NÄMNAREN. problemavdelning

Transkript

1 NÄMNAREN problemavdelning Problem har strömmat in från olika håll till detta nummer. Tack för bidragen. De bästa insända lösningarna belönas med bokpriser och presenteras i nr /82. Lösningarna måste vara redaktionen tillhanda senast den 1 maj. 716 I en familj har en pojke lika många systrar som bröder. Var och en av flickorna har bara hälften så många systrar som bröder. Hur många pojkar och hur många flickor finns det i familjen? 717 Du ska dela den här rutan i tolv delar genom att dra fem linjer. Summan i varje del (fält) ska vara 5. Hur ska linjerna dras?

2 718 Problemet går ut på att TVÅ ersätta bokstäverna TVÅ med siffror så att + TVÅ additionen stämmer ÅTTA 719 Ett tal är rikt om summan av dess faktorer är större än talet självt (jfr NÄMNAREN nr /80). 12 kan divideras med 1, 2, 3, 4 och 6 (räkna inte med talet självt). Eftersom = 16, som är större än 12 så sägs 12 vara ett rikt tal. Vilket är det minsta udda rika tal som finns? 720 I följande multiplikationsuppställning står A B bokstäverna för siffror. Endast på ett ställe C D är siffran utskriven (8). Försök att lista C E D ut vilka siffror som döljer sig bakom bok- + 8 F stäverna. F G H D 719 och 720 är insända av Peder Claesson, Linköping. 721 Tal kan många gånger ha "lustiga" egenskaper, som t ex följande tal. Om talet delas med 3, 4, 5, 6 eller 7 erhålls varje gång resten 2. Vilket är talet? 722 Korsordet nederst på s. 62 har sänts in av Åke Stråby, Umeå. Han har givit det i åk 1 i gymnasieskolan. 723 Här kommer ett galärslavsproblem. Vad blir summan Sista problemet för denna gång är insänt av Jan Unenge, Taberg. 724 En trollkonst och ett problem Är du bra på det här med magiska kvadrater, undrade Åke. Javisst, konstaterade jag djärvt. Man kan ju läsa om dem på mjölkpaket nu också. Det gäller ju att till exempel skriva talen från 1 till 16 i en kvadrat så att summan i varje rad, varje kolumn och vardera diagonalen blir exakt densamma. Precis, men om vi nu får använda vilka tal som helst, så kan vi väl slå vad om en sak du och jag. Om du säger ett tal mellan 34 och 100 lovar jag att skriva ner en magisk kvadrat som har den summan i varje rad, kolumn och diagonal och jag skall göra det fortare än du hinner dricka ur kaffet. Jag gav honom talet 48 och kastade mig över kaffet, men hejdade mig och stirrade fascinerad på hur Åke utan tvekan snabbt skrev ner 16 tal i en kvadrat.

3 Med all respekt för Åkes matematikkunskaper förstod jag att det måste ligga något knep bakom den snabba lösningen. Visst gör det, medgav Åke. Man måste lära sig en äkta magisk kvadrat utantill, nämligen denna Sedan ber jag om ett tal. Du sa 48. Jag drar 21 från detta tal och får = 27. Då byter jag helt enkelt ut 13 mot 27, 14 mot 28, 15 mot 29 och 16 mot 30. Och si det stämmer. Något att trolla med för elever, tyckte jag. Visst, sa Åke. Men du, kan du förklara för mig varför det stämmer bara för att jag drar ifrån 21? Och varför just mellan 34 och 100? Bra fråga, sa jag. Det låter som ett lagom problem för NÄM- NARENs problemhörna.

4 Lösningar till NÄMNARENproblemen Det har kommit positiva reaktioner på att NÄMNARENs problemavdelning utökats men tyvärr endast ett fåtal lösningar. Kom ihåg, man behöver inte ha löst alla eller nästan alla problemen såsom Bo Söderberg, Örebro och Anders Wahlgren, Lund. Söderberg är en herre som går systematiskt tillväga. Detta kan ni själva konstatera i de utmärkta lösningar som är signerade BOS. lösningar som verkligen är möjliga får man fram genom en systematisk genomgång av alla möjligheter, vilket inte är alltför krävande. Om jag inte har slarvat så finns det totalt 16 olika lösningar, om man bortser från rotation, spegling och platsbyte av talen mellan två hörn. BOS Det vanligaste sättet är nog att spalta upp problemet på följande sätt: Antalet trianglar som består av 1 fält: 12 2 fält: 12 3 fält: 6 4 fält: 9 6 fält: 7 12 fält: 1 Totalt 47 Låt mig tipsa om en metod som jag själv använder: Undersök i hur många trianglar varje skärningspunkt i figuren ingår som hörn. Det totala antalet måste vara jämnt delbart med tre, och av symmetriskäl kan lösningen ofta (som här) förenklas

5 avsevärt. A, B, C och D är de enda punkter som behöver undersökas. A är hörn i 14 trianglar, B i 6, C i 18 och D i 21 trianglar. Svaret blir därför 703 Uppgiften kan lösas på flera olika sätt, t ex 704 Om man endast tar hänsyn till valören så finns det 25 olika lösningar enligt följande tabell: a På varje rad anger kryssen vilka valörer som tillsammans ger summan 150 öre. 25 olika kombinationsmöjligheter (lika med antalet rader). b Olika motiv förekommer endast på femöresmärkena. Siffrorna till vänster om de inramade kryssen visar på hur många sätt 1, 2 resp 3 femöres märken kan väljas. Spalten näst längst till höger ger svaret 44 totalt.

6 c När vi låter både motiv och/eller tandning variera så anges antalet valmöjligheter av siffrorna till höger om de inramade kryssen. Ex. Rad 4 läses: Antalet varianter med dessa valörer är lika med = 24. SVAR: a 25 b 44 c 314 valmöjligheter BOS 705 "Sjukt om könsskillnader" Den första frågan gällde om uppgifterna i nedanstående två tabeller avseende sjukfrånvaron 1978 i en stor koncern kan överensstämma. Män Kvinnor Samtliga Antal anställda Genomsnittligt antal sjukfrånvarodagar ,0 20,8 18,7 Sjukfrånvaro för de i koncernen efter en grovuppdelning av arbetena i tre grupper: Män Kvinnor Chefsbefattningar 4,5 5,0 Övriga "intressanta" befattningar 6,3 6,8 Löpande band o dyl 23,2 22,6 BOS visar att så kan vara fallet: De båda tabellerna låter sig utmärkt väl förenas. Antag, t.ex., att antalet anställda fördelar sig enligt följande: Tabell A: Män Kvinnor Chefsbefattningar Övriga "intressanta" befattningar x y Löpande band o dyl X y Summa: Då gäller följande ekvationer: 4, ,3 x + 23,2 ( x) = 17, ,8 y + 22,6 ( y) = 20, De redovisade snittantalen frånvarodagar kan således uppstå om antalet anställda män och kvinnor fördelar sig på exempelvis följande sätt:

7 Tabell B: Män Kvinnor Chefsbefattningar Övriga "intressanta" befattningar Löpande band o dyl Summa: Problemets andra fråga löd: Kan det vara så att differensen mellan totalmedelvärdena kan uppstå även om könsfaktorn inte alls har någon betydelse för sjukfrånvaron? Här har ingen "godkänd" lösning influtit, möjligen beroende på att frågan inte var tillräckligt klart formulerad. BOS har laborerat litet med avrundningsfel, men effekten av dessa kan bara förklara en mycket liten del av skillnaden. Avsikten var att man skulle visa att en differens i totalmedelvärdena av samma storleksordning som i exemplet (20,8-17,0) mycket väl kan uppkomma trots att sjukfrånvaron inom varje grupp är exakt densamma för män och kvinnor. Låt oss utgå från den av BOS framtagna fördelningen över befattningsgrupper och antag dessutom att sjukfrånvaron för män och kvinnor är lika i varje grupp enligt följande: Män Sjuk- Kvinnor Sjuk- Antal frånvaro Antal frånvaro Chefsbefattningar 500 4,5 50 4,5 Övriga "intressanta" befattningar , ,3 Löpande band o dyl , ,2 Följande medelvärden erhålles: Skillnaden i totalmedelvärdena blir alltså så pass stor som 21,3-17,0 = 4,3 trots att vi inom varje befattningsgrupp utgått från samma sjukfrånvaro för män och kvinnor. Orsaken till differensen mellan totalmedelvärdena är således inte i fallet med ovanstående tabells uppgifter att kvinnorna har större sjukskrivningsbenägenhet (givet samma typ av arbete) utan att fördelningen över olika befattningar är så olika bland män och kvinnor. Fördelningen över befattningsgrupper är alltså ett exempel på en snedvridande faktor (selektiv faktor) som försvårar jämförelsen av sjukfrånvaron för män och kvinnor. Snedvridande faktorer ställer ofta till besvär när man skall jämföra olika grupper i samhället. Sens moralen av vårt exempel blir att en jämförelse enbart grundad på totalmedelvärdena kan bli meningslös och ibland helt missvisande. Innan man drar

8 några slutsatser utifrån totalmedelvärdena måste man först tänka efter om det finns snedvridande faktorer, som de studerade grupperna fördelar sig olika över och som kan ha betydelse för den variabel man studerar. En uppdelning på undergrupper efter den/de snedvridande faktorerna ger ofta en helt annan bild än den som enbart totalmedelvärdena förmedlar. Inom tillämpad statistik finns en mycket enkel metod (standardvägning) som för exemplets situation renodlar jämförelsen mellan mäns och kvinnors sjukfrånvaro på så sätt att den eliminerar inverkan av snedvridande faktorer såsom typ av arbete, ålder och avstånd till arbetsplatsen. Metoden förutsätter inga matematiska färdigheter utöver beräkning av medelvärden och procenttal. Enligt problemkonstruktörens (Göran Andersson, statistiker) bestämda uppfattning bör standardvägning ingå i gymnasieskolans utbildning i matematik, gärna på bekostnad av en del av den matematiska statistiken. Metoden utgör ett enkelt och viktigt redskap i "kampen mot fördomar och felaktiga slutsatser baserade på statistik". Ett första steg kan vara att genomföra det fortbildningsprogram i tillämpad statistik som finns med i PROGRAM-NÄM- NAREN, temanumret om studiedagar för gymnasieskolan. Varför förlorade Andy Tozier pengar till Jonny Follet? Tozier borde upprättat följande tabell så hade han fått svaret istället för att riskera att förlora ytterligare 100 pund. Det bästa han således kan hoppas på är en genomsnittlig förlust på 1,25 pund per spel (och för att vara säker på att denna inte blir större måste han dessutom ropa "krona" och "klave" i förhållandet 3 till 5). BOS har gjort följande tillägg: Detta till synes helt rättvisa spel visar sig vara rena lurendrejeriet! Follet skulle till och med kunna gå ett steg längre och börja med att dra lott om vem som ska börja med att få 20- pundsvinsterna och därefter byta sida efter t ex vart tionde spel. Då vinner han säkert när han själv får 20-pundsvinsterna medan Tozier inte kan utnyttja sin fördel i de övriga spelen.