Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Transkript

1 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. 11 p: U p: p: p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Delpoäng utdelas, så lämna in allt som du gjort även om du inte lyckades slutföra uppgiften. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex Vi har ytan z f (x, y) x+y x y. (a) Skissa ytans nivåkurvor i området 5 x 5, 5 y 5. (b) Är funktionen f kontinuerlig för (x, y) (, )? Motivera! (c) Är f :s partiella derivator definierade för (x, y) (, )? Motivera! (d) Är funktionen f differentierbar för (x, y) (, )? Motivera! (2p) Belopp har olika effekt beroende på om det som står innanför är positivt eller negativt, med en brytpunkt vid noll. Linjerna x+y och x y kommer därför att avgränsa områden med olika beräkningsmetod. Detta delar planet i fyra bitar, med beräkningsformler enligt nedan: (x+y) (x y)2y om x+y>, x y> (x+y) ( (x y))2x om x+y>, x y< f (x, y) (x+y) (x y) 2x om x+y<, x y> (x+y) ( (x y)) 2y om x+y<, x y< Uppritade blir höjdkurvorna så här: 1

2 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 2 (av 6) z z 8 z 6 z 4 z 2 z2 z4 z6 z8 z8 z6 z4 z2 z z 2 z 4 z 6 z 8 Funktionen är kontinuerlig överallt; den är hopsatt av känt kontinuerliga funktioner. Värdet är konstant noll utmed både x- och y-axel, så både x- och y-derivatan är noll. Och om de har ett värde så finns de ju!. Däremot är den inte differentierbar, den har kraftiga veck i området, och då går den inte att approximera med en linjär funktion (i det här fallet: ett plan). Rättningsnorm: Har man gjort en helt felaktigt nivåkarta så ger svar på övriga frågor som är konsistenta med denna karta poäng. 2. (a) Vi har funktionen f, där f (x) x 2 (sin x+cos x). Bestäm värdet på f (1) (). (2p) Man kan ju derivera tio gånger om man tycker det är kul, men enklare är att använda Taylors formel. Viss inspektion säger att 1-gradstermen kommen vara sammansatt av x 2 och av 8-gradstermen från cos x. (Sinusfunktionen bidrar bara med udda gradtal.) Vi får f (1) () x 1 x 2 1 1! 8! x8 f (1) () 1! 8! 9 19 (b) Effekten P i en krets beror av spänningen U och resistansen R enligt sambandet P U 2 /R. Just nu är spänningen U 9, V och resistansen R 45 Ω. Spänningen avtar med,1 V/s (eftersom batteriet börjar bli urladdat). Resistansen ökar med,2 Ω /s (eftersom kretsen börjar bli varm). Hur snabbt ändras effekten? (Det går bra att svara med ett oförenklat uttryck.) (3p) Efterfrågat är dp dt. Kedjeregeln ger dp dt Texten ger P du U dt du,1 dt V /s Deriveringsreglerna ger + P dr R dt dr dt,2ω /s P U U 2 U R 2U R 2 9,,4 45 W /V

3 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 3 (av 6) P R U 2 R R U2 R 2 9,2 45,4 2 W /Ω Sammantaget: dp dt,1,4+,2 (,4),48 W /s 3. Lös differentialekvationen y 9y18x med randvillkoren y()3, y(1)3e 3 2. Börja med homogena ekvationen: (5p) y h 9y h Karaktäristisk ekvation: r 2 9 r±3 Två olika reella rötter, allmän lösning y h Ae 3x + Be 3x Ansats för partikulärlösning: Eftersom högerledet är ett förstagradspolynom borde förstagradspolynomet y p ax+b fungera. y p ax+b y p a y p Insatt ger detta y p 9y p 9(ax+b) 9ax 9b18x+ a 2, b löser detta. Ekvationen har alltså den allmänna lösningen yae 3x + Be 3x 2x Randvillkoren ger: y() Ae 3 + Be 3 2 A+ B3 y(1) Ae Be Ae 3 + Be 3 23e 3 2 Med inspektion ser man att A, B 3 passar in här. Svar: 4y3e 3x 2x 4. (a) Vi har funktionen f, där f (x, y)2x 3 6xy+3y 2. Den har två kritiska punkter: (x, y)(, ) och (x, y)(1, 1). Klassificera dessa två punkter. (2p) Vi kör andraderivatatestet, och till det behöver vi derivatorna: f x x (2x3 6xy+3y 2 )6x 2 6y

4 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 4 (av 6) f y y (2x3 6xy+3y 2 ) 6x+6y 2 f x 2 x (6x2 6y)12x 2 f x y x ( 6x+6y) 6 2 f y 2 y ( 6x+6y)6 I (x, y)(, ): A12, B 6, C 6, ger AC B 2 36<, dvs. sadelpunkt. I (x, y)(1, 1): A , B 6, C 6, ger AC B 2 36>, dvs. extrempunkt. A > ger minpunkt. (b) För de som läste HT8 eller HT9 Förklara hur koordinatsystemen cylinderkoordinater och sfäriska koordinater är konstruerade. Vad är det man mäter? Hur räknar man om från dessa system till det vanliga rektangulära koordinatsystemet? Ungefär: Cylinderkoordinater: Man räknar polärt istället för i x och y, och som vanligt i z-led. Man har då koordinaterna r (avståndet från z-axeln) och θ (vinkeln mot x-axeln, om man projicerar punkten på xy-planet). Omräkning enligt xr cosθ, yr sinθ; z har samma betydelse som vanligt. Sfäriska koordinater: Man mäter ρ (avståndet till origo), θ (samma som för cylinderkoorinater) och φ (vinkeln mot positiva z-axeln). Omräkning enligt xρ sinφcosθ, yρ sinφsinθ, zρ cosφ. För övriga Förklara Lagranges multiplikatormetod. Vilken typ av problem är det som man löser med hjälp av den? Hur gör man? Varför får man rätt svar med den metoden? Ungefär: Man löser optimeringsproblem med bivillkor, typ maximera f (x, y) givet att g(x, y) C. Man letar reda på de punkter på kurvan g(x, y) C där f λ g, och undersöker dessa närmare. Tanken är att kurvan kan ses som en vandring i landskapet som definieras av f. Om man ritar in en vandring på en topologisk karta och letar efter de punkter där man befann sig som högst så ser man att man då rörde sig parallellt med höjdkurvorna, och det är de punkterna man söker hitta. (Gradienten är normalvektor till kurvorna; två vektorer är parallella om och endast om någon av dem kan skrivas som multipel av den andra.) (Förklaringarna behöver inte vara formella; det väsentliga är att det går att se att ni förstår vad det handlar om.) (3p) 5. Vi har ett hjul med radien 1. Medelpunkten i hjulet rör sig moturs i en cirkel med radie 1. Samtidigt roterar hjulet medurs runt sin egen axel. Under ett varv runt cirkeln roterar det två varv runt sin egen axel. En punkt på hjulets kant kommer

5 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 5 (av 6) då att röra sig utmed en kurva som kan beskrivas med parameteruttrycket xcos t+cos 2t ysin t sin 2t där π t π. Parametern t anger hur långt man kommit på varvet. Bilden visar hur det ser ut då t. (a) Skissa kurvan. (Du kan antingen utgå från formeln eller från beskrivningen.) (3p) (b) Bestäm tangentlinjen för t 2π/3. (2p) Analys i bild: Rita hjulet i ett antal lättritade lägen, och markera punktens läge. Förbind punkterna. T.ex. när navet har rört sig ett kvarts varv framåt så har punkten på fälgen rört sig ett halvt varv bakåt, och befinner sig numera till vänster. Analys i siffror: Vi gör upp en värdetabell. Av symmetriskäl räcker det att tabellera upp för t π; eftersom sinus är udda och cosinus jämn blir andra halvan likadan fast med omvända tecken på y-värdena: t x y 1+12 π/ , ,4 π/ , ,3 1 π/3 2 + ( 1 2 ) π/2 +( 1) π/ ( 1 2 ) ( 3 2 ) 1,7 3π/ ,7 2 2 ( 1) 1,7 5π/ ,4 1 2 ( 3 2 ) 1,4 π 1+1 Kurvan blir ungefär

6 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 6 (av 6) Tangentlinjen, snabbversion: Kurvan kommer att hålla sig inom en cirkel med radien 2. Den tangerar yttercirkeln på tre ställen, varav ett är just för t2π/3 (där hjulet förflyttat sig 1/3 varv framåt och samtidigt roterat 2/3 varv bakåt). Vi kan därför ta fram tangentlinjen till cirkeln i den punkten. Lite enkelt ögonmått säger att denna tangentlinje kommer att gå i vinkelnπ/6 (3 ) mot x-axeln, och då är k-värdet tanπ/61/ 3. Tangeringspunkten har koordinaterna (x, y)( 1, 3), så tangentlinjen blir y ( x ( 1) ) 1 3 x+( ) Tangentlinjen, normalversion: dy dy dx dt dx dt d dt d dt {för t2π/3} (sin t sin 2t) cos t 2 cos 2t (cos t+cos 2t) sin t 2 sin 2t cos 2π/3 2 cos 4π/3 sin 2π/3 2 sin 4π/ ( 1 2 ) 3 2 2( 3 2 ) Sedan tar man fram själva linjen som i föregående lösning. 1 3 Lycka till!

7 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. 11 p: U p: p: p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Delpoäng utdelas, så lämna in allt som du gjort även om du inte lyckades slutföra uppgiften. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex Lös differentialekvationen dy dx cos x y 2 givet att y() 6. Ekvationen är separabel, och kan skrivas om och lösas enligt (3p) y 2 dy cos x dx y 2 dy cos x dx Bivillkoret ger nu y 3 3 sin x + C 1 y 3 3 sin x + C 2 y 3 3 sin x + C sin + C2 3 C2 C Rättningsnorm: Korrekt separering, inklusive integraltecken: 1p. Korrekt lösning av integralerna (förutom +C ): 1p. Korrekt hantering av integrationskonstanten och bivillkoret: 1p. 1

8 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 2 (av 7) 2. Vi har funktionen f, där f (x, y) x 2 + y 2. (a) Skissa ytan z f (x, y), eller beskriv den med ord. (b) Är f kontinuerlig i (x, y) (, )? Motivera! (c) Är f differentierbar i (x, y) (, )? Motivera! (Varken skissen eller motiveringarna behöver vara perfekta, men det ska gå att begripa vad ni menar.) (a) En kon, med spetsen i origo och sidor som lutar 45 uppåt. (b) Ja, följer man sidan neråt mot origo så hamnar man på spetsen. Inga hål eller konstigheter. Mer formellt: Funktionsvärdet är definierat i punkten och dess omgivning, och funktionen är sammansatt av ett antal välkänt kontinuerliga funktioner. Alltså är den kontinuerlig i punkten. Superformellt: lim f (x, y) lim (x,y) (,) (x,y) (,) x 2 + y 2 (r cos θ)2 + (r sin θ) 2 lim r + θ 2π lim r f (, ) r + Funktionsvärdet är lika med gränsvärdet; alltså kontinuerligt! (c) Nej. Differentierbarhet innebär att ytan med god noggranhet kan approximeras med ett plan i närheten av punkten, och det kräver att den är slät. Konen har en spets i origo. Mer formellt: Ett nödvändigt (men ej tillräckligt) villkor för differentierbarhet är att partialderivatorna är definierade. z x x (x2 + y 2 ) 1/ x (x2 + y 2 ) 1/2 x x2 + y 2 och detta är odefinierat för (x, y) (, ) eftersom det blir division med noll. Rättningsnorm: På (b) och (c) måste det finnas en begriplig motivering och det måste framgå om svaret är ja eller nej. Om man påstår att ytan ser ut på ett helt annat sätt i (a) så får svar på (b) och (c) som är konsistenta med denna beskrivning poäng. Om man på (b) deriverar och ur detta svar drar någon slutsats om kontinuitet får man ingen poäng; det är för funktioner R 2 R fullt möjligt att vara kontinuerliga utan att vara deriverbara och att ha definierade partialderivator utan att vara kontinuerliga. (Detta sistnämnda kan inte inträffa för funktioner R R.) Att svara nej på (b) och (c) med motiveringen att funktionsvärdet inte är definierat funkar inte, vilket är ett väldefinierat värde. 3. En snöboll rullar ner för en backe. Den rullar med allt större hastighet på grund av lutningen, och snö fastnar på den och ökar dess massa. Just nu är dess hastighet v 5 m/s och dess massa m 8 kg. Hastigheten ökar med 3 m/s 2 och massan med,2 kg/s. Hur snabbt ökar snöbollens rörelseenergi? (Rörelseenergin beräknas med formeln W mv 2 /2.) (3p) Ökningstakten för rörelseenergin blir dw dt W dm + W dv m dt v dt

9 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 3 (av 7) enligt kedjeregeln. dm dt W m mv 2 m 2 v2 2 W v mv 2 v 2 2mv 2 mv,2 kg /s, dv dt 3 m /s 2, enligt text. enligt vanliga deriveringsregler. Sammantaget: dw dt 52 2, ,5 J /s Rättningsnorm: Insett att man ska använda kedjeregeln, och hur: 1p. Korrekta partialderivator: 1p. Korrekt hopmontering av informationen: 1p. 4. För de som läste kursen HT8, HT9 eller HT1: (a) En punkt har de sfäriska koordinaterna ρ 5, φ 2π/3, θ π/6. Ange dess läge i det vanliga rektangulära koordinatsystemet. x ρ sin φ cos θ 5 sin 2π 3 cos π y ρ sin φ sin θ 5 sin 2π 3 sin π z ρ cos φ 5 cos 2π 3 5 ( 1 2 ) 5 2 (b) En punkt har de rektangulära koordinaterna x 1, y, z 1. Ange dess läge i sfäriska koordinater. Tittar vi rakt framifrån (så att y-axeln går in i pappret) ser vi en 45 -vinkel mot z-axeln. Tittar vi rakt uppifrån ser vi en 18 -vinkel mot x-axeln. Avståndet till origo är ( 1) Ger ρ 2, φ π/4, θ π. (c) Ange cylinderkoordinaterna för punkten i (b). z-koordinaten är densamma. Sett rakt uppifrån är avståndet till z-axeln 1, och vinkeln fortfarande 18. r 1, θ π, z 1, alltså. Rättningsnorm: (Gäller samtliga deluppgifter:) För poäng ska svaret vara rätt eller så ska det vara möjligt att se att det är rätt tänkt (om än fel räknat). För övriga: Bestäm största och minsta värdet på (x 2) 2 + (y + 2) 2 givet att x 2 + y 2 1. (3p) Kan lösas på många sätt! Grafiskt/geometriskt: Nivåkurvorna till z (x 2) 2 + (y + 2) 2 är cirklar med centrum i (x, y) (2, 2). x 2 + y 2 1 är enhetscirkeln. Största värdet måste antas i den punkt på enhetscirkeln som ligger längst från (2, 2), minsta i den som ligger närmast. Parametrisering av randen: Enhetscirkeln kan skrivas x cos θ, y sin θ. Sätt in detta i uttrycket som ska maximeras, och lös det som ett envariabelproblem: z(θ) (cos θ 2) 2 + (sin θ + 2) 2 cos 2 θ 4 cos θ sin 2 θ + 4 sin θ + 4 4(cos θ + sin θ) + 9.

10 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 4 (av 7) Lagranges multiplikatormetod: Maximera F(x, y) (x 2) 2 +(y+2) 2 givet att G(x, y) x 2 + y 2 1. F 2(x 2), 2(y + 2), G 2x, 2y. Sätt F λ G, ger 2(x 2) λ2x 2(y + 2) λ2y x 2 + y 2 1 Om vi antar att x och y inte är noll (kan specialundersöka det fallet efteråt) ger de två första ekvationerna 2(x 2) 2x λ x 2 x 2(y + x) 2y y + 2 y xy 2y xy + 2x x y λ Detta insatt i nedersta ekvationen ger ( y) 2 + y 2 1, dvs. y ± 1/2. Vi har därmed de intressanta punktparen (x, y) ( 1/2, 1/2) och (x, y) ( 1/2, 1/2). Nu är det bara att stoppa in dessa och se vad värdet blir: F( 1/2, 1/ minst F( 1/2, 1/ störst Rättningsnorm: Att ta några punkter på cirkeln och kolla värdena i dem ger ingen poäng; det är ingen heltäckande undersökning. I övrigt poäng efter ungefär hur många procent av uppgiften man löst. 5. (a) Bestäm följande gränsvärde: 1 e x2 lim x x sin x (2p) Utnyttja Taylors formel: 1 e x2 lim x x sin x lim 1 (1 + x ! (x2 ) ) x x(x 1 3! x ) lim x x 2 1 2! x x 2 1 3! x lim x 1 1 2! x ! x Rättningsnorm: Vettigt angreppssätt: 1p. Korrekt beräkning av vad-man-nu-fåttsom-går-att-beräkna: 1p. (b) Visa att följande gränsvärde inte är definierat: x + 2y lim (x,y) (,) x 2y

11 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 5 (av 7) Vi kan prova att gå mot origo via ett par olika vägar. Utmed x-axeln (dvs. y ): x + 2 lim (x,) (,) x 2 lim x x x lim 1 1 x Utmed y-axlen (dvs. x ): + 2y lim (,y) (,) 2y lim y 2y 2y lim y 1 1 Olika resultat utmed olika vägar: gränsvärdet existerar ej! Rättningsnorm: Att säga att kvoten är noll delat med noll så det är odefinierat ger ingen poäng, och detta gäller även (a)-uppgiften. (Gränsvärden är uppfunna för att hantera den situationen, och /-uttryck har ofta gränsvärde. Exempelvis är alla derivator /-gränsvärden.) 6. Beräkna R xe 3x 4y da där R är rektangeln {(x, y) x 4, y 3}. (5p) Problemet här är beloppstecknet; det är hopplöst att integrera på något med ett beloppstecken. Vi måste dela upp området i två delar, en där uttycket inom beloppstecknet är negativt och en där det är positivt. Detta blir utmed linjen 3x 4y, dvs. y 3 4 x. Denna linje delar rektangeln på diagonalen. I den nedre triangeln R 1 är 3x 4y >, vilket innebär att 3x 4y 3x 4y. I den övre är 3x 4y <, vilket innebär att 3x 4y (3x 4y) 4y 3x. R 1 kan beskrivas y 3 4 x, x 4, eller som 4 3y x 4, y 3. Integranden verkar enklast att hantera om vi räknar i y först: R 1 xe 3x 4y da 4 3x/4 4 3x/ xe 3x 4y dydx xe 3x e 4y dydx [xe 3x ( 14 ] 3x/4 )e 4y dx (xe 3x x) dx Vi bryter och beräknar primitiv funktion till första termen med partiell integration: x e 3x dx x e3x 3 1 e3x e3x dx x 3 3 e3x 9 + C Fortsättning på huvudberäkningen: 1 [ ] xe 3x e3x 9 x2 11e

12 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 6 (av 7) R 2 kan beskrivas som 3 4 x y 3, x 4, och integralen blir xe 3x 4y da R x/4 xe 4y 3x dydx e Totalt: R xe 3x 4y da 12e e Rättningsnorm: Insett att beloppstecknet leder till falluppdelning: 1p. Korrekta gränser på fallen: 1p. Korrekt integrering m.a.p. y: 1p. Korrekt integrering m.a.p. x: 2p. Om alla delar är fel men det trots allt är rätt procedur: 1p totalt. 7. Vi har ytan z x 2 + y 2 I vilken/vilka punkter lutar ytan som brantast, och hur mycket lutar den där? (5p) I en given punkt lutar det ju olika åt olika håll, men maximala lutningen är i gradientens riktning, och dess storlek är lika med gradientens norm. Vi behöver alltså gradienten: z x 32 x 1 + x 2 + y 32 2x 2 (1 + x 2 + y 2 ) 2 z y 32 y 1 + x 2 + y 32 2y 2 (1 + x 2 + y 2 ) 2 Så 64x z (1 + x 2 + y 2 ), 64y 2 (1 + x 2 + y 2 ) 2 Maxlutningen i punkten (x, y) är då k(x, y) z 64 x (1 + x 2 + y 2 ) y 2 och vi ska hitta de punkter (x, y) där den är maximal. Rotuttryck är inte så kul att jobba med, så vi kan maximera k 2 istället: K(x, y) 64 2 x 2 + y 2 (1 + x 2 + y 2 ) 4 Derivera, och sätt derivatorna till noll: K x 2x( x2 + y 2 ) 4 (x 2 + y 2 )4(1 + x 2 + y 2 ) 3 2x (1 + x 2 + y 2 ) x(1 + x2 + y 2 ) 8x(x 2 + y 2 ) (1 + x 2 + y 2 ) x(1 3x2 3y 2 ) (1 + x 2 + y 2 )

13 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 7 (av 7) K y 2y( x2 3y 2 ) (1 + x 2 + y 2 ) 5 Den första ekvationen har lösningen x eller 3x 2 + 3y 2 1. Den andra har lösningen y eller 3x 2 + 3y 2 1. Värdeparet (x, y) (, ) ger K k 2, vilket knappast är maxlutningen! Utmed cirkeln x 2 + y har vi k 2 K /3 1/3 642 (1 + 1/3) / k vilket väl ser lite trovärdigare ut. (Vi kan notera att lutningen går mot noll då vi avlägsnar oss långt från origo, eftersom nämnaren har högre grad än täljaren. Och den är som sagt noll i origo. Då måste det finnas ett max någonstans på vägen, och det måste vara det som vi hittat.) Uppgiften går också att lösa genom att man byter till polära koordinater, och blir då betydligt enklare. Svar: Maxlutningen är 12 3 och antas i alla punkter på cirkeln x 2 + y 2 1/3. Anm. Uppgiften är en lätt bearbetning av en övning ur boken Övningar i analys i flera variabler. Den var tänkt som tentans svåra tal, det som fordrar nytänkande. Rättningsnorm: Gjort någon sak som ingår i en fullständig lösning: 1p. Gjort ett par saker som ingår i en fullständig lösning: 2p. Lycka till!

14 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. 11 p: U p: p: p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Delpoäng utdelas, så lämna in allt som du gjort även om du inte lyckades slutföra uppgiften. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex Beräkna R xy 2 da där R är det ändliga område i första kvadranten som begränsas av kurvorna y x 2 och x y 2. (3p) Kurvorna skär i (, ) och (1, 1); x y 2 ligger överst, till vänster. Integranden verkar ungefär lika svår i båda variablerna; vi kan börja med x. Då kan området beskrivas som R {(x, y) : y 2 x y, y x}. R xy 2 da y y 2 [ x 2 y 2 xy 2 dxdy 2 ] y y 2 dy ( y 3 y 6 ) dy 2 ] 1 [ y 4 8 y7 14 ( ) ( ) 1

15 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 2 (av 7) 2. (a) Förklara skillnaden på f det ska gå att se att ni förstår.) x och d f dx. (Behöver inte vara så välformulerat, men Den första är en partialderivata; den talar om hur snabbt värdet på f ändras om man ändrar x, som dock inte är är den enda saken som påverkar det hela. Det finns fler förstaderivator än den här I den andra är x den enda oberoende variabeln, så här har vi fått komplett informaton om ändringstakten. (b) Vi har en funktion f : R 2 R. Ge definitionen av f 1 (a, b). Detta är en av alla femtioelva olika derivatabeteckningar som finns, står för derivatan med avseende på 1:a variabeln: f (a + h, b) f (a, b) lim h h (c) Ange något problem där det är väsentlig skillad på hur räkningarna på problemet blir i envariabelfallet och i flervariabelfallet. Förklara på ett ungefär vad det är som är skillnaden. Exempelvis: gränsvärdesberäkningar. I R finns bara hållen höger och vänster, i R 2 kan man närma sig en punkt på oändligt många sätt (och gränsvärdet ska stämma in på alla varianterna). Max- och minproblem, samma komplikationer där. 1:aderivatatestet kollar värdena till höger och vänster i en kritisk punkt; nu finns det för många håll. 3. Bestäm arctan,1 med åtminstone 3 korrekta decimaler. Tips: Utnyttja Taylors formel, och att d dx arctan x 1/(1 + x2 ). Svar med 1 korrekt decimal får 1 p, 2 korrekta ger 2 p. (3p) Vi approximerar med MacLaurinutvecklingen. Vi kommer inte ihåg hur den ser ut, men kan ta oss dit via geometrisk serie: 1 arctan x 1 + x dx ( x 2 ) dx (1 + ( x 2 ) + ( x 2 ) 2 + ( x 2 ) ) dx (1 x 2 + x 4 x ) dx x x3 3 + x5 5 x C (likhet gäller så länge x 2 < 1, sedan divergerar det). Konstanta termen i en MacLaurinutveckling är lika med funktionsvärdet för, och arctan. C, alltså. Då approximerar vi: arctan,1,1,13 3 +,15,1,1 +, Vill vi ha tre decimaler är det uppenbart att bara de första två termerna är relevanta.,1,3333, ,1.

16 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 3 (av 7) Om man inte siktar på full poäng kan man approximera med tangentlinjen, vilket motsvarar att bara ta med första termen i utvecklingen. 4. Ange formeln för att beräkna arean av mantelytan till den rotationskropp som erhålls då kurvan y f (x), a x b roterar runt x-axeln, och förklara också varför formeln ser ut som den gör. (För full poäng ska förklaringen vara sådan att det verkar troligt att en kurskamrat kan förstå resonemanget.) (3p) Formel: b a 2π f (x) 1 + ( f (x)) 2 dx Förklaring: se boken eller anteckningar. Förklaringen bör täcka upp hur man får fram rotuttrycket och vad 2π har med saken att göra. Figur rekommenderas! 5. (a) Visa att nedanstående gränsvärde inte existerar: lim (x,y) (,) xy x 2 + y 2 Prova att gå mot punkten från ett par olika håll. Utmed x-axeln får man lim y x 2 + y 2 lim y och det får man utmed y-axeln också. Men linjen x y ger lim x x x x 2 + x 2 lim x x 2 2x lim 1 2 x Olika svar på olika vägar: gränsvärdet existerar inte. (b) För de som läste kursen HT8, 9 eller 1: (i) En punkt har de sfäriska koordinaterna (ρ, θ, φ) (2, π, π/2). Vad har den för koordinater i det rektangulära koordinatsystemet? x 2 cos π sin π/2 2 y 2 sin π sin π/2 z 2 cos π/2 (ii) En annan punkt har de rektangulära koordinaterna (x, y, z) (2, 2, 2). Ange dess koordinater i det cylindriska koordinatsystemet. z-koordinaten fortsätter att vara 2. Ritar man ut punkten i xy-planet ser man att θ π/4. r ( 2)

17 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 4 (av 7) För övriga: Bestäm nedanstående gränsvärde: lim (x,y) (,) x 2 y 2 x 2 + y 2 (2p) Uppgiften ser ut att vara konstruerad för polära koordinater. Sätter vi in x r cos θ, y r sin θ får vi lim (x,y) (,) x 2 y 2 x 2 + y lim 2 r θ 2π r 2 cos 2 θr 2 sin 2 θ r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ r 4 cos 2 θ sin 2 θ lim r r 2 θ 2π lim r r 2 cos } 2 {{ θ sin 2 } θ θ 2π begränsad (Något som går mot noll gånger något som inte blir jättestort går mot noll.) 6. Lös differentialekvationen y + 3y 1y 2e 2x givet att y() 1 och y () 24. Anm. Det var feltryck i frågan, det andra y ska vara y. Som frågan var avsedd: Homogen: (5p) y h + 3y h 1y h Karaktäristisk ekvation: r 2 + 3r 1, lösningar r 5, r 2. Homogenlösning: y h Ae 5x + Be 2x Partikulär: Lämplig ansats verkar vara y ae 2x, men detta är en homogenlösning och kan inte funka. Ansätt istället y p p(x)e2x. Det ger y p p(x)e 2x y p p (x)e 2x + p(x)2e 2x (p (x) + 2p(x))e 2x y p p (x)e 2x + p (x)2e 2x + p (x)2e 2x + p(x)2 2e 2x p (x)e 2x + 4p (x)e 2x + 4p(x)e 2x (p (x) + 4p (x) + 4p(x))e 2x Insatt i ekvationen får vi y p + 3y p 1y p (p (x) + 4p (x) + 4p(x))e 2x + 3(p (x) + 2p(x))e 2x 1(x)e 2x (p (x) + 7p (x))e 2x 2e 2x Ger att p (x) + 7p (x) 2. Eftersom vi bara är ute efter någon lösning, inte alla tänkbara, löser vi denna diffekvation med inspektion: p (x) 2/7, p(x) 2x/7 funkar.

18 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 5 (av 7) Allmän lösning: y Ae 5x + Be 2x xe2x y 5Ae 5x + 2Be 2x e2x xe2x Bivillkor: y() Ae 5 + Be e2 A + B 1 y () 5Ae 5 + 2Be e e2 5A + 2B Detta ger A 186/49 B 37/4. (Jag måste ha halkat med fingrarna någonstans, för det skulle ha blivit snyggare siffror. Lovar fullständigt överseende med räknefel!) Lösning som uppgiften var skriven: Ekvationen kan förenklas till Homogen: 4y 1y 2e 2x 4y h 1y h Karaktäristisk ekvation: 4r 2 1, lösningar r ± 5/2. Homogenlösning: y h Ae 5/2x + Be 5/2x. Partikulär: Lämplig ansats: y p ae 2x. Det ger y p ae 2x y p 2ae 2x y p 4ae 2x Insatt i ekvationen får vi 4y p 1y p 4ae 2x 1ae 2x Ger att a 2/6 1/3 Allmän lösning: Bivillkor: 6ae 2x 2e 2x y Ae 5/2x + Be 5/2x 1 18 e2x 5 y 2 Ae 5 5/2x 5/2x 2 Be 1 3 e2x y() A + B y () 5 2 A 5 2 B Detta ger A (2 7 1)/3, B ( )/15. Själva utlösandet av konstanterna var svårare i den feltryckta varianten, men partikulärlösningen och deriveringen var signifikant mycket lättare.

19 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 6 (av 7) 7. Bestäm största och minsta värde för z x 2 3xy + y 2 x + 4y i det område som uppfyller y x 1 (5p) Vi behöver dels leta kritiska punkter i det inre av området, och dels undersöka dess rand. Vi börjar med det inre området, och söker punkter där båda partialderivatorna är noll. (Punkter som visar sig ligga utanför området slängs bort.) z x x (x2 3xy + y 2 x + 4y) 2x 3y 1 z y y (x2 3xy + y 2 x + 4y) 3x + 2y + 4 Detta är ett linjärt ekvationssystem med lika många ekvationer som obekanta, dvs. troligtvis med entydig lösning. Med Gauss-Jordan eller annan metod finner man att denna lösning är (x, y) ( 2, 1). Punkten uppfyller inte y, så den ligger utanför området. Nu till randen. Området begränsas av y, y x och x 1, en triangel i första kvadranten, vilket gör att man måste genomföra tre separatberäkningar, en för varje delsträcka: Nederkanten y: z(x, ) x 2 3x + 2 x + 4 x 2 x z 2x + 1 x 1 2 Denna lösning ger förmodligen lokalt extremvärde på sträckan. Dessutom måste vi undersöka ändpunkterna (x, y) (, ) och (x, y) (1, ) Högerkanten x 1: z(y,1) y + y y y 2 + y z 2y + 1 y 1 2 Denna lösning ligger utanför området, så största och minsta värde måste antas i ändpuntkerna: (x, y) (1, ) och (x, y) (1, 1). Den sneda kanten x y: z(x, x) x 2 3x x + x 2 x + 4x x 2 + 3x z 2x + 3 x 3 2 Även denna lösning ligger utanför området. Ändpunkterna på den här kanten är dessutom ändpunkter på de andra kanterna, så det tillförde inget nytt. För att hitta största och minsta värde får vi helt enkelt se efter vad z blir i hörnen och i den enda intressanta punkt vi hittade på nederkanten: z(, ) z(,5, ) 1/4 z(1, ) z(1, 1) Största värdet är 2 och antas i hörnpunkten (x, y) (1, 1). Minsta väredet är 1/4 och antas i nederkanten i punkten (x, y) (,5, ). Anm. Uppgiften är lånad ur Persson Böiers Övningar i analys i flera variabler.

20 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 7 (av 7) Lycka till!

21 Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA127 Differential och integralkalkyl II Tentamen Lösningsförslag Hjälpmedel: Endast skrivmaterial (gradskiva tillåten). Poängfördelning och betygsgränser: Uppgifterna ger upp till 5 poäng, och till den sammanlagda poängen läggs eventuella bonuspoäng. 11 p: U p: p: p eller mer: 5. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Delpoäng utdelas, så lämna in allt som du gjort även om du inte lyckades slutföra uppgiften. Om du inte klarar en uppgift, men ändå har en uppfattning om vad man borde göra, skriv en förklaring till vad du skulle ha gjort. Om du i en uppgift behöver ett resultat från en tidigare deluppgift som du inte lyckats lösa, hitta på en lösning till den så att det går att komma vidare. Du behöver inte utföra krångliga numeriska beräkningar; det är OK att svara t.ex Vi har funktionen f, där f (x, y) e x (sin 2y + cos 3y). (a) Ta fram ytans tangentplan i punkten (x, y) (, ) Partialderivator: (2p) f x (x, y) x( e x (sin 2y + cos 3y) ) e x (sin 2y + cos 3y) f y (x, y) x( e x (sin 2y + cos 3y) ) e x (2 cos 2y 3 sin 3y) Nödvändiga värden: f (, ) e ( sin(2 ) + cos(3 ) ) 1 f x (, ) e ( sin(2 ) + cos(3 ) ) 1 f y (, ) e ( 2 cos(2 ) 3 sin(3 ) ) 2 Tangentplan i punkten: z f (, ) + f x (, )(x ) + f y (, )(y ) 1 + x + 2y Rättningsnorm: Korrekt räknat partialderivator: 1p. Korrekt satt ihop ett tangentplan av informationen (oavsett om den var rätt eller fel): 1p. (b) Bestäm ett approximativt värde på f (,1,,1). Utnyttja tangentplanet, det approximerar funktionen: f (,1,,1) 1 +,1 + 2(,1),9 Rättningsnorm: Korrekt använt tangentplanet från (a): 1p. 1

22 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 2 (av 7) 2. Ta fram den lösning till differentialekvationen y + 1 x y 1 x 3 som uppfyller bivillkoret y(2) 1. Ekvationen är linjär. Ta fram integrerande faktor: (3p) dx ln x + C x Eftersom vi är intresserade av en lösning i närheten av x 2 kan vi utgå från att x > och skippa beloppstecknet. C kan vi sätta till ett valfritt värde, t.ex.. Ekvationen ska multipliceras med e ln x x. x (y + 1 x y) x 1 x 3 x y + 1 y 1 x 2 d dx (x y) 1 x 2 x y x dx 2 x 2 dx x 1 + C 1 x + C y 1 x 2 + C x Bivillkoret ger nu y(2) C 2 1 C 5 2 Svar: y 1 x x Rättningsnorm: Tagit fram integrerande faktor och satt in på rätt ställe: 1p. Gått vidare till allmän lösning: 1p. Hanterat bivillkoret korrekt: 1p. 3. Funktionen f har MacLaurinutvecklingen 2 n 1 x n. (a) Skriv upp 4:e gradens MacLaurinpolynom för f i klartext, utan summatecken. 4 2 n 1 x n 2 x x x x 4 x + 2x 2 + 4x 3 + 8x 4 n1 n1 Rättningsnorm: Kan väl bara bli rätt eller fel? (b) Bestäm f (4) (). Utläses ur 4:e-gradskoefficienten: f (4)() x 4 8x 4 f (4) () 8 4! ! Rättningsnorm: Kan väl inte heller bli annat än rätt eller fel?

23 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 3 (av 7) (c) Den givna MacLaurinutvecklingen har konvergensradien 1/2. Vad innebär detta? Att den konvergerar mot något (förhoppningsvis mot funktionen) för 1/2 < x < 1/2. 4. För funktionen f gäller att f (1, 2) 3, 4. (a) Vad är riktningsderivatan för f i (x, y) (1, 2) i den riktning som funktionsvärdena ökar snabbast? Maximal riktningsderivata är i gradientens riktning och lika med gradientens norm: 3, ( 4) 2 5. (b) I vilken riktning från (x, y) (1, 2) är riktningsderivatan för f lika med noll? Riktningsderivatan är noll i höjdkurvornas riktning, vinkelrätt mot gradienten. Grafiskt eller med hjälp av skalärprodukt finner man att det är i riktningen ± 4, 3. (c) Man kan också beräkna derivator för parameterkurvor. Hur ser man i derivataberäkningen att kurvan går lodrätt i en punkt? Detta får man då x-derivatan är noll medan y-derivatan är något annat (eller i sällsynta fall: då båda derivatorna är noll men då lim t a dt / dx dt dy ± ). Rättningsnorm: (a) kan bara bli rätt eller fel. Om (b) och (c) båda är lite halvrätt ges 1p totalt för dem. 5. Kurvan y e x2, koordinataxlarna och linjen x 1 avgränsar ett ändligt område i första kvadranten. (a) Skriv upp en integral som tar fram volymen av den kropp som erhålls om området roteras runt x-axlen. (b) Skriv upp en integral som tar fram volymen av den kropp som erhålls om området roteras runt y-axeln. (c) Skriv upp en integral som beräknar längden av kurvan y e x2 i detta område. Motivering behövs ej, och integralerna behöver inte lösas. Kurvan ligger ovanför x-axeln och skär y-axeln vid y1. π(e x2 ) 2 dx 2πxe x2 dx πe 2x2 dx (a) (b)

24 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 4 (av 7) 1 + ( 2xe x2 ) 2 dx (c) Rättningsnorm: Om man gjort något konsekvent fel, som fel gränser på alla integralerna, ges 2p totalt. Annars är det bara rätt eller fel. 6. Bestäm största och minsta värde för z cos(x 2 +4y 2 ) på kanten till och innanför en cirkel med centrum i origo och radien π/4. (5p) Tjusig lösning: Cosinusvärden ligger mellan 1 och 1. Finns det några punkter i det givna området där dessa värden antas? z(, ) cos( ) cos 1. z(, π/4) cos( 2 + 4( π/4) 2 ) cos π 1. Största värdet är 1, minsta värdet är 1. Grafisk lösning: Försök bena ut hur nivåkurvorna ser ut. cos(x 2 + 4y 2 ) konstant ger att x 2 + 4y 2 måste vara konstant. Och detta kan man känna igen som uttrycket för en ellips, med horisontell halvaxel dubbelt så stor som vertikal. Situationen ser ut ungefär så här: I centrum är z 1, mellan första och andra nivåkurvan är z 1. Vägen (cirkeln) passerar genom punkter på botten av detta dike. Normal lösning: Inre området: Börja med att söka kritiska och singulära punkter. z x 2x sin(x2 + 4y 2 ) z y 8y sin(x2 + 4y 2 ) Derivatorna är definierade överallt, så singulära punkter saknas. Nollfaktorlagen ger att båda derivatorna är noll om x och sin(4y 2 ) eller y och sin x 2 eller x y eller sin(x 2 + 4y 2 ) Undersök alternativen: sin(4y 2 ) 4y 2 nπ y ± nπ 4 De enda lösningar till detta som ligger inom området är för n och n 1. Vi har hittat de intressanta punkterna (, ), (, π/4) och (, π/4). sin x 2 x 2 nπ x ± nπ

25 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 5 (av 7) Den enda lösningen som ligger inom området är för n. Vi har hittat (, ) igen. Och det tredje alternativet ger också denna lösning. Den sista ekvationen uppfylls bara av x y och av de två övriga punkter vi redan hittat, alla andra lösningar ligger utanför området. Randen: Kan analyseras genom parametrisering eller Lagrange. Parametrisering: Cirkeln kan skrivas x π/4 cos θ, y π/4 sin θ, där θ 2π. Insatt i uttrycket får vi att z(θ) cos( π 4 cos2 θ + π sin 2 θ) cos ( π( sin2 θ) ) Max- och min kan hittas med derivataanalys: d dθ z 3π 2 sin( π( sin2 θ) ) cos θ sin θ Derivatan blir noll för sin θ, motsvarar θ eller θ π. cos θ, motsvarar θ π/2 eller θ 3π/2. sin( ( π( sin2 θ) ), som ger π( sin2 θ) nπ. Den är olösbar för n, har lösningarna θ π/2, θ 3π/2 för n 1, och är olösbar för andra värden på n. Dessa värden på θ motsvarar punkterna (, π/4), (, π/4), ( π/4, ), ( π/4, ). Lagrange: Sök puntker där f λ g, där f (x, y) cos(x 2 + 4y 2 ) och g(x, y) x 2 + y 2. Dessutom ska g(x, y) π/4. Vi får sin(x 2 + 4y 2 ) 2x λ2x sin(x 2 + 4y 2 ) 8y λy x 2 + y 2 π/4 Översta ekvationen löses av x eller λ sin(x 2 + 4y 2 ). Första alternativet instoppat i 3:e ekvationen ger y 2 π/4, instoppat i 2:a ger λ. Andra alternativet leder till y, x 2 π/4. Vi har alltså hittat 4 intressanta punkter på randen: (, π/4), (, π/4), ( π/4, ), ( π/4, ) Sammanfattning: Vi har hittat totalt 5 intressanta punkter: (, ), (, π/4), (, π/4), ( π/4, ), ( π/4, ). Undersökning av värdena i dessa punkter visar att största värdet är 1 (antas i första punkten) och minsta värdet 1 (antas i punkt 2 och 3). Rättningsnorm: Poäng baseras på ungefär hur stor andel av en korrekt lösning man har presterat. 7. Kurvorna y x 2, y (x 1) 2 +5 och y (x+1) 2 +5 delar upp xy-planet i flera delar. Området R är det av delområdena som innehåller punkten (x, y) (, 2). Beräkna (x + 2y + 3) da R på två sätt: genom att börja i x-led och genom att börja i y-led. (5p) Börja med att rita upp området. Begränsningskurvorna är parablar, och går snabbt att rita:

26 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 6 (av 7) Punkten (, 2) ligger i det droppformade området. Kurvorna skär i ( 1, 1), (1, 1) och (, 4) (inspektion i bild eller beräkning). y-led först: Beräkningen måste delas upp i två delar, eftersom det är olika överkurva i halvorna (x + 2y + 3) da R (x 1) 2 +5 x 2 (x + 2y + 3) dy dx + [ xy + y 2 + 3y ] x 2 +2x+4 x 2 dx + ( 6x 3 8x x + 28) dx + [ 3x4 2 8x x2 + 28x ] 1 + (x+1) 2 +5 x 2 (x + 2y + 3) dy dx [ xy + y 2 + 3y ] x 2 2x+4 x 2 dx... ( 2x 3 12x 2 18x + 28) dx [ x4 2 4x3 9x x x-led först: Här måste vi börja med att skriva om uttrycken för kurvorna: y x 2 x ± y y (x 1) x 1 ± 5 y y (x + 1) x 1 ± 5 y ] 1... I mittenuttrycket är det minustecknet som gäller (vi har negativa x) och i nedersta plustecknet. Området måste också här delas i två: (x + 2y + 3) da R y y [ x 2 2 (x + 2y + 3) dx dy y 1 5 y (x + 2y + 3) dx dy ] y 4 [ ] x y + 3xy + 3x dy + + 3xy + 3x y 2 dy 1 5 y 1 (4y 3/2 + 6y 1/2 ) dx (6 5 y + 4y 5 y 4y 6) dy

27 MMA123 Tentamen Lösningsförslag Sida 7 (av 7) Det enda som är lite klurigt här är andra termen i andra integralen, kan hanteras genom att man substituerar 5 y t. [ 6y 5/ ] 1 [ ] 8(5 y) + 4y 3/5 5/2 4 52(5 y)3/2 + 2y 2 6y Rättningsnorm: Korrekt tagit fram området: 1p. Korrekt ställt upp y-först-problemet: 1p. Korrekt ställt upp x-först-problemet: 1p. Klart visat att man vet hur man inleder beräkningen: 1p. Klart visat att man vet hur man fortsätter beräkningen: 1p. Lycka till!