Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version"

Transkript

1 Studiehandledning till MMA128 ifferential- och integralkalkyl III läsåret 2012/13 Version

2 ursinformation för MMA128 Mål Avsikten med kursen MMA128 ifferential- och integralkalkyl III är att vidga och fördjupa de grundläggande kunskaper om funktioner som erhållits i tidigare kurser i differential- och integralkalkyl. I detta innefattas att begreppet serie förankras mer metodiskt, att begreppet vektorfält introduceras, samt att integralbegreppet generaliseras till att omfatta integration på rymdkurvor, ytstycken och kroppar i det tredimensionella rummet. En annan avsikt med kursen är att den ska ge en grund för studier i matematik på avancerad nivå, samt för teoretiska studier inom fysik och teknik. Undervisning ursen är schemalagd med 16 lektioner om totalt 41 timmar, samt en tentamen om fem timmar. Vid sidan om det schemalagda formeras kursen av 24 individuella inlämningsuppgifter (i detta häfte) som ska lösas och lämnas in för bedömning. Specifikationen av vilken version av uppgifterna som respektive student ska lösa ges av den versionssiffra som var och en tilldelas i början av kursen. Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I kursboken Calculus. Early Transcendentals, 7:e upplagan, av James Stewart (ISBN , Brooks/Cole 2011) finns många övningsuppgifter att ta sig an, liksom det även gör i studiehandledningen. Examination och betyg Examinationsmomentet INL1 e betygsgrader som används i examinationsmomentet INL1 (2,5 hp) är underkänd (u) och godkänd (g). För att under kursens gång bli godkänd i INL1 krävs att lösningar till i kursen ingående individuella inlämningsuppgifter har inlämnats och sedan blivit godkända. Examinationsmomentet TEN1 e betygsgrader som används i examinationsmomentet TEN1 (5,0 hp) är underkänd (u), och godkändgraderna 3, 4, och 5. Tentamen TEN1 består av åtta (8) stycken uppgifter à 5 poäng. Gränserna för betygen 3, 4 och 5 är 18, 26 respektive 34 poäng. Hjälpmedel vid tentamen är penna, linjal och radermedel. Skrivtid per enskild tentamen är fem (5) timmar. Sammanfattningsbetyg Sammanfattningsbetyg på en avklarad kurs blir detsamma som godkändbetyget på TEN1, dvs något av betygen 3, 4, eller 5. Block Moment Lektion Bokavsnitt 1 1 L L L L04 Uppföljning L , L , L L08 Uppföljning L L10 Uppföljning 3 10 L , L12 Uppföljning 4a L L14 Uppföljning 4b L15 Repetition L16 Repetition 2

3 Block 1 Talföljder och serier 1. Talföljder, serier och konvergenstest INL 1.a Bestäm summan av serien. 1) 2 π 4 π π ) ) 1 e 2 3 e e ) ) π 16 + π ) ) ) ) ) ) π π ) e e + 32 e ) e 3 π 3 + e6 π 6 + e9 π ) ) π 2 e + π e e INL 1.b Är serien absolut konvergent, betingat konvergent eller divergent? 1) 3n 2 7n 2n 3 n + 2n 2 5) ( 1) n 1 n 2 sin(1 + 1/n 2 ) 9) n 5 + 7n 2 n ) 5 + 3n 3/5 4 + n 2 2) cos(nπ) ln(n + 2) 6) 2 n n 5 + 3n ) n 2/5 n n ) ln(1 + 1/n) cos(πn) 3) 3 n 1 2 n + 5 7) ( 1) n sin(1/ n) n 11) cos(nπ) arctan(2n) 15) 8 n e n 7 n π n + 2 4) n=2 4n n 3 n 1 8) ln(n + 1) n( 1) n 12) ne n π n Potensserier INL 2.a Bestäm konvergensradien och konvergensintervallet till potensserien. 1) ( 1) n x n n 3 n 4) (x + 1) n n 3 π n 7) nx n 4 n 10) (1 2x) n n 13) (5x 3) n n 3/4 2) (x 2) n n 2 3 n 5) ( 1) n (2x) n n 8) (2x 4) n n 11) (x + 4) n 1 + n n 14) 9 n (x 1) n n 3) (2x + 3) n 4 n 6) (3x 2) n n 9) (x 5) n 2 n n 12) x n ( 7) n n 2 15) n(2x + 3) n n

4 4 INL 2.b Bestäm den potensserie i x som representerar funktionen f. Ange speciellt konvergensintervallet. 1) f(x) = (1 16x 2 ) 1 5) f(x) = (2 2x 2 ) 1 9) f(x) = x(2x 3) 1 13) f(x) = (3 + x 2 ) 1 2) f(x) = x(3x + 1) 1 6) f(x) = x 2 (5 2x) 1 10) f(x) = x 2 (1 + 3x 2 ) 1 14) f(x) = x(16 4x 2 ) 1 3) f(x) = (1 + 2x 3 ) 1 7) f(x) = (1 9x 2 ) 1 11) f(x) = (1 + 4x 2 ) 1 15) f(x) = (x 3 + 2) 1 4) f(x) = 2x(4x 3) 1 8) f(x) = x(2 + x 2 ) 1 12) f(x) = 3x(2x + 1) 1 3. Taylor- och Maclaurinserier INL 3.a Undersök om gränsvärdet existerar. Ange i förekommande fall gränsvärdet. 1) lim 2) lim 3) lim ln(1 x 2 ) + x sin(x) x 2( e x/2 1 + x ) 1 x2 cos(x) ln(1 + x 2 ) x arctan(x) arctan(x) sin(x) x ( (1 + x) 1/3 e x/3) 6) lim x ln(1 + x 2 ) x 3 sin(x) x cos(x/ 3) 7) lim 8) lim x sin(tan(x)) 1 cos(x/3) 3x 2 x arctan(3x) ln(1 + 2x 2 ) + cos(2x) 1 11) lim 12) lim x 2 ln(1 x 2 ) + x arctan(x) e 2x2 cos(2x) ( ) arcsin(x) x sin(x) x 1 x 2 /3 13) lim 3x 3 + x ln(1 3x 2 ) arcsin(x) xe x2 /6 4) lim xe x 2 /6 arcsin(x) x x cos(x 2 ) 5) lim cos(x 2) e x 2 x ( arctan(x) x ) 9) lim tan(3x) 3x x 1 + x 2 /2 sin(x) 14) lim e x 2 (1 + x) x 1 arcsin(x) arctan(x) 10) lim arctan(x) sin(x) x ln(1 + x) ln(1 + x 2 ) 15) lim x 2 x sin(x) 1 9x2 cos(3x) INL 3.b Bestäm summan av serien. 1) ( 1) n π 2n 6 2n (2n)! 5) ( 1) n+1 π 2n 4 n 1 (2n 1)! 9) ( 1) n π 2n 36 n (2n + 1)! 13) ( 1) n 1 4 n π 2n 1 3 2n (2n 1)! 2) ( 1) n 4 n π 2n n (2n + 1)! 6) (ln(5)) n (n + 1)! 10) 1 n( 2) n 1 14) ( 1) n (ln(7)) n 2 n n! 3) ( 1) n+1 3 n 1 2 (2n + 1) 7) ( 1) n 1 π 2n 1 4 2n+1 (2n)! 11) ( 1) n+1 π 2n 9 n (2n)! 15) ( 1) n π 2n 4 n (2n)! 4) ( 1) n (ln(2)) n 2 n n! 8) ( 3) n 2n 1 12) (e 1) n ne n INL 3.c Bestäm Taylorserien till funktionen f kring den givna punkten. 1) f(x) = ln(2x 3) kring 3 2) f(x) = 1/ x kring 4 3) f(x) = cos(x) kring π/3 4) f(x) = e x/2 kring 3 5) f(x) = sin(x) kring π/4 6) f(x) = ln(x) kring e 7) f(x) = sin(2x) kring π/6 8) f(x) = x kring 9 9) f(x) = ln(3 + 2x) kring 1 10) f(x) = cos(x) kring π/6 11) f(x) = ln(5 x) kring 2 12) f(x) = cos(3x) kring π/6 13) f(x) = 1/ x kring 1/4 14) f(x) = ln(1 2x) kring 1 15) f(x) = sin(x) kring π/2

5 Block 2 Vektorvärda funktioner 4. Båglängd och krökning , INL 4.a Beräkna längden av kurvan r = f(t), t f. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) f(t) = 3 cos(2t) e 1 + 3t e 2 3 sin(2t) e 3, f = [0, π]. 2) f(t) = t 2 e 1 + e 2 t 3 e 3, f = [0, 1]. 3) f(t) = e t e 1 + e t e 2 + t 2 e 3, f = [0, ln(2)]. 4) f(t) = ( t + cos(t) ) e sin(t) e 2 + ( t cos(t) ) e 3, f = [0, π]. 5) f(t) = cos 3 (t) e 2 + sin 3 (t) e 3, f = [0, 1 2 π]. 6) f(t) = ( cos(t) ) e 1 + ( 1 sin(t) ) e 2 + ( 3 + sin(t) ) e 3, f = [0, 2π]. 7) f(t) = ln(t) e 1 + 2t e 2 + t 2 e 3, f = [1, e]. 8) f(t) = 4t e 1 4 cos(3t) e sin(3t) e 3, f = [0, 2 3 π]. 9) f(t) = 1 t2 1 + t 2 e 1 + 2t 1 + t 2 e 2, f = [0, ). 10) f(t) = 2 cos(t) e 1 + ( 3t + 2 sin(t) ) e 2 + ( 3t 2 sin(t) ) e 3, f = [0, π]. 11) f(t) = 2 t e 1 + 2(t 3 /3) e 2 + (1 t 2 ) e 3, f = [0, 1]. 12) f(t) = cosh(t) e 1 sinh(t) e 2 + t e 3, f = [0, 1 2 ln(2)]. 13) f(t) = 3t e 1 + 3t 2 e 2 + 2t 3 e 3, f = [0, 1]. 14) f(t) = 1 3 t3 e t 2 e 2 + t e 3, f = [0, 3]. 15) f(t) = ( sin t t cos t ) e 1 + ( cos(t) + t sin(t) ) e 2 + t 2 e 3, f = [0, π]. INL 4.b Bestäm krökningsradien och krökningscentrum till kurvan i INL 4.a. 5. Hastighet och acceleration INL 5.a INL 5.b Beräkna hastigheten och accelerationen för en partikel som rör sig enligt ekvationen i uppgift INL 4.a. Bestäm den tangentiella komponenten och normalkomponenten av accelerationen för en partikel som rör sig enligt ekvationen i INL 4.a. 5

6 Block 3 Multipelintegraler 6. Variabelsubstitution i dubbelintegraler , 15.4 INL 6.a 1) Beräkna (x + y) 2 cos(x 2 y 2 ) da, där ges av x 0, x y 0, x + y π x + y 2) Beräkna da, där är 2 + x y rektangelskivan 0 x + y 2, 1 x y ) Beräkna x 2 1 x 4 y 4 da, där ges av xy < 1, 0 < y < x < 2y x 2 + y 2 4) Beräkna 1 + xy da, där ges av x > 0, 1 xy 4, 1 x 2 y ) Beräkna (x 4 y 4 ) da, där är ges av 0 x 2 y 2 1, 2 x 2 + y ) Beräkna (x y) 2 sin 2 (x + y) da, där är kvadratskivan med hörnen i punkterna (π, 0), (2π, π), (π, 2π), respektive (0, π) x + y 7) Beräkna 4x + y da, där är triangelskivan x, y 0, x + y ) Beräkna ln( x + y ) da, där ges av 1 x + y 2. 9) Beräkna x + y x 2 + y 2 ex y da, där ges av x > 0, 1 x 2 +y 2 2, 0 x y 1. (x + y) 3 10) Beräkna 1 + (x y) 2 da, där är triangelskivan med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (0, 1). 11) Beräkna xy(x 2 y 2 ) da, där är ges av x > 0, 1 xy 2, 1 x y ) Beräkna ln(y/x) da, x2 där ges av 1 x + y 2, 1 y/x 2. 13) Beräkna x y x 2 + y 2 da, där ges av x, y 0, 1 x + y 2. xy(2x 2 + y 2 ) 14) Beräkna 2x 2 y 2 da, där ges av x > 0, 1 xy 2, 3 2x 2 y ) Beräkna (x + 2y)e x2 4y 2 da, där ges av 0 x 2y 4, 0 x + 2y 3. 6

7 7.. TRIPPELINTEGRALER 7 INL 6.b 1) Beräkna volymen av området som ligger ovanför konen z = 2 x 2 + y 2 och inuti ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 18. 2) Beräkna ln(2 + x2 + y 2 ) da, där är det i den första kvadranten belägna område som precis innesluts av kurvorna y = x 3, x 2 + y 2 = 4 och x = y 2 3) Beräkna dy dx (x 2 + y 2 ) 5/ ) Beräkna volymen av det område som ligger inuti sfären x 2 + y 2 + z 2 = 25 och utanför cylindern x 2 + y 2 = 4. 5) Beräkna (3 + 2x2 + y 2 ) 3/2 da, där är den första kvadranten av planet R 2. 6) Beräkna volymen av det område som ligger ovanför planet z = 0, inuti cylindern x 2 + y 2 = 3, och under konen z = 2 x 2 + y 2. 7) Beräkna sin(x2 + y 2 ) da, där är det i den första kvadranten belägna område som precis innesluts av de räta linjerna y = 0 och x = y 3, samt av cirklarna x 2 + y 2 = π/6 och x 2 + y 2 = π/2. 8) Beräkna y 2 dy 9 y 2 dx e x 2 y 2. 9) Beräkna volymen av det område som precis innesluts av paraboloiden 3x 2 +3y 2 +z = 10 och planet z = ) Beräkna 2 4y 2 da. R 2 e x 11) Beräkna volymen av det område som ligger under paraboloiden 2x 2 + 2y 2 + z = 22 och ovanför konen z = 7 x 2 + y 2. 12) Beräkna cos(x2 +y 2 ) da, där är det i det övre halvplanet belägna område som precis innesluts av cirklarna x 2 + y 2 = π/6 och x 2 + y 2 = 3π/4, samt av de räta linjerna y = x och y = x 3. 13) Beräkna 2 0 dx 2x x 2 0 dy x 2 + y 2. 14) Beräkna volymen av det område som precis innesluts av paraboloiderna 4x 2 +4y 2 +z = 20 och x 2 +y 2 = z. 15) Beräkna (1 + (9x2 + y 2 ) 2 ) 1 da, där är området i den första kvadranten av xy-planet. 7. Trippelintegraler INL 7.a 1) Beräkna (4 + x + y + z) 3 dv, där är tetraederkroppen x, y, z 0, x + y + z 1. 2) Beräkna z dv, där är kroppen x, y 0, x + y 1, 0 z 1 y 2. 3) Beräkna x + y dv, där är kroppen 0 x + y z 2 y 1, z 0. 4) Beräkna (x + 2y) dv, där är kroppen som precis innesluts av den paraboliska cylindern y = x 2, och av planen y = x, x = z, z = 0. 5) Beräkna (x + 1)z dv, där är kroppen som precis innesluts av planen z = 0, 2x + y + z = 3, y = 1, och av ytan y = x 2. 6) Beräkna (x + y + z) dv, där är kroppen 0 x z 2x 2, 0 y x + z. 7) Beräkna xy2 z 3 dv, där är kroppen som precis innesluts av ytan z = xy, och av planen y = x, x = 1, z = 0. 8) Beräkna xy cos(πz5 /6) dv, där är kroppen 0 x z y 2z 2. 9) Beräkna yz2 dv, där är tetraederkroppen med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 1, 0), respektive (0, 0, 1). 10) Beräkna x dv, där är tetraederkroppen som precis innesluts av planen x = 1, y = 1, z = 1, och x + y + z = 2. 11) Beräkna xyz dv, där är kroppen 0 z 2y 2x 2.

8 8 12) Beräkna x dv, där är kroppen som precis innesluts av planen 2x + y + 2z = 6, x = 0, y = 0, och z = 0. 13) Beräkna xz dv, där är tetraederkroppen med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), respektive (0, 1, 1). 14) Beräkna z dv, där är den i den första oktanten belägna kroppen vilken precis innesluts av planen x = 0, z = 0, y = 3x, och av cylindern y 2 + z 2 = 9. 15) Beräkna z 1 dv, där är kroppen som precis innesluts av ytan y = 1 x, och av planen z = 1, x = 1, y = 1, y + z = 3. INL 7.b 1) Beräkna (x2 + y 2 ) dv, där är den i tredje oktanten (x, y < 0 < z) befintliga delen av klotet x 2 + y 2 + z ) Beräkna x2 + y 2 + z 2 dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger inom klotet 1 3 (x2 + y 2 ). x 2 +y 2 +z 2 4 och ovanför konen z = 3) Beräkna (x2 +y 2 +z 2 ) 1/2 e x 2 +y 2 +z 2 dv, där är kroppen z 3(x 2 + y 2 ). 4) Beräkna z(x2 + y 2 + z 2 ) 1/4 dv, där är den kropp som i halvrummet y > 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 9 och under konen z = x 2 + y 2. 5) Beräkna (x2 + y 2 + z 2 ) 1 (3 + x 2 + y 2 + z 2 ) 1 dv, där är den i andra oktanten (x < 0 < y, z) befintliga delen av kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z ) Beräkna x2 z dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger ovanför konen z = 3(x2 + y 2 ) och inom skalet 1 x 2 + y 2 + z ) Beräkna y2 dv, där är den i området x y 0 befintliga delen av klotet x 2 +y 2 +z ) För vilka reella tal β konvergerar (x2 + y 2 + z 2 ) β/2 dv, där är kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z 2 1? 9) Beräkna x x 2 + y 2 + z 2 dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z och under konen z = 3 (x2 + y 2 ). 10) Beräkna (1 + x2 + y 2 + z 2 ) 2 dv, där är den i andra oktanten (x < 0 < y, z) befintliga delen av kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z ) Beräkna e x 2 +y 2 +z 2 dv, där är den i första oktanten (x, y, z > 0) av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 4 omslutna kroppen. 12) Beräkna z dv, där är den i första och andra oktanterna (y, z > 0) befintliga delen av skalet 2 x 2 + y 2 + z ) Beräkna ze x2 y 2 z 2 dv, där är kroppen som ligger ovanför konen z = x 2 + y 2. 14) Beräkna y(x2 + y 2 + z 2 ) 2 dv, där är den kropp som i halvrummet y > 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 1 och ovanför konen z = x 2 + y 2. 15) Beräkna (x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dv, där är den i halvrummet y < 0 ovanför konen z = 3(x 2 + y 2 ) befintliga andelen av skalet 4 x 2 + y 2 + z 2 9.

9 Block 4 Vektoranalys 8. urvintegraler INL 8.a oordinatsystemet Oe 1 e 2 är av typ ON. 1) Beräkna xy dx + x2 dy, där är kurvan y = x 2, från punkten (0, 0) till punkten (1, 1). 2) Beräkna det arbete som kraftfältet (x 2 + y 2 ) e 1 + (x 2 y 2 ) e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna kvadraten med hörnen i punkterna (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1), och (1, 1). 3) Beräkna (x2 + xy) dx + (y 2 xy) dy, där är linjesegmentet från punkten (0, 0) till punkten (2, 0), följt av linjesegmentet från (2, 0) till (2, 2). 4) Beräkna det arbete som kraftfältet (x + y) 2 e 1 + (x y) 2 e 2 uträttar längs den i medurs led genomlupna kurvan given av kurvsegmenten x 2 = y och x = y 2 i området 0 x, y 1. 5) Beräkna (2x y) dx + xy dy, där är kurvan x 3 = 2y 2, från punkten (0, 0) till punkten (2, 2). 6) Beräkna y dx x dy, där är kurvan x2 + y 2 = 1, från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). 7) Beräkna det arbete som kraftfältet (xy y 2 ) e 1 + (x + y) e 2 uträttar längs linjesegmentet från punkten ( 1, 2) till punkten (2, 0), följt av linjesegmentet från (2, 0) till (2, 1). 8) Beräkna (2x y) dx + (x + y2 ) dy, där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna ( 1, 0), (0, 1), och (1, 0). 9) Beräkna det arbete som kraftfältet xy 2 e 1 x 2 y e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna kurvan x 2 + y 2 = 2y, från punkten (0, 0) till punkten (1, 1). 10) Beräkna (3xy + y2 ) dx + (x 2 2y) dy, där är den i moturs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (1, 1), ( 1, 1), och (1, 2). 11) Beräkna x ln(y/x) dx (x2 /y) dy, där är kurvan x = y 3, från punkten (1, 1) till punkten (8, 2). 12) Beräkna det arbete som kraftfältet y 3 e 1 + x 3 e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna ellipsen (x/2) 2 + (y/3) 2 = 1. 13) Beräkna y3 dx + x 3 dy, där är den i moturs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (1, 1). 14) Beräkna det arbete som kraftfältet (xy + y 2 ) e 1 + (x xy 2 ) e 2 uträttar längs den i medurs led genomlupna rektangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (2, 2), (1, 3), och ( 1, 1). 15) Beräkna (x4 y 2 ) dx+(x 4 +y 2 ) dy, där är kurvan y = x 2, från punkten ( 1, 1) till punkten (1, 1), följt av linjesegmentet från (1, 1) till ( 1, 1). 9

10 10 9. onservativa vektorfält och Greens formel INL 9.a Visa att F i ett enkelt sammanhängande område är ett konservativt vektorfält genom att bestämma en potentialfunktion φ för F. Beräkna även kurvintegralen F dr där är en styckvis slät kurva från punkten A till punkten B. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = (2xz + y 2 ) e 1 + 2xy e 2 + (x 2 + 3z 2 ) e 3, A : (2, 3, 1), B : ( 1, 2, 2) ) F(x) = ye xy ln(yz) e 1 + e xy( x ln(yz) + 1/y ) e 2 + e xy (1/z) e 3, A : (0, 1, 1), B : (1, 3, e 3 ) ) F(x) = 2 cos(y) e 1 + (1/y 2x sin(y)) e 2 + (1/z) e 3, A : (0, 2, 1), B : (1, π 2, 2) ) F(x) = (3x 2 y 2 z + ln(z)) e 1 + ( 2x 3 yz + ln(z) ) e 2 + ( x 3 y 2 + (x + y)/z ) e 3, A : ( 1, 2, 1), B : (3, 1, e) ) F(x) = x 2 e 1 + yz e 2 + (y 2 /2) e 3, A : (0, 0, 0), B : (0, 3, 4) ) F(x) = 3x 2 e 1 + (z 2 /y) e 2 + 2z ln(y) e 3, A : (1, 1, 1), B : (1, 2, 3) ) F(x) = (2x ln(y) yz) e 1 + (x 2 /y xz) e 2 xy e 3, A : (1, 2, 1), B : (2, 1, 1) ) F(x) = xy(2 + xyz)e xyz e 1 + x 2 (1 + xyz)e xyz e 2 + x 3 y 2 e xyz e 3, A : ( 1, 2, 0), B : (2, ln 2, 1) ) F(x) = (y 2 z 2 + 2xz ln(y)) e 1 + xz(2yz + x/y) e 2 + (2xy 2 z + x 2 ln(y)) e 3, A : (2, 1, 2), B : ( 1, e, 1) ) F(x) = 2xz 3 cos(y) e 1 x 2 z 3 sin(y) e 2 + 3x 2 z 2 cos(y) e 3, A : (1, π, 2), B : (2, 0, 1) ) F(x) = (1/y) e 1 + (1/z x/y 2 ) e 2 y/z 2 e 3, A : (1, 2, 1), B : (3, 1, 2) ) F(x) = e yz e 1 + ( xze yz + z cos(y) ) e 2 + ( xye yz + sin(y) ) e 3, A : (1, 0, 1), B : (1, π 2, 0) ( ) F(x) = yz ln(x + y) + x ) ( e 1 + xz ln(x + y) + y ) e 2 + xy ln(x + y) e 3, A : (1, 1, e), B : (e, e, 1 x + y x + y e ) ) F(x) = y 2 z 2 cos(xy) e 1 + z 2( xy cos(xy) + sin(xy) ) e 2 + 2yz sin(xy) e 3, A : ( 1 6, π, 1), B : ( π 2, 1, 2) ) F(x) = e y+2z e 1 + xe y+2z e 2 + 2xe y+2z e 3, A : ( 1, 2, 1), B : (3, 0, 2) INL 9.b 1) Beräkna kurvintegralen genom att tillämpa Greens formel. (x y) dy 2y dx (x + y) 3, där är kurvan x = cos 3 (t), y = sin 3 (t) i den första kvadranten, från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). 2) (e x cos(x) y) dx + (2xy + arctan(y 2 )) dy, där är den i moturs led genomlupna randen till området x 2 3 y x 2 /4. (1 y 2 ) dx + (1 x 2 ) dy 3) (1 + xy) 2, där är den i första kvadranten genomlupna halvcirkeln från punkten (0, 0) till punkten (0, 1). 4) arctan(y/x) (x dx + y dy), där är linjesegmentet från punkten (1, 0) till punkten (2, 2). ( 5) cos(x) ln(x + y) + sin(x) ) dx x + y ( y 2 + sin(x) ) dy, där är kurvan x + y x = 2 2t 3, y = 2t 2, från punkten (2, 0) till p:n (0, 2).

11 10.. NABLARÄNING OCH YTINTEGRALER 11 6) x dy y dx (x y) 2, där är den i fjärde kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (0, 1) till punkten (1, 0). 7) y(x y2 + e xy ) dx + x(1 + e xy ) dy, där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (0, 1). 2xy ( 8) 1 + x 4 y 2 dx+ x 2 ) 1 + x 4 y 2 1 dy, där är kurvan x 3 + 7y 2 = 8 i den första kvadranten, från punkten (2, 0) till punkten (1, 1). 9) (xy 2 y 3 ) dx+(x 3 +4x 2 y) dy, där är den i moturs led genomlupna randen till området x + y 1. x dy y dx 10) (x + y), där är den i första kvadranten, xy med origo som medelpunkt, genomlupna delen av cirkeln från punkten (3, 1) till punkten (1, 3). 11) ( 1 + 2x ) ( x 2 dx ) + y x 2 dy, där är den + y i det övre halvplanet genomlupna halvcirkeln från punkten ( 1, 0) till punkten (1, 0). 12) ln x y ( dx + dy), där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 3), (2, 3), och (1, 2). ( y ) x 13) 1 + (x + y) 2 dx dy, där är den i (x + y) 2 första kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). xy (2x y) dy y 3 dx 14) (x y) 2, där är den i fjärde kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (0, 3) till punkten (3, 0). (x 1) dx + y dy 15) x 2 2x + y 2, där är parabeln y = x 2 16, från punkten (4, 0) till punkten ( 4, 0). 10. Nablaräkning och ytintegraler , INL 10.a 1) Beräkna arean av den del av ytan z = 2xy som ligger ovanför det område som i den första kvadranten av xy-planet avgränsas av kurvorna y = 0, x = 1, och y = x 3. 2) Beräkna arean av den ovanför xy-planet liggande delen av paraboloiden z = 4 x 2 y 2. 3) Beräkna arean av den inuti cylindern x 2 + y 2 = 2y liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 4. 4) Beräkna arean av den ovanför triangeln 0 y x 1 i xy-planet liggande delen av ytan z = x 2 y 2. 5) Beräkna arean av den ovanför konen z = x 2 + y 2 liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 2. 6) Beräkna arean av den ovanför triangeln, med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (1, 0, 0), och (0, 1, 0), liggande ytan z = 2 3 (x3/2 + y 3/2 ). 7) Beräkna arean av den mellan cylindrarna x 2 +y 2 = 4 och x 2 + y 2 = 9 liggande delen av den hyperboliska paraboloiden z = x 2 y 2. 8) Beräkna arean av den ovanför planet z = 2 liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 7. 9) Beräkna arean av den mellan planen z = 1 och z = 2 liggande delen av paraboloiden z = x 2 + y 2. 10) Beräkna arean av den ovanför planet z = 0 liggande delen av ellipsoiden x 2 + y 2 + 3z 2 = 4. 11) Beräkna arean av den ovanför området y 2 x 1 liggande delen av ytan z = y + 2 x. 12) Beräkna arean av den ovanför området xy-planet liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 5. 13) Beräkna arean av den ovanför paraboloiden z = x 2 +y 2 liggande delen av ytan z = 2+ 4 x 2 y 2. 14) Beräkna arean av den ovanför planet z = 1 liggande delen av paraboloiden z = 5 2x 2 2y 2. 15) Beräkna arean av den ovanför ringen 1 x 2 +y 2 4 i xy-planet liggande delen av paraboloiden z = 5 x 2 y 2.

12 12 INL 10.b Beräkna arean av den parameterframställda ytan r = f(u, v), (u, v) f. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) f(u, v) = (u 2 + v 2 ) e 1 + (u 2 v 2 ) e 2 + 2uv e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 1} ) f(u, v) = ( 2 + cos(u) ) cos(v) e 1 + ( 2 + cos(u) ) sin(v) e 2 + sin(u) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 2π} ) f(u, v) = u cos(v) e u2 e 2 + u sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π} ) f(u, v) = (u v) e 1 + (u + v) e 2 + (u 2 2uv v 2 ) e 3, f = {(u, v) : u 2 + v 2 < 2, u v} ) f(u, v) = uv e 1 + (u v) e 2 + (u + v) e 3, f = {(u, v) : 6 u 2 + v 2 16, u + v 0} ) f(u, v) = 1 2 u 1 v 2 e 1 + v e 2 + u e 3, f = {(u, v) : 1 < u 2 + v 2 < 9, u > v > 0} ) f(u, v) = u e 1 + u cos(v) e 2 + u sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π 2 } ) f(u, v) = 10 uv e 1 + (2u 2 v 2 ) e 2 + (u 2 + 2v 2 ) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 1} ) f(u, v) = sin(u) e 1 + ( 2 + cos(u) ) sin(v) e 2 + ( 2 + cos(u) ) cos(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v π 2 } ) f(u, v) = 1 2 (u 1) e (v 1) e 2 + u 2 /v e 3, f = {(u, v) : 1 < u < 3, 1 < v < 9} ) f(u, v) = ( 2 sin(u) ) cos(v) e 1 + cos(u) e 2 + ( 2 sin(u) ) sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v π} ) f(u, v) = 2 cos(u) cos(v) e cos(u) sin(v) e sin(u) e 3, f = {(u, v) : 0 u π, 0 v 2π} ) f(u, v) = u cos(v) e 1 + u sin(v) e 2 + u(cos(v) + sin(v)) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π 2 } ) f(u, v) = u sin(v) e 1 + u e 2 u cos(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 3 4, 0 v π} ) f(u, v) = e u cos(v) e 1 + e u sin(v) e 2 + e u v e 3, f = {(u, v) : 0 u 1 2, 0 v 2} INL 10.c Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = xy e 1 + yz e 2 + zx e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y 1, z = xe y } med uppåtriktad orientering ) F(x) = x e 1 + y e e 3, Y = {(x, y, z) : 0 y 2 x, x 2 + z 2 = 1} ) F(x) = x e 1 + z e 2, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + 2y + 3z = 6} med n(x) e 3 > ) F(x) = x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 9} ) F(x) = xy 3 e 1 + z 2 e 2 + x e 3, Y = {(x, y, z) : 2x + 1 z = 4 x 2 y 2, } med nedåtriktad orientering ) F(x) = x e 1 + y e 2 + z 4 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 1} med nedåtriktad orientering ) F(x) = x e 1 + 2y e 2 + 3z e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y, z 1} ) F(x) = x e 1 z e 3, Y = {(x, y, z) : y 2 + z 2 x 1} ) F(x) = y e 1 x e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : 1 x 2 y 2 = z 0} med n(x) e ) F(x) = 2x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x = u 2 v, y = uv 2, z = v 3, 0 u, v 1} med n(x) e ) F(x) = x e 1 + x e 2 + y e 3, Y = {(x, y, z) : y 0, x 2 + y 2 + z 2 = 25} med n(x) e ) F(x) = yze x e 1 yze x e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + y + z = 1} med nedåtriktad orientering ) F(x) = z e 1 + y e 2 x e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x 2 + y 2 + z 2 = 4} med inåtriktad orientering ) F(x) = 2x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x = u cos(v), y = u sin(v), z = u, 0 u 2, 0 v π} med nedåtriktad orientering ) F(x) = x 2 e 1 + y 2 e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : z = y + 1, x 2 + y 2 1} med uppåtriktad orientering

13 11.. STOES SATS Stokes sats INL 11.a 1) Beräkna (2xyeyz +yz 2 ) dx+(x 2 e yz +x 2 yze yz ) dy +(x 2 y 2 e yz yz) dz, där är (ett varv av) skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0 och x 2 + y 2 2x = 0, och vars projektion på xy-planet är positivt orienterad sett från punkten (0, 0, 1) ) Beräkna (z2 + y 2 z 2 e xz ) dx + (xz + 2yze xz ) dy + (2xy + y 2 (1 + xz)e xz ) dz, där är (ett varv av) skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 1 och x + z = 1, och vars projektion på xy-planet är positivt orienterad sett från punkten (0, 0, 1) ) Beräkna e x dx + e x dy + e z dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (2, 0, 0) positivt orienterade randen (relativt R 2 ) av planet 2x + y + 2z = 2 i den första oktanten ) Beräkna (yz + z2 sin(y)) dx + xz 2 cos(y) dy + (2xz sin(y) xy 2 ) dz, där är (ett varv av) den uppifrån sett negativt orienterade skärningen mellan ytan x + y 2 + z = 1 och cylindern x 2 + y 2 = ) Beräkna z dx z dy + x dz, där är halvellipsen 4y2 + z 2 = 1, y 0, x = 0, från punkten (0, 0, 1) till punkten (0, 0, 1) ) Beräkna xy dx + yz dy + zx dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (1, 1, 1) medurs genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (1, 0, 0), (0, 1, 0) och (0, 0, 1) ) Beräkna ( ) ( ) ( ) y + yz cos(xy) dx + z + xz cos(xy) dy + x + sin(xy) dz, där är den uppifrån sett positivt orienterade kurvan x = 2 cos(t), y = sin(t), z = 2 sin 2 (t), 0 t 2π ) Beräkna x dx + y dy + (x2 + y 2 ) dz, där är (ett varv av) den uppifrån sett positivt orienterade randen (relativt R 2 ) av paraboloiden z = 1 x 2 y 2 i den första oktanten ) Beräkna (x2 y + y 2 ze x ) dx + yz(1 + 2e x ) dy + y 2 e x dz, där är (ett varv av) av den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden z = x 2 + 2y 2 och cylindern x 2 + y 2 = ) Beräkna z2 dx + y 2 dy + 2xz dz, där är halvcirkeln i halvplanet x = z, x 0, från punkten (0, 1, 0) till punkten (0, 1, 0) ) Beräkna y dx + z dy + x dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (1, 1, 1) i moturs led genomlupna skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 1 och x + y + z = ( xz 12) Beräkna 1 + x2 + y +xz) dx+ ( yz x2 + y xy) dy+ ( 1 + x2 + y 2 +xy ) dz, där är (ett varv av) av 2 den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden x 2 +y 2 +z = 1 och planet x 2y +z = ) Beräkna zx dx + xy dy + yz dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (0, 0, 5) i medurs led genomlupna skärningen mellan paraboloiden z = 3 x 2 y 2 och planet z = 2x ) Beräkna (xy + xy2 z 4 ) dx + x 2 yz 4 dy + (2x 2 y 2 z 3 yz) dz, där är (ett varv av) av den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden x 2 + y 2 + z = 1 och planet 2x + y + z = ) Beräkna x3 dx+y 2 dy+xz dz, där är den i moturs led genomlupna skärningen mellan sfären x 2 +y 2 +z 2 = 1 och cylindern (x 1) 2 + y 2 = 1, från punkten ( 1 2, 3 2, 0) till punkten ( 1 2, 3 2, 0)

14 Gauss sats INL 12.a Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = (x + y) e 1 + (x + z) e 2 + (y + z) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y, z 1} 2) F(x) = (xz + e y ) e 1 + (y 2 x) e 2 + (1 2y)z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z 1} 3) F(x) = (x xy 2 z 2 ) e 1 + (y x 2 yz 2 ) e 2 + (z x 2 y 2 z) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1, z 0} 4) F(x) = x 2 y e 1 + yz 2 e 2 + 2x 2 y 3 e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x 1, y 2 + z 2 1, z 0} 5) F(x) = y 2 e 1 + yz e 2 + x 2 e 3, Y är tetraedern med utåtriktad orientering och hörn i punkterna (0, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 2, 0), och (1, 1, 3). 6) F(x) = (4x + y) e 1 + (2x + 5z) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 25} 7) F(x) = xy e 1 + xyz e 2 + (1 y)z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 z 2 x 2 y 2 } 8) F(x) = x e 1 + y e 2 + (z 2 1) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 4, 0 z 2} 9) F(x) = x 2 z 3 e 1 + 2xyz 3 e 2 + xz 4 e 3, Y = {(x, y, z) : 3 3x, 2y, z 3} 10) F(x) = x 2 y e 1 + xy 2 e 2 + 2xyz e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + 2y + z 2} 11) F(x) = xz 2 e 1 + yz 2 e 2, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 49} 12) F(x) = x 2 y e 1 + ye z e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2 } 13) F(x) = x 3 y e 1 x 2 y 2 e 2 x 2 yz e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y z 2, 2 z 2} 14) F(x) = x 4 e 1 x 3 z 2 e 2 + 4xy 2 z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 1, 0 z x + 2} 15) F(x) = (x 3 + y sin(z)) e 1 + (y 3 + z sin(x)) e 2 + 3z e 3, Y = {(x, y, z) : 1 x 2 + y 2 + z 2 4, z 0}

15 12.. GAUSS SATS 15 INL 12.b Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = xz 2 e 1 + z e 2 + y 4 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 4, 1 z 1} 2) F(x) = [ (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2], Y = {(x, y, z) : (x 1) 2 + y 2 + z 2 = 4} 3) F(x) = xy 2 z e 1 + x 2 yz e 2 + e z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med uppåtriktad orientering. 4) F(x) = (x 3 z + y 2 ) e 1 + (x 2 + y 3 z) e 2 + (xy + z 2 ) e 3 ), Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 1} med uppåtriktad orientering. 5) F(x) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (x e 1 + y e 2 + z e 3 ), Y = {(x, y, z) : x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1} 6) F(x) = xy e 1 2y e 2 + (z x) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 4} med nedåtriktad orientering. 7) F(x) = (xz + e z ) e 1 + 3x 2 yz e 2 + ( y2 z 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med uppåtriktad orientering. 8) F(x) = (xz y)z e 1 + (x 2 z 2 ) e 2 + (y 2 + z 3 ) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 z = 2 x 2 y 2 } med uppåtriktad orientering. 9) F(x) = xy e 1 + (y 2 + z) e 2 + (z 2 x 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : z = 1 2x 2 y 2, z 0} med uppåtriktad orientering. 10) F(x) = (y 3 +z 3 ) e 1 +(2yz x 2 ) e 2 +(x 2 +3z z 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med inåtriktad orientering. 11) F(x) = (y 2xz) e 1 + sin(x 2 z) e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 3, 0 z 1} 12) F(x) = (xz + y 2 ) e 1 + (x 2 + yz) e 2 + (x 2 + y 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 z = 1 x 2 y 2 } med uppåtriktad orientering. 13) F(x) = x 3 z e 1 + y 3 z e 2 + (x 2 + y 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : z 2 = x 2 + y 2 1, 0 z 1} 14) F(x) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (x e 1 + y e 2 + z e 3 ), Y = {(x, y, z) : 0 z = 1 x 2 + y 2 } 15) F(x) = xy 2 e 1 + x 3 y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + 4y 2 z 2x + 4y + 2}

Kap Dubbelintegraler.

Kap Dubbelintegraler. Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )

Läs mer

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet

Läs mer

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z) Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om

Läs mer

där γ är den i medurs led genomlupna tjocka halvcirkeln (x 1) 12 + (y 1) 12 = 1, x 1, från punkten A : (1, 0) till punkten B : (1, 2).

där γ är den i medurs led genomlupna tjocka halvcirkeln (x 1) 12 + (y 1) 12 = 1, x 1, från punkten A : (1, 0) till punkten B : (1, 2). MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA18 Differential- och integralkalkyl III

Läs mer

Repetitionsuppgifter

Repetitionsuppgifter MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.

Läs mer

Tentan , lösningar

Tentan , lösningar UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är

Läs mer

n 3 (2x 4) n 6 n? 3. Bestäm volymen av den kropp som ligger innanför ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 16 och ovanför konen z = 3x 2 + 3y 2.

n 3 (2x 4) n 6 n? 3. Bestäm volymen av den kropp som ligger innanför ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 16 och ovanför konen z = 3x 2 + 3y 2. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA128 Differential- och integralkalkyl III

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y

Läs mer

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C

TMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och

Läs mer

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand

Läs mer

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3, Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5

Läs mer

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2 ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y

Läs mer

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare

Flervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2010 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, alculus: a complete course, 6th ed., Addison Wesley,

Läs mer

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion

Läs mer

Kontrollskrivning 1A

Kontrollskrivning 1A Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen

Läs mer

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,

Läs mer

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler

Läs mer

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03

Studiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03 Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016 Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016 Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten

Läs mer

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel

Läs mer

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet

Läs mer

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035 Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.

Läs mer

Flervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004

Flervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004 Flervariabelövningar Fredrik Bengzon 3 mars 24 Innehåll 1 Partiella derivator och kedjeregeln 3 2 Gradient och riktningsderivata 4 3 Kurvor och ytor 5 4 Taylors formel 8 5 ivergens och rotation 9 6 Kurvintegralen

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På

Läs mer

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av

1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja

Läs mer

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan

Läs mer

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09

Outline. TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Outline TMA043 Flervariabelanalys E2 H09 Matematiska vetenskaper halmers Göteborgs universitet tel. (arb) 772 35 57 epost: carl-henrik.fant@chalmers.se 7 oktober 2009 1 Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht09

Läs mer

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1) ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje

Läs mer

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv

Flervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,

Läs mer

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 mars 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x

SF1600, Differential- och integralkalkyl I, del 1. Tentamen, den 9 mars Lösningsförslag. f(x) = x x Institutionen för matematik, KTH Serguei Shimorin SF6, Differential- och integralkalkyl I, del Tentamen, den 9 mars 9 Lösningsförslag Funktionen y = fx definieras för x >, x som x + x fx = x a Definiera

Läs mer

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet

AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet AB2.4: Kurvintegraler. Greens formel i planet Kurvintegralener Kurvor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En rymdkurva på parameterform ges av tre ekvationer x = x(t),

Läs mer

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i TATA4 Flervariabelanalys 5--7 kl 8 Inga hjälpmedel tillåtna inte heller miniräknare 8//6 poäng med minst /4/5 uppgifter

Läs mer

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3,

4. Bestäm arean av det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och y = x 2. h(x) = e 2x 3, MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MAA151 Envariabelkalkyl, TEN1 Datum: 014-1-04

Läs mer

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675

log(6). 405 så mycket som möjligt. 675 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 8 augusti Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende. Institutionen för matematik KTH MOELLTENTAMEN Tentamensskrivning, år månad dag, kl. x. (x + 5).. 5B33, Analytiska metoder och linjär algebra. Uppgifterna 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga

Läs mer

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 2013 SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 27 maj, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mattias Dahl Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. De tre

Läs mer

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. Kap 5.7, 7. 7.. Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder. 8. (A) Beräkna arean av det ändliga område som begränsas av kurvorna x a. y = + x och y = b. y = x e x och y = x

Läs mer

Studiehandledning till. MMA022 Differentialekvationer för lärare. läsåret 2010/11

Studiehandledning till. MMA022 Differentialekvationer för lärare. läsåret 2010/11 Studiehandledning till MMA22 Differentialekvationer för lärare läsåret 21/11 Kursinformation för MMA22 Mål Avsikten med kursen MMA22 Differentialekvationer för lärare är att introducera de grundläggande

Läs mer

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl MATEMATIK Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola atum: 2-3-9 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel. 73-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Läs mer

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Fredrik Strömberg och Leo Larsson Prov i matematik Fristående kurs Matematik MN 00-0-0 Skrivtid: 9.00 4.00 Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel:

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 2015-01-12 DEL A 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = xe 1/x. A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Beräkna de fyra gränsvärdena lim x ± f(x)

Läs mer

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet

Lektion 1. Kurvor i planet och i rummet Lektion 1 Kurvor i planet och i rummet Innehål Plankurvor Rymdkurvor Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation Innehål Plankurvor Rymdkurvor Tangentvektorn och tangentens ekvation

Läs mer

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen 20-0-, kl. 4.00-8.00 TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Richard Lärkäng, telefon: 0703-088304 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna.

Läs mer

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2 Lösningsförslag till tentamen TMA3 Flervariabelanalys E2 23--6 kl. 8.3 2.3 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 73 88 3 Hjälpmedel: bifogat

Läs mer

23 Konservativa fält i R 3 och rotation

23 Konservativa fält i R 3 och rotation Nr 23, 7 maj -5, Amelia 2 23 Konservativa fält i R 3 och rotation 23. Potential 23.. Två dimensioner (2D) I två dimensioner definierade vi ett vektorfält som konservativt om kurvintegralen av fältet endast

Läs mer

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x. Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF644) /6 29. Bestäm med derivatans definition d dx ex. Derivatans definition är f (x) = lim h h ( f(x + h)

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl Tentamen i Flervariabelanalys, MVE35 216-3-14, π, kl. 14.-18. Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Raad Salman För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29 poäng, betyg

Läs mer

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen.

a3 bc 5 a 5 b 7 c 3 3 a2 b 4 c 4. Förklara vad ekvationen (2y + 3x) = 16(x + 1)(x 1) beskriver, och skissa grafen. MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 juni Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015 Skrivtid: 08:00-13:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Lars Filipsson Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-4 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MAB 8 Skrivtid: 9:-4:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler bifogas

Läs mer

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 015-01-09

Läs mer

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl

Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE , kl Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE35 26-4-2, kl. 4-8 Hjälpmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: anknytning 5325 Telefonvakt: Edvin Wedin För godkänt krävs minst 2 poäng. Betyg 3: 2-29.5 poäng, betyg

Läs mer

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

Blandade A-uppgifter Matematisk analys TEKNISKA HÖGSKOLAN Matematik Blandade A-uppgifter Matematisk analys 1 Låt u = i och v = 1 + i Skriv det komplexa talet z = u/v på den polära formen re iϕ Svar: e i π Bestäm de reella tal x för vilka x

Läs mer

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats

AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats AB2.5: Ytor och ytintegraler. Gauss divergenssats Ytor på parameterform Låt xyz vara ett cartesiskt koordinatsystem i rummet. En yta på parameterform ges av tre ekvationer x = x(u, v), y = y(u, v), z =

Läs mer

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2 MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 5 november 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera

Läs mer

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln. MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Erik Darpö TENTAMEN I MATEMATIK MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 11 juni 014

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 Omfattning och innehåll Flervariabelanalys E2, Vecka 5 Ht08 15.1 Vektorfält och skalärfält 15.2 Konservativa vektorfält (t.o.m. exempel 5) 15.3 Kurvintegraler 15.4 Kurvintegral av vektorfält 15.5 Ytor

Läs mer

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0

2. Avgör om x och z är implicit definierade som funktion av y via följande ekvationssystem. x 3 + xy + y 2 + z 2 = 0 x + x 3 y + xy 3 + xz 3 = 0 ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För distans och campus Flervariabelanalys ma1b 14 1 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel, förutom den bifogade formelsamlingen. Lösningarna skall vara fullständiga

Läs mer

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen Institutionen för matematik, KTH Mattias Dahl 5B, Dierential- och integralkalkyl I, del, för TIMEH2 Tentamen, tisdag 29 mars 25 kl.9.. Svara med motivering och mellanräkningar. Tillåtet hjälpmedel är formelsamlingen

Läs mer

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Studiehandledning till. MAA123 Grundläggande vektoralgebra Studiehandledning till MAA13 Grundläggande vektoralgebra vid kurstillfället i period 4 läsåret 013/14 Version 014-05- Information om kursen MAA13 Avsikt Avsikten med kursen MAA13 Grundläggande vektoralgebra

Läs mer

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3

2 + i 2 z = 1 + i, 2. I xy-planet är Ω det begränsade område som precis innesluts av kurvorna. och sin(x) = 6 3 MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 05-0-5

Läs mer

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM Större delen av de rekommenderade uppgifterna i boken är beräkningsuppgifter. Det är emellertid även viktigt att utveckla en begreppsmässig förståelse för materialet. Syftet med

Läs mer

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL Tentamen, del Lösningar DN140 Numeriska metoder gk II F och CL Lördag 17 december 011 kl 9 1 DEL : Inga hjälpmedel Rättas ast om del 1 är godkänd Betygsgränser inkl bonuspoäng: 10p D, 0p C, 30p B, 40p

Läs mer

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015 Allmänt gäller följande: För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013 SF625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 23 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng.

Läs mer

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys

Tentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys Tentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 5--9 kl. 8.3.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Mattias Lennartsson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat

Läs mer

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys

Omtentamen MVE085 Flervariabelanalys Omtentamen MVE85 Flervariabelanalys 26-8-26 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Adam Malik, telefon: anknytning 5325 Hjälpmedel: endast bifogat formelblad,

Läs mer

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller

1. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som uppfyller Repetitionsuppgifter Endimensionell analys, Komplexa tal delkurs B2. (a) Los ekvationen z 2 4iz 7 + 4i = 0: Rotterna ska ges pa formen a + bi. (b) Rita i det komplexa talplanet alla komplexa tal z som

Läs mer

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik

Vektoranalys III. Anders Karlsson. Institutionen för elektro- och informationsteknik Vektoranalys III Anders Karlsson Institutionen för elektro- och informationsteknik 16 september 215 Översikt 1 Gauss sats divergenssatsen Exempel på användning av Gauss sats 2 tokes sats Exempel på användning

Läs mer

Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08

Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08 Flervariabelanalys E2, Vecka 6 Ht08 Omfattning 6., 6.3-6.5 Innehåll: Gradient, divergens, rotation, Greens sats/formel, divergenssatsen i två och tre dimensioner, tokes sats tma043 V6, Ht08 bild Mål: För

Läs mer

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys

AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys AB2.1: Grundläggande begrepp av vektoranalys En vektor är en storhet som dels har icke-negativ storlek dels har riktning i rummet. Två vektorer a och b är lika, a = b, om de har samma storlek och samma

Läs mer

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60

Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 MATEMATIK Karlstads universitet 2010-11-02, kl 8.15-13.15 Hjälpmedel: Inga Ansvarig lärare: Håkan Granath Tel: 2181, alt. 0735-37 37 34 Tentamen Matematisk grundkurs, MAGA60 För uppgift 1 skall endast

Läs mer

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén

Tavelpresentation. Grupp 6A. David Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén Tavelpresentation Grupp 6A avid Högberg, Henrik Nordell, Harald Hagegård, Caroline Bükk, Emma Svensson, Emil Levén 3 mars 2017 1 Potentialfält Vi har tidigare introducerat vektorfält i planet som funktioner

Läs mer

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1) Matematik Hjälpmedel: Inga Chalmers Tekniska Högskola Tentamen 5--7 kl. 4: 8: Telefonvakt: Samuel Bengmark ankn.: 7-87644 Betygsgränser :a poäng, 4:a poäng, 5:a 4 poäng, max: 5 poäng Tentamensgranskning

Läs mer

Uppgiftshäfte Matteproppen

Uppgiftshäfte Matteproppen Uppgiftshäfte Matteproppen Emma ndersson 0 Joar Lind 0 Sara Lundsten 05 Malin Forsberg 06 UPPSL UNIVERSITET Innehåll Uppdelning av häfte Uppgifter Block. Bråkräkning........................ Uttryck..........................

Läs mer

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK

Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Matematik- och fysikprovet Arkitektur och teknik, Teknisk fysik, Teknisk matematik Antagningsprov 008 - MATEMATIK 008-05-17, kl. 9.00-1.00 Skrivtid: 180 min Inga hjälpmedel tillåtna.

Läs mer

20 Integralkalkyl i R 3

20 Integralkalkyl i R 3 Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Årgång 43, 1960 Första häftet 2244. Vilka värden kan a) tan A tanb + tan A tanc + tanb tanc, b) cos A cosb cosc anta i en triangel ABC? 2245. På en cirkel med centrum O väljes en båge AB, som är större

Läs mer

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår

för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår Institutionen för Fysik och Astronomi Tentamen i Matematik D 21-8-16 för Tekniskt/Naturvetenskapligt Basår lärare : Filip Heijkenskjöld, Susanne Mirbt, Lars Nordström Skrivtid: 8.-12. Hjälpmedel: Miniräknare

Läs mer

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag 211.8.11 14.3 17.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva

Läs mer

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner Nr, feb -5, Amelia Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner.1 Funktioner från R n till R m Vi har i tidigare föreläsningar sett olika tolkningar av funktioner från R n till

Läs mer

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn. KTH Matematik Extra uppgifter på linjär algebra SF1621 Analytiska metoder och linjär algebra 2 för OPEN och T Förkunskaper Obs en del av detta är repetition från förra kursen Men innan ni ens börjar med

Läs mer

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1 ATM-Matematik Mikael Forsberg 6-64 89 6 Matematik med datalogi, mfl. Skrivtid:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje ny uppgift på ny sida. Använd ej baksidor.

Läs mer

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag v1.1 Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik Kurs: MA15G Matematisk Analys MA13G Matematisk analys för ingenjörer Tentamensdag: 1-8-8 kl 8.3-13.3 Hjälpmedel : Inga hjälpmedel

Läs mer

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014 UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard Jörgen Östensson Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA1 8 3 31 Skrivtid: 8: 13:. Tillåtna hjälpmedel:

Läs mer

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN 3. Håkan Strömberg KTH STH KOKBOKEN 3 Håkan Strömberg KTH STH Hösten 006 Håkan Strömberg KTH Syd Innehåll Derivatans definition.............................. 5 Uppgift................................. 5 Uppgift.................................

Läs mer

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR

Introduktionskurs i matematik LÄSANVISNINGAR UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Höstterminen 006 Introduktionskurs i matematik för civilingenjörsprogrammet F Tentamen på Introduktionskursen i matematik äger rum lördagen den 6 september

Läs mer

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett

Läs mer

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 MÄLARDALENS HÖGSKOLA TENTAMEN I MATEMATIK Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014 Examinator: Karl Lundengård Skrivtid:

Läs mer