3D: transformationer:

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "3D: transformationer:"

Transkript

1 3D: transformationer: ramar, matriser, kvaternioner perspektiv: ortografisk, perspektiv kurvor, ytor: parametriska, kubiska - interpolerande, Bézier, spline Inlämningsuppgift 3 Yngve Sundblad y@kth.se DH2640 Grafik och Interaktionsprogrammering VT 2009

2 Kursmaterial 3D-transformationer: Kursboken (Angel) kap.4 Kurvor och ytor: Kursboken (Angel) kap.12 (5.ed), kap.11 (4.ed) Projektioner: Kursboken (Angel), kap.5 Ingrid Carlbom & Joseph Paciorek: Planar Geometric Projections and Viewing Transformations, Computing Surveys 10(4), Dec 1978, pp (hela -502) (i kursbunten)

3 Matematiska byggstenar Skalär (storhet) u Punkt (position) P Vektor (längd och riktning) v Transformationsmatris (4x4) M Kvaternion (3D-rotation) q

4 Skalär- och kryssprodukt Två av de vanligaste vektoroperationerna i datorgrafik v v u u v = (u x v x + u y v y,+u z v z ) = u v cos θ Skalärprodukten är 0 omm faktorerna är ortogonala (vinkelräta) u v θ u v u v = (u y v z u z v y, u z v x u x v z, u x v y u y v x ) Kryssprodukten (en vektor) är ortogonal mot bägge faktorerna v u

5 Basvektorer Givet 3 st 3-dimensionella basvektorer v 1, v 2, v 3 som alla är vinkelräta mot varandra kan vi skriva vektorn w som w = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 = a T v 1 v 2 v 3 v 3 α 3 v 3 w α1 v 1 där α 2 v 2 v 2 v 1 a T = α 1 α 2 α 3

6 Ramar (frames) Vi definierar en ram som (v 1, v 2, v 3, P 0 ) där P 0 kallas ramens origo. För punkter i denna ram gäller: P = P 0 + η 1 v 1 + η 2 v 2 + η 3 v 3 = p T v 3 v 1 v 2 v 3 P 0 η 3 v 3 P 0 η 2 v 2 P η 1 v 1 v 1 där p T = η 1 η 2 η 3 1 v 2 (4D homogena koordinater, jfr 3D homogena för punkter i planet)

7 Ramar (frames) En riktningsvektor w i denna ram skrivs w = a T v 1 v 2 v 3 P 0 där a T = α 1 α 2 α 3 0 Riktningsvektorer definieras alltså oberoende av origo.

8 u 1 γ11 v 1 Byte av ram Givet två ramar (v 1, v 2, v 3, P 0 ) och (u 1, u 2, u 3, Q 0 ), kan vi skriva γ 13 v 3 v 3 u 1 = γ 11 v 1 + γ 12 v 2 + γ 13 v 3 u 2 = γ 21 v 1 + γ 22 v 2 + γ 23 v 3 u 3 = γ 31 v 1 + γ 32 v 2 + γ 33 v 3 Q 0 = γ 41 v 1 + γ 42 v 2 + γ 43 v 3 + P 0 γ 12 v 2 v 2 v 1 Matrisform: u 1 u 2 u 3 Q 0 = γ 11 γ 12 γ 13 0 γ 21 γ 22 γ 23 0 γ 31 γ 32 γ 33 0 γ 41 γ 42 γ 43 1 v 1 v 2 v 3 P 0 M

9 Punkter och rambyte Ta nu en punkt P och definiera den i två olika ramar: P = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3 + P 0 P = β 1 u 1 + β 2 u 2 + β 3 u 3 + Q 0 i den första ramen i den andra Hur är α- och β-värdena relaterade? P = u 1 u 2 v 1 (enl. ovan) v 1 β β β 1 v v u = a 2 = b T M 2 v 2 = α T 3 v 1 α 2 α v 3 v 3 Q 0 P 0 P 0 P 0 v 1 (föregående bild)

10 Punkter och rambyte b T M v 1 v 2 v 3 P 0 = a T b T M = a T a = M T b v 1 v 2 v 3 P 0 och omvänt: b = (M T ) -1 a D.v.s. P's koordinater i ram 2 fås om man multiplicerar koordinaterna för ram 1 med (M T ) -1.

11 Exempel Antag att vi har två ramar (v 1, v 2, v 3, P 0 ) och (u 1, u 2, u 3, Q 0 ) och att ramarna är relaterade till varandra enligt följande: v 3 v 2 P 0 Q 0 u 3 M T = u 1 u 2 v u 1 = (3v 1 + 4v 2 )/5 u 2 = (4v 1-3v 2 )/5 u 3 = v 3 Q 0 = P v 3 M = (M T ) -1 =

12 Exemplet Tag nu punkten a = ( ) T i den första ramen ( världen ). Vilken är dess motsvarighet i den andra ramen (lokal)? b = (M T ) -1 a b = ger oss a = T 0 rel P , -0.5 rel Q P 0 Q 0 v u 1 v 1 Åt andra hållet: p = ( ) T i ram 2. I ram 1 blir den p världen = M T p = ( ) T v 3 u 3 u 2

13 Fixram och transformationsram Ofta jobbar man med en "fixram" (t.ex. kameran/utsiktspunkten) och en "transformationsram". Fixramen är fast och transformationsramen tillåts variera. Exempel: Våra koordinater d α 1 α 2 α 3 1 = α 1 α 2 α 3 - d 1 d Fixram Transformationsram M T Punkt i transf.- ramen Motsv. punkt i fixramen

14 3D-transformationsmatriser(jfr 2D) = = = = = ' ' ' ' ' ' z y x s s s z y x z y x z y x t t t z y x z y x z y x z y x z y x T S T M Translation Skalning

15 3D-rotationsmatriser (tre, en i 2D) x' y' z' 1 = R z (θ) x y z 1 = cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ x y z 1 x' y' z' 1 = R x (θ) x y z 1 = cosθ sinθ 0 0 sinθ cosθ x y z 1 x' y' z' 1 = R y (θ) x y z 1 = cosθ 0 sinθ sinθ 0 cosθ x y z 1 Rotation kring z-axeln Rotation kring x-axeln Rotation kring y-axeln

16 Multipla transformationer (som 2D) Vi kan sätta samman transformationer genom att multiplicera matriserna: d s s d T S TS = s d α 1 α 2 α 3 1 = α 1 sα 2 α 3 - d 1 TS

17 Multipla transformationer Observera att ordningen på multiplikationen kan spela roll! d s = s -d T S TS s d = s -sd S T ST

18 Att specificera orientering (rotationer) Vi börjar med att pröva yaw-pitch-roll (gir-stig-roll). Antag att flygplanet är modellerat så det initialt "pekar" längs z-axeln. Vi roterar först kring z-axeln (roll), sedan kring y-axeln (yaw), sist kring x-axeln (pitch). Kallas för att arbeta med Euler angles eller Eulermatriser. y z x

19 Rotation i 3D v Man kan visa att vilken orientering (3D-rotation) som helst kan beskrivas som en (1 st) rotation kring en vektor. Rotationsmatriserna (kring x-, y- och z-axlarna) kan sättas ihop till en transformation utgående från rotationsvektorn och rotationsvinkeln

20 Allmän 3D-rotation - Angel Om rotationsenhetsvektorn är a = (ax, ay, az) och rotationsvinkeln runt denna vektor är θ roterar man först kring x-axeln till y-planet (x=0) med vinkeln θ x = arctan(ay/az); d= ay 2 +az 2, cos(θ x )=az/d, sin(θ x )=ay/d, sedan kring y-axeln till z-planet med vinkeln θ y = -arcsin(ax); cos(θ y )=d, sin(θ y )=-ax, sedan kring z-axeln med vinkeln θ z = θ sedan tillbaka kring y-axeln med vinkeln -θ y sedan tillbaka kring x-axeln med vinkeln -θ x Alltså blir totala transformationsmatrisen: R x (-θ x ) R y (-θ y ) R z (θ) R y (θ y ) R x (θ x )

21 Kvaternioner, Angel 4.12 En matematisk struktur som kan beskriva 3D-rotation kring en godtycklig vektor är kvaternioner (quaternions), uppfunna 1843 av irländske matematikern W.R. Hamilton. Detta motsvarar komplexa talens (Euler mfl, 1700-talet), i 2 =-1, användning för att beskriva 2D-rotationer i planet: z = x + iy = r (cos µ + isin µ) Rotation vinkeln θ genom multiplikation med p = cos θ + isin θ p*z = r (cos(µ + θ) + i sin(µ + θ))

22 Kvaternioner (quaternions) En kvaternion q definieras så här: q = (q 0, q 1, q 2, q 3 ) = q 0 + q 1 i + q 2 j + q 3 k = (q 0, q) där (jfr komplexa tal) i 2 = j 2 = k 2 = -1 ij=k, jk=i, ki=j ji=-k, kj=-i, ik=-j

23 Kvaternioner - algebra Lite kvaternionalgebra: tag två kvaternioner a och b: a = (q 0, q 1, q 2, q 3 ) = (q 0, q) b = (p 0, p 1, p 2, p 3 ) = (p 0, p) Addition och multiplikation: a + b = (p 0 + q 0, p + q) ab = (p 0 q 0 p q, q 0 p + p 0 q + q p) Norm och invers: a 2 = q q q = q 0 2 +q 1 2 +q 2 2 +q 3 2 a -1 = (1 / a 2 )(q 0, -q)

24 Kvaternioner - för 3D-rotation Tag en punkt P i 3D. Skapa kvaternionen P θ v p = (0, P) = xi + yj + zk Välj rotationsaxeln v normerad (enhetsvektor) Låt rotationsvinkeln vara θ. Skapa nu kvaternionen r enligt r = (cos(θ/2), sin(θ/2)v) r 2 = 1 r -1 = (cos(θ/2), -sin(θ/2)v)

25 Kvaternioner - för 3D-rotation Genom lite råräknande visar man att p' = rpr -1 ger samma resultat som sammansatta rotationsmatriserna för att rotera punkten P θ radianer kring vektorn v. Om a och b är kvaternioner som representerar rotation enl. ovan gäller också (analogt med komplexa talen för 2Drotationer) att q = ab är resultatet av att kombinera rotationerna(först a, sedan b). OBS! Angel (både fjärde och femte upplagan) har ett fel i formeln för p' = r p r -1, ska vara sin 2 i sista termen p' =cos 2 (θ/2)p + sin 2 (θ/2)(p v)v + 2 sin(θ/2) cos(θ/2)(v x p) - sin 2 (θ/2) (v x p) x v

26 Rotationsexempel, matriser Rotation 120 grader runt vektorn (1 1 1)/ 3 d = (2/3) cos θ x = a z / d = 1/ 2, sin θ x = 1/ 2 cos θ y = d = (2/3), sin θ y = -a z = - 1/ 3 θ z = θ = π/3 R x = (( )(0 1/ 2-1/ 2 0)(0 1/ 2 1/ 2 0)( )) R y = (( (2/3) 0-1/ 3 0)( )(1/ 3 0 (2/3) 0)( )) R z = ((-1/2-3/2 0 0)( 3/2-1/2 0 0)( )( )) M = R x (-) R y (-) R z () R y (+) R x (+) = (( )( )( )( )) M (x y z 1) = (y z x 1)

27 Rotationsexemplet, kvaternioner Kvaternioner r = cos(θ /2) + (i sin(θ /2) + j sin(θ /2) + k sin(θ /2))/ 3 = 1/2 (1 + i + j + k) p = i x + j y + k z r -1 = 1/2 (1 - i - j - k) p r -1 = 1/2 (x + y + z) + 1/2 i (x - y + z) + 1/2 j (x + y - z) + 1/2 k (-x + y + z) r p r -1 = 0 + i y + j z + k x = (y, z, x) Stämmer! Övning: Använd formeln för att räkna ut samma sak.

28 Kvaternioner Det går alltså att konvertera en kvaternion till en rotationsmatris (och tvärtom) Det kan löna sig att lagra orienteringar som kvaternioner: 4 flyttal istället för 3x3 = 9 (för en rotationsmatris) Kvaternioner gör det enkelt att interpolera mellan orienteringar (för animering)!

29 Projektioner - historia Giotto ( ) Rafael ( )

30 Projektioner - historia

31 Projektioner - historia Brook Taylor, New Principles of Linear Perspective, 1719.

32 Projektioner Planar Geometric Projections Parallell Perspective Orthographic Oblique 1-pt 2-pt 3-pt Multiview Axonometric Cavalier Cabinet Isometric Dimetric Trimetric Alla projektionerna finns beskrivna med illustrativa figurer i Carlbom-Pacioreks artikel och i Angel 5.1.

33 Perspektivprojektion Projektor på ändligt avstånd. Storlek minskar med avstånd från projektionsytan. Avstånd och vinklar bevaras inte i projektionen. Parallella linjer konvergerar i fjärrpunkt (vanishing point) Här enpunkts (ett projektionsplan), finns också två- och tre-, se Carlbom-Paciorek

34 Perspektivprojektion, Angel 5.4 Antag att vi projicerar punkten P på ett bildplan som ligger d enheter från origo och är parallellt med x-y-planet: y y Bildplan z d x z d P p P

35 Perspektivprojektion Likformiga trianglar: P = x y z 1 T z y d z P p y p P y p d = y p = Analogt för x p. Så den projicerade punkten blir: P p = x/(z/d) y/(z/d) d 1 T y P p = x p y p d 1 T y z yd z y = (z / d)

36 Perspektivprojektion Vi vill kunna skriva perspektivprojektionen som en matris M. För att kunna göra det måste vi införa en normeringsoperation Om resultatet av en transformation blir en punkt P = x y z w T med w skilt från 1 ser vi till att alltid dividera med w innan vi fortsätter, d.v.s. P = x/w y/w z/w 1 T

37 Perspektiv-projektionsmatris z x M P p = /d 0 x y z 1 = x y z z/d Eftersom z/d 1 dividerar vi alla komponenterna med z/d innan vi använder punkten så att vi får x/(z/d) y/(z/d) d 1 Detta kallas perspektivdivision i OpenGL. z x

38 Ortografisk projektion Projektorerna är vinkelräta mot projektionsytan (på oändligt avstånd ). I enklaste formen är det en eller flera vyer (multiview) med projektionsplan parallella till objektets huvudytor. Avstånd och vinklar bevaras i projektionerna. Typiskt exempel: maskinritningar Axonometrisk ortografisk: Fortfarande vinkelräta projektorer men objektet vridet så att man ser flera ytor. projektionsplan symmetriskt till alla tre huvudytorna:isometrisk projektionsplan symmetriskt till två av huvudytorna: dimetrisk projektionsplan utan sådan symmetri: trimetrisk Parallellitet bevaras, inte vinklar & avstånd (samma förkortning)

39 Ortografisk-projektionsmatris Här är y p =y och x p =x och z p =-d så vi får M O p = d x y z 1 = x y -d 1 (i boken är d satt till 0)

40 Kurvor och ytor Angel, kap.11 Explicit form Implicit form Parametrisk form Uppdelningsprocedur Polynom Catmull-Clark Loop Kubiska (grad 3) Generella (grad d) Interpolerande Hermite Bezier B-Spline Generell B-Spline Uniform NURBS

41 Representation av kurvor Explicit Generellt y = f(x) Exempel y = x 1 y Implicit f(x, y) = 0 x - y = 0 Parametrisk x = f x (u) y = f y (u) u min u u max x = u y = u 0 u x I 3D, med z, lägg till: explicit: z = g(x); implicit: f(x, y,z) =0 & g(x, y,z) = 0; parameter z = f z (u)

42 Parametriska kurvor Om vi deriverar uttrycket för kurvan p(u) = f x (u) f y (u) får vi en vektor som definierar kurvans tangent: dp(u) du = df x (u) du df y (u) du

43 Exempel p(u) = u u 2 dp(u) du = 1 2u 0 u 1 I u = 0.5 får vi tangenten 1 1

44 Exempel

45 Parametriska polynomkurvor Då p(u) är ett polynom i u kallas kurvan polynomkurva. c x0 + uc x1 + u 2 c x u n c xn p(u) = f x (u) f y (u) f z (u) = c y0 + uc y1 + u 2 c y u n c yn c z0 + uc z1 + u 2 c z u n c zn 0 u 1 Polynomkurvor, visar det sig, har egenskaper som är intressanta för datorgrafik och CAD/CAM. Främst används tredjegrads- (kubiska) polynom.

46 Interpolerande kubiska polynom Antag att vi har fyra styrpunkter p 0, p 1, p 2 och p 3 och att vi vill att kurvan ska gå genom dessa punkter. p0 p 2 p 3 p 1 p 0 = (p 0x p 0y p 0z ) T, p 1 = (p 1x p 1y p 1z ) T, p 2 = (p 2x p 2y p 2z ) T, p 3 = (p 3x p 3y p 3z ) T Vi samlar koordinaterna i tre vektorer: p x = p 0x p 1x p 2x p 3x p y = p 0y p 1y p 2y p 3y p z = p 0z p 1z p 2z p 3z

47 Interpolerande polynomkurvor Vi bestämmer att kurvan ska gå genom styrpunkterna vid u = 0, u = 1/3, u = 2/3 och u = 1. u = 0 p 2 p 0 p 3 p 1 u = 1 u = 1/3 u = 2/3 Vilka polynomkoefficienter ska vi ha?

48 Interpolerande polynomkurvor Låt oss börja med x-komponenten. Vi hade att f x (u) = c x0 + uc x1 + u 2 c x2 + u 3 c x3 och vi vill ha f x (0) = p 0x f x (1/3) = p 1x f x (2/3) = p 2x f x (1) = p 3x u = 0: u = 1: p 0x = c x0 p 3x = c x0 + c x1 + c x2 + c x3 u = 1/3: p 1x = c x0 + (1/3)c x1 + (1/3) 2 c x2 + (1/3) 3 c x3 u = 2/3: p 2x = c x0 + (2/3)c x1 + (2/3) 2 c x2 + (2/3) 3 c x3

49 Interpolerande polynomkurvor Löser man ekvationssystemet får man c 0x = p 0x c 1x = 5.5p 0x + 9p 1x 4.5p 2x + p 3x c 2x = 9p 0x 22.5p 1x + 18p 2x 4.5p 3x c 3x = 4.5p 0x p 1x 13.5p 2x + 4.5p 3x Koefficientmatrisen kallas interpolationsgeometrimatris och kan användas vid all sådan interpolation y- och z-komponenterna får samma värden. Kurvan som har dessa c-koefficienter sägs interpolera de fyra styrpunkterna.

50 Exempel y p 0 = (0 0) T p 1 = (1 0) T p 2 = (1 1) T p 3 = (0 1) T 1 0 p 3 p 2 p 0 p x

51 Exemplet f x (u) = c x0 + uc x1 + u 2 c x2 + u 3 c x3 p 0 = (0 0) T p 1 = (1 0) T p 2 = (1 1) T p 3 = (0 1) T c 0x = p 0x c 1x = 5.5p 0x + 9p 1x 4.5p 2x + p 3x c 2x = 9p 0x 22.5p 1x + 18p 2x 4.5p 3x c 3x = 4.5p 0x p 1x 13.5p 2x + 4.5p 3x c 0x = 0 c 1x = = 4.5 c 2x = = 4.5 c 3x = = 0

52 Exemplet f x (u) = u 4.5u u 3 f y (u) = 0 3.5u u 2 9u 3

53 Interpolationspolynomet är exempel på en parametrisk kubisk polynomkurva dvs är en kurva på formen p(u) = b 0 (u)p 0 + b 1 (u)p 1 + b 2 (u)p 2 + b 3 (u)p 3 där p i är kurvans styrpunkter (som interpolationspolynomet går igenom men som kan styra på annat sätt, se Hermite, Bézier, splines) och b i (u) är kurvans blandningsfunktion.

54 Blandningsfunktion, enkelt exempel Funktion b(u) som visar hur varje styrpunkt bidrar till kurvan när u sveps från 0 till 1. Exempel: En kurva som interpolerar två styrpunkter: f x (u) = (1 u)p 0x + up 1x f y (u) = (1 u)p 0y + up 1y P 0 P 1 b 0 (u) = 1 u b 1 (u) = u

55 Blandningsfunktioner, interpolation p 2 u = 0 p 0 p 3 p 1 u = 1 u = 1/3 u = 2/3 Blandningsfunktioner b0 = -9(u - 1/3)(u 2/3)(u-1) b1 = 27u(u-2/3)(u-1)/2 b2 = -27u(u-1/3)(u-1)/2 b3 = 9u(u - 1/3)(u 2/3)

56 Sammanlänkning av kurvor Icke-kontinuerlig C 0 -kontinuerlig C 1 -kontinuerlig (derivatan) C 2 -kontinuerlig också krökning (andraderivatan)

57 Hermitekurvor Fås om man kräver C 1 -kontinuitet. Kurvans ekvation är (i 2D) f x (u) = c x0 + uc x1 + u 2 c x2 + u 3 c x3 f y (u) = c y0 + uc y1 + u 2 c y2 + u 3 c y3 Vi behåller första och sista styrpunkten: p 0 = (p 0x p 0y ) T p 3 = (p 3x p 3y ) T

58 Hermitekurvor Sedan väljer vi tangenten i p 0 och p 3 explicit, d.v.s. df(u=0) du df x (u) du = df y (u) du u = 0 u = 0 p 0x p 0y df(u=1) du df x (u) du = df y (u) du u = 1 u = 1 p 3x p 3y

59 Hermitekurvor För x-komponenten är kurvans ekvation f x (u) = c x0 + uc x1 + u 2 c x2 + u 3 c x3 och dess derivata är f x (u) = c x1 + 2uc x2 + 3u 2 c x3 så p 0x = f x (0) = c x0 p 3x = f x (1) = c x0 + c x1 + c x2 + c x3 p 0x = f x (0) = c x1 p 3x = f x (1) = c x1 + 2c x2 + 3c x3

60 Hermitekurvor Löser vi ekvationssystemet får vi f x (u) = 1 u u 2 u Hermite-geometri matris p 0x p 1x p 0x p 1x y- och z-komponenterna blir samma.

61 Sammanlänkning av kurvor Vi kan få C 1 -kontinuitet genom att sätta samman två Hermitekurvor där tangenten är densamma i P 3 för första kurvan och P 0 för andra kurvan: P 3 P 0 P 3 P 0

62 Bézierkurvor Samma som Hermite men specificeras genom att tangenterna definieras med linjer vars andra ändar är styrpunkter Derivatorna blir p 1 p 2 dp 0 du dp 3 du = (p 1 p 0 )/(1/3) = (p 3 p 2 )/(1/3) p 0 p 3

63 Bézierkurvor f x (u) = c x0 + uc x1 + u 2 c x2 + u 3 c x3 f x (u) = c x1 + 2uc x2 + 3u 2 c x3 p 0x = c x0 p 1x = c x0 + c x1 + c x2 + c x3 3(p 1x p 0x ) = f x (0) = c x1 3(p 3x p 2x ) = f x (1) = c x1 + 2c x2 + 3c x3

64 Bézierkurvor Lösningen blir f x (u) = 1 u u 2 u p 0x p 1x p 2x p 3x Bézier-geometrimatris Blandningsfunktioner b0 = (1-u) 3 b1 = 3u(1-u) 2 b2 = 3 u 2 (1-u) b3 = u 3

65 Kubiska B-splinekurvor En nackdel med Hermitekurvor är att C 1 -kontinuitet inte alltid räcker. C 2 -kontinuitet (mellan kan åstadkommas genom att man släpper kravet att kurvan ska interpolera slutpunkterna på kurvan och ser till att andraderivatan blir lika för den spline som når en punkt från ena hållet som för den spline som utgår åt andra hållet. p i-1 p i p i+1 p i+2

66 Kubiska B-splinekurvor Se boken för härledningar: f x (u) = 1 u u 2 u 3 1/6 2/3 1/6 0 1/2 0 1/2 0 1/2 1 1/2 0 1/6 1/2 1/2 1/6 p i-2 p i-1 p i p i+1 B-spline-geometrimatris Blandningsfunktioner b0 = (1-u) 3 / 6 b1 = (4-6u 2 + 3u 3 ) / 6 b2 = (1 + 3u + 3u 2-3u 3 ) / 6 b3 = u 3 / 6

67 Exempel

68 Ytor Explicit Generellt z = f(x,y) Exempel z=xy Implicit f(x, y, z) = 0 x 2 +y 2 +z 2-1 = 0 Parametrisk x = f x (u,v) y = f y (u,v) z = f z (u,v) u min u u max x = u+v y = u-v z = u 2 +v 2 0 u 1 p(u,v) = f x (u,v) f y (u,v) f z (u,v) z u v x

69 Parametriska ytor De vektorer vi får om vi deriverar m.a.p. u och v definierar ytans tangentplan: p(u,v) u = f x (u,v) u f y (u,v) u f z (u,v) u p(u,v) v = f x (u,v) v f y (u,v) v f z (u,v) v N(u,v) = p(u,v) u p(u,v) v är ytans normal.

70 Exempel

71 Kubiska polynomytor p(u,v) = f x (u, v) f y (u, v) = f z (u, v) 3 i = 0 3 j = 0 c xij c yij c zij u i v j 0 u 1 0 v 1

72 Interpolerande polynomytor Kräver 16 styrpunkter: u p 10 p 20 p 30 p 00 v p 01 p 02 p 03 p 13 p 23 p 33

73 Interpolerande polynomytor Om vi sätter v = 0 får vi en kurva som ska interpolera punkterna p 00, p 10, p 20 och p 30. u p 10 p 20 p 30 v = 0 p 00 v p 01 p 02 p 13 p 23 p 33 p 03

74 Interpolerande polynomytor Sätter vi v = 1 får vi en kurva som måste interpolera punkterna p 03, p 13, p 23 och p 33. u p 10 p 20 p 30 p 00 v = 1 v p 01 p 02 p 13 p 23 p 33 p 03

75 Interpolerande polynomytor Lägger man till v = 1/3 och v = 2/3 får man ett linjärt ekvationssytem. När man löser detta (se boken) får man koefficienterna för polynomen.

76 Interpolerande polynomytor

77 Bézierytor På motsvarande sätt som för interpolerande ytor (se boken).

78 Inlämningsuppgift 3

Transformationer i 3D. Gustav Taxén

Transformationer i 3D. Gustav Taxén Transformationer i 3D Gustav Taén gustavt@csc.kth.se 2D64 Grafik och Interaktionsprogrammering VT 27 Bakgrund Ett smidigt sätt att arbeta med 3D-grafik är att tänka sig att man har en virtuell kamera som

Läs mer

Kurvor och ytor. Gustav Taxén

Kurvor och ytor. Gustav Taxén Kurvor och ytor Gustav Taxén gustavt@csc.kth.se 2D1640 Grafik och Interaktionsprogrammering VT 2007 Kurvor och ytor Explicit form Implicit form Parametrisk form Procedurbaserade Polynom Catmull-Clark Kubiska

Läs mer

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, Lösningsförslag, Matematik 2, E, I, M, Media och T, 2 2 8.. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform, 2 2 2 a 2 2 2 a 2 2-2 2 a 7 7 2 a 7 7-7 2 a +

Läs mer

Bakgrund. Bakgrund. Kursmaterial. Transformationer i 3D. Matematiska byggstenar. GrIP våren 2008, Förel.10 Yngve Sundblad

Bakgrund. Bakgrund. Kursmaterial. Transformationer i 3D. Matematiska byggstenar. GrIP våren 2008, Förel.10 Yngve Sundblad GrI åren 28, Förel. Bakgrun 3D-transformationer & erspekti & Gusta Taén @kth.se & gustat@csc.kth.se Ett smiigt sätt att arbeta me 3D-grafik är att tänka sig att man har en irtuell kamera som betraktar

Läs mer

Parametriska kurvor: Parametriska ytor

Parametriska kurvor: Parametriska ytor Kror och ytor Eplicit form Implicit form Kror och ytor Parametrisk form Procerbaserade Polynom Catmll-Clark ekannan och dess datormotsarighet Martin Newell, 975. Gsta aén CID gstat@nada.kth.se Kbiska (grad

Läs mer

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då

Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34. Planet Ett plan i rummet är bestämt då Moment 4.11 Viktiga exempel 4.32, 4.33 Övningsuppgifter Ö4.18-Ö4.22, Ö4.30-Ö4.34 Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella riktningar, v 1 och v 2, och en punkt P 1 i planet är givna.

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 David Rydh Institutionen för matematik KTH 28 augusti 2018 Detta gjorde vi igår Punkter Vektorer och skalärer, multiplikation med skalär Linjärkombinationer, spannet

Läs mer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer För. 1 1 Linjära ekvationssystem Gaußelimination - sriv om systemet för att få ett trappformat system genom att: byta ordningen mellan ekvationer eller obekanta; multiplicera en ekvation med en konstant

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

Homogena koordinater och datorgrafik

Homogena koordinater och datorgrafik Linjär algebra, AT3 2011/2012 Matematiska vetenskaper Inledning Homogena koordinater och datorgrafik Vi såg tidigare på några geometriska transformationer; rotation, skalning, translation och projektion.

Läs mer

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 1 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2006 Håkan Strömberg 2 KTH Syd Innehåll Olikheter.................................... 6................................. 6 Uppgift 2.................................

Läs mer

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65 Analys o Lektion 7 p1/65 Har redan (i matlab bla) stött på tal-listor eller vektorer av typen etc Vad kan sådana tänkas representera/modellera? Hur kan man räkna med sådana? Skall närmast fokusera på ordnade

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 1, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad, Linjär algebra IT, VT Under den första veckan ska vi gå igenom (i alla fall stora delar av) kapitel som handlar om geometriska vektorer. De viktigaste teoretiska begreppen och resultaten i kapitlet

Läs mer

TBSK03 Teknik för avancerade Datorspel 49(68)

TBSK03 Teknik för avancerade Datorspel 49(68) 49(68) TBSK03 Teknik för avancerade Datorspel 49(68) Representation av rotation 1/17 Eulervinklar Rotation kring axlarna (t.ex. Zyx) A' = R yaw R pitch R roll A Intuitivt, fast svårt att göra Interpolation

Läs mer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer

Modul 1: Komplexa tal och Polynomekvationer Modul : Komplexa tal och Polynomekvationer. Skriv på formen a + bi, där a och b är reella, a. (2 + i)( 2i) 2. b. + 2i + 3i 3 4i + 2i 2. Lös ekvationerna a. (2 i)z = 3 + i. b. (2 + i) z = + 3i c. ( 2 +

Läs mer

Linjär algebra på några minuter

Linjär algebra på några minuter Linjär algebra på några minuter Linjära ekvationssystem Ekvationssystem: { Löses på matrisform: ( ) ( ) I det här fallet finns en entydig lösning, vilket betyder att determinanten av koefficientmatrisen

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer I Innehåll

Läs mer

Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010

Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT2010 Veckoblad 3, Linjär algebra IT, VT Vi inleder den tredje veckan med att gå igenom begreppen determinant och invers matris som vi inte hann med i vecka, se veckoblad för övningar etc på dessa avsnitt. Därefter

Läs mer

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning? Repetition, Matematik 2, linjär algebra 10 Lös ekvationssystemet 5 x + 2 y + 2 z = 7 a x y + 3 z = 8 3 x y 3 z = 2 b 11 Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet 2 x + 3 y z = 3 x 2

Läs mer

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =

Läs mer

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u = Kursen bedöms med betyg,, 5 eller underkänd, där 5 är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B.

Vektorgeometri. En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Vektorgeometri En vektor v kan representeras genom pilar från en fotpunkt A till en spets B. Två pilar AB, A B tilllhör samma vektor om de har samma riktning och samma längd. Vi skriver v = AB = B A B

Läs mer

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R

P Q = ( 2, 1, 1), P R = (0, 1, 0) och QR = (2, 2, 1). arean = 1 2 P Q P R 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till några övningar på geometri och vektorer inför lappskrivning nummer 2 på kursen Linjär algebra II, SF1604, vt11. 1. En triangel har hörn i punkterna (1, 2,

Läs mer

LINJÄRA AVBILDNINGAR

LINJÄRA AVBILDNINGAR LINJÄRA AVBILDNINGAR Xantcha november 05 Linjära avbildningar Definition Definition En avbildning T : R Ñ R (eller R Ñ R ) är linjär om T pau ` bvq at puq ` bt pvq för alla vektorer u, v P R (eller u,

Läs mer

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0). N-institutionen Mikael Forsberg 06-64 89 6 Prov i matematik Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra mk06a Testtenta. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x = (,, 5),

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen DEL A (1) a) Definiera begreppen rektangulär form och polär form för komplexa tal och ange sambandet mellan dem. (2) b) Ange rötterna till

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Skalärprodukt Innehåll Skalärprodukt - Inledning

Läs mer

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA

5 Linjär algebra. 5.1 Addition av matriser 5 LINJÄR ALGEBRA 5 LINJÄR ALGEBRA 5 Linjär algebra En kul gren av matematiken som inte fått speciellt mycket utrymme i gymnasiet men som har många tillämpningsområden inom t.ex. fysik, logistik, ekonomi, samhällsplanering

Läs mer

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med

Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom som är parallell med RÄTA LINJER OCH PLAN Räta linjer i 3D-rummet: Låt L vara den räta linjen genom punkten P = ( x, y, som är parallell med vektorn v = v, v, v ) 0. ( 3 P Räta linjens ekvation på parameterform kan man ange

Läs mer

TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Kubiska splines Approximerande Splines s s s s 4 B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. x x x x 4 x 5 Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor.

Läs mer

T BSK03 Teknik för avancerade Datorspel. Jens Ogniewski Information Coding Group Linköpings universitet

T BSK03 Teknik för avancerade Datorspel. Jens Ogniewski Information Coding Group Linköpings universitet T BSK03 Teknik för avancerade Datorspel Jens Ogniewski Information Coding Group Linköpings universitet Representation av rotation Eulervinklar Rotation kring axlarna (t.ex. Zyx) A' = R yaw R pitch R roll

Läs mer

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n

Linjära avbildningar. Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. x 1 x 2. x = R n = x n Linjära avbildningar Låt R n vara mängden av alla vektorer med n komponenter, d.v.s. R n = { x = x x. x n } x, x,..., x n R. Vi räknar med vektorer x, y likandant som i planet och i rymden. vektorsumma:

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg oktober 009 Exempel :: Spegling i godtycklig linje. abstract:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som går genom origo.

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Föreläsning 2 Institutionen för matematik KTH 2 november 2016 Skalärprodukt Dagens ämne: Skalärprodukt, kapitel 1.3-1.4 i boken Definition, skalärprodukt på två sätt Vinklar mellan vektorer Norm Plan och

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 2010-10-22 DEL A (1) Uttrycket (x, y, z) (1, 1, 1) + s(1, 3, 0) + t(0, 5, 1) definierar ett plan W i rummet där s och t är reella parametrar. (a)

Läs mer

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att

Där a = (1, 2,0), b = (1, 1,2) och c = (0,3, 1) Problem 10. Vilket är det enda värdet hos x för vilket det finns a och b så att Här följer 3 problem att lösa. Längre bak i dokumentet finns utförliga penna-papper lösningar. Filen Föreläsning08.zip finns motsvarande lösningar utförda med Mathematica. Problem 1. Bestäm a så att avståndet

Läs mer

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM

8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM 94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Räta linjens och planets ekvationer III Innehåll

Läs mer

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI 201-0-0 14.00-17.00 Om inget annat uttryckligen sägs, kan koordinaterna för en vektor i antas vara givna i en ON-bas. Baser i rummet kan dessutom antas vara positivt orienterade.

Läs mer

Linjär Algebra, Föreläsning 2

Linjär Algebra, Föreläsning 2 Linjär Algebra, Föreläsning 2 Tomas Sjödin Linköpings Universitet Geometriska vektorer, rummen R n och M n 1 En (geometrisk) vektor är ett objekt som har storlek och riktning, men inte någon naturlig startpunkt.

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor. TM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 Matematik med datalogi, mfl. Linjär algebra ma4a 6 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på

Läs mer

October 9, Innehållsregister

October 9, Innehållsregister October 9, 017 Innehållsregister 1 Vektorer 1 1.1 Geometrisk vektor............................... 1 1. Vektor och koordinatsystem.......................... 1 1.3 Skalär produkt (dot eller inner product)...................

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf LAoG I, 5 hp ES, KandMa, MatemA -9-6 Sammanfattning av föreläsningarna 3-7 Föreläsningarna 3 7, 8/ 5/ : Det viktigaste är här att du lär dig att reducera

Läs mer

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje. INNEHÅLL Exempel :: Spegling i godtycklig linje. c Mikael Forsberg :: 6 augusti 05 Sammanfattning:: I detta dokument så är vårt uppdrag att beräkna matrisen för spegling i en godtycklig linje y = kx som

Läs mer

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 =

2x+y z 5 = 0. e x e y e z = 4 e y +4 e z +8 e x + e z = (8,4,5) n 3 = n 1 n 2 = Problem 1. Nedan presenteras ekvationen för en rät linje och ett plan i rummet. Du ska avgöra om linjen är vinkelrät mot planet. x = 2 4t y = 3 2t z = 1+2t 2x+y z 5 = 0 Lösning: Linjen har riktningsvektorn

Läs mer

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. Inför tentamen i Linjär algebra TNA002. 1. Linjära ekvationssytem (a) Omskrivningen av ekvationssystem på matrisform samt utföra radoperationer. (b) De 3 typer av lösningar som dyker upp vid lösning av

Läs mer

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

= ( 1) xy 1. x 2y. y e Lösningsförslag, Matematik, B, E, I, IT, M, Media och T, -8- Den sista raden är nästan lika med den första raden med omvänt tecken Om vi därför adderar den första raden till den sista raden får vi en rad

Läs mer

1 Vektorer i koordinatsystem

1 Vektorer i koordinatsystem 1 Vektorer i koordinatsystem Ex 11 Givet ett koordinatsystem i R y a 4 b x Punkten A = (3, ) och ortsvektorn a = (3, ) och punkten B = (5, 1) och ortsvsektorn b = (5, 1) uttrycks på samma sätt, som en

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 1 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel. Vi utnyttjar definitionen av skalärprodukt som ger att u v u v, där α är (minsta) vinkeln mellan u v. I vårt fall så får vi 7 =. Alltså är den sökta vinkeln

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 074-4 För studenter på distans och campus Linjär algebra ma04a 04 0 5 Skrivtid: 09:00-4:00. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8 8. Alla vektorer som är normaler till planet, d v s vektorer på formen (0 0 z) t, avbildas på nollvektorn. Dessa kommer därför att vara egenvektorer med egenvärdet

Läs mer

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad: MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik Linjär algebra 2 Senast korrigerad: 2006-02-10 Övningar Linjära rum 1. Låt v 1,..., v m vara vektorer i R n. Ge bevis eller motexempel till

Läs mer

Innehåll. Referenssystem. Matriser. Rotationsmatrisen. Euler angle. Animering av ett objekts rotation

Innehåll. Referenssystem. Matriser. Rotationsmatrisen. Euler angle. Animering av ett objekts rotation Innehåll Den här föreläsningen fokuserar på animering (läs interpolation) av rotationer En snabb genomgång av koordinatsystem görs för att ha kontroll på åt vilket håll vi egentligen roterar och kring

Läs mer

Linjär algebra på 2 45 minuter

Linjär algebra på 2 45 minuter Linjär algebra på 2 45 minuter π n x F(x) Förberedelser inför skrivningen Den här genomgången täcker förstås inte hela kursen. Bra sätt att lära sig kursen: läs boken, diskutera med kompisar, gå igenom

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://w3.msi.vxu.se/users/pa/vektorgeometri/gymnasiet.html Institutionen för datavetenskap, fysik och matematik Linnéuniversitetet Vektorer i planet

Läs mer

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. TANA09 Föreläsning 8 Approximerande Splines B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 24 Skrivtid: Fem timmar. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall vara

Läs mer

= ( 1) ( 1) = 4 0.

= ( 1) ( 1) = 4 0. MATA15 Algebra 1: delprov 2, 6 hp Fredagen den 17:e maj 2013 Skrivtid: 800 1300 Matematikcentrum Matematik NF Lösningsförslag 1 Visa att vektorerna u 1 = (1, 0, 1), u 2 = (0, 2, 1) och u 3 = (2, 2, 1)

Läs mer

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I

Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Föreläsning 13 Linjär Algebra och Geometri I Se slide 1: det är i rymden oftast lättast att jobba med parametrar för linjer och ekvationer för plan. Exempel: Låt l : (x, y, z) = (1 t, 3 + t, 4t), t R och

Läs mer

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab

TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab TAIU07 Matematiska beräkningar med Matlab Laboration 3. Linjär algebra Namn: Personnummer: Epost: Namn: Personnummer: Epost: Godkänd den: Sign: Retur: 1 Introduktion 2 En Komet Kometer rör sig enligt ellipsformade

Läs mer

Mer om geometriska transformationer

Mer om geometriska transformationer CTH/GU LABORATION 4 TMV141-1/13 Matematiska vetenskaper 1 Inledning Mer om geometriska transformationer Vi fortsätter med geometriska transformationer och ser på ortogonal (vinkelrät) projektion samt spegling.

Läs mer

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta?

Självkoll: Ser du att de två uttrycken är ekvivalenta? ANTECKNINGAR TILL RÄKNEÖVNING 1 & - LINJÄR ALGEBRA För att verkligen kunna förstå och tillämpa kvantmekaniken så måste vi veta något om den matematik som ligger till grund för formuleringen av vågfunktionen

Läs mer

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning.

Vektorer. Vektoriella storheter skiljer sig på ett fundamentalt sätt från skalära genom att de förutom storlek också har riktning. Vektorer. 3 / 18 Vektorer är ett mycket viktigt och användbart verktyg för att kunna beskriva sammanhang som innehåller riktade storheter, t.ex. kraft och hastighet. Vektoriella storheter skiljer sig på

Läs mer

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005 VÄXJÖ UNIVERSITET Matematiska och systemtekniska institutionen Per-Anders Svensson Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA70) Måndagen den 13 juni 005 Uppgift 1. Lös ekvationssystemet AX

Läs mer

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t)

z = 4 + 3t P R = (5 + 2t, 4 + 2t, 4 + 3t) (1, 1, 3) = (4 + 2t, 3 + 2t, 1 + 3t) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 2, 6hp Fredagen den 16 maj 2014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Låt l vara linjen genom punkten (5, 4, 4) som är vinkelrät mot planet 2x+2y +3z

Läs mer

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer.

1 Ortogonalitet. 1.1 Skalär produkt. Man kan tala om vinkel mellan vektorer. Ortogonalitet Man kan tala om vinkel mellan vektorer.. Skalär produkt Vi definierar längden (eller normen) av en vektor som ett reellt tal 0 (Se boken avsnitt.). Vi definierar skalär produkt (Inner product),

Läs mer

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004.

Lösningar till tentamen i Matematik II, 5B1116, 5B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. Institutionen för matematik. KTH Lösningar till tentamen i Matematik II, B1116, B1136 för Bio. E,I,K,ME, Media och OPEN, tisdagen den 13 april 2004. 1. Välj en punkt i planet 3x + 3y z = 4, exempelvis

Läs mer

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14,

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 1 Staffan Lundberg / Ove Edlund Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg / Ove Edlund M0043M H14 1/ 31 Lärare Ove Edlund Föreläsningar

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

Matematik med Matlab för I Inledning. 1 Programmering i MATLAB

Matematik med Matlab för I Inledning. 1 Programmering i MATLAB Matematiska Vetenskaper 21 april 2010 Matematik med Matlab för I 2010. Programmering i Matlab. 2- och 3-dimensionell grafik. LAB 2: Några geometriska uppgifter och plottning av figurer. Inledning 1 Programmering

Läs mer

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903, för BD10 onsdag 22 september 2010, kl entamen i Matematik, HF9, för D onsdag september, kl 8.. Hjälpmedel: Endast formelblad (miniräknare är inte tillåten) För godkänt krävs poäng av möjliga poäng (betygsskala är,,,d,e,fx,f). Den som uppnått

Läs mer

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument

Moment 4.3.1, Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Moment 4.3.1, 4.3.2 Viktiga exempel 4.44, 4.46, 4.48 Handräkning 4.53, 4.59, 4.60, 4.61, 4.62, 4.63, 4.64, 4.65 Datorräkning 1-15 i detta dokument Planet Ett plan i rummet är bestämt då två icke parallella

Läs mer

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö

Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt Erik Darpö Läsanvisningar och övningsuppgifter i MAA150, period vt1 2015 Erik Darpö ii 0. Förberedelser Nedanstående uppgifter är avsedda att användas som ett självdiagnostiskt test. Om du har problem med att lösa

Läs mer

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning.

ax + y + 2z = 3 ay = b 3 (b 3) z = 0 har (a) entydig lösning, (b) oändligt många lösningar och (c) ingen lösning. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Johansson Prov i matematik ES, Frist, KandMa LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 2010 10 21 Skrivtid: 8.00 13.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 04-05-0 DEL A. Planet P innehåller punkterna (,, 0), (0, 3, ) och (,, ). (a) Bestäm en ekvation, på formen ax + by + cz + d = 0, för planet P. (

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 22--6 DEL A Planet H ges av ekvationen x + 2y + z =, och planet W ges på parameterform som 2t 4s, t + 2s där s och t är reella parametrar (a) Bestäm

Läs mer

Transformationer. Translation. Skalning. Homogena koordinater. Rotation. 2D-grafik. x y. Inom datorgrafik är transformationer den. Många. bevaras.

Transformationer. Translation. Skalning. Homogena koordinater. Rotation. 2D-grafik. x y. Inom datorgrafik är transformationer den. Många. bevaras. Transformationer D-grafik Gustav Taén gustavt@nada.kth.se Inom datorgrafik är transformationer den kanske viktigaste formen av operation. De vanligaste transformationerna är linjära och kan skrivas som

Läs mer

Egenvärden och egenvektorer

Egenvärden och egenvektorer Föreläsning 10, Linjär algebra IT VT2008 1 Egenvärden och egenvektorer Denition 1 Antag att A är en n n-matris. En n-vektor v 0 som är sådan att A verkar som multiplikation med ett tal λ på v, d v s Av

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017 SF64 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, januari 7. (a) För vilka värden på k har ekvationssystemet (med avseende på x, y och z) kx + ky + z 3 x + ky + z 4x + 3y + 3z 8 en entydig

Läs mer

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c.

(a) Bestäm för vilka värden på den reella konstanten c som ekvationssystemet är lösbart. (b) Lös ekvationssystemet för dessa värden på c. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Jörgen Östensson Prov i matematik X, geo, frist, lärare LINJÄR ALGEBRA och GEOMETRI I 200 0 08 Skrivtid: 8.00.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm

Läs mer

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3

17. Övningar ÖVNINGAR Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av. x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3 192 17 ÖVNINGAR 17. Övningar 17.1. Låt F och G vara avbildningar på rummet, som i basen e = {e 1,e 2,e 3 } ges av F(eX) = ey = e x 1 x 2 2x 2 + 3x 3 2x 1 x 3, G(eX) = e x 1 x 2 x 2 2 x 2 + x 3 Undersök

Läs mer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer

Dagens ämnen. Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Dagens ämnen Linjära ekvationssystem: Successiv elimination Vektorer Definitionen Grundläggande räkneoperationer Bas och koordinater Ortsvektorer Linjära ekvationer Med en linjär ekvation i n variabler,

Läs mer

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden.

2. Lös ekvationen z i = 2 z + 1 och ge i det komplexa talplanet en illustration av lösningsmängden. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA3 Grundläggande vektoralgebra, TEN6 alt.

Läs mer

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl 08.00-1.00. OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. Bonuspoäng

Läs mer

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) , Linköpings universitet Matematiska institutionen Ulf Janfalk Kurskod: TATA Provkod: TEN Tentamen i Linjär algebra (TATA/TEN) 9 6, 9. Inga hjälpmedel. Ej räknedosa. För godkänt räcker 9 poäng och minst

Läs mer

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet

Läs mer

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A SF64 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen 533 DEL A Planet H ges av ekvationen 3x y + 5z + a) Bestäm en linje N som är vinkelrät mot H ( p) b) Bestäm en linje L som inte skär planet H ( p)

Läs mer

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot Kursen bedöms med betyg,, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar II Innehåll Repetition:

Läs mer

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j.

{ 1, om i = j, e i e j = 0, om i j. 34 3 SKALÄPRODUKT 3. Skaläprodukt Definition 3.. Skalärprodukten mellan två vektorer u och v definieras där θ är vinkeln mellan u och v. u v = u v cos θ, Anmärkning 3.. Andra beteckningar för skalärprodukt

Läs mer

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur

Linjär algebra F1, Q1, W1. Kurslitteratur UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Linjär algebra för F1, Q1, W1 Kurslitteratur Höstterminen 2006 Eriksson Lind Persson Tengstrand, Algebra för universitet och högskolor, Band II (Linjär Algebra),

Läs mer

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektoranalys I. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik Vektoranalys I Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 2 september 2015 Översikt över de tre föreläsningarna 1. Grundläggande begrepp inom vektoranalysen, nablaoperatorn samt

Läs mer

Att beräkna:: Avstånd

Att beräkna:: Avstånd Att beräkna:: Avstånd Mikael Forsberg :: 27 november 205 Innehåll Punkter, linjer och plan, en sammanställning 2. Punkter i två och tre dimensioner....................... 2.2 Räta linjer i två och tre

Läs mer

Lite Linjär Algebra 2017

Lite Linjär Algebra 2017 Lite Linjär Algebra 2017 Lektionsanteckningar och sammanfattning Johan Thim, MAI (johan.thim@liu.se) ū ū O z y ū // L : OP + t v x Ortogonalprojektion: ū // = ū v v v v, ū = ū ū //. Innehåll 1 Bakgrund

Läs mer

Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Diagonalisering av linjära avbildningar I Innehåll

Läs mer