TMV225 Inledande matematik M

Transkript

1 MATEMATISKA VETENSKAPER TMV 016 Chalmers tekniska högskola Läsvecka Examinator: Anders Logg TMV Inledande matematik M Veckoprogram för läsvecka Efter att ha studerat konvergens, gränsvärden och kontinuitet fortsätter vi denna vecka vår resa i den matematiska analysen och trä ar på derivatan. Vi arbetar vidare i Adams med kapitel två: derivatans definition, derivator av trigonometriska funktioner, medelvärdessatsen och linjärisering. Notera att veckans datoruppgifter finns med i detta veckoprogram! Vi ses på föreläsningarna! Anders Föreläsningar Avsnitt 1 Innehåll F06 (A..1), A.. 4 Derivator, deriveringsregler F07 A.. 6, A.. Derivator av trig. funktioner, högre derivator, implicit derivering F08 A..8 Medelvärdessatsen, linjärisering Övningar Uppgifter Ö06 A...17, A...10, A..4.4 A..1.{, 7, } A...{6, 1,, 4,, 8, 40, 44} A...{7, 1, 17, 1,,,,,, 1} A..4.{,, 7,,,,, 7} Ö07 A...4, A..6.1, A... A...{,, 7,,, 1, 1,,, 41, 4, 4,, 7} A..6.{1,,,, 1} A...{1,, 7, } A..8.{1,,, 7,,, 1, 1} Ö08 Datorövning.1,.,.,.4,. 1 AE = Adams/Essex, AL = Anteckningar i inledande matematik, RP = Pettersson, JM = Madjarova Understrukna uppgifter = extra viktiga, alternativt demonstreras av övningsledare.

2 Datorövningar läsvecka Datorövning.1 Skriv en funktion D_h(f,x,h) som approximerar derivatan av en funktion f i en punkt x genom att beräkna den ensidiga differenskvoten D h f (x)=(f(x +h) f (x))/h. Datorövning. Skriv en funktion S_h(f,x,h) som approximerar derivatan av en funktion f i en punkt x genom att beräkna den symmetriska differenskvoten S h f (x)=(f (x + h) f (x h))/(h). Datorövning. Skriv ett program som beräknar och plottar felen E(h)= f 0 (x) D h f (x) och F(h)= f 0 (x) S h f (x) för h = 0.1,0.01,0.001,..., för f (x)=sin(cos(x)) i punkten x =. Använd en logaritmisk plot och använd funktionerna D_h och S_h från föregående uppgifter. Vilka h är optimala för den ensidiga respektive symmetriska differenskvoten? Ledning: Använd funktionerna loglog och logspace. Datorövning.4 Utvidga ditt program från föregående uppgift till att bestämma lutningen för kurvorna lne(h) och lnf(h) som funktion av lnh i området 1 10 apple h apple 0.1. Vilken slutsats kan du dra om hur E(h) och F(h) beror på h? Ledning: Använd funktionen polyfit. Datorövning. Skriv ett program som plottar funktionen f (x)=sin(x)/x på intervallet [,] för x 6= 0. Skriv också ut en tabell över funktionsvärdena ( f (x n )) 16 n=0 för x n = 10 n.

3 Facit D.1 1 def D_h(f, x, h): return (f(x + h) - f(x)) / h 1 function y = D_h(f, x, h) y = (f(x + h) - f(x)) / h end D. 1 def S_h(f, x, h): return (f(x + h) - f(x - h)) / (*h) 1 function y = S_h(f, x, h) y = (f(x + h) - f(x - h)) / (*h) end D. from D_h import * 4 from S_h import * 6 def f(x): 7 return sin( cos(x)) 8 def Df(x): 10 return - sin(x)* cos( cos(x)) 1 h = logspace(-1, -16, 16) 1 x = E = abs(df(x) - D_h(f, x, h)) 16 F = abs(df(x) - S_h(f, x, h)) figure() 1 loglog(h, E, go ) 0 loglog(h, F, r^ ) 1 xlabel( h ) legend([ E(h), F(h) ]) grid( True) 4 show() 1 f sin( cos(x)); Df -sin(x)*cos( cos(x)); 4 h = logspace(-1, -16, 16);

4 x =.0; 6 7 E = abs(df(x) - D_h(f, x, h)); 8 F = abs(df(x) - S_h(f, x, h)); 10 figure() loglog(h, E, go ) 1 hold on 1 loglog(h, F, r^ ) 14 xlabel( h ) 1 legend( E(h), F(h) ) 16 grid on Optimalt h för ensidiga differenskvoten D h är h = och optimalt h för symmetriska differenskvoten S h är h = 1 10 i det här specifika fallet. D.4 from D_h import * 4 from S_h import * 6 def f(x): 7 return sin( cos(x)) 8 def Df(x): 10 return - sin(x)* cos( cos(x)) 1 h = logspace(-1, -16, 16) 1 x = E = abs(df(x) - D_h(f, x, h)) 16 F = abs(df(x) - S_h(f, x, h)) pe = polyfit(log(h[:]), log(e[:]), 1) 1 pf = polyfit(log(h[:]), log(f[:]), 1) 0 1 figure() loglog(h, E, go ) loglog(h, F, r^ ) 4 loglog(h[:], exp(pe[1])*h[:]**pe[0], g-- ) loglog(h[:], exp(pf[1])*h[:]**pf[0], r-- ) 6 xlabel( h ) 7 legend([ E(h): p = %.f % pe[0], 8 F(h): p = %.f % pf[0]]) grid( True) 0 1 show() 1 f sin( cos(x)); Df -sin(x)*cos( cos(x)); 4 h = logspace(-1, -16, 16); x =.0; 6 7 E = abs(df(x) - D_h(f, x, h));

5 8 F = abs(df(x) - S_h(f, x, h)); 10 pe = polyfit( log(h(1:)), log(e(1:)), 1); pf = polyfit( log(h(1:)), log(f(1:)), 1); 1 1 figure() 14 loglog(h, E, go ) 1 hold on 16 loglog(h, F, r^ ) 17 loglog(h(1:), exp(pe())*h(1:).^pe(1), g-- ) 18 loglog(h(1:), exp(pf())*h(1:).^pf(1), r-- ) 1 xlabel( h ) 0 legend([ E(h):p= numstr(pe(1))], [ F(h):p= numstr(pf(1))]) 1 grid on Den ensidiga differenskvoten D h är en första ordningens metod, dvs E(h) Ch 1. Den symmetriska differenskvoten S h är en andra ordningens metod, dvs F(h) Ch. D. x = linspace(-,, 1000) 4 y = sin(x) / x 6 figure() 7 plot(x, y) 8 xlabel( x ) ylabel( sin(x) / x ) 10 grid( True) 1 set_printoptions(16) 1 h = logspace(-1, -16, 16) 14 print sin(h) / h 1 16 show() 1 x = linspace(-,, 1000); y = sin(x)./ x; 4 figure() plot(x, y) 6 xlabel( x ) 7 ylabel( sin(x)/x ) 8 grid on 10 format long h = logspace(-1, -16, 16); 1 sin(h)./ h