HIN, MASTERSTUDIER Inklusive lösningsförslag: Eksamen i STE 6215, Reguleringsteknikk I Dato: Figure 1: Reguleringssytem

Transkript

1 HIN, MASTERSTUDIER Inklusive lösningsförslag: Eksamen i STE 6215, Reguleringsteknikk I Dato: Oppgavesettet består av 4 oppgaver på 6 sider Tillatte hjelpemidler: Alle kalkulatortyper. Varighet: timer. Alle trykte og håndskrevne hjelpemidler. MERK! Løsningene til alle oppgaver skal presenteres slik at alle trinn (untatt trivielle beregninger) kan følges. Faglig kontakt under eksamen er Per-Ole Nyman, som kan nås på telefon (7696) 6189 etter kl.. Hver og en av 4 nummererte oppgavene veier like tungt i bedømmelsen, dvs. riktig løst tilsvarer den 1/4 av maksimalt oppnåelig prestasjon. Dersom en oppgave inneholder deloppgaver som uttrykkelig er markert med (a), (b), (c), etc., veier disse deloppgavene i sin tur like tungt seg imellom. Oppgaver med delmomenter som ikke er markert på denne måten, utgjør bedømmelsemessig en helhet. 1. Betrakt et tilbakekoplet system som i Figur 1, der regulatoren er en P-regulator med forsterkning K (blokken K i figuren), og prosessen gis av h(s) = (s 1)(s + 2)(s + a) Prosessen har statisk forsterkning h() = 1/2. Nyquistdiagrammet for h(s) vises i Figur 2. r e u y + K h(s) Figure 1: Reguleringssytem (a) Bestem hvilke punkter på Nyquistkurven som svarer mot frekvensene ω = og ω = +, og bestem hvor mange instabile poler det åpne systemet har. Lösning: Från 1/2 = h() = ( 1)( + 2)( + a) = 2a fås a =. Vidare är då h(jω) ω=) = h() = 1/2, och lim = lim = ω ω (jω 1)(jω + 2)(jω + a) = I Nyquistdiagrammet svara därför frekvensen ω = mot punkten 1/2 + i, och frekvensen ω = mot punkten + i. Eftersom a > har h(s), och därmed det öppna systemet, en instabil pol, nämligen den i s = 1. (b) Bestem ved hjelp av det generelle Nyquistkriteriet for hvilke verdier på regulatorforsterkningen K > som det lukkede systemet er asymptotisk stabilt. Lösning: Låt h (s) = Kh(s) beteckna det öppna systemet. Låt N p vara antalet instabila poler hos det öppna systemet, dvs. antalet poler i högra halvplanet för h (s), vilket är lika med antalet poler i högra halvplanet för processen h(s). Från deluppgift (a) vet vi att N p = 1. Enligt det generella Nyquistkriteriet gäller att det slutna systemet är asymptotiskt stabilt om 1 + h (s) har en argumentvariation på 2πN p när s medurs genomlöper en kontur som omsluter hela högra halvplanet, eller ekvivalent, om Nyquistkurvan kringlöper punkten -1, N p varv i moturs riktning. Figuren återger Nyquistdiagrammet för h (s) då K = 1. Här är argumentvariationen N p = 1, så det slutna systemet är instabilt. Samma gäller för alla K (,2). Om K (2, 1/), så kringlöper Nyquistkurvan punkten -1, ett varv i moturs riktning, dvs. argumetvariationen är 2π = 2πN p. Det slutna systemet är då asymptotiskt stabilt. 1

2 .4 Nyquist Diagrams From: U(1)..2 Imaginary Axis To: Y(1) Real Axis Figure 2: Nyquistdiagram Om K (1/, ), så kringlöper Nyquistkurvan punkten -1, ett varv i medurs riktning, dvs. argumetvariationen är 2π 2πN p. Det slutna systemet är då instabilt. [För argumentvariationen gäller generellt att (1 + h (s)) = 2π(N n N p ), där N n är antalet instabila poler hos det slutna systemet. Om således (1 + h (s)) = 2π och N p = 1, så måste vi ha N n = 2.] (c) Istedet for Nyquist kriteriet kan man bruke andre metoder for å bestemme for hvilke K > som det lukkede systemet er asymptotisk stabilt. Nevn en slik metode, og bestem det inndata objekt som behøves for å bruke metoden. Lösning: Vi kan alternativt använda Rouths metod för att undersöka stabiliteten. För dena behöver vi som indata ha det karakteristiska polynomet för det slutna systmet. Det karaktersistika polynomet för det slutna systemet är täljaren till 1 + h (s) = 1 + Kh(s) = 1 + K (s 1)(s + 2)(s + a) = s + (a + 1)s 2 + ( 2 + a)s 2a + K s + (a + 1)s 2 + ( 2 + a)s 2a Det karakteristiska polynomet är således φ(s) = s + (a + 1)s 2 + ( 2 + a)s 2a + K = s + 4s 2 + s 6 + K 2. I Figur vises en fleksibel (bøyelig) arm. Den venstre enden er montert på et nav som kan vris ved hjelp av et moment T. En forenklet modell av armens dynamikk gis av følgende differensialligninger der α + θ = C s J l α θ = C s J m α + T J m (1) 2

3 T J m α J l θ y Figure : Flexible beam θ Navets vinkelposisjon [rad] α Avvik mellom armspissens og navets vinkelposisjoner [rad] J l Det totale treghetsmomentet for armen (når den antas være stiv) [Kgm 2 ] J m Navets treghetsmoment (inkludert motoren) [Kgm 2 ] C s Stivhetskoeffisient for armen [Nm/rad] T Moment generert av motoren [Nm] og y = α + θ er armspissens vinkelposisjon. Bestem en tilstandvariabelmodell for systemet (1), der tilstandsvariablene er x 1 = θ, x 2 = α, x = θ, x 4 = α, insignalet er T, og utsignalet er y. Lösning: Den efterfrågade tillståndsformen för armens dynamikk fås direkt från ekavtionerna (1), om man i dessa substituerar x 1 = θ, x 2 = α, x = θ, x 4 = α, och därtill beaktar att ẋ 1 = x och ẋ 2 = x 4. Detta ger ẋ 1 1 x 1 ẋ 2 1 x = 2 ẋ C s + J m x 1 T (2) J m C ẋ 4 s(j l +J m) 1 J mj l x 4 J m }{{}}{{} A B x 1 y = [ 1 1 ] x 2 }{{} x () C x 4. Betrakt systemet 6 ẋ = x + u 5 1 }{{}}{{} A B y = [ 1 2 ] x }{{} C (a) Bestem en tilstandstilbakekopling u = Lx slik at det lukkede systemet har sine poler i 5 og 6. Lösning: Låt L = [ l 1 l 2 ] Med tillståndsåterkopplingen u = Lx ges det slutna systemets A -matris då av 6l1 6l A c = A BL = vars karakteristiska polynom är φ(s) = s 2 + (6l 1 1)s 6l 1 l 2 +

4 Det önskade polynomet är φ d (s) = (s + 5)(s + 6) = s s + Jämförelse av koefficienterna ger ekvationssystemet = 6l 1 l 2 = 6l 1 24 Som har lösningen l 1 = 4, l 2 = 8 (b) Bestem polene til observatoren (observer) 18 ˆx = Aˆx + Bu + [y Cˆx] Lösning: Observatören kan även skrivas ( ) 18 ˆx = A C ˆx + Bu + 18 y ˆx = 21 6 ˆx + Bu }{{} A obs 18 y der A obs, som är observatorns «A»-matris. Denna bestämmer dynamiken i estimeringsfelet, och dess egevärden är observatörsegenvärden, eller obesrvatörspolerna. Dessa fås som rötterna till motsvarande karakteristiska polynom det(si A obs ) = s 2 25s + 72 Röttena till detta är s 1,2 = ± j 2 = 12.5 ± j vilka är de efterfrågade egenvärdena (polerna). 4. Bodediagram for en prosess er gitt i Figur 4. Bestem en regulator som øker systemets båndbredde, målt i termer av kryssfrekvens, til det dobbelte, og gir det en fasemargin på 5. Lösning: Ursprunglig Skärfrekvensen är 1 rad/s. Önskad skärfrekvens ω är därför 2 rad/s. Faskurvan för processen ligger ungefär 22.5 över 18 vid frekvensen ω = 2 rad/s. Vi behöver därför ett fastillskott på φ = = 26.8 Detta kan fås med en lead-regulator där h lead (s) = Ts + 1 αts + 1 α = 1 sin φ 1 + sin φ =.785 T väljes nu som T = 1 ω α =.8127 Lead-regulatorn har vid önskad skärfrekvensen ω c = 2 rad/s en amplitud på 2log 1 h lead (j2) = 2log 1 1 α = db Processens amplitud är 2log h process (j2) = 2log 1 h(j2) 9.1 db För att ω c = 2 rad/s verkligen skall vara skärfrekvens, måste regulatorns förstärkiningsparamerter K väljas så att 2log 1 h process (j2) + 2log 1 h lead (j2) + 2log 1K = db vilket ger K db = 5.91 db, eller absolut, K = [Bodediagrammet för det slutliga, kompenserade, öppna systemet återges i Figure 5.] (4) 4

5 1 5 Magnitude db Phase (degrees) o Figure 4: Bodediagram for prosess 5

6 2 Plant G(S) [yellow], KG(s) [green], Lag elem. D(s) [red], KD(s)G(s) [blue] 1 Magnitude db scale Phase (degrees) Figure 5: Bodediagram för system med och utan kompensering, samt för lead element 6