Analys av höjdmodeller

Transkript

1 Dan & Kristina Klang Hemlingby, Gävle Analys av höjdmodeller - för översvämningsmodellering - Höjdprofiler för modellering av översvämning.

2 Innehållsförteckning 1 Inledning Projektbeskrivning Förutsättningar Referenssystem Begrepp Utbredning Laserdata Leica systems ALS Simulering av laserdata Referensdata Laserpunkter Höjdmodell Profiler Metodbeskrivning Simulering relaterad till flyghöjd Framställning av höjdmodell Viktat medelvärde Finita element - FEM Kontroll av systematiskt planfel Kontroll av höjdmodeller genererade från simulerade data Kontroll av höjdmodell och interpolation Kontroll av simulerade fel Kontroll av profiler Resultat och diskussioner Höjdmodeller Hur påverkas noggrannheten i höjdmodellen av ökad flyghöjd? DEM kvalitet, influens från simulerade planfel DEM kvalitet, influens från simulerade höjdfel DEM kvalitet, influens vid varierande täthet DEM kvalitet, totalt Effekt av olika interpolationsmetoder Profiler Slutsatser Förslag till fortsatta studier Tillkännagivanden Kontaktuppgifter Referenser Bilagor 1

3 1 Inledning Vilken kvalitet skall vi ha på höjdmodellen? och Vad är det för kvalitet på höjdmodellen? är ständigt återkommande frågor vid insamling, bearbetning och analys av geografiska höjddata. Frågorna är mycket relevanta men svaren varierar påtagligt beroende på vem de ställs till. Skälet till de stora variationerna på svaren är bland annat att det inte är möjligt att generellt och samtidigt entydigt beskriva krav och kvalitet för höjdmodeller. Det krävs specifik information om bl.a. användningsområde för att krav och beskrivningar skall bli relevanta för de applikationer höjdmodellerna är tänkta att användas till. Ett ytterligare skäl är att systemleverantörer ofta beskriver prestanda för sina sensorer och inte inkluderar det handhavande och den bearbetning som också krävs vid framställning av applikationsanpassade höjdmodeller. I en tidigare studie, KRIS-GIS projekt Eskilstuna, i regi av Lantmäteriets dåvarande enhet för Beredskap och säkerhet bidrog bland annat SMHI och Högskolan i Gävle med översvämningsanalyser baserade på höjdmodeller med varierande ursprung och kvalitet. Olika datafångstmetoder, fotogrammetrisk stereokartering och flygburen laserskanning, utvärderades dels med avseende på olika kvalitetsparametrar, dels vad gäller användbarhet och kostnadseffektivitet. Höjddata med de kvalitetskrav man idag önskar uppfylla är så kostsamma att det finns all anledning till samverkan, framförallt må det gälla statliga myndigheter, kommuner och liknande organisationer. Diskussioner kring vad som i dessa fall kan anses vara en minsta gemensamma nämnare och som därmed kan resultera i en rimlig prislapp är därför nödvändig. För att en sådan diskussion skall bli relevant krävs det till att börja med en gemensam syn på hur kvalitet skall beskrivas och att kraven från olika användningsområden formuleras relativt dessa kvalitetsbeskrivande mått. En av de slutsatser som formulerades i KRIS-GIS studien över Eskilstuna var att flygburen laserskanning var att föredra relativt fotogrammetrisk stereokartering för framställning av höjdmodeller. Av den anledningen har vi i denna fördjupade studie valt att endast använda laserdata och dessutom lagt fokus på behoven kring översvämningsmodellering. Vid sidan om de kvalitetsmässigt begränsande faktorer som hög kostnad medför har det även uppdagats behov av att inventera prestanda hos de programvaror som idag används för beräkning av översvämningsmodeller. I samarbete med Anders Brandt vid Högskolan i Gävle, HiG, har vi simulerat höjddata och analyserat dess varierande kvalitet med avseende på höjdmodellers noggrannhet och översvämningsmodelleringars dito. Från de laserdata som producerades och utvärderades i den tidigare Eskilstunastudien har vi simulerat högre flyghöjder med tillskott av såväl tillfälliga som systematiska fel i plan och höjd och utglesning av data. Konceptet är hämtat från Leicas beskrivning av lasersensorn ALS50. Vår förhoppning är att de resultat som redovisas i denna fördjupade studie kring höjdmodellers noggrannhet dels kan skapa ytterligare förståelse för de felkällor som påverkar noggrannheten, dels kan skapa diskussion och intresse för de kvalitetsmått som måste fastställas som gemensam grund för att man skall kunna ge svar på de inledande frågorna Vilken kvalitet skall vi ha på höjdmodellen? och Vad är det för kvalitet på höjdmodellen? Svaret på frågan kring optimal kvalitet för översvämningsmodellering finner ni i en rapport som skrivs av Anders Brandt parallellt med vår studie. 2

4 2 Projektbeskrivning Projektets två huvudsakliga syften är att för det första genom simulering av laserdata relativt ökad flyghöjd kvalitetsbeskriva de höjdmodeller som blir resultatet av simuleringarna. I del två skall höjdprofiler från laserdata extraheras från HEC-RAS och kvalitetsbeskrivas som underlag för fortsatta analyser av Anders Brandt. HEC-RAS är en mjukvara, gratis tillgänglig på Internet, för modellering och analys av olika översvämningsscenarier. Som nämnts i inledningen har vi utgått från de laserdata som producerades för den tidigare studien i Eskilstuna. Eftersom laserskanning som datafångstmetod är i ständig utveckling har vi istället för att utvärdera data från den verkliga flyghöjd som användes vid insamlingen valt att med hjälp av tätheten hos de registrerade punkterna beräkna en fiktiv flyghöjd. Skälet är att man på så vis kan relatera tätheten till en för dagen, eller gårdagen, realistisk flyghöjd. Vad morgondagens sensorer har för egenskaper är svårt att förutspå och lämnas därför åt läsaren att filosofera vidare kring. I projektet kommer två områden med olika karaktär att analyseras. Terrängen i det ena området är flack i anslutning till Eskilstunaån och det andra området innehåller tydliga terrängvariationer, sluttningar. För att så optimalt som möjligt modellera översvämningar har ett antal höjdprofiler definierats längs Eskilstunaåns flöde. Profilerna har placerats på, ur flödessynpunkt, strategiska platser i rät vinkel gentemot vattnets flödesriktning. Profilernas kvalitet påverkas med naturlighet av de simuleringar som genomförts eftersom profilerna baseras på dessa degenererade data. Till vilken grad kvaliteten försämras redovisas senare i den här rapporten. För den som är intresserad av hur översvämningsmodellen påverkas rekommenderas Anders Brandts rapport (Brandt, 2009). De höjdmodeller som producerats för att användas vid analysen har skapats genom beräkning av punkter i ett regelbundet rutnät. Metoden som använts, Finita Element Metoden, beräknar den bäst anpassade ytan för ett område baserat på de laserpunkter som finns inom området. Till skillnad från enklare formuleringar av TIN Triangulated Irregular Network sker således en utjämning vilket har både positiva och negativa effekter på höjdmodellen. Det positiva är den utjämnande effekt som metoden har, det negativa är att vissa extrema punkter som eventuellt kan ha ett informationsvärde inkluderas i utjämningen och av den anledningen inte blir lika tydliga som de kanske borde vara. Höjdmodellerna har analyserats och resultatet redovisas senare i rapporten. Vid analysen av höjdmodellerna har all ursprunglig laserdata använts. Avvikelser relativt dessa referensdata har beräknats för alla simulerade flyghöjder. Dessutom har de tre komponenterna, som av Leica beskrivits inverka på kvaliteten hos laserdata, hanterats var för sig för att på så sätt klargöra vilken av felkällorna i plan, höjd eller täthet som har störst inverkan på den slutliga produkten höjdmodellen. 3

5 3 Förutsättningar I det här kapitlet beskrivs kortfattat de data vi använt i studien samt de förutsättningar vi formulerat som underlag för diskussionerna kring resultaten. 3.1 Referenssystem Referenssystem: RT90. Höjdsystem: RH70. Geoidmodell: SWEN01L för omräkning mellan ellipsoidhöjder (h) och höjder över geoiden (H). Kartprojektion: Gauss-Krüger. Referensellipsoid: Bessel Begrepp Höjdmodell, beskriver markytan som en kontinuerlig yta. Ytan beskrivs med ett stort antal diskreta punkter, oregelbundna eller i ett regelbundet rutnät, som med hjälp av interpolation formar höjdmodellen. I projektet har vi valt att exkludera all information som inte antas representera markytan, exempelvis byggnader, broar och vegetation. Datakvalitet, för flygburen laserskanning har vi valt att beskriva med kvalitetsteman och tillhörande kvalitetsmått som definierats genom det standardiseringsarbete som bedrivs inom ISO, (ISO 191xx). För att undvika tvetydigheter används den engelska beskrivningen av respektive till svenska översatt kvalitetstema. Hur dessa teman (fullständighet, lägesnoggrannhet och tematisk noggrannhet) med tillhörande kvalitetsmått kommer till användning i projektet beskrivs i generella termer i detta kapitel för att vid behov ytterligare beskrivas och tillämpas senare i rapporten. Fullständighet: Completeness presence and absence of features; their attributes and relationships. Kvalitetstema fullständighet, enligt ISO standard, kan användas för kontroll av kravet på heltäckande skanning i form av antalet punkter/m 2. I den vänstra bilden i figur 1 redovisas alla returer i vartannat stråk. Den högra bilden visar tätheten för alla stråk som skannats över området för att på så sätt kontrollera att kravet på övertäckning uppfyllts. Färgskalan som inleds med blått representerar täthet < 0.1 /m 2. Därpå följer nyanser, intervall 0.1 /m 2, av rött, orange, gult, gröngult till mörkt grönt som beskriver täthet > 1.0 /m 2. Figur 1. Kontroll av fullständighet. I den vänstra bilden visas alla returer för vartannat stråk. Till höger visas alla returer som täcker området. Påtagligt är den högre tätheten där stråk överlappar varandra. 4

6 För att begränsa effekten av små lokala variationer har antalet punkter på en 100 m 2 yta summerats för att därefter räknas om till och redovisas i bilderna som antalet punkter/m 2. Exemplet är hämtat från en tidigare studie (Burman och Klang, 2004). Kontroll av fullständighet bör baseras på stickprovskontroller och visuell bedömning. Statistiska mått är svåra att etablera eftersom naturliga hål i data kan uppstå. Bl.a. gäller det för våt asfalt som absorberar signalen eller blanka vattenytor som reflekterar signalen som en spegel. I projektet används kvalitetstema fullständighet - till att beskriva tätheten hos de laserdata som simulerats till att representera olika flyghöjder. Lägesnoggrannhet: Positional accuracy accuracy of the position of features. Den optimala metoden för geometrisk kvalitetskontroll är att utvärdera laserdata mot, på marken, inmätta objekt. Detta är dock inte ekonomiskt försvarbart i den omfattning som skulle krävas om varje flygstråk skulle kontrolleras var för sig. Av den anledningen nyttjas istället liknande teknik som vid blocktriangulering av flygbilder. Det är på så sätt möjligt att beräkna systematiska avvikelser mellan stråken och även att korrigera för dessa. Efter genomförd geometrisk korrigering finns det ändå alltid kvar både systematiska och tillfälliga, slumpmässiga, avvikelser mellan laserdata från olika stråk men även mellan punkter inom samma stråk. Avvikelserna beskrivs nedan som lägesnoggrannhet i plan och höjd. Avvikelserna, eller felen, orsakas bl.a. av prestanda hos lasersensorn och navigationsutrustning samt integrationen mellan dessa system. Tematisk noggrannhet: Thematic accuracy accuracy of quantitative attributes and correctness of non-quantitative attributes and of classifications of features and their relationships. Bestämning av noggrannheten i filtrering/klassificering kan ske med hjälp av en förväxlingsmatris. Sådana används ofta för utvärdering av klassificering av data registrerade från fjärranalyssatelliter. Klasserna i den första kolumnen i figur 2 representerar LASformatets inledande klasser. Summa objekt/klass skall redovisa det faktiska antalet punkter i respektive klass. Tabellens diagonal redovisar antalet korrekt klassade objekt i klassen. Tematisk noggrannhet kan sedan bestämmas som den procentuella andelen korrekt klassade objekt/klass. I studien skiljer vi endast på mark, gulmarkerad, och icke-mark. 5

7 Referens (LAS Class) 0. Created, never classified 1. Unclassified 2. Ground (bare earth surface) 3. Low Vegetation 4. Medium Vegetation 5. High Vegetation 6. Building (Generic) 7. Low Point 8. High Point 9. Water 10. Bridge Summa objekt / klass Tematisk noggrannhet (%) Laserdata (LAS Class) 0. Created, never classified 1. Unclassified 2. Ground (bare earth surface) 3. Low Vegetation 4. Medium Vegetation 5. High Vegetation 6. Building (Generic) 7. Low Point 8. High Point 9. Water 10. Bridge Summa objekt / klass Tematisk noggrannhet (%) Figur 2. Förväxlingsmatris, som kan användas vid utvärdering av noggrannheten i filtrering/klassificering av laserdata. 3.3 Utbredning Av de data som finns tillgängliga har två områden, figur 3, med skilda karaktärer valts ut för projektet. Utbredning, totala antalet punkter och hur stor andel av dessa som är markpunkter redovisas i tabell 1. Tabell 1. Område, utbredning (meter) och punktantal. Område EWMin EWMax NSMin NSMax Punkter Mark (%) South North

8 Figur 3: Utbredning av område North och South utefter Eskilstunaån. 3.4 Laserdata TopEye System laserskannade i april 2004 delar av Eskilstunaån från 300 m flyghöjd. Områden ur dessa data, som representerar flack respektive lutande terräng, används i denna studie. Systemets prestanda, vad gäller pulsfrekvens, är väsentligt sämre än dagens system. Den snabba utvecklingen och förbättringen av sensorer skapar naturligtvis nya behov av alternativa sätt att beskriva noggrannhetskrav där man inte bara refererar till flyghöjder utan även beaktar sensorns egenskaper. Av den anledningen har de data som samlades in för ett antal år sedan konverterats till en sensor vars egenskaper någorlunda väl överensstämmer med dagens prestanda, Leica systems ALS50. Punkttätheten från de data som samlades in med TopEye-systemet har bedömts relativt ALS50 för att på så sätt skapa en relation till de parametrar som ofta används för att beskriva laserskanningsystemens prestanda, noggrannhet i plan och höjd samt pulsfrekvens. Figurerna nedan redovisar tätheten hos data i studiens två områden, South och North. 7

9 Figur 4. Punkttäthet, histogram och statistik för det södra området. Data har, som tidigare nämnts, samlats in från helikopter. Punkttätheten hos data är inte lika homogen som redovisningen i figur 1 där datafångsten genomfördes från flygplan. I Eskilstuna har man tvingats flyga ett stort antal stråk för att täcka motsvarande område som det man klarar av med ett flygstråk i figur 1, därav den något strimmiga strukturen i figurerna 4 och 5. Figur 5. Punkttäthet, histogram och statistik för det norra området. Punktätheten redovisar hur väl man lyckats planera datafångsten för att optimera lasersensorns egenskaper och samtidigt uppnå en så jämn distribution som möjligt av de punkter som registreras. En komplikation med denna beskrivning är att punkternas läge representeras av en planposition. De lasermätningar som träffar träd eller byggnader kommer därför att få ett förändrat planläge än om de träffat markytan något senare. För att begränsa effekten av denna och liknande lokala variationer i planläge beräknas punkttätheten som ett medelvärde över en yta, i det här fallet 100 m 2. 8

10 3.5 Leica systems ALS50 Som underlag för simulering av data från olika flyghöjder har vi i studien använt en beskrivning av Leica systems sensor ALS50. Systemet och figur 6 presenterades för ett par år sedan men de noggrannheter som redovisas i plan och höjd är jämförbara med dagens system. Pulsfrekvensen däremot har ökat påtagligt och teknologin utvecklas mot allt tätare registreringar av markytan och närliggande objekt. Den horisontella axeln i figur 6 beskriver ökad flyghöjd, redovisad som slant range, d.v.s. lutande längd. Man har valt att beskriva en situation där skanningvinkeln, FoV, är 40, vilket resulterar i en slant range som är något längre än den flyghöjd man som regel använder vid liknande beskrivningar. Den vänstra vertikala axeln redovisar maximal pulsfrekvens och den högra vertikala axeln medelfel (m) i plan och höjd. Man kan således ur figuren avläsa systemets prestanda, pulsfrekvens och noggrannhet i plan och höjd, för olika flyghöjder. Vi har bedömt att de medelfel, standardavvikelse, som redovisas är vad lasersystemet under optimala förutsättningar kan leverera och således inte innehåller systematiska fel. Antagandet innebär att det i beskrivningen inte inkluderas fel från integration med andra sensorer eller från orientering av de punkter som registreras, fotogrammetrins relativ och absolutorientering. Relationen mellan systematiska och tillfälliga komponenter har bestämts i en tidigare studie (Burman och Klang, 2006). Efter geometriska korrigeringar har de systematiska felen befunnits vara ca 50% av de tillfälliga felen, standardavvikelsen, i den studien. Av den anledningen har ett systematiskt fel adderats som motsvarar 50% av den i figur 6 redovisade standardavvikelsen till studiens simuleringar. Figur 6. Maximal pulsfrekvens, noggrannhet i plan och höjd vid olika flyghöjder för Leicasensor ALS Simulering av laserdata Eftersom de data som tillgängliggjorts för denna studie är registrerade från helikopter 2004 och inte med Leicas ALS50 är det inledningsvis nödvändigt att bedöma existerande data 9

11 relativt modellen i figur 6. Tätheten hos data har räknats om till en pulsfrekvens för ALS50 där field of view och flight speed hållits konstanta vid beräkningarna. Resultatet visas i tabell 2. Field of view: 40 Flight speed: 75 m/s Notera att det är flyghöjd och inte slant range som används fortsättningsvis i studien om inte annat anges. Tabell 2. Punkttäthet omräknad till flyghöjd för ALS50. Flyghöjden kan sedan användas för estimering av medelfel, standardavvikelse, i plan och höjd ur figur 6. Område Täthet (pkt/m 2 ) Flyghöjd (m) σen (m) σh (m) South North Referensdata Vid den ursprungliga leveransen av data från TopEye genomfördes en kontroll av noggrannheten utefter ett par vägavsnitt. De referenspunkter som då användes hade mätts in med GPS och befanns ha ett medelfel i höjd på ca 3 cm. Medelfelet i höjd för de laserdata som levererades bestämdes, relativt referenspunkterna, till ca 7 cm. Eftersom mätningarna skett på plana ytor har influensen från eventuella planlägesfel effektivt eliminerats. De områden som valts ut för vårt arbete inkluderar inte lokaliseringen för de tidigare referensmätningarna. Som alternativ till dessa oberoende referensmätningar har vi valt att använda laserdata i icke simulerad version. Dessa originaldata används sedan i två versioner, beroende på vad som skall analyseras, laserpunkter respektive höjdmodeller från dessa laserpunkter. Tills vidare befinns dessa referensdata vara felfria. Eventuella avvikelser från detta kommenteras och korrigeras för i analys och resultat av data. En sammanfattning, i tabellform, av referensdata och vilka syften de använts för redovisas i bilaga 1, Översikt - referensdata och dess användning Laserpunkter Alla laserpunkter, utan manipulation, används som referens vid kontroll av de höjdmodeller som genereras från olika simuleringar. Kontrollen fyller flera syften, dels som verifikation av att simuleringar i höjd och täthet överensstämmer med Leicas beskrivning, dels som underlag vid bestämning av täthetens inverkan på höjdmodellens totala medelfel. En detaljerad beskrivning av vilka kontroller som genomförts och resultatet från dessa redovisas i bilaga 2, Resultat - referens laserpunkter Höjdmodell Höjdmodeller används som referens i de fall det är punkter som skall utvärderas. Detta är fallet bl.a. vid analys av hur stor influens de simulerade plan- och höjdfelen har på höjdmodellen. Höjdmodeller genererade från icke manipulerade laserdata används även vid analys och kvalitetsbeskrivning av de profiler som används för översvämningsanalyser i HEC-RAS. En detaljerad beskrivning av kontroller där höjdmodeller fungerat som referens redovisas i bilaga 3, Resultat - referens DEM. 10

12 3.8 Profiler Profilerna som används för översvämningsanalyser i HEC-RAS skall också kvalitetskontrolleras. Profilernas planläge har optimerats med avseende på områden som visuellt bedömts riskera att översvämmas. Höjdvärden för profilernas brytpunkter har interpolerats från de laserdata som simulerats att representera olika flyghöjder. De gröna punkterna i figur 7 och 8 representerar brytpunkter i profilerna och de gula punkterna visar var avståndet till närliggande punkt är större än ett förutbestämt tröskelvärde. Syftet med de gula punkterna är att eliminera bieffekter från HEC-RAS där det uppdagats problem i närheten av strandkanterna. Röda punkter i figurerna visar positioner där profilerna passerar områden där det inte finns relevant data i höjdmodellen. Dessa punkter finns inte i profilerna men eftersom det sker en förtätning mellan de gröna originalpunkterna måste de i vissa fall exkluderas ur analysen. Bland annat gäller det områden där byggnader tagits bort och det uppstått hål i höjdmodellen. Figur 7. Profilernas lokalisering i område South. Gröna punkter beskriver profilernas brytpunkter, gula punkter strandlinje som exkluderas och röda punkter icke data i höjdmodellen. I tabell 3 redovisas en enkel sammanställning av profilerna i de två områden studien inkluderar. Trots att antalet profiler är i det närmaste lika är det tydliga skillnader mellan 11

13 profilernas längd och antalet punkter. Den sista kolumnen visar dock att det är i stort sett lika långt mellan brytpunkterna i South och North. I det södra området är terrängen flackare vilket innebär att översvämningsrisken är större och samtidigt att utbredningen av den översvämmade ytan också blir större. För att modellera översvämning i den flackare terrängen krävs det således längre profiler för att inkludera det område som eventuellt kan tänkas svämma över så att inte vattnet rinner över kanten på flödesmodellen. Tabell 3. Sammanställning av profiler från originaldata. Område Profiler (st) Längd (m) Punkter (st) Pkt/m (st) South North Figur 8. Profilernas lokalisering i område North. Gröna punkter beskriver profilernas brytpunkter, gula punkter strandlinje som exkluderas och röda punkter icke data i höjdmodellen. 12

14 4 Metodbeskrivning I figur 9 visas de data och processer som ingår i den metod som etablerats för simulering av laserdata samt analys av höjdmodeller och profiler för översvämningsmodellering. Laserdata, 2D-profiler och Leicas beskrivning av sensorn ALS50:s egenskaper är indata i metodbeskrivningen. Inledningsvis beräknas statistik för laserdata, originaldata, för att bedöma punkttätheten som underlag för beräkning av en till Leicas modell relaterad flyghöjd. Från dessa originaldata lagras en version av laserpunkter samt en höjdmodell, 1 m markupplösning. Höjdmodellen framställs med en teknik där de oregelbundna punkterna anpassats till ett regelbundet nät genom minsta-kvadrat utjämning av finita element (bilinjär interpolation). Därefter kvalitetskontrolleras och dokumenteras resultaten från höjdmodellsgenereringen. Figur 9. Generell beskrivning av de data och processer som ingår i analysen av höjdmodeller och profiler för översvämningsmodellering. Simulering av originalpunkter genomförs därefter. Förutom den flyghöjd som bedömts för originalpunkterna har 3 ytterligare flyghöjder simulerats (2000m, 3500m, 5500m). Dessa data, som simulerats relativt olika flyghöjder, används sedan till att generera ytterligare en uppsättning höjdmodeller. Även dessa höjdmodeller har kontrollerats innan de punktdata som använts för genereringen nyttjas för framställning av 3D-profiler i HEC-RAS. Hantering av profiler och bearbetningen i HEC-RAS beskrivs utförligt i (Brandt, 2009). Kontroll av höjdmodellerna sker med hjälp av alla originalpunkter. Vid kontroll av profilerna från HEC- RAS används höjdmodeller baserade på originaldata som referensdata. Den statistik som beräknas skiljer sig något åt vid kontroll av höjdmodeller och profiler. Beskrivning av den statistik som beräknas återfinns senare i detta kapitel. Avslutningsvis dokumenteras bearbetning, analyser och resultat i rapporten Analys av höjdmodeller för översvämningsmodellering. 13

15 4.1 Simulering relaterad till flyghöjd Simulering inkluderar, som tidigare beskrivits, de tre parametrar som Leica valt att beskriva sin sensor ALS50 med och som redovisas i figur 6. Dialogen som visas i figur 10 har använts för simulering av data enligt detta koncept. De originaldata som registrerats från helikopter kommer fortsättningsvis att användas som referensdata och betraktas då som felfria, i sammanhanget. Figur 10. Dialog för simulering av maximal pulsfrekvens, noggrannhet i plan och höjd vid olika flyghöjder för Leica-sensor ALS50. Simuleringen steg för steg 1. Bestäm områdets punkttäthet i enlighet med vad som beskrivits i kapitel 3.4 Förutsättningar- Laserdata 2. Ange punkttätheten som därefter räknas om till flyghöjd i Leica-modellen för originaldata. 3. Välj flyghöjd och punkttäthet för simuleringen. 4. Medelfel i plan och höjd beräknas relativt den valda flyghöjden. 5. Välj utglesningsmetod: Slumpmässig eller Sekventiell. (Random, Sequential). 6. Addera systematiska fel i plan och höjd. I studien har vi valt att addera 50% av de tillfälliga fel som Leica bedömt för sensorn. 7. Bearbeta, Run, glesar ur originaldata och lägger därefter till systematiska och tillfälliga, normalfördelade, fel i plan och höjd. För höjdkomponenten innebär det att väntevärdet är 0, noll, och σ=f(flyghöjd) enligt Leicas modell. Planfelet har även det hanterats som 1D, endimensionell, och normalfördelat. Fördelningen mellan riktningarna EW och NS sker på följande sätt. För de punkter som återstår efter utglesningen beräknas storleken på det fel som tillsammans med alla andra punkters fel bidrar till en normalfördelade spridningen 14

16 med väntevärde 0. Därefter bestäms, slumpmässigt, hur stor andel av felet som skall tilldelas riktningarna EW respektive NS. 8. Filen sparas som en simulering relaterad till den flyghöjd som valts och enklare statistik om bl.a. antalet utglesade punkter noteras. I tabell 4 visas i vilka kombinationer de olika felen tillförts till originaldata. Resultatet från den bearbetning då originalflyghöjden simulerats har använts för olika syften. I de två första fallen ligger de till grund för de profiler som bestämts i HEC-RAS. Dessa och övriga simuleringar av originalflyghöjden har även använts för bestämning av de olika felens inverkan på den slutliga höjdmodellen. För flyghöjderna (2000, 3500, 5500) gäller detsamma för de två inledande raderna som för originalflyghöjden. I övrigt används data uteslutande för analys av de olika felens inverkan på höjdmodellerna och dess relationer vid olika flyghöjder. Tabell 4. Sammanställning av de kombinationer av fel som simulerats för olika flyghöjder. Flyghöjd σ EN σ H Δ EN Δ H Täthet Original X X X X Original X X Original X X Original X X Original X Original X Original X Original X 2000, 3500, 5000 X X X X X 2000, 3500, 5000 X X X 2000, 3500, 5000 X X 2000, 3500, 5000 X X 2000, 3500, 5000 X 2000, 3500, 5000 X 2000, 3500, 5000 X 2000, 3500, 5000 X 1500, 2000, 2500 X 3000, 3500, 4000 X 4500, 5000, 5500 X 4.2 Framställning av höjdmodell Triangulated Irregular Network, TIN, används ofta vid hantering av stora datamängder vilket är fallet med laserdata. Effektiv struktur för bearbetning och interpolation skapas med hjälp av ett nätverk av trianglar. Genom att skapa kompletterande relationer mellan trianglarnas hörn kan man även minimera lokala variationer med s.k. bivillkor. Då de data som simulerats i detta projekt innehåller normalfördelat brus kommer olika interpolationsmetoder och även värdet på de parametrar som används att påverka den brusreducerande effekten vid interpolationen. För att visa att skillnader vid val av interpolationsmetod även inverkar på resultatet, höjdmodellen, har vi jämfört två interpolationsmetoder, Viktat medelvärde och Finita element bestående av gridpunkterna i ett regelbundet rutnät. I de valda metoderna beräknas höjdvärden för punkter i ett rutnät. 15

17 4.2.1 Viktat medelvärde De punkter som finns inom ett förutbestämt avstånd, radie, i förhållande till den punkt som skall beräknas viktsätts som en funktion relaterad till avståndet (1). Beräknas vikten p på detta sätt kan olika konstanter väljas för k för att öka eller minska influensen från avlägset belägna laserpunkter. 1 Pi = ; k = 1,2,... n (1) k d Höjden för punkten p beräknas m.h.a. (2), i är den i:te laserpunkten och d avståndet mellan den punkt som skall beräknas och respektive laserpunkt. H n i= 1 P = n i= 1 H i k di 1 k d i (2) Finita element - FEM Genom att dela in höjdmodellen i ett antal finita element, ytor, av lämplig storlek är det möjligt att använda enkla funktioner för att beskriva en kontinuerlig och mjuk yta samtidigt som relationen mellan närliggande punkter säkerställs. Formuleringen medger en samtidig beräkning av ett antal element baserad på utjämning med MK-metod (minsta kvadrat). I den metod som används i denna studie beräknas ett antal gridpunkter, med bilinjär interpolation (3), i ett regelbundet rutnät simultant, figur 11. Då man inte kan förutsätta att det finns tillräckligt många laserpunkter inom den finita yta som skall beräknas kompletteras beräkningen med villkor (4) som dels binder samman rutnätspunkterna, dels minimerar krökningen, 2:a derivatan, mellan närliggande rutnätspunkter. Figur 11. Bilinjär interpolation som finita element. Varje registrerad laserpunkt formuleras som en förbättringsekvation enligt (3) v A = (1 ΔX + ΔX A A ΔY )(1 ΔY ) H A H i+ 1, j+ 1 A H i, j + Δ A (1 Δ A ) i+ 1, j + (1 Δ A ) A X Y H X ΔY A H i, j+ 1 (3) 16

18 där ΔX ΔY A A = ( X = ( Y A A X ) / L Y ) / L j i där L = längden mellan rutnätspunkterna. Bivillkoret som minimerar krökningen (4) v v X Y = H = H i 1, j i, j 1 2H 2H i, j i, j + H + H i+ 1, j i, j (4) Principen för utjämningen med MK-metoden är att minimera förbättringsekvationerna enligt formel (5). n k = 1 rows cols + x v v + v = min (5) k i= 1 j= 1 cols rows j= 1 i= 1 y Då stora arealer skall beräknas kan det vara effektivt att beräkna höjdmodeller med stegvis förtätat rutnät, s.k. bildpyramid, för att skapa bra förutsättningar, ingångsvärden, för beräkningarna på nästa nivå. Man överbryggar på så sätt områden med lägre täthet i data på de lägre nivåerna för att sedan förtäta och förbättra noggrannheten successivt. 4.3 Kontroll av systematiskt planfel Ett systematiskt fel i plan har för studien adderats i riktning SE. För att kontrollera att det i studiens två områden inte får någon menlig inverkan på resultatet då vi valt att endast studera systematiska fel i en riktning har vi inledningsvis dokumenterat effekten av systematiska fel i 4 riktningar. I tabell 5 redovisas resultatet från denna kontroll, där tätheten från originaldata bibehållits, vilket kan tolkas som att hela områdets lutning inte har någon influens på små systematiska fel i olika riktningar, d.v.s. fortsättningsvis görs endast simuleringen i riktning SE. Kontrollen av dessa avvikelser har gjorts med en höjdmodell från originaldata som referens. Tabell 5. Kontroll av simulerade fel i plan, de systematiska felen i olika riktningar. Resultaten redovisas som RMSE (m). Område Flyghöjd SE SW NE NW South North

19 4.4 Kontroll av höjdmodeller genererade från simulerade data Simuleringarna har kontrollerats genom att framställa höjdmodeller som därefter verifieras mot originaldata. Statistiska mått enligt ISO har använts för dokumentation av resultatet från simuleringen Kontroll av höjdmodell och interpolation Som kontroll av den finita element metod som använts, om inte annat anges, för framställning av höjdmodellerna har originaldata jämförts med höjdmodeller i de två områden som studerats. Dessa avvikelser kan betraktas som fel som uppstår p.g.a. valet av interpolationsmetod och den markupplösning, grid, man väljer för sin höjdmodell. Dessa interpolationsfel för område South och North redovisas i tabell 6 och figur 12. Tabell 6. Kontroll av höjdmodellsgenerering med FEM, interpolationsfel. Område Medel StdAv RMSE Antal mark South North Som tidigare nämnts så har dessa områden valts att representera flack terräng respektive något mer kuperad dito. Anledningen till den något större spridningen i det norra området beror sannolikt på att den 1m-grid som använts vid interpolationen inte är tillräckligt tät för att i alla situationer representera de lokala höjdvariationerna till fullo. Tilläggas bör att denna analys även inkluderar spridningen i ursprungsdata och som med interpolationsmetoden utjämnats till en jämn yta. Höjdmodellen kan med andra ord i flera fall vara bättre än enstaka mätningar och i andra fall kan noggrannheten försämrats p.g.a. ett alltför glest grid. Figur 12. Interpolationsfel enligt tabell 6, South (1122m), North (1232m). Orange färg visar punkter som avviker mer än 30 cm från den ursprungliga höjden Kontroll av simulerade fel Kontrollen har delats upp i tre delar, komponenter, där ambitionen är att beskriva influensen av de fel som simulerats i plan, höjd och utglesad täthet. Det sammantagna slutresultatet, höjdmodellen, har också kontrollerats och jämförts med de summerade felen från de tre 18

20 ingående komponenterna. För att möjliggöra dessa kontroller har det framställts höjdmodeller från data som endast innehåller simuleringar med avseende på plan, höjd respektive täthet. Det totala felet har på motsvarande sätt som för respektive komponent bestämts relativt en höjdmodell som framställts från data som innehåller alla typer av simulerade fel. För att åstadkomma en så fullständig bild som möjligt av relationen mellan dessa komponenter och dess inverkan på den slutliga höjdmodellen har simuleringar gjorts och höjdmodeller framställt från data från fyra flyghöjder för såväl område South som North. I figur 13 visas avvikelser mellan höjdmodeller, simulerade data från 3500 meter, och referensdata i form av originalpunkter. Punkter som redovisas med orange färg avviker mer än 30 cm från referenspunktens originalhöjd. Figur 13. Avvikelser mellan simulerade data från 3500 meter och originaldata, South till vänster och North i den högra bilden. Orange färg visar punkter som avviker mer än 30 cm från den ursprungliga höjden. De kvalitetsmått som används för redovisning av avvikelserna mellan originaldata och höjdmodeller genererade från simulerade data och som sammanställts i tabell 6 finns beskrivna i ISO Kvalitetsmått. 4.5 Kontroll av profiler Kontroller av de profiler som skapats för att användas i HEC-RAS sker med hjälp av höjdmodeller som genererats från höjddata i dess originalversion. Två skilda kontroller har genomförts, i den första bestäms arean mellan den profil som används i HEC-RAS och den höjdmodell som skapats från originaldata. I den andra kontrollen bedöms den totala lutningen utefter var och en av profilerna från HEC-RAS. Även i detta fall används en höjdmodell från originaldata som referens. Då det sker en utglesning av punkter vid framställning av profilerna är det nödvändigt att förtäta profilens brytpunkter för att alla höjdmodellens variationer skall inkluderas i beräkningen. Figur 14 illustrerar denna förtätning, hur arean mellan profil och höjdmodell beräknas samt beräkning av profilens totala lutning. 19

21 HP i+1 HD i +1 Δd i+1,j+6 HP i+2 ΔH i+1,j+6 HP i HP i+1 δh i +2,j +1 δd i +2,j +1 HD i +3 HP i+3 HP i+4 HP i+5 Profil DEM HP i+2 HD i +6 HD i +2 HD i +4 HD i +8 Figur 14. Profilens gröna punkter förtätas så att inte DEM:ens detaljeringsgrad går förlorad vid beräkning av arean mellan profil och höjdmodell. Lutning beräknas utefter profilen med höjdvärden från höjdmodellen. Arean beräknas, något generaliserat, med hjälp av den rektangel där höjden beskrivs av avvikelsen mellan profil och höjdmodell (ΔH i+1,j+6 ) på halva avståndet mellan profilens förtätade brytpunkter, den röda lodräta linjen. Basen i rektangeln är densamma som avståndet mellan profilens förtätade brytpunkter (Δd i+1,j+6 ). Den summerade arean (6) för varje profil och höjdmodellen beräknas som summan av de förtätade brytpunkternas areor (index j) för profilens alla brytpunkter (index i). A = n m i = 1 j = 1 Δ d i Δ H (6),, j i j Eftersom profilernas längd skiljer sig väsentligt från varandra, speciellt gäller det vid jämförelse mellan det flacka området South och det något brantare North, har arean för respektive profil fortsättningsvis relaterats till profilens längd. På samma sätt skapas förutsättningar för jämförelser mellan profilerna. För varje profil beräknas lutningen (7) med hjälp av höjdmodellens lutning utmed profilens sträckning, se figur 14. Absolutbeloppet krävs för att undvika att positiva och negativa lutningar tar ut varandra. dh dl n m i= 1 j= 1 = n Abs( δh m i= 1 j= 1 δd i, j i, j ) (7) 20

22 5 Resultat och diskussioner Syftet med denna studie är att utreda hur höjdmodeller påverkas då de data som används för dess framställning har degenererats på olika sätt och i olika omfattning. De kontroller som utförts har av den anledningen huvudsakligen skett genom att först producera höjdmodeller från degenererade data och sedan kontrollera dessa mot icke manipulerade laserdata. Redovisningen delas oftast upp i de två områden, South och North, som valts ut att representera olika strukturer hos terrängen. Resultaten visar också skillnader vilka med stor sannolikhet kan förklaras med den större lutningen i det norra området. Inledningsvis redovisas resultatet från de höjdmodeller som innehåller fel från de tre simulerade komponenterna, fel i plan och höjd samt utglesade data. Därefter följer separata resultat från de tre komponenterna och slutligen sammanfattas de tillsammans med det totala resultatet. I figurerna har de tidigare beskrivna interpolationsfelen subtraherats från de tre komponenterna för att vid beräkning av det totala felet i höjdmodellen adderas som en fjärde komponent, interpolationsfel. Statistik för profilerna som skapats för bearbetning i HEC-RAS redovisas endast för område South. Motsvarande beräkningar har gjorts för område North men eftersom Anders Brandt med sin sakkunskap har som uppdrag att analysera dessa resultat hänvisar vi till den rapport där detta beskrivs i detalj (Brandt 2009). 5.1 Höjdmodeller De diagram som vi valt att representera resultaten med relateras till flyghöjd och de försämringar av data som Leica redovisar för sin sensor ALS50. Medelfel, RMSE (m), för de höjdmodeller som skapats med varierande förutsättningar kan ses som ideala, d.v.s. jämförbara med plan asfalt. En mer realistisk bild fås sannolikt genom att i de områden som är bevuxna av träd eller där byggnader tagits bort från markytan multiplicera medelfelet med en faktor som enligt (HMK-Fo, 1993) för fotogrammetrisk mätning kan variera mellan 2-5 ggr. 21

23 5.1.1 Hur påverkas noggrannheten i höjdmodellen av ökad flyghöjd? I figur 15 visas hur de fel som simulerats, enligt Leicas beskrivning, påverkar höjdmodellens kvalitet uttryckt som medelfel (RMSE) för avvikelser mellan referenspunkter och höjdmodell. Område South och North skiljer sig en del vilket kan förklaras med att terrängen i det norra området innehåller större variationer än det flackare södra området. Motsvarande iakttagelse gäller även när felen separerats från varandra i figurerna 16, 17 och 18. DEM kvalitet Totalt RMSE (m) South North Flyghöjd (m) Figur 15. Höjdmodellens noggrannhet relaterad till flyghöjd. Alla fel ( plan, höjd och täthet) finns med i detta totala resultat. 22

24 5.1.2 DEM kvalitet, influens från simulerade planfel De planfel som simulerats och adderats till originaldata innehåller som beskrivits såväl en systematisk del som en tillfällig komponent. Dessa fel i planläge har en i sammanhanget liten inverkan på höjdmodellens noggrannhet. Detta förutsätter att det inte finns systematiska fel av en dignitet som överskrider de som simulerats i denna studie. Hanteras inte sensorns inre geometri eller den yttre geometrin inom och mellan flygstråken är sannolikheten stor att det finns kvar systematiska fel som vida överskrider de värden som simulerats. Även i detta fall är felet något större i det norra området. DEM kvalitet Influens från simulerade planfel RMSE (m) South North Flyghöjd (m) Figur 16. Höjdmodellens noggrannhet relaterad till flyghöjd. I detta fall har endast planfel adderats till originaldata, således vare sig höjdfel eller utglesning. 23

25 5.1.3 DEM kvalitet, influens från simulerade höjdfel På motsvarande sätt som för planfel har det adderats en systematisk och en tillfällig komponent vid simuleringen av högre flyghöjder. Ingen utglesning av data har skett i något av de fall då fel adderats utan endast de fel som är aktuella för respektive analys har manipulerats. De höjdfel som adderats får, helt naturligt, en större effekt kvalitetsförsämring på höjdmodellen. Vad som är värt att notera i detta sammanhang är att den brusreducerande effekten skiljer sig mellan olika interpolationsmetoder. Eftersom man i detta fall adderat ett tillfälligt, normalfördelat, fel finns det förtjänster att använda en interpolationsmetod som reducerar denna typ av fel. DEM kvalitet Influens från simulerade höjdfel RMSE (m) South North Flyghöjd (m) Figur 17. Höjdmodellens noggrannhet relaterad till flyghöjd. I detta fall har endast höjdfel adderats till originaldata, således vare sig fel i plan eller utglesning. 24

26 5.1.4 DEM kvalitet, influens vid varierande täthet Förutsättningarna för allt tätare registreringar av data har sedan laserskanning introducerats som datafångstmetod för framställning av höjdmodeller påtagligt förbättrats. Ju tätare data dess bättre förutsättningar för interpolation och bestämning av den yta som höjdmodellen beskriver. Till skillnad från simuleringen av felen i plan och höjd där man kan addera fel som kan relateras till vilken flyghöjd som helst mellan 500 m och 5500 m finns det inte underlag för utvärdering av tätheter högre än de som beräknats för originaldata för respektive område. Det finns med andra ord ett fel, offset, som inte är möjligt att bestämma eftersom det inte finns data med tillräckligt hög täthet för att beräkna kvalitetsförsämringen för flyghöjder lägre än ca 1100 meter. DEM kvalitet Influens vid varierande täthet RMSE (m) South North Flyghöjd (m) Figur 18. Höjdmodellens noggrannhet relaterad till flyghöjd. I detta fall har endast utglesning simulerats enligt Leicas beskrivning, således vare sig plan- eller höjdfel. 25

27 5.1.5 DEM kvalitet, totalt I figur 19 och 20, område South respektive North, har de tre beskrivna komponenterna tillsammans med interpolationsfelet summerats. I tabell 7 finns en jämförelse mellan det totala felet från de höjdmodeller som innehåller alla fel och det fel som summerats från höjdmodellerna som endast innehåller en typ av fel. Tabell 7. Sammanställning av resultaten från de simulerade felen som separata komponenter jämfört med den höjdmodell där alla simulerade fel finns med, kolumn Totalt. * Notera att det saknas information för högre täthet än de lägsta flyghöjder som simulerats. ** Kolumnerna Summa och Totalt påverkas av det inte finns tätare data än vad som beskrivs av de lägsta flyghöjderna. Flyghöjd, medelfel i plan och höjd samt summorna är alla angivna i meter. Område Flyghöjd Interpol. Plan Höjd Täthet Summa Totalt South * 0.080** 0.080** South * 0.102** 0.110** South * 0.147** 0.151** South * 0.214** 0.214** North * 0.089** 0.090** North * 0.108** 0.115** North * 0.164** 0.164** North * 0.251** 0.239** Som nämnts finns det inte data med tillräcklig täthet för bedömning av täthetens influens för flyghöjder lägre än ca 1100 meter. I figur 19 och 20 redovisas de verkliga resultaten från de simuleringar som genomförts. Då detta inte är en realistisk situation har vi, för enkelhets skull, antagit att resultaten från den flyghöjdrelaterade simuleringen av tätheten är linjär. I figur 21 och 22 har en konstant term adderats till de tidigare resultaten för att på så sätt skapa en, i relation till flyghöjden, linjär influens med avseende på tätheten. 26

28 DEM kvalitet South Summa Täthet Plan Höjd Interpolation RMSE (m) Flyghöjd (m) Figur 19. Sammanställning av de fel som summerade är jämförbara med resultatet från de höjdmodeller som producerats från data med alla kategorier fel, se tabell 7 område South DEM kvalitet North Summa Täthet Plan Höjd Interpolation RMSE (m) Flyghöjd (m) Figur 20. Sammanställning av de fel som summerade är jämförbara med resultatet från de höjdmodeller som producerats från data med alla kategorier fel, se tabell 7 område North. 27

29 DEM kvalitet South Summa Täthet + offset Plan Höjd Interpolation RMSE (m) Flyghöjd (m) Figur 21. En konstant, offset = m, har adderats till tätheten för att skapa en linjär relation för täthetens inverkan även för flyghöjder som inte varit möjliga att simulera från de data som funnits att tillgå i projektet. Summan påverkas också av det konstanta tillägget men för övrigt är förutsättningarna desamma som i figur DEM kvalitet North Summa Täthet + offset Plan Höjd Interpolation RMSE (m) Flyghöjd (m) Figur 22. En konstant, offset = m, har adderats till tätheten för att skapa en linjär relation för täthetens inverkan även för flyghöjder som inte varit möjliga att simulera från de data som funnits att tillgå i projektet. Summan påverkas också av det konstanta tillägget men för övrigt är förutsättningarna desamma som i figur

30 Sammanfattningsvis kan man konstatera att de planfel som simulerats och adderats till originaldata endast har marginell inverkan på slutresultatet. Detta givetvis då förutsatt att all geometrisk bearbetning genomförts enligt samma princip som för fotogrammetrisk blocktriangulering. Återstår då diskussion kring höjdfel och täthet hos data. Ur figur 21 och 22 framgår det tydligt att vid högre flyghöjd, utglesning, får tätheten en allt större effekt på slutresultatet relativt höjdfelet. Förutsätter man, likt för bearbetning av planfel, att även höjdfelen hanterats med relevant geometrisk korrigering återstår endast förtätning av data om man önskar förbättra förutsättningarna för en bättre höjdmodell vid datafångsten. Som tidigare nämnts återstår bearbetningen som i sig inkluderar felkällor om momenten geometrisk bearbetning, markfiltrering, interpolation och brytlinjer inte genomförs på ett optimalt sätt. Ökad punkttäthet och vidareutveckling av bearbetningsmetoder är således nyckeln till bättre höjdmodeller Effekt av olika interpolationsmetoder Delar man upp de fel som uppstår vid framställning av höjdmodeller i en komponent för datafångst och en för bearbetning tillhör de simulerade felen i plan, höjd och täthet kategori datafångst. De interpolationsfel som diskuterats och i viss mån dokumenterats kategoriseras som bearbetningsfel. De höjdmodeller som använts i analyserna är framställda med den Finita Element Metod (FEM) som beskrivs i kapitel 4.2. För framtida diskussioner kring val av interpolationsmetoder har resultatet från generering av höjdmodeller med FEM och en alternativ metod Viktat medelvärde, också beskrivet i kapitel 4.2, sammanställts i figur 23. Beräkningarna gäller dessutom vad som kan anses vara globala kvalitetsmått där brister i kartering av diken o.d. inte tydligt framträder. För detta krävs lokala kvalitetsmått där kontrollen begränsas till egenskaper hos unika objekt eller typer av objekt Effekt av olika interpolationsmetoder RMSE (m) Finita element Viktat medelvärde Flyghöjd (m) Figur 23. Resultaten från olika interpolationsmetoder varierar. Skillnaderna blir dessutom större då förutsättningarna försämras, simulerad högre flyghöjd. 29

31 5.2 Profiler De profiler som framställts, bl.a. med simulerade höjddata som underlag, har analyserats med de metoder som beskrivits i kapitel Kontroll av profiler. Statistik från dessa analyser skall komplettera studien av hur stora arealer som översvämmas då höjdmodeller med olika noggrannhet används som indata till HEC-RAS (Brandt, 2009). I figur 24 och 25 redovisas sammanställningar av statistik för alla profiler i det södra området. Den area som beskriver avvikelsen mellan profil och höjdmodell visas i figur 24. Avvikelserna ökar vid ökad flyghöjd, främst gäller det profiler med stor lutning som också ofta är korta. Dessa profiler innehåller inga flacka områden eftersom risken att vattnet rinner över kanten antagits vara obefintlig. Profilernas lutning som visas i figur 25 har beräknats för brytpunkter utefter respektive profil. De höjdvärden som ligger till grund för bestämning av lutningen är beräknade med hjälp av den höjdmodell som framställts från originaldata. Resultatet kan dels tolkas som att profilernas planläge inte nämnvärt förändrats trots den generalisering profilerna genomgått för högre flyghöjder, dels att stor lutning medför större influens på arean vid högre flyghöjder. Area* - South m2/längd Referens 1122m 2000m 3500m 5500m Profil * Area = Profil - DEM Figur 24. Area för respektive profil vilken beskriver avvikelsen mellan profilens höjdvärde och den höjdmodell som framställts från originaldata. 30