n-1 1 d) Utnyttja c): a n = 2 n + 2 n-1 1) 3.1 P(n) =1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/ 6 P(1) är sant ty VL = 1 2 = 1 och HL = 1 (1 + 1)(2 1 + 1)/ 6 = 1. Vi antar nu att P(n) är sant. 1 2 + 2 2 + 3 2 +.. + n 2 = n(n + 1)(2n + 1)/ 6. Vi visar att P(n+1) är sant genom att addera (n + 1) 2 till bägge leden 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 + (n + 1) 2 = n(n + 1)(2n + 1)/ 6 + (n + 1) 2 Bryt ut faktorn (n + 1) ur högra ledet samt gemensam nämnare 6 ger = (n + 1)[n(2 n + 1)+ 6(n + 1) ]/6. Expansion av täljaren ger = (n + 1) [ 2 n 2 + 7 n + 6 ] /6. Faktorisera 2n 2 + 7n + 6 = (n + 2)(2n + 3) = (n + 1) [ (n + 1) + )(2(n + 1) + 3) ] /6 = (n + 1)[(n + 2)(2n + 3)]/6 Vi började med P(n) och har visat att 1 2 + 2 2 + 3 2 +... + n 2 + (n + 1) 2 = (n + 1)[(n + 2) (2n + 3) ] /6. Vilket är påstående P(n + 1). 3.2 P(n): n 3 + 2n är delbart med 3 P(1) = 3 är delbart med 3. Vi antar nu att P(n): n 3 + 2n är delbart med 3. Detta är ekvivalent med n 3 + 2n = 3M där M är ett positivt heltal. Låt oss expandera uttrycket (n + 1) 3 + 2 (n + 1)= n 3 + 3 n 2 + 5 n + 3 = [ n 3 + 2 n] + [3 n 2 + 3 n + 3] = 3M + 3 [ n 2 + n + 1 ] = 3[ M + n 2 + n + 1 ] Alltså är även (n + 1) 3 + 2 (n + 1) delbart med tre. 3.3 Först visar vi att P(4) är sant. 4! = 24 0ch 2 4 = 16. Alltså gäller P(4). Vi antar att P(n) är sant: n! > 2 n. Nu multiplicerar vi bägge led med n + 1 vilket ger n!( n + 1)> 2 n (n + 1). Vänstra ledet är nu (n + 1)! För n > 4 gäller n + 1 > 2. Eftersom vi bevisat både n!( n + 1)> 2 n (n + 1) and 2 n (n + 1) > 2 n + 1 kan vi skriva (n + 1)! > 2 n + 1. Vi har alltså bevisat att påståendet P(n +1) är sant. Talteori - 20
3.4 Det finns kanske många sätt att upptäcka formeln, så här upptäckte jag den: 1 3 =1 2 och 1 3 + 2 3 = 3 2. Första tanken är att 1 3 + 2 3 + 3 3 = 4 2. Detta stämmer inte ty VL=36 och HL=16. HL är 6 i kvadrat (1 3 + 2 3 + 3 3 = 6 2 ). Djärv tanke: i röd formel är 1+2=3 och i grön formel är 1+2+3=6. Det tycks även stämma för högre siffror. Vi vet att formeln för den aritmetiska summan är 1+2+3.+n= n (n + 1)/ 2. Vi satsar på den formel som alltså skall kvadreras. P(n) definieras utifrån 1 3 + 2 3 + 3 3 +... + n 3 = n 2 (n + 1) 2 / 4 P(1) är sant ty VL = 1 3 = 1 och HL = 1 2 (1 + 1) 2 / 4 = 1 Vi visar att P(n+1) är sant genom att addera (n + 1) 2 till bägge leden. Vi antar nu att P(n) är sant. 1 3 + 2 3 + 3 3 +... + n 3 = n 2 (n + 1) 2 / 4. Vi visar att P(n+1) är sant genom att addera (n + 1) 2 till bägge leden 1 3 + 2 3 + 3 3 +... + n 3 + (n + 1) 3 = n 2 (n + 1) 2 / 4 + (n + 1) 3 Bryt ut faktorn (n + 1) ur högra ledet: (n + 1) 2 [n 2 / 4 + (n + 1)]. Skaffa genensam nämnare, 4, och gruppera om. (n + 1) 2 [n 2 + 4 n + 4 ] / 4 = (n + 1) 2 [ (n + 2) 2 ] / 4 = (n + 1) 2 [ (n + 1)+1) 2 ] / 4. Vi började med P(n) och har visat att 1 3 + 2 3 + 3 3 +... + n 3 + (n + 1) 3 = =(n + 1) 2 [(n + 2) 2 ] / 4. Vilket är påstående P(n + 1). 1 1 3.5 Vi har att 11 4 = 11 4 = 7 är delbart med 7. n n Vi antar att 11 4 = 3 7 (delbart med sju) också delbart med 7. n+ 1 n+ 1 n n n n n n n 11 4 = 11 11 4 4 = (7 + 4) 11 4 4 = 7 11 + 4 11 4 4 = n n n n n = 7 11 + 4(11 4 ) = 7 11 + 4 7k = 7(11 + 4 k) n+ 1 n+ 1 Detta innebär att även 11 4 är delbart med 7 VSB 4.1 gränsvärdena går mot + eller - 4.2 h(x) pendlar mellan 1och 1 4.3 värdena har gränsvärdet 0 4.4 Förmodligen 0,5 och 4.5-0,366 och 4.6 Attraktorer är 0,5 och -0,366 Talteori - 21
Talteori - 22