Molekylmekanik. - T. Clark, A Handbook of Computational Chemistry, Wiley, L. Simmons, Fysiikka korkeakouluja varten, WSOY, 1970.

Transkript

1 Molekylmekanik II. MOLEKYLMEKANIK II-1 Källor: - T. Clark, A andbook of Computational Chemistry, Wiley, L. Simmons, Fysiikka korkeakouluja varten, WSOY, F. W. Sears och M. W. ZEmansky, University Physics, Addison-Wesley, R. S. Berry, S. A. Rice och J. Ross, Physical Chemistry, Wiley, Sybyl 6.91 manual

2 II-2 Molekylmodellering II.1. Om modeller Syftet med molekylmodellering är att undersöka molekylernas strukturer samt förutspå och visualisera deras egenskaper. T.ex. ger molekylernas symmetrier goda möjligheter att förstå molekylernas form och beteende. Att rita molekylen i någon form, t.ex. för att visa symmetrierna, eller att bygga en plastmodell av en molekyl är modellering. Ett exempel på detta visas i figur II.1. En mera djuptgående analys förutsätter mera avancerade betraktelser. C 3 C σ v σ h C 2 C Fig. II.1. Molekylmodell. Eftersom man inte direkt kan observera enskilda molekyler måste man använda en modell av verkligheten. En modell är en hjälpreda, som man utnyttjar för att kunna förstå, eller åtminstone inbilla sig och visualisera, någon aspekt av molekylernas beteende. Den mänskliga hjärnan kan lättast arbeta med koncept, som är bekanta från den normala fysikaliska världen. För att få en fungerande modell avbildar man således den molekylära världen till den bekanta makroskopiska och klassiska fysiken. En dylik avbildning av den molekylära världen måste dock alltid halta. Verkligheten är mycket mera komplicerad än modellen och t.o.m. följer helt andra fysikaliska lagar, nämligen kvantmekaniken. I bästa fall har man en modell, som i vissa hänseenden beter sig någorlunda likt molekylen. Modellens uppgift är att hjälpa forskaren att förstå och förklara hur den verkliga molekylen beteer sig under ett visst experiment. Därför är en av modellens viktiga funktioner att förenkla och approximera verkligheten så att just den egenskap, som man är ute efter, blir hanterlig, även om man då förlorar i noggrannhet och allmängiltighet. Man skall inte försöka återskapa verkligheten. För att modellen skall vara användbar bör den vara så enkel som möjligt så länge den egenskap, som man studerar, kan förklaras. Detta exemplifieras i figur II.2.

3 Molekylmekanik II-3 a) b) Fig. II.2. Förenklad modell: (a) ett ägg, (b) modell av ägget. Ofta används modeller av varierande förfiningsgrad för ett fenomen beroende på vad man vill visualisera. En kemisk bindning kan modelleras med ett plaströr eller med ett streck på papper. Den modellen beskriver åtminstone en viktig bindningens egenskap: vilka atomer som är bundna till varandra. Plaströret är en mycket bra modell då just denna aspekt skall visualiseras. Däremot kan ett plaströr inte visa, att de två atomerna kan röra sig i förhållande till varandra. För att kunna beskriva den dynamiska egenskapen i en kemisk binding behöver man en mera avancerad model: bindningen måste beskrivas med hjälp av en fjäder såsom i figur II.3. En ännu mera avancerad modell behövs för att man skall kunna säga hur mycket atomerna rör sig: en matematisk ekvation. Eftersom de avancerade modellerna är komplicerade vill man absolut inte använda dem, om man klarar sig med den enkla modellen. Det gäller alltså att välja den enklaste modellen som förmår förklara de saker man är intresserad av. Men modellen måste vara tillräckligt nyanserad för att faktiskt beskriva det man är ute efter. Fig. II.3. Förfinad klassisk modell: kemiska bindningar som fjädrar. Att verkligheten blir hanterlig via en modell betyder, att man på basen av modellen kan förutspå. För att kunna göra detta behöver man oftast bygga upp en matematisk ekvation, från vilken man kan räkna ut den önskade egenskapens värde i olika förhållanden. En modell kan inte ge molekylens alla egenskaper, ty då skulle modellen vara så komplicerad, att man inte skulle kunna räkna någonting. Modellen skulle vara värdelös eftersom den inte skulle kunna användas för att förutsäga och förklara. Molekyler kan modelleras på ett antal olika sätt. En bruttoformel beskriver av vilka atomer molekylen består. Bruttoformeln C 2 3 NO (II.1) ger molekylens grundämnessammansättning och molekylvikt. Dessa berättar redan en hel del om molekylens fysikaliska egenskaper.

4 II-4 Molekylmodellering Skriver man en strukturformel, där de funktionella grupperna visas, ser man att samma bruttoformel gäller för både metylisocyanat, C 3 NCO (II.2) och glykonitril OC 2 CN. (II.3) Bruttoformeln säger inte ens entydigt vad det är för förening. Med strukturformler däremot kan man diskutera molekylernas kemiska egenskaper. En hel del kemisk information finns inskriven i strukturformeln i symbolisk form. Man bör kunna tolka formlerna för att se t.ex. var någonstans man har enkla och dubbla bindningar och vilka atomer som är bundna till vilka. I en Lewisstruktur visar man explicit alla kemiska bindningar och alla fria elektronpar. I formeln finns alltså den elektroniska strukturen angiven i symbolisk form. Även den tredimensionella geometrin kan skönjas i symbolisk form. Man vet ju, att en C 3 -grupp inte är plan. All den symboliska informationen måste dock tolkas och där behöver man kemisk utbildning. Lewisstrukturerna för de två föreningarna visas i figur II.4. C.... N C O.... O.. C C.. N Methyl isocyanate Glycol nitrile Fig. II.4. Metylisoscyanat och glykolnitril. Den tredimensionella strukturen kan delvis avläsas från en Lewisstrukturformel. En Lewisstruktur skiljer inte mellan molekylens olika rymdstrukturer som t.ex. i ättiksyra i figur II.5. Konformererna i figuren har dock en energiskillnad på 10 kj/mol. O C C O C C O O Fig. II.5. Ättiksyra.

5 Molekylmekanik II-5 N 2 + COO - R C C R a N 2 + Fig. II.6. En aminosyra. (a) L-isomer. (b) D-isomer. b COO - Inte heller kan olika stereoisomerer skiljas på basen av deras Lewisstrukturer. Detta exemplifieras för en aminosyramolekyl i figur II.6. Molekylens stereostruktur visas ofta med hjälp av Newmanprojektion. Man väljer en bindning i molekylen, säg mellan atomerna A och B. Då kan även torsionvinkeln genom den valda bindningen visualieras. I exemplet nedan har bindningen mellan karboksylsyragruppen och α-kolatomen valts. De bindningar, som börjar från den främre atomen A ritas i sin helhet. I detta fall ritas de två C O bindningarna helt. En cirkel visar, att det också finns en bakre del. De bindningar, som börjar från atom B bakom pappret, ritas från cirkeln utåt. I detta fall är atomen B α-kolatomen till vilken väteatomen, aminogruppen och sidokedjan R är bundna. Samma aminosyramolekyl som ovan visas i Newmanprojektion i figur II.7. O C O O C O R N 3 + N 3 + R a) b) Fig. II.7. En aminosyra i Newmanprojektion. (a) L-isomer. (b) D-isomer. Molekylmekanik är en teoretisk modell, där man bildar en matematisk ekvation på basen av en rymdstruktur, sådan som den i figur II.6. Molekylmekaniken modellerar molekylernas steriska energier. Den baserar sig på klassisk mekanik och försummar således helt elektronernas inverkan i molekylen. Mera avancerade kvantkemiska metoder behövs för att få en mera detaljerad bild av molekylens egenskaper.

6 II-6 Molekylmodellering II.2. Molekylmekanikmetoden I verkliga molekyler finns många sorters växelverkningar mellan atomerna. Atomkärnorna bär positiva laddningar, vilket gör att atomkärnorna stöts ifrån varandra (en kvantkemist skulle säga, att de repellerar varandra). Elektronerna i molekylen bär negativa laddningar. Således drar atomkärnorna åt sig elektroner (kärnan attraherar elektroner). Elektronerna binder ihop atomkärnorna och bildar alltså de kemiska bindningarna. Varje växelverkning medför ett bidrag till molekylens totala potentiella energi. Naturen strävar efter en så låg potentiell energi som möjligt. Det är därför en molekyl har en struktur. En konformer är stabil därför, att den potentiella energin är lägst just för den strukturen. Ändrar man geometrin litet grand så blir växelverkningarna mindre förmånliga och den potentiella energin ökar. Molekylmekanikmetoden används för att räkna molekylens tredimensionella rymdstruktur. Man konstruerar en modell av molekylen i stil med det som visas i figur II.6. Varje bindning (mera allmänt: varje växelverkning) i molekylen modelleras med en fjäder. Fjädrarna i modellen uppför sig på helt vanligt sätt (en kvantkemist skulle säga: klassiskt). Man börjar med att placera atomerna i ungefär de rätta positionerna i det tredimensionella rummet. Eftersom atomernas positioner inte är exakt de rätta är fjädrarna något spända. Varje fjäder bidrar med sin spänning till den totala spänningsenergin i fjädersystemet. Nu justerar man atomernas positioner så att den totala spänningsenergin i molekylen minskar. Med detta fortsätter man tills man inte mera kan finna en lägre energi. Då har man uppnått en stabil struktur. Processen kallas optimering av geometrin. Spänningsenergin i molekylmekanikmodellen är inte samma sak som den riktiga molekylens potentiella energi utan en modell av den. Man pratar dock oftast om molekylmekanikmodellens potentiella energi även om detta inte är strängt taget riktigt korrekt. Summan av spänningsenergin och de elektrostatiska energierna är molekylmekanikenergin. Atomerna tas i molekylmekanikmodellen som bollar (av något fast ämne). Därför är molekylmekaniken en boll- och fjädermodell, som illustreras i figur II.8. Emedan varje fjäder följer den klassiska fysikens lagar är molekylmekaniken en klassisk modell i motsats till de mera avancerade beräkningsmetoderna, som härleds från kvantmekaniken. Fig. II.8. Molekyl som en boll- och fjädermodell. Den molekylära mekanobyggsatsen innehåller ett antal olika sorters fjädrar. Det finns fjädrar för kemiska bindningar mellan två atomer. Även där finns olika undertyper för

7 Molekylmekanik II-7 enkla bindningar, dubbla bindningar, aromatiska bindningar, C -bindningar, C C- bindningar, C O-bindningar osv. Det finns fjädrar för bindningsvinklar, torsionsvinklar, vätebindningar, Van der Waalsväxelverkningar osv. Alla dessa växelverkningar diskuteras i en senare paragraf. Betrakta som ett exempel en tvåatomig molekyl. Den enda växelverkningen som förekommer är attraktionen mellan atomerna, vilket gör att en kemisk bindning bildas. Den bindningen modelleras med en enda fjäder mellan atombollarna. Fjädern har två egenskaper: Den har en naturlig jämviktslängd r e då fjädern inte alls är spänd. Fjädern har också en karakteristisk styvhet som beskrivs av kraftkonstanten f. När inga yttre krafter finns är fjädern inte spänd. Fjäderns längd är då jämviktslängden och dess potentiella energi V är lika med noll. Om man pressar ihop bindningen eller tänjer den måste man arbeta och detta betyder att man tillför potentiell energi i fjädern. Ju mera man tänjer bindningen desto mera växer den potentiella energin tills bindningen bryts. Dessa variationer i den potentiella energin som en funktion av bindningsavståndet kan beskrivas med hjälp av en potentialenergikurva. Ett exempel på en potentialenergikurva visas i figur II.9. f r e V (ev) D e 1 r e r (pm) Fig. II.9. Potentialenergikurva för en tvåatomig molekyl. Beteckningen r e står för jämviktsavståndet och D e för dissocieringsenergin. Kurvan i figur II.9. kan beskrivas med en matematisk funktion. är har man alltså konstruerat en matematisk modell, som kopplar molekylens bindningsavstånd till en annan molekylär egenskap, nämligen den potentiella energin eller m.a.o. spänningen i den kemiska bindningen. Det exakta matematiska uttrycket för relationen ges senare.

8 II-8 Molekylmodellering Naturen strävar efter att minimera alla spänningarna i molekylen. I den tvåatomiga molekylen söker man alltså ett sådant avstånd mellan atomerna, där potentialenergin har det minsta möjliga värdet, noll. Det är lätt att se i figuren vad bindningsavståndet i den tvåatomiga molekylen bör vara för att uppnå den minsta spänningen. Betrakta vattenmolekylen i figur II.10. som ett exempel. Om man endast beaktar O - bindingarnas längd, kan molekylen uppnå en spänningsfri geometri. Detta är fallet även om man också inkluderar O -bindningsvinkeln. Detta visas i modellen II.10(a). Om det finns en ytterligare växelverkning mellan väteatomerna, som tvingar bindningsvinkeln från det optimala värdet, antar molekylen en sådan geometri att den totala spänningsenergin i hela molekylen minimeras. Detta innebär att spänningen fördelas mellan alla fjädrar i systemet. Detta illustreras i modellen II.10(b). a) b) f f 2 1 f 1 f f 2 1 f 1 Fig. II.10. Växelverkningarna i vattenmolekylen. (a) Utan väte-väte växelverkning; (b) med väte-väte växelverkning. f 3 Varje tredimensionell struktur, som molekylen kan anta, kallas konformation. En konformer är en sådan konformation, som motsvarar ett (lokalt) minimum av molekylmekanikenergin och är således stabil. En molekyl har ofta flera konformerer. Man kan jämföra molekylmekanikenergier för en molekyl i olika konformationer. Man kan inte jämföra molekylmekanikenergier mellan två olika molekyler eftersom antalet och typen av kemiska bindningar är olika. En växelverkning modelleras i molekylmekanikmetoden med en fjäder. Fjäderns egenskaper specificeras av parametrar. I den tvåatomiga molekylens fall används parametrarna f och r e. Parametrarnas värden bestämmer man genom att anpassa dem så att de ger det bästa möjliga resultatet för en rad kända molekyler. Detta pragmatiska tillvägagångssätt är tillåtet emedan man konstruerar en modell, som beskriver molekylens beteende.

9 Molekylmekanik II-9 II.3. Växelverkningarna Molekylmekanikmetoden baserar sig på idén, att atomerna i en molekyl växelverkar med varandra, antingen attraherar de varandra eller repellerar de varandra. En viss mängd potentiell energi finns förknippad med varje växelverkning. När man konstruerar den här modellen bryr man sig inte om den exakta fysikaliska naturen av växelverkningarna. Man försöker bara hitta ett enkelt fysikaliskt fenomen, som skulle beskriva hur två massor stöter ifrån varandra. Detta skriver man som en matematisk funktion, som återger de observerade ändringarna i den potentiella energin då molekylens geometri ändras. Då kommer man till en boll- och fjädermodell. Emedan man i modellen har två massor, som kopplas med en fjäder baserar molekylmekanikmetoden sig på parpotentialer, alltså potentialenergibidrag som verkar mellan två atomer. Således är de viktigaste typerna av bidrag tänjning av en bindning böjning av en bindningsvinkel torsion genom en enkel bindning. Dessutom vet man, att tänjer man en bindning, som startar från atom A, kommer alla de övriga bindningarna, som startar från samma atom, att påverkas. Denna effekt tar man hänsyn till genom att införa krysstermer. De steriska växelverkningarna är attraktiva eller repulsiva krafter, som verkar mellan atomer, som ligger nära varandra i rummet men som inte är bundna till varandra med en kemisk bindning. Dessa växelverkningar sker genom rymden (through space). Bland dem kan nämnas Van der Waalskrafterna de Coulombiska krafterna inklusive dipol-dipol växelverkningarna vätebindningen Den totala potentialenergin för en molekyl innehåller alla dessa bidrag. Den kan skrivas som V = V (r) + V (θ) + V (τ) + V V dw + V Coulomb + V väte + V kryss (II.4) De olika bidragen diskuters i detalj nedan. Tänjning av en bindning beskrivs med formler som är tagna från vibrationspektrometrin. Antingen används den harmoniska approximationen V (r) = 1 2 f(r r e) 2 (II.5) eller en formel med en korrektion för anharmonicitet V (r) = 1 2 f(r r e) 2 fx e (r r e ) 3. (II.6)

10 II-10 Molekylmodellering är är r det faktiska bindningsavståndet och r e jämviktsavståndet, som bindningen skulle anta, om inga andra krafter skulle finnas i molekylen. Storheten f är kraftkonstanten, som beskriver bindningens styvhet, och x e anharmonicitetsfaktorn, som anger hur potentialenergin beter sig under extrema förskjutningar från jämvikten. Den harmoniska approximationen fungerar tillfredsställande i närheten av jämviktsavståndet och den anharmoniska fungerar mycket bra. Den harmoniska approximationen kan inte alls beskriva krafter, som är förknippade med stora förskjutningar från jämviktsstrukturen, och kan därför inte användas om bindningsavståndet är exceptionellt långt. Den anharmoniska potentialen har den kvalitativt rätta formen även för långa avstånd och bör användas om bindningen är ovanligt lång. Dessa approximationer illustreras i Fig. II.11. Många molekylmekanikmodeller använder flera korrektionstermer än bara anharmonicitetskorrektionen i det matematiska uttrycket. a) V b) V R R Fig. II.11. Potential för en kemisk bindning. (a) armonisk approximation. (b) Anharmonisk approximation. Molekylmekanik kan endast användas för att undersöka molekylernas konformerer och konformationsändringar. Den kan inte användas för att studera kemiska reaktioner där bindningar bryts eller bildas! Strukturerna, som ligger långt ifrån jämvikten behandlas mindre pålitligt än strukturerna nära jämvikt. Böjning av bindningsvinklar beskrivs också med en harmonisk potential V (θ) = 1 2 f(θ θ e) 2. (II.7) är är θ den faktiska bindningsvinkeln och θ e jämviktsvinkeln. Ibland införs även här korrektionstermer. Bindningsvinkeln illustreras i Fig. II.12. θ Fig. II.12. Bindingsvinkel.

11 Molekylmekanik II-11 Torsionsvinkeln τ anger hur mycket två grupper i båda ändorna av en kemisk bindning är vridna i förhållande till varandra. Definitionen illustreras grafiskt i figur II.13. τ Fig. II.13. Torsionvinkeln τ. Potentialenergin som beskriver torsionsrörelser ges av Fourierserien V (τ) = V 0 + V 1 cos(τ) V 2 cos(2τ) V 3 cos(3τ) V 4 cos(4τ) + (II.8) Man brukar plocka med bara de termer, som är de mest väsentliga. För en torsion med en tvåfaldig symmetri för torsionaxeln såsom i C = C bindingen i eten används bara termerna med V 0 och V 2. För en funktionell grupp med trefaldig symmetri, såsom den som visas i figur II.13., t. ex. en metylgrupp C 3, använder man formen V (τ) = V V 3 cos(3τ). Potentialenergikurvan för ett system med trefaldig symmetri illustreras i figur II.14. V V max V Fig. II.14. Fourierpotentialen för trefaldig symmetri. τ Krysstermerna införs mellan alla de föregående växelverkningarna för att få en noggrannare molekylmekanikmodell. Termerna, som kopplar ihop två krafter, är oftast kvadratiska, V kryss = f 12 (q 1 q e1 )(q 2 q e2 ) (II.9)

12 II-12 Molekylmodellering där den generaliserade koordinaten q i står för ett bindningsavstånd, en bindningsvinkel eller en torsionsvinkel beroende på fallet. Van der Waalskraft är ett gemensamt namn för en rad dels attraktiva och dels repulsiva växelverkningar, som är betydligt svagare än de vanliga kemiska bindningarna: överskjutningsrepulsion, dipol-dipol, induktion och Londondispersion, V V dw = V rep + V D D + V ind + V London. (II.10) Van der Waalsväxelverkningen är betydligt svagare än de krafter, som håller en enskild molekyl ihop, och verkar på längre avstånd. Den är den dominerande intermolekylära växelverkningen, som binder ihop molekyler i organiska kristaller eller i vätskor. I figur II.15. visas en jämförelse av en vanlig kovalent bindning (här en -binding) med ett Van der Waalskomplex, där ingen kemisk bindning finns (här Ne Ne-komplexet). Bindningsavståndet i Van der Waalskomplexet är betydligt längre än i en typisk kovalent bindning. Van der Waalskomplexets bindingsenergi är hundra gånger svagare än den kovalenta bindningens. E(-) [kj/mol] E(Ne-Ne) [kj/mol] Ne-Ne R [pm] Fig. II.15. Jämförelse av en kovalent bindning med ett Van der Waalskomplex Den repulsiva kraften härstammar från det att molekylernas elektronhöljen penetrerar i varandra. Dessa krafter kan beskrivas med en exponentfunktion V rep = be r/p (II.11) där b och p är parametrar som beror på molekylernas egenskaper och r avståndet mellan molekylerna. Man använder ofta en potensfunktion V rep = B r 9 (II.12)

13 Molekylmekanik II-13 i stället för det exponentiella uttrycket eftersom den är datortekniskt enklare. är är B och exponenten 9 justerbara parametrar. Potensen 12 är faktiskt vanligare än den teoretiskt mera korrekta potensen 9. Dipol-dipol attraktionen mellan molekyler med ett permanent dipolmoment beskrivs ofta som ett nettoresultat för de olika orientationerna som V D D = 2 3 µ 4 (4πǫ 0 ) 2 r 6 kt (II.13) för två molekyler med dipolmomentet µ på avstånd r. Naturkonstanterna i denna ekvation är vakuets elektriska permittivitet ǫ 0 och Boltzmanns konstant k. Storheten T är den absoluta temperaturen. Induktion innebär att en molekyl med ett permanent dipolmoment µ kan påverka elektronfördelningen i en annan molekyl med eller utan permanent dipolmoment så att ett dipolmoment induceras. Polariserbarhet α säger hur lätt eller svårt det är att inducera ett dipolmoment i den andra molekylen. Det permanenta dipolmomentet av den första molekylen och det inducerade dipolmomentet av den andra attraherar sedan varandra enligt V ind = 2αµ2 4πǫ 0 r 6. (II.14) Londonkrafterna eller de dispersiva krafterna härstammar från den detaljerade elektronfördelningen i molekylens atomer. Betrakta väteatomen som ett exempel. I en vanlig tidskala rör elektronen så snabbt att den bildar en gas runt kärnan men i den atomära tidskalan har kärnan och elektronen vissa momentana lägen och således ett momentant dipolmoment som varierar mycket snabbt. Grannmolekylerna upptäcker dock dessa dipolmoment och attraheras av dem. Londonattraktionen kan beskrivas genom V London α2 r 6 (II.15) I molekylmekanik inför man oftast en modellpotential som beskriver alla de ovan nämnda växelverkningarna med en enda ekvation. Den vanligaste matematiska ekvationen, som används för att beskriva de olika Van der Waalskrafterna är Lennard-Jonespotentialen med exponenterna (12,6) V V dw = A r 12 B r 6. (II.16) Den visas i figur II.16. Ett alternativt uttryck för Van der Waalskrafterna är Buckinghampotentialen V V dw = Ae Br C r 6, (II.17)

14 II-14 Molekylmodellering V = A/r 12 - B/r Fig. II.16. Lennard-Jonespotentialen. som använder en exponentfunktion för repulsionen. De Coulombiska krafterna är växelverkningar mellan atomernas nettoladdningar i molekylen. De bidrar till den potentiella energin som V Coulomb = Z 1Z 2 e 2 4πǫ 0 r (II.18) där Z 1 och Z 2 är atomernas nettoladdningar. Atomernas nettoladdningar är en egenskap, som beror på molekylens elektronfördelning och kan således inte räknas klassiskt. Man måste uppskatta nettoladdningarna i molekylmekanikmetoden på basen av enkel kemisk information om molekylerna. Oftast används atomernas relativa elektronegativiteter. De två mest populära teoretiska metoderna att uppskatta atomernas nettoladdningar har publicerats av Gasteiger respektive DelRe. För delokaliserade π-elektronsystem kan den enkla kvantkemiska ückelmetoden användas. Från dessa uppskattade nettoladdningar kan man härleda dipolmoment, elektrostatiska potentialer mm.

15 Molekylmekanik II-15 II.4. Parametriseringarna Formlerna för de olika växelverkningarna, som förekommer i molekylmekanikberäkningar, innehåller ett antal parametrar. Uttrycket för en harmonisk oscillator, ekv. (II.5), har parametrarna f och r e. Dessa parametrar är samma för alla kemiska bindningar av samma typ, t.ex. mellan två kolatomer, som är sp 3 hybridiserade, men för paret C N måste man givetvis ha andra parametrar. Även en enkel bindning mellan paret C C där den ena kolatomen är sp 2 hybridiserad måste ha sina egna parametrar som skiljer sig från parametrarna för en enkel bindning mellan två sp 3 kolatomer. Likaledes har uttrycket för torsionerna parametrarna V 0, V 1 etc. och Lennard-Jonesuttrycket för Van der Waalsväxelverkningar har parametrarna A och B. Värdena för alla dessa parametrar väljs så, att strukturerna för en rad kända molekyler (training set) återges så noggrannt som möjligt. Sedan kan dessa parametervärden användas för helt nya molekyler. I tabellen nedan ges några exempel för Tripos kraftfält. Bindning Typ r e f Csp 3 - Csp 3 Enkel Csp 3 - Csp 2 Enkel Csp 3 - Enkel Csp 3 - Nsp 3 Enkel Csp 2 - Osp 2 Dubbel En parameteruppsättning definierar dels vilka formler, dvs. vilka krafter, ingår i modellen och dels hur starka är krafterna mellan atomerna. Därför kallas en parameteruppsättning ett kraftfält. I stället för molekylmekanikmetod pratar man ofta om en kraftfältmetod (force field method). En optimerad parameteruppsättning bildar molekylmekanikmetodens parametrisering. Den konstrueras så att man väljer en mångd molekyler med väl kända strukturer. Parametrarna optimeras så att molekylmekanikprogrammet återger strukturerna för de valda molekylerna så noggrannt som möjligt. Man använder här ett minsta kvadrat kriterium för alla bindningsavstånd, bindningsvinklar och torsionsvinklar i hela molekylmängden. Eftersom antalet parametrar är mycket stort måste man införa forskarens subjektiva bedömingar i processen för att uppnå ett bra resultat. Valet av molekyler som används för att justera parametrarna är naturligtvis också forskarens subjektiva åsikt. På detta sätt uppstår olika parametriseringar. Varje parametrisering baserar sig på enhetliga kriterier och är konsistent inom sig. Varje två parametriseringar är alltid okompatibla. Man kan inte bilda en ny parametrisering genom att blanda parametrar från flera tidigare parametriseringar.

16 II-16 Molekylmodellering Emedan det i parametrisering ingår valet av de formler, som används, är en parametrisering ofta förknippad med ett specifikt molekylmekanikprogram eller modelleringsprogram. Molekylmekanikprogrammen fungerar mycket pålitligt för molekyler som liknar dem som finns i mängden som användes för att parametrisera metoden. Man får oftast bra resultat även för helt annorlunda molekyler men man skall vara försiktig när man tolkar resultaten. Varje parametrisering har sina typiska fel. Några exempel på de vanligaste parametriseringarna är Allingers forskargrupp har publicerat parametriseringarna MM1 (föråldrad), MM2 och MMP2 (1980, P i MMP2 står för π-elektroner, som behandlas med ückels metod), MM3 (1989, kommersiell) och MM4 (1996). Kollmanns forskargrupp har utvecklat en parametrisering, som kan användas för alla molekyler men lämpar sig speciellt bra för biopolymerer. Den kommer i två olika versioner. I den ena varianten betraktar man hela funktionella grupper, t.ex. metylgruppernagrupperna ( C 3 ) eller metylengrupperna ( C 2 ), som superatomer, som endast har en parameteruppsättning. I den andra varianten har alla atomer, även väteatomerna, sin egen parameteruppsättning. AMBER är en modifierad version av Kollmans parametrisering och är således också avsedd främst för biopolymerer. Firman Polygen marknadsför programmet CARMm försedd med firmans egna parametrisering. Firman Tripos marknadsför programmet SYBYL, som använder Tripos kraftfält i programmets molekylmekanikdel.

17 Molekylmekanik II-17 II.5. De termodynamiska energierna En molekylmekanikberäkning ger summan av potentialenergibidragen från alla växelverkningar i molekylen för en viss geometri enligt ekvationen (II.4). Den potentiella energin beskriver den totala spänningen i de klassiska fjädrarna som molekylmodellen består av. Den har ingen motsvarighet i termodynamiken. Summan av potentialenergibidragen kallas molekylmekanikenergi. Eftersom molekylmekanikenergin beskriver den totala spänningen i molekylen bör den alltid vara positiv. Den kan dock bli negativ om de Coulombiska växelverkningarna mellan atomernas nettoladdningar är dominerande. Molekylmekanikenergin beror på antalet och typen av kemiska bindningar - eller fjädrar - i molekylen. Man kan inte jämföra molekylmekanikenergier för två molekyler. Man kan jämföra energierna för olika konformerer av samma molekyl och bestämma vilken struktur som är den energetiskt mest fördelaktiga. Man kan också variera molekylens geometri systematiskt och räkna molekylmekanikenergin för varje konformation. Ritar man energin som en funktion av konformationsändringen får man en potentialenergikurva. Molekylmekanikenergi är en storhet, som är enbart relaterad till den modell, som man använder. Den har ingen kemisk innebörd. Bildningsvärme eller rättare bildningsentalpi f är en termodynamisk storhet som anger hur mycket energi man måste investera (eller kan vinna) genom att bilda en viss molekyl i en viss konformation från fria grundämnen i deras naturliga tillstånd. För etanol C 2 5 O är bildningsvärmet lika med reaktionsentalpin för den kemiska reaktionen 2C(s) (g) O 2(g) C 2 5 O(l). (II.19) Bildningsvärme är en väldefinierad termodynamisk storhet och kan jämföras mellan olika föreningar. Den kan approximeras i molekylmekanik så att man bestämmer en uppsättning nya justerbara parametrar, de sk. bindningsentalpierna, för varje typ av kemiska bindningar. De räknas för en typisk molekyl, där varje bindning, bindningsvinkel och torsionsvinkel är under en typisk spänning. Molekylens bildningsvärme får man genom att addera ihop den totala molekylmekanikenergin och bindningsentalpin för varje bindning i molekylen. Det termodynamiska begreppet spänning betyder i det normala kemiska språket den extra energi som molekylen har på grund av att bindningsvinklarna eller bindningslängderna har tvingats till onaturliga värden. Det är inte samma sak, som spänning i fjädrarna i molekylmekanikmodellen. Termodynamisk spänning förekommer t.ex. i cyckliska föreningar med små ringar (femringar eller mindre). I molekylmekanik kan spänningsenergin räknas genom att använda hypotetiska bindningsentalpier som motsvarar bindningar i helt spänningslösa molekyler. Förhållandet mellan de olika energierna visas i figur II.17.

18 II-18 Molekylmodellering Spänningslösa bindningsentalpier Spänningsenergin MM-energi 0 Bindningsenthalpierna Bildningsvärme Fig. II.17. Förhållandet mellan energierna.

19 Molekylmekanik II-19 II.6. Optimering av strukturen När man har konstruerat en lämplig parametrisering av molekylmekanikmetoden, kan man ta vilken som helst molekyl i en godtycklig konformation och räkna molekylmekanikenergin för molekylen med just den geometrin. Sedan kan man ändra molekylens geometri litet och räkna molekylmekanikenergin för den nya geometrin. Om molekylmekanikenergin blev lägre för den nya geometrin, hittade man en energetiskt fördelaktigare struktur. Man fortsätter att ändra geometrin tills man inte mera kan hitta en struktur med lägre energi. Då har man uppnått en energetiskt stabil struktur, dvs. en konformer. Man vet dock inte om man har hittat molekylens energetiskt mest fördelaktiga konformer. Molekylens struktur kan ges med hjälp av kartesiska (x, y, z) koordinater för varje atom. Oftast anger man dock strukturen med hjälp av valenskoordinaterna, dvs. bindningsavstånden, bindningsvinklarna och torsionsvinklarna. En molekyl med N atomer har 3N 6 olika sådana strukturparametrar eller interna frihetsgrader. En lineär molekyl har 3N 5 frihetsgrader. En tvåatomig molekyl är alltid lineär. Då är N = 2 och 3N 5 = 1. Man kan endast variera avståndet mellan atomerna. Då får man en potentialenergikurva såsom den i figur II.9. I större molekyler har man en potentialenergihyperyta i 3N 6 eller 3N 5 dimensioner. Man kan inte visualisera sådana flerdimensionella hyperytor. Optimeringsprogrammen däremot kan arbeta med flerdimensionella ytor så att strukturoptimeringen sker samtidigt för alla frihetsgrader. En potentialenergihyperyta har i flesta fall ett stort antal lokala minima, dvs. stabila konformerer. Optimeringsprogrammen söker sig till det närmaste minimet och inte nödvändigtvis till det absolut lägsta (dvs. globala) minimet på ytan. Således kan man få en konformer, som inte är den mest stabila för molekylen i fråga. Kontrollera alltid att den optimerade strukturen motsvarar den kemiska intuitionen. Molekylernas optimerade strukturer motsvarar vanligtvis mycket noggrannt de experimentellt observerade geometrierna. Mindre variationer i metodens pålitlighet för en given molekyl förekommer beroende på vilken parametrisering man har valt att använda. Olika parametriseringar är avsedda för olika sorters molekyler. De moderna optimeringsmetoderna är mycket effektiva och intelligenta. De behöver inte ändra varje strukturparameter på varje möjligt sätt. I stället kan de uppskatta på vilket sätt strukturen som helhet skall ändras för att få en lägre energi. För detta används de första derivatorna av potentialenergifunktionen. Derivatorna kan räknas antingen analytiskt eller numeriskt. De analytiska derivatorna innebär att programmeraren har skrivit ner formeln för energibidragen, deriverat den för hand på vanligt sätt och programmerat även formlerna för derivatorna i optimeringsprogrammet. De numeriska derivatorna innebär, att programmet kommer ihåg de punkterna, som har räknats, och använder

20 II-20 Molekylmodellering differentialer, f (x i ) = f(x i) f(x i 1 ) x i x i 1 (II.20) för att räkna derivatorna (formeln är given i en dimension för enkelhetens skull). Använder man derivator, antingen analytiska eller numeriska, kallas metoden en gradientmetod. Gradientmetoderna har den fördelen framom konventionell stegvis optimering, att man inte behöver pröva alla koordinatriktingar i tur och ordning utan man kan räkna i vilken rikting den brantanste lutningen (steepest descent) hittas. Steglängden kan man inte räkna ut. Man använder antingen en fast steglängd tills man inte uppnår förbättringar och halverar sedan steglängden. Det är också möjligt att använda en variabel steglängd som justeras på basen av derivatans storlek. En gradientmetod är effektiv för grov optimering men tenderar att bli långsam nära minimet. Andra ordningens optimering betyder att man räknar även de andra derivatorna. Då kan man hitta minimet med Newton-Raphsonmetoden genom att koncentrera sig på ytans första derivata som är noll vid extremvärden. Andra ordningens metoder är effektiva speciellt i närheten av minimet. Därför brukar många molekylmekanikprogram starta optimeringen med en gradientmetod av något slag och byta till en andra ordningens metod då man har kommit i närheten av ett minimum.

21 Molekylmekanik II-21 II.7. Potentialenergikurva Det primära resultatet från en beräkning är molekylens stabila konformer och den motsvarande molekylmekanikenergin. Den beräknade strukturen motsvarar alltså ett potentialenergiminimum. Man bör dock observera, att geometrioptimeringen leder till den stabila strukturen, som ligger närmast startgeometrin. Den uppnådda strukturen behöver inte vara den mest stabila strukturen, som molekylen kan ha. Man kan ha hittat ett lokalt minimum i stället för det globala minimet på potentialenergihyperytan. Den mest stabila strukturen, eller det globala minimet, hittar man genom att undersöka systematiskt molekylens alla geometrier. Detta kan göras på flera olika sätt. Emedan det är svårt att rita funktioner, som beror på flera än en variabel (eller maximalt två variabler) väljer man en speciellt viktig valenskoordinat, oftast en torsionsvinkel. Den koordinaten varierar man systematiskt med en lämplig steglängd. Alla de övriga valenskoordinaterna optimeras vid varje värde av den valda valenskoordinaten. Då får man en rad potentiella energier, som motsvarar olika värden av den valda valenskoordinaten. Dessa punkter ritar man i ett koordinatsystem. Sedan kan man skissera en potentialenergikurva genom punkterna. Från potentialenergikurvan kan man lätt avläsa var någonstans man har energiminima och vilket av dem är det globala minimet. Man ser också hur höga energibarriärer det finns mellan minima. Energibarriärens höjd är potentialenergiskillnaden mellan minimet och det närmaste maximet i potentialenergikurvan. Dessa storheter definieras i figur II.18. V Lokalt minimum Globalt minimum Barriär Fig. II.18. Potentialenergikurvans lokala och globala minimum samt barriär. τ Ett datorprogram kan hantera flerdimensionella hyperytor. Man kan ange datorn sam-

22 II-22 Molekylmodellering tidigt ett antal valenskoordinater, som skall varieras systematiskt. Programmet bildar ett n-dimensionellt nät av punkter och bestämmer molekylens potentialenergi vid varje nätpunkt. Sedan kan man visualisera punkter från denna hyperkub enligt olika kriterier. Man bör dock observera, att beräkningsarbetet ökar exponentiellt. ar man valt ut en variabel med tio olika värden så gör man tio beräkningar, vilket inte är speciellt tungt för en dator. ar man valt ut två variabler med tio olika värden för vardera så behöver man göra hundra molekylmekanikberäkningar. Detta är redan en ganska formidabel uppgift för en vanlig dator. Oftast undersöker man molekylens beteende under torsioner. Bindningsavstånd eller bindningsvinklar brukar vara ointressanta emedan de endast i exceptionella fall kan ha större variationer än 10 %. De enda relevanta torsionerna är sådana där enkla bindningar roteras. En torsion genom en dubbelbinding är kemiskt omöjlig. Den skulle kräva alltför mycket energi. Dessutom måste atomer faktiskt röra på sig. En torsion av en C bindning är ointressant eftersom molekylens struktur inte ändras.

23 Molekylmekanik II-23 II.8. Molekylens storlek Det enklaste måttet på molekylens storlek är dess bredd, höjd och djup. Dessa kan man få genom att mäta avståndet mellan atomer på motsatta sidor av molekylen såsom visas i figur II.19. Fig. II.19. Molekylens bredd och höjd. Atomkärnornas positioner ger inte speciellt bra bild av molekylens storlek. Även elektronhöljets storlek borde beaktas. Elektronhöljet ingår dock inte i den klassiska molekylmekanikmetoden. Olika artificiella mått på hur långt från atomkärnan elektronerna sträcker sig kan konstrueras. Ett vanligt sätt är att använda atomernas Van der Waalssfärer. Termen CPK-sfär (CPK = Corey-Pauling-Koltun) används ofta. Dessa är sfärer med atomens Van der Waalsradius. Van der Waalsradier finns tabulerade i handböcker. De fås från potentialenergikurvor, som beskriver Van der Waalskraften mellan två atomer. Låt potentialenergikurvan för Van der Waalskomplexet av två syreatomer ha sitt minimum vid 140 pm. Detta är de två syreatomernas avstånd i komplexet. Då säger man att syreatomens radius är 70 pm. Man kan också konstruera Van der Waalssfärer, som omringar hela funktionella grupper. T.ex. en metylgrupp ( C 3 ) har radiet 200 pm. Man kan tänka sig, att Van der Waalssfär anger det utrymme, som atomen behöver ha runt sig och ger en mycket grov bild av atomens storlek. Molekylens Van der Waalsyta är en summa av alla atomers Van der Waalssfärer. En sådan yta visualiseras i figur II.20. Fig. II.20. Molekylens Van der Waalsyta.

24 II-24 Molekylmodellering Molekylens storlek kan mätas t.ex. genom att ange volymen inom Van der Waalsytan eller ytans area. Connollys yta visar hur nära molekylen en testkropp kan komma. Detta är speciellt intressant i proteiner, som har små kaviteter och man vill veta huruvida t.ex. en vattenmolekyl kan tränga sig i kaviteten. Ytan konstrueras så att man tar en sfär, som till storleken motsvarar testmolekylen. T. ex. vattenmolekylen är ganska rund och kan väl beskrivas med hjälp av en sfär. Sfärens radius är oftast testmolekylens Van der Waalsradius. För vatten brukar man använda radiet 120 pm. Sedan låter man testsfären rulla över molekylens Van der Waalsyta. Testsfärens mittpunkt ritar då Connollys yta såsom visas i figur II.21. Connollys yta visar bara huruvida kaviteten är tillräckligt stor för att testmolekylen kan tränga i den. Endast steriska effekter beaktas. I verkliga molekyler finns även andra krafter, som påverkar testmolekylens benägenhet att faktiskt tränga i kvaliteten. Fig. II.21. Connollys yta.

25 Molekylmekanik II-25 II.9. Atomernas laddningar En molekyl kan acceptera eller donera en hel elektron med den negativa elementärladdningen C. Jonernas laddningar anges oftast i enheter elementärladdning och kan då endast vara heltaliga: +1, +2 osv. eller -1, -2,... Däremot kan små laddningsförskjutningar inom en molekyl förekomma därför att elektronhöljet inte behöver vara helt jämnt fördelat mellan atomerna. Atomens nettoladdning inom en molekyl är summan av den positiva laddningen, som kärnan har, och de elektronernas laddningar, som omringar atomen i molekylen. Det är en evighetsfråga bland teoretikerna vilka elektroner som ligger så nära atomen, att de kan anses omringa den. Elektronernas medelantal vid en viss punkt i molekylen kallas elektrontäthet vid den punkten. I det ideala fallet kompenserar alltså elektronernas negativa laddningar exakt kärnans positiva laddning så att atomens nettoladdning är lika med noll. Kolatomens kärnladdning är +6 (elementärladdningar). Om elektrontätheten i atomens närhet i en molekyl är exakt 6 är atomen neutral. I verkliga molekyler är elektronhöljet oftast något förskjutet så att elektrontätheten vid atomkärnan inte är den ideala. Då bär atomen en nettoladdning, som är positiv, om det i medeltal finns färre elektroner än det optimala antalet runt atomen, eller negativ, om atomen har i medeltal vunnit elektroner. Eftersom elektronernas antal i molekylen inte ändras utan de bara fördelas på ett annat sätt, är atomernas nettoladdningar bråkdelar av en elementärladdning. Summan av samtliga atomernas nettoladdningar är lika med noll i en neutral molekyl (eller lika med jonens totala laddning, som är ett heltal). Atomernas nettoladdningar i eten visas i figur II Fig. II.22. Atomernas nettoladdningar i eten. Atomernas nettoladdningar i en molekyl är för en teoretiker en kontroversiell storhet. Elektronerna ingår överhuvudtaget inte i molekylmekanikmodellen. Elektrontätheterna måste räknas indirekt. I mera avancerade kvantkemiska metoder är det inte självklart, vilka elektroner som ligger i närheten av en atom och bidrar till dess nettoladdning. För en praktiserande kemist är atomernas nettoladdningar i en molekyl ett mycket viktigt verktyg, som hjälper att planera synteser, att tolka spektra och att förklara hur molekyler växelverkar med varandra. De beräknade nettoladdningarna leder till flera viktiga storheter. Molekylens elektriska dipolmoment kan räknas. Ett elektriskt dipolmoment är en vektorstorhet, som definieras

26 II-26 Molekylmodellering på följande sätt: Betrakta två laddningar, +Q och Q, som ligger på avståndet a från varandra. Man kan rita en pil från Q till +Q. En sådan pil kallas vektor och betecknas som a. En vektor har en längd (här a, som är avståndet mellan laddningarna) och en riktning. Det elektriska dipolmomentet är då p = Q a. (II.21) Dipolmomentvektorns längd anger dipolmomentets storlek och dess riktning dipolmomentets riktning. Molekylens elektroniska dipolmoment visualiseras ofta som en pil. Etenmolekylens dipolmoment är lika med noll (den har inte något dipolmoment). Vattenmolekylens elektriska dipolmoment är 1.85 D (debye) = Cm. Det visualiseras i figur II.23. Dipolmomentet ger bl.a. en fingervisning om molekylens löslighet i olika lösningsmedel. Fig. II.23. Vattenmolekylens dipolmoment. En laddning skapar ett elektriskt fält E runt sig. En positiv laddning attraherar en negativ testladdning och repellerar en positiv testladdning. Attraktion och repulsion betyder, att en kraft påverkar testladdningen Q. Den kraften beror på det elektriska fältet enligt F = Q E. (II.22) Ett elektriskt fält visualiseras ofta med hjälp av kraftlinjer. De motsvarar de magnetiska kraftlinjerna, som är bekanta från gymnasiet. Man kan också välja en viss fältstyrka och visa alla de punkter där fältstyrkan har just detta värde. På detta sätt skapar man en isopotentialyta. Det är brukligt att visa en isopotentialyta för det negativa fältet, en för det positiva fältet och den ytan, där fältet är lika med noll. Det elektriska fältet kan användas t.ex. för att förklara varför molekylerna närmar sig på ett visst sätt vid en kemisk reaktion (reaktionsmekanism).