NMAB09 MATEMATIKENS HISTORIA
|
|
- Oliver Bergman
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 EULERS LIV OCH MATEMATIK NMAB09 MATEMATIKENS HISTORIA Februari 2006 Magnus Gustavsson Jörgen Olsson
2
3 1 Uppväxten Leonhard Euler, son till Paul Euler och Marguerite Brucker, föddes 15 april 1707 i Basel, Schweiz. Han växte upp i Riechen utanför Basel och fick lära sig de matematiska grunderna från sin far, som var en lutheransk präst men tidigare hade studerat matematik för Jakob Bernoulli. När Euler vid 13 års ålder togs in vid universitetet i Basel studerade han teologi och antika språk, vilket 1724 ledde fram till en magisterexamen. Samtidigt utvecklade han dock även sin matematiska färdighet genom att få privatlektioner i matematik från Jakobs yngre bror, Johann Bernoulli. Fadern insisterade på att den unge Euler efter examen skulle ägna sin tid åt teologin, men föll till föga då han blev övertygad om vilken ovanlig matematisk begåvning som fanns i sonen. Vid den här tiden bedrevs den mest framstående forskningen inte vid universiteten, vilka främst ägnade sig åt undervisning, utan vid kungliga akademier runt om i Europa. Euler sökte en professur i matematik vid universitetet i Basel, men när han inte fick den fortsatte han sina studier i hopp om att kunna ansluta sig till två av Johanns söner, Nicolaus och Daniel Bernoulli, vid vetenskapsakademien i St. Petersburg. Bland annat studerade Euler medicin och fysiologi, eftersom den öppning som eventuellt kunde finnas i Ryssland fanns vid akademiens medicinska avdelning. Nicolaus dog dessvärre 1726, men Daniel hade 1725 fått en professorstjänst hos vetenskapsakademins matematiska avdelning, och han kunde tack vare sitt inflytande erbjuda Euler tjänsten. 1727, när Euler var 20 år gammal, lämnade han Basel och flyttade till St. Petersburg. 2 St. Petersburg Samma dag som Euler anlände till St. Petersburg dog Katarina I. Tack vare det allmänna kaos som rådde i landet efter hennes död lyckades Euler redan efter några år flytta över till den matematiska avdelningen. Under de sex år som följde arbetade han utan avbrott, inte minst eftersom det vid denna tid inte var ofarligt att vistas i sociala kretsar i staden beslutade sig så Daniel Bernoulli för att lämna Ryssland och återvända till Schweiz. Euler tog då över dennes professorstjänst och ansvaret för akademiens matematiska avdelning. Året därpå gifte han sig även med sin första fru, Katharina Gsell, och med henne fick han med tiden tretton barn slutförde Euler sin avhandling i mekanik och löste det så kallade Baselproblemet, formulerat 1644 av Pietro Mengoli. Resultatet, återgivet som följer, är känt och medförde en viss berömdhet för Eulers del: ζ(2) = n=1 1 n 2 = = π2 6 3
4 För att bevisa detta samband utgick Euler från Taylorutvecklingen av sinus: sin z = z z3 3! + z5 5! z7 7! + För ekvationen sin z = 0 blir en rot z = 0, och för övriga gäller enligt ovan: 1 z2 3! + z4 5! z6 7! + = 0 (1) Med variabelbytet w = z 2 får vi följande ekvation: 1 w 3! + w2 5! w3 7! + = 0 (2) De nollskilda lösningarna till sin z = 0 är z = ±π, ±2π, ±3π,... vilket ger w 1 = π 2, w 2 = (2π) 2, w 3 = (3π) 2,... som lösningar till ekvationen ovan. Detta kombinerade Euler nu med sambandet att om x 1, x 1,..., x n är rötter till ekvationen x n + a 1 x n 1 + a 2 x n a n 1 x + a n = 0 gäller: 1 x x x n = a n 1 a n Tillsammans med ekvation 2 får vi då (a n 1 = 1 6 och a n = 1): 1 π (2π) (3π) 2 + = 1 6 Genom att multiplicera detta med π 2 följer resultatet. (3) Bernhard Riemann, som var väl insatt i Eulers arbeten, generaliserade mer än hundra år senare detta resultat till vad som idag kallas Riemanns zetafunktion. Vidare definierade och beräknade Euler det som idag kallas Eulers konstant och som används inom talteori och för lösning av differentialekvationer: ( 1 γ = lim n ) n ln n = 0, var även året då Euler förlorade synen på sitt högra öga. Åsikterna går isär vad gäller om detta berodde på ett alltför långvarigt studium av solen, eller helt enkelt var en följd av den svåra feber i vilken han insjuknade det året och som var nära att kosta honom livet. 4
5 3 Grafteorin föds Figur 1: Broarna i Köningsberg År 1736 visade Euler i sin berömda arikel Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis att problemet med Köningsbergs sju broar var olösbart. Bakgrunden till problemet var att floden Pregel delade den preussiska staden Köningsberg (som numera är rysk och heter Kaliningrad) i två delar och bildade dessutom två öar (figur 1). På den mindre av dessa, Kneiphof, var stadens centrum beläget. Den var förbunden med den norra stranden av två broar, med den södra av ytterligare två och slutligen fanns det även en bro till den större ön. Denna ö hade, utöver bron till Kneiphof, även en bro vardera till norra respektive södra stranden. Det sägs att stadens innevånare på söndagarna brukade roa sig med att försöka hitta en väg som passerade alla stadens broar exakt en gång. Ingen hade lyckats, men ingen visste heller med säkerhet att det inte gick. Euler tog sig an problemet genom att betrakta stadsdelar och broar som noder och bågar i en graf. Han visade följande: Om mer än två noder har ett udda antal bågar så finns det ingen lösning. I fallet med Köningsbergs sju broar har alla noder ett udda antal bågar. Problemet är alltså olösbart. Vidare konstaterade han: Om exakt två noder har ett udda antal bågar så finns det en väg som börjar i en av dessa och slutar i den andra. Om ingen nod har ett udda antal bågar finns det en lösning oavsett vilken nod man utgår ifrån. För dessa två påståenden gav Euler däremot inget bevis. Numera kallas en väg som passerar alla bågar i en graf exakt en gång en Eulerväg. En väg som dessutom slutar i samma nod som den började kallas en Eulercykel. 5
6 4 Till Berlin 1741 hade Euler tröttnat den politiska instabiliteten i St. Petersburg och Ryssland, och accepterade därför ett erbjudande från den nyligen tillträdde Fredrik II om en plats vid akademin i Berlin. Det var där Euler påbörjade sitt stora arbete inom matematisk analys. I det första verket, Introductio in analysin infinitorum som gavs ut 1748, presenteras bland annat det som idag kallas Eulers formel: e iθ = cos θ + i sin θ Ur detta följer även det kända sambandet e iπ + 1 = 0 (Eulers identitet). År 1752 visade Euler det som nu kallas Eulers relation, ett förhållande som gäller för alla konvexa polyedrar och lyder som följer: S + H K = 2 där S står för antalet sidor, H antalet hörn och K antalet kanter. Exempelvis har en kub (hexaeder) 6 sidor, 8 hörn och 12 kanter, medan en ikosaeder (den tjugosidiga platonska kroppen) har 20 sidor, 12 hörn och 30 kanter. Figur 2: Bevis av Eulers relation Påståendet kan visas som följer: Vi börjar med att vika ut polyedern så att vi kan betrakta den som en tvådimensionell graf, i vilken varje nod motsvarar ett hörn, varje båge en kant och varje avgränsat område en sida, inklusive det som omger grafen. Första grafen i figur 2 visar exempelvis en utvikt kub. I alla områden, exklusive det omgivande, som inte är trianglar (det viss säga som inte omges av exakt tre noder) drar vi en diagonal som delar området i två delar. Varje diagonal ökar såväl S (områden) som K (bågar) med 1. Det följer att om och endast om Eulers relation gällde före operationen gäller den även efter. Detta fortsätter vi med tills grafen enbart består av trianglar. Om grafen består av mer än en triangel väljer vi nu ut en triangel som gränsar mot det omgivande området. Eftersom grafen är sammanhängande måste gränsen utgöras av antingen en eller två bågar, och den eller dessa 6
7 tar vi bort. Om en enda båge tas bort (andra grafen i figur 2) följer att S (områden) och K (bågar) minskar med 1. Om däremot två bågar tas bort (tredje grafen i figur 2) minskar S (områden) med 1, H (noder) med 1 och K (bågar) med 2. I båda fallen gäller att om och endast om relationen gällde före operationen gäller den även efter. Detta fortsätter vi med tills grafen enbart består av en enda triangel. För denna triangel gäller S + H K = = 2 och påståendet följer därmed genom induktion. 5 De sista åren Euler ogillade den preussiske kungens ständiga inblandning i akademiens göranden. Han blev kvar i Berlin till år 1766 då han efter en inbjudan från Katarina den stora flyttade tillbaka till St. Petersburg. Ryssland hade under de gångna åren fortsatt att betala ut lön till honom, och då han återvände tilldelades han ett fullt möblerat hus inklusive kokerska dog Eulers hustru och året därefter gifte han sig med hennes halvsyster, Salome Abigail Gsell. Euler själv dog 18 september 1783 på grund av ett slaganfall. Han var då 76 år gammal, och hade som en följd av grå starr varit helt blind sedan Tack vare en operation 1771 återfick han synen under några dagar, men snart uppträdde en infektion i ögat och han blev helt blind igen. Trots förlusten av sin syn var han under de sista åren mer produktiv än han någonsin varit tidigare. 6 Avslutande ord Euler är förmodligen den mest produktive matematikern genom tiderna. Han skrev under sitt liv över 900 artiklar och flera böcker, de flesta av dem på latin. Han har även lagt en del av grunden för dagens analys genom att vidareutveckla Newtons, Leibniz med fleras teorier. Till skillnad från flertalet andra matematiker behärskade han såväl den diskreta som den kontinuerliga matematiken till fulländning. Han var dessutom en mycket god algoritmkonstruktör. Euler var även fysiker och astronom. Hans fysiska teorier behandlar bland annat optik, hydrodynamik och balkteori. Inom astronomin var han främst intresserad av månens rörelser och trekropparsproblemet. Det sistnämnda är ett klassiskt problem som behandlar teorier om hur tre punktmassor rör sig enbart påverkade av sin egen gravitation, och som än idag är olöst. Newton hade tidigare löst det så kallade tvåkropparsproblemet, men då en tredje kropp ingår saknar problemet en allmän lösning. Euler lyckades dock ta fram en approximativ beräkningsmetod som visade sig vara mycket användbar för navigation. 7
8 Referenslista [1] Wikipedia contributors. Wikipedia, The Free Encyclopedia, (hämtad ). [2] Wikipedia-bidragsgivare. Wikipedia, Den fria encyklopedin, (hämtad ). [3] Eric Temple Bell. Matematikens män. Natur och kultur, [4] James R. Newman (Ed.). The World of Mathematics, volume I. Simon and Schuster, New York, [5] Dirk Jan Struik. A Consise History of Matematics. Dover Publications, Fourth revised edition, ISBN [6] John Stillwell. Matematics and Its History. Springer-Verlag New York, Second edition, ISBN [7] Boris Sjöberg. Från Euklides till Hilbert. Åbo Akademis förlag, ISBN [8] Bo Göran Johansson. Matematikens historia. Studentlitteratur, ISBN
Explorativ övning 11 GEOMETRI
Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk
Läs merINDUKTION OCH DEDUKTION
Explorativ övning 3 INDUKTION OCH DEDUKTION Syftet med övningen är att öka Din problemlösningsförmåga och bekanta Dig med olika bevismetoder. Vårt syfte är också att öva skriftlig framställning av matematisk
Läs mer4-7 Pythagoras sats. Inledning. Namn:..
Namn:.. 4-7 Pythagoras sats Inledning Nu har du lärt dig en hel del om trianglar. Du vet vad en spetsig och en trubbig triangel är liksom vad en liksidig och en likbent triangel är. Vidare vet du att vinkelsumman
Läs merMatematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev
Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Lite inspiration Går det att konstruera 6 kvadrater av 12 tändstickor? Hur gör man då? (Nämnaren, Nr 2, 2005) Litet klurigt kanske, bygg en kub av stickorna: Uppgift
Läs merInledning...3. Kravgränser...21. Provsammanställning...22
Innehåll Inledning...3 Bedömningsanvisningar...3 Allmänna bedömningsanvisningar...3 Bedömningsanvisningar Del I...4 Bedömningsanvisningar Del II...5 Bedömningsanvisningar uppgift 11 (Max 5/6)...12 Kravgränser...21
Läs merSvar och arbeta vidare med Student 2008
Student 008 Svar och arbeta vidare med Student 008 Det finns många intressanta idéer i årets Känguruaktiviteter. Problemen kan inspirera undervisningen under flera lektioner. Här ger vi några förslag att
Läs mer8-1 Formler och uttryck. Namn:.
8-1 Formler och uttryck. Namn:. Inledning Ibland vill du lösa lite mer komplexa problem. Till exempel: Kalle är dubbelt så gammal som Stina, och tillsammans är de 33 år. Hur gammal är Kalle och Stina?
Läs merVälfärd på 1990-talet
Lättläst Välfärd på 1990-talet Lättläst En lättläst sammanfattning av SOU 2001:79 från Kommittén Välfärdsbokslut. Du beställer denna skrift från: Fritzes kundtjänst 106 47 Stockholm telefon: 08-690 91
Läs mer2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)
De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)
Läs merDen förlorade sonen:
Den förlorade sonen En bildrik berättelse direkt ur Lukas evangelium 15 och gjord efter bibeltexten. Handlar om sonen som bryter med hemmet och slarvar bort sin förmögenhet i främmande land, ångrar sig
Läs merTräd. Sats. Grafer. Definition. En fullständig graf har en båge mellan varje par av noder. Definition
Grafdefinitioner Träd N = {i}: noder (hörn) = {(i, )}, i N, N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar och slutar i samma nod. En enkel väg innehåller
Läs merIntroduktion. Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt
KTHs Sommarmatematik 2003 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 5.1 Introduktion Introduktion Exponentialfunktionen e x och logaritmfunktionen ln x är bland de viktigaste och vanligast förekommande
Läs merMARTIN LUTHER OCH REFORMATIONEN
EXPERTKORT VASATIDEN 1. GUSTAV VASA FLYR Koll på vasatiden sid. 10-11 1. Vad är en krönika? 2. Vem bestämde vad som skulle stå i krönikan om hur Gustav Vasa flydde från soldaterna? 3. Vem berättade för
Läs merMatematik E (MA1205)
Matematik E (MA105) 50 p Betygskriterier med eempeluppgifter Värmdö Gymnasium Mål och betygskriterier Ma E (MA105) Matematik Läsåret 003-004 Betygskriterier enligt Skolverket KRITERIER FÖR BETYGET GODKÄND
Läs merStudiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03
Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 2009
Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet Provet Poäng och betygsgränser NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C HÖSTEN 009 40 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder
Läs merNMCC Sigma 8. Täby Friskola 8 Spets
NMCC Sigma 8 Täby Friskola 8 Spets Sverige 2016 1 Innehållsförteckning Innehållsförteckning... 1 Inledning... 2 Sambandet mellan figurens nummer och antalet små kuber... 3 Metod 1... 3 Metod 2... 4 Metod
Läs merOm plana och planära grafer
KTH Matematik Bengt Ek April 2006 Material till kursen 5B1118 Diskret matematik för CL3: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant
Läs mer75059 Stort sorteringsset
75059 Stort sorteringsset Aktivitetsguide Detta set innehåller: 632 st sorteringsföremål 3 st snurror 6 st sorteringsskålar 1 st sorteringsbricka i plast 1 st siffertärning Detta sorteringsset har tagits
Läs merVåga Visa kultur- och musikskolor
Våga Visa kultur- och musikskolor Kundundersökning 04 Värmdö kommun Genomförd av CMA Research AB April 04 Kön Är du 37 6 34 65 39 60 3 69 0% 0% 40% 60% 0% 0% Kille Tjej Ej svar Våga Visa kultur- och musikskolor,
Läs mer8-4 Ekvationer. Namn:..
8-4 Ekvationer. Namn:.. Inledning Kalle är 1,3 gånger så gammal som Pelle, och tillsammans är de 27,6 år. Hur gamla är Kalle och Pelle? Klarar du att lösa den uppgiften direkt? Inte så enkelt! Ofta resulterar
Läs merEulers polyederformel och de platonska kropparna
Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.
Läs merMitt liv med byggregler
Mitt liv med byggregler Professor emeritus Bernt Johansson, LTU, juni 2009 Inledning I hela mitt yrkesverksamma liv har jag haft en hobby, nämligen att skriva regler för byggkonstruktioner, mestadels stålkonstruktioner
Läs merKastades från balkong tog själv fallet till HD
Kastades från balkong tog själv fallet till HD Bakgrund Bakgrund. Natten till den 10 februari 2013 kommer ett larm om att en kvinna i Södertälje har fallit från sin lägenhet på sjätte våningen. Den 22
Läs merFacit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs. x 2 x 3 1 2.
KTH Matematik Lars Filipsson Facit till Några extra uppgifter inför tentan Matematik Baskurs 1. Låt f(x) = ln 2x + 4x 2 + 9 + ln 2x 4x 2 + 9. Bestäm definitionsmängd och värdemängd till f och rita kurvan
Läs mer3-1: Konstruktion: broar
3-1: Konstruktion: broar Inledning Målet med det här kapitlet är att du skall konstruera en bro. Du får gärna arbeta i en grupp tillsammans med dina kompisar. Bron skall uppfylla vissa krav, och du skall
Läs merThe Brachistochrone problem
The Brachistochrone problem Andreas Olsén Karlstads Universitet HT-16 Kurs: Analytisk Mekanik 7,5 hp i FYGL07 Kursansvarig: Jürgen Fuchs 2017-01-07 Innehållsförteckning 1. Inledning... 1 1. 1 Problembeskrivning...
Läs merBonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144
Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6 Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid 138-144 Avsikten med de ledtrådar som ges nedan är att peka på
Läs merBröderna Ericsson och kanalbygget
Bröderna Ericsson och kanalbygget (Hittat i ett tidningsurklipp från 1957) För alla svenskar är namnen John och Nils Ericsson välbekanta. Alla vet, att John Ericsson var en stor uppfinnare, och att det
Läs merMimer Akademiens arbete med barnens matematikutveckling Ann S Pihlgren Elisabeth Wanselius
Mimer Akademiens arbete med barnens matematikutveckling Ann S Pihlgren Elisabeth Wanselius Matematikdidaktik hur förbättrar vi resultaten? I olika undersökningar de senaste 25 åren visar det sig att de
Läs merbedömning Per Berggren och Maria Lindroth 2014-05-23
Varierad undervisning och bedömning Per Berggren och Maria Lindroth 2014-05-23 Matematiska förmågor Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla
Läs merPermutationer med paritet
238 Permutationer med paritet Bernt Lindström KTH Stockholm Uppgift. Att studera permutationerna av talen 1 2... n och indelningen i udda och jämna permutationer ur olika aspekter. Permutationer är särskilt
Läs merUnder min praktik som lärarstuderande
tomoko helmertz Problemlösning i Japan och Sverige Japansk matematikundervisning skiljer sig på många sätt från svensk. Vilka konsekvenser får det för hur elever i respektive länder löser problem? Tomoko
Läs mera), c), e) och g) är olikheter. Av dem har c) och g) sanningsvärdet 1.
PASS 9. OLIKHETER 9. Grundbegrepp om olikheter Vi får olikheter av ekvationer om vi byter ut likhetstecknet mot något av tecknen > (större än), (större än eller lika med), < (mindre än) eller (mindre än
Läs merSKOLPORTENS NUMRERADE ARTIKELSERIE FÖR UTVECKLINGSARBETE I SKOLAN. Bilagor
SKOLPORTENS NUMRERADE ARTIKELSERIE FÖR UTVECKLINGSARBETE I SKOLAN Bilagor Gemensamma matematikprov, analysinstrument och bedömningsmatriser för kvalitetshöjningar Författare: Per Ericson, Max Ljungberg
Läs merVad vi ska prata om idag:
Vad vi ska prata om idag: Om det omöjliga i att färdas snabbare än ljuset...... och om gravitation enligt Newton och enligt Einstein. Äpplen, hissar, rökelse, krökta rum......och stjärnor som används som
Läs merKurvlängd och geometri på en sfärisk yta
325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,
Läs merMinskat intresse för högre studier särskilt för kurser
STATISTISK ANALYS Torbjörn Lindqvist Avdelningen för statistik och analys 8-563 87 7 torbjorn.lindqvist@hsv.se Mer information hittar du på www.hsv.se Nummer: 26/11 Sökande till universitet och högskolor:
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD. till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till TUMMEN UPP! matte inför betygssättningen i årskurs 6 Det här är ett BEDÖMNINGSSTÖD som hjälper dig att göra en säkrare bedömning av elevernas kunskaper inför betygssättningen i årskurs
Läs merStephen Hawking och Gud. Tord Wallström
Stephen Hawking och Gud Tord Wallström I en intervju för flera år sen berättade den engelske vetenskapsmannen Stephen Hawking om en audiens som han och några kolleger beviljats med påven i samband med
Läs mer1Mer om tal. Mål. Grundkursen K 1
Mer om tal Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de: förstå vad som menas med kvadratrot och kunna räkna ut kvadratro ten av ett tal kunna skriva, använda och räkna med tal i tiopotensform
Läs merDiskret matematik: Övningstentamen 4
Diskret matematik: Övningstentamen 22. Beskriv alla relationer, som är såväl ekvivalensrelationer som partiella ordningar. Är någon välbekant relation sådan? 23. Ange alla heltalslösningar till ekvationen
Läs merVårtal vid Agunnaryds hembygdsgård 2010
Vårtal vid Agunnaryds hembygdsgård 2010 Kära Agunnarydsbor och besökande gäster! Jag ska berätta för er om Inget. Ja, hon hette inte Inget utan Ingrid Kajsa. Men hon kallades alltid Inget på Kjöpet. Hon
Läs merMatematik Åk 9 Provet omfattar stickprov av det centrala innehållet i Lgr-11. 1. b) c) d)
1. b) c) d) a) Multiplikation med 100 kan förenklas med att flytta decimalerna lika många stg som antlet nollor. 00> svar 306 b) Använd kort division. Resultatet ger igen rest. Svar 108 c) Att multiplicera
Läs merGunnesboskolan, miljövänlig? Energi och Miljö tema VT-10
Gunnesboskolan, miljövänlig? Energi och Miljö tema VT-10 Fredrik Ossiannilsson & Jakob Eriksson Klass 9a Inlämnat 21 maj 2010 Handledare Olle Nyhlén Johansson Innehållsförteckning Inledning... sida 2 Bakgrund...
Läs merProblem 1 2 3 4 5 6 7 Svar
Känguru Cadet, svarsblankett Namn Klass/Grupp Poängsumman Känguruskuttet Ta lös svarsblanketten. Skriv ditt svarsalternativ under numret. Lämna rutan tom om du inte vet svaret. Gissa inte, felaktigt svar
Läs merGemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5
Gemensam presentation av matematiskt område: Geometri Åldersgrupp: år 5 Mål för lektionen: Eleverna skall kunna skilja på begreppen area och omkrets. Koppling till strävansmål: - Att eleven utvecklar intresse
Läs merAv kursplanen och betygskriterierna,
KATARINA KJELLSTRÖM Muntlig kommunikation i ett nationellt prov PRIM-gruppen ansvarar för diagnosmaterial och de nationella proven i matematik för grundskolan. Här beskrivs de muntliga delproven i ämnesprovet
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1996. Tidsbunden del
NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 1996 Tidsbunden del Anvisningar Provperiod 10 maj - 1 juni 1996. Provtid Hjälpmedel Provmaterialet 120 minuter utan rast. Miniräknare och formelsamling. Formelblad
Läs merProduktion. i samarbete med. MAO Design 2013 Jonas Waxlax, Per-Oskar Joenpelto
Prototyp Produktion i samarbete med MAO Design 2013 Jonas Waxlax, Per-Oskar Joenpelto FYSIK SNACKS Kraft och motkraft............... 4 Raketmotorn................... 5 Ett fall för Galileo Galilei............
Läs merOm Pythagoras hade varit taxichaufför
56 Om Pythagoras hade varit taichaufför i Luleå Andrejs Dunkels Högskolan i Luleå Fig 1. Om man vill ta sig från P-platsen i hörnet av Köpmangatan och Timmermansgatan till Vinbutiken (se fig 1) så går
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A HÖSTEN 2000. Del I
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 010. NATIONELLT KURSPROV I
Läs merKaliningrad) låg vid bägge sidor av floden Pregel samt på
Grunder i matematik och logik (2018) Grafteori Marco Kuhlmann Grafteori är det område inom matematiken som undersöker egenskaper hos grafer. Inom grafteorin har begreppet graf en annan betydelse än graf
Läs merOm plana och planära grafer
Matematik, KTH Bengt Ek november 2017 Material till kurserna SF1679 och SF1688, Diskret matematik: Om plana och planära grafer I många sammanhang (t.ex. vid konstruktion av elektriska kretsar) är det intressant
Läs merVärldskrigen. Talmanus
Världskrigen I början av 1900-talet var det två stora krig, första och andra världskriget. Många barn hade det mycket svårt under krigen. Men de som krigade tyckte inte att de hade något ansvar för barnen
Läs merOBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL.
Matematik kurs b och c - Exempeluppgifter OBSERVERA ATT DETTA EXEMPELMATERIAL INTE MOTSVARAR ETT HELT KURSPROV I OMFATTNING OCH INNEHÅLL. Del I: Digitala verktyg är inte tillåtna. Endast svar krävs. Skriv
Läs merFramtidens Energi: Fusion. William Öman, EE1c, El och Energi linjen, Kaplanskolan, Skellefteå
Framtidens Energi: Fusion William Öman, EE1c, El och Energi linjen, Kaplanskolan, Skellefteå Kort Historik 2-5 Utvinning 6-9 Energiomvandlingar 10-11 Miljövänlig 12-13 Användning 14-15 Framtid 16-17 Källförtäckning
Läs merJohanna Charlotta Kraft 1856-12-26
Johanna Charlotta Kraft 1856-12-26 Elsa Elvira Kraft 1908 1985 Svea Linnea Kraft 1909 1953 Elis Georg Kraft 1915 1980 Carl Georg Kraft 1881 1922 Johanna Charlotta Kraft 1856 Jan (Johan) Erik Kraft 1825
Läs merSAMHÄLLET BEHANDLADE INTE FLICKOR SÄRSKILT BRA
HISTORIEN OM DIPTI Det här är berättelsen om en kvinna som övervann ojämlikhet och blev forskare, kvinnoaktivist, social entreprenör och chef över Rangsutras samarbete med IKEA. HISTORIEN OM DIPTI / s.
Läs merTal Räknelagar Prioriteringsregler
Tal Räknelagar Prioriteringsregler Uttryck med flera räknesätt beräknas i följande ordning: 1. Parenteser 2. Exponenter. Multiplikation och division. Addition och subtraktion Exempel: Beräkna 10 5 7. 1.
Läs merProblem att fundera över
Problem att fundera över Här får du öva dig på att formulera en förmodan och försökabevisaden. Jag förväntar mig inte att du klarar av att gå till botten med alla frågorna! Syftet är att ge dig smakprov
Läs merMA 1202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs.
MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning
Läs merMatematik. Delprov B. Vårterminen 2009 ÄMNESPROV. Del B1 ÅRSKURS. Elevens namn
ÄMNESPROV Matematik ÅRSKURS 9 Prov som ska återanvändas omfattas av sekretess enligt 4 kap. 3 sekretesslagen. Avsikten är att detta prov ska kunna återanvändas t.o.m. 2009-06-30. Vid sekretessbedömning
Läs merBetygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna
Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är
Läs merProv kapitel 3-5 - FACIT Version 1
Prov kapitel 3-5 - FACIT Version 1 1. Lös ekvationerna algebraiskt a. 13 x + 17 = 7x + 134 Svar: x = 117 / 6 = 19.5 b. x 10 = 84 Svar: x = 84 0.1 = 1.5575 2. Beräkna a. 17 % av 3500 = 595 b. 3 promille
Läs merMultiplikation genom århundraden
Multiplikation genom århundraden För många elever i skolan kan multiplikation upplevas som något oöverstigligt. Addition och subtraktion kan de förstå sig på men inte multiplikation. Utan förståelse för
Läs merNATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D VÅREN 1997. Tidsbunden del
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av november 1997. NATIONELLT
Läs merDet övergripande syftet med min avhandling var att beskriva och
Eva Pettersson Elever med särskilda matematiska förmågor Får nyfikna och vetgiriga barn det stöd och den stimulans som de har rätt att förvänta sig då de börjar skolan? Barn och ungdomar som har exceptionell
Läs merAnders Logg. Människor och matematik läsebok för nyfikna 95
Anders Logg Slutsatsen är att vi visserligen inte kan beräkna lösningen till en differentialekvation exakt, men att detta inte spelar någon roll eftersom vi kan beräkna lösningen med precis den noggrannhet
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS A VÅREN 2001. Del II
Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap 3 Sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen till och med utgången av 2011. Anvisningar Provtid
Läs merDubbelt En elev plockar upp en näve kuber. En annan ska ta upp dubbelt så många.
Multilink-kuber Varför kuber i matematikundervisningen? Multilink-kuber eller motsvarande material kan utnyttjas till snart sagt alla områden inom matematikundervisningen, i hela grundskolan och även upp
Läs merAbstrakt algebra för gymnasister
Abstrakt algebra för gymnasister Veronica Crispin Quinonez Sammanfattning. Denna text är föreläsningsanteckningar från föredraget Abstrakt algebra som hölls under Kleindagarna på Institutet Mittag-Leffler
Läs merELEVHJÄLP. Diskussion s. 2 Åsikter s. 3. Källkritik s. 11. Fördelar och nackdelar s. 4. Samarbete s. 10. Slutsatser s. 9. Konsekvenser s.
Källkritik s. 11 Diskussion s. 2 Åsikter s. 3 Samarbete s. 10 Slutsatser s. 9 ELEVHJÄLP Fördelar och nackdelar s. 4 Konsekvenser s. 5 Lösningar s. 8 Perspektiv s. 7 Likheter och skillnader s. 6 1 Resonera/diskutera/samtala
Läs merEnkäten inleds med några frågor om demografiska data. Totalt omfattar enkäten 85 frågor. 30-40 år. 41-50 år. 51-60 år. > 60 år. 6-10 år.
1 av 15 2010-11-03 12:46 Syftet med den här enkäten är att lära mer om hur lärare tänker och känner när det gäller matematikundervisningen, särskilt i relation till kursplanen och till de nationella proven.
Läs merBygga broar mellan fo rskola och skola i Sundby
Bygga broar mellan fo rskola och skola i Sundby Bakgrund Många av våra barn kommer redan som ettåringar till förskolan för att sedan befinna sig i vår verksamhet fram tills man slutar år 5 som 11-12-åringar.
Läs merAnmälan mot Uppsala universitet och Mälardalens högskola angående forskarutbildning och anställning som doktorand
Uppsala universitet och Mälardalens högskola Rektor vid respektive lärosäte Juridiska avdelningen Teresa Edelman Anmälan mot Uppsala universitet och Mälardalens högskola angående forskarutbildning och
Läs merEkvationssystem - Övningar
Ekvationssystem - Övningar Uppgift nr 1 y = 5x x + y = 54 Uppgift nr 2 y = 2x x + y = 12 Uppgift nr 3 y = 3x + 7 4x + y = 35 Uppgift nr 4 y = 4x - 18 3x + y = 38 Uppgift nr 5 2x - 2y = -4 x - 3y = 4 Uppgift
Läs merBEDÖMNINGSSTÖD till Tummen upp! SO Historia inför betygssättningen i årskurs 6
BEDÖMNINGSSTÖD till Tummen upp! SO Historia inför betygssättningen i årskurs 6 Kursplanerna i Lgr 11 är uppbyggda efter rubrikerna syfte, centralt innehåll och kunskapskrav. Syftestexten avslutas med vilka
Läs merALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN
ALGEBRAISKT TÄNKANDE EN KORT HISTORISK EXPOSÉ ÖVER BEGREPP, UTTRYCKSSÄTT OCH ANVÄNDNINGSOMRÅDEN MEN FÖRST något om kursens algebradel och den nya läroplanens mål angående algebra. SYFTE Syftet med kursens
Läs merLathund algebra och funktioner åk 9
Lathund algebra och funktioner åk 9 För att bli en rackare på att lösa ekvationer är det viktigt att man kan sina förutsättningar, dvs vilka matematiska regler som gäller. Prioriteringsreglerna (vilken
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B VÅREN 2005
Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NpMaB vt 2005 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material
Läs merMin syn på idéframställan
MDH Min syn på idéframställan Andreas Nilsson 2009-04-21 Examinator Rolf Lövgren Innehåll Inledning... 3 Hur ser jag på Idéframställan... 4 Metoder... 5 Beskrivna idé med ord... 5 Skiss... 6 Kavaljersperspektiv....
Läs merNMAB09: Matematikens historia, projekt om kinesisk och indisk matematik
NMAB09: Matematikens historia, projekt om kinesisk och indisk matematik av Per Erik Strandberg och Jonas Dartman 3 mars 2004 Om denna text Denna rapport är ett projekt i kursen NMAB09, Matematikens historia,
Läs merPaper från lärgruppen i matematik. S:t Olofsskolan vt 13
Paper från lärgruppen i matematik S:t Olofsskolan vt 13 Agneta Sillman Karlsson Carolina Strömberg Katrin Lingensjö Ulla Sjöstedt Bakgrund: Många elever tycker matte är att enbart räkna i en mattebok.
Läs mervarandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.
PASS 8 EKVATIONSSYSTEM OCH EN LINJES EKVATION 8 En linjes ekvation En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet Koordinatsystemet består av x-axeln och yaxeln X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät
Läs merBättre Självförtroende NU!
Bättre Självförtroende NU! AV: Dennis Danielsson En bok om att hitta, skapa eller ta tillbaka ett självförtroende på topp. Boktitel: Bättre Självförtroende NU! Copyright 2012, Dennis Danielsson Omslagsdesign:
Läs merLärarhandledning lågstadiet
Lärarhandledning lågstadiet Kära lärare, Vi är glada över att ni kommer och besöker Tycho Brahemuseet tillsammans med er klass! Denna handledning är tänkt som ett erbjudande för dem som kan tänka sig att
Läs mer2. För vilka värden på parametrarna α och β har det linjära systemet. som satisfierar differensekvationen
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA13 Differentialekvationer och transformmetoder
Läs merHanne Solem Görel Hydén Sätt in stöten! MATEMATIK
Hanne Solem Görel Hydén Sätt in stöten! MATEMATIK Multiplika tion Multiplikation, 5-tabellen Att multiplicera är detsamma som att addera samma tal flera gånger. Det kallar vi upprepad addition. 3 5 kan
Läs merHej. Niklas heter jag, och detta är min oberoendeförklaring från Scientologikyrkan.
Hej Niklas heter jag, och detta är min oberoendeförklaring från Scientologikyrkan. Jag vill först säga att det är över 12 år sedan jag lämnade kyrkan. Vissa detaljer minns jag inte exakt, men då nämner
Läs merDet första steget blir att titta i Svensk MeSH för att se om vi kan hitta några bra engelska termer att ha med oss på sökresan.
Sökexempel - Hälsovägledare Hälsovägledning med inriktning mot olika folkhälsoproblem som t ex rökning, tips på hur man går tillväga för att göra en datasökning och hur man även kontrollerar om artiklarna
Läs merMATEMATIK Datum: 2014-01-14 Tid: förmiddag Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.
MATEMATIK Datum: -- Tid: förmiddag Chalmers Hjälpmedel: inga. Mobiltelefoner är förbjudna. A.Heintz Telefonvakt: Christo er Standar, Tel.: 7-88 Lösningar till tenta i TMV Analys och linjär algebra K/Bt/Kf,
Läs merKombinatorik. Författarna och Bokförlaget Borken, 2011. Kombinatorik - 1
Kombinatorik Teori Multiplikationsprincipen..2 Teori Permutationer 3 Teori Kombinationer...5 Modell Dragning utan återläggning & sannolikheter 8 Teori Duvslageprincipen 11 Teori Pascals triangel & Mosertal...13
Läs merMatematik och modeller Övningsuppgifter
Matematik och modeller Övningsuppgifter Beräkna a) d) + 6 b) 7 (+) + ( 9 + ) + 9 e) 8 c) ( + (5 6)) f) + Förenkla följande uttryck så långt som möjligt a) ( ) 5 b) 5 y 6 5y c) y 5 y + y y d) +y y e) (
Läs merDelaktighet inom äldreomsorgen
Charlotte Roos Delaktighet inom äldreomsorgen Om att låta de äldre få behålla makten över sina liv Vårdförlaget Delaktighet 3.indd 3 09-07-23 08.13.28 I samma serie: Ola Polmé och Marie Hultén: Vanvård
Läs merDNA-prov gav både spännande och oväntade resultat - Ulf Holmberg -
DNA-prov gav både spännande och oväntade resultat - Ulf Holmberg - I Ätt och Bygd nr 125 visades en släkttavla med manliga ättlingar utgående från Nils Olofsson död ca 1557, bosatt på hemmanet Hamnen i
Läs merBerlinmuren Frågeställning: Vad är Berlinmuren? Orsaker? (Varför byggde man Berlinmuren?) Konsekvenser? Berlinmurens avskaffande.
Frågeställning: Vad är Berlinmuren? Orsaker? (Varför byggde man Berlinmuren?) Konsekvenser? Berlinmurens avskaffande. Ämne: Historia Arbetssätt: Läsa in mig på ämnet, både genom böcker(om det går) och
Läs merUppgift 2 Betrakta vädret under en följd av dagar som en Markovkedja med de enda möjliga tillstånden. 0 = solig dag och 1 = regnig dag
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF904 MARKOVPROCESSER MÅNDAGEN DEN 26 AUGUSTI 203 KL 08.00 3.00. Examinator: Gunnar Englund tel. 073 32 37 45 Tillåtna hjälpmedel: Formel- och tabellsamling i Matematisk
Läs merFöreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori
Föreläsning 8: Intro till Komplexitetsteori Formalisering av rimlig tid En algoritm som har körtid O(n k ) för någon konstant k är rimligt snabb. En algoritm som har körtid Ω(c n ) för någon konstant c>1
Läs mer2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2.
Kursöversikt Numme för V, 2003. 1 Beatrice Frock NADA, KTH 030612 ANADA 2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2. Kursprogram. Läsanvisningar. Om WWW: I World Wide Web på Internet finns aktuell information
Läs mer