Modellering och problemlösning LGMA65

Transkript

1 Modellering och problemlösning LGMA65 Total elförbrukning i Sverige i GWh Total elförbrukning i Sverige i GWh gigawatttimmar 1.7 x Historisk Historisk data från SCB SCB Antal månader efter 1:a januari 1990 till mars 2000 Antal månader efter 1:a januari 1990 In-layer Hidden layer Out-layer Known variables Variables to be predicted

2 Föreläsning Kursinformation Vetenskapliga modeller Funktioner och ekvationer som modeller Kurvanpassning Mathematica

3 Kursintroduktion LGMA65 En översikt över matematisk modellering Översätta verkliga problem till matematiska problem (matematisk modellering) Systematiskt angripa komplexa och okända problem (problemlösning) Omsätta egna kunskaper till undervisningssituationer

4 6 veckomoduler 1. Modeller, funktioner och ekvationer 2. Optimering 3. Dynamiska modeller 4. Sannolikhetsmodeller 5. Spelteori 6. Rumsliga modeller

5 Föreläsningar Måndag: introduktionsföreläsning Nästföljande onsdag: uppföljningsföreläsning där lösningar och fördjupning presenteras Gå endast på uppföljning om du lämnat in lösningarna Allt kursmaterial presenteras på föreläsningarna (ingen kursbok)

6 Övningar Till varje modul hör en uppsättning övningsuppgifter (5-8 st) Syftet är att utveckla er problemlösningsförmåga (realistiska/svåra problem) Ni ska arbeta i par där båda studenterna förväntas aktivt arbeta för att lösa problemen (~ 20 timmar/vecka) I många fall finns flera riktigt lösningar, men att nå en lösning är inte ett krav för godkänt

7 Mer om övningar Sök inte efter lösningar på nätet och ta inte emot lösningar från andra grupper (då lär ni er inget) Om ni använder externa källor ange detta i rapporten Under handledningen kommer vi hjälpa er framåt i problemlösningsprocessen Lösningarna (inte bara svaren) redovisas skriftligt. Använd skisser, diagram, ekvationer Retur vid inkompletta lösningar Läs mer på kurshemsidan!

8 Examination Inlämning av lösningar för varje modul Avslutande uppsats där ni reflekterar kring kursen och vad ni lärt er i termer av problemlösning och modellering (~ 8 sidor) Mer om uppsatsen mot slutet av kursen Läs om betygssättning på kurshemsidan

9 Kurslitteratur Ingen obligatorisk litteratur Slides+anteckningar från introduktionsföreläsningarna kommer läggas ut på kurshemsidan Rekommenderad läsning: Vetenskapliga modeller, Gerlee & Lundh A first course in mathematical modeling, Giordano, Weir & Fox How to solve it, Polya

10 Schemaändring Vecka 39 är jag bortrest ons-fre och föreslår följande ändring i schemat: Uppföljning 23:e sep kl 13:15 > 22:e sep kl 13:15

11

12 Vetenskapliga modeller

13 p c = 2 D Modeller finns överallt e pk = pk =1h=1 = 1.5 D = 0.5 v(x, t) = V (z), 1 + pk+1 h2 = Dr2 v + v(1 REVIEWS = D 2 + DV 00 + cv 0 + V (1 V ) = 0 z=x ct V0 =U U0 = 1 D( cu V (1 V )) B 0 0 B J(0) 2/ (qm + µ ) 2qp / 2qm / 2(qp + µ)/ 1 0 2c/ 0 Figure 2 Yeast protein interaction network. A map of protein protein interactions18 in Saccharomyces cerevisiae, which is based on early yeast two-hybrid measurements23, illustrates mathemat much-inves a fixed num other (BOX 2 is its democ degree, or c Because, in among the only a few l random ne distributio roughly the to the netw the average links than < Despite cate that th the topolo deviations signatures, contrast to social and t with a give probabilit follows P(k its value fo (REF. 15). Ne c

14 Modellering är ett hantverk

15 Vi tänker modeller

16 Modeller som karikatyrer Den mest verklighetstrogna modellen är sällan, eller snarare aldrig, den bästa för att beskriva ett givet fenomen

17 Modeller har många syften Modeller är: -Agentbaserade modeller -Modeller inom biologi Verktyg för att inhämta ny kunskap Behållare för erhållen kunskap Verktyg för prediktion -Värmeledningsekvationen -Navier-Stokes -Statistiska modeller -Vädermodeller (NS) -Skalmodeller Hur vi bedömer en viss modell beror på vårt perspektiv

18 Philip Gerlee är forskare i biomatematik vid Göteborgs universitet. Han började sin akademiska bana med studier i teknisk fysik på Chalmers tekniska högskola, för att sedan doktorera inom ämnet matematiska modeller av tumörtillväxt vid University of Dundee i Skottland. modeller tomer och vita lögner ucera begreppet på ett intuitivt plan, genom att dra ler och konstnärliga representationer, och fortsätter som sträcker sig från 1600-talet till nutid. Vi diskustruktionsprocessen och balansen mellan enkelhet nebär, vilket i sin tur är kopplat till avvägningen melh en förutsägande. För att belysa skillnader mellan senteras också en intervjustudie där forskare från tio ver sin relation till modeller. Avslutningsvis innehålska modeller från flera discipliner beskrivs i detalj. ge en övergripande introduktion till vetenskapliga ler är uppbyggda samt hur de används inom vetenkså att den kan tjäna som inspiration till nya modelnterdisciplinära samtalet. Vetenskapliga modeller SVARTA LÅDOR, RÖDA ATOMER OCH VITA LÖGNER Vetenskapliga modeller ygsskrov i miniatyr, en matematisk ekvation och en e är alla exempel på vetenskapliga modeller som ang för att beskriva vår omvärld och gör det möjligt för lj studera ett visst fenomen. Philip Gerlee och Torbjörn Lundh mers gs unieknisk erat i, Camr med d till studenter på landets ingenjörs- och naturveer på lärarhögskolorna, men även till dig som har h vill få en översikt av modellering i stort och olika nerhet. e Art.nr ##### Philip Gerlee och Torbjörn Lundh

19

20 Ekvationer som modeller Många idealiserade system kan beskrivas med hjälp av funktioner som kopplar samman olika variabler: Newtons 2:a lag Gravitationen mellan två kroppar Kraften mellan laddade partiklar I vissa fall kan även beteendet hos komplexa system beskrivas med hjälp av enkla matematiska uttryck (hur avgör vi detta?) Ett barns längd kan uppskattas som föräldrarnas medellängd Bakterier växer exponentiellt

21 Proportionalitet och dimensioner Det enklaste möjliga sambandet mellan två variabler är proportionalitet Skrivs y x, och betyder y=cx Ibland behöver variabler transformeras för att proportionalitet ska synas (y=e x ) Om y beror på flera variabler kan deras dimension utnyttjas för att hitta ett samband dimensionen av VL = dim. av HL

22 Modellering med kurvanpassning Hur skulle en detaljerad modell för Sveriges elförbrukning se ut? Ett alternativ är att släppa detaljer helt och förlita sig helt på historiska data och ur dessa skapa en förutsägelse Total elförbrukning i Sverige i GWh Total elförbrukning i Sverige i GWh gigawatttimmar 1.7 x Historisk data från SCB Historisk data från SCB Antal månader efter 1:a januari 1990 till mars 2000 Antal månader efter 1:a januari 1990

23 Tidsseriemodell Observationer: oscillerande, sakta stigande linjär del periodisk del y a bx c cos x d, rametrar som ska optimeras, eller pa E y h x y m x x stående metod kommer vi f y x cos x

24 Total elförbrukning i Sverige i GWh Total elförbrukning i Sverige i GWh 1.8 x Antal månader efter 1:a januari 2012 Avvikelsen i GWh mellan vår modell och verkligheten Avvikelsen i GWh Prediktion Prediktion av av elförbrukning Antal månader efter 1:a januari 1990 Skillnaden Skillnaden mellan mellan verkligheten och modellen och modellen Antal månader efter 1:a januari 2012 Antal månader efter 1:a januari 2000 utfall historia modell