Hilberts problem & Millennium-problemen

Transkript

1 Hilberts problem & Millennium-problemen

2 David Hilbert ( ) Königsberg Ferdinand von Lindemann Professor 1893 Göttingen 1895 Hilbert's Basis Theorem (1888) If k is a field, then every ideal in the polynomial ring k[x 1,, x n ] is finitely generated I do not doubt that this is the most important work on general algebra that the Annalen has ever published Grundlagen der Geometri (1899) We must know, we shall know

3 Das Instrument, welches die Vermittlung bewirkt zwischen Theorie und Praxis, zwischen Denken und Beobachten, ist die Mathematik; sie baut die verbindende Brücke und gestaltet sie immer tragfähiger. Daher kommt es, daß unsere ganze gegenwärtige Kultur, soweit sie auf der geistigen Durchdringung und Dienstbarmachung der Natur beruht, ihre Grundlage in der Mathematik findet. [ ] Wir dürfen nicht denen glauben, die heute mit philosophischer Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, Wir werden wissen. The instrument that mediates between theory and practice, between thought and observation, is mathematics; it builds the bridge and makes it stronger and stronger. Thus it happens that our entire present day culture, to the degree that it reflects intellectual achievement and the harnessing of nature, is founded on mathematics. [ ] We must not believe those, who today with philosophical bearing and deliberative tone prophesy the fall of culture and accept the ignorabimus. For us there is no ignorabimus, and in my opinion none whatever in natural science. In opposition to the foolish ignorabimus I offer our slogan: We must know, We will know.

4 Hilberts problem De konkreta problemens livgivande betydelse för matematikens utveckling Who among us would not be happy to lift the veil behind which is hidden the future; to gaze at the coming developments of our science and at the secrets of its development in the centuries to come? What will be the ends toward which the spirit of future generations of mathematicians will tend? What methods, what new facts will the new century reveal in the vast and rich field of mathematical thought?

5 Hilberts problem 1. Kontinuumhypotesen 2. Aritmetikens motsägelsefrihet 3. Likheten i volym av två tetraedrar med lika bas och lika höjd 4. Den räta linjen som kortaste avståndet mellan två punkter 5. Liegrupper utan differentierbarhetsantagande 6. Matematisk axiomatisering av fysiken 7. Irrationalitet och transcendens av vissa tal 8. Riemannhypotesen 9. Bevis av den allmänaste reciproitetslagen för godtyckliga talkroppar 10. Finns det en universell algoritm för att lösa diofantiska ekvationer? 11. Generalisera resultaten om kvadratiska former med godtyckliga algebraiska numeriska koefficienter 12. Generalisera Kroneckers teorem för abelska kroppar till godtyckliga rationalitetsområden 13. Visa omöjligheten att lösa den allmänna 7:e-gradsekvationen med funktioner med endast två argument 14. Bevis för ändlighet av vissa kompletta funktionssystem. Generalisering av teorin för algebraiska invarianter 15. Etablera en rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl 16. Utveckla en topologi för algebraiska kurvor och ytor 17. Finn en representation för definita former med kvadrater 18. Uppbyggnaden av ett rum utifrån kongruenta polyedrar 19. Är lösningar till reguljära problem i variationskalkylen nödvändigtvis analytiska? 20. Det allmänna randvärdesproblemet 21. Visa existensen av linjära differentialekvationer av fuchsisk klass med givna singulariteter och monodroma grupper 22. Att göra analytiska relationer uniforma med hjälp av automorfa funktioner 23. Fortsatt utveckling av variationskalkyl

6 Hilberts problem 1. Kontinuumhypotesen 2. Aritmetikens motsägelsefrihet 3. Likheten i volym av två tetraedrar med lika bas och lika höjd 4. Den räta linjen som kortaste avståndet mellan två punkter 5. Liegrupper utan differentierbarhetsantagande 6. Matematisk axiomatisering av fysiken 7. Irrationalitet och transcendens av vissa tal 8. Riemannhypotesen 9. Bevis av den allmänaste reciproitetslagen för godtyckliga talkroppar 10. Finns det en universell algoritm för att lösa diofantiska ekvationer? 11. Generalisera resultaten om kvadratiska former med godtyckliga algebraiska numeriska koefficienter 12. Generalisera Kroneckers teorem för abelska kroppar till godtyckliga rationalitetsområden 13. Visa omöjligheten att lösa den allmänna 7:e-gradsekvationen med funktioner med endast två argument 14. Bevis för ändlighet av vissa kompletta funktionssystem. Generalisering av teorin för algebraiska invarianter 15. Etablera en rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl 16. Utveckla en topologi för algebraiska kurvor och ytor 17. Finn en representation för definita former med kvadrater 18. Uppbyggnaden av ett rum utifrån kongruenta polyedrar 19. Är lösningar till reguljära problem i variationskalkylen nödvändigtvis analytiska? 20. Det allmänna randvärdesproblemet 21. Visa existensen av linjära differentialekvationer av fuchsisk klass med givna singulariteter och monodroma grupper 22. Att göra analytiska relationer uniforma med hjälp av automorfa funktioner 23. Fortsatt utveckling av variationskalkyl

7 Hilberts problem, sammanfattning 1-2, 10 Matematikens grunder 3-6 Grunder inom specifika områden 7-9, Talteori Algebra och geometri 13, Analys

8 Lösningar till Hilberts problem 19 Bernstein 6 Carathéodry 11 Hasse 2 Gödel 11 Siegel 1 Gödel 13 5 Kolmogor Gleason Arnold Montgomery Zippin Dehn 22 Koebe Poincaré 9 17 Artin 7 Gelfond Schneider 6 Wightman N 16 Taniyama-Shimur

9 Hilberts problem nr 1 - Kontinuumhypotesen Visa att det inte finns någon mängd vars kardinalitet är strikt mellan kardinaliteten av mängden av heltal och kardinaliteten av mängden av reella tal? Kan de reella talen välordnas?

10 Hilberts problem nr 1 Oändligheter av olika storlek Räkning med oändligheter som en särskild sorts tal Georg Cantor

11 Hilberts problem nr 1 Kardinalitet: ℵ = antalet element i en mängd. ℵ 0, det minsta oändliga talet = mängden av alla naturliga tal. ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0 2ℵ 0 = ℵ 0 ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0

12 Hilberts hotell Ett hotell med ett oändligt antal rum... Alla rum är fullbelagda, men så dyker ännu en gäst upp? ℵ + 1 = ℵ En buss med oändligt många passagerare dyker upp? ℵ + ℵ = ℵ

13 Hilberts problem 1 Mängden av alla delmängder till en given mängd har större kardinalitet än mängden själv: 2 ℵ > ℵ På detta vis kan större mängder bildas.

14 2, _R = {2,4,85,901,98201,90,71} N Varje reellt tal motsvaras av en delmängd av de naturliga talen. Det vill säga, det finns lika många delmängder av de naturliga talen som det finns reella tal. ℵ R = 2 ℵ N Alltså: Mängden av alla delmängder till de naturliga talen har samma kardinalitet som mängden av de reella talen?

15 Kontinuumhypotesen En mängd av oändligt många tal: Har antingen samma kardinalitet som de naturliga talen, eller samma kardinalitet som de reella talen? Innebär detta att det inte finns något kardinaltal mellan de uppräkneliga naturliga talen och de reella talen?

16 Valaxiomet Oändligt många mängder, med vardera oändligt många element Kan man välja ett element ur vardera till att bilda en ny oändlig mängd? Detta kräver ett nytt axiom! Ernst Zermelo

17 Hilberts problem 1 Valaxiomet och den generaliserade kontinuumhypotesens förenlighet med mängdlärans axiom Om mängdläran är motsägelsefri utan valaxiomet är den också motsägelsefri med valaxiomet Kurt Gödel Visade att kontinuumhypotesen inte motsäger mängdlärans övriga axiom. Bevisidé: A 2 A

18 Hilberts problem 1 Paul Cohen Gödels elev Visade att kontinuumhypotesen inte kan härledas ur mängdlärans övriga axiom Visade att man kan konstruera mängdteorier med eller utan valaxiom Fick Fieldsmedaljen 1966 för sitt arbete med detta problem

19 Hilberts problem nr 1 Gödels och Cohens resultat visar tillsammans att både kontinuumhypotesen och valaxiomet är oavgörbara satser: axiomsystemet räcker inte för att avgöra om de gäller eller inte. Matematikerna är oeniga huruvida detta ska räknas som en lösning på problemet eller inte...

20 Hilberts problem nr 2 Axiomatisera hela aritmetiken! Ett axiomsystem ska vara: Fullständigt alla teorem ska kunna härledas ur axiomen genom ett ändligt antal logiska slutledningar Oberoende inget axiom ska kunna härledas ur de övriga Konsistent inga härledningar ska kunna leda till motsägelser i systemet

21 Kurt Gödel Första ofullständighetssatsen I varje motsägelsefritt formellt system som är tillräckligt komplext för att kunna beskriva aritmetik för naturliga tal, går det att formulera satser som varken kan bevisas eller motbevisas inom ramen för det formella systemet. Andra ofullständighetssatsen Inget "tillräckligt starkt" motsägelsefritt formellt system kan bevisa sin egen motsägelsefrihet.

22 Hilberts problem nr 2 Ett konsistensbevis för vilket system som helst...kan bara genomföras med slutledningsmetoder som inte är formaliserade i systemet självt. - Kurt Gödel

23 3. Likheten i volym av två tetraedrar med lika bas och lika höjd 4. Den räta linjen som kortaste avståndet mellan två punkter

24 5. Liegrupper utan differentierbarhetsantagande z, z 6. Matematisk axiomatisering av fysiken

25 7. Irrationalitet och transcendens av vissa tal a b 2-2 e! 8. Riemannhypotesen

26 9. Bevis av den allmänaste reciproitetslagen för godtyckliga talkroppar 10.Finns det en universell algoritm för att lösa diofantiska ekvationer? ax+by=cz

27 11.Generalisera resultaten om kvadratiska former med godtyckliga algebraiska numeriska koefficienter F(x) = ax 2 F(x,y) = ax 2 + by 2 + cxy F(x,y,z) = ax 2 + by 2 + cz 2 + dxy + exz + fyz 12.Generalisera Kroneckers teorem för abelska kroppar till godtyckliga rationalitetsområden

28 Hilberts problem nr 13 Visa omöjligheten att lösa den allmänna 7:egradsekvationen med funktioner med endast två argument x 7 + ax 3 + bx 2 + cx + 1 = 0 f(a,b,c)

29 14.Bevis för ändlighet av vissa kompletta funktionssystem. Generalisering av teorin för algebraiska invarianter 15.Etablera en rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl

30 16.Utveckla en topologi för algebraiska kurvor och ytor 17.Finn en representation för definita former med kvadrater

31 18.Uppbyggnaden av ett rum utifrån kongruenta polyedrar

32 Tätpackningsproblemet

33 19.Är lösningar till reguljära problem i variationskalkylen nödvändigtvis analytiska? 20.Det allmänna randvärdesproblemet

34 19.Visa existensen av linjära differentialekvationer av fuchsisk klass med givna singulariteter och monodroma grupper 20.Att göra analytiska relationer uniforma med hjälp av automorfa funktioner 21.Fortsatt utveckling av variationskalkyl

35 Hilberts problem 1. Kontinuumhypotesen 2. Aritmetikens motsägelsefrihet 3. Likheten i volym av två tetraedrar med lika bas och lika höjd 4. Den räta linjen som kortaste avståndet mellan två punkter 5. Liegrupper utan differentierbarhetsantagande 6. Matematisk axiomatisering av fysiken 7. Irrationalitet och transcendens av vissa tal 8. Riemannhypotesen 9. Bevis av den allmänaste reciproitetslagen för godtyckliga talkroppar 10. Finns det en universell algoritm för att lösa diofantiska ekvationer? 11. Generalisera resultaten om kvadratiska former med godtyckliga algebraiska numeriska koefficienter 12. Generalisera Kroneckers teorem för abelska kroppar till godtyckliga rationalitetsområden 13. Visa omöjligheten att lösa den allmänna 7:e-gradsekvationen med funktioner med endast två argument 14. Bevis för ändlighet av vissa kompletta funktionssystem. Generalisering av teorin för algebraiska invarianter 15. Etablera en rigorös grund för Schuberts enumerativa kalkyl 16. Utveckla en topologi för algebraiska kurvor och ytor 17. Finn en representation för definita former med kvadrater 18. Uppbyggnaden av ett rum utifrån kongruenta polyedrar 19. Är lösningar till reguljära problem i variationskalkylen nödvändigtvis analytiska? 20. Det allmänna randvärdesproblemet 21. Visa existensen av linjära differentialekvationer av fuchsisk klass med givna singulariteter och monodroma grupper 22. Att göra analytiska relationer uniforma med hjälp av automorfa funktioner 23. Fortsatt utveckling av variationskalkyl

36 Hilberts problem Har, precis som Hilbert avsåg, satt prägel på matematikens utveckling under talet talets problem?

37 Dedicated to increasing and disseminating mathematical knowledge Grundat 1998 av affärsmannen Landon T Clay Ideell stiftelse Cambridge Massachusetts Priser och stipendier till lovande matematiker Millenniumproblemen 2000

38 Riemann-hypotesen (Riemanns zeta-hypotes) Hilberts problem nr 8 OCH ett av Millenniumproblemen Hitta alla nollställen till Riemanns zeta-funktion. Zetafunktionen definieras för komplexa tal z med Re z>1 genom summan Icketriviala lösningar måste uppfylla 0 Re(z) < 1

39

40 "If I were to awaken after having slept for a thousand years, my first question would be: has the Riemann hypothesis been proven?" David Hilbert

41 Poincarés förmodan För en vanlig 2-sfär så kan varje ögla kontinuerligt dras ihop till en punkt på ytan. Det har länge varit känt att detta karakteriserar 2-sfären. Poincarés förmodan handlar om samma fråga, men för 3-sfären, som inte är lika lätt att föreställa sig. Grigorij Perelman har bevisat att svaret är ja även i detta fall (?)

42 P vs NP Problemet Detta är ett problem inom teoretisk datalogi och handlar om huruvida två klasser av beräkningsproblem, P och NP, är olika eller inte. Problemet lyder: Finns det något beräkningsproblem som kan lösas av en icke-deterministisk turingmaskin i polynomiell tid, dvs det ligger i komplexitetsklassen NP, men inte av en deterministisk turingmaskin, dvs det ligger inte i komplexitetsklassen P? NP-problem P-problem NP-komplett

43 Navier-Stokes ekvationer Waves follow our boat as we meander across the lake, and turbulent air currents follow our flight in a modern jet. Mathematicians and physicists believe that an explanation for and the prediction of both the breeze and the turbulence can be found through an understanding of solutions to the Navier-Stokes equations. Although these equations were written down in the 19th Century, our understanding of them remains minimal. The challenge is to make substantial progress toward a mathematical theory which will unlock the secrets hidden in the Navier-Stokes equations.

44 Hodges förmodan Hodgeförmodan är ett problem i algebraisk geometri. Låt X vara en projektiv, icke-singuljär algebraisk varietet över de komplexa talen. Då finns de Rham-kohomologigrupper H n (X,C) som har en hodgedekomposition Hodgeförmodan handlar om de rationella klasserna i diagonalen i denna dekomposition, alltså gruppen av hodgeklasser. Nämligen, varje algebraisk cykel Z av kodimension p i X ger upphov till en kohomologiklass i H 2p (X,Z) vars bild i H 2p (X,Z) man kan visa är av typ (p,p). Därför finns en homomorfi från gruppen av cykler av kodimension p till gruppen av (p,p)-hodgeklasser. Hodgeförmodan säger nu att varje hodgeklass är en rationell linjärkombination av algebraiska cykler.

45 Yang-Mills-teori The laws of quantum physics stand to the world of elementary particles in the way that Newton's laws of classical mechanics stand to the macroscopic world. Almost half a century ago, Yang and Mills introduced a remarkable new framework to describe elementary particles using structures that also occur in geometry. Quantum Yang-Mills theory is now the foundation of most of elementary particle theory, and its predictions have been tested at many experimental laboratories, but its mathematical foundation is still unclear. The successful use of Yang-Mills theory to describe the strong interactions of elementary particles depends on a subtle quantum mechanical property called the "mass gap:" the quantum particles have positive masses, even though the classical waves travel at the speed of light. This property has been discovered by physicists from experiment and confirmed by computer simulations, but it still has not been understood from a theoretical point of view. Progress in establishing the existence of the Yang-Mills theory and a mass gap and will require the introduction of fundamental new ideas both in physics and in mathematics.

46 Birch-Swinnerton-Dyers förmodan Låt E vara en elliptisk kurva, det vill säga en icke-singulär, projektiv kurva av genus 1, definierad över en talkropp K. Man kan visa att de K-rationella punkterna bildar en grupp under den additionsoperation som ges av att tre kolinjära punkter summerar till 0. Denna grupp består av en torsionskomponent samt ett antal kopior av Z. Detta antal kallas rangen för E. Associerad till E finns också en meromorf funktion L(E,s), kallas L- funktionen för E. Den definieras som en viss eulerprodukt där faktorerna beror på antalet punkter på E över de ändliga kropparna. Birch-Swinnerton-Dyers förmodan lyder: Rangen för E är lika med nollställeordningen för L i 1. Till exempel innebär alltså förmodan att gruppen av rationell punkter är en ändlig grupp om L-funktionen inte har ett nollställe i 1.