Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version
|
|
- Barbro Sundberg
- för 7 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Studiehandledning till MMA128 ifferential- och integralkalkyl III läsåret 2012/13 Version
2 ursinformation för MMA128 Mål Avsikten med kursen MMA128 ifferential- och integralkalkyl III är att vidga och fördjupa de grundläggande kunskaper om funktioner som erhållits i tidigare kurser i differential- och integralkalkyl. I detta innefattas att begreppet serie förankras mer metodiskt, att begreppet vektorfält introduceras, samt att integralbegreppet generaliseras till att omfatta integration på rymdkurvor, ytstycken och kroppar i det tredimensionella rummet. En annan avsikt med kursen är att den ska ge en grund för studier i matematik på avancerad nivå, samt för teoretiska studier inom fysik och teknik. Undervisning ursen är schemalagd med 16 lektioner om totalt 41 timmar, samt en tentamen om fem timmar. Vid sidan om det schemalagda formeras kursen av 24 individuella inlämningsuppgifter (i detta häfte) som ska lösas och lämnas in för bedömning. Specifikationen av vilken version av uppgifterna som respektive student ska lösa ges av den versionssiffra som var och en tilldelas i början av kursen. Vikten av att vid matematikstudier lösa många och olika typer av problem kan knappast överskattas. I kursboken Calculus. Early Transcendentals, 7:e upplagan, av James Stewart (ISBN , Brooks/Cole 2011) finns många övningsuppgifter att ta sig an, liksom det även gör i studiehandledningen. Examination och betyg Examinationsmomentet INL1 e betygsgrader som används i examinationsmomentet INL1 (2,5 hp) är underkänd (u) och godkänd (g). För att under kursens gång bli godkänd i INL1 krävs att lösningar till i kursen ingående individuella inlämningsuppgifter har inlämnats och sedan blivit godkända. Examinationsmomentet TEN1 e betygsgrader som används i examinationsmomentet TEN1 (5,0 hp) är underkänd (u), och godkändgraderna 3, 4, och 5. Tentamen TEN1 består av åtta (8) stycken uppgifter à 5 poäng. Gränserna för betygen 3, 4 och 5 är 18, 26 respektive 34 poäng. Hjälpmedel vid tentamen är penna, linjal och radermedel. Skrivtid per enskild tentamen är fem (5) timmar. Sammanfattningsbetyg Sammanfattningsbetyg på en avklarad kurs blir detsamma som godkändbetyget på TEN1, dvs något av betygen 3, 4, eller 5. Block Moment Lektion Bokavsnitt 1 1 L L L L04 Uppföljning L , L , L L08 Uppföljning L L10 Uppföljning 3 10 L , L12 Uppföljning 4a L L14 Uppföljning 4b L15 Repetition L16 Repetition 2
3 Block 1 Talföljder och serier 1. Talföljder, serier och konvergenstest INL 1.a Bestäm summan av serien. 1) 2 π 4 π π ) ) 1 e 2 3 e e ) ) π 16 + π ) ) ) ) ) ) π π ) e e + 32 e ) e 3 π 3 + e6 π 6 + e9 π ) ) π 2 e + π e e INL 1.b Är serien absolut konvergent, betingat konvergent eller divergent? 1) 3n 2 7n 2n 3 n + 2n 2 5) ( 1) n 1 n 2 sin(1 + 1/n 2 ) 9) n 5 + 7n 2 n ) 5 + 3n 3/5 4 + n 2 2) cos(nπ) ln(n + 2) 6) 2 n n 5 + 3n ) n 2/5 n n ) ln(1 + 1/n) cos(πn) 3) 3 n 1 2 n + 5 7) ( 1) n sin(1/ n) n 11) cos(nπ) arctan(2n) 15) 8 n e n 7 n π n + 2 4) n=2 4n n 3 n 1 8) ln(n + 1) n( 1) n 12) ne n π n Potensserier INL 2.a Bestäm konvergensradien och konvergensintervallet till potensserien. 1) ( 1) n x n n 3 n 4) (x + 1) n n 3 π n 7) nx n 4 n 10) (1 2x) n n 13) (5x 3) n n 3/4 2) (x 2) n n 2 3 n 5) ( 1) n (2x) n n 8) (2x 4) n n 11) (x + 4) n 1 + n n 14) 9 n (x 1) n n 3) (2x + 3) n 4 n 6) (3x 2) n n 9) (x 5) n 2 n n 12) x n ( 7) n n 2 15) n(2x + 3) n n
4 4 INL 2.b Bestäm den potensserie i x som representerar funktionen f. Ange speciellt konvergensintervallet. 1) f(x) = (1 16x 2 ) 1 5) f(x) = (2 2x 2 ) 1 9) f(x) = x(2x 3) 1 13) f(x) = (3 + x 2 ) 1 2) f(x) = x(3x + 1) 1 6) f(x) = x 2 (5 2x) 1 10) f(x) = x 2 (1 + 3x 2 ) 1 14) f(x) = x(16 4x 2 ) 1 3) f(x) = (1 + 2x 3 ) 1 7) f(x) = (1 9x 2 ) 1 11) f(x) = (1 + 4x 2 ) 1 15) f(x) = (x 3 + 2) 1 4) f(x) = 2x(4x 3) 1 8) f(x) = x(2 + x 2 ) 1 12) f(x) = 3x(2x + 1) 1 3. Taylor- och Maclaurinserier INL 3.a Undersök om gränsvärdet existerar. Ange i förekommande fall gränsvärdet. 1) lim 2) lim 3) lim ln(1 x 2 ) + x sin(x) x 2( e x/2 1 + x ) 1 x2 cos(x) ln(1 + x 2 ) x arctan(x) arctan(x) sin(x) x ( (1 + x) 1/3 e x/3) 6) lim x ln(1 + x 2 ) x 3 sin(x) x cos(x/ 3) 7) lim 8) lim x sin(tan(x)) 1 cos(x/3) 3x 2 x arctan(3x) ln(1 + 2x 2 ) + cos(2x) 1 11) lim 12) lim x 2 ln(1 x 2 ) + x arctan(x) e 2x2 cos(2x) ( ) arcsin(x) x sin(x) x 1 x 2 /3 13) lim 3x 3 + x ln(1 3x 2 ) arcsin(x) xe x2 /6 4) lim xe x 2 /6 arcsin(x) x x cos(x 2 ) 5) lim cos(x 2) e x 2 x ( arctan(x) x ) 9) lim tan(3x) 3x x 1 + x 2 /2 sin(x) 14) lim e x 2 (1 + x) x 1 arcsin(x) arctan(x) 10) lim arctan(x) sin(x) x ln(1 + x) ln(1 + x 2 ) 15) lim x 2 x sin(x) 1 9x2 cos(3x) INL 3.b Bestäm summan av serien. 1) ( 1) n π 2n 6 2n (2n)! 5) ( 1) n+1 π 2n 4 n 1 (2n 1)! 9) ( 1) n π 2n 36 n (2n + 1)! 13) ( 1) n 1 4 n π 2n 1 3 2n (2n 1)! 2) ( 1) n 4 n π 2n n (2n + 1)! 6) (ln(5)) n (n + 1)! 10) 1 n( 2) n 1 14) ( 1) n (ln(7)) n 2 n n! 3) ( 1) n+1 3 n 1 2 (2n + 1) 7) ( 1) n 1 π 2n 1 4 2n+1 (2n)! 11) ( 1) n+1 π 2n 9 n (2n)! 15) ( 1) n π 2n 4 n (2n)! 4) ( 1) n (ln(2)) n 2 n n! 8) ( 3) n 2n 1 12) (e 1) n ne n INL 3.c Bestäm Taylorserien till funktionen f kring den givna punkten. 1) f(x) = ln(2x 3) kring 3 2) f(x) = 1/ x kring 4 3) f(x) = cos(x) kring π/3 4) f(x) = e x/2 kring 3 5) f(x) = sin(x) kring π/4 6) f(x) = ln(x) kring e 7) f(x) = sin(2x) kring π/6 8) f(x) = x kring 9 9) f(x) = ln(3 + 2x) kring 1 10) f(x) = cos(x) kring π/6 11) f(x) = ln(5 x) kring 2 12) f(x) = cos(3x) kring π/6 13) f(x) = 1/ x kring 1/4 14) f(x) = ln(1 2x) kring 1 15) f(x) = sin(x) kring π/2
5 Block 2 Vektorvärda funktioner 4. Båglängd och krökning , INL 4.a Beräkna längden av kurvan r = f(t), t f. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) f(t) = 3 cos(2t) e 1 + 3t e 2 3 sin(2t) e 3, f = [0, π]. 2) f(t) = t 2 e 1 + e 2 t 3 e 3, f = [0, 1]. 3) f(t) = e t e 1 + e t e 2 + t 2 e 3, f = [0, ln(2)]. 4) f(t) = ( t + cos(t) ) e sin(t) e 2 + ( t cos(t) ) e 3, f = [0, π]. 5) f(t) = cos 3 (t) e 2 + sin 3 (t) e 3, f = [0, 1 2 π]. 6) f(t) = ( cos(t) ) e 1 + ( 1 sin(t) ) e 2 + ( 3 + sin(t) ) e 3, f = [0, 2π]. 7) f(t) = ln(t) e 1 + 2t e 2 + t 2 e 3, f = [1, e]. 8) f(t) = 4t e 1 4 cos(3t) e sin(3t) e 3, f = [0, 2 3 π]. 9) f(t) = 1 t2 1 + t 2 e 1 + 2t 1 + t 2 e 2, f = [0, ). 10) f(t) = 2 cos(t) e 1 + ( 3t + 2 sin(t) ) e 2 + ( 3t 2 sin(t) ) e 3, f = [0, π]. 11) f(t) = 2 t e 1 + 2(t 3 /3) e 2 + (1 t 2 ) e 3, f = [0, 1]. 12) f(t) = cosh(t) e 1 sinh(t) e 2 + t e 3, f = [0, 1 2 ln(2)]. 13) f(t) = 3t e 1 + 3t 2 e 2 + 2t 3 e 3, f = [0, 1]. 14) f(t) = 1 3 t3 e t 2 e 2 + t e 3, f = [0, 3]. 15) f(t) = ( sin t t cos t ) e 1 + ( cos(t) + t sin(t) ) e 2 + t 2 e 3, f = [0, π]. INL 4.b Bestäm krökningsradien och krökningscentrum till kurvan i INL 4.a. 5. Hastighet och acceleration INL 5.a INL 5.b Beräkna hastigheten och accelerationen för en partikel som rör sig enligt ekvationen i uppgift INL 4.a. Bestäm den tangentiella komponenten och normalkomponenten av accelerationen för en partikel som rör sig enligt ekvationen i INL 4.a. 5
6 Block 3 Multipelintegraler 6. Variabelsubstitution i dubbelintegraler , 15.4 INL 6.a 1) Beräkna (x + y) 2 cos(x 2 y 2 ) da, där ges av x 0, x y 0, x + y π x + y 2) Beräkna da, där är 2 + x y rektangelskivan 0 x + y 2, 1 x y ) Beräkna x 2 1 x 4 y 4 da, där ges av xy < 1, 0 < y < x < 2y x 2 + y 2 4) Beräkna 1 + xy da, där ges av x > 0, 1 xy 4, 1 x 2 y ) Beräkna (x 4 y 4 ) da, där är ges av 0 x 2 y 2 1, 2 x 2 + y ) Beräkna (x y) 2 sin 2 (x + y) da, där är kvadratskivan med hörnen i punkterna (π, 0), (2π, π), (π, 2π), respektive (0, π) x + y 7) Beräkna 4x + y da, där är triangelskivan x, y 0, x + y ) Beräkna ln( x + y ) da, där ges av 1 x + y 2. 9) Beräkna x + y x 2 + y 2 ex y da, där ges av x > 0, 1 x 2 +y 2 2, 0 x y 1. (x + y) 3 10) Beräkna 1 + (x y) 2 da, där är triangelskivan med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (0, 1). 11) Beräkna xy(x 2 y 2 ) da, där är ges av x > 0, 1 xy 2, 1 x y ) Beräkna ln(y/x) da, x2 där ges av 1 x + y 2, 1 y/x 2. 13) Beräkna x y x 2 + y 2 da, där ges av x, y 0, 1 x + y 2. xy(2x 2 + y 2 ) 14) Beräkna 2x 2 y 2 da, där ges av x > 0, 1 xy 2, 3 2x 2 y ) Beräkna (x + 2y)e x2 4y 2 da, där ges av 0 x 2y 4, 0 x + 2y 3. 6
7 7.. TRIPPELINTEGRALER 7 INL 6.b 1) Beräkna volymen av området som ligger ovanför konen z = 2 x 2 + y 2 och inuti ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 18. 2) Beräkna ln(2 + x2 + y 2 ) da, där är det i den första kvadranten belägna område som precis innesluts av kurvorna y = x 3, x 2 + y 2 = 4 och x = y 2 3) Beräkna dy dx (x 2 + y 2 ) 5/ ) Beräkna volymen av det område som ligger inuti sfären x 2 + y 2 + z 2 = 25 och utanför cylindern x 2 + y 2 = 4. 5) Beräkna (3 + 2x2 + y 2 ) 3/2 da, där är den första kvadranten av planet R 2. 6) Beräkna volymen av det område som ligger ovanför planet z = 0, inuti cylindern x 2 + y 2 = 3, och under konen z = 2 x 2 + y 2. 7) Beräkna sin(x2 + y 2 ) da, där är det i den första kvadranten belägna område som precis innesluts av de räta linjerna y = 0 och x = y 3, samt av cirklarna x 2 + y 2 = π/6 och x 2 + y 2 = π/2. 8) Beräkna y 2 dy 9 y 2 dx e x 2 y 2. 9) Beräkna volymen av det område som precis innesluts av paraboloiden 3x 2 +3y 2 +z = 10 och planet z = ) Beräkna 2 4y 2 da. R 2 e x 11) Beräkna volymen av det område som ligger under paraboloiden 2x 2 + 2y 2 + z = 22 och ovanför konen z = 7 x 2 + y 2. 12) Beräkna cos(x2 +y 2 ) da, där är det i det övre halvplanet belägna område som precis innesluts av cirklarna x 2 + y 2 = π/6 och x 2 + y 2 = 3π/4, samt av de räta linjerna y = x och y = x 3. 13) Beräkna 2 0 dx 2x x 2 0 dy x 2 + y 2. 14) Beräkna volymen av det område som precis innesluts av paraboloiderna 4x 2 +4y 2 +z = 20 och x 2 +y 2 = z. 15) Beräkna (1 + (9x2 + y 2 ) 2 ) 1 da, där är området i den första kvadranten av xy-planet. 7. Trippelintegraler INL 7.a 1) Beräkna (4 + x + y + z) 3 dv, där är tetraederkroppen x, y, z 0, x + y + z 1. 2) Beräkna z dv, där är kroppen x, y 0, x + y 1, 0 z 1 y 2. 3) Beräkna x + y dv, där är kroppen 0 x + y z 2 y 1, z 0. 4) Beräkna (x + 2y) dv, där är kroppen som precis innesluts av den paraboliska cylindern y = x 2, och av planen y = x, x = z, z = 0. 5) Beräkna (x + 1)z dv, där är kroppen som precis innesluts av planen z = 0, 2x + y + z = 3, y = 1, och av ytan y = x 2. 6) Beräkna (x + y + z) dv, där är kroppen 0 x z 2x 2, 0 y x + z. 7) Beräkna xy2 z 3 dv, där är kroppen som precis innesluts av ytan z = xy, och av planen y = x, x = 1, z = 0. 8) Beräkna xy cos(πz5 /6) dv, där är kroppen 0 x z y 2z 2. 9) Beräkna yz2 dv, där är tetraederkroppen med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 1, 0), respektive (0, 0, 1). 10) Beräkna x dv, där är tetraederkroppen som precis innesluts av planen x = 1, y = 1, z = 1, och x + y + z = 2. 11) Beräkna xyz dv, där är kroppen 0 z 2y 2x 2.
8 8 12) Beräkna x dv, där är kroppen som precis innesluts av planen 2x + y + 2z = 6, x = 0, y = 0, och z = 0. 13) Beräkna xz dv, där är tetraederkroppen med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0), respektive (0, 1, 1). 14) Beräkna z dv, där är den i den första oktanten belägna kroppen vilken precis innesluts av planen x = 0, z = 0, y = 3x, och av cylindern y 2 + z 2 = 9. 15) Beräkna z 1 dv, där är kroppen som precis innesluts av ytan y = 1 x, och av planen z = 1, x = 1, y = 1, y + z = 3. INL 7.b 1) Beräkna (x2 + y 2 ) dv, där är den i tredje oktanten (x, y < 0 < z) befintliga delen av klotet x 2 + y 2 + z ) Beräkna x2 + y 2 + z 2 dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger inom klotet 1 3 (x2 + y 2 ). x 2 +y 2 +z 2 4 och ovanför konen z = 3) Beräkna (x2 +y 2 +z 2 ) 1/2 e x 2 +y 2 +z 2 dv, där är kroppen z 3(x 2 + y 2 ). 4) Beräkna z(x2 + y 2 + z 2 ) 1/4 dv, där är den kropp som i halvrummet y > 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 9 och under konen z = x 2 + y 2. 5) Beräkna (x2 + y 2 + z 2 ) 1 (3 + x 2 + y 2 + z 2 ) 1 dv, där är den i andra oktanten (x < 0 < y, z) befintliga delen av kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z ) Beräkna x2 z dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger ovanför konen z = 3(x2 + y 2 ) och inom skalet 1 x 2 + y 2 + z ) Beräkna y2 dv, där är den i området x y 0 befintliga delen av klotet x 2 +y 2 +z ) För vilka reella tal β konvergerar (x2 + y 2 + z 2 ) β/2 dv, där är kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z 2 1? 9) Beräkna x x 2 + y 2 + z 2 dv, där är den kropp som i halvrummet x < 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z och under konen z = 3 (x2 + y 2 ). 10) Beräkna (1 + x2 + y 2 + z 2 ) 2 dv, där är den i andra oktanten (x < 0 < y, z) befintliga delen av kroppen utanför klotet x 2 + y 2 + z ) Beräkna e x 2 +y 2 +z 2 dv, där är den i första oktanten (x, y, z > 0) av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 4 omslutna kroppen. 12) Beräkna z dv, där är den i första och andra oktanterna (y, z > 0) befintliga delen av skalet 2 x 2 + y 2 + z ) Beräkna ze x2 y 2 z 2 dv, där är kroppen som ligger ovanför konen z = x 2 + y 2. 14) Beräkna y(x2 + y 2 + z 2 ) 2 dv, där är den kropp som i halvrummet y > 0 ligger inom klotet x 2 + y 2 + z 2 1 och ovanför konen z = x 2 + y 2. 15) Beräkna (x2 + y 2 + z 2 ) 3/2 dv, där är den i halvrummet y < 0 ovanför konen z = 3(x 2 + y 2 ) befintliga andelen av skalet 4 x 2 + y 2 + z 2 9.
9 Block 4 Vektoranalys 8. urvintegraler INL 8.a oordinatsystemet Oe 1 e 2 är av typ ON. 1) Beräkna xy dx + x2 dy, där är kurvan y = x 2, från punkten (0, 0) till punkten (1, 1). 2) Beräkna det arbete som kraftfältet (x 2 + y 2 ) e 1 + (x 2 y 2 ) e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna kvadraten med hörnen i punkterna (1, 1), ( 1, 1), ( 1, 1), och (1, 1). 3) Beräkna (x2 + xy) dx + (y 2 xy) dy, där är linjesegmentet från punkten (0, 0) till punkten (2, 0), följt av linjesegmentet från (2, 0) till (2, 2). 4) Beräkna det arbete som kraftfältet (x + y) 2 e 1 + (x y) 2 e 2 uträttar längs den i medurs led genomlupna kurvan given av kurvsegmenten x 2 = y och x = y 2 i området 0 x, y 1. 5) Beräkna (2x y) dx + xy dy, där är kurvan x 3 = 2y 2, från punkten (0, 0) till punkten (2, 2). 6) Beräkna y dx x dy, där är kurvan x2 + y 2 = 1, från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). 7) Beräkna det arbete som kraftfältet (xy y 2 ) e 1 + (x + y) e 2 uträttar längs linjesegmentet från punkten ( 1, 2) till punkten (2, 0), följt av linjesegmentet från (2, 0) till (2, 1). 8) Beräkna (2x y) dx + (x + y2 ) dy, där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna ( 1, 0), (0, 1), och (1, 0). 9) Beräkna det arbete som kraftfältet xy 2 e 1 x 2 y e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna kurvan x 2 + y 2 = 2y, från punkten (0, 0) till punkten (1, 1). 10) Beräkna (3xy + y2 ) dx + (x 2 2y) dy, där är den i moturs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (1, 1), ( 1, 1), och (1, 2). 11) Beräkna x ln(y/x) dx (x2 /y) dy, där är kurvan x = y 3, från punkten (1, 1) till punkten (8, 2). 12) Beräkna det arbete som kraftfältet y 3 e 1 + x 3 e 2 uträttar längs den i moturs led genomlupna ellipsen (x/2) 2 + (y/3) 2 = 1. 13) Beräkna y3 dx + x 3 dy, där är den i moturs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (1, 1). 14) Beräkna det arbete som kraftfältet (xy + y 2 ) e 1 + (x xy 2 ) e 2 uträttar längs den i medurs led genomlupna rektangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (2, 2), (1, 3), och ( 1, 1). 15) Beräkna (x4 y 2 ) dx+(x 4 +y 2 ) dy, där är kurvan y = x 2, från punkten ( 1, 1) till punkten (1, 1), följt av linjesegmentet från (1, 1) till ( 1, 1). 9
10 10 9. onservativa vektorfält och Greens formel INL 9.a Visa att F i ett enkelt sammanhängande område är ett konservativt vektorfält genom att bestämma en potentialfunktion φ för F. Beräkna även kurvintegralen F dr där är en styckvis slät kurva från punkten A till punkten B. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = (2xz + y 2 ) e 1 + 2xy e 2 + (x 2 + 3z 2 ) e 3, A : (2, 3, 1), B : ( 1, 2, 2) ) F(x) = ye xy ln(yz) e 1 + e xy( x ln(yz) + 1/y ) e 2 + e xy (1/z) e 3, A : (0, 1, 1), B : (1, 3, e 3 ) ) F(x) = 2 cos(y) e 1 + (1/y 2x sin(y)) e 2 + (1/z) e 3, A : (0, 2, 1), B : (1, π 2, 2) ) F(x) = (3x 2 y 2 z + ln(z)) e 1 + ( 2x 3 yz + ln(z) ) e 2 + ( x 3 y 2 + (x + y)/z ) e 3, A : ( 1, 2, 1), B : (3, 1, e) ) F(x) = x 2 e 1 + yz e 2 + (y 2 /2) e 3, A : (0, 0, 0), B : (0, 3, 4) ) F(x) = 3x 2 e 1 + (z 2 /y) e 2 + 2z ln(y) e 3, A : (1, 1, 1), B : (1, 2, 3) ) F(x) = (2x ln(y) yz) e 1 + (x 2 /y xz) e 2 xy e 3, A : (1, 2, 1), B : (2, 1, 1) ) F(x) = xy(2 + xyz)e xyz e 1 + x 2 (1 + xyz)e xyz e 2 + x 3 y 2 e xyz e 3, A : ( 1, 2, 0), B : (2, ln 2, 1) ) F(x) = (y 2 z 2 + 2xz ln(y)) e 1 + xz(2yz + x/y) e 2 + (2xy 2 z + x 2 ln(y)) e 3, A : (2, 1, 2), B : ( 1, e, 1) ) F(x) = 2xz 3 cos(y) e 1 x 2 z 3 sin(y) e 2 + 3x 2 z 2 cos(y) e 3, A : (1, π, 2), B : (2, 0, 1) ) F(x) = (1/y) e 1 + (1/z x/y 2 ) e 2 y/z 2 e 3, A : (1, 2, 1), B : (3, 1, 2) ) F(x) = e yz e 1 + ( xze yz + z cos(y) ) e 2 + ( xye yz + sin(y) ) e 3, A : (1, 0, 1), B : (1, π 2, 0) ( ) F(x) = yz ln(x + y) + x ) ( e 1 + xz ln(x + y) + y ) e 2 + xy ln(x + y) e 3, A : (1, 1, e), B : (e, e, 1 x + y x + y e ) ) F(x) = y 2 z 2 cos(xy) e 1 + z 2( xy cos(xy) + sin(xy) ) e 2 + 2yz sin(xy) e 3, A : ( 1 6, π, 1), B : ( π 2, 1, 2) ) F(x) = e y+2z e 1 + xe y+2z e 2 + 2xe y+2z e 3, A : ( 1, 2, 1), B : (3, 0, 2) INL 9.b 1) Beräkna kurvintegralen genom att tillämpa Greens formel. (x y) dy 2y dx (x + y) 3, där är kurvan x = cos 3 (t), y = sin 3 (t) i den första kvadranten, från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). 2) (e x cos(x) y) dx + (2xy + arctan(y 2 )) dy, där är den i moturs led genomlupna randen till området x 2 3 y x 2 /4. (1 y 2 ) dx + (1 x 2 ) dy 3) (1 + xy) 2, där är den i första kvadranten genomlupna halvcirkeln från punkten (0, 0) till punkten (0, 1). 4) arctan(y/x) (x dx + y dy), där är linjesegmentet från punkten (1, 0) till punkten (2, 2). ( 5) cos(x) ln(x + y) + sin(x) ) dx x + y ( y 2 + sin(x) ) dy, där är kurvan x + y x = 2 2t 3, y = 2t 2, från punkten (2, 0) till p:n (0, 2).
11 10.. NABLARÄNING OCH YTINTEGRALER 11 6) x dy y dx (x y) 2, där är den i fjärde kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (0, 1) till punkten (1, 0). 7) y(x y2 + e xy ) dx + x(1 + e xy ) dy, där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 0), (1, 0), och (0, 1). 2xy ( 8) 1 + x 4 y 2 dx+ x 2 ) 1 + x 4 y 2 1 dy, där är kurvan x 3 + 7y 2 = 8 i den första kvadranten, från punkten (2, 0) till punkten (1, 1). 9) (xy 2 y 3 ) dx+(x 3 +4x 2 y) dy, där är den i moturs led genomlupna randen till området x + y 1. x dy y dx 10) (x + y), där är den i första kvadranten, xy med origo som medelpunkt, genomlupna delen av cirkeln från punkten (3, 1) till punkten (1, 3). 11) ( 1 + 2x ) ( x 2 dx ) + y x 2 dy, där är den + y i det övre halvplanet genomlupna halvcirkeln från punkten ( 1, 0) till punkten (1, 0). 12) ln x y ( dx + dy), där är den i medurs led genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (0, 3), (2, 3), och (1, 2). ( y ) x 13) 1 + (x + y) 2 dx dy, där är den i (x + y) 2 första kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (1, 0) till punkten (0, 1). xy (2x y) dy y 3 dx 14) (x y) 2, där är den i fjärde kvadranten, med origo som medelpunkt, genomlupna kvartscirkeln från punkten (0, 3) till punkten (3, 0). (x 1) dx + y dy 15) x 2 2x + y 2, där är parabeln y = x 2 16, från punkten (4, 0) till punkten ( 4, 0). 10. Nablaräkning och ytintegraler , INL 10.a 1) Beräkna arean av den del av ytan z = 2xy som ligger ovanför det område som i den första kvadranten av xy-planet avgränsas av kurvorna y = 0, x = 1, och y = x 3. 2) Beräkna arean av den ovanför xy-planet liggande delen av paraboloiden z = 4 x 2 y 2. 3) Beräkna arean av den inuti cylindern x 2 + y 2 = 2y liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 4. 4) Beräkna arean av den ovanför triangeln 0 y x 1 i xy-planet liggande delen av ytan z = x 2 y 2. 5) Beräkna arean av den ovanför konen z = x 2 + y 2 liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 2. 6) Beräkna arean av den ovanför triangeln, med hörnen i punkterna (0, 0, 0), (1, 0, 0), och (0, 1, 0), liggande ytan z = 2 3 (x3/2 + y 3/2 ). 7) Beräkna arean av den mellan cylindrarna x 2 +y 2 = 4 och x 2 + y 2 = 9 liggande delen av den hyperboliska paraboloiden z = x 2 y 2. 8) Beräkna arean av den ovanför planet z = 2 liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 7. 9) Beräkna arean av den mellan planen z = 1 och z = 2 liggande delen av paraboloiden z = x 2 + y 2. 10) Beräkna arean av den ovanför planet z = 0 liggande delen av ellipsoiden x 2 + y 2 + 3z 2 = 4. 11) Beräkna arean av den ovanför området y 2 x 1 liggande delen av ytan z = y + 2 x. 12) Beräkna arean av den ovanför området xy-planet liggande delen av sfären x 2 + y 2 + z 2 = 5. 13) Beräkna arean av den ovanför paraboloiden z = x 2 +y 2 liggande delen av ytan z = 2+ 4 x 2 y 2. 14) Beräkna arean av den ovanför planet z = 1 liggande delen av paraboloiden z = 5 2x 2 2y 2. 15) Beräkna arean av den ovanför ringen 1 x 2 +y 2 4 i xy-planet liggande delen av paraboloiden z = 5 x 2 y 2.
12 12 INL 10.b Beräkna arean av den parameterframställda ytan r = f(u, v), (u, v) f. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) f(u, v) = (u 2 + v 2 ) e 1 + (u 2 v 2 ) e 2 + 2uv e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 1} ) f(u, v) = ( 2 + cos(u) ) cos(v) e 1 + ( 2 + cos(u) ) sin(v) e 2 + sin(u) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 2π} ) f(u, v) = u cos(v) e u2 e 2 + u sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π} ) f(u, v) = (u v) e 1 + (u + v) e 2 + (u 2 2uv v 2 ) e 3, f = {(u, v) : u 2 + v 2 < 2, u v} ) f(u, v) = uv e 1 + (u v) e 2 + (u + v) e 3, f = {(u, v) : 6 u 2 + v 2 16, u + v 0} ) f(u, v) = 1 2 u 1 v 2 e 1 + v e 2 + u e 3, f = {(u, v) : 1 < u 2 + v 2 < 9, u > v > 0} ) f(u, v) = u e 1 + u cos(v) e 2 + u sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π 2 } ) f(u, v) = 10 uv e 1 + (2u 2 v 2 ) e 2 + (u 2 + 2v 2 ) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v 1} ) f(u, v) = sin(u) e 1 + ( 2 + cos(u) ) sin(v) e 2 + ( 2 + cos(u) ) cos(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v π 2 } ) f(u, v) = 1 2 (u 1) e (v 1) e 2 + u 2 /v e 3, f = {(u, v) : 1 < u < 3, 1 < v < 9} ) f(u, v) = ( 2 sin(u) ) cos(v) e 1 + cos(u) e 2 + ( 2 sin(u) ) sin(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u, v π} ) f(u, v) = 2 cos(u) cos(v) e cos(u) sin(v) e sin(u) e 3, f = {(u, v) : 0 u π, 0 v 2π} ) f(u, v) = u cos(v) e 1 + u sin(v) e 2 + u(cos(v) + sin(v)) e 3, f = {(u, v) : 0 u 1, 0 v π 2 } ) f(u, v) = u sin(v) e 1 + u e 2 u cos(v) e 3, f = {(u, v) : 0 u 3 4, 0 v π} ) f(u, v) = e u cos(v) e 1 + e u sin(v) e 2 + e u v e 3, f = {(u, v) : 0 u 1 2, 0 v 2} INL 10.c Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = xy e 1 + yz e 2 + zx e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y 1, z = xe y } med uppåtriktad orientering ) F(x) = x e 1 + y e e 3, Y = {(x, y, z) : 0 y 2 x, x 2 + z 2 = 1} ) F(x) = x e 1 + z e 2, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + 2y + 3z = 6} med n(x) e 3 > ) F(x) = x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 9} ) F(x) = xy 3 e 1 + z 2 e 2 + x e 3, Y = {(x, y, z) : 2x + 1 z = 4 x 2 y 2, } med nedåtriktad orientering ) F(x) = x e 1 + y e 2 + z 4 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 1} med nedåtriktad orientering ) F(x) = x e 1 + 2y e 2 + 3z e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y, z 1} ) F(x) = x e 1 z e 3, Y = {(x, y, z) : y 2 + z 2 x 1} ) F(x) = y e 1 x e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : 1 x 2 y 2 = z 0} med n(x) e ) F(x) = 2x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x = u 2 v, y = uv 2, z = v 3, 0 u, v 1} med n(x) e ) F(x) = x e 1 + x e 2 + y e 3, Y = {(x, y, z) : y 0, x 2 + y 2 + z 2 = 25} med n(x) e ) F(x) = yze x e 1 yze x e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + y + z = 1} med nedåtriktad orientering ) F(x) = z e 1 + y e 2 x e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x 2 + y 2 + z 2 = 4} med inåtriktad orientering ) F(x) = 2x e 1 + y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x = u cos(v), y = u sin(v), z = u, 0 u 2, 0 v π} med nedåtriktad orientering ) F(x) = x 2 e 1 + y 2 e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : z = y + 1, x 2 + y 2 1} med uppåtriktad orientering
13 11.. STOES SATS Stokes sats INL 11.a 1) Beräkna (2xyeyz +yz 2 ) dx+(x 2 e yz +x 2 yze yz ) dy +(x 2 y 2 e yz yz) dz, där är (ett varv av) skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 0 och x 2 + y 2 2x = 0, och vars projektion på xy-planet är positivt orienterad sett från punkten (0, 0, 1) ) Beräkna (z2 + y 2 z 2 e xz ) dx + (xz + 2yze xz ) dy + (2xy + y 2 (1 + xz)e xz ) dz, där är (ett varv av) skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 1 och x + z = 1, och vars projektion på xy-planet är positivt orienterad sett från punkten (0, 0, 1) ) Beräkna e x dx + e x dy + e z dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (2, 0, 0) positivt orienterade randen (relativt R 2 ) av planet 2x + y + 2z = 2 i den första oktanten ) Beräkna (yz + z2 sin(y)) dx + xz 2 cos(y) dy + (2xz sin(y) xy 2 ) dz, där är (ett varv av) den uppifrån sett negativt orienterade skärningen mellan ytan x + y 2 + z = 1 och cylindern x 2 + y 2 = ) Beräkna z dx z dy + x dz, där är halvellipsen 4y2 + z 2 = 1, y 0, x = 0, från punkten (0, 0, 1) till punkten (0, 0, 1) ) Beräkna xy dx + yz dy + zx dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (1, 1, 1) medurs genomlupna triangeln med hörnen i punkterna (1, 0, 0), (0, 1, 0) och (0, 0, 1) ) Beräkna ( ) ( ) ( ) y + yz cos(xy) dx + z + xz cos(xy) dy + x + sin(xy) dz, där är den uppifrån sett positivt orienterade kurvan x = 2 cos(t), y = sin(t), z = 2 sin 2 (t), 0 t 2π ) Beräkna x dx + y dy + (x2 + y 2 ) dz, där är (ett varv av) den uppifrån sett positivt orienterade randen (relativt R 2 ) av paraboloiden z = 1 x 2 y 2 i den första oktanten ) Beräkna (x2 y + y 2 ze x ) dx + yz(1 + 2e x ) dy + y 2 e x dz, där är (ett varv av) av den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden z = x 2 + 2y 2 och cylindern x 2 + y 2 = ) Beräkna z2 dx + y 2 dy + 2xz dz, där är halvcirkeln i halvplanet x = z, x 0, från punkten (0, 1, 0) till punkten (0, 1, 0) ) Beräkna y dx + z dy + x dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (1, 1, 1) i moturs led genomlupna skärningen mellan ytorna x 2 + y 2 + z 2 = 1 och x + y + z = ( xz 12) Beräkna 1 + x2 + y +xz) dx+ ( yz x2 + y xy) dy+ ( 1 + x2 + y 2 +xy ) dz, där är (ett varv av) av 2 den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden x 2 +y 2 +z = 1 och planet x 2y +z = ) Beräkna zx dx + xy dy + yz dz, där är (ett varv av) den sett från punkten (0, 0, 5) i medurs led genomlupna skärningen mellan paraboloiden z = 3 x 2 y 2 och planet z = 2x ) Beräkna (xy + xy2 z 4 ) dx + x 2 yz 4 dy + (2x 2 y 2 z 3 yz) dz, där är (ett varv av) av den uppifrån sett positivt orienterade skärningen mellan paraboloiden x 2 + y 2 + z = 1 och planet 2x + y + z = ) Beräkna x3 dx+y 2 dy+xz dz, där är den i moturs led genomlupna skärningen mellan sfären x 2 +y 2 +z 2 = 1 och cylindern (x 1) 2 + y 2 = 1, från punkten ( 1 2, 3 2, 0) till punkten ( 1 2, 3 2, 0)
14 Gauss sats INL 12.a Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = (x + y) e 1 + (x + z) e 2 + (y + z) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x, y, z 1} 2) F(x) = (xz + e y ) e 1 + (y 2 x) e 2 + (1 2y)z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z 1} 3) F(x) = (x xy 2 z 2 ) e 1 + (y x 2 yz 2 ) e 2 + (z x 2 y 2 z) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 1, z 0} 4) F(x) = x 2 y e 1 + yz 2 e 2 + 2x 2 y 3 e 3, Y = {(x, y, z) : 0 x 1, y 2 + z 2 1, z 0} 5) F(x) = y 2 e 1 + yz e 2 + x 2 e 3, Y är tetraedern med utåtriktad orientering och hörn i punkterna (0, 0, 0), (2, 0, 0), (1, 2, 0), och (1, 1, 3). 6) F(x) = (4x + y) e 1 + (2x + 5z) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 25} 7) F(x) = xy e 1 + xyz e 2 + (1 y)z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 z 2 x 2 y 2 } 8) F(x) = x e 1 + y e 2 + (z 2 1) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 4, 0 z 2} 9) F(x) = x 2 z 3 e 1 + 2xyz 3 e 2 + xz 4 e 3, Y = {(x, y, z) : 3 3x, 2y, z 3} 10) F(x) = x 2 y e 1 + xy 2 e 2 + 2xyz e 3, Y = {(x, y, z) : x, y, z 0, x + 2y + z 2} 11) F(x) = xz 2 e 1 + yz 2 e 2, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 49} 12) F(x) = x 2 y e 1 + ye z e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 z 2 x 2 y 2 } 13) F(x) = x 3 y e 1 x 2 y 2 e 2 x 2 yz e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y z 2, 2 z 2} 14) F(x) = x 4 e 1 x 3 z 2 e 2 + 4xy 2 z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 1, 0 z x + 2} 15) F(x) = (x 3 + y sin(z)) e 1 + (y 3 + z sin(x)) e 2 + 3z e 3, Y = {(x, y, z) : 1 x 2 + y 2 + z 2 4, z 0}
15 12.. GAUSS SATS 15 INL 12.b Beräkna flödet av F genom ytan Y som är utrustad med normalfältet n. oordinatsystemet Oe 1 e 2 e 3 är av typ HON. 1) F(x) = xz 2 e 1 + z e 2 + y 4 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 4, 1 z 1} 2) F(x) = [ (x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2], Y = {(x, y, z) : (x 1) 2 + y 2 + z 2 = 4} 3) F(x) = xy 2 z e 1 + x 2 yz e 2 + e z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med uppåtriktad orientering. 4) F(x) = (x 3 z + y 2 ) e 1 + (x 2 + y 3 z) e 2 + (xy + z 2 ) e 3 ), Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 4, z 1} med uppåtriktad orientering. 5) F(x) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (x e 1 + y e 2 + z e 3 ), Y = {(x, y, z) : x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 1} 6) F(x) = xy e 1 2y e 2 + (z x) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 4} med nedåtriktad orientering. 7) F(x) = (xz + e z ) e 1 + 3x 2 yz e 2 + ( y2 z 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med uppåtriktad orientering. 8) F(x) = (xz y)z e 1 + (x 2 z 2 ) e 2 + (y 2 + z 3 ) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 z = 2 x 2 y 2 } med uppåtriktad orientering. 9) F(x) = xy e 1 + (y 2 + z) e 2 + (z 2 x 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : z = 1 2x 2 y 2, z 0} med uppåtriktad orientering. 10) F(x) = (y 3 +z 3 ) e 1 +(2yz x 2 ) e 2 +(x 2 +3z z 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, z 0} med inåtriktad orientering. 11) F(x) = (y 2xz) e 1 + sin(x 2 z) e 2 + z 2 e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + y 2 = 3, 0 z 1} 12) F(x) = (xz + y 2 ) e 1 + (x 2 + yz) e 2 + (x 2 + y 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : 0 z = 1 x 2 y 2 } med uppåtriktad orientering. 13) F(x) = x 3 z e 1 + y 3 z e 2 + (x 2 + y 2 ) e 3, Y = {(x, y, z) : z 2 = x 2 + y 2 1, 0 z 1} 14) F(x) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 (x e 1 + y e 2 + z e 3 ), Y = {(x, y, z) : 0 z = 1 x 2 + y 2 } 15) F(x) = xy 2 e 1 + x 3 y e 2 + z e 3, Y = {(x, y, z) : x 2 + 4y 2 z 2x + 4y + 2}
1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).
Repetition, analys.. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t). 2. Beräkna längden av kurvan r(t) =
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-- DEL A. Bestäm en ekvation för tangentplanet i punkten (,, 2 till ellipsoiden 2x 2 +3y 2 +z 2 = 9. (4 p Lösning. Vi uppfattar ytan som nivåytan
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA43 Flervariabelanalys E 4-8-3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Åse Fahlander, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merKap Dubbelintegraler.
Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y )
Läs merLösning till kontrollskrivning 1A
KTH Matematik Olle Stormark Lösning till kontrollskrivning 1A i SF1626 Flervariabelanalys för E, vt 28. Varje uppgift ger maximalt 3 poäng. För godkänt krävs minst 5 poäng sammanlagt. 1. Funktionen f(x,
Läs merTentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller
Tentamen SF66, Analys i flera variabler, --8 Svar och lösningsförslag. Låt fx, y) = ye x y. Bestäm största och minsta värde till f på den slutna kvadraten med hörn i, ),, ),, ) och, ). Lösning. f är kontinuerlig
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merVisa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)
Kap. 15.1 15.2, 15.4, 16.3. Vektorfält, integralkurva, konservativa fält, potential, linjeintegraler av vektorfält, enkelt sammanhängande område, oberoendet av vägen, Greens formel. A 1701. Undersök om
Läs mery= x dx = x = r cosv $ y = r sin v ,dxdy = rdrdv ' 2* så får vi att
TH-Matematik Lösningsförslag till Tentamenskrivning 5-6-, kl. 8.-3. 5B7, matematik III för E och ME 6p) Del A, 3-poängsuppgifter x. xy y )dy dx x y y3 3 ) * x 3 x3 3, x3 -. dx 5 5 x4 6 4 y x y 5 4 dx.
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-3: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. 4 poäng Avgör om följande gränsvärde existerar och beräkna gränsvärdet om det existerar:
Läs merRepetitionsuppgifter
MVE5 H5 MATEMATIK Chalmers Repetitionsuppgifter Integraler och tillämpningar av integraler. (a) Beräkna (b) Avgör om den generaliserade integralen arctan(x) ( + x) dx. dx x x är konvergent eller divergent.
Läs merdär γ är den i medurs led genomlupna tjocka halvcirkeln (x 1) 12 + (y 1) 12 = 1, x 1, från punkten A : (1, 0) till punkten B : (1, 2).
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA18 Differential- och integralkalkyl III
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 213-8-22 DEL A 1. Betrakta funktionen f(x, y) ln(x 2 + xy 2 4). a) Bestäm tangentplanet till funktionsytan z f(x, y) i den punkt på ytan där x 1
Läs merLösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Torsdag augusti 16, 2018 DEL A 1. Givet funktionen f(x, y) = ln(x 2 y 2 ). a) Bestäm definitionsmängden D för f. Rita även en bild av D. (2 p) b) Bestäm
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs mer6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,
Institutionen för Matematik, TH Flervariabelanalys SF626. Tentamen den 23 november 29 kl. 8-3 Tillåtet hjälpmedel är Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga
Läs merTMV036/MVE350 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola atum: 23-3-5 kl. 8.3 2.3 Tentamen Telefonvakt: Elin Solberg tel. 73-8834 TMV36/MVE35 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt KI, del C Tentan rättas och
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-9-6 DEL A. Betrakta följande tre områden i planet: D = {(x, y): x y < 4}, D = {(x, y): x + y }, D 3 = {(x, y): 4x + 3y
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs mern 3 (2x 4) n 6 n? 3. Bestäm volymen av den kropp som ligger innanför ellipsoiden 5x 2 + 5y 2 + z 2 = 16 och ovanför konen z = 3x 2 + 3y 2.
MÄLARDALENS HÖGSKOLA Akademin för utbildning, kultur och kommunikation Avdelningen för tillämpad matematik Examinator: Lars-Göran Larsson TENTAMEN I MATEMATIK MMA128 Differential- och integralkalkyl III
Läs mer(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik ES, W Flervariabelanalys 8 1 1 Skrivtid: 9-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Varje
Läs merFlervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2010 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, alculus: a complete course, 6th ed., Addison Wesley,
Läs merBestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand
Läs mer) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2
ap 7 Användningar av multipelintegraler Arean av ett plant område 0 Beräkna arean av det område som begränsas av följande kurvor: A a (x y) 2 + x 2 = a 2 A b xy =, xy = 8, y = x och y = 2x (x > ) A c y
Läs meri utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,
Repetition Matematik. Bestäm koefficienten vid x i utvecklingen av ((+ x - x ) 5.. Bestäm koefficienten vid x 3 i utvecklingen av (( x + x ) n för n =,,3º. 3. a 5-5a b + 5a3 b - 5a 8b 3 + 5a 6b - 3b 5
Läs merInstitutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 7 DEL A. En kulles höjd ges av z 6,x,y där enheten är meter på alla tre koordinataxlar. (a) I vilken
Läs merTentamen: Lösningsförslag
Tentamen: Lösningsförslag Fredag 9 juni 7 8:-: SF67 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Ma: poäng. poäng Bestäm samtliga horisontella tangentplan till ytan z y y + y +. Lösning: Tangentplanet
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 4--3 kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merKontrollskrivning 1A
Kontrollskrivning 1A i 5B1147 Flervariabelanalys för E, vt 2007. 1. Låt g(t) vara en deriverbar envariabelsfunktion. Visa att tvåvariabelsfunktionen f(x, y) = g(2x y 2 ) satisfierar den partiella differentialekvationen
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF166 Flervariabelanalys entamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag 1) Låt fx, y) = xy lnx + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten 1, ) som störst, och hur stor är
Läs mer( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).
KTH matematik Tentamen i SF66 Flervariabelanalys den 7 juni kl 8.3. Tillåtet hjälpmedel: Endast Beta Mathematics Handbook. Tydliga lösningar med fullständiga meningar och utförliga motiveringar krävs för
Läs mer1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.
1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f. 2. Beräkna gränsvärdet (eller visa att det inte finns):
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 2 augusti 215 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merTATA44 ösningar till tentamen 13/01/ ) Paraboloiden z = 2 x 2 y 2 skär konen z = x 2 + y 2 då x 2 + y 2 = 2 x 2 y 2. Med
TATA44 ösningar till tentamen 1/1/211. 1. Paraboloiden z 2 x 2 y 2 skär konen z x 2 + y 2 då x 2 + y 2 2 x 2 y 2. Med ρ x 2 + y 2 då är ρ 2 + ρ 2 vilket ger ρ + 2ρ 1. åledes är ρ 1 ty ρ. Vi betecknar den
Läs merTentamen i Envariabelanalys 2
Linköpings universitet Matematiska institutionen Kurskod: TATA42 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 2 206 0 8, 4 9 Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga, välmotiverade, ordentligt skrivna
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2 2014-10-30 kl. 8.30 12.30 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Elin Solberg, telefon: 0703 088 304 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 215 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanals Lösningsförslag till tentamen --9 EL A. En kulle beskrivs approximativt av funktionen 5 hx, ) + 3x + i lämpliga enheter där hx, ) är höjden. Om du befinner dig i punkten,, ) på kullen,
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 28-8-3 kl. 8.32.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Felix Held, telefon: 6792 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ej räknedosa För
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-8- EL A 1. Betrakta funktionen f som är definierad i området där x + y genom f(x, y, z) x z x + y. (a) Beräkna gradienten f(x, y, z). (1 p) (b)
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 24-8-2 DEL A. Bestäm och skissera definitionsmängden till funktionen fx, y) = x 2 + y 2 + 2x 4y + + x. Är definitionsmängden kompakt? 4 p) Lösning.
Läs merTMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C
MATEMATIK Hjälpmedel: Inga Chalmers tekniska högskola Datum: -- kl 4 8 Tentamen Telefonvakt: Richard Lärkäng tel 3-8834 TMV36 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734-41 3 31 För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys mk1b 13 8 Skrivtid: 9:-14:. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016
Institutionen för matematik SF166 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 16 Skrivtid: 8:-1: Tillåtna jälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-3-16 DEL A 1. Låt f(x, y) = 1 x 2 y 2. (a) Skissa nivåkurvorna f(x, y) = c till f för c =, c = 1 och c = 2. (1 p) (b) Beräkna gradf(x, y) i de
Läs merCampus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)
ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov 734-4 3 3 (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag3 7 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna
Läs merFlervariabelanalys. Undervisning Undervisning sker i form av föreläsningar (39 st) och lektioner (20 st).
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2012 Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Kursen behandlar följande ämnen: 1. Flervariabelanalys. Kursbok är Calculus: a complete
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F. Tentamen tisdag 8 augusti 7, 4.-9. Förslag till lösningar.. Om F (x, y, z) x y + y z
Läs mer(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z
UPPAA UNIVERITET Matematiska institutionen Abrahamsson, 4715, 7-57 (tyf, 47119, 77-517) Prov i matematik IT, K, X, W, EI, MI, NVP samt fristående kurs. Flerdimensionell analys och Analys MN 5-1-9 krivtid:
Läs merKap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.
Kap 13.2 13.3. Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor. A 1001. Sök det största och minsta värdet av funktionen f(x,y) = x 2 + 2y 2 x på cirkeln x 2 + y 2 = 1. A 1002. Vilka värden kan funktionen
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merLösningar till Matematisk analys 4,
Lösningar till Matematisk analys 4, 05054. a Sätt a k k + k +, b k k e /k Serien k a k är positiv. Vi har att och c k k! 4 k k! för k,,... a k k + k + k k för stora k k och mera precist att / a k k k +
Läs merStudiehandledning till. MMA121 Matematisk grundkurs. Version 2012-09-03
Studiehandledning till MMA Matematisk grundkurs läsåret 0/ Version 0-09-0 Kursinformation för MMA Mål Avsikten med kursen MMA Matematisk grundkurs är att ge grundläggande kunskaper i matematik, av betydelse
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 16-8-18 DEL A 1 Låt D vara det område ovanför x-axeln i xy-planet som begränsas av cirkeln x + y = 1 samt linjerna y = x oc y = x Beräkna x-koordinaten
Läs mer7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.
MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 1 januari 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 01-1-10 DEL A 1. Låt funktionen f ha definitionsmängden D f =]0, [ och ges av f(x) = e x 1 x. (a) Finn f:s invers f 1. ( p) (b) Finn inversens värdemängd
Läs merf(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2
TM-Matematik Mikael Forsberg Matematik med datalogi, mfl. Flervariabelanalys mk12b Övningstenta vt213 nr1 Skrivtid: 5 timmar. Hjälpmedel är formelbladen från insidan av Pärmen i Adams Calculus, dessa formler
Läs merx (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.
MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen -8-8, kl. 4.-8. TMV6 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C Telefonvakt: Adam Andersson, telefon: 7-884 Hjälpmedel: Inga, bara papper och penna. För full
Läs merSF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag
SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 11, 14. - 19. Svar och lösningsförslag (1) Låt f(x, y) = xy ln(x + y ). I vilken riktning är riktningsderivatan till f i punkten (1, ) som störst, och
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 25 6 3, kl 8 3 5B9, Vektoranalys, för Open Uppgifterna 4 5 svarar mot varsitt moment i den kontinuerliga examinationen Av dessa uppgifter skall man bara
Läs merTentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl
Institutionen för Matematik TH irsti Mattila Tentamensskrivning, ompletteringskurs i matematik 5B4 Onsdagen den 8 december, kl 8.-. Preliminära betgsgränser för, 4 och 5 är 8, 4 och 54 poäng. Inga hjälpmedel
Läs merOmtentamen (med lösningar) MVE085 Flervariabelanalys
Omtentamen (med lösningar) MVE85 Flervariabelanalys 26--4 kl. 8.3 2.3 Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anna Persson, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: endast bifogat
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 2 mars 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs merTentamen MVE085 Flervariabelanalys
Tentamen MVE85 Flervariabelanalys 5--5 kl. 4. - 8. Examinator: Dennis Eriksson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23-5-27 DEL A. Bestäm alla punkter på ytan z = x 2 + 4y 2 i vilka tangentplanet är parallellt med planet x + y + z =. 4 p) Lösning. Tangentplanet
Läs merFlervariabelanalys. F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Vårterminen 2011 Kurslitteratur Flervariabelanalys för F1, KandMa1, KandFy1 och Gylärare Robert A. Adams, hristopher Essex, alculus: a complete course, 7th
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2 205-0-05 kl. 4.00-8.00 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Dawan Mustafa, telefon: 0703 088 304 Hjälpmedel: bifogat formelblad,
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 4-3-7 EL A. Betrakta funktionen f, y y. a Beräkna riktningsderivatan av f i punkten, i den riktning som ges av vektorn 4, 3. p b Finns det någon riktning
Läs merÖvningstenta: Lösningsförslag
Övningstenta: Lösningsförslag Onsdag 5 mars 7 8:-: SF674 Flervariabelanalys Inga hjälpmedel är tillåtna. Max: 4 poäng. (4 poäng) Bestäm tangentplanet i punkten (,, ) till ytan z f(x, y) där f(x, y) x 4
Läs merÖvningar till Matematisk analys III Erik Svensson
MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik -8-8 Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson. För varje gränsvärde nedan bestäm gränsvärdet eller visa att gränsvärdet inte existerar.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-6-4 DEL A 1. Funktionen f är definierad på området som ges av olikheterna x > 1/ och y > genom f(x, y) ln(x 1) + ln(y) xy x. (a) Förklara vad det
Läs merFlervariabelövningar. Fredrik Bengzon 3 mars 2004
Flervariabelövningar Fredrik Bengzon 3 mars 24 Innehåll 1 Partiella derivator och kedjeregeln 3 2 Gradient och riktningsderivata 4 3 Kurvor och ytor 5 4 Taylors formel 8 5 ivergens och rotation 9 6 Kurvintegralen
Läs merTentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE035
Tentamen i Flervariabelanalys F/TM, MVE5 kl.. 8.. jälmedel: Inga, ej räknedosa. Telefon: Lennart Falk, 77 56 För godkänt krävs minst oäng. Betyg : -5 oäng, betyg : 6-7 oäng, betyg 5: 8 oäng eller mera.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den januari 27 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016
Institutionen för matematik SF626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 2 januari 26 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs merFlervariabelanalys för F och KandMa vt 2013, 10 hp
UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Thomas Önskog Flervariabelanalys för F och KandMa vt 203, 0 hp Kurskod: MA06/MA3. Kurslitteratur: Robert Adams, hristopher Essex, alculus : a complete course.
Läs mer1. Beräkna och klassificera alla kritiska punkter till funktionen f(x, y) = 6xy 2 2x 3 3y 4 2. Antag att temperaturen T i en punkt (x, y, z) ges av
ATM-Matematik Mikael Forsberg 74-41 1 För ingenjörs- och distansstudenter Flervariabelanalys ma1b 15 1 14 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja
Läs merLösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Lösningsförslag till tentamen TMA4 Flervariabelanalys E2 21-8-1 kl. 8. 12. Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Anders Martinsson, telefon: 7 88 4 Hjälpmedel: bifogat
Läs mer1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 26-3-2 DEL A. Låt D vara fyrhörningen med hörn i punkterna, ), 6, ),, 5) och 4, 5). a) Skissera fyrhörningen D och beräkna dess area. p) b) Bestäm
Läs merTentamen TMA043 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA43 Flervariabelanalys E2 22-- kl. 8.3 2.3 Eaminator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, halmers Telefonvakt: Fredrik Lindgren, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK LÖSNINGAR FLERIMENSIONELL ANALYS, FMA40 04-0- kl 8. Vi börjar med att rita triangelskivan. Linjen genom, och, har ekvationen y x+, linjen genom, och, har ekvationen y 4
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 mars 7 Skrivtid: 8:-3: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt
Läs merProblem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik
KTH -matematik Problem i matematik EPR & MAT Flervariabelanalys Problem inför KS.. Låt F(, y, z) + y 3z + och G(, y, z) 3 + y 3 4z +. Visa att i en omgivning av punkten (,, ) definieras genom ekvationerna
Läs mera5 bc 3 5 a4 b 2 c 4 a3 bc 3 a2 b 4 c
MMA11 Matematisk grundkurs TEN Datum: 15 augusti 01 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera
Läs mer2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.
MMA Matematisk grundkurs TEN Datum: 4 mars 00 Skrivtid: timmar Hjälpmedel: Penna, linjal och radermedel Denna tentamen TEN består av nio stycken om varannat slumpmässigt ordnade uppgifter som vardera kan
Läs meru av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)
ATM-Matematik Mikael Forsberg 734 41 3 31 Flervariabelanalys mag31 1669 Skrivtid: 9:-14:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna skall vara fullständiga och lätta att följa. Börja varje
Läs merFlervariabelanalys I2 Vintern Översikt föreläsningar vecka 6. ( ) kommer vi att studera ytintegraler, r r dudv
Flervariabelanalys I Vintern 11 Översikt föreläsningar vecka 6 tintegraler Givet en yta i rummet och en funktion f x, y,z f dsdär ds är det så kallade ytelementet. ( ) kommer vi att studera ytintegraler,
Läs merLösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den januari 7 DEL A. En partikel rör sig så att positionen efter starten ges av (x, y, z (t cos t, t sin t, t
Läs merTentamen TMA044 Flervariabelanalys E2
Tentamen TMA44 Flervariabelanalys E 5-- kl. 8.3.3 Examinator: Peter Hegarty, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Gustav Kettil, telefon: 73 88 34 Hjälpmedel: bifogat formelblad, ordlistan från
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merUppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.
Uppgifter inför KS4 den 11 april 011. Matematik II för CL. SF1613. 1. En humla flyger längs kurvan (given på parameterform) x = t,y = t 3, t " 0. Då t = 1 upptäcker humlan en blomma i punkten (5,3) och
Läs merLösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A
Institutionen för matematik SF66 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 5 mars 7 DEL A. I nedanstående rätvinkliga koordinatsystem är varje ruta en enhet lång. (a) Bestäm de rymdpolära
Läs mer