Matematikens Element. Vad är matematik. Är detta matematik? Anders Fällström Institutionen för matematik och matematisk statistik Umeå universitet

Transkript

1 Matematikens Element Höstterminen 2006 Anders Fällström Institutionen för matematik och matematisk statistik Umeå universitet Vad är matematik Är detta matematik? 3 1

2 Eller kanske detta? 4 Men det här då? 5 Klart är att matematik är Abstrakt och allmängiltigt Logiskt Vetenskapens språk Historia och kultur på köpet Glädje och kreativitet skapande och roligt - jobb Bredd - produktion 6 2

3 När kreativiteten sätts på prov Gödels ofullständighetssats I varje motsägelsefritt formellt system som är tillräckligt komplext för att kunna beskriva aritmetik för naturliga tal, går det att formulera satser som varken kan bevisas eller motbevisas inom ramen för det formella systemet. Kontinuumhypotesen Det existerar ett kardinaltal mellan kardinaltalet för de hela talen och kardianaltalet för de reella talen Gödel 1938: Bryter ej mot axiomsystemet Cohen 1963: Falsk bryter ej mot axiomsystemet 7 När kreativiteten sätts på prov 8 Topologi - gummimatematik Håriga bollar! Alltid en cyklon någonstans på jorden Hundar, björnar och möss måste ha en bena i sin päls Varje polynomekvation har en komplex rot 9 3

4 Talteori, primtal och krypto Kapitel 2 i From here to infinity The Price of Primality Talteori abstrakt o oanvändbart? Matematikens drottning Primtal! 2^( ) (1994) Två problem: Hitta effektivt sätt att avgöra om ett tal är primtal Hitta effektivt sätt att dela upp icke-primtal i primfaktorer Datorer: En miljon test per sekund: 30-siffrigt tal hur lång tid? 40-siffrigt tal ca en miljon år Idag 100-siffrigt tal på 15 sekunder Andra problemet fortfarande hopplöst 11 Moduloräkning Gauss 1700-talet n = pq+r skriver vi n = r (mod p) Ex: 17 = 2 (mod 5) Fermats lilla sats: Om p primtal som inte delar a, så är a^(p-1) = 1 (mod p) ex: 3 delar inte ^2=169 = 3x så 13^2 = 1 (mod 3) 12 4

5 Primtal forts Visa att ett tal ej är ett primtal Fermats lilla sats! 13 Varför är primtal intressanta? Publika nycklar! Chiffrera dechiffrera 1970 Merkle, Diffie och Hellman Råttfällefunktion M -> f(m). Dechiffrera = hitta inversen till f 14 RSA-kryptering RSA-systemet: Rivest, Shamir och Adleman Fermats lilla sats! Tag p och q hemliga (stoooora!) primtal Lämna ut n = pq och en avkodningsnyckel E Koda talet B. C = B^E (mod n) - det kodade talet. Dechiffrera: Krävs dechiffreingsnyckel D vald s.a. DE = 1 (mod (p-1)(q-1) ) C^D = B 15 5

6 RSA-kryptering, forts. Hela världen kan känna till n och E p och q hemliga Säkerhet: svårt faktorisera givet tal (pq) i primtal 16 Exempel RSA-kryptering Tag p=11, q=13 11x13 = 143 (pq känt för alla) (p-1) = 10, (q-1) = 12 Välj tal E som saknar gemensam delare med 10 o 12 Exempelvis E=7 känt för alla! Hitta heltal d och y så att 7d 120y = 1. T.ex. (7x103) (120x6) = 1 d (dvs 103 blir den superhemliga dechiffreringsnyckeln) 17 Nu kan vi koda meddelanden Chiffrera 71. Talen 143 och 7 är kända nycklar 71^7 (mod 143) = 124 Skicka talet 124 Dechiffrera: 124^103 (mod 143) = superhemliga nyckeln 18 6

7 Hur gjorde vi? p=11 q=13 11x13=143 (offentligt) (p-1)(q-1) = 10x12 = 120 Välj E ingen gemensam delare med 120 (E=7- offentligt) Hittade 103 och 6 som uppfyller (7x103) (120x6) = 1 Koda ett tal, t.ex 71: Beräkna 71^7 (mod 143) = 124. Skicka 124 Dechiffrea: Beräkna 124^103 (mod 143) = Varför fungerar det? Vi vet att 71^7 = 124 (mod 143), så 71^7 = 143k +124 för något k Alltså är 71^7 = 11x13k+124 = (mod11) och även = (mod13) Det betyder att (71^7)^1037) 103 = 124^ (mod 11) Vi hade valt 103 s.a. 7x103 = x6, så (71^7)^103 = 71^(7x103)=71^(1+120x6) = 71x71^(120x6) = 71x(71^72)^10 11 delar ej 71, så Fermats lilla sats ger att (71^72)^10 = 1 (mod 11) 20 varför det fungerar Alltså är 124^103 = (71^7 )^103 = 71(71^72)^10 = 71x1 (mod 11) dvs 124^ = 0 mod 11 Samma resonemang med 13 ger 124^ = 0 (mod 13) 124 Vi har alltså att 11 och 13 båda delar 124^ Om vi delar 124^103 med 143 (11x13) så resten 71 (ty 124^ = 0 (mod 11x13) 21 7