Granskning av svensk standard för dimensionering av stålfiberbetongkonstruktioner

Transkript

1 Granskning av svensk standard för dimensionering av stålfiberbetongkonstruktioner Jämförelse av plattor enligt SS och SS-EN 1992 Examination of Swedish standard for design of steel fibre concrete Comparison of plates according to SS and SS-EN 1992 Författare: Carolina Wesley Daniella Sandberg Uppdragsgivare: Handledare: Byggnadstekniska Byrån AB, BTB Jerry Hedebratt, BTB Peter Eklund, KTH ABE Examinator: Examensarbete: Sven-Henrik Vidhall, KTH ABE 15 högskolepoäng inom Byggteknik och Design Godkännandedatum: Serienummer: BD 2014;67

2 II

3 SAMMANFATTNING En svensk standard, SS Dimensionering av fiberbetongkonstruktioner, har nyligen tagits fram som skall säkerhetsställa kvalitén och underlätta dimensioneringen av stålfiberbetongkonstruktioner. Tidigare har det inte funnits en dimensioneringsstandard som täcker in området stålfiberbetong. Det har varit upp till enskilda konstruktörer att dimensionera utifrån metoder angivna ur Svenska Betongföreningens rapport nr 13. Materialdata har hämtats från stålfiberleverantörer eller balkprovning. Detta har ibland medfört felaktiga dimensioneringar och en osäkerhet till användandet av stålfiberbetong som material. Förhoppningen med den nyutkomna standarden är att den skall underlätta dimensioneringen av konstruktioner med stålfiberbetong och därigenom att materialet börjar användas i bredare utsträckning. Syftet med examensarbetet är att granska den nyutkomna standarden genom att applicera dess beräkningsmetoder på en konkret dimensioneringsuppgift. I examensarbetet har två olika fält av ett bostadsbjälklag, med olika randvillkor, undersökts. Dimensionering med hänsyn till moment- och tvärkraftskapacitet har utförts i brottgränstillstånd, och med hänsyn till sprickbredd och deformationer i bruksgränstillstånd. Dimensioneringen har utförts dels med enbart traditionell armering och dels i en kombination av traditionell armering och stålfibrer. Resultatet av arbetet visar att användandning av stålfibrer i kombination med armeringsjärn ger en betydande minskning av sprickbredden, deformationerna blir mindre och tvärkraftskapaciteten ökar. Vi kunde dra slutsatsen att det är bra att en svensk standard för stålfiberbetong har tagits fram så att konstruktionsföretag i Sverige har något att förhålla sig till. Den behöver dock förtydligas i vissa avseenden samt revideras där vi upptäckte några brister. Nyckelord: Armering, betong, dimensionering, Eurokod, plattor, sprickor, SS , stålfiber, stålfiberbetong, svensk standard III

4 IV

5 ABSTRACT A Swedish standard, SS Design of Fibre Concrete Structures, have recently been developed to ensure the quality and facilitate the design of steel fiber concrete. Previously, there was no design standard that covered the material steel fiber concrete. It was up to the individual engineer to design the constructions based methods from the Swedish report Svenska Betongföreningens rapport nr 13. Material data was gathered from the steel fibre suppliers or beam test. This sometimes led to incorrect designs and also an uncertainty to the use of steel fiber concrete as a material. The expectation with the newly published standard is to ease the process of designing the constructions of steel fiber concrete and thereby the material will be used in a wider extent. The purpose of this thesis is to examine the recently published standard by applying its calculation methods on a design task. In this thesis, two different slab panels of a residential floor, with different boundary conditions, was investigated. Design with respect to moment- and shear force capacity has been carried out in the ultimate limit state, and with respect to crack width and deflections at serviceability limit state. The dimensioning has been performed partly with only traditional reinforcement and partly with traditional reinforcement in combination (Svenska Betongföreningen, 2008) with steel fibers. The result of this thesis shows that the use of steel fibers combined with reinforcing bar provides a significant reduction in crack width, the deformations become smaller and the shear resistance increases. We could conclude that it is good that a Swedish standard for steel fiber concrete has been developed so that construction companies in Sweden have something to relate to. However, it needs to be clarified at some aspects and revised because of some deficiencies we discovered. Keywords: Concrete, cracks, design, Eurocode, plates, reinforcement, steel fibre, steel fibre concrete, SS , Swedish standard V

6 VI

7 FÖRORD Detta examensarbete omfattar 15 hp och avslutar högskoleingenjörsprogrammet Byggteknik och Design som har genomförts vid Kungliga Tekniska Högskolan i Haninge. Arbetet har utförts på uppdrag av Byggnadstekniska Byrån AB, BTB i Stockholm och har pågått under 10 veckor. Vi vill tacka medarbetarna på BTB, speciellt Johan Engel och Daniel Stibing som hjälpt till att bringa klarhet i förvirrade stunder och höjt stämningen i diskorummet. Vi vill även rikta ett stort tack till vår handledare Jerry Hedebratt på BTB som väckte intresset till idén för examensarbetet. Han har tagit sig tid, funnits där som bollplank och kommit med goda råd. Stockholm, juni 2014 Carolina Wesley Daniella Sandberg VII

8 VIII

9 TERMINOLOGI Versala och gemena latinska bokstäver betongens dragzonarea före uppsprickning erforderlig armeringsarea arean hos den dragarmering som når minst bortom betraktat snitt dragarmering plattstyvhet effektiva elasticitetsmodulen sekantvärde för betongens elasticitetsmodul dimensioneringsvärde för armeringens elasticitetsmodul övre karakteristiskt värde för den permanenta lasten j momentkapacitet karakteristiskt värde för den samverkande variabla lasten i stödkraft tvärkraft tvärkraftskapacitet böjmotstånd tvärsnittets bredd tvärsnittets minsta bredd inom dragen zon täckande betongskikt effektiv höjd dimensioneringsvärde för betongens tryckhållfasthet karakteristiskt värde för betongens cylindertryckhållfasthet (28 dagar) medelvärde på betongens draghållfasthet vid den tidpunkt då första sprickan förväntas uppkomma. eller lägre,, om sprickbildning förväntas tidigare än 28 dagar efter gjutningen medelvärde för betongens axiella draghållfasthet karakteristiskt värde på residualdraghållfastheten för fiberbetong, klass R1 IX

10 karakteristiskt värde på residualdraghållfastheten för fiberbetong, klass R3 dimensionerande residualdraghållfasthet, klass R1 dimensionerande residualdraghållfasthet i brottgränstillstånd, klass R3 karakteristisk kvarvarande böjdraghållfasthet för stålfiberbetong, klass R1 karakteristisk kvarvarande böjdraghållfasthet för stålfiberbetong, klass R3 dimensioneringsvärde för armeringens sträckgräns karakteristiskt värde för armeringens sträckgräns karakteristisk egentyngd tvärsnittets höjd koefficient som kompenserar för inverkan av ojämna egenspänningar som medför en minskning av tvångskrafter koefficient som beaktar spänningsfördelningen inom tvärsnittet omedelbart före uppsprickning och inre hävarmens ändring faktor som beaktar förhållandet mellan residualdraghållfastheten och draghållfastheten faktor som beror av lastens varaktighet längd karakteristisk längd moment relativt moment maximalt sprickavstånd dimensionerande last karakteristisk last Poissons tal sprickbredd Versala och gemena grekiska bokstäver stångdiameter på armeringsjärn partialkoefficient för betong (endast beaktande osäkerheter i materialegenskaper) X

11 dimensionerande värde på tunghet partialkoefficient för fiberbetong betongens stukning medeltöjning i betongen mellan sprickor betongens stukning vid drag töjning i fiberbetongen dragbrottöjning i fiberbetongen armeringens medeltöjning under aktuell lastkombination inklusive inverkan av påtvingade deformationer och med beaktande av betongtöjningen mellan sprickor töjning i armeringen spricksäkerhetsfaktor effektiva hållfastheten faktor som beror på grad av statiskt bestämning för fiberbetong faktor med hänsyn till fiberorientering tryckzonens effektiva höjd fiberinnehåll armeringsinnehåll, längsarmering slutligt värde på kryptal tryckspänning i betongen av normalkraft eller förspänning armeringsspänning beräknad för sprucket tvärsnitt stålspänning i dragarmeringen fiktiv spänning i dragarmeringen vid antagandet av ett sprucket tvärsnitt som försummar effekten av fibrerna ( ) faktor för kombinationsvärde/frekvent värde/kvasipermanent värde för variabel last deformation mekaniskt armeringsinnehåll XI

12 XII

13 BEGREPP OCH FÖRKLARINGAR EKS BFS 2013:10 EKS 9 Boverkets författningssamling BTB Byggnadstekniska Byrån AB EK0 SS-EN 1990 Eurokod 0: Grundläggande dimensioneringsregler för bärverk EK1 SS-EN Eurokod 1: Laster på bärverk Del 1-1: Allmänna laster Tunghet, egentyngd, nyttig last för byggnader EK2 SS-EN :2005. Eurokod 2: Dimensionering av betongkonstruktioner Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader Plattor Residualdraghållfasthet De två fack ur ett bostadsbjälklag vi dimensionerat, för randvillkor och dimensioner, se kapitel 3.1 Den kvarvarande draghållfastheten efter uppsprickning Standarden SS :2014 Fiberbetong Dimensionering av fiberbetongkonstruktioner Figurer och tabeller utan källhänvisningar är utförda av författarna. XIII

14 INNEHÅLL 1. INLEDNING BAKGRUND NULÄGESBESKRIVNING MÅLFORMULERING AVGRÄNSNINGAR METODVAL MÅLGRUPP MATERIALET STÅLFIBERBETONG HISTORIA STÅLFIBERBETONG STÅLFIBRER FIBERORIENTERING SPRICKOR DIMENSIONERING DIMENSIONERINGSFÖRUTSÄTTNINGAR Dimensionering av laster Beräkning av dimensionerande moment i brottgränstillstånd Beräkning av dimensionerande moment i bruksgränstillstånd Beräkning av dimensionerande tvärkraft Val av residualklass DIMENSIONERINGSMETOD FÖR PLATTA MED TRADITIONELL ARMERING Beräkningar i brottgränstillstånd Kontroll av momentkapacitet Framtagning av erforderlig armeringsarea med hänsyn till böjande moment Beräkning av momentkapaciteten Kontroll av tvärkraftskapacitet Beräkningar i bruksgränstillstånd Beräkning av sprickbredd Beräkning av deformationer DIMENSIONERINGSMETOD FÖR PLATTA MED STÅLFIBERBETONG I KOMBINATION MED TRADITIONELL ARMERING Beräkningar i brottgränstillstånd Kontroll av momentkapacitet Framtagning av erforderlig armeringsarea med hänsyn till böjande moment Beräkning av momentkapaciteten Kontroll av tvärkraftskapacitet Beräkningar i bruksgränstillstånd Beräkning av sprickbredd Beräkning av deformationer GENOMFÖRANDE MOMENTKAPACITET TVÄRKRAFTSKAPACITET SPRICKBREDD DEFORMATIONER RESULTAT DISKUSSION XIV

15 6.1 SYNPUNKTER PÅ STANDARDEN TVÄRKRAFTSKAPACITET MOMENTKAPACITET FÖR KOMBINERAD ARMERAD PLATTA SPRICKBREDD Sprickbreddskrav Stålspänning DEFORMATIONER ARMERINGSAREA ALLMÄN DISKUSSION OCH FÖRKLARINGAR SLUTSATSER REKOMMENDATIONER REFERENSER BILAGOR XV

16 XVI

17 1. INLEDNING 1.1 BAKGRUND Fiberbetong används relativt lite i dagsläget, detta trots fördelar såsom att materialet är sprickfördelande, hämmar tillväxten av sprickor och ger ett segt brott. Kunskapen om materialet och dess fördelar är begränsad bland många av Sveriges konstruktionsföretag (Hedebratt, 2014). En anledning till detta kan vara att det inte funnits normer eller dimensioneringsanvisningar som har tagit hänsyn till de materialegenskaper som är unika för fiberbetongen (Löfgren, 2006, p. 35). Anledningen till att man vill ta fram en viss standard är avsaknaden av officiella regler för användning av en konstruktionsdel eller ett material. Tidigare har det inte funnits en svensk dimensioneringsstandard som täcker in området stålfiberbetong. Det har varit upp till enskilda konstruktörer att dimensionera utifrån metoder angivna ur Svenska Betongföreningens rapport nummer 13 (Svenska Betongföreningen, 2008). Materialdata har hämtats från stålfiberleverantörer eller balkprovning. Eftersom det inte har funnits några tydliga regler för hur man dimensionerar har metoderna varit många och några även felaktiga (Hedebratt, 2014). En kommitté, SIS TK 566/AG1, har sedan år 2004 arbetat med att ta fram en svensk standard som behandlar dimensioneringsmetoder för fiberbetong. Den blev nyligen färdigställd och officiellt utgiven Syftet med den nya standarden, SS Dimensionering av fiberbetongkonstruktioner, är att säkerhetsställa kvalitén och underlätta dimensioneringen för konstruktioner av fiberbetong (Hedebratt, 2014). Då standarden är nyutgiven har den ännu inte hunnit bli implementerad i någon större utsträckning på Sveriges konstruktionsföretag. Innan den kommer att börja användas i större utsträckning finns ett behov av att granska innehållet. Detta för att upptäcka eventuella fel, brister eller oklarheter som kan göra det svårare att dimensionera stålfiberbetongen än vad som är tänkt (Hedebratt, 2014). 1.2 NULÄGESBESKRIVNING Examensarbetet har genomförts i samarbete med Byggtekniska Byrån AB, BTB. Företaget grundades i Göteborg år Stockholmskontoret var först bara en filial till Göteborgskontoret men i början på 1990-talet blev de till ett självständigt företag (Byggnadstekniska Byrån AB, ). I nuläget finns företaget i Stockholm, Uppsala och Jönköping med sammanlagt cirka 70 medarbetare. BTB är ett konsultföretag med huvudområde inom husbyggnad med inriktning på byggteknik, konstruktion och geoteknik. Deras uppdrag kan omfatta såväl nybyggnad som till- och ombyggnad (Byggnadstekniska Byrån AB, ). Figur 1. BTB:s logotyp (Byggnadstekniska Byrån AB, ). 1

18 1.3 MÅLFORMULERING Syftet med examensarbetet är att granska SS Dimensionering av fiberbetongkonstruktioner. Målet är att visa på att den nyutkomna svenska standarden för beräkningar av konstruktioner med stålfiberbetong går att appliceras i praktiken vid ett dimensioneringsarbete. Målet kan delas upp i följande delmål: Få en djupare förståelse för materialet stålfiberbetong. Förstå och kunna tolka den svenska standarden SS Utföra beräkningar på plattor med olika randvillkor i jämförelsesyfte. För att uppnå målen kommer beräkningar på två fack av ett bostadsbjälklag utföras. Plattorna kommer jämföras när dessa är traditionellt armerade med när de är kombinerat armerade med stålfiberbetong. Arbetet skall också leda fram till om den föreslagna beräkningsgången i standarden är lätt att följa och förstå. 1.4 AVGRÄNSNINGAR Examensarbetet tar ingen hänsyn till ekonomiska aspekter. Avgränsningar har gjorts med hänsyn till vilken konstruktionsdel den nya standarden kontrolleras mot. Beräkningar kommer endast utföras på plattor, inga andra delar såsom balkar, pelare eller andra bärande konstruktioner kommer att kontrolleras. Fokus har lagts på att visa skillnaderna för de olika plattorna, som är armerade på olika sätt, snarare än att detaljgranska alla parametrar som påverkar en specifik beräkning. Därför kommer värden på vissa parametrar antas. Alla delar ur standarden kommer inte att analyseras då dessa inte är relevanta för examensarbetets uppgift. De delar som inte kommer att granskas är: Rotationskapacitet 6.3 Vridning 6.4 Stansning 6.7 Delvis belastade områden 6.8 Utmattning Annex P till och med S Inga beräkningar kommer utföras med endast stålfiberbetong då en kombination av armering krävs för bostadsbjälklag på grund av de krav som ställs för robusthet i EK2 och EKS. 1.5 METODVAL Examensarbete kommer att undersöka möjligheterna med användningen av stålfiberbetong i plattor, detta genom att jämföra dessa med traditionellt armerade plattor. För att kunna genomföra detta krävs en fördjupad kunskap av vad stålfiberbetong är och dess egenskaper. Denna kunskap baseras på litteraturstudier. 2

19 För att kunna göra en jämförelse behöver vi genomföra beräkningar på båda plattorna utifrån att dels följa den svenska standarden och dels EK2. För att förenkla dimensioneringen kommer datorstödda beräkningsprogram att användas. Excel valdes framför andra program för att det är ett kraftfullt beräkningshjälpmedel och samtidigt användarvänligt. Ett alternativ till beräkningar i Excel är handberäkningar vilket endast kommer användas för kontroll, då uträkningarna kommer bli för långa och svåra att följa. Dessutom är Excel smidigt då man kan ändra några parametrar i jämförelsesyfte och få resultat direkt. Att göra liknande beräkning för hand skulle ta för lång tid. 1.6 MÅLGRUPP Examensarbetets primära målgrupp innefattar personer som har en ingenjörsutbildning inom byggteknik eller annan grundkompetens inom ämnet konstruktion. 3

20 4

21 2. MATERIALET STÅLFIBERBETONG Figur 2. Stålfibrer inblandade i betongen under gjutning (N. Thrane, 2013, p. 82). 2.1 HISTORIA Redan långt innan Jesus födelse försökte man förstärka spröda byggmaterial genom att blanda i fiberliknande material. Man använde sig till exempel av torkad lerjord som förstärktes med halm eller djurhår. Målet var då, likt nu, att hitta ett sätt att undvika sprickor i materialet och därigenom reducera minskningen av bärförmågan som uppkommer i samband med sprickbildning (Maidl, 1995, p. 3). Första sortens fiberbetong kom till för mer än hundra år sedan och liknar den vi använder oss av idag. År 1874 togs det första patentet på fiberarmerad betong, av amerikanen A. Berard. Idén var att stärka betongen genom ett tillskott av oregelbundna stålfibrer. Under kommande år användes också andra material för att stärka betongen (Maidl, 1995, pp. 3-4). Fibermaterial som används idag är främst stål, men även glas, kol, trä, plast och sisal används. Fiberbetong som vi känner materialet idag, togs fram under andra världskriget för att förstärka flygplanens landningsbanor mot bombning (Svenska Betongföreningen, 1997, p. 15). 5

22 I dagsläget används fiberarmerad betong mest till: grundplattor, det vill säga platta på mark markbeläggningar, vid till exempel busshållplatser som sprutbetong (Löfgren, 2006, p. 36) Det används också som: tunnelinklädnad tunna pågjutningar, som till exempel vid reparationer anslutningsdelar som normalt kräver en stor mängd armering (Löfgren, 2006, p. 37) 2.2 STÅLFIBERBETONG Materialet stålfiberbetong är ett tvåkomponentmaterial bestående av betong och stålfibrer, vilka är fördelade över hela tvärsnittet. Draghållfastheten hos betong är begränsad men däremot har materialet hög tryckhållfasthet. För att kunna använda betong som konstruktionsmaterial så måste den armeras. Armeringen tar upp de stora dragkrafterna och man får ett material med både hög tryckhållfasthet och hög draghållfasthet (Skarendahl & Petersons, 2008, p. 147) (Svensk Betong, ). Ett alternativ till traditionella armeringsjärn är att blanda i fibrer i betongen som även de tar upp dragspänningar. Fibrerna hämmar också sprickutvecklingen och åstadkommer därigenom en sprickfördelning (Svenska Betongföreningen, 1997, p. 14). Av stabilitetsskäl kan det vara av intresse att använda stålfibrer när man vill minimera arean på förstärkningsmaterialet, eller när bara förstärkning i själva konstruktionen är önskvärd (Maidl, 1995, p. 6). Det går att ersätta all armering med fibrer i vissa konstruktioner. Exempel på dessa är platta på mark, grundplintar och väggar. I andra konstruktionstyper, såsom bjälklag, påldäck och balkar, är det möjligt att utnyttja en kombination av både traditionell armering och fibrer. Att använda sig helt eller delvis av fibrer istället för bara armering har sina fördelar. Stålfiberbetong är exempelvis mer ekonomiskt och konstruktionen blir lättare, vilket kan leda till en förbättrad arbetsmiljö vid själva bygget (Löfgren, 2006, p. 35). Byggnadsdelar som är förstärkta med fibrer är också segare än delar med armering (Maidl, 1995, p. 19). De små dimensionerna på fibrerna i kombination med fiberbetongens tålighet mot deformationer gör att det är möjligt att tillverka produkter med tunt gods. Detta utnyttjas bland annat vid tillverkning av fasadelement, balkonger, utsmyckningsdetaljer och bullerskärmar (Skarendahl & Petersons, 2008, pp ). När fiberbetong belastas kan man ofta urskilja olika distinkta stadium då last och nedböjning registreras. Först erhålls ett stadium med linjärt ökande spänning, det elastiska stadiet (Skarendahl & Petersons, 2008, p. 969). Efter uppsprickningen uppvisar fiberbetongen en töjningsmjuknande respons, alltså en gradvis minskande bärförmåga. Detta gäller om fibervolymen i betongen är låg. Är det en hög fiberhalt så ökar spänningen innan den går över till det tredje stadiet där spänningen avtar. I detta fall uppvisar fiberbetongen en töjningshårdnande respons (Löfgren, 2006, p. 52). Det är dock inte bra att ha alltför hög fibervolym, detta kan vara produktionstekniskt besvärligt. Det gäller alltså att försöka ha ett så effektivt fiberinnehåll som möjligt. Hur effektiv fiberarmeringen är beror på 6

23 fiberhalten och fibrernas vidhäftningsegenskaper i förhållande till längd och tvärsnittsyta (Skarendahl & Petersons, 2008, p. 969). Spänning Töjningsmjuknande Spricka En spricka Lokalisering Fiberbetong Betong Enaxiellt drag Spänning Töjningshårdnande Flera sprickor Spricka Lokalisering Flera sprickor Armerad betong Högpresterande fiberbetong Töjning / Deformation Töjning / Deformation Figur 3. Olika typer av respons för betong, fiberbetong och armerad betong vid belastning i drag och böjning (Löfgren, 2006, p. 36). Normalt fiberinnehåll i de flesta tillämpningarna ligger i intervallet 0,4-1,0 volymprocent. Om man blandar i allt för mycket stålfibrer i betongen finns det risk för inhomogeniteter, främst orsakade av att fibrerna bollas ihop. För stålfibrer brukar cirka en volymprocent kunna blandas i utan risk för bollbildning. Andra faktorer som påverkar mängden stålfibrer som kan blandas i är betongens sammansättning. För att ge gynnsammare förutsättningar för fiberinblandningen kan man bl.a. begränsa den maximala stenstorleken, öka halten av finmaterial och använda ett vattenreducerande tillsatsmedel (Skarendahl & Petersons, 2008, pp ). 2.3 STÅLFIBRER Det finns flera olika fibertyper där längd, tjocklek och form varierar. Den vanligaste stålfibern utgörs av klippt kalldragen tråd som har en sträckgräns på MPa. De vanligaste måtten för stålfibrer är en längd på mm och tvärsnittsdimension på 0,4-1,0 mm (Svenska Betongföreningen, 1997, p. 14). Slankhetstalet,, på fibrerna är av stor betydelse för dess uppträdande i betongen. Ett högt slankhetstal förbättrar effektiviteten hos fibern men gör betongen svårare att bearbeta. Ett slankhetstal mellan 50 och 100 brukar vara lämpligt (Maidl, 1995, p. 41). Det finns flera sätt att utforma stålfibrerna på, där den vanligaste är med ändkrokar. Ändkrokarna ger en god förankring till betongen, som förhindrar fibrerna från att slitas ut vid höga dragpåkänningar (Maidl, 1995, p. 19). 7

24 Figur 4. Stålfibrer i olika former (Svenska Betongföreningen, 1997, p. 14). 2.4 FIBERORIENTERING Fibrerna utnyttjas maximalt om de är förankrade i betongen i samma riktning som dragspänningen och om de ligger vinkelrätt mot sprickan. Ligger fibern däremot med sned vinkel mot sprickan blir den mindre effektiv. Det finns olika fiberorienteringar: 1D-, 2D- och 3D-orientering (Maidl, 1995, p. 45). När man tillverkar tunna produkter av stålfiberbetong fås i huvudsak en tvådimensionell fiberorientering. Förflyttas produkten genom ett magnetfält samtidigt som den vibreras kan man istället få en endimensionell fiberorientering. När man använder sig utav sprutprocessen får man en tvådimensionell fiberorientering. En tredimensionell fiberorientering fås för pumpad, gjuten och vibrerad betong när man inte använt magnetfält (Skarendahl & Petersons, 2008, p. 973). Figur 5. Möjliga fiberorienteringar. 3- och 1-dimensionell för pumpad-, gjuten- och vibrerad betong och 2-dimensionell för sprutbetong (Maidl, 1995, p. 45). 8

25 2.5 SPRICKOR Byggnadsverk av armerad betong spricker vilket är naturligt och oundvikligt. För att kunna begränsa och styra sprickbildningen måste man beakta de faktorer som orsakar detta. Några av de mekanismer som orsakar töjningsrörelser i betongen är rörelser genererade av betongen själv, expansion av inneslutna material, yttre tvång eller last. Betongen spricker när den aktuella töjningen överskrider gränstöjningen (Skarendahl & Petersons, 2008, p. 669). När en spricka har uppkommit kan sprickbredden variera med tiden, då definieras de som rörliga sprickor. Om sprickbredden inte varierar med tiden benämns den som en icke rörlig spricka, och den kan i vissa fall självtäta. Närvaro av fukt är en förutsättning för att en spricka skall kunna självtäta, dock får genomströmningen av vattnet ej vara så kraftig att urlakning sker. Om betongen har ett överskott på fritt kalk gynnar detta självtätningen. För att självtätning skall ske anses en max sprickbredd på 0,2 mm som acceptabel, men för att fullständig täthet skall uppnås får sprickbredden inte vara mer än 0,1 mm (Skarendahl & Petersons, 2008, p. 696). En av de största skillnaderna vad gäller sprickor i en fiberarmerad betong jämfört med traditionellt armerad betong, är att fibrerna förhindrar tillväxten av makrosprickor. Makrosprickor bildas i stadium två, och de uppkommer då flera små mikrosprickor växer ihop. Tillväxten av mikrosprickor sker i stadium ett. Fibrerna tar dock last först när makrosprickorna tillväxer, vilket sker ungefär vid en spricköppning av 0,05 mm. Den andra stora skillnaden är att fibrerna också överför en spänning över sprickan, vilket de kan göra för relativt stora spricköppningar. (Löfgren, 2006, p. 53). tillväxt av mikrosprickor E makrospricka D C B A t l l w f ct A B C w tillväxt av makrosprickor D överbryggning & förgrening av sprickor Fiberbetong w t = 0 överbryggning & förgrening makro-sprickor mikrosprickor Fiberbetong ballast D Betong E E Förlängning, l överförd spänning över sprickan Figur 6. Respons vid dragbelastning för betong och fiberbetong (Löfgren, 2006, p. 35). 9

26 10

27 3. DIMENSIONERING Examensarbetets uppgift är att genomföra beräkningar på två fack av ett bostadsbjälklag med olika randvillkor. Dessa plattor ska jämföras när de är traditionellt armerade med när de är kombinerat armerade med stålfiberbetong och traditionell armering. Kapitlet kommer visa tillvägagångssätt för dimensioneringen. 3.1 DIMENSIONERINGSFÖRUTSÄTTNINGAR Följande förutsättningar har valts: SK3 För bärande konstruktioner med stor risk för personskador skall säkerhetsklass 3 användas (European Committee for Standardization, 2004, p. 84). X0 För val av exponeringsklass har Betongrapport nr 11 Vägledning för val av exponeringsklass enligt SS-EN använts. För invändiga konstruktionsdelar i normala bostadsutrymmen väljs exponeringsklass till X0 (Svenska Betongföreningens kommitté för exponeringsklasser, 2002, p. 17). L50 Livslängdskategori 4 väljs enligt EK0. Denna klass motsvarar en livslängd på 50 år (European Committee for Standardization, 2004, p. 23). C30/37 Betongkvalitén har valts till C30/37 De plattor vi kommer att dimensionera är Platta 1: Ett 4-sidigt upplagt innerfack med alla fyra kanter fast inspända. B x A: 10 x 10 meter Figur 7. Skiss över armeringsriktningarna för att få en översiktlig bild av platta, med brottlinjer inritade. Järnen är ej placerade. 11

28 Platta 2: Ett 3-sidigt upplagt kantfack med tre kanter fast inspända och en fri. B x A: 10 x 8 meter Figur 8. Skiss över armeringsriktningarna för att få en översiktlig bild av platta 2, med brottlinjer inritade. Järnen är ej placerade DIMENSIONERING AV LASTER De laster som verkar på ett bostadsbjälklag är egentyngden av betongen inklusive armeringen,, och en nyttig last,. Tungheten,, väljs ur EK1 till 24,0 kn/m 3 för betong med normal ballast (European Committee for Standardization, 2005, p. 28). Egentyngden kan på så sätt räknas ut genom att multiplicera tungheten med bjälklagstjockleken. [ ] Den nyttiga lasten väljs enligt EKS (Boverket, 2013, p. 19). Lasten väljs till kategori A Bjälklag,. Det framtagna värdena på lasterna är karakteristiska och måste dimensioneras, detta utförs enligt EKS (Boverket, 2013). I brottgränstillstånd dimensioneras lasterna enligt två ekvationer, 6.10a och 6.10b. 12

29 Tabell 1. Dimensioneringsvärden för laster (STR/GEO) (Uppsättning B) (Boverket, 2013, p. 14). Enligt EK0 dimensioneras de karakteristiska värdena i bruksgränstillstånd enligt tre ekvationer beroende på lasternas varaktighet (European Committee for Standardization, 2004, pp ) kort lastvarighet, karakteristik lastkombination 6.15 medellång lastvarighet, permanent lastkombination 6.16 lång varaktighet, kvasipermanent lastkombination Tabell 2. Dimensioneringsvärden för laster för tillämpning i lastkombinationer (European Committee for Standardization, 2004, p. 48). där nedanstående gäller för både brott- och bruksgränstillstånd dimensionerande värde på tunghet, bestäms från EKS (Boverket, 2013, pp ) faktor för kombinationsvärde/frekvent värde/kvasipermanent värde för variabel last bestäms från EKS (Boverket, 2013, p. 13) övre karakteristiskt värde för den permanenta lasten j karakteristiskt värde för den samverkande variabla lasten i 13

30 3.1.2 BERÄKNING AV DIMENSIONERANDE MOMENT I BROTTGRÄNSTILLSTÅND I brottgränstillstånd får både plastisk och elastisk analys användas, men att dimensionera efter elasticitetsteorin i brottgränstillstånd ger orealistiska värden på momenten samt att det är oekonomiskt, därför brukar plasticitetsteorin användas (European Committee for Standardization, 2008, p. 57) (Hedebratt, 2014). Dimensionerande moment i brottgränstillstånd har tagits fram enligt metodanvisningar som bygger på plasticitetsteorin. Denna metod beskrivs i byggformler och tabeller (Johannesson & Vretblad, 2011, pp ). För att få fram det dimensionerande momentet används ekvationen där storlek på lasten längd [ ] tabellvärde som varierar beroende på randvillkor, för våra plattor se tabell 3 och 4 Tabell 3. Elementarfall 9 (Johannesson & Vretblad, 2011, p. 105). Tabell 4. Elementarfall 15 (Johannesson & Vretblad, 2011, p. 106). Figur 9. Momentriktningar för elementarfallen (Johannesson & Vretblad, 2011, p. 106). 14

31 För fri kant fås momenten för både stöd och fält enligt belastningsfall nummer 5 ur Byggformler och tabeller (Johannesson & Vretblad, 2011, p. 37). Den ses som en kontinuerlig balk. Tabell 5. Tvärkrafter, böjande moment och nedböjning för en statiskt obestämd tvåstödsbalk (Johannesson & Vretblad, 2011, p. 37) BERÄKNING AV DIMENSIONERANDE MOMENT I BRUKSGRÄNSTILLSTÅND Dimensionerande moment i bruksgränstillstånd har tagits fram enligt Timoshenko, som är en tabellmetod baserad på elasticitetsteorin (Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959). Enligt EK2 får metoder baserade på plastisk analys inte användas för beräkningar i bruksgränstillstånd (European Committee for Standardization, 2008, p. 58). För platta 1 har tabell 6 använts, med koordinatsystem enligt figur 10. Tabell 6. Nedböjning och böjande moment för en likformig rektangulär platta med fast inspända kanter och med en jämt utbredd last (Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959, p. 202). 15

32 Figur 10. Koordinatsystem för platta 1 (Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959, p. 197). För platta 2 har tabell 7 använts, med koordinatsystem enligt figur 11. Tabell 7. Nedböjning, böjande moment, och tvärkraft för en likformig rektangulär platta med tre kanter fast inspända och den fjärde kanten fri, och med en jämt utbredd last (Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959, p. 215). Figur 11. Koordinatsystem för platta 2 (Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959, p. 213). 16

33 3.1.4 BERÄKNING AV DIMENSIONERANDE TVÄRKRAFT För att beräkna tvärkraft i plattorna delas de upp med brottlinjer, enligt Betonghandboken konstruktion (Hilleborg, 1990, pp , ). Därefter beräknas största tvärkraft för varje plattdel ut. där dimensionerande last längd [ ] Figur 12. Exempel överhur stödkraften, R, tas fram för varje sida i en platta VAL AV RESIDUALKLASS Som konstruktör väljer man vilken kvarvarande hållfasthet, residualklass, som krävs för sin konstruktion. Man definierar alltså vilken residualklass man vill ha och specificerar denna till leverantörerna som i sin tur bestämmer mängden fibrer. Normalt fiberinnehåll ligger mellan 40 och 80 kg/m 3 (Johan Silfwerbrand, Jerry Hedebratt, u.d.). För beräkningar i bruksgränstillstånd behövs klass R 1 tas fram. För beräkningar i brottgränstillstånd behövs i regel båda klasserna R 1 och R 3 tas fram, om man inte räknar med en förenklad metod då endast klass R 3 behövs. Det dimensionerande värdet på residualdraghållfastheten i brottgränstillstånd definieras som och [ ] 17

34 Det dimensionerande värdet på residualdraghållfastheten i bruksgränstillstånd definieras som [ ] där faktor med hänsyn till fiberorientering = 1,0 för horisontellt gjutna betongdelar för andra betongdelar kan ett högre värde väljas faktor som beror på graden av statiskt bestämning, se tabell 10 partialkoefficient för fiberbetong, se tabell 8 där värden på väljs från tabell 9 där värden på väljs från tabell 9 Tabellerna 8, 9 och 10 finns bifogade på nästa sida, sida 19 18

35 Tabell 8. Partialkoefficienter för material (European Committee for Standardization, 2014, p. 8). Tabell 9. Residualklasser för fiberbetong (European Committee for Standardization, 2014, p. 9). Tabell 10. Föreslagna värden på för olika konstruktionsfall (European Committee for Standardization, 2014, p. 10). 19

36 3.2 DIMENSIONERINGSMETOD FÖR PLATTA MED TRADITIONELL ARMERING Dimensionering utförs i brott- och bruksgränstillstånd. I brottgränstillstånd kontrolleras moment- och tvärkraftskapacitet, och i bruksgränstillstånd kontrolleras sprickbredd och deformationer BERÄKNINGAR I BROTTGRÄNSTILLSTÅND Kontroll av momentkapacitet Framtagning av erforderlig armeringsarea med hänsyn till böjande moment Följande dimensioneringsgång följer Byggformler och tabeller (Johannesson & Vretblad, 2011, pp ). Framtagning av erforderlig armeringsarea,, för att klara det böjande momentet beräknas enligt [ ] där bredden effektiv höjd effektiva hållfastheten för f ck 50 MPa ( ) för 50 < f ck 90 MPa dimensioneringsvärde för betongens tryckhållfasthet dimensioneringsvärde för armeringens sträckgräns där det mekaniska armeringsinnehållet,, fås ur ekvation [ ] och det relativa momentet,, fås genom [ ] där moment i brottgränstillstånd övriga parametrar är samma som för beräkning av armeringsarean, se ekvation Det relativa momentet skall jämföras med underarmerat då. för vald armeringskvalitet. Tvärsnittet är 20

37 För plattor räknar man fram vilket centrumavstånd armeringsjärnen skall läggas med, då tvärsnittet egentligen inte har någon avgränsande bredd. För att få fram detta avstånd används följande formel (European Committee for Standardization, 2008, p. 156) där [ ] där armeringsarean av en stång med dimensionen erforderlig armeringsarea Minimiarmering med hänsyn till böjande moment Längsgående dragarmering bör minst uppgå till [ ] där medelvärde för betongens axiella draghållfasthet karakteristiskt värde för armeringens sträckgräns tvärsnittets bredd effektiv höjd Beräkning av momentkapaciteten Momentkapaciteten beror på mängden armeringsjärn man lägger in, varpå den inte beräknas separat Kontroll av tvärkraftskapacitet Följande dimensioneringsgång följer EK2 (European Committee for Standardization, 2008, pp ). Ett dimensionerande värde på bärförmågan för tvärkraft utan särskild skjuvarmering, enligt, beräknas dock minst [ ] [ ] [ ] 21

38 där med d i mm armeringsinnehåll, längsarmering arean hos dragarmeringen som når minst bortom betraktat snitt tvärsnittets minsta bredd inom dragen zon karakteristiskt värde för betongens cylindertryckhållfasthet (28 dagar) sätts in i MPa tryckspänningen i betongen av normalkraft eller förspänning där dimensionerande axialkraft betongtvärsnittsarea Tvärkraften,, skall kontrolleras mot tvärkraftskapaciteten. Ingen särskild skjuvarmering utöver minimiarmering behövs om villkoret är uppfyllt Minimiarmering med hänsyn till tvärkraft Enligt (4) i EK2 kan minsta mängd tvärkraftsarmering utelämnas i plattor om dessa har förmåga till lastfördelning i tvärled (European Committee for Standardization, 2008, p. 81). Valda plattor är dubbelspända och uppfyller därmed kravet BERÄKNINGAR I BRUKSGRÄNSTILLSTÅND Beräkning av sprickbredd Följande dimensioneringsgång följer EK2 (European Committee for Standardization, 2008, pp ). 22

39 För att kontrollera om ett tvärsnitt är sprucket används Naviers formel. Tvärsnittet är ej sprucket om nedanstående krav är uppfyllt [ ] där böjmotstånd spricksäkerhetsfaktor som fås ur tabell 7.2S ur EK2 (European Committee for Standardization, 2008, p. 230) Är tvärsnittet sprucket får karakteristiska sprickbredden,, räknas ut med uttrycket [ ] där största avståndet mellan sprickor armeringens medeltöjning under aktuell lastkombination inklusive inverkan av påtvingade deformationer och med beaktande av betongtöjningen mellan sprickor medeltöjning i betongen mellan sprickor Töjningsskillnaden beräknas med uttrycket ( ) [ ] där armeringsspänning beräknad för sprucket tvärsnitt ( ) där är effektiv betongarea kring armering eller spännenheter med höjden som är det minsta av 23

40 är area på före- eller efterspända spännenheter inom är justerad kvot mellan vidhäftningshållfastheterna med beaktande av spännarmeringens och armeringens olika dimensioner där kvot mellan spännarmeringens och armeringens vidhäftningsgållfastheter största diameter för armeringen ekvivalent diameter för spännenheten faktor som beror av lastens varaktighet = 0,6 för korttidslast = 0,4 för långtidslast medelvärde på betongens draghållfasthet vid den tidpunkt då första sprickan förväntas uppkomma. eller lägre,, om sprickbildning förväntas tidigare än 28 dagar efter gjutningen dimensioneringsvärde för armeringens elasticitetsmodul Största sprickavstånd,, beräknas enligt [ ] där koefficient som beaktar den vidhäftande armeringens vidhäftningsegenskaper = 0,8 för stänger med god vidhäftning = 1,6 för stänger med praktiskt taget slät yta, ex. spännarmering koefficient som beaktar töjningsfördelningen = 0,5 för böjning = 1,0 för ren dragning rekommenderat värde = 3,4 (European Committee for Standardization, 2008, p. 125) rekommenderat värde = 0,425 (European Committee for Standardization, 2008, p. 125) längsarmeringens täckande betongskikt stångdiametern på armeringsjärn 24

41 Minimiarmering med hänsyn till sprickbredd Armeringensarea i dragen del av tvärsnittet bör enligt EK2 minst uppgå till (European Committee for Standardization, 2008, pp ) [ ] där största tillåtna armeringsspänning efter uppsprickning. medelvärde på betongens draghållfasthet vid den tidpunkt då första sprickan förväntas uppkomma. eller lägre,, om sprickbildning förväntas tidigare än 28 dagar efter gjutningen betongens dragzonarea före uppsprickning koefficient som kompenserar för inverkan av ojämna egenspänningar som medför en minskning av tvångskrafter = 1,0 för liv med h 300 mm eller flänsar med b 300 mm = 0,65 för liv med h 800 mm eller flänsar med b 800 mm mellanliggande värden kan bestämmas genom interpolation koefficient som beaktar spänningsfördelningen inom tvärsnittet omedelbart före uppsprickning och inre hävarmens ändring vid ren dragning [ ] för rektangulära balkar och liv i låd- och T-tvärsnitt för flänsar i låd- och T-tvärsnitt där medelspänning i betongen inom betraktad tvärsnittsdel där normalkraft i bruksgränstillstånd i betraktad tvärsnittsdel (tryckkraft positiv). bör bestämmas för karakteristiska värden på förspänning och normalkraft under aktuell lastkombination koefficient som beaktar inverkan av normalkraft på spänningsfördelningen 25

42 absolutvärde på dragkraften inom flänsen omedelbart före uppsprickning beräknad för sprickmoment med Beräkning av deformationer Nedböjning beräknas enligt Timoshenko s tabellmetod (Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959). [ ] där koefficient, se tabell 6 och 7 i kapitel 3.1.3, sida 15 och 16 storlek på lasten längden på den sida av plattan som definieras som a, se figur 10 och 11 i kapitel 3.1.3, sida 16 plattstyvhet (Timoshenko & Woinowsky-Krieger, 1959, p. 5) där tvärsnittets höjd [ ] Poissons tal som anges i tabell 6 och 7 i kapitel 3.1.3, sida 15 och 16 effektiv elasticitetsmodul för betongen,, beräknas enligt EK2 (European Committee for Standardization, 2008, p. 68) där sekantvärde för betongens elasticitetsmodul slutligt värde på kryptalet 26

43 3.3 DIMENSIONERINGSMETOD FÖR PLATTA MED STÅLFIBERBETONG I KOMBINATION MED TRADITIONELL ARMERING Dimensionering utförs i brott- och bruksgränstillstånd. I brottgränstillstånd kontrolleras moment- och tvärkraftskapacitet, och i bruksgränstillstånd kontrolleras sprickbredd och deformationer BERÄKNINGAR I BROTTGRÄNSTILLSTÅND Kontroll av momentkapacitet Framtagning av erforderlig armeringsarea med hänsyn till böjande moment Armeringsarean tas fram enligt samma princip som för den traditionellt armerade plattan, se kapitel , sida Minimiarmering med hänsyn till böjande moment För minsta armering för att undvika ett sprött brott, när man använder sig utav bara fibrer eller fibrer i kombination med järn, räknas minimiarmeringen ut genom ( ) [ ] där betongens dragzonarean vid böjning, koefficient som beaktar spänningsfördelningen inom tvärsnittet omedelbart före uppsprickning och inre hävarmens ändring medelvärde för betongens axiella draghållfasthet faktor med hänsyn till fiberorientering = 1,0 för horisontellt gjutna betongdelar för andra betongdelar kan ett högre värde väljas faktor som beror på graden av statiskt bestämning, se tabell 10 i kapitel 3.1.5, sida 19 karakteristiskt värde på residualdraghållfastheten för fiberbetong, klass R3 karakteristiskt värde för armeringens sträckgräns Beräkning av momentkapaciteten Momentkapaciteten räknas ut enligt den svenska standarden. Det finns en förenklad och en generell metod att beräkna momentkapaciteten på, där den förenklade metoden O.1 valdes och nedan redovisas (European Committee for Standardization, 2014, pp ). 27

44 Figur 13. Kraft- och spänningsfördelning i ett rektangulärt tvärsnitt (European Committee for Standardization, 2014, p. 21). [ ] ( ( )) [ ] ( ) [ ] [ ] där tvärsnittets bredd tvärsnittets höjd höjden av den tryckta zonen tryckzonens effektiva höjd för f ck 50 MPa ( ) för 50 < f ck 90 MPa effektiva hållfastheten för f ck 50 MPa ( ) för 50 < f ck 90 MPa 28

45 töjning i fiberbetongen [ ] kontrollera att dragbrottöjning i fiberbetongen, se ekvation dimensioneringsvärde för betongens tryckhållfasthet dimensionerande residualdraghållfasthet i brottgränstillstånd, klass R1 dimensionerande residualdraghållfasthet i brottgränstillstånd, klass R3 dragarmering stålspänning i dragarmeringen dimensioneringsvärde för armeringens elasticitetsmodul töjning i armeringen betongens stukning Horisontell kraftjämvikt [ ] Böjmomentsjämvikt ( ) ( ) [ ] Den maximala dragbrottöjningen i fiberbetongen, for Standardization, 2014, pp ) beräknas enligt ekvation (European Committee [ ] där = 2,5 mm karakteristisk längd { } 29

46 där är medelsprickavståndet och är avståndet mellan det neutrala lagret och den extrema delen av tvärsnittet på dragen sida. Som en konservativ förenkling kan den karakteristiska längden antas till 80 % av tvärsnittets höjd, Kontroll av tvärkraftskapacitet För en platta som är armerad med både armeringsjärn och stålfibrer räknas tvärkraftskapaciteten ut på samma sätt som för en platta armerad endast med armeringsjärn, men med vissa tillkomna parametrar. Dimensioneringsgången följer standarden (European Committee for Standardization, 2014, p. 14). Det dimensionerande värdet på bärförmågan för tvärkraft utan särskild skjuvarmering,, beräknas enligt { [ ( ) ] } [ ] där karakteristiskt värde på residualdraghållfastheten för fiberbetong, klass R3 sätts in i MPa partialkoefficient för betong (endast beaktande osäkerheter i materialegenskapen) = 0,15 för varaktiga och tillfälliga dimensioneringssituationer = 0,12 för exceptionella dimensioneringssituationer Resten av värdena är lika som för plattan med endast armeringsjärn, se kapitel , sida BERÄKNINGAR I BRUKSGRÄNSTILLSTÅND Beräkning av sprickbredd Beräkningen utförs likt kapitel , sida 22-26, men med vissa tillägg av variabler som tar hänsyn till stålfibrerna. Ekvationerna som skiljer sig är och, som även tar hänsyn till det dimensionerande värdet på residualdraghållfastheten. Det finns två sätt att räkna töjningsskillnaden på. Antingen räknar man med stålspänningen som tar hänsyn till effekten av fibrerna eller med den som försummar effekten av fibrerna. Beräkningen utfördes enligt det senaste fallet, med en fiktiv stålspänning. Ekvationerna återfinns i standarden (European Committee for Standardization, 2014, pp ). 30

47 Töjningsskillnaden beräknas med uttrycket ( ( )) [ ] där fiktiv spänning i dragarmeringen vid antagandet av ett sprucket tvärsnitt som försummar effekten av fibrerna ( ) Största sprickavstånd,, fås fram ur [ ] där faktor som beaktar förhållandet mellan residualdraghållfastheten och draghållfastheten där sätts in i bruksgränstillstånd medelvärdet för betongens axiella draghållfasthet Minimiarmering med hänsyn till sprickbredd Om inte en mer noggrann beräkning visar att en mindre armeringsarea är tillräcklig så beräknas minimiarmeringen på följande sätt [ ] där räknas ut som ovan. Resten av värdena är lika som för plattan med endast armeringsjärn, se kapitel , sida Beräkning av deformationer Nedböjningen beräknas på samma sätt som för den traditionellt armerade plattan, se , sida

48 32

49 4. GENOMFÖRANDE Vi har genomfört alla våra beräkningar i Excel. För att göra det tydligare hur vi har löst vissa problem har vi nedan gjort de viktigaste beräkningarna för platta 1, kombinerad armering. För fullständiga beräkningar för båda plattorna se bilaga 1-5. I genomgången nedan har vi skrivit avrundade värden, men vi har tagit de riktiga värdena som Excel har räknat med. De celler i Excelfilerna som är gröna är indata eller parametrar som måste matas in manuellt. 4.1 MOMENTKAPACITET Momentkapaciteten beräknas för stöd. Förutsättningar: Betong Residualklasser För att beräkna böjmomentkapaciteten måste först vissa andra parametrar bestämmas eller beräknas. Först beräknas den ultimata fibertöjningen enligt ekvation , sida 29 Den karakteristiska längden antas enligt den konservativa metoden till 80 % av tvärsnittshöjden 33

50 Insättning av värden ger Sedan räknas fibertöjningen ut enligt ekvation , sida 29. För att kunna göra detta behöver man ett värde på x, d.v.s. avståndet från den ultimata trycksidan till neutrala lagret. Vi fick fram ett värde på x genom att göra en målsökning i Excelfilen där vi angav att cellen för och att cellen för x skulle ändras. Vi fick då följande med antagande om Insättning av värden ger Insättning av värden i ekvation , och , sida 28, ger krafterna F f1, F f2 och ( ) Den resulterande dragkraften fås genom addition: Den resulterande tryckkraften som betongen tar upp beräknas enligt , sida 28. λ och η väljs enligt EK 2. λ = 0,8, η = 1,0 34

51 Nu råder det inte kraftjämvikt;, det går heller inte att minska värdet på x för att få kraftjämvikt för då blir inte töjningsvillkoret uppfyllt. För att kraftjämvikt skall råda måste vi antingen öka armeringsmängden eller minska stålspänningen i armeringen. I Excel gjorde vi båda så får man välja själv om man vill lägga mer armering eller inte utnyttja armeringen fullt. Kraftjämvikt genom att ändra armeringsarean, sker genom att målsöka cellen för värde 0, och ändra cellen för armeringsarean. till Kraftjämvikt genom att ändra stålspänningen, sker genom att målsöka cellen för värde 0, och ändra cellen för stålspänning till Den resulterande dragkraften fås genom addition, krafterna är samma som förut: Nu råder kraftjämvikt och vi kan räkna fram momentkapaciteten genom insättning i ekvation , sida 29. ( ) Utnyttjandegraden blir då enligt följande: Minimiarmering med hänsyn till böjande moment Minimiarmeringen räknas ut enligt ekvation , sida 27. Ett negativt värde betyder att ingen traditionell armering krävs för att uppfylla kraven för ett segt brott. 35

52 4.2 TVÄRKRAFTSKAPACITET Förutsättningar: Betongklass C30/37 Först beräknas de parametrar som ingår i ekvationen för kontroll av skjuvglidbrott: Insättning av värden i ekvation , sida 30, ger tvärkraftskapaciteten utan särskild skjuvarmering: { [ ( ) ] } Denna skall vara större än som beräknas enligt , sida 21 I vårt fall har vi ingen axialkraft som verkar på våra plattor, därför kommer uträkningen för både och. att bli lika med 0 i Ingen särskild skjuvarmering krävs om OK 36

53 4.3 SPRICKBREDD Sprickbreddsberäkningen beräknas för stöd. Förutsättningar: Betongklass C30/37 Residualklasser För att kunna kontrollera om tvärsnittet är sprucket eller ej behöver man veta tvärsnittets tröghetsmotstånd Kontroll av sprucket tvärsnitt görs genom att använda Naviers formel, ekvation , sida 23, med antagande att, då vår exponeringsklass är X0 och inte ställer några krav på spricksäkerhetsfaktorn. Sprucket tvärsnitt Sprickbredden kan nu bestämmas, men först måste vissa parametrar beräknas Neutrala lagrets position i stadium II räknas ut genom jämvikt ( ) 37