Här är en kul uppgift som du kan testa i din tvåa: Lös ekvationssystemet
|
|
- Marcus Lundqvist
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Ola Helenius Räkna på hawaiianska Gestaltningen av ett begrepp kan vara avgörande för förståelsen av dess matematiska innehåll. Med utgångspunkt i ett till synes komplicerat ekvationssystem och hawaiianska räkneord diskuteras hur konkretiseringar och abstraktioner inverkar på hur matematiken uppfattas. Här är en kul uppgift som du kan testa i din tvåa: Lös ekvationssystemet x 0 + x 0 = x 7 x 0 + x 7 = x 4 3 x 4 = x 6 5 x 7 = x 3 2 x 7 = x 5 2 x 1 = x 3 x 1 + x 4 = x 9 x 8 + x 7 = x 9 x 2 + x 4 = x 3 där x 0, x 1,..., x 9 är olika heltal ur mängden {1, 2,..., 10}. Nej, jag menar inte år 2 på Chalmers och inte heller tvåan på gymnasiets N-program utan årskurs 2 i grundskolan. Vadå? Verkar det för svårt? Varför är det för svårt i så fall? Om det är notationen, x 0, x 1 etc som ställer till det går det att byta de tio variablerna mot a, b, c eller något annat. Fortfarande svårt? Ja, strikt talat hör formella lösningsmetoder till problem av denna typ till högskole matematiken, men jag menar att det faktiskt är fullt möjligt för en klass i årskurs 2 att lösa ett problem med exakt samma matematiska innehåll som det som formuleras ovan. Och jag har ett empiriskt bevis. Eftersom de flesta andraklassare trots allt inte skulle veta hur de skulle hantera problemet om det representeras som ovan, så är tricket att formulera det på ett annat sätt. Jag kommer berätta hur, men först efter en liten utvikning. Matematiken framställs ofta som abstrakt och generell och även om det är vanligt att i skolundervisningen utgå från konkreta situationer så finns det oftast en strävan att gå mot det abstrakta. Personligen tycker jag om att se de flesta (ja, nästan alla) begrepp i den grundläggande matematiken såsom abstraherade från olika konkreta fenomen. Jag ska ta ett av mina favoritexempel: Vuxen: Vad är två och en? Barn: (Lång paus, ingen respons) Vuxen: Nå, hur många klossar är två och en kloss? Barn: Tre Vuxen: Jaha, så hur många är två och en? Nämnaren nr
2 Barn: (Paus, sedan tvekande) Fyra Vuxen: Hur många är en kloss och en till? Barn: Två klossar Vuxen: Så, hur många är en och en till? Barn: En, kanske. (Hughes, 1986) För de som tycker sig förstå tal även i den abstrakta meningen och inte behöver några mentala klossar för att veta att 1 plus 2 är 3 ter sig dialogen ovan nästan löjlig. Men det är ett intressant exempel på att det finns ett tydligt steg mellan att kunna hantera konkreta antal (även om det konkreta i det här fallet bara är mentala representationer av klossar) och abstrakta antal. Man skulle kunna säga att matematikens tre kan ses som det du får kvar av tre klossar om du tar bort klossarna. Abstrakta begrepp avbildar verkligheten Man kan hitta många konkreta företeelser som avbildas in i matematiken och skapar specifika matematiska objekt, på liknande sätt som talen kan ses som en avbild av antal föremål. Det finns också flera filosofiska uppfattningar i denna anda där man bland annat ser matematiken som extraherad ur naturen själv. En del går t o m ännu längre och menar att universum inte är annat än en matematisk struktur, så det är inte konstigt alls att det mesta i universum kan beskrivas i matematiska termer. Även om man inte går så långt som till filosofi eller till abstrakt kosmologi så finns det stöd för tanken att abstrakta matematiska objekt egentligen är en slags mental avbildning av högst konkreta vardagliga fenomen. Kognitionsforskaren George Lakoff menar t ex att det mesta av vårt abstrakta tänkande sker med hjälp av metaforer. En metafor är en slags avbildning från ett område till ett annat. I uttrycket hennes blick var kall inryms t ex en avbildning från området temperatur till området känslor. Lakoff och kollegan Núñez menar att hela vårt talsystem och allt vi kan göra med tal: addera, multiplicera, jämföra, dela upp, lägga ihop, storleksordna etc, i själva verket är resultatet av ett antal kognitiva metaforer, dvs avbildningar från rent fysiska upplevelser (som t ex upplevelser av antal klossar) in i den mentala, abstrakta sfären. Det vi gör när vi manipulerar abstrakta tal i huvudet är alltså enligt Lakoff och Núñez egentligen att vi omedvetet faller tillbaka på erfarenheter av de fysiska upplevelserna. Tveklöst är det så att abstraktionen är en av nycklarna till att matematiken är ett så fantastiskt verktyg för att beräkna, förstå och förklara olika fenomen i vår omvärld. Och även i skolan måste förmågan att använda sig av styrkan i matematikens abstrakta resonemang vara ett av de centrala målen, om det överhuvud taget ska vara värt besväret att undervisa i matematik. Risken med att uppehålla sig enbart i den abstrakta matematiken är att man förlorar kontakten med ursprunget till varför de matematiska objekten uppför sig som de gör. En kollega till mig berättade t ex att hon en dag varit i en åttondeklass och fått hjälpa elever som inte visste hur de skulle multiplicera 4 med bråket 1/2. Senare samma dag var denna kollega i en förskola och frågade där en grupp med fyra barn: om ni ska få ett halvt äpple var, hur många äpplen måste fröken hämta? Två äpplen, var det snabba svaret. Varför kunde inte åttondeklassarna 44 Nämnaren nr
3 hantera en abstrakt version av samma uppgift? Troligen för att de regler som styr hur bråk multipliceras inte längre hade mening för dem och därför blev svåra att hantera. Spel med givna regler Visserligen är det inga större problem för oss människor att hantera olika avsnitt av matematiken som rent formella system, d v s som ett spel med givna fast godtyckliga regler. Detta bevisas ju bland annat av att vi snabbt och tämligen enkelt kan lära oss spela sällskapsspel där regelsystemen ibland kan vara väl så komplicerade. Men utan ett skelett av begrepp som ges konkreta förankringar blir matematiken både svår att komma ihåg och svår att använda. Ett intressant exempel på det här fenomenet är Wasons test, efter psykologen Peter Cathcart Wason: De fyra korten nedan har alla en färg på ena sidan och ett tal på andra. Vilka kort måste du vända på för att avgöra sanningshalten i påståendet: Om ett kort har ett jämnt tal på ena sidan så är andra sidan röd? Enligt Wasons experiment från 1966 misslyckas de flesta med denna uppgift, endast 10 % klarade den. Men låt oss göra uppgiften lite annorlunda. Du arbetar på Systembolaget och framför dig står fyra personer som vill köpa varsin flaska som antingen innehåller alkohol (åldersgräns 20 år) eller inte innehåller alkohol (ingen åldersgräns). Två visar sina legitimationer. De är 18 respektive 22 år, men du ser inte vilken dryck de vill köpa. De andra visar inte sina legitimationer, men du ser att den ena har en flaska med alkohol och den andra har en flaska utan alkohol. Vilka av dessa personer måste du kontrollera (med avseende antingen på ålder eller typ av dryck) för att veta om alla ska få köpa de varor de önskar eller ej? Systembolagsfrågan har exakt samma logiska innehåll som kortfrågan, men ändå upplevs den av de allra flesta som betydligt enklare. Testa den gärna själv på några i din omgivning. Detta gäller även om den formuleras med hjälp av kort (spritflaska eller saftflaska på ena sidan och ålder på andra). Den första varianten med färger och Nämnaren nr
4 tal förblir svår även om den formuleras i mer konkreta termer med t ex ett bord med fyra personer som äter hamburgare eller pizza och dricker cola eller fanta och regeln alla som äter hamburgare dricker cola. Det som anses göra alkolholformuleringen enklare är att den kan relateras till egna erfarenheter. Vi vet att för att avgöra om någon dricker lagligt eller ej behöver vi inte fråga om åldern på saftdrickare eller fråga 40-åringar vad de har i glasen. Spritdrickare av oklar ålder måste dock kontrolleras, liksom underåriga med okänt innehåll i glaset. Formellt måste vi fortfarande göra samma logiska bedömningar; om man ska förklara hur man löste uppgiften duger det inte att referera till sin erfarenhet, men den blir ändå ett slags kognitivt stöd för resonemanget. Hawaiianska räkneord Låt oss nu gå tillbaka till den inledande uppgiften: det för många kanske avskräckande ekvationssystemet. Uppgiften dök egentligen upp på en familjeresa till Hawaii. Min son köpte en tröja på second hand där de hawaiianska räkneorden från 1 till 10 och deras engelska motsvarigheter stod tryckta. Jag konstruerade följande uppgift som jag skickade hem till min sons klass. Här kommer en gåta från Sigge som kanske klassen kan fundera på: Räkneorden för 1 till och med 10 på hawaiianska är (i oordning): Ewalu, Umi, Ekolo, Elima, Eono, Ekahi, Ehiku, Elua, Eiwa, Eha. I matteboken har någon skrivit följande Ekahi + Ekahi = Elua Ekahi + Elua = Ekolu Ekolu + Ekolu + Ekolu = Eiwa elua + Elua + Elua + Elua + Elua = Umi Elua + Elua = Eha elima + Elima = Umi Elima + Ekolu = Ewalu Eono + Elua = Ewalu ehiku + Ekolu = Umi Kan ni fundera ut vilka hawaiianska räkneord som motsvarar de svenska räkneorden? Som du antagligen ser är det rent matematiskt egentligen samma uppgift som den inledande. När jag senare pratade med klassens lärare visade det sig att de med hjälp av lite grupparbete hade löst uppgiften. Nu vet ju inte jag om de också hade löst den om den formulerat med x 0 osv, men låt mig gissa att det hade varit svårare. Om jag får spekulera lite så tror jag att i den första formuleringen, leds tanken till att tänka på x 0, x 1 osv som okända som ska kopplas till något visst värde (1, 2,..., 10). I hawaiiversionen handlar det istället om att hitta de nya (hawaiianska) namnen till de för en andraklassare ytterst välbekanta talen. Istället för att handla om tio okända som ska identifieras så handlar det om tio kända som vi bara ska hitta namnet på. Ingen behöver vara rädd för att experimentera och testa runt lite med de vanliga gamla heltalen. Då är problemet snabbt löst, även om man bara går i tvåan. Poängen med hela denna utsvävning är att abstraktioner har en förrädisk karaktär, i alla fall om man vill lösa problem. Å ena sidan finns det ofta viktiga poänger med att kunna formulera generella och abstrakta lösningar till 46 Nämnaren nr
5 problem, men å andra sidan kan ofta en viss konkret gestaltning av ett abstrakt problem vara tricket som leder till lösningen. Jag menar att i förmågan att hantera och representera matematiska begrepp inom den grundläggande matematiken ingår det inte bara att kunna relatera olika begrepp till varandra utan också att förstå begreppens konkreta ursprung, dvs hur de har abstraherats från vissa konkreta fenomen. Konkret gestaltning En minst lika viktig förmåga är det omvända, dvs att kunna ge de abstrakta begreppen en konkret gestaltning och manipulera dem i den konkreta världen. Betrakta t ex legobitarna nedan. Hur många är det? Det är inte glasklart, eller hur? Den gröna är en, den gula är en och den röda är en. Men den blåa kan vara en eller två beroende på hur vi väljer att betrakta den. Den går ju att ta isär i två bitar men vi kan välja att betrakta den som en enhet. Och om vi istället studerar area och låter någon av bitarna representera en areaenhet, eller om vi studerar volym, så blir förhållandet mellan de konkreta legobitarna återigen något annat och flera möjliga val dyker upp. Till och med om vi betraktar något så enkelt som antal kan alltså samma konkreta samling föremål representera olika saker. Eller så kan olika föremål representera samma sak. Men genom att ha en tydlig bild av det matematiska abstrakta begreppet, t ex talbegreppet, är det fullt möjligt att manipulera legobitar för att hantera problem som är formulerade i termer av tal, trots osäkerheten som beskrivs ovan. Det gäller helt enkelt att hålla ordning på vilka aspekter av verkligheten man tar hänsyn till och använder. Legobitarna har som sagt många olika egenskaper. När man väl bestämt sig för att det endast är antal som man för tillfället ska bry sig om, måste man kunna bortse från saker som färg, form, storlek, volym och läge. Det enda man får använda är att varje bit är exakt en bit. Om man exempelvis väljer att betrakta det blåa legot ovan som en enhet, kan man inte samtidigt dela isär det och låta det bli två enheter. Det skulle vara detsamma som att i matematiken låta 1 vara lika med 2. Men om vi däremot istället räknar volym går det utmärkt att å ena sidan betrakta hela det blå legot som en volymsenhet och å andra sidan som två enheter med volymen 1/2. Samma lego. Olika matematik. Nämnaren nr
6 Det vi har sett är alltså exempel på att det kan vara ett kraftfullt hjälpmedel att omformulera ett matematiskt problem i termer av ett logiskt likvärdigt problem men som är representerat i en kontext som vi känner oss mer hemma i. Personligen ser jag det här som väldigt centrala aspekter av det matematiska kunnandet. Just denna koppling mellan det konkreta och det abstrakta och mellan det användbara och det undersökande är för mig mycket av essensen i matematiken. Om ni vill höra hur äkta hawaiianska låter kan ni knappa in watch?v=5qo9ahadxee. En bit in i klippet dyker räkneorden upp. Och förresten, här intill ser ni tröjan som var inspiration till uppgiften om de hawaiianska räkneorden och därmed även för hela denna artikel. Mahalo! litteratur Devlin, K. (2000). The Math Gene. New York: Basic Books. Helenius, O. & Mouwitz, L. (2010). Matematiken var finns den? NCM, Göteborgs universitet. Hughes, M. (1986). Children and number. Difficulties in learning mathematics. Oxford: Basil Blackwell. Lakoff, G. & Johnson, M. (1980). Metaphors we live by. Chicago: University of Chicago Press. Lakoff, G. & Johnson, M. (1999). Philosophy in the flesh. New York: Basic books. Lakoff, G. & Núñez, R. (2000). Where mathematics comes from. New York: Basic books. Wason, P. C. (1966). Reasoning. In Foss, B. M. New horizons in psychology. Harmondsworth: Penguin. Tegmark, M. (2007). The mathematical universe. Tillgänglig på arxiv.org/abs/ v2 48 Nämnaren nr
Matematiken. - Var finns den? Ola Helenius. NCM, Göteborgs universitet Avd. för Matematik, Örebro universitet
Matematiken - Var finns den? Ola Helenius ola.helenius@ncm.gu.se NCM, Göteborgs universitet Avd. för Matematik, Örebro universitet NCM Nationellt Centrum för Matematikutbildning Matematiken var finns den?
Läs merNär en Learning study planeras väljs ett område som upplevs som problematiskt
K. Drageryd, M. Erdtman, U. Persson & C. Kilhamn Tallinjen en bro mellan konkreta modeller och abstrakt matematik Fem matematiklärare från Transtenskolan i Hallsberg har under handledning av Cecilia Kilhamn
Läs merKursplaner i matematik och lärares mål med undervisningen. Ola Helenius, LUMA 2010
Kursplaner i matematik och lärares mål med undervisningen Ola Helenius, LUMA 2010 Skolinspektionens kvalitetsgranskningar Grundskolan: 23 skolor (avslutad) Matematikutbildningens mål och undervisningens
Läs merKursplan för Matematik
Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för
Läs merDet finns mycket kritik som förs fram om skolan i allmänhet samtidigt
Joakim Samuelsson Expert i matematikklassrummet Vad är det som kännetecknar skickliga matematiklärare? Artikelförfattaren har följt en erkänt duktig matematiklärare och sett hur han bedriver sin undervisning.
Läs merHär är två korta exempel på situationer då vi tillämpar den distributiva lagen:
Modul: Algebra Del 8: Avslutande reflektion och utvärdering Distributiva lagen Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet Distributiva lagen a (b + c) = a b + a c Den distributiva lagen kallas den räknelag
Läs merUnder min praktik som lärarstuderande
tomoko helmertz Problemlösning i Japan och Sverige Japansk matematikundervisning skiljer sig på många sätt från svensk. Vilka konsekvenser får det för hur elever i respektive länder löser problem? Tomoko
Läs mer30-40 år år år. > 60 år år år. > 15 år
1 av 14 2010-11-02 16:21 Namn: Skola: Epostadress: 1. Kön Kvinna Man 2. Ålder < 30 år 30-40 år 41-50 år 51-60 år > 60 år 3. Har varit verksam som lärare i: < 5 år 6-10 år 11-15 år > 15 år 4. Har du en
Läs merMatematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev
Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Med anledning av de nya kursplanerna har Strävorna reviderats. Formen, en matris med rutor, är densamma men istället för att som tidigare anknyta till mål att sträva
Läs merKompetenser och matematik
ola helenius Kompetenser och matematik Att försöka skapa strukturer i vad det innebär att kunna matematik är en mångårig internationell trend. Denna artikel anknyter till Vad är kunskap i matematik i förra
Läs merAtt ge feedback. Detta är ett verktyg för dig som:
Att ge feedback Detta är ett verktyg för dig som: Vill skapa ett målinriktat lärande hos dina medarbetare Vill bli tydligare i din kommunikation som chef Vill skapa tydlighet i dina förväntningar på dina
Läs merDokumentera och följa upp
Matematik Förskola Modul: Förskolans matematik Del 8: Dokumentera och följa upp Dokumentera och följa upp Ola Helenius, NCM, Maria L. Johansson, Luleå tekniska universitet, Troels Lange, Malmö universitet,
Läs merLÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI. Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern.
LÄRARHANDLEDNING EN NATT I FEBRUARI Mittiprickteatern Box 6071, 102 31 Stockholm 08-15 33 12 info@mittiprickteatern.se www.mittiprickteatern. En natt i februari av Staffan Göthe Lärarhandledning Syftet
Läs merProblemlösning som metod
Problemlösning som metod - för att lära matematik Fuengirola november 2014 eva.taflin@gu.se evat@du.se Problemlösningsmodulens övergripande syfte Att initiera utveckling av lärares egen undervisning utifrån
Läs merMed denna aktivitet försöker jag
LAURA FAINSILBER Ett funktionsrum Under Vetenskapsfestivalen i Göteborg 2001 bjöd matematiska institutionen på Chalmers och Göteborgs universitet på matematiska experiment för skolklasser. I en av aktiviteterna
Läs merOlika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften.
Karin Landtblom & Anette De Ron Gruppera mera! Dubbelt och hälften är vanliga inslag i den tidiga matematikundervisningen. Elever ska ringa in hälften av något eller rita så att det blir dubbelt så många.
Läs merBråkräkning uppfattas av många elever som svårt, särskilt vid beräkningar
Britt Holmberg & Cecilia Kilhamn Addition med bråk på tallinjen I sin tredje artikel om tallinjen beskriver författarna hur den används för att utveckla elevers förståelse för addition med oliknämniga
Läs merDokumentera och följa upp
Modul: Förskoleklass Del 8: Dokumentera och följa upp Dokumentera och följa upp Ola Helenius, Maria L. Johansson, Troels Lange, Tamsin Meaney, Eva Riesbeck, Anna Wernberg, Malmö högskola, Luleå tekniska
Läs merEnkäten inleds med några frågor om demografiska data. Totalt omfattar enkäten 85 frågor. 30-40 år. 41-50 år. 51-60 år. > 60 år. 6-10 år.
1 av 15 2010-11-03 12:46 Syftet med den här enkäten är att lära mer om hur lärare tänker och känner när det gäller matematikundervisningen, särskilt i relation till kursplanen och till de nationella proven.
Läs merÖvning: Föräldrapanelen
Övning: Föräldrapanelen Bild 5 i PowerPoint-presentationen. Material: Bilder med frågor (se nedan) Tejp/häftmassa Tomma A4-papper (1-2 st/grupp) Pennor (1-2 st/grupp) 1) Förbered övningen genom att klippa
Läs merÖvning: Föräldrapanelen Bild 5 i PowerPoint-presentationen.
Övning: Föräldrapanelen Bild 5 i PowerPoint-presentationen. Material: Bilder med frågor (se nedan) Tejp/häftmassa Tomma A4-papper (1-2 st/grupp) Pennor (1-2 st/grupp) 1) Förbered övningen genom att klippa
Läs merNär det är jobbigt är man på rätt väg
När det är jobbigt är man på rätt väg Med färgglada stickor, läskburkar och brinnande ljus har lärarna i mattelabbet på Fredrika Bremerskolorna öppnat upp matematiken. Och eleverna har höjt både resultat
Läs merMålkriterier Beskrivning Exempel Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll.
ÖREBRO MATEMATIK, ÅR 3 1(5) Eleven kan tolka elevnära information med matematiskt innehåll Eleven kan uttrycka sig muntligt, skriftligt och i handling på ett begripligt sätt med hjälp av vardagligt språk,
Läs merStoryline och matematik
Storyline och matematik Av Eva Marsh och Ylva Lundin I ett storylinearbete om energi fick eleverna i årskurs åtta vid många tillfällen diskutera och lösa matematiska problem som karaktärerna ställdes inför.
Läs merHands-On Math. Matematikverkstad. Förskolans nya läroplan 1 juli 2011. Matematik är en abstrakt och generell vetenskap
Hands-On Math Matematikverkstad 09.00 10.30 & 10.45 12.00 Elisabeth.Rystedt@ncm.gu.se Lena.Trygg@ncm.gu.se eller ett laborativt arbetssätt i matematik Laborativ matematikundervisning vad vet vi? Matematik
Läs merDokumentera och följa upp
Modul: Förskola Del 8: Dokumentera och följa upp Dokumentera och följa upp Ola Helenius, Maria L. Johansson, Troels Lange, Tamsin Meaney, Eva Riesbeck, Anna Wernberg, Malmö högskola, Luleå tekniska universitet,
Läs merMätning handlar om att jämföra två objekt, antingen direkt eller indirekt,
Tamsin Meaney & Troels Lange Yngre barns förståelse av mätning Barn bör ges möjlighet att förstå de begrepp som ligger bakom färdigheten att mäta. Kroppen, flaskor, pennor och chokladpulver kan bli mätinstrument.
Läs merBedömningsexempel Matematik årskurs 3
Bedömningsexempel Matematik årskurs 3 Innehåll Inledning... 3 Bedömning... 3 Exempeluppgifter i årskurs 3, 2010... 5 Skriftliga räknemetoder... 5 Huvudräkning, multiplikation och division... 7 Likheter,
Läs merAtt skriva Hur utformar man en Social berättelse? Lathund för hur en Social berättelse kan skrivas
52 56 57 57 59 59 61 61 63 64 64 65 67 67 76 77 77 79 80 83 86 87 89 91 93 95 Seriesamtalets andra möjligheter Sammanfattning Seriesamtal Sociala berättelser Vad är en Social berättelse? För vilka personer
Läs merVärderingsövning -Var går gränsen?
OBS! jag har lånat grundidén till dessa övningar från flera ställen och sedan anpassat så att man kan använda dem på högstadieelever. Värderingsövning -Var går gränsen? Detta är en övning i att ta ställning
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs merMatematikutveckling med stöd av alternativa verktyg
Matematikutveckling med stöd av alternativa verktyg Vad ska man ha matematik till? Vardagslivet Yrkeslivet Skönheten och konsten Underbart att veta att det finns räcker inte det+ LGR11 Undervisningen ska
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merOlika sätt att lösa ekvationer
Modul: Algebra Del 5: Algebra som språk Olika sätt att lösa ekvationer Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Lucian Olteanu, Linnéuniversitetet Att lösa ekvationer är en central del av algebran, det
Läs merHANDLEDNING TILL WEBBUTSTÄLLNINGEN HEM, LJUVA HEM - OM BROTT I NÄRA RELATIONER
HANDLEDNING TILL WEBBUTSTÄLLNINGEN HEM, LJUVA HEM - OM BROTT I NÄRA RELATIONER HANDLEDNING TILL WEBBUTSTÄLLNINGEN HEM, LJUVA HEM - OM BROTT I NÄRA RELATIONER Den här handledningen är till för dig som vill
Läs merKonkretisering av matematiska begrepp i skolan
Karin Kairavuo Konkretisering av matematiska begrepp i skolan Den kinesiska författaren och nobelpristagaren i litteratur, Gao Xingjian, använder en spännande metod i sitt arbete. Han talar in sina blivande
Läs merFöreläsning 3.1: Datastrukturer, en översikt
Föreläsning.: Datastrukturer, en översikt Hittills har vi i kursen lagt mycket fokus på algoritmiskt tänkande. Vi har inte egentligen ägna så mycket uppmärksamhet åt det andra som datorprogram också består,
Läs merVad är god matematik- -undervisning?
Vad är god matematik- -undervisning? Mona Røsseland www.fiboline.no Översikt Hur ser vi till att eleverna utvecklar en allsidig kunskap i matematik, där förmågan att tänka får större fokus än förmågan
Läs merMåluppfyllelse i svenska/svenska som andraspråk vid nationella prov årskurs 3 vårterminerna 2009 och 2010 TOTALT ANTAL ELEVER 2009: 72
Sedan vårterminen 2009 görs nationella prov i svenska och matte för årskurs 3 i hela landet. Från och med höstterminen 2009 får varje elev i Valdemarsviks kommun skriftligt omdöme varje termin i de ämnen
Läs merModulkonstruktion. Ola H. NCM
Modulkonstruktion Ola H. NCM Grundskolan Algebra Statistik och sannolikhet Geometri Samband och förändring Problemlösning Taluppfattning och tals användning Särskolan Förskola och förskoleklass Gymnasieskolan
Läs merFira Pi-dagen med Liber!
Fira Pi-dagen med Liber! Specialuppdrag från Uppdrag: Matte o Kul-diagram o Geometri med färg UPPDRAG: MATTE Mattedetektiverna Mattespanarna Hej! Den 14 mars är det Pi-dagen (3.14). Det är värt att uppmärksammas
Läs merhttp://www.leidenhed.se Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts.
Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att
Läs merom detta talar man endast med kaniner Text och bild: Anna Höglund
1 om detta talar man endast med kaniner Text och bild: Anna Höglund Detta är en bilderbok för tonåringar och för vuxna, en bok som handlar om utanförskap och vilsenhet. Det är en poetisk bok med korta
Läs merGLÖMSTA-, VISTA-, VISTABERG- OCH TALLDALENS FÖRSKOLOR
GLÖMSTA-, VISTA-, VISTABERG- OCH TALLDALENS FÖRSKOLOR Totalt 25 avdelningar Ca 100 medarbetare med olika utbildningar 445 barn Beläget i villaområdet Glömsta, vista, vistaberg Nya förskolor EN GEMENSAM
Läs merLäroplanens mål. Målen för eleverna i grundskolan är i läroplanen uppdelad i mål att sträva mot och mål att uppnå.
Läroplanens mål Målen för eleverna i grundskolan är i läroplanen uppdelad i mål att sträva mot och mål att uppnå. Mål att sträva mot är det som styr planeringen av undervisningen och gäller för alla årskurser.
Läs merBarn och elevenkäter genomförda i Värnamo kommun 2015
Barn och elevenkäter genomförda i Värnamo kommun 2015 Förskolan 2015 Får alla barn vara med att bestämma vad ni skall göra på förskol Får du vara med och bestämma vad ni skall göra på din förskola? Får
Läs merGöra lika i båda leden
Modul: Algebra Del 6: Sociomatematiska normer Göra lika i båda leden Cecilia Kilhamn, Göteborgs Universitet och Lucian Olteanu, Linnéuniversitetet Ordet algebra kommer från det arabiska ordet al-djabr
Läs merVerksamhetsportfolio. Kinnarps förskola. Läsår 2011/2012. Klicka på pilen i verktygsfältet för att fortsätta bildspelet
Verksamhetsportfolio Kinnarps förskola Läsår 2011/2012 Klicka på pilen i verktygsfältet för att fortsätta bildspelet Matematik Dessa prioriterade mål från läroplanen arbetar Kinnarps förskola med under
Läs merStavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper.
Stavelsen Det talade ordet Läsa via skrivandet Strukturerad inlärning Vi arbetar i studiegrupper, dvs. ettor och tvåor tillsammans i mindre grupper. Lokala mål Tala och lyssna: Jag kan lyssna och förstå
Läs merVad innebär det att undervisa i algebra i årskurs 1 3? Vart ska dessa
Åsa Brorsson Algebra för lågstadiet I denna artikel beskriver en lärare hur hon arbetar med algebra redan i de tidiga skolåren. Det är ett arbete som hjälper elever att förstå likhetstecknets betydelse,
Läs merTaluppfattning och allsidiga räknefärdigheter
Taluppfattning och allsidiga räknefärdigheter Handbok med förslag och råd till lärare för att kartlägga, analysera och åtgärda elevers svårigheter och begreppsliga missuppfattningar inom området tal och
Läs merInspirationsmaterial. Research. Av Anna Hellerstedt
1 Inspirationsmaterial Research Av Anna Hellerstedt När jag var 20 år blev jag indragen i en skåpbil och misshandlad, märkt av nazister. Det hände en kväll när jag hade kört in på en mack för att tanka
Läs merMimer Akademiens arbete med barnens matematikutveckling Ann S Pihlgren Elisabeth Wanselius
Mimer Akademiens arbete med barnens matematikutveckling Ann S Pihlgren Elisabeth Wanselius Matematikdidaktik hur förbättrar vi resultaten? I olika undersökningar de senaste 25 åren visar det sig att de
Läs merAtt våga tala. - går det att lära sig? Mina egna små erfarenheter... Fredrik Bengtsson
Att våga tala - går det att lära sig? Mina egna små erfarenheter... Fredrik Bengtsson Vad jag tänkte prata om... Vem är jag? Vad gör jag här? min bakgrund som talare Går det att lära sig att våga nåt?
Läs merInledning. Polydronmaterialet. Tio områden. Lgr11-koppling
Inledning Polydronmaterialet De färgglada bitarna i Polydronmaterialet har länge lockat till byggen av alla möjliga slag. Den geometriska funktionen är tydlig och möjligheterna till många matematiska upptäckter
Läs merDelprov A, muntligt delprov Lärarinformation
Delprov A, muntligt delprov Lärarinformation Beskrivning av det muntliga delprovet Det muntliga delprovet kan genomföras fr.o.m. vecka 10 och resten av vårterminen. Det muntliga delprovet handlar om att
Läs merKommentarmaterial, Skolverket 1997
Att utveckla förstf rståelse för f r hela tal Kommentarmaterial, Skolverket 1997 Att lära sig matematik handlar om att se sammanhang och att kunna föra logiska resonemang genom att känna igen, granska
Läs merElevintervju, elevsvar Namn: Ålder:
Namn: Ålder: 1 Subitisering. Uppfattar eleven ett litet antal i en blink, dvs utan att räkna? (1) Lägg antalskorten (kopieringsunderlag 2) i en osorterad hög med baksidan upp. Vänd upp ett kort i taget.
Läs merPedagogisk planering i matematik X + 7 = 30 Myrstacken Äldre årskurs 5, Hällby skola
Pedagogisk planering i matematik X + 7 = 30 Myrstacken Äldre årskurs 5, Hällby skola Gäller för första delen av VT15 Syfte Du ska genom undervisningen ges förutsättningar att utveckla din förmåga att:
Läs merOm man googlar på coachande
Coachande ledarskap Låt medarbetaren Att coacha sina medarbetare är inte alltid lätt. Men det allra viktigaste är att låta medarbetaren finna lösningen själv, att inte ta över och utföra den åt denne.
Läs merBarn och skärmtid inledning!
BARN OCH SKÄRMTID Barn och skärmtid inledning Undersökningen är gjord på uppdrag av Digitala Livet. Digitala Livet är en satsning inom Aftonbladets partnerstudio, där Aftonbladet tillsammans med sin partner
Läs merGer bilder stöd för förståelsen av och förmågan att minnas kunskapskraven?
Ger bilder stöd för förståelsen av och förmågan att minnas kunskapskraven? Inledning Många elever har svårt att förstå och minnas kunskapskraven. I utvärderingar av min undervisning får ofta frågor kopplade
Läs merAtt utveckla taluppfattning genom att dela upp tal är mycket vanligt i de
Jorryt van Bommel Räkna med ägg När elever möter matematikinnehåll genom arbete med konkret och laborativt material är det av vikt att steget från konkret arbete till abstrakt och generell matematik inte
Läs merMatematik på stan. Läs åtminstone det här:
LÄRARHANDLEDNING Med Matematik vill vi ge lärare ett användbart verktyg i matematikundervisningen. Vi vill visa på matematiken runt omkring oss och göra matematiken mer konkret för att öka förståelsen.
Läs merHur stor är sannolikheten att någon i klassen har en katt? Hur stor är
Karin Landtblom Hur sannolikt är det? Uttrycket Hur sannolikt är det på en skala? använder många till vardags, ofta med viss ironi. I denna artikel om grunder för begreppet sannolikhet åskådliggör författaren
Läs merHamlet funderingsfrågor, diskussion och högläsningstips
en lektion från Lärarrummet för lättläst - www.lattlast.se/lararrum Hamlet funderingsfrågor, diskussion och högläsningstips Ämne: Svenska, SVA, SFI Årskurs: 7-9, Gym, Vux Lektionstyp: reflektion och diskussion
Läs merEkvationer och system av ekvationer
Modul: Undervisa matematik utifrån problemlösning Del 4. Strategier Ekvationer och system av ekvationer Paul Vaderlind, Stockholms universitet Ekvationslösning är ett av de viktiga målen i skolmatematiken.
Läs merMATEMATIK 3.5 MATEMATIK
3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs merDet konkreta i Tomas Tranströmers lyrik. Anna Vogel anna.vogel@su.se Forum för textforskning Umeå 9 10 juni 2015
Det konkreta i Tomas Tranströmers lyrik Anna Vogel anna.vogel@su.se Forum för textforskning Umeå 9 10 juni 2015 Frågor som ska besvaras Har Tranströmer mer konkreta beståndsdelar i sina dikter än andra
Läs merExempel på hur man kan tolka kursplanen i ämnet bild
Exempel på hur man kan tolka kursplanen i ämnet bild VD? VILKET SÄTT? HNDEN Skapande arbete Teknik & Material Kreativitet Egna idéer Drivkraft npassning Bildkomposition FNTSIN HUR? Kommunikation Reflektion
Läs merTal i bråkform. Kapitlet behandlar. Att förstå tal
Tal i bråkform Kapitlet behandlar Test Användning av hälften och fjärdedel 2 Representation i bråkform av del av antal och av del av helhet 3, Bråkform i vardagssituationer Stambråk, bråkuttryck med 1
Läs merAlgebra utan symboler Learning study
Algebra utan symboler - - - - - Learning study Johan Häggström, NCM Göteborgs universitet 1 Är algebra verkligen något för grundskolans första år? Om eleverna förstår aritmetiken så bra att de kan förklara
Läs merOmformningsförmåga, berättelse och identitet. Vigdis Ahnfelt, Lektor i spanska och lärare i ämnesdidaktik moderna språk
Omformningsförmåga, berättelse och identitet Vigdis Ahnfelt, Lektor i spanska och lärare i ämnesdidaktik moderna språk Projektet (CSL) har nyligen påbörjats Undersöka berättelser om konstruktion av yrkesidentitet
Läs merUpprepade mönster (fortsättning från del 1)
Modul: Algebra Del 2: Resonemangsförmåga Upprepade mönster (fortsättning från del 1) Anna-Lena Ekdahl och Robert Gunnarsson, Högskolan i Jönköping Ett viktigt syfte med att arbeta med upprepade mönster
Läs merSmå barns matematik, språk och tänkande går hand i hand. Görel Sterner Eskilstuna 2008
Små barns matematik, språk och tänkande går hand i hand Görel Sterner Eskilstuna 2008 Rollek - Nalle ska gå på utflykt. - Nu är hon ledsen, hon vill inte ha den tröjan. - Nalle ska ha kalas, då ska hon
Läs merEn typisk medianmorot
Karin Landtblom En typisk medianmorot I artikeln Läget? Tja det beror på variablerna! i Nämnaren 1:1 beskrivs en del av problematiken kring lägesmått och variabler med några vanliga missförstånd som lätt
Läs mer2013 PUBLIC EXAMINATION. Swedish. Continuers Level. Section 1: Listening and Responding. Transcript
2013 PUBLIC EXAMINATION Swedish Continuers Level Section 1: Listening and Responding Transcript Board of Studies NSW 2013 Section 1, Part A Text 1 Meddelande för resenärer på perrong tre. Tåget mot Söderköping
Läs merMathias Norqvist - Umeå universitet SPELAR DET NÅGON ROLL VILKA UPPGIFTER ELEVERNA TRÄNAR MED?
Mathias Norqvist - Umeå universitet SPELAR DET NÅGON ROLL VILKA UPPGIFTER ELEVERNA TRÄNAR MED? 1 En situation från ett klassrum E: Blir x 3 x 5 = 2x 15? L: Nej, x 3 x 5 blir x 8. E: Jaha, då förstår jag!
Läs merkroppsliga reaktioner 0 100 Beskriv dina övriga känslor och eventuella huvud? Vilka tankar for genom ditt var du med? Vad gjorde du?
ARBETSBLAD 1 AR B E TS B L A D 1: Registrering av automatiska tankar Situation Automatiska tankar Ångest/Rädsla Övriga känslor När var det? Var var du? Vem var du med? Vad gjorde du? Vilka tankar for genom
Läs merStoryline och matematik
Storyline och matematik Av Eva Marsh och Ylva Lundin I ett storylinearbete om energi fick eleverna i årskurs åtta vid många tillfällen diskutera och lösa matematiska problem som karaktärerna ställdes inför.
Läs merRödGrön-spelet Av: Jonas Hall. Högstadiet. Tid: 40-120 minuter beroende på variant Material: TI-82/83/84 samt tärningar
Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet är utformat som ett spel som spelas av en grupp elever. En elev i taget agerar Gömmare och de andra är Gissare. Den som är gömmare lagrar (gömmer) tal i några av räknarens
Läs merNORDEN I BIO 2008/09 Film: Goðir gestir (Island 2006) Svensk text
1 Har du köpt tillräckligt med saker? 2 Tja... Jag vet inte. Vad tycker du? Borde jag handla mer saker? 3 Är det nån på ön som du inte har köpt nåt åt? 4 -Ja, en. -En? 5 -Dig. -Men jag bor inte på ön...
Läs merHur tycker du skolan fungerar?
Hur tycker du skolan fungerar? För att få veta mer om hur det fungerar i skolan vill vi ställa några frågor till dig som går i årskurs 9. Statistiska centralbyrån (SCB) och Göteborgs universitet genomför
Läs merMotiverande Samtal MI introduktion
Motiverande Samtal MI introduktion NPF barn och ungdomar Göteborg 31 oktober 2012 Yvonne Bergmark Bröske leg. sjuksköterska, utbildnings & projektkonsult MI-pedagog (MINT), utb. av Diplom. Tobaksavvänj.
Läs merAtt förstå bråk och decimaltal
Att förstå bråk och decimaltal Flera undersökningar som är gjorda visar att elever har svårt att förstå bråk. I undervisningen är det också vanligt att eleverna lär sig olika regler för bråk, men få förstår
Läs mer48 p G: 29 p VG: 38 p
11F322 MaI Provmoment: Matematik 5 hp Ladokkod: Tentamen ges för: Studenter i lärarprogrammet F-3 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 16-05-31 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel Totalt
Läs merÄven om skolmatematiken är uppdelad under Centralt innehåll i kursplanen
C. Lindegren, I. Welin & W. Sönnerhed Förståelse för tal i bråkform Två lärarstudenter på HLK i Jönköping undersökte elevers förståelse för tal i bråkform. De såg att elever många gånger har likartade
Läs merTre saker du behöver. Susanne Jönsson. www.sj-school.se
Steg 1 Grunden 0 Tre saker du behöver veta Susanne Jönsson www.sj-school.se 1 Steg 1 Grunden Kärleken till Dig. Vad har kärlek med saken att göra? De flesta har svårt att förstå varför det är viktigt att
Läs merInnehållsförteckning. Inledning... 3. Introduktion... 4. Övrigt... 5. Presentationens innehåll... 6
Anteckningsunderlag 2 Innehållsförteckning Inledning... 3 Introduktion... 4 Övrigt... 5 Presentationens innehåll... 6 Förutsättningar för en intressant presentation... 8 Presentationens tre delar... 9
Läs merLära matematik med datorn. Ulrika Ryan, projektledare för Matematik för den digitala generationen Byskolan, Södra Sandby
Lära matematik med datorn Ulrika Ryan, projektledare för Matematik för den digitala generationen Byskolan, Södra Sandby Innehåll Varför undervisar jag som jag gör? Lärarens roll i det digitala klassrummet
Läs merSödervångskolans mål i matematik
Södervångskolans mål i matematik Mål som eleverna lägst ska ha uppnått i slutet av det första skolåret beträffande tal och taluppfattning kunna läsa av en tallinje mellan 0-20 kunna läsa och ramsräka tal
Läs merBagarmossens skolas kravnivåer beträffande tal och talens beteckningar som eleven ska ha uppnått efter:
Matematik 1-5 Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och
Läs merLokal pedagogisk planering
Lokal pedagogisk planering RO/Skola: Rebbelberga skola Arbetsområde: Taluppfattning Ämne: Matematik Termin/År: ht 2013 Årskurs: 1 Ämnets syfte enligt grundskolans kursplan: Genom undervisningen i ämnet
Läs merBerätta tillsammans. Astrid Frylmark
Berätta tillsammans Det är nu mer än ett år sedan jag först såg boken The Story Maker av Francis Dickens och Kirstin Lewis. Med fokus på barn med engelska som andra språk inspirerar författarna sina elever
Läs merHar du funderat något på ditt möte...
Har du funderat något på ditt möte... med mig? Så vill jag bli bemött som patient inom psykiatrin. projektet Bättre psykosvård Har du sett rubriker som de här? troligen inte. De här rubrikerna är ovanligt
Läs merFör att få reda på vad elever tänker räcker det ofta att bara börja prata om
Pirjo Repo Burkexperimentet Genom att förse elever med konkret material och låta dem arbeta fritt med en frågeställning kan vi få ta del av hur de resonerar. En undersökning av burkar ger här en inblick
Läs merSkolan med arbetsglädje Montessori
Skolan med arbetsglädje Montessori Vem var Maria Montessori? Maria Montessori (1870-1952) var Italiens första kvinnliga läkare. I sitt arbete kom hon tidigt i kontakt med mentalt störda barn och socialt
Läs merLaborativ matematik som bedömningsform. Per Berggren och Maria Lindroth 2014-06-17
Laborativ matematik som bedömningsform Per Berggren och Maria Lindroth 2014-06-17 Vad är mönstret värt? Lika eller olika Vilka förmågor tränas Problemlösning (Förstå frågan i en textuppgift, Använda olika
Läs merKursplanen i matematik 2011 - grundskolan
Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust
Läs merMATEMATIK 5.5 MATEMATIK
5.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk
Läs mer