Finita elementmetoden och handberäkningar

Transkript

1 INSTITUTIONEN FÖR TEKNIK OCH BYGGD MILJÖ Finita elementmetoden och handberäkningar En jämörande studie av beräkningar på väggskivor Daniel Thorsell November 2009 Handledare: Johan Norén Examinator: Jan Akander Examensarbete i Byggnadsteknik, 15 poäng (C nivå)

2 Sammanattning Sytet med detta examensarbete är att undersöka och jämöra två olika beräkningsmetoder när det kommer till beräkningar av väggskivor. Den ena beräkningsmetoden baserar sig på traditionella handberäkningar där anvisningarna i BBK 04 (Boverket 2004) och Betonghandbok Konstruktion (Lorentsen, Mogens, Cederwall, Krister & Östlund, Lars (red.) (1990)) öljs. Den andra metoden baserar sig på inita elementmetoden, och utörs med hjälp av programmet Strusot FEM-Design Wall. Med Finita elementmetoden delas konstruktionen upp i lera små delar, så kallade inita element, som sedan beräknas var ör sig, och sedan sätts alla delarna ihop till ett resultat ör hela konstruktionen. Två olika väggskivor beräknades, en solid väggskiva samt en väggskiva med ett dörrhål i. Vid jämörelsen på den solida väggskivan visade sig resultaten stämma väl överens med varandra. Ungeär lika stor erorderlig armeringsarea erhölls med bägge beräkningsmetoderna. Dock så gav det FEM-baserade programmet en någon större armeringsmängd mätt i kg armering per kubik betong. Vid jämörelsen av väggskiva 2, vilken hade ett dörrhål intill ena stödet, visade det sig att de olika beräkningsmodellerna betraktade konstruktionen på olika sätt, så där gick inte den erorderliga armeringsarean att jämöra på samma sätt. Här jämördes istället de olika armeringsutöranden som erhölls. Att jämöra de olika beräkningsmetoderna direkt mot varandra och säga vilket som gav det bättre resultatet visade sig vara mycket svårt, då det är helt olika metoder. Generellt kan det sägas att de olika metoderna passar bra vid olika tillällen.

3 Abstract The intent o this essay is to perorm a comparison between two dierent methods to calculate wallbeams. The irst method is based on manual calculations perormed according to the Swedish building regulations BBK 04 (Boverket 2004) and Betonghandbok Konstruktion (Lorentsen, Mogens, Cederwall, Krister & Östlund, Lars (red.) (1990)). The second method is based on the inite element method (FEM), and is perormed using the computer program Strusot FEM-Design Wall. With the inite element method the construction is divided into smaller volumes, reerred to as inite elements, which are calculated separately and then joined together to get a calculated result or the whole construction. The calculations were perormed on two dierent wall-beams, one solid, and one containing a door opening. The comparison on the solid wall-beam showed that the two dierent methods resulted in about the same result. Although the calculation o program based on FEM resulted in a little larger amount o rebar measured in kg rebar per cubic meter concrete. On the comparison o the second wall-beam, which contained a door opening near one o the supports, proved that the two dierent methods looked upon the construction dierent ways. Because o this, no comparison o the required amount o rebar could be perormed. Instead the dierent ways o the positioning o rebar were investigated. To make the comparison o the two dierent methods proved to be very diicult, due to the act that these are very dierent. Generally speaking it could be said that the two dierent methods are suitable in dierent situations.

4 Innehåll 1. Inledning Bakgrund Problem Syte och mål Metod Omattning Teoretisk bakgrund Finita elementmetoden (FEM) Byggnadsmaterial Betong Stål Hållasthetslära Mekanik Balkar och upplag Hållasthetsvärden Väggskivor Genomörande Väggskiva Väggskiva Exempel på beräkning av väggskiva med Strusot FEM-design Tolka armeringsmängd Beräkningsgång av väggskiva 1 med handberäkning Beräkningsgång ör väggskiva Resultat Jämörelse av väggskiva Jämörelse av väggskiva Diskussion Resultaten Fel som kan uppstå med FEM Slutsats Reerenser Bilaga

5

6 1. Inledning 1.1 Bakgrund Det blir idag allt vanligare att ingenjörer använder sig av datorbaserade beräkningsprogram när det gäller exempelvis konstruktionsberäkningar. Förattaren av detta arbete har ett gediget intresse ör datorer och dataprogram, samtidigt som denne är intresserad av konstruktionsberäkningar. Förattaren såg detta examensarbete som ett tillälle att lära sig ett datorbaserat beräkningsprogram, samt att örsöka jämöra detta mot handberäknade konstruktionsberäkningar. Det program som använts i detta arbete är Strusot FEM-Design Wall version Strusot FEM- Design Wall ingår som ett av många program de har att erbjuda i sin FEM-Design serie, ör beräkningar av olika konstruktionselement. Det inns även möjlighet att köpa hela paketet med alla olika delarna ör att kunna beräkna hela byggnader i 3D. Strusot FEM-Design Wall kommer hädaneter i arbetet endast benämnas som programmet. Programmet utör konstruktionsberäkningarna med inita elementmetoden, örkortas ota som FEM. Varör beräkningarna valdes att utöras på väggskivor berodde delvis på att ett annat examensarbete pågick samtidigt i vilken det gjorde samma jämörelse men då med betongplattor, så örattaren av detta arbete valde då att utöra jämörelsen på väggskivor istället. Det anns även en önskan rån ett öretag i Gävle att jämöra beräkningar de hade gjort på väggskivor med resultaten rån programmet. Dessa väggskivor visade sig dock vara ör komplicerade ör örattaren att beräkna ör hand, och valdes därör bort rån detta arbete. 1.2 Problem Idag inns det många olika beräkningsprogram ör byggnadskonstruktioner, och det blir ett allt vanligare sätt att arbete. Men hur pålitliga är dessa moderna beräkningsprogram jämört med gamla beprövade metoder? Är traditionell handberäkning bara slöseri med tid när vi har tillgång till kratulla datorer och beräkningsprogram? Hur skiljer sig resultaten rån handberäkningarna med de utörda av datorprogram? Går det över huvud taget att jämöra dessa? 1.3 Syte och mål Sytet är att jämöra de erorderliga armeringsmängder samt armeringsutöranden som ås ut av beräkningarna. På detta sätt hoppas örattaren kunna se om och hur resultaten skiljer sig. Ambitionen är inte att avgöra huruvida programmet räknar rätt eller el, eller avgöra om det är bra eller dåligt, utan snarare undersöka hur de två beräkningsmodellerna skiljer sig. 1.4 Metod Förattaren var örst tvungen att lära sig att arbeta i programmet Strusot FEM-design Wall ungerade. Detta tog längre tid än beräknat då det inte anns någon bra manual att tillgå. Med hjälp av den digitala manualen som inns i programmet, mycket självinlärning och hjälp rån Strusot support så skaade sig tillslut örattaren tillräckliga kunskaper ör att kunna utöra enklare beräkningar i programmet. Tyvärr hade örattaren endast tillgång till programmet i början av arbetets gång, och har därör inte kunnat utöra uppöljande beräkningar varteter arbetet har ortskridit, vilket kanske hade varit nödvändigt ör ännu noggrannare resultat. 5

7 Det var även nödvändigt att lära sig att räkna på väggskivor med handberäkningar då detta inte var något som ingått i utbildningen som byggnadsingenjör, och därör inörskaades litteratur om detta där de rämsta källorna var BBK 04 (Boverket 2004) och Betonghandbok konstruktion (Lorentsen, Mogens, Cederwall, Krister & Östlund, Lars (red.) (1990)). Speciellt exempel 6.6:4 i Betonghandboken räknades ett lertal gånger ör att örsöka örstå den avancerade beräkningsmodellen av en väggskiva med hål nära ena upplaget. Program som använts under arbetet: Strusot FEM-Design Wall v , Autocad Architecture 2009, Microsot Word 2007, Microsot Excel Omattning I detta arbete kommer två väggskivor att jämöras. En med ett dörrhål och den andra utan dörrhål. Väggarna kommer endast utöras i en våning samt vara ritt upplagda på två stöd. De resultat som kommer jämöras inneattar endast erorderlig armeringsmängd samt armeringsutörande. Figur 1. Väggskiva utan dörrhål. Figur 2. Väggskiva med dörrhål. 6

8 2. Teoretisk bakgrund 2.1 Finita elementmetoden (FEM) Finita elementmetoden är idag den överlägset mest använda tekniken ör datorbaserad analys av problem inom hållasthetsläran. Den introducerades på 1950-talet av ingenjörer inom lygindustrin, ör att kunna beräkna avancerade problem som exempelvis lutlödet över vingarna samtidigt som dess deormationer undersöktes. Metoden bygger på att ett område delas upp i mindre delområden, inita element, vilka sedan beräknas var ör sig genom att man undersöker deras nodörskjutningar. Ju ler element konstruktionen delas upp i desto större noggrannhet erhålles ur resultatet. Vid komplicerade konstruktioner kan systemet innehålla lera tusen, eller ler, obekanta och generera enorma matriser vilka i princip är omöjliga att lösa ör hand, men med dagens kratulla datorer kan nu sådana konstruktioner beräknas. Man bör komma ihåg att inita elementmetoden endast ger en approximativ lösning. Lösningarna är därör aldrig exakta och innehåller alltid ett visst el. Det går att minimera elet på olika sätt, men man kan aldrig å ut den exakta lösningen. Val av beräkningsmodell, elementgeometri samt tolkning av resultaten är något som till stor del spelar in på resultaten då beräkningarna görs (Samuelsson och Wiberg, 1988). Mer om detta tas upp under kapitel 5.2. För approximationen används unktioner som bara är deinierade i en liten punkt av domänen, och genom att lägga ihop dessa unktioner kan man börja approximationen ör hela domänen (Pro. C.S.Uppadhay Department o Aero Space IIT Kanpur). Med inita elementmetoden beräknar således en massa små punkter i konstruktionen och sätter sedan ihop det till ett resultat. 7

9 2.2 Byggnadsmaterial Betong Betong är ett material bestående av rämst cement, ballast och vatten. Betong är mycket bra på att ta upp tryckkrater, men sämre på att ta dragkrater. Betong kan endast ta ca 1/10 så mycket dragkrat som tryckkrat. Därör inlägges otast armeringsjärn ör att ta upp de dragkrater som uppstår i en betongkonstruktion. Hållastheten, och då rämst tryckhållastheten är betongens mest provade egenskap. Detta beror på att tryckhållastheten ger en god bild av betongens allmänna kvalitet. Tryckhållastheten anges i Sverige i regel som kubhållasthet, provad på kuber med 150 mm sidlängd. Alternativt kan man bestämma cylinderhållasthet genom provning av cylindrar med en diameter på 150 mm och höjd 300 mm. Cylinderhållastheten uppgår till ca 80-90% av kubhållastheten. Den nya europastandarden använder båda metoderna (Burström, 2007). Betongens hållasthetsklass benämns ota som exempelvis C25/30, där den örsta siran anger hållasthetsörmågan ör en cylinder, 25 MPa, och den andra siran ör en kub, 30 MPa. Ibland kan hållastheten skrivas enligt den äldre standarden, och benämns då exempelvis K30, där den beskriver hållastheten hos en kub, i detta all 30 MPa. Således motsvarar den äldre standarden K30 den nya C25/30. Betongkonstruktioner är nästan alltid armerade med armeringsstänger. Dessa inlägges i konstruktionen med ett visst skyddande lager av betong utanpå, kallat täckskikt. Täckskiktet brukar betecknas u. Då tvärsnittet av en betongbalk ska beräknas bestäms det utav tre storheter, bredden b, eektiva höjden d, och armeringsarean As. Den eektiva höjden på en betongbalk mäts rån överkant på balken till armeringsareans tyngdpunkt. Avståndet rån armeringens tyngdpunkt till det undre armeringslagrets betecknas med a. Den eektiva höjden kan då betecknas som d h u a (se igur 3). Figur 3. Tvärsnitt av betongbalk där eektiva höjden d beskrivs. 8

10 2.2.2 Stål Stål är benämningen på material med grundämnet järn som huvudbeståndsdel, ramställt genom en smältprocess och med en kolhalt som inte överstiger 1,8 viktprocent. Stålets dragegenskaper karakteriseras bäst av en arbetskurva. Arbetskurvan och värdena bestäms genom dragprovning av små provstavar (Burström, 2007). Armeringsstålets bärörmåga bestäms av dess sträckgräns yk (se kap ). 2.3 Hållasthetslära Mekanik En krat är en vektorstorhet som karaktäriseras av storlek, riktning och angreppspunkt. Krat mäts i enheten Newton [N] och betecknas ota med versalen F. Ett kg motsvarar 9,82 N. Krat kommer ota benämnas som last i denna uppsats. En krat som verkar på en kropp ger ett moment. Moment är en vridverkan med avseende på en axel genom en godtycklig punkt. Momentet ås genom att multiplicera kraten med dess hävarm, som är det vinkelräta avståndet mellan kratens verkningslinje och punkten (Heyden, Dahlblom, Olsson och Sandberg, 2007). Moment anges i enheten Newtonmeter [Nm]. En krat som verkar parallellt med snittytan kallas ör tvärkrat och betecknas ota med versalen V. Spänning är termen ör negativt tryck och mäts i enheten Pascal [Pa]. Spänning deinieras som kraten dividerat på arean och betecknas med den grekiska bokstaven σ. F A Balkar och upplag Ett konstruktionselement som är långt i örhållande till sina tvärsnittsmått och belastat vinkelrätt mot sin längdriktning kallas ör en balk. Den transversella lasten ger upphov till böjning av balken. Om konstruktionselement ska deinieras som balk har att göra med hur det belastas. Samma långsträckta konstruktionselement kan kallas stång om det utsätts ör drag, eller axel om det utsätts ör vridning. Balkar är vanligt örekommande i olika konstruktioner och kan bestå av olika material, exempelvis betong, trä och stål. Vid böjning belastas en balk vinkelrätt mot balkaxeln. Lasterna kan vara koncentrerade eller utbredda. En koncentrerad last, även kallad punktlast, antas angripa i en diskret punkt. Inga verkliga laster angriper i en diskret punkt, men punktlast är en idealisering som är lämplig att använda ör laster som angriper på ett litet område(heyden, Dahlblom, Olsson och Sandberg, 2007). Punktlaster beskrivs ota med versalen P och mäts i Newton [N]. En utbredd last, även kallad linjelast, som antas verka längs en linje kan variera längs med balken eller ha ett konstant värde. En linjelast brukar deinieras av gemenen q och mäts i Newton per meter [N/m]. En balks egentyngd kan antas vara jämt utbredd längsmed hela balken. Det inns olika typer av upplag på vilka balken vilar. De två som blir aktuella i detta arbete är rullager och ixlager. Rullager: I ett rullager kan balken röra sig ritt i horisontalled men är astlåst i vertikalled. Balken är ri att rotera i ett rullager. Den enda upplagskrat som kan innas i ett rullager är en vertikalkrat. 9

11 Fixlager: Vid ett ixlager hindras balken rån att röra sig i vertikalled och horisontalled, men balken kan ritt rotera i upplagspunkten. De upplagskrater som kan innas i detta upplag är vertikalkrat och horisontalkrat. Vid upplag uppkommer upplagskrater, även kallat reaktionskrater, och brukar betecknas med versalen R [N]. Reaktionskraterna är uppåtriktade krater vilka är lika stora som den nedåtriktade kraten som verkar på dem Hållasthetsvärden De viktigaste aktorerna vid beräkning av bärörmåga eller deormationer hos en konstruktion är hållasthets- och styvhetsvärden ör konstruktionsmaterialet. Till hållasthetsvärden räknas i örsta hand materialets lytgräns eller brottgräns ör tryck, dragning eller böjning. Brottgränsen deinieras som den spänning varvid brott sker på materialet. Flytgränsen deinieras som vid vilken spänning materialet ortsätter att töjas utan att ytterligare spänning påverkar materialet. Nedan visas en s.k. arbetskurva ör stål med ett lytområde, och där töjningen representeras av tecknet ε. Figur 4. Arbetskurva ör stål. Vilka hållasthetsparametrar som är aktuella varierar med vilket material det avser. De material som behandlas i detta arbete är betong och stål. Nedan redovisas vilka hållasthetsvärden som är aktuella ör de två materialen. Betong- brottgräns vid tryck ( ccd ), brottgräns vid drag ( ctd ) Stål- brottgräns vid drag ( std ) De inom parantes angivna örkortningarna används ör att ange dimensioneringsvärden ör de olika materialen vid drag och tryck. Den örsta nedsänkta bokstaven anger materialet. C står ör concrete (betong), och s ör steel (stål). Vidare anger den andra nedsänkta bokstaven typen av krat som påverkar materialet, c ör compression (tryck), och t ör tension (drag). Den sista nedsänkta bokstaven d anger att det är det dimensionerande värdet, alltså värdet hållasthetsberäkningarna utgår rån. Enligt BBK 04 (Boverket 2004), ska dimensionerande värdet d bestämmas ur sambandet d k * m * n 10

12 Där k är materialets karakteristiska hållasthetsvärde, och ås ur tabell. η är en aktor som tar hänsyn till systematiska skillnader mellan hållastheten i en provkropp och i en konstruktion. γ m är en partialkoeicient som tar hänsyn till osäkerheter i hållasthetsvärden osäkerheter i värden ör tvärsnittsmått osäkerheter i beräkningsmodeller I brottgränstillståndet sätts produkten η*γ m ör betong lika med 1,5 vid bestämning av hållasthetsvärde. För armering sätts motsvarande produkt η*γ m lika med 1,15 vid bestämning av hållasthetsvärde. Värdet på γ n beror av säkerhetsklassen. Säkerhetsklass 1 γ n = 1,0 Säkerhetsklass 2 γ n = 1,1 Säkerhetsklass 3 γ n = 1,2 2.4 Väggskivor I lervåningshus är det ibland önskvärt att ha stora ria ytor i bottenplan, ör exempelvis aärslokaler eller liknande. Ett sätt att åstadkomma detta är att utöra väggarna i våningen ovanör av betong och lägga dem på pelarstöd. Dessa väggar kommer då att ungera som höga balkar, och kallas ota ör väggskivor eller väggbalkar. Väggbalkar/väggskivor deinieras som ett plant ytbärverk där de huvudsakliga kraterna upptas i det egna planet, och som kännetecknas av att de har betydligt större styvhet i detta plan än vinkelrätt mot det. Det örekommer två olika typer av väggskivor, dels höga balkar som bärs upp av två eller lera stöd, och dels horisontalstödda skivor, ota kallade laggor eller laggbalkar, vilka endast bärs upp av ett upplag och balanseras med horisontalkrater rån anslutande bjälklag. I detta arbete kommer endast den örstnämnda typen av väggskivor att undersökas. För att en balk ska å betraktas som en hög balk måste öljande krav vara uppyllt: M hv Där 0 0 1,5 M 0 V 0 h är största böjande moment i betraktat spann under örutsättning av ri uppläggning vid båda stöden är största tvärkrat vid upplag, beräknad under samma örutsättning som M0 är total höjd 11

13 Den teoretiska spännvidden ör en skiva är avståndet mellan upplagens centra. Den verksamma höjden h, sätts lika med den verkliga höjden, dock högst lika med den teoretiska spännvidden. Laster som angriper under den verksamma höjden örs upp med särskild upphängningsarmering, ovanör den verksamma höjden där den örankras. Vid dimensionering av höga balkar kan upplagsreaktionerna och momentördelningen beräknas som ör ordinära balkar. Höga balkar är dock känsliga ör stödörskjutningar på varvid de beräknas med vissa säkerhetsmarginaler. Endast vid grundläggning på berg eller annan grundläggning där endast små stödörskjutningar kan väntas, beräknas stöden som oetergivliga. För att utöra beräkningar med säkerhetsmarginaler sätts de dimensionerande upplagsreaktionerna lika med 1,1 gånger de beräknade upplagsreaktionerna (Boverket, 2004). Det inns även andra säkerhetsmarginaler som ska öljas, men inga av dem blir aktuella i detta arbete då endast väggskivor ritt upplagda på två stöd kommer att beaktas. Den inre hävarmen z, är avståndet mellan ältarmeringens tyngdpunkt, och tryckresultanten i väggskivan. Fältarmeringen inlägges inom den nedersta järdedelen av den verksamma höjden h. När en väggskiva belastas uppstår det en s.k. tryckbåge i skivan som kan tänkas ungera ungeär som ett valv. Ovan tryckbågen uppträder tryckkrater inom skivan, och under tryckbågen uppträder dragkrater. Hål kan tas upp i skivan utan större komplikationer så länge de inte skär tryckbågen. Skulle hålet skära tryckbågen krävs mer komplicerade beräkningar ör att beräkna armeringsmängderna runt hålet. Hur dessa beräkningar utöres beror även på var i skivan hålet är. Ligger hålet i mitten eller nära mitten kan en modell ör två laggbalkar vilka stöttar varandra tillämpas, medan om hålet ligger nära ena upplaget kan en annan modell användas vilken beskrivs i kap Figur 5. Tryckbåge som uppstår då en väggskiva belastas. 12

14 3. Genomörande Två väggskivor beräknades både ör hand och med hjälp av programmet, och däreter jämördes resultaten. Väggskivorna benämns väggskiva 1 och väggskiva 2. Väggskiva 1 var en vanlig solid väggskiva utan slutande bjälklag, medan väggskiva 2 hade anslutande bjälklag upp- och nedtill samt ett dörrhål som skär tryckbågen. 3.1 Väggskiva 1 Figur 6. Väggskiva 1 Materialdata: Betong C 25/30 Säkerhetsklass 3 Armering B500B ccd = 13,9 MPa ct = 0,94 MPa st = 362 Mpa q 1 =80 kn/m q 2 = 80 kn/m 13

15 3.2 Väggskiva 2 Figur 7. Väggskiva 2 Materialdata: Betong C 25/30 Säkerhetsklass 3 Armering Ks 400 ccd = 10,0 MPa ct = 0,78 MPa st = 303 Mpa q 1 =80 kn/m q 2 = 80 kn/m 3.3 Exempel på beräkning av väggskiva med Strusot FEM-design Nedan öljer ett exempel på hur en väggskiva ritas upp och beräknas i programmet. Alla bilder i detta kapitel är skärmdumpar tagna rån programmet. Väggskivan samt de anslutande bjälklagen är av betongklass C25/30. Tjockleken på själva väggen är 0.2 m, och på bjälklagen är tjockleken 1 m. 14

16 Då programmet örst startas så kommer en örrågan om vilka byggnormer och regler som ska öljas. Där inns ett lertal olika länders regelverk att välja mellan, samt eurokordan. Alla tester i detta arbete är utörda under det svenska regelverken BBK 04 och BSK 99. Detta gör att programmet öljer det regelverk som välja, och varnar vid eventuella avvikelser. I programmet ritas konstruktionen upp under liken structure. Till att börja med ställs egenskaperna in ör väggen i Wall properties. Där väljs betongkvalitén till C25/30, samt säkerhetsklassen till 3. Det inns även andra inställningsmöjligheter att ändra på, men dessa år stå kvar på de örinställda värdena. 15

17 Nu ska de anslutande bjälklagen upp- och nedtill ritas upp. Detta görs genom att mata in koordinaterna ör där bjälklagen börjar och slutar. Koordinaterna utgår rån punkt 0,0. Den örsta siran anger position i x-led, den andra siran position i y-led. Det undre och övre bjälklaget ritas upp som rektanglar, varör knappen rectangular måste vara vald i verktygsältet ör väggen. Tjockleken på det som ska ritas upp ställs in under t1, här valt till 1 m. Det undre bjälklaget ritas upp genom att koordinaterna 0,0 örst matas in ör att ange var det börjar, däreter matas koordinaterna 4.8,0.150 in ör att ange var bjälklaget slutar. Notera här att delmetrar avskiljs med en punkt. 16

18 Nu ska själva väggen ritas upp mellan bjälklagen. Detta görs genom att knappen pologynal väljs. Väggen ritas upp genom att använda både koordinater och snap-verktyget. Knappen end-point måste vara vald i verktygsältet snap. Väggen börjar ritas upp i det övre vänstra hörnet av det undre bjälklaget genom att klicka där (1.). Snap-verktyget end-point örsäkrar att den ansluter exakt vid hörnet. Nästa punkt placeras ut genom att ange koordinater. För att ansluta punkt (2.) Genom att sätta ramör koordinaterna så utgår programmet rån den punkt som senast anslöts, dvs programmet tolkar den senaste anslutna punkten som koordinat 0,0. Från punkt (2.) ansluts punkt resterande genom att öljande koordinater Däreter ansluts punkt (6.) (7.) och (8.) genom att klicka i hörnen, och slutligen tillbaka i punkt (1.). Nu är väggen med ett dörrhål uppritad. 17

19 Nästa steg är att deiniera stöden ör skivan. Stöden kan väljas så att de endast ger stöd i en riktning (rullager), eller i två riktningar (ixlager). För att kunna beräkna väggskivan som en ritt upplagd balk väljes ett rullager och ett ixlager. För rullagret väljs Line support, och ör ixlagret väljs Line support group. Upplagen har en bredd på 0,3 m. Med Straight line verktyget valt, ritas stöden in med hjälp av koordinater och genom att klicka med snap-verktygen. 18

20 Nästa steg är att deiniera lasterna på väggskivan vilket görs under liken Loads. Genom att trycka på knappen längst till vänster, Load cases ås denna ruta upp där olika lastall kan skrivas in. I detta all används endast ett lastall (Lastall1) ör enkelhetens skull. Väljer användaren +Dead load under Type kommer programmet automatiskt ta med egentyngen av väggen i beräkningen. Men i detta allet väljs Ordinary, så programmet bortser rån väggens egentyngd. Nu kan laster appliceras på konstruktionen. I detta all väljs två linjelaster som angriper på det övre och undre bjälklaget. Genom att klicka på knappen Line load ås rutan med egenskaperna ör linjelasten upp. Här kan det ställas in hur stor lasten ska vara, om den ska vara jämt utbredd eller inte, samt vilket lastall lasten ska tillhöra. Här ställs lasten in på 80 kn/m, och att den ska vara jämnt utbredd, dvs. q 1 och q 2 är lika stora, samt ingå i Lastall 1. 19

21 Genom att välja Line by selection och sedan klicka på den övre linjen på de bägge bjälklagen på placerar programmet ut linjelasterna uteter bägge dessa. På det undre bjälklaget måste det klickas på linjen i dörrhålet ör att lasten ska täcka hela det undre bjälklaget. Klicka sedan på knappen Load combinations uppe i verktygsältet ör att å upp önstret med de olika lastkombinationerna. Här kan det ställas in olika lastkombinationer samt en aktor på dessa, ör att programmet ska kunna räkna ut den mest ogynnsamma lastkombinationen. Återigen så är detta ett mycket örenklat exempel med endast ett lastall, Lastall 1, vars aktor är 1,0. 20

22 För att kunna beräkna väggen väljs antigen liken Analysis eller RC design. Under liken Analysis beräknas de krater som uppstår i skivan, medan beräkningarna under liken RC design beräknar både de krater som uppstår, samt erorderlig armeringsmängd. Därör utöres beräkningarna här under RC design. Under liken RC design ställs armeringsegenskaperna in genom att örst trycka på knappen Wall reinorcement och däreter på knappen ör egenskaperna. Här väljs armeringen att placeras centriskt i väggen. Görs inte detta måste den erorderliga armeringsmängd som ås ut multipliceras med två. Typ av armeringsjärn samt dess diameter ställs också in här, men dessa år i detta all stå kvar på de örinställda inställningarna, dvs. armeringsjärn av typen B500B samt en armeringsdiameter på 10 mm. När detta är klart kan beräkningen börja. Genom att trycka på knappen Calculate ås ett önster upp där de resultat som önskas erhållas kan kryssas i. Här väljs Design och Load combinations ör att å ut eroderlig armeringsmängd med den valda lastkombinationen Kombination 1. För att beräkningen ska börja klicka på OK. 21

23 Själva beräkningen tar endast några sekunder. Skulle något avvika rån bestämmelserna i ex. BBK 04 varnar programmet ör detta. I allet här varnade programmet ör att ör stor armeringsmängd uppnåtts enl. BBK: Programmet visar även var det är ör stor armeringsmängd med en pil. Denna varning uppkommer då armeringen valts att placera centralt mitt i väggen, och kan bortses rån då den slutgiltiga armeringen kommer placeras i två lager. Genom att klicka på continue så ignorerar programmet varningen och beräkningen ortsätter. 22

24 Genom att klicka på knappen New result ås ett önster upp där det kan väljas vilken typ av resultat som ska visas. Här väljs att erorderlig armeringsarea i x-led ska visas i orm av en Colour palette. Här är de resultat som erhållits ur denna beräkning. Ju rödare ält desto mer armering krävs. 23

25 3.4 Tolka armeringsmängd Nedan öljer ett exempel på hur armeringsmängden som erhållits ur programmet ska beräknas. Under dörrhålet erhålles en erorderlig armeringsarea på 5153,78 mm2/m. Figur 8. Erorderlig armeringsarea under dörrhål. Figur 9. Höjden på området som påverkas. Detta ska sedan multipliceras med höjden på det områden som påverkas, i detta allet 0,15 m. Däreter ska resultatet delas på två då ördelningen är triangulär. Avståndet 0,15 m är till den punkt där erorderlig armeringsarea är noll. Det resultat som erhålles blir då: 24

26 5153,78 * 0,15 386,53mm 2 2 Det krävs alltså 386,53 mm 2 armering under dörrhålet i detta all. 25

27 3.5 Beräkningsgång av väggskiva 1 med handberäkning Väggskiva enligt igur 10 ska beräknas. Figur 10. Väggskiva 1. Betong C 25/30 Säkerhetsklass 3 Armering B500B ccd = 13,9 MPa ct = 0,94 MPa st = 362 MPa Verksamma höjden, h, på denna väggskiva är 3 meter. Spännvidden är 4,5 meter. Väggtjockleken är 0,2 meter q 1 =q 2 = 80 kn/m Betongens egentyngd antas ingå jämnt ördelad i q 1 och q 2. q tot = 160 kn/m 26

28 Maximal tvärkrat beräknas: R a = R b = V 0 = 160*4,5 360kN 2 Maximalt ältmoment beräknas på samma sätt som ör en ritt upplagd balk: M = M 0 = 2 160* 4, kNm Skivan år räknas som hög balk etersom: M 0 h V *360 0,375 1,5 Inre hävarm Däreter ska den inre hävarmen z beräknas, örst måste dock eektiva höjden d beräknas. Enligt betongbestämmelserna ska ältarmeringen placeras inom den nedersta järdedelen av den verksamma höjden. Fördelas armeringen jämnt över detta område innebär detta enligt Byggkonstruktion 3 (Langesten 1995), att eektiva höjden kan beräknas som: 0,25h d h 0, 875h 2 Vilket i detta all ger d 0,875*3 2, 625m M 0 Etersom i detta all 1 bör hänsyn tas till var lasten angriper på skivan vid beräkning h V av z enligt BBK 04 (Boverket 2004). Vid last i överkant gäller z M 0 (0,65 0,2 h V ) Vilket i detta all ger 405 z ( 0,65 0,2 ) d 0, 725d 3* d 27

29 Vid last i underkant gäller z M 0 (0,45 0,4 h V ) 0 d Vilket i detta all ger 405 z ( 0,45 0,4 ) d 0, 6d 3*360 Däreter görs en proportionering med hänsyn till lasterna z 0,5(0,725d 0,600d) 0,6625d 1, 74m Horisontell armering Böjarmeringen kan nu beräknas: A s z M st 3 405*10 643mm 1,74* mm 2 horisontell armering ska alltså placeras inom den nedersta järdedelen av skivan. Om Vd, max th ct, där t är balkens livtjocklek, inläggs i hela acket och över hela verksamma höjden en horisontell armering motsvarande armeringsmängden: h ct st I detta all 360kN 0,2*3*0,94* kN, så ingen övrig horisontell armering krävs. Om i en balk upplagd på två stöd M 2 0, th inläggs rån balkens underkant upp till 0,5 h en 0 5 armering motsvarande armeringsinnehållet I detta all ct 2 h, oavsett värde på V d,max kNm 0,5*0,2*3 *0,94*10 846kNm, så ingen övrig horisontell armering krävs. Vertikal armering Upphängningsarmeringen ska, som tidigare nämnts, öra upp de laster som angriper under verksamma höjden. I detta all gäller det q 1. 28

30 3 q1 80*10 2 A 221mm m s 362 / st Om Vd, max th ct krävs övrig vertikal armering motsvarande armeringsinnehållet I detta all v ct st 360kN 0,2*3*0,94* kN ingen övrig vertikal armering krävs. Skulle övrig vertikal armering krävas måste även öljande beaktas. Inom balkdel där den dimensionerande tvärkraten överstiger motsvarande V d,max 3 måste kratigare vertikalarmering inläggas V,max 1 V,max h ct d d v * st th ct 2 M 0 Ingen av den övriga vertikala armering bör medräknas som upphängningsarmering. Maximal tvärkrat För att örhindra tryckbrott i balkens liv begränsas maximal tvärkrat enligt: V 0, 25 d, max cc th I detta all 3 360kN 0,25*13,9*10 *0,2*3 2085kN, det inns ingen risk ör tryckbrott i balklivet. Figur 11. Exempel på hur armeringen inlägges i en väggskiva. 29

31 3.6 Beräkningsgång ör väggskiva 2 Hela beräkningsgången ör denna väggskiva är väldigt komplicerad och kommer därör inte gås igenom här. Istället kommer en örenklad örklaring ges ör att örsöka ge läsaren en bild av hur beräkningsörloppet sker. För den kompletta beräkningsgången hänvisas till Betonghandbok (Lorentsen, Mogens, Cederwall, Krister & Östlund, Lars (red.) (1990)) Exempel 6.6:4. Följande bör iakttas: - Tvärkraten i snitt genom hålet bärs helt av balken över hålet - Tvärkraten strax till vänster om hålet antas angripa i underkant på väggbalken och lyts med armering till överkant väggbalk. - Momentördelningen i ramen som på tre sidor omger hålet bestäms enligt elasticitetsteorin. - Tvärkratskapaciteten i ramstängerna kontrolleras enligt BBK Armeringen bör utgöras av vertikala och horisontella stänger. Upplagskrater, moment, inre hävarm, böjarmering och upphängningsarmering beräknas på samma sätt som ör en väggskiva utan hål. Däreter beräknas de moment som uppstår i punkt 2, 3 och 4, samt horisontalkraten H. Normalkraterna i del 2-3 och 3-4 undersöks. Moment med avseende på armeringen beräknas sedan genom att momentet adderas till summan av normalkraten multiplicerat med avståndet till armeringen. M s M N * l 2 2 Figur 13. Tvärsnitt av del 2-3 där M2 angriper. Momentet med avseende på armeringen ger upphov till en dragkrat i armeringen (F s ). Denna dragkrat jämörs sedan mot normalkraten i samma del, då dessa motverkar varandra. Skulle dragkraten överstiga den motverkande normalkraten räknas en erorderlig armeringsarea ut som ska ta upp den överstigande kraten. F s, res F N s A s F s, res st Figur 12. Del av väggskivan vid dörröppning. Tvärkratskapaciteten i del 2-3 och 3-4 beräknas enl. BBK 04 (Boverket 2004) kap. 3.7 och armeras däreter. 30

32 Området ovanör och till höger om dörrhålet beräknas som en ram med två stänger, där den är ritt upplagd i punkt 2. Snitt tas även i övre vänstra dörrhörnet ör att beräkna erorderlig armeringsarea där, samt till vänster om dörrhålet ör att beräkna armeringen där som ska öra upp tvärkraten som angriper i underkant. 31

33 4. Resultat 4.1 Jämörelse av väggskiva 1 För denna väggskiva är det aktuellt att undersöka erorderlig böjarmering samt upphängningsarmering. Ingen övrig armering behövs här enl. BBK 04 (Boverket 2004). Skivan är densamma som beräknades i kapitel 3.5. Böjarmering (x-led): Mitt under balken antas maximala momentet uppträda och böjarmeringen dimensioneras eter detta. Handberäkning ger en erorderlig armeringsarea på 643 mm 2. Ur programmet erhålles öljande resultat: Mitt under balken erhålles 913,42 mm 2, och verkar på en höjd av 1,35 m. Detta ger: 913,42*1, ,56mm 2 Figur 14. Erorderlig armeringsmängd i x-led. Upphängningsarmering (y-led): Handberäkningar ger en erorderlig armeringsarea på 221 mm2/m. Ur programmet erhålles en något underlig ördelning av upphängningsarmeringen. Men i mitten av balken är det ändå en ganska jämn ördelning på mellan mm 2 /m. Varör det uppstår två områden intill stöden där det krävs nästan em gånger mer armering är oklart. Figur 15. Erorderlig armeringsmängd i y-led. Handberäkning FEM-Design Böjarmering 643 mm2 617 mm2 Upphängningsarmering 221 mm2 ca. 246 mm2 Figur 16. Resultat rån jämörelsen av väggskiva 1. 32

34 En jämörelse gjordes även på den totala vikten av den erorderliga armeringsarean. Denna mäts i kg armering per m 3 betong. Uteter resultaten av handberäkningarna valdes ett jämnt antal armeringstänger, och deras örankringslängder beräknades. Den extra längd på upphängningsarmeringen som örankringen i underkant ger beräknades enl. BBK 04 kap (Boverket 2004). En armeringsdiameter på 12 mm valdes till både böjarmeringen och upphängningsarmeringen. Den totala längden av armeringsstängerna multiplicerades sedan med vikten ör kamstänger av stålsorten B500BT, vilket togs ur en produktkatalog rån Celsa Steelservice ( Tillsist dividerades vikten av armeringen med volymen betong. Hela denna beräkning återinns i Bilaga 1. Handberäkning FEM-Design Vikt armering [kg/m 3 ] 28,5 30 Figur 17. Resultat rån jämörelsen av väggskiva 1. 33

35 4.2 Jämörelse av väggskiva 2 Figur 18. Väggskiva 2 beräknad i programmet. Här skiljer sig resultaten en hel del mellan handberäkningarna och FEM baserade beräkningar. Detta beror på de sätt vilket de olika beräkningsmodellerna betraktar och beräknar konstruktionen. Därör kommer ingen jämörelse av erorderlig armeringsarea att göras här, likt den på väggskiva 1. Istället kommer armeringsutörandet att undersökas närmare. Vid traditionella handberäkningar örenklas beräkningarna något. Vid beräkning av böjarmeringen och upphängningsarmeringen bortses det helt rån hålet, och skivan beräknas som att hålet ej anns där. Det visade sig att programmet tänker sig ett annorlunda armeringsutörande än vad som erhålles av handberäkningarna. Då denna skiva beräknas ör hand och armeringen runt dörrhålet ska beräknas bortses det helt rån området under dörrhålet och beräkningarna utöres som att detta område inte anns. Vid armeringsutörande enligt traditionella handberäkningar armeras det strax till vänster om dörrhålet med vertikal armering ör att öra upp den tvärkrat som antas angripa där till överkant balk, enl. igur 19. I denna igur visas endast den extra armering som krävs vid områden runt dörrhålet. Programmet verkar dock beräkna ett annat armeringsutörande, där det armeras under själva dörrhålet i x-led ör tvärkraterna som angriper där, och sedan ör upp den till överkant på balken via vertikal armering till höger om dörren enl. igur 20. Även i denna igur visas endast den extra armering som krävs vid området runt dörrhålet. 34

36 Figur 19. Armeringsutörande enligt handberäkningar. Figur 20. Armeringsutörande enligt programmet. 5. Diskussion Att göra denna jämörelse visade sig svårare än jag trodde. Mycket jobb har lagts ner ör att lära mig att utöra handberäkningar av väggskivor med hål i. Den stora bristen på litteratur om detta har varit en av de största svårigheterna. I stort sett har jag endast kunnat hitta ett exempel på detta i betonghandboken (Lorentsen, Mogens, Cederwall, Krister & Östlund, Lars (red.) (1990)). Sedan att detta exempel är svårberäknat och inte örklarar alla delmoment gjorde det hela ännu svårare. Runt dörrhålet armeras betongen ör att örhindra avslitning av området runt dörren. Armeringen kommer då att ungera lite som en vertikal ram, och hörnmomenten beräknas med modiierade ramormler. Det krävs örmodligen stor erarenhet av konstruktionsberäkningar ör att ullt ut örstå alla delmoment i det exempel. En svår del i denna jämörelse var de olika sätt handberäkningarna utöres på, jämört med hur programmet arbetar. Med handberäkningarna görs en mer generell beräkning, där man år ram erorderlig armeringsarea ör vissa områden (se ig. 9). Programmet räknar ut exakt i varje punkt hur mycket armering som krävs, sedan är det själv upp till användaren att tolka och generalisera dessa resultat. Den digitala manual som öljer med programmet gäller ör alla delarna i Strusot FEM-Design, där delen Wall endast tas upp i ett litet kapitel, och dessutom då som en del av hela paketet vilket gör att menyer osv. inte alltid stämmer överens med den version jag arbetat med. Detta gjorde hela arbetet med att lära sig programmet svårare. Strusot erbjuder utbildningskurser ör de som köper programmet, vilket örmodligen är ett mycket lättare sätt att lära sig programmets alla unktioner. Ett annat problem som uppstod var hur man ska rita upp väggskivan i programmet, ör att den ska beräknas på samma sätt som handberäkningarna. Således har linjelasterna ritats upp att gå rån centrum till centrum på varje stöd, ör att imitera de bilder och beräkningarna som jag öljt i böcker. De anslutande bjälklagen upp- och nedtill är något jag också experimenterat mycket med. Många tester har utörts med olika tjocklek på bjälklagen ör att se hur resultaten skiljer sig. Ju tjockare bjälklagen gjordes, desto mer armering krävdes det. Eter mejlkontakt med Strusot support så ick jag reda på att tjockare bjälklag drar till sig mer spänningar, och kräver därör mer armering. Vid rågan på hur tjocka de anslutande bjälklagen ska göras ör att simulera ett verkligt all ick jag till svar att man då skulle undersöka spänningsördelningen i plattan på de anslutande bjälklagen, men 35

37 om de skulle simulera ett bjälklag som ska tas med i beräkningen bör de ritas upp med en bredd om ungeär en meter. Väggskiva 2 ritades örst upp med en tjocklek på båda de anslutande bjälklagen av en meter. Detta gav dock mycket stor erorderlig armeringsarea i det undre bjälklaget. För att bättre simulera det all som jämörelsen gjort mot, exempel 6.6:4 i betonghandbok konstruktion, gjordes det undre anslutande bjälklaget lika tjockt som väggen, medan det övre behöll sin tjocklek på en meter då detta bjälklag tas med i beräkningen av betongens tvärkratskapacitet ovanör dörrhålet. Den erorderliga armeringsarean som ås ur programmet varierar något beroende på vilken diameter man väljer på armeringsjärnen. Detta var också något som jag underade över länge innan jag insåg att programmet räknar ut ett jämnt antal stänger beroende på vald diameter. Detta har ju både sina ör- och nackdelar. Nackdelen är den att om man inte uppmärksammar detta så kan man å onödigt stora armeringsmängder. På de sätt jag är van att arbeta beräknar man örst ut en erorderlig armeringsarea och däreter väljer man en diameter på armeringsjärnen. Fördelen med detta är att programmet snabbt och enkelt kan räkna ut ett jämnt antal stänger med en viss diameter om man redan innan har klart ör sig vilken diameter man tänker använda på armeringsjärnen. Vill man å ut erorderlig armeringsarea utan att programmet ska räkna uteter någon viss diameter så år man helt enkelt ställa in att programmet ska räkna eter en stångdiameter på endast en millimeter, även då sådana inte existerar. Att tolka armeringsmängderna som erhålles visade sig vara bland det svåraste med programmet. Då programmet räknar så exakt i varje punkt måste man dra en sektionslinje, multiplicera med höjden den verkar på och sedan dela på två. I teorin låter detta enkelt, men då ördelningen sällan är helt triangulär uppstår problem. Likaså vilken del av armeringsareorna man ska dimensionera eter. Man kan å lokala maxvärden som verkar på liten höjd, samt mindre värden som verkar på en högre höjd. Dessa två områden måste då jämöras och beräknas såsom det nämnts innan, ör att se vilken som ger den maximala armeringsmängden i slutänden. Om man tidsmässigt jämör handberäkningar mot datorbaserade beräkningar så är det ingen tvekan om att det inns tidsbesparingar att hämta, speciellt vid mer komplicerade konstruktioner. Visst tar det sin tid att rita upp konstruktionen och tolka resultaten, men detta tjänas in på att beräkningen endast tar ett par sekunder. Hur ska man då kunna lita på de resultat som erhålls? Ett användningsområde är ju att använda programmet som en sort dubbelkontroll mot de handberäkningar som utörts. På detta sätt är det ändå handberäkningarna som utgör grunden ör resultatet och den ramtida dimensioneringen, medan programmet i sig ungerar som ett hjälpmedel. Att bara använda sig av programmet ställer stora krav på användaren, att all indata stämmer exakt samt att alla inställningar är korrekt inställda. Om ett elaktigt resultat skulle redovisas kan det ör ovana användare vara svårt att se var elet ligger, om användaren över huvud taget upptäcker att de gjort el. Programmet i sig räknar troligtvis alltid rätt eter de matematiska algoritmer det är uppbyggt, och de inställningar som gjorts. Men de gäller då som tidigare nämnts att alla inställningar är korrekt. En lösning på problemet med att det ställer stora krav på användaren kanske kan vara att programtillverkarna själva erbjuder sig att som konsulter rita upp och beräkna den aktuella konstruktionen och därmed lämna en garanti på att de beräkningar de utört är korrekta. På detta vis minimeras också problemet med el orsakade av mänskliga aktorn, dvs. exempelvis el indata eller elaktiga inställningar i programmet. Som konstruktör är man ansvarig ör sina beräkningar även om man använder sig av beräkningsprogram. Skulle då det te sig så illa att programmet ger ett elaktigt resultat (p.g.a. olika 36

38 exempel som nämns längre ner i detta kapitel) så är det konstruktören som år stå till svars ör öljderna. Utöres däremot handberäkningarna enligt traditionella och beprövade metoder, där man exempelvis öljer BBK 04 och Betonghandbok konstruktion, så är risken ör el i beräkningsmodellen minimal, samt att man har boverkets regelverk bakom sig. För mig är det ingen tvekan om att beräkningsprogram kommer att ta över mer och mer över handberäkningar. Men ska man kunna lita på de resultat som erhålles måste det i mina ögon inöras någon orm av standard och regelverk ör beräkningsprogram, likt de som inns ör handberäkningar, där varje tillverkare kan på något sätt garantera att de resultat som erhålles är korrekta. Det är dock viktigt tycker jag att användaren av ett beräkningsprogram har goda kunskaper inom de traditionella handberäkningarna och beräkningsgångar ör att kunna upptäcka ev. elaktigheter i de resultat som erhålles. Man bör därör redan innan ha en ungeärlig idé om vilka resultat som bör erhållas och sedan låta programmet räkna det exakt. En nackdel med att använda sig av denna typ av beräkningsprogram är att de inte är transparenta, d.v.s. indata matas in och ett resultat erhålles, utan att användaren kan se de bakomliggande beräkningarna. Det bör tilläggas här att som nämnts i början av detta arbete så ska upplagsreaktionerna egentligen multipliceras med 1,1 där de ej kan räknas som oetergivliga. Samtliga beräkningar i detta arbete är utörda med antagandet att stöden är oetergivliga, då det är så beräkningarna utörts i de böcker jag har studerat. Med de inställningar jag har använt mig av i programmet så ökas inte upplagskraterna där heller. 5.1 Resultaten Resultaten av jämörelsen på väggskiva 1 visar att handberäkningarna stämmer ganska väl med de resultat som ås ur programmet. Fördelningen av armering i x-led som erhålles ur programmet är inte helt triangulär mitt under väggskivan varör det inte blir exakt rätt på ner till millimetern vid beräkningen jag utört. Likaså är beräkningen av armering i y-led lite godtycklig etersom det varierade uteter skivan, där jag örsökte ta ett medelvärde att gå eter. Värdena som erhållits bör därör kunna variera något och bör inte tas som exakta värden. De två områdena intill stöden där det enligt programmet krävs nästan em gånger mer armering örbryllar mig. Väggskivor är känsliga ör tryckbrott av dess hörn, vilket kanske kan vara en örklaring. Det bör heller inte helt uteslutas att jag har gjort någon elinställning i programmet. Den totala vikten av armeringen i väggskiva 1 är något högre enligt programmet, jämört med den vikt jag räknat ram ör hand. Jag har då även omsatt den erorderliga armeringsarean till ett jämnt antal armeringsstänger samt beräknat deras skarv- och örankringslängder, vilket ger en större slutgiltig vikt. Längderna på armeringsstängerna är även tagna lite i överkant. Skulle man beräkna dem mer exakt så skulle vikten minska något. Det är oklart huruvida programmet tar med skarvlängderna i beräkningen av den slutgiltiga vikten eller ej, men då jag ställt in att programmet ska räkna uteter en armeringsdiameter på 1 mm så blir skarvlängderna ändå väldigt korta och påverkar således endast slutvikten minimalt. Uteter dessa resultat vill jag påstå att programmet ger en något större mängd armering än vad handberäkningarna ger på denna väggskiva. Jämörelsen av vikten på armeringen kan göras på väggskiva 1 då det egentligen endast inns ett sätt att armera denna på. Vid armeringsutörandet av Väggskiva 2 är det upp till konstruktören att ördela armeringen på ett lämpligt sett, och det kan således ge olika resultat av den totala vikten på armeringen. Jag har örsökt att beräkna vikten uteter beräkningsexempel 6.6:4 i Betonghandboken (Lorentsen, Mogens, Cederwall, Krister & Östlund, Lars (red.) (1990)), men detta visade sig vara ör svårt då jag inte örstår alla armeringsutöranden, längder osv. 37

39 Resultaten av jämörelsen på väggskiva 2 visar tydligt hur de två olika beräkningsmodellerna skiljer sig. Handberäkningarna gör vissa örenklingar, medan inita elementmetoden tar hänsyn till alla olikheter i konstruktionen. Det intressanta här var de två olika armeringsutöranden som erhölls rån handberäkningarna och FEM. 5.2 Fel som kan uppstå med FEM Ur J. Bäcklunds doktorsavhandling Finite element analysis o nonlinear structures (Samuelsson och Wiberg 1988), kan man läsa hur olika ansatser ger olika väldeinierade resultat, baserat på ett prov som utördes. Provet bestod av en ritt upplagd platta med jämnt utbredd last på där böjmomentet samt nedböjningen i mitten skulle beräknas. I den ena beräkningen användes element som baserats på trianglar med kubisk örskjutningsapproximation, och i den andra beräkningen använde han sig av rektangulära element av s.k. blandat typ. Resultaten visade att vid ett glest nät gav beräkningarna baserade på rektanglar av blandad typ mycket större noggrannhet av böjmomentet i mitten, medan elementen baserade på trianglar gav en något bättre noggrannhet vid beräkningar av mittnedböjningen. Allmänt kan man säga att krater (spänningar) beskrivs bättre med element baserade helt eller delvis på spänningsansats än med element baserade på örskjutningsansats. Motsatsen gäller ör örskjutningar. Vad jag vill visa med exemplet ovan är hur olika noggrannhet av resultaten kan erhållas beroende på elementtyp och ansats. Felet inom det enskilda elementet kan även vara starkt beroende av elementets relativa geometri. Bäst uppörande har elementen i igur 21 om triangeln är liksidig och rektangeln är en kvadrat. Om t.ex. φ 0, eller b/h 0, kan elen bli oändligt stora. Figur 21. Elementgeometri vilka ger olika stort el. Det kan dessutom vara svårt att tolka t.ex. den erhållna spänningen inom elementet rätt. I boken Finita elementsmetodens grunder (Samuelsson, Al & Wiberg, Nils-Erik (1988)) visas i kapitel 11.8 ett exempel där man utört beräkningar på en belastad konsol, med ett elementnät bestående av trianglar. Det visade sig då att de skjuvspänningar som uppstod inom varje element var helt elaktiga. Om man istället tog medelvärdet på av de två intilliggande trianglarna så erhölls rätt värde (se ig. 22). Figur 22. Skjuvspänningar ur två triangulära element, där det korrekta resultatet är medelvärdet av dessa två. Detta är ett annat exempel på hur elaktigheter kan uppstå med denna metod. Det är därör viktigt att användaren även är väl insatt i både inita elementmetoden såväl som traditionella konstruktionsberäkningar. 38