Problemlösning Lösningar

Transkript

1 Problemlösning Lösningar Figur 1: Problemlösning 1. Vem är kär i Adam (2) Vi kan bilda följande kedjor, där står för älskar och för älskar inte (1) A?? E? (2) B?? F? (3) C? D? (4) G B (5) H? G Om ingen kärlek är ömsesidig finns två olika möjligheter, se figur 1 Antingen har vi två cirklar med 4 personer i varje eller så har vi alla 8 personerna i en enda stor cirkel. Vi antar först att det är två cirklar som gäller. Från (1) och (2) får vi då två möjligheter: eller A? E? A F E B B? F? C?? D Den första möjligheten strider mot villkor (3) och den andra mot villkor (5). Återstår då att ta reda på om vi kan lösa problemet med den stora cirkeln. Figur 2: Håkan Strömberg 1 KTH STH

2 Anta att E älskar D och vi får situationen till vänster i figur 2 enligt (1) och (3). Villkor (2) medför att F står mellan A och C och B på den mellersta av de tre övriga lediga platserna. Då, enligt (4), älskar G A och detta tillsammans strider mot (5). Därför är det omöjligt att E D. (1) och (3) ger nu endast en möjlighet, nämligen den till höger i figur 2. De övriga villkoren kompletterar lätt hela cirkeln och vi få A H B E C F D G A Problemlösning 2. Handskakningar (2) Figur 3: Här är en lösning för fyra par. Överst har vi värden och värdinnan Antag att det totalt deltog 2n personer i firandet, inklusive värd och värdinna. 1 När värden gick runt och frågade måste han ha fått 2n 1 svar. Svaret från hustrun inräknat. 2 Alla 2n 1 svaren var olika och därför måste de ha varit 0,1,2,...,2n 2 P(x) betecknar en person som hälsade på x personer. P(2n 2) måste ha skakat hand med både värden och värdinnan värden eftersom denne inte skakade hand med sig själv eller med sin äkta hälft. Den äkta hälften till P(2n 2) måste vara P(0). P(1) hälsade bara på P(2n 2). Sedan fanns det en gäst, P(2n 3), som skakade hand med alla utom P(0). Denne måste vara gift med P(1) P(2n 3) måste ha skakat hand med värden eftersom denne inte skakade Om vi fortsätter resonemanget kommer vi till sist fram till ett par där den ene skakat hand med n 2 och den andre med n gäster Detta ger att värdinnan hälsat på n 1 gäster Som i sin tur ger att även värden hälsade n 1 gånger Återstår att värden och värdinnan skakade hand med n 1 gäster var. I vårt fall hälsade de alltså på tre personer var. Håkan Strömberg 2 KTH STH

3 Problemlösning 3. Sammanhängande linje (2) Nej, här är ett exempel när det inte är möjligt. Figur 4: Problemlösning 4. Hur många städer? (2) En övre gräns = 10 för antalet städer är. Börjar vi i staden A kan vi därifrån ta oss direkt till tre städer, säg B,C och D. Från var och en av dessa tre städer kan vi flyga direkt till två nya städer (inte 3 därför att en förbindelse går ju till A). Återstår att visa att det verkligen finns en sådan konstruktion. Figur 5: Denna graf är känd och kallas Petersen-grafen Problemlösning 5. Danstillställningen (2) Summan av talen som står på herrarnas lappar måste vara lika med summan på damernas. Så en första kontroll är att summan av talen är jämn, vilken den är, nämligen 68. Vi vet nu också att det totalt utfördes 34 danser. Nästa fråga är nu: Kan vi bilda summan 34, herrarnas summa (eller damernas) med hjälp av 7 tal. I så fall blir summan 34 också på det återstående 7 lapparna och alla talen skulle kunna vara korrekta. En av de två grupperna har lappar med tal som enbart är 6 och 3, eftersom det enbart finns en 5:a. Kan vi nu ta x stycken 6:or och y stycken 3:or, så att 6x+3y = 34? Svaret är nej. Håkan Strömberg 3 KTH STH

4 Problemlösning 6. Brödrosten (2) 1 Sätt in skiva A (klart 0.03) 2 Sätt in skiva B (klart 0.06) 3 Vänd skiva A (klart 0.35) 4 Ta bort skiva B (klart 0.39) 5 Sätt in skiva C (klart 0.42) 6 Ta bort skiva A (klart 1.08) 7 Sätt in skiva B (klart 1.11) 8 Vänd skiva C (klart 1.14) 9 Ta bort skiva B (klart 1.44) 10 Ta bort skiva C (klart 1.47) Hela proceduren tar 1 min och 47 sek (eller 107 sek). Problemlösning 7. Taltrianglarna (2) Jag har hittat 6528 lösningar om man räknar även rotationer och speglingar. Här några Figur 6: lösningar: A B C E F G A C D G H I E F G H I J = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =38 Håkan Strömberg 4 KTH STH

5 Problemlösning 8. De fyra korten (2) Adam har Gult, Bertil har Gult, Curt har Blått och David har Grönt. Namn Sanning Ljuger Adam Grönt eller Blått Gult Bertil Gult Blått Curt Blått eller Gult Grönt David Gult Grönt Genom att kombinera två ljugare och två sanningssägare vill vi ha ut korten Grönt, Blått, Gult, Gult. Om Curt ljuger måste David tala sanning, för att inte få två Grönt. Vi ska ha ett Gult till, vilket vi kan få genom att Bertil talar sanning. Men då får vi ytterligare ett Gult eftersom Adam måste ljuga. Om vi låter Bertil ljuga måste Adam tala sanning och då får vi ett Gult för lite. Alltså talar Curt sanning. Låt säga att Curt har Gult. Då kan inte David också tala sanning eftersom Adam då måste ljuga och därmed ha Gult. Vi säger därför att David ljuger och har Grönt. Nu ska de två återstående tala sanning respektive ljuga. Då får vi antingen två Gult eller inget, vilket ger en motsägelse. Återstår då att Curt har Blått. Nu måste Bertil tala sanning och har då Gult. De återstående två ljuger båda, vilket ger Adam Gult och David Grönt. Problemet är löst! Problemlösning 9. Pusselgatan (2) 1260 = Det gäller nu att kombinera dessa faktorer så att vi får tre husnummer vars summa är jämn. Här är kandidaterna: nr 1 nr 2 nr 3 Adam Har vi bestämt de tre första numren, kan vi också räkna ut Bertils nummer. Eftersom Bertil inte kunde räkna fram de tre numren, måste han själv ha nummer 24, enda dubbletten. När han fick reda på att Adam har högre nummer än alla de övriga, så skulle han fortfarande inte inte kunna säga något bestämt, om Adam bor på nr 37 eller högre. Men eftersom han nu verkligen kunde bestämma numren, så måste Adam på på nr 36. Svar: 4,9,24,35,36. Det finns många problem av den här typen, där man vet mindre än de som deltar i Håkan Strömberg 5 KTH STH

6 problemet och trots det kan man finna en lösning. Här är min favorit, som ni kan börja fundera på redan nu. Vi tar upp lösningen i slutet av kursen. Problemlösning 10. Delad kvadrat (2) A = 3,B = 6,C = 12,D = 15 Problemlösning 11. Kronkastning (2) För att kronan ska hamna i vinstläge krävs att kronans medelpunkt ska hamna inom den Figur 7: lilla kvadraten, som har en sida på 12.5 cm. Dividerar vi den vinnande arean med rutans totala area får vi sannolikheten för vinst = 1 4 Problemlösning 12. Pingisturneringen (2) Vi börjar med svaret: Helen-Max spelade för Östra Siv-Lennart spelade för Västra Emma-Ted spelade för Norra Viktoria-Paul spelade för Södra Berit-Ingvar spelade för Centralskolan Torsdag: Södra vann över Centralskolan Norra vann över Östra Södra vann över Norra Fredag: Södra vann först över Centralskolan Centralskolan vann sedan returen över Södra och därmed turneringen Håkan Strömberg 6 KTH STH

7 Emma tillhör N eller S som vann första matchen [1] (från ledtråd 1) Dag 1 : 1 (dag:match) V Ö (Ö vann över V) [2] Dag 1 : 3 C V [2] Dag 1 : 2 N S [2] Dag 2 : 1 Ö S [4] och schema Dag 2 : 2 C mötte N (från schemat) Emma spelar i N V spelade Dag 2 : 3 (ej spelat tidigare Dag 2) Dag 2 : 3 Ö V [2] och schema V spelade Dag 3 : 3 och åkte då ut Helen spelar i Ö [5] S spelade Dag 3 : 1 [4] Dag 3 : 2 C Ö [10] Dag 2 : 2 C N (följd av punkten ovan) Dag 3 : 1 möttes N och S. S ute om de förlorade Siv spelar i V [8] Ingvar spelar i C Håkan Strömberg 7 KTH STH