π-dagen TÄVLING & PRIS

Transkript

1 π-dagen TÄVLING & PRIS Alla elever vid vår trevliga skola inbjuds att delta i årets stora π-tävling. Rikedom, ära och berömmelse, i måttlig grad, är vad som väntar de vinnande eleverna. Bakgrund: Den årliga PI-dagen går av stapeln 14 mars. Datumet är mycket medvetet valt i synnerhet om datumet skrivs på det anglosaxiska sättet (3.14). Matematiklärarna vill på allt sätt hedra och upphöja både och π-dagen vilket vi gör genom att alla elever vid skolan inbjuds till vår finfina tävling. Priserna: Pris: PI-tröjan (-tecknet på tröjan bildas av en massa små siffror hämtade från decimalutvecklingen av PI) Värde ca 220 kr. Tävlingsregler: Du tävlar individuellt. Lösningen överlämnar du till din Ma-lärare 15 mars. Jury är skolans Ma-lärare och vi älskar att se lösningar fyllda med A/MVG-kvalitéer, dvs generella lösningar i stället för exempellösningar, korrekt matematiskt språk, strukturerad redovisning, matematiskt djup i dina slutsatser, exakta lösningar i stället för närmevärden osv osv Uppgift: Uppgiften är att beräkna arean av blomman till höger, alltså arean av de sex bladen. Bladen skapas av cirkelbågar enligt beskrivningen nedan. 1. Rita en cirkel i punkten A med radien r. Det är denna cirkel som är röd i figuren nedan. 2. I en godtycklig punkt B på den röda cirkeln ritar man en ny cirkel med radien r, och den intressanta delen av cirkeln som kommer att bilda blomman är cirkelbågen CAD. 3. I punkten D ritar man ytterligare en likandan cirkel. Denna cirkel skär den röda cirkeln i punkterna B och E. Den cirkelbåge som bildar blomman är bågen BAE.

2 4. I punkten E ritar man ytterligare en likandan cirkel. Denna cirkel skär den röda cirkeln i punkterna D och H. 5. I punkterna H, J och C ritar man på samma sätt cirklar och blommar är klar. Tips: För att klara uppgiften räcker det med Ma A eller Ma 1 men du bör ha örnkoll på Liksidiga trianglar Cirkelsektorer om du ska lyckas riktigt bra. Lycka till! Några mer eller mindre nödvändiga fakta om π. π är förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter, dvs π = omkrets/diameter dvs det är π gånger längre runt en cirkel än tvärs över dess mitt. Detta innebär t.ex att om vi ritar en cirkel med diametern exakt 1 cm så blir dess omkrets π cm. Att använda den grekiska bokstaven π som symbol är ganska nytt och härstammar från 1700-talet. Förmodligen valde man denna symbol då det grekiska ordet för omkrets (perimeter) börjar på π. π är ett irrationellt tal, dvs går inte att skriva som ett bråk på formen a/b vilket ger att π därför har en oändlig och helt oregelbunden decimalutveckling. 3, Vid praktiska beräkningar behöver vi sällan jättemånga decimaler. Vill vi t.ex. beräkna hela jordens omkrets med en felmarginal mindre än en ynka atombredd så räcker det med ca 18 st decimaler. Att räkna ut korrekta decimaler på π var i äldre tider en ganska mödosam beräkning. Ludolph Van Ceulen vigde sitt liv till dessa beräkningar och hade när han dog 1610 lyckats beräkna 35 st korrekta decimaler. Med moderna datorer går det lättare och det senaste rekordet ligger på stycken och sattes av den nya

3 japanska superdatorn T2K-Tsukuba. Vid ett världsrekordförsök fick den jobba i 73 timmar med att beräkna pi:s decimaler. Ganska många! Om du läser en decimal i sekunden så får du rabbla i drygt år! Rekordet i att komma ihåg decimaler utantill har japanen Akira Haraguchi som i juli 2005 rabblade otroliga st korrekta decimaler direkt ur minnet. Under rekordförsöket kom han av sig efter tre timmar men han bet ihop och började om. Han slog sedan sitt eget rekord 3-4 oktober 2006 när han lyckades räkna upp de första decimalerna på 16,5 timme. π kallas ibland Arkimedes konstant efter den antike grekiska matematikern som med geometriska metoder uppskattade π och bl.a visade att π ligger mellan 22/7 och 223/71. Ett annat namn som ibland används är Ludolphs tal efter Ludolph van Ceulen, se ovan. Albert Einstein är född 14:e mars Nobelpristagaren i fysik Richard Feynman, känd för sitt intresse för huvudräkning, anmärkte en gång att han ville memorera π till den 767:e decimalen. Anledningen är att decimalerna 762 till och med 767 samtliga är nior, och att han då skulle kunna avsluta uppräkningen med nio, nio, nio, nio, nio, nio, och så vidare. π med några decimalers noggrannhet

4

5

6

7

8 Men det är bara de första 4 000, man känner till nästan decimaler!