Flervariabelanalys för F och KandMa vt 2013, 10 hp

Transkript

1 UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Thomas Önskog Flervariabelanalys för F och KandMa vt 203, 0 hp Kurskod: MA06/MA3. Kurslitteratur: Robert Adams, hristopher Essex, alculus : a complete course. Pearson Addison Wesley, 7th edition (200). Kompendier som behandlar följande områden nns att ladda hem från kurshemsidan: Grundläggande topologi, Likformig konvergens samt Första ordningens system av ODE. Kursexaminator: Thomas Önskog, Matematiska institutionen, rum: 402, Ångström. Telefon: , E-post: thomas.onskog@math.uu.se. Lektionsledare: Anders Israelsson (FA), Thomas Önskog (FB), Jordi-Lluís Figueras (F), Axel Husin (MaKand + övriga studenter). Kurshemsida och registrering: Allt material till kursen hittas på kurshemsidan på studentportalen Registrering till kursen sker på egen hand via studentportalen senast den 3 februari, se instruktioner på Kursmål Kursen behandlar klassisk di erential- och integralkalkyl i era variabler (se kursplan på studentportalen). För godkänt betyg på kursen ska studenten kunna: redogöra för begreppen gränsväde, kontinuitet, partiell derivata, gradient och di erentierbarhet för funktioner av era variabler; parametrisera kurvor och ytor; beräkna partiella derivator till elementära funktioner samt använda sig av partiella derivator för att beräkna lokala och globala extremvärden - med eller utan bivillkor; redogöra för multipelintegralens de nition, beräkna multipelintegraler samt använda sig av multipelintegraler för att beräkna volymer, tyngdpunkter m m; redogöra för begreppen kurv- och ytintegral samt kunna beräkna sådana integraler; använda sig av Greens, Stokes och Gauss satser; redogöra för satser om existens och entydighet av lösningar till ordinära di erentialekvationer, lösa enkla exakta ekvationer och enkla linjära system av ODE; redogöra för begreppen likformig konvergens och likformig kontinuitet, samt avgöra om en enkel funktionsföljd är likformigt konvergent; exempli era och tolka viktiga begrepp i konkreta situationer; formulera viktigare resultat och satser inom kursens område; översätta problem från relevanta tillämpningsområden till för matematisk behandling lämplig form; använda kursens teori, metoder och tekniker för att lösa problem inom kursens område; presentera matematiska resonemang för andra.

2 Undervisning Undervisningen på kursen består av 39 föreläsningar och 20 lektioner om 2 timmar vardera. Under föreläsningarna går vi igenom teori och räknar belysande exempel. Lektionerna är främst avsedda för problemlösning, såväl lärarledd som självständig. Varje lektionstillfälle kommer att inledas med att ni tilldelas en eller era övningsuppgifter att lösa, varefter vi gemensamt diskuterar förslag till lösningar. Inför vartannat lektionstillfälle kommer ni även att få två inlämninguppgifter att lösa. Preliminär tidsplan Förel. Innehåll Kapitel Introduktion. Koordinatgeometri i rummet R n Grundläggande topologi. Mängder i R n. 0., V. 3 Andragradsytor. ylindriska och sfäriska koordinater Vektorvärda funktioner. Kurvor och parametriseringar..,.3 5 Båglängd av kurvor. Funktioner av era variabler..3, 2. 6 Gränsvärden och kontinuitet för funktioner av era variabler. 2.2, V.2 7 Hopningspunkter, delföljder och auchyföljder (MaKand). V2 Likformig kontinuitet (MaKand). V3 9 Partiella derivator och di erentierbarhet. 2.3, Di erentierbarhet, tangentplan och högre ordningens derivata Kedjeregeln Gradient och riktningsderivata Jacobianen. Inversa och implicita funktionssatserna Taylorapproximationer. Extremvärden. 0.7, 2.9, 3. 5 Extremvärden på obegränsade och begränsade områden Lagrangemultiplikatorer Derivering av integraler. Repetition inför duggan. 3.5, V4. Dubbelintegraler Variabelsubstitution för dubbelintegraler. 4.2, Generaliserade dubbelintegraler Trippelintegraler i kartesiska och polära koordinater Tillämpningar av dubbel- och trippelintegraler Vektorfält och konservativa fält Kurvintegraler Greens formel Ytintegraler Flödesintegraler Divergens och rotation Gauss sats Stokes sats, vektorpotential Kontinuitetsekvationen och värmeledningsekvationen Maxwells ekvationer och vågekvationen Potentialteori (fördjupningsföreläsning). 34 System av ordinära di erentialekvationer (F). Kompendium 35 Exponentialmatrisen. Exakta ODE, variation av parametrar (F). 7.2, Funktionsföljder, likformig konvergens (MaKand). V Funktionsserier (MaKand). V4.3 3 Funktionsserier (MaKand). V Repetition. 2

3 Examination Kursen examineras genom en skriftlig tentamen den 2 maj på hela kursens innehåll (tid och lokal meddelas senare). Tentamen kommer att bestå av åtta uppgifter om fem poäng vardera och för godkänt resultat krävs minst poäng av 40 möjliga. För betyg 4 och 5 på kursen krävs 25 respektive 32 poäng på tentamen. En dugga äger rum den 4 mars kl 0-2 i skrivsalen på Bergsbrunnagatan. Duggan består av fyra uppgifter om fem poäng vardera. De studenter som får minst 0 poäng av 20 möjliga på duggan behöver inte lösa första uppgiften på tentamen utan tilldelas automatiskt fem poäng på denna uppgift. Ungefär en vecka före varannan lektion (de med jämna nummer) kommer två inlämningsuppgifter att läggas ut på kurshemsidan. Inlämningsuppgifterna är frivilliga, men kan ge bonuspoäng på tentamen. Ni uppmuntras att lösa inlämningsuppgifterna gruppvis, men varje student måste lämna in en egen renskriven lösning. Korrekta lösningar på minst hälften av inlämningsuppgifterna ger en bonuspoäng på den skriftliga tentamen och korrekta lösningar på minst tre fjärdedelar av inlämningsuppgifterna ger två bonuspoäng på tentamen. Observera att bonuspoäng från dugga och inlämningsuppgifter endast gäller vid det ordinarie tentamenstillfället och inte vid eventuella omtentamina. Exempel på gamla duggor och tentor nns att ladda ned från kurshemsidan. Några studietips Bearbeta varje föreläsning, helst samma dag men senast till nästa föreläsning, genom att läsa och skriva rent dina föreläsningsanteckningar, genom att läsa motsvarande avsnitt i kursboken och genom att räkna några övningsexempel. Anteckna det som är oklart och fråga vid nästa undervisningstillfälle. Ställ gärna frågor under föreläsningarna, eller under rasten alternativt efter föreläsningen. Det går givetvis också bra att skicka frågor via e-post. Diskutera teorin och uppgifterna med dina kurskamrater. Räkna, inför varje lektion, så många uppgifter du hinner bland de som är angivna i lektionsanvisningarna nedan. Om du fastnar på något kan du sedan fråga under lektionen. Mattesupporten nns också tillgänglig! Där nns amanuenser att fråga om man behöver hjälp. Mattesupporten nns måndag-torsdag kl 7-9 i sal 245 på Polacksbacken. Lektionsanvisningar Nedan följer en lista med uppgifter som det är bra om ni förbereder (helst löser) till respektive lektionstillfälle. V betecknar Anders Vretblads kompendium och alla andra uppgifter åter nns i alculus. Observera att uppgifterna är av varierande svårighetsgrad och att somliga av uppgifterna kan vara riktigt utmanande. Lektion. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 0.: 3, 5, 0, 5, 6, 7,, 9, 2, 22, 25, 26, 27, 3, 33, 34, 35, 36, 37, 3, 39, :, 5, 6, 7,, 9, 0,, 2, 3, 4, 5, 7, :, 2, 3, 5, 7. V:, 7 3

4 Bestäm ortogonala projektionen i xy-planet av skärningskurvan mellan ytorna 3x 2 + 4y 2 4x z = 0 och x 2 + 3y 2 + 2y z =. Svar: (x ) (y )2 =. Lektion 2. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter:.: 5, 7, 7, 27, 2..3: 5, 7, 9, 3, 6. 2.:, 2, 3, 4, 5, 7, 3-5, 7, 2, 23, 24, 27, 33, 35, 37, 39, 40. Parametrisera skärningskurvan mellan ytorna z = x 2 + 4y 2 och 2x + y + z = 4. Svar: r(t) = ( + 3 cos(t); sin(t); 4 6 cos(t) 2 sin(t)); 0 t 2. Studera kurvan r = cos (polära koordinater i xy-planet). Den kan parametriseras med hjälp av formlerna x = r cos = ( cos ) cos ; y = r sin = ( cos ) sin ; där 2 [0; 2] används som parameter. Skissera kurvan. Undersök särskilt hur den ser ut i närheten av = 0. Beräkna längden av kurvan, som kallas cardioiden eller hjärtkurvan. Svar:. Lektion 3. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 2.2:, 4, 7, 9, 5, 6, 7,, 20. V2: a, c, 2b, 2e, 2f. Lektion 4. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 2.3: 3, 4, 5, 6, 7,,, 2, 26, 27, 2, 3. V3: 4, 5, 6, 7. Låt f : R! R vara en kontinuerlig funktion. Visa att om f är periodisk, dvs om f(x + T ) = f(x) for något T > 0, så är f likformigt kontinuerlig. De niera f : R 2 xy x2 y 2! R som f (0; 0) = 0 och f (x; y) = x 2 + y 2 annars. Beräkna f 0 (0; y) för alla y och f2 0 (x; 0) för alla x. Svar: f 0 (0; y) = y, f2 0 (x; 0) = x. Lektion 5. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 2.3: 3, 5, 7, :, 5, 7, 9, 0,, 5, :, 3, 9,, 3, 5, 2, 24, 33, : 22, 23. Antag att f (x; y) satis erar den partiella di erentialekvationen f + 2f 2 = 0. Visa att för alla a är linjerna y = 2x + a nivåkurvor för f. Ledning: sätt g (x) = f (x; 2x + a). Lektion 6. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 2.6:, : 5, 7,, 4, 6, 7, 9, :, 3,, 3, 5, 6, 25, 26, 27. Visa att sambandet x 2 xyz + y 2 + z 3 = 4 de nierar z som funktion f av (x; y) i en omgivning av punkten (2; ; ) och beräkna rf(2; ). Svar: rf(2; ) = ( 3; 0). 4

5 Lektion 7. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 0.7: 23, 24, 25, : 7,, 9, 0 (i de tre första uppgifterna räcker Taylorpolynomet av grad 2). 3.:, 3, 4, 5, 9, 4, 7, 9, 22, :, 2, 3, 4, 6, 9, 0. Visa att sambandet z 3 + xyz 2 x 2 y = 0 de nierar en funktion z = f(x; y) i någon omgivning av punkten (x; y; z) = (4; 0; 2). Visa vidare att (x; y) = (4; 0) är en stationär punkt till f(x; y), dvs. att de båda partiella förstaderivatorna är noll där. Visa att sambandet ln(xy) (x )e y = 0 de nierar y som funktion av x i en omgivning av (; ). Visa också att denna funktion har en stationär punkt i x =. Svar: Lokal minimipunkt. Lektion. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 3.3:, 2, 7,, 9,, 9, 22, 24. Lektion 9. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 4.: 3, 4, 5, 6, 7,, 9, :, 3, 5, 7, 9,, 2, 3, 5, 9, :, 3, 5, 9,, 3, 4, 2, 30, 3, 37, 3. Beräkna volymen av den kropp som ligger innanför de båda cylindrarna x 2 + z 2 = a 2 och y 2 + z 2 = a 2. Svar: 6a 3 =3. Beräkna volymen av den kropp som ligger innanför p alla tre cylindrarna x 2 + y 2 = a 2, x 2 + z 2 = a 2 och y 2 + z 2 = a 2. Svar: a Lektion 0. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 4.3:, 3, 4, 5, 7,, 23, : 7,. 4.5:, 2, 3, 4, 7, 9, 5, 7, :, 3, 6,,, 5, 7. Lektion. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 4.7:, 3, 5, 7, 9, 2. 5.: 2, 3, 5, 6, :, 2, 3, 4, 7,. Lektion 2. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 5.3:,. 5.4:, 2, 3, 5, 7,,, 3, 2, :, 2, 3, 4, 5, 6 Beräkna kurvintegralen Z (e x+y y) + (e x+y ) dy längs halvcirkelbågen i första kvadranten från origo till punkten (; 0). Svar: e =. Beräkna Z (2xy x 2 + y 2 sin xy 2 ) + (x + y 2 + 2xy sin xy 2 ) dy; där är den positivt orienterade randen till området x 2 y p x. Svar: =30. 5

6 Beräkna Z y (x + ) dy x 2 + y 2 + 2x + ; där är kurvan jxj + jyj = 4 genomlöpt ett varv i positiv led. Svar: 2. Bevisa att kurvintegralen Z (3x 2 + 2xy 2x y + ) + (x 2 x) dy; där är en väg från punkten (0; a) till punkten (; b), är oberoende av valet av a, b och ; och bestäm integralens värde. Svar:. Bestäm en enkel, sluten, kontinuerligt deriverbar, positivt orienterad kurva så att Z (4y 3 + xy 2 4y) + (x + x 2 y x 3 ) dy; i planet blir så stor som möjligt och beräkna integralens värde för denna kurva. Svar: Kurvan är x 2 =4 + y 2 = i positiv led och kurvintegralens värde är 2. Beräkna Z y + x dy x 2 + y 2 ; där löper i positiv led längs ellipsen x 2 + y2 4 = från (; 0) till (0; 2). Svar: 3=2. Lektion 3. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 5.5:, 2, 7, 3, :, 2, 5, 7. Beräkna arean av en sfärisk zon, dvs. den del av en sfär som ligger mellan två parallella plan. Med andra ord den yta som beskrivs av x 2 + y 2 + z 2 = a 2 och b z c. Svar: 2jaj(c b) för jaj b c jaj. Lektion 4. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 6.: 3, 6, 7, 9, :, 2, 7, :, 3, 7,, 3, 9, 20, 23, 24, 25, 27, 2, 29. Lektion 5. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 6.5: 2, 3, 4, : 2, 4, 5, 6, 7,, 0. Lektion 6. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 6.6: 2, 4. Blandade övningar sist i dokumentet. Lektion 7. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: 7.2:, 2, 3, : 2, 22.. Lös följande system av di erentialekvationer (a) dt = 3x + 4y dt = 2x + 3y 6

7 (b) dt = 4x 2y = 5x + 2y dt = 5x + 4y (c) dt dt = x + y (d) dt = 4x 3y dt = x 6y 2. Betrakta systemet av di erentialekvationer dt = a (t)x + b (t)y + f (t) dt = a 2(t)x + b 2 (t)y + f 2 (t) () och motsvarande homogena system dt = a (t)x + b (t)y dt = a 2(t)x + b 2 (t)y Antag att x = x (t) y = y (t) och x = x2 (t) y = y 2 (t) är linjärt oberoende lösningar till () så att den allmänna lösningen till detta system ges av x = c x (t) + c 2 x 2 (t) Visa att y = c y (t) + c 2 y 2 (t): x = v (t)x (t) + v 2 (t)x 2 (t) y = v (t)y (t) + v 2 (t)y 2 (t) är en partikulärlösning till (2), om v och v 2 är en lösning till ekvationssystemet v 0 (t)x (t) + v 0 2(t)x 2 (t) = f (t) v 0 (t)y (t) + v 0 2(t)y 2 (t) = f 2 (t): (2) Lektion. Till denna lektion bör ni förbereda följande uppgifter: x. Visa att funktionsföljden n 2 konvergerar likformigt i varje begränsat intervall. + nx 2. Är funktionföljden + n 2 x 4 likformigt konvergent i [0; )? 3. Låt f n (x) = nx n + x n. Beräkna lim n! f n (x) och visa att konvergensen är likformig i [ ; ]. 7

8 4. Visa att serien X n= nx konvergerar likformigt i ( ; a] för a >. 5. Visa att konvergensen ej är likformig i ( ; ] i föregående uppgift. 6. Visa att funktionsserien X k= k2 x k e x konvergerar likformigt för jxj a om a <. Lektion 9 och 20 kommer att ägnas åt repetition. Blandade övningar på kurv- och ytintegraler. Beräkna arean av den del av paraboloiden 4z = x 2 + y 2 som skärs ut av cylindern z = y 2 och planet z = 3. Svar: 56=9. 2. Beräkna arean av den del av planet x+2y+z = som skärs ut av cylindern x 2 +y 2 =. Svar: p En del S av konen med ekvation x 2 +y 2 = z 2 ligger över xy-planet och dess projektion på xy-planet har area A. Visa att arean av S är A p Antag att ytan S har ekvationen z = h(x; y), där (x; y) 2 D och D är ett område i R 2. Visa att arean av S ges av ZZ D " + # S betecknar ytan x 2 + y 2 + z 2 =, z 0, med normalen riktad från origo. Beräkna ödet av vektorfältet F(x; y; z) = xyi + yj + z(y )k genom S. Svar: Låt vara skärningskurvan mellan cylindern x 2 + y 2 x = 0 och paraboloiden z = x 2 y 2. Beräkna kurvintegralen R Fdr, där F = yi + j + xk och genomlöps så att riktningen i (; 0; 0) ges av vektorn (0; ; 0). Svar: =4. 7. Beräkna ödet av vektorfältet F = xz 2 i + 2xyj + (z 2 + 2)k ut ur cylindern x 2 + y 2 =, 0 z. Svar:=3.. Låt F(x; y; z) = xe z i + y 2 e z j + (2y 2ye z )k vara ett vektorfält i R 3. Beräkna ödet av F genom den del av planet x + y + z = som ligger i första oktanten (dvs. x; y; z > 0). Normalriktningen antas ha positiv z-komponent. Svar: e 5=2. 9. Beräkna R (z x)2 + (z + x) 2 dy + z 2 dz, där är skärningskurvan mellan cylindern x 2 + y 2 = och planet 2x + y + z = 2. Svar: S är en sluten yta (med utåtriktad normal) för vilken Gauss sats (divergenssatsen) är tillämplig, och F = (2x + y 3 x3 )i + (y 4yz 2 )j + (z 4y 2 z)k. Bestäm, under dessa förutsättningar, det maximala värdet av RR FdS. Svar: 64=5. S. Beräkna RR S F b NdS, då F = sin x 2 i + (y 2xy cos x 2 )j + ( + y + z)k, och S är den del av ytan z = x 2 y 2 för vilken x 0 och z 0. Ytans positiva normalriktning bildar icke-trubbig vinkel med positiva z-axeln. Svar:. 2. F = (x + y)i + 2yzj + y 2 k. är en styckvis deriverbar sluten kurva på cylindern x 2 + y 2 = och skär inte sig sjalv. Beroende på hur löper på ytan (bara ett varv, givetvis), kan R Fdr anta tre olika värden. Beskriv de tre fallen och bestäm de tre värdena. Svar: 0, och.

9 3. Beräkna RR S F NdS, b där S är halvellipsoiden x2 a 2 + y2 b 2 + z2 =, z 0, med uppåtriktad c2 normal, och F = yi. Svar: Beräkna ödet av vektorfältet xyi+xyzj+(x+2y+3z)k ut ur volymen x 2 +y 2 +z 2 4. Svar: Beräkna R y + zdy + xdz, där är skärningskurvan mellan cylindern x 2 + y 2 = och planet 2x + 2y + z = 3. Svar: Beräkna med hjälp av Stokes sats R Fdr, då F = (yz+y z)i+(xz+5x)j+(xy+2y)k och är skärningskurvan mellan ytorna x 2 +y 2 +z 2 = och x+y =. är orienterad p så att dess omloppsriktning i punkten (; 0; 0) ges av vektorn (0; 0; ). Svar: 2=4. 7. Visa att R 2xy + z2 + 2yz + x 2 dy+ 2xz + y 2 dz är oberoende av vägen mellan två givna punkter A och B.. Låt S vara den del ZZ av cylindern x 2 + y 2 = som ligger mellan planen z = 0 och z = x + 2. Beräkna FdS, om F = 2xi 3yj + zk. Svar: 2. S 9. Beräkna R Fdr om F = (xy + z)i + y2 z 3 j + ( 2 x2 + z 2 )k och är skärningskurvan mellan ytorna x 2 + 2y 2 = och z = y +. :s omloppsriktning är positiv (moturs) sett från origo. Svar: = p 2. 9