Algebra och ekvationer

Transkript

1 Algebra och ekvationer Mål När eleverna har studerat det här kapitlet ska de kunna tolka uttryck skrivna med tal beräkna ett uttryck skrivet med flera olika räknesätt tolka uttryck skrivna med variabler beräkna ett uttrycks värde lösa enkla ekvationer Ingressen Patriks ålder 3 gånger 23 år (= 9 år) är lika med Patriks ålder plus 3 Patrik är 9 minus 3 år = år Tänk på ett tal Låt eleverna pröva med olika tal och följ mönstret i exemplet med talet 8 nedan Börja t.ex. med talet 8 (eller variabeln a) 8 a Multiplicera med a Addera a +1 Halvera, dvs. dividera med 2 ( )/2 24 2a + 8 Subtrahera 8 ( )/ a Halvera igen (( )/2 8)/2 8 a När variabelbegreppet har gåtts igenom kan man återkoppla till ingressen genom att starta med en variabel, t.ex. a, (se kolumnen ovan till höger) och därigenom visa varför resultatet alltid blir detsamma. Se även arbeta tillsammans nedan och Arbetsblad :1 och facit till detta. Arbeta tillsammans Tänk på ett tal Börja t.ex. med 5 a Multiplicera med a Minska med a Dela allt med 3 (3 5 )/3 3 a 2 Lägg till 2 (3 5 )/ a Grunddel Algebra brukar beskrivas som en vattendelare inom ämnet matematik Förstår eleverna algebra har de goda möjligheter att lyckas med vidare studier; annars blir algebran istället lätt ett skällsord för allt som betraktas som svårt inom matematiken. Vi har väl alla hört vuxna uttrycka sig som att det där med x har jag Algebra och ekvationer

2 aldrig förstått. Det är därför av mycket stor vikt att vi låter alla elever möta algebra. Om eleverna, i all välmening, får hoppa över algebran därför att läraren tycker att det kommer ni inte ha så stor användning av så gör vi i princip ett framtida yrkesval åt dessa elever; vi leder in dem i en återvändsgränd. Det är omöjligt att avgöra vad eleverna kommer ha nytta av. Algebra är ett kraftfullt verktyg i matematik och vår målsättning är att göra det tillgängligt för alla elever. Framställningen i år 7 boken är med avsikt lätt för att inte skrämma i väg någon elev. Många elever upplever algebran som abstrakt och svårbegriplig, vilket påverkar deras motivation negativt. Därför är det viktigt att eleverna vid den inledande algebran får uppleva att bokstavssymbolerna är meningsfulla och att algebraiska räkneregler är förankrade i aritmetiken. Som lärare måste man försöka att avdramatisera algebran och se dess nytta som verktyg vid problemlösning, beskrivning av mönster och generaliseringar och hur algebran kan hanteras i undervisningen. För grundskoleeleven behöver inte alltid nyttoaspekten vara den främsta drivfjädern vid algebraundervisningen. Tänk istället på att spänning och utmaning i många fall kan fungera som en bättre motivering. Det är vanligt att elever ser bokstäverna som t.ex. förkortningar (a för apelsin). Tänk därför på att betona bokstävernas betydelse som tal. Arbeta tillsammansuppgiften i början av kapitlet (och Arbetsblad :1) kan användas för att visa algebrans kraft, dvs. att om man räknar med en bokstav som symbol för ett tal visar man att bokstaven kan bytas mot vilket tal som helst. Ordet variabel som beteckning för en bokstav eller symbol tas upp på ett tidigt stadium i boken och bör göras bekant för eleverna. De flesta elever har tidigare lärt sig att lösa enkla ekvationer, ofta med hjälp av huvudräkning. Med fingermetoden blir ekvationslösningen oftast väldigt oproblematisk för eleven. I det här sammanhanget är det bra att ta upp skillnaden i synsätt på en variabel i en ekvation och i ett algebraiskt uttryck. I ekvationen står x för ett enda tal medan x i det algebraiska uttrycket står för ett tal vilket som helst. För att förstå ekvationslösning är det också av vikt att betona likhetstecknets betydelse som lika med eller lika mycket som så att inte tecknet utläses som blir. Väldigt få elever kan eller törs däremot använda ekvationer som hjälp vid problemlösning. En anledning kan vara att man lärt sig lösa ekvationer efter vissa regler, mekaniskt och utan att egentligen förstå vad man gör. Både i boken och i arbetsbladen får eleverna träna sig i att på olika sätt koppla en text till ett ekvationsuttryck Algebra och ekvationer kan göras väldigt lätt och samtidigt roligt! Sidan 173. Avsnittet inleds med träning av prioriteringsregler kopplade till konkreta vardagssituationer. Uträkningar med blandade räknesätt leder ofta till felaktiga svar beroende dels på slarv, dels på att eleven inte har prioriteringsreglerna riktigt klara för sig. Mer träning finns på arbetsblad :2 i Verktygslådan. Sidorna Övningarna fokuserar på förståelsen av vad en variabel står för (ett tal), vilket också syftar till att befästa elevens allmänna taluppfattning. Sidorna Även vid genomgången av ekvationsavsnittet betonas förståelsen för vad x står för. Förutom träning på att lösa en enkel ekvation med fingermetoden får eleverna arbeta med problemställningar som kan formuleras som, och lösas med, ekvationer. Algebra och ekvationer 7

3 Facit till diagnosen 1 a) En bakelse och tre praliner b) Fyra praliner och fem kolor s a) 14 b) 2 c) 35 s. 184 x 3 a) b) 3 + x c) 2x s a) 10 b) 2 c) 4 s a) 4a b) 2x + 2y c) 3b + c s a) x = 4 b) x = 29 s a) x = 4 b) x = 20 s a) x + 5 = 13 b) 2 x = 0 s a) En Original och en Right Original s. 184 b) 3 st Original c) 2 st Original och 3 st Right Original Facit till kluringarna Stickorna T.ex. 4 plustecken T.ex = Engelsk kluring Hos Dinos café kan 4 personer sitta runt ett kvadratiskt bord. En grupp på 50 personer reserverade ett långbord för en fest. Hur många kvadratiska bord behövde Dino sätta samman för att alla personerna skulle få plats? 50 personer minus 2 som sitter på kortändarna ger 48 kvar, dvs. 24 längs varje långsida, dvs. 24 bord. Blå kurs Sidan 184. Övning 7. Låt eleverna skapa egna räknehändelser, kopplade till figuren överst på sidan Sidan 185. Övning 10 kan med fördel utvecklas genom att låta Lazy vandra lite olika vägar (kortaste, längsta t.ex.) Uppmana eleverna att pröva varandras förslag. Röd kurs Sidorna Övning 2 4. Låt eleverna skapa nya varianter med 4 eller fler hagar eller egna figurer i övning 4. Sidorna tränar förståelsen för uttryck med både variabler och tal. Ta gärna upp frågeställningar av nedanstående slag: 8 Algebra och ekvationer

4 9 b) Vad ska den korta sidan kallas om den långa benämns a eller 4a? 13 a) Vad ska den korta sidan kallas om den långa benämns x? Exemplet sid 194. Om Marko har a kr vad har då de övriga? Sidan 19. Övningarna kan upplevas som ganska svåra eftersom de bygger på god språkförståelse och taluppfattning. Diskutera med eleverna vilken text som passar de felaktiga alternativen. Sidan 198 tränar problemlösning med hjälp av ekvationer, något som eleverna är ovan vid. Här behövs en tydlig dialog mellan lärare och elev. Se även arbetsblad :7. Utmaning 1 Svaren blir samma, dvs. 3 2 Mönstret blir samma eftersom talet i den övre högra rutan alltid är ett mer än talet i den övre vänstra rutan och motsvarande gäller för de nedre rutorna. 3 a a + 1 a + 7 a + 8 a +(a +8)=a + a +8=2a +8 (a +1)+(a +7)=a +1+a +7=2a +8 4 Det blir liknande mönster, dvs summan av diagonaltalen blir alltid lika stor. 5 Eftersom summorna blir desamma blir även medelvärdena desamma Med exemplet från övning 3 fås (2a + 8)/2 = a Om talet i övre vänstra rutan betecknas med a blir medelvärdet a + 8 Arbetsblad Innehållsförteckning över arbetsblad och koppling till motsvarande sidor i boken. Namn Sid Nivå :1 Tänk på ett tal 172 grön röd :2 Räkna på olika sätt 173 blå grön :3 Vad betyder en parentes? 173 grön röd :4 Förenkla på engelska 174 blå grön :5 Skriva uttryck blå röd : Problem? Lös dem med hjälp av ekvationer 198 röd :7 Spel om parenteser. Arbeta tillsammans grön röd Algebra och ekvationer 9

5 Arbetsblad :1 Tänk på ett tal Exempel a) Lös talgåtan genom att pröva med två olika tal. b) Lös talgåtan genom att använda en variabel, t.ex. a. a) Tal 1 Tal 2 b) variabeln a Tänk på ett tal 15 a Lägg till + = = 21 a + Dubbla 2 12 = = 42 2 a + 2 = 2a + 12 Minska med = = 40 2a = 2a + 10 Dela med 2 22/2 = 11 40/2 = 20 (2a + 10)/2 = a + 5 Minska med det tal du tänkte på 11 = = 5 a + 5 a = 5 Vilket tal får du? Lös talgåtorna här nedan på samma sätt dvs. genom att a) pröva med två olika tal. b) använda varabeln a. 1 a) b) Tänk på ett tal som är större än Subtrahera med Multiplicera med 3 Addera med 27 Dividera med 3 Minska med det tal du tänkte på Vilket tal får du? 2 Tänk på ett jämnt tal Addera med nästa jämna tal Dubbla Dividera med 4 Subtrahera med 1 Blir svaret jämnt eller udda? 70 Algebra och ekvationer

6 Arbetsblad :2 Räkna på olika sätt 1 Vilka tal är, och i de olika uppgifterna? 240 a) 20 4 = 5 + = 35 = = = = 72 b) 39 = = = 4 = = = 72 c) = 52 = = 13 + = = = 3 2 Vilka tal är och i de olika uppgifterna? a) + = 18 = b) + = 10 = + = 15 = = 10 = c) + = 8 = d) + = 1 = = 8 = = 1 = 3 Sätt in de olika talen 2, 4, och 8 så att beräkningarna stämmer a) X + X X X = 8 b) X + X X X = 10 c) X + X X X =18 d) X + X X X = 50 4 Sätt in talen 1, 2, 3, 4 och 5 i uttrycket X + X X X + X så att svaret blir a) så stort som möjligt b) så litet som möjligt Algebra och ekvationer 71

7 Arbetsblad :3 Vad betyder en parentes? 1 Följande sex uttryck ser nästan likadana ut bara parenteser skiljer dem åt. Ringa in det uttryck som ger störst svar. Sätt en ruta runt det uttryck som är minst. a) 8,5 + 1, ,5 b) 8,5 + (1,5 14 4) 0,5 c) 8,5 + 1,5 (14 4) 0,5 d) (8,5 + 1,5) ,5 e) (8,5 + 1,5) (14 4 0,5) f) (8,5 + 1,5 14 4) 0,5 Tecken-jeopardy Du vet svaret men tecken och ibland parenteser har fallit bort 2 Placera ett plustecken, ett minustecken, ett multiplikationstecken och ibland ett parentespar så att beräkningarna stämmer. a) = 7 b) = = = = = = = 72 3 Här har plustecken, multiplikationstecken och parenteser fallit bort. a) = 42 b) = = = = = = = = = 25 4 Använd talen 2, 4, och 8 (i den ordningen), två plustecken, ett gångertecken och ett parentespar för att få ett så a) litet b) stort svar som möjligt 72 Algebra och ekvationer

8 Arbetsblad :4 Förenkla på engelska ontrollera om nedanstående förenklingar är rätt utförda. Ringa in bokstaven om svaret är rätt. Är svaret fel gå till nästa uttryck. Vilken mening får du? 1 8a + 3a = 24a I 12 4n + n n = 4n O 2 4b+ 4b = 8b Y 13 2o + 2o + 2o = o I 3 7c 3c = 10c A 14 8p 8p + 3p = 4p G 4 5d 2d + 3d = d O 15 11q 4q + q = 8q N 5 3e + 2e e = 4e U 1 2r + r + r = 4r G 4f f f = f R 17 9s + 4s 9s = 5s E 7 8g + 2g 3g = 7g A 18 t + t + t t = 2t F 8 h h + h = h R 19 9u u 4u = 5u A 9 5i i + 2i = 7i C 20 4v 4v = 0 I 10 7j 3j j = 3j E 21 4x 2x x = x N 11 8k k = 8 W 22 9y 5y 4y = y L 12 5m +3m 8m = 0 D 24 3z z z = z E Meningen är: Algebra och ekvationer 73

9 Arbetsblad :5 Skriva uttryck Exempel Alex är 13 år gammal. Skriv ett uttryck för hur gammal han blir om a) 5 år (13 + 5) år = 18 år b) x år (13 + x) år 1 Alex pappa är 38 år. Skriv ett uttryck för hur gammal han blir om a) 3 år b) 13 år c) x år 2 Det finns n mynt i stapeln bredvid. Skriv ett uttryck för antalet mynt i stapeln om den innehåller a) ytterligare 2 mynt b) 5 mynt färre c) 3 gånger så många mynt d) hälften så många mynt 3 Använd x som en variabel för ett tal och skriv ett uttryck för följande: a) summan av talet och 3 b) 3 mindre än talet c) 3 gånger talet d) 4 mer än talet e) en tredjedel av talet f) dubbla talet 4 Burkar som på bilden finns i olika höjder. Höjden av burken på bilden är h cm. Vad blir uttrycket för den nya burkens höjd om den, jämfört med bildens burk, är a) dubbelt så hög b) fyra gånger så hög c) två cm högre d) tre cm lägre e) tre cm lägre än dubbla höjden f) två cm högre än tre gånger höjden 74 Algebra och ekvationer

10 Arbetsblad : Problem? Lös dem med hjälp av ekvationer! Räkna i ditt räknehäfte 1 Räkna ut värdet på x i de olika figurerna x 3x O = 5 cm 4x 2x x 2x 2x O = 3 cm 4x 3x O = 48 cm 4x 5x O = 0 cm 3x 2x 5x 2 I en triangel är den minsta vinkeln hälften så stor som den mellersta och en sjättedel av den största. Hur stora är vinklarna? (Ledning: Antag att den minsta vinkeln är x. Då är den mellersta 2x och den största x. Hur många grader är de tillsammans? Se vidare sid 198 i läroboken) 3 Conny, Jonny och Tony ska dela en tipsvinst på 210 kr mellan sig så att Conny får hälften så mycket som Jonny men dubbelt så mycket som Tony. Hur mycket får var och en? (alla Connys del för x.) 4 Nisse köpte 3 singlar och ett cd-album som kostar sju gånger mer än en singel. Totalt betalade Nisse 220 kr. Hur mycket kostade en singel? (alla singelns pris för x.) 5 Fia, Mia och Pia har arbetat extra och tillsammans tjänat kr. De har kommit överens om att Fia ska ha dubbelt så mycket som Mia och fyra gånger så mycket som Pia. Fördela pengarna rätt. Priset på säsongens häftigaste (enligt affären) solglasögon höjdes med hälften av det ursprungliga priset så att de nu kostar 330 kr. Vad kostade de innan höjningen? 7 Hos konkurrentbutiken höjde handlaren priset på sina fräckaste glasögon med en tiondel så att de också kostar 330 kr. Vilket var det ursprungliga priset? 8 I lågprisaffären Sol å sånt gnuggade innehavarna händerna av förtjusning när han satte upp följande skylt i fönstret: Våra solglasögon lika bra och nu ännu billigare. Alla prissänkta med 40 % till 198 kr! Vad kostade de tidigare? Algebra och ekvationer 75

11 Arbetsblad :7 Arbeta tillsammans > < Spel om parenteser Förberedelser: Förstora och kopiera korten och klipp sedan ut dem. Gör tre av varje. 3n 2n 3x 2x 2n 2x 5n 51 n x 3(n + 2) 2(n 3) 2(n + 3) 3(n 2) 3(x + 2) 3(x 2) Spelet går ut på att få tre kort som tillsammans ger ett rätt uttryck Givaren delar ut 3 kort (med bilden neråt) till varje spelare. Sedan placeras nästa kort (med bilden upp) på bordet. Resten av korten läggs i en hög (bilden nedåt) bredvid det uppåtvända kortet. Spelaren till vänster om givaren börjar och kan välja mellan att 1. säga att de tre korten ger vinst 2. ta det uppåtvända kortet om det hjälper spelaren att få en bättre kombination och samtidigt lägga ett av de kort spelaren har i handen 3. ta upp ett kort från högen och eventuellt byta det mot ett som spelaren har i handen. OBS! Man har alltid tre kort i handen. Poäng En spelare som först får en rätt kombination vinner 1 poäng (om spelaren felaktigt påstår att kortkombinationen är rätt förlorarar han 1 poäng). Spelarna avgör under hur många omgångar spelet ska pågå. Exempel 3(n 2) 3n Ovanstående kort ger vinst eftersom 3(n 2) = 3n 7 Algebra och ekvationer