Matematikens historia

Transkript

1 Matematikens historia

2 Översikt Icke-euklidisk geometri (Riemann, Klein, m.fl.) Mängdlära (Cantor) Logik (De Morgan, Boole, Frege, m.fl.) Matematikens fundament (Frege, Russel, Peano, m.fl.)

3 Allmänt 1846 Barnarbete förbjuds i Sverige 1859 Darwin publicerar Origin of species Fransktyska kriget, Frankrike förlorar 1871 Tyskland förbundsstat 1876 Bell telefon

4 1877 KTH 1879 Glödlampan, Edison 1886 Bensinbilen, Benz och Daimler 1895 Röntgenstrålar 1901 Nobelpriset

5 Skolan i Sverige 1842 folkskola i Sverige - de fyra räknesätten i hela tal 1878 styrdokument, räkning blev viktigare, särskilt geometri Bönder och adel

6 Matematiska händelser Crelles Journal, 1823 och framåt 1850 introduceras termen matris av engelsmannen Sylvester 1858 Möbiusband - en sida - förblir en kropp om den klipps av

7 1873 e är transcendent 1882! är transcendent Mängdläran 1874 Venndiagrammet 1881 A B A _ B

8 Matematiska samfund London Mathematical Society, 1864 Moscow Mathematical Society, 1867 Société Mathématique de France, 1872 Edinburgh Mathematical Society, 1883 Circolo Mathematico di Palermo, 1884 Deutsche Mathematiker-Vereinigung, 1890

9 Topologi Eulers Königbergs broar Möbiusband Fyrfärgsproblemet (1852): Francis Guthrie och De Morgan

10 Fyrfärgsproblemet , 5 färger räcker, visades av P. J. Heawood som arbetade med problemet i 60 år av sitt liv. - löstes 1977 med datorhjälp (1200 datortimmar). Första datorbeviset. Hur kan vi veta att det stämmer?

11 Lejeune Dirichlet ( ) [Frankrike] Dirichlets princip (duvhålsprincipen). Definierade funktion: - Till varje värde på x är på något sätt ordnat ett värde y Efterträdde Gauss vid Göttingens universitet, Tyskland, 1855 Medlem i Royal Society of London 1855

12 Augustus De Morgan ( ) [Indien-England] Blind på höger öga strax efter födseln 1828 första professorn vid University College London, avgick 1831 av principskäl, åter 1836, avgick 1866

13 Nej tack, Royal Society och University of Edinburgh 1838, introducerade matematisk induktion Var med och grundade London Mathematical Society 1866 LMS:s första president De Morgan-medaljen från 1884, bl.a. Klein och Russel har fått den

14 De Morgans lagar - (p v q) p q - (p q) p v q x år gammal år x^2 (43 år 1849)

15 George Boole ( ) [England-Irland] Logik, differentialekvationer och sannolikhet. Använde logiken inom matematiken 1854 reducerar Boole logik till algebra, s.k. Boolesk algebra

16 Var en av de första att utreda algebraiska egenskaper som t.ex. den distributiva egenskapen hos nummer - a(b+c) = a*b + a*c Dog 49 år gammal av svår förkylning

17 Georg Friedrich Bernhard Riemann ( ) [Tyskland-Italien] Icke-euklidisk geometri, integraler, talteori och komplex analys Riemannytor, Riemannintegral, Riemannsumma, Riemanns zetafunktion, Riemannhypotesen

18 Elev till bl.a. Gauss (i Göttingen) och Dirichlet (i Berlin och Göttingen) Efterträdde Dirichlet i Göttingen fick han tuberkulos, flyttade till Italien Royal Society juni 1854, föreläsning om geometri: - vilken geometri beskriver den verkliga rymden? - ny typ av icke-euklidisk geometri (hyperboliska fanns redan)

19 Icke-euklidisk geometri Elliptisk (sfärisk) geometri - rummet = sfärens yta - linje = storcirkel [definieras av två punkter] - inga parallella linjer [alla skär varandra] icke-euklidisk. - influenser på allmänna relativitetsteorins fyrdimensionella rum (x, y, z, t)

20 Riemannhypotesen On the number of primes less than a given magnitude, Riemannhypotesen zeta-funktionen: (s) = (1/n^s), n naturliga tal - alla icke-triviala rötter har realdelen _. Linjen Re(z) = _ kallas den kritiska linjen. - Ej löst. 1 miljon dollar i belöning av Clay Mathematics institute

21 Riemannintegralen Introducerades upper Riemann sum - lower Riemann sum - Riemannsumma - Riemannintegralen

22 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ( ) [Tyskland] 1856 professor vid Berlins universitet Introduktion till analysen, en kurs som Weierstrass gav för första gången 1860/61 som har varit grunden för inledande kurser i analys sedan dess

23 Under långa tidsperioder svårt sjuk. Efter att ha kollapsat 1861 undervisade han sittande, medan en elev skrev på svarta tavlan

24 1872 fann han en funktion som var kontinuerlig men saknade derivata i alla punkter 1882 visade han att alla kontinuerliga funktioner kan approximeras med polynom till godtycklig exakthet Undervisade bl.a. Cantor, Klein och Mittag-Leffler. Gav privatlektioner åt Sofia Kovalevskaja, eftersom hon inte tilläts studera vid universitetet

25 Sofia Sonja Kovalevskaja ( ) [Ryssland-Sverige] Motarbetad p.g.a. kön 1874, doktorat från Göttingen, stödd av Weierstrass 1883 docent i Stockholm, tack vare Mittag-Leffler 1884 professor

26 Nordiska matematiker Sophus Lie ( ), Norge - Lie-grupper (t.ex. grupper av reella matriser) - Lie-algebra - Royal Society 1895 Gösta Mittag-Leffler ( ), Sverige - Elev till Weierstrass - Funktionsteori - Acta Mathematica Royal Society 1896

27 Georg Cantor ( ) [Ryssland-Tyskland] Talteori rationella talen är räknebara - algebraiska talen också - reella talen inte räknebara - de flesta talen är transcendenta

28 Skapade mängdläran 1874 Första presidenten för Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1890

29 Richard Dedekind ( ) [Tyskland] Doktorat, Göttingen 1852, Gauss sista elev Diskuterade mängdlära med Cantor 1872 Omdefinierade irrationella talen, Dedekindsnitt

30 Felix Klein ( ) [Tyskland] Född 25/ (5^2, 2^2, 43^2, primtal i kvadrat) Professor i Erlanger 1872, Erlangerprogrammet 1875 Anne Hegel Royal Society 1885

31 Professor i Göttingen kvinnor i Göttingen LMS De Morgan-medalj 1893 Copley-medaljen 1912

32 Erlangerprogrammet Innefattar både euklidisk och ickeeuklidisk geometri - invariant = oförändrad - egenskaper som är invarianta under olika transformationer

33 - euklidiska geometrin (kongruensgeometrin): avstånd och vinklar bevaras - likformighetsgeometrin: endast en kvadrat och en cirkel - affina geometrin - projektiva geometrin

34 Henri Poincaré ( ) [Frankrike] León Poincaré professor i medicin Närsynt Kusin med Frankrikes premiärminister Produktivt geni Skapade algebraisk topologi

35 Lycée in Nancy (Lycée Henri Poincaré) - toppstudent i alla ämnen han läste - vann stor tävling bland de bästa studenterna i Frankrike Medskapare till den speciella relativitetsteorin (Einstein) Royal Society 1894 Royal Society Sylvester Medal 1901 Rue Henri Poincaré i Paris

36 Gottlob Frege ( ) [Tyskland] En av grundarna till modern symbolisk logik 1873 doktorat i Göttingen Professor vid universitetet i Jena

37 Varje god matematiker är åtminstone halvt en filosof, och varje god filosof är åtminstone halvt matematiker - Logik, axiom, deduktiva härledningar, ekvivalens, implikation, mängdlära, vetenskapsfilosofi Begriffsschrift 1879, introducerade sanningsvärdestabellen,,,, 1884, Die Grundlagen der Arithmetik Logicism: Matematik är reducerbart till logik

38 Mening och referens 1892, Mening och referens, Venus - "aftonstjärnan" = "morgonstjärnan" - "aftonstjärnan" = "aftonstjärnan" - samma referens, olika mening The Basic Laws of Arithmetic, axiom och bevis för aritmetikens grunder - 2:a tryckningen, brev från Russel (16 juni 1902)

39 Russels paradox Brevet Definiera tal med mängdlära Frege förutsatte mängder av mängder M = Mängden av alla mängder som inte är medlemmar i sig själva - M medlem i sig själv? Ja Nej. Nej Ja

40 Motsägelse Ur en motsägelse följer vad som helst: (1) Jorden är rund (2) Det är inte så att jorden är rund

41 Motsägelse Ur en motsägelse följer vad som helst: (1) Jorden är rund (2) Det är inte så att jorden är rund (3) Jorden är rund eller månen är en ost

42 Motsägelse Ur en motsägelse följer vad som helst: (1) Jorden är rund (2) Det är inte så att jorden är rund (3) Jorden är rund eller månen är en ost slutsats: (4) Månen är en ost

43 Motsägelse Ur en motsägelse följer vad som helst: (1) Jorden är rund (2) Det är inte så att jorden är rund (3) Jorden är rund eller månen är en ost slutsats: (4) Månen är en ost Appendix: En större olycka kan knappast drabba en vetenskaplig författare än att få en av grunderna för sitt verk raserad, när verket självt fullbordats

44 Bertrand Russell ( ) [Wales] En av grundarna till den analytiska filosofin Principia Mathematica (1910) Logicist: matematik logik

45 Gödels ofullständighetsteorem 1916 böter för anti-krigsaktiviteter Royal Society 1908 LMS De Morgan Medal 1932 Royal Society Sylvester Medal 1934 Nobelpriset i litteratur 1950 Anti-krig och anti-kärnkraft på talen Russel-Einstein Manifesto 1955

46 Giuseppe Peano ( ) [Italien] Logik och matematikens fundament Peanos axiom 1889 Odefinierade grundobjekt: - naturligt tal - efterföljare Peanos aritmetik

47 De naturliga talens axiom Varje naturligt tal har en efterföljare, som också är ett naturligt tal Det finns ett entydigt bestämt tal, 0, som inte är efterföljare till något annat tal Om två tal x och y har samma efterföljare, gäller att x = y Varje mängd som innehåller 0, och innehåller efterföljaren till x om den innehåller x, är mängden av de naturliga talen

48 Peanos aritmetik Utifrån axiomen härledde Peano talen 1,2,3 och de vanliga räknereglerna. Exempel: 2 definieras som efterföljaren till 1 Talet n+1 definieras som efterföljaren till n, och n+2 är efterföljaren till n+1 a+b = b+a (kommutativa lagen) a+(b+c) = (a+b)+c (associativa lagen) a(b+c) = a*b + a*c (distributiva lagen)

49 Huvudkällor Karush, W. Matematisk uppslagsbok, W&W Tersman, F. Fem filosofiska frågor (2001) Selander, S. Kobran, nallen och majjen: tradition och förnyelse i svensk skola och skolforskning (2003) The MacTutor History of Mathematics archive Mathworlds hemsida Stanford Encyclopedia of Philosophy ypothesis/

50 Jag tror jag slutar här