Något om index. 1 Enkla och sammansatta index. LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen Statistik Anders Nordgaard

Transkript

1 LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska institutionen Statistik Anders Nordgaard Något om index 1 Enkla och sammansatta index Om man har tillgång till prisuppgifter över en tidsperiod på alla varor och/eller tjänster, som produceras vid ett företag kan man skapa enkla och sammansatta index för att beskriva företagets prisutveckling under den aktuella perioden. Ett exempel: Ett företag säljer elektroniska apelsinskalare och persiennborstar. Priser per styck och sålda kvantiteter under åren framgår av följande tabell: År Apelsinskalare Persiennborstar Pris per styck (kr) Såld kvantitet Pris per styck (kr) Såld kvantitet Om vi väljer 1990 som basår fås enkla prisindex för de två varorna som År Apelsinskalare Persiennborstar = =105.7 dvs vi dividerar priset varje år med = =108.6 priset för 1990 och multiplicerar den resulterande kvoten med 100. Syftet med den sistnämnda multiplikationen är att göra indextalet tolkningsbart som procent, dvs indexet blir priset uttryckt i procent av 1990 års pris. Vi kan också beräkna ett sammansatt index som beskriver företagets sammanlagda prisutveckling sett över de två varorna. Detta görs helt enkelt genom att väga samman indexen för de bägge varorna till ett gemensamt index. Låt i exemplet ovan i 1,t och i 2,t vara de enkla prisindexen för apelsinskalare resp. persiennborstar år t. Det sammansatta indexet för år t beräknas som där w 1 och w 2 är vikter sådana att w 1 + w 2 = 1. I t = i 1,t w 1 + i 2,t w 2, Vikterna väljs som regel på basis av försäljningsvärden för resp. vara. De vanligaste viktsystemen är 1

2 Laspeyre w i = p i,t 0 q i,t0 p j,t0 q j,t0 j Paasche w i = p i,t 0 q i,t p j,t0 q j,t j Edgeworth w i = p i,t 0 (q i,t0 + q i,t )/2 p j,t0 (q j,t0 + q j,t )/2 j där p i,t är priset på och q i,t försäljningskvantiteten av vara i år t, och t 0 står för basåret. Vi tänker oss också att fler än två varor kan ingå i indexet. Summan i nämnaren tas därför över alla varor som ingår. Laspeyre s viktsystem används för varor, vars försäljningskvantiteter varierar relativt litet mellan olika år. Paasche s viktsystem används i motsats för varor, vars försäljningskvantiteter varierar stort mellan olika år. Observera att Paasche vikterna förändras med tiden, eftersom försäljningskvantitet tas för aktuellt år. Edgeworth s viktsystem utgör ett medelalternativ till de andra två. Om vi t ex väljer Laspeyre-vikter och basår 1990 (t = 0) fås ett sammansatt index enligt: År Index ( ) 100= ( ) 100=108.4 Det säger sig självt att om antalet varor är många och/eller tidsperioden sträcker sig över betydligt fler år än tre blir beräkningarna tunga. Själva beräkningarna är i och för sig ett mindre problem tack vare dagens väl utbyggda datorsystem. Frågan är om man egentligen vinner något på att beräkna sammansatta index med fullständiga varu/tjänstesortiment. Vi skall titta närmare på detta litet längre fram. 2 Deflatering, implicitprisindex, relativprisindex Om vi har tillgång till uppgifter om försäljningens totala värde i löpande priser över den aktuella perioden och ett index som beskriver den totala prisutvecklingen på företagets varor/tjänster, kan vi beräkna försäljningsvärdena i fasta priser genom s k deflatering av värdeserien. Dividera först värdeserien med indexserien tidpunkt för tidpunkt. Multiplicera därefter alla tal i den resulterande serien med indextalet för en viss tidpunkt t 0. De resulterande talen blir försäljningsvärdena över den aktuella perioden uttryckt i de priser som gällde vid tidpunkten t 0 I exemplet ovan har vi följande värdeserie i löpande priser: År Försäljningsvärden (1000-tals kr)

3 Om vi dividerar värdeserien med det tidigare framräknade Laspeyre-indexet år för år och sedan multiplicerar med indextalet för 1991 (105.2), får vi värdeserien uttryckt i 1991 års priser: År Deflaterad värdeserie Värden i 1991 års priser = = = = = = 7694 Om vi har tillgång till försäljningsvärden i löpande priser och i fasta priser för en viss tidpunkt kan vi bakvägen bilda ett index som beskriver totala prisutvecklingen på företagets varor/tjänster. Detta kallas implicitprisindex och erhålls genom att dividera serien i löpande priser värde för värde med serien i fasta priser och sedan multiplicera alla erhållna tal med 100. Bastidpunkten i indexserien blir lika med den tidpunkt som de fasta priserna gäller för. Om vi i exemplet ovan dividerar värdeserien i löpande priser med den i 1991 års priser erhålls en implicitprisindexserie med 1991 som basår: År Implicitprisindex = = = En enkel omräkning ger indexserien i valfritt basår. Om vi beräknar ett implicitprisindex genom att dividera värdet av (nästan) alla varor och tjänster som produceras i ett land i löpande priser med motsvarande värde i fasta priser för ett visst år får vi något som närmast är att jämföra med konsumentprisindex (KPI). Prisutvecklingen på en enskild vara/tjänst eller en grupp av varor/tjänster kan knappast studeras utan att jämföra med den allmänna prisutvecklingen. En vara som står stilla i nominell prisnivå minskar ju egentligen i pris relativt andra varor eftersom vi vet att priserna i allmänhet ökar hela tiden. Ett sätt att mäta den relativa prisutvecklingen för en vara/tjänst (eller grupp) är att beräkna ett s k relativprisindex. Detta görs genom att dividera ett prisindex för den aktuella varan/tjänsten (eller gruppen) tal för tal med ett prisindex med samma basår för en större jämförelsegrupp, t ex konsumentprisindex, och sedan multiplicera med 100 som vanligt. Låt It R beteckna relativprisindexet (för tidpunkten t) som skall beräknas, It v =prisindexet vid tidpunkten t för den aktuella varan/tjänsten/gruppen samt It 0 =prisindexet vid tidpunkten t för den större jämförelsegruppen (t ex KPI). Formeln för beräkning av It R blir då I R t = Iv t I 0 t 100 Det finns flera varianter på att beräkna relativa serier. T ex kan multipliceringen med 100 uteslutas ( ger relativtal), eller kan prisindexet i täljaren bytas mot själva prisserien (ger relativpriser). 3

4 Konsumentprisindex redovisas bl a uppdelat på olika varugrupper. För varugruppen Inventarier och husgeråd, till vilka varorna i exemplet ovan får anses höra, var KPI åren enligt följande: År KPI, Inventarier och husgeråd (basår 1980) Räkna om KPI-serien till basår 1990 och beräkna sedan relativprisindex för varorna (apelsinskalare och persiennborste) enligt: År KPI, Inventarier och husgeråd (basår Relativprisindex 1990) = = = =101.5 Tolkningen av siffrorna blir att företagets priser har minskat relativt den allmänna prisnivån på inventarier och husgeråd mellan 1990 och 1991 men har ökat (relativt den allmänna prisnivån) mellan 1990 och Fastbasindex Kedjeindex Enkla index och sammansatta index av den typ som vi har berört ovan har det gemensamt att jämförelserna görs utifrån en bestämd bastidpunkt. Detta gäller f ö även många av de implicitprisindex, som beräknas enligt mönstret ovan. Man brukar benämna index med denna egenskap fastbasindex. Tekniken att beräkna index med fast bastidpunkt fungerar om varusammansättningen och kvalitén är relativt oföränderlig över den tidsperiod som studeras. Om så inte är fallet kommer indexen ofta till korta och vi behöver ett bättre sätt att konstruera dem. Låt n=antal ingående varor i indexet. Vi definierar nu en årslänk, L t 1,t för år t som ett fastbasindex för år t med år t 1 som basår, dvs L t 1,t = n i=1 p i,t p i,t 1 w i,t 1,t. Vikterna w i,t 1,t bestäms precis som ovan utfrån ett viktsystem. Formlerna ovan (Laspeyre, Paasche och Edgeworth) kan användas med t 0 = t 1, men vi väljer i stället följande mer generella definitioner av viktsystemen: Laspeyre w L i,t 1,t Paasche w P i,t 1,t Edgeworth w E i,t 1,t = Värdet hos försäljning av vara i år t 1 Värdet av totalförsäljningen år t 1 = Värdet hos försäljning av vara i år t i priser för år t 1 Värdet av totalförsäljningen år t i priser för år t 1 = Medelvärdet av försäljningen av vara i år t och t 1 i priser för år t 1 Medelvärdet av totalförsäljningen år t och t 1 i priser för år t 1 Dessa definitioner möjliggör att vikterna beräknas utifrån försäljningsiffror utan att försäljningskvantiteterna behöver vara kända. Speciellt användbart blir detta då representantvaror används (se nedan). 4

5 Ett kedjeindex för år t med årslänkar definieras som I t = L 0,1 L 1,2... L t 1,t 100 Ett kedjeindex sammanfaller med ett fastbasindex om vi använder samma varor i alla länkar. Detta kan enkelt visas som övning i t ex Laspeyre-fallet. Användbarheten av kedjeindex uppstår då varusammansättningen förändras vid en eller flera tidpunkter under den tidsperiod som studeras. Antag i exemplet ovan att företaget 1991 började sälja tepåshållare och vill ha med denna vara i sin prisutvecklingsstudie. En sammanfattad tabell över företagets försäljning blir då: År Apelsinskalare Persiennborstar Tepåshållare Total försäljning (1000- tals kr) Pris per Såld Pris per Såld Pris per Såld styck (kr) kvantitet styck (kr) kvantitet styck (kr) kvantitet Vi kan beräkna Laspeyre-länkar (1990 motsvarar t=0): L L 0,1 = = L L 1,2 = = och ett kedjeindex fås enligt År Kedjeindex (basår 1990) = =109.1 Observera att vi fortfarande har basår med i indexet. (Någonstans måste indexet vara 100.) För företag med stort varu- eller tjänstesortiment är det ofta opraktiskt att ta med alla varor då kedjeindexen skall beräknas. Man delar då ofta in sina varor i olika undergrupper och låter varje grupp representeras av en vara, en sk representantvara. Representantvaran väljs i regel ut efter kriteriet att dess prisutveckling är relativt stabil. Det är dock tillåtet att byta ut representantvaror mitt i den tidsperiod som studeras. De olika vikterna i årslänkarna kan dock inte beräknas på representantvarorna, eftersom det inte är säkert att fördelningen mellan dessa i den totala försäljningen motsvarar de andelar av försäljningen, som deras respektive grupper gör. I stället bestäms vikterna explicit med hjälp av försäljningsvärden i grupperna. Laspeyre-vikten, t ex, blir i detta fall Exempel: w i,t 1,t =Andel av totalförsäljningen som varugrupp i utgjorde år t 1. (Vid Paaschelänkar och Edgeworth-länkar används motsvarande vikter). 5

6 Ett företag säljer TV/Radio artiklar, datortillbehör och vitvaror. Man har registrerat totalförsäljningen i miljoner kronor över de tre grupperna åren enligt följande: År TV/Radio Datortillb. Vitvaror Total För att studera prisutvecklingen väljer man från varje grupp ut en representantvara, som är relativt stabil i pris. Detaljer om representantvarornas försäljning följer i tabellen nedan Vi kan nu beräkna Laspeyre-vikter(1990 motsv. t=0): w 1,0,1 = 3.7/10.6 = 0.349, w 2,0,1 = 2.8/10.6 = 0.264, w 3,0,1 = 4.1/10.6 = w 1,1,2 = 3.8/10.6 = 0.358, w 2,1,2 = 2.8/10.6 = 0.264, w 3,1,2 = 4.0/10.6 = och Laspeyre-länkar: L L 0,1 = [(4850/4450) (4000/4170) (8100/7800) 0.387] 100 = = [(5100/4850) (4050/4000) (8200/8100) 0.377] 100 = L L 1,2 År Duxor 3000, färg-tv Skrivaren Timbus Coldia 2G kylskåp Pris per Såld kvantitet Pris per Såld kvan- Pris per Såld styck (kr) styck (kr) titet styck (kr) titet kvan- Ett kedjeindex blir som följer: År Kedjeindex (basår 1990) = =106.1 Tolkning: Företagets priser har ökat med c:a 3.5% från 1990 till 1991 och med 6.1% från 1990 till

7 4 Övningsuppgifter 1. Nedan visas styckpriset för en viss vara under åren År Pris (kr) Räkna ut ett enkelt prisindex för varan, dels med 1972 som basår, dels med 1976 som basår. 2. En varas prisutveckling visas nedan. År Pris (kr) (a) Gör ett enkelt prisindex. Låt 1990 vara basår och redovisa indexvärden för varje år. (b) Använd prisindexet i a) och ange i procent hur mycket priset ökat från 1992 till Nedan visas försäljningen av en viss vara i löpande priser och ett prisindex för varan. År Försäljning (kr) Prisindex Räkna med hjälp av indexet om försäljningsvärdena så att de uttrycks i 1990 års pris. 4. I en butik säljer man Vitvaror och Radio/TV artiklar (och endast dessa varor). Försäljningen har under de fyra senaste åren haft följande fördelning: År Total försäljning [Mkr] Vitvaror Radio/TV Av vitvarorna är det tvättmaskinen Belinda 2100/2300 som har den stabilaste prisutvecklingen och av Radio/TV artiklarna är det TV apparaten Fluxor Flatvision. Försäljningssiffror för dessa produkter ges i tabellen nedan. 7

8 År Belinda 2100/2300 Fluxor Flatvision Sålt antal Årsmedelpris [kr] Sålt antal Årsmedelpris [kr] (a) Beräkna ett sammansatt kedjeindex med årslänkar av Laspeyre-typ, som beskriver butikens prisutveckling under de fyra åren, med basår Använd ovanstående varor som representantvaror. Vad kan man säga om prisernas utveckling från 1990 till 1993? (b) Använd indexet du har beräknat i (a)-uppgiften och räkna om butikens totala försäljning under åren till 1991 års priser. 5. Nedanstående tabell beskriver försäljningen inom ett företag uppdelat på varugrupperna diskborstar, tandborstar och toalettborstar. Försäljningen anges dels i löpande priser, dels i 1992 års priser. År Försäljning, löpande priser [kkr] Diskborstar Tandborstar Toalettborstar År Försäljning, 1992 års priser [kkr] Diskborstar Tandborstar Toalettborstar (a) Beräkna implicitprisindex med basår 1990 för var och en av varugrupperna. (b) Vikta samman de tre implicitprisindexen till ett kedjeprisindex med årslänkar av Laspeyre typ med basår (c) Bestäm på lämpligt sätt vilken/vilka av företagets varugrupper, som har ökat i pris relativt företagets allmänna prisutveckling över de fyra åren. (Använd de framräknade indexen från (a)- och (b)-uppgiften.) 6. En affär säljer kaffe och te (torrvarorna). Fördelningen i försäljning mellan de två produkterna redovisas för de tre senaste åren i följande tabell: År Totalförsäljning, [kkr] Kaffe Te

9 Ur var och en av de två varugrupperna har en representantvara valts ut och försäljningen av dessa redovisas nedan: År Årsmedelpris i kr/kg Kaffe: Zorro s Te: Tuckerman s (a) Beräkna ett kedjeprisindex med årslänkar av Laspeyre-typ, som beskriver affärens prisutveckling de senaste tre åren.hur har priserna förändrats från 1992 till 1994? (b) Vad menar man med begreppen relativpris, relativprisindex och fastbasindex? 7. Nedanstående siffror beskriver konsumtionen av matfett i Sverige åren i löpande priser och 1983 års priser. Siffrorna omfattar totalkonsumtionen samt delgrupperna smör och hushållsmargarin. Vidare är KPI angiven för de aktuella åren. År Tot. matf.kons., Mkr, löp. pris Tot. matf.kons.,mkr, 1983 års pris Smör, Mkr, löp. pris Smör,Mkr, 1983 års pris År Hush.marg., Hush.marg.,Mkr, KPI (1980=100) Mkr, löp. pris 1983 års pris (a) Hur har prisutvecklingen på matfett varit mellan 1983 och 1986 jämfört med den allmänna prisutvecklingen i Sverige? Besvara frågan via ett lämpligt relativprisindex. (b) Hur har prisutvecklingen på smör varit jämfört med prisutvecklingen på matfett i allmänhet? Besvara även denna fråga via ett lämpligt relativprisindex. 8. Man är på en grossistfirma intresserad av att bl a studera prisutvecklingen på de produkter man salufört under tidsperioden Man delar in produkterna i tre huvudgrupper och noterar försäljningsvärdet för dessa tre grupper. Försäljningsvärdet av samtliga produkter, miljoner kr, löpande pris Varugrupp Stålbalk Stålplåt Övriga varor

10 För att studera prisutvecklingen väljs en representantvara ut från respektive varugrupp och pris per styck noteras enligt nedan, kr: Varugrupp: stålbalk Repr.vara A Varugrupp: stålplåt Repr.vara B Varugrupp: övr. varor Repr.vara C Repr.vara C (a) Räkna ut ett kedjeprisindex enligt Laspeyres med årslänkar, för att avgöra hur stor prisutvecklingen har varit mellan 1989 och Tolka indexvärdet i ord. (b) Vilken utveckling av försäljningsvolymen har företaget haft under tiden ? 9. Från nationalräkenskaperna hämtas följande uppgifter, som avser den totala privata konsumtionen i Sverige. År Total privat konsumtion, Total privat konsum- Mkr, löpande pris tion, Mkr, 1980 års pris (a) Hur mycket har priserna på den privata konsumtionen förändrats mellan 1986 och 1990? (b) Antag att prisindex för livsmedel utvecklats enligt nedan för åren År Prisindex för livsmedel, 1986= Bilda ett relativprisindex för livsmedel m h a uppgifterna i a). Hur har relativpriset för livsmedel förändrats mellan ? 10

11 5 Facit till övningsuppgifter (a) 3. År Index (1972=0) Index (1976=0) År Index (b) Ökningen=(( )/112) 100% = 10.71%. År Försäljning i 1990 års pris (kr) 1988 (12505/100) 107 = (12510/105) 107 = (14500/110) 107 = (15080/113) 107 = År Vikter Vitvaror Vikter Radio/TV Laspeyre-länkar Index (a) = = ( ) 100 = = = ( ) 100 = = = = ( ) 100 = = Priserna har ökat med c:a 9.8% mellan 1990 och År Totalförsälj., löp. priser [Mkr] Index (1990=0) Totalförsälj., 1991 års priser [Mkr] (104.6/100) = 9.00 (b) (104.6/107.5) = (104.6/109.8) = (a) 6. (a) År Implicitprisindex Diskborstar Tandborstar Toalettborstar (1992=0) (1990=0) (1992=0) (1990=0) (1992=0) (1990=0) = = = = = = = = = = = = = = = = = = (b) Använd vikter baserade på totalförsäljning i löpande priser. År Laspeyre-vikter Index (1990=0) ( ) 100 = ( ) 100 = = ( ) 100 = = (c) Deflatera de enkla indexen från a) uppgiften med indexserien i b) uppgiften för 1990 och 1993 = Relativprisindex Diskborstar Tandborstar Toalettborstar (117.5/112.7) 100 = (110.0/112.7) 100 = 97.6 (109.1/112.7) 100 = 96.8 = Endast diskborstarna har ökat i pris relativt företagets allmänna prisutveckling. År Laspeyre-länkar Index (1992=0) ( ) 100 = ( ) 100 = =

12 7. (a) Beräkna implicitprisindex för total matfettskonsumtion. Deflatera sedan detta med KPI Relativprisindex. År Impl.prisindex, matfett (1983=0) Rel.prisindex, matfett/privat kons. (1983=0) (4202/3884) 100 = (108.2/108.0) 100 = (4581/3868) 100 = (118.4/116.0) 100 = (4746/3748) 100 = (126.6/120.9) 100 = Relativt den totala privata konsumetionen har priserna på matfett ökat med 4.7% mellan 1983 och (b) Beräkna implicitprisindex för smör och deflatera med implicitprisindex för total matfettskonsumtion (från a uppgiften). År Impl.prisindex, smör (1983=0) Rel.prisindex, smör/matfett (1983=0) Prisutvecklingen på smör har i stort sett utvecklats likadant som för gruppen mafett. 9. (a) Bilda implicitprisindex och jämför 1990 års värd emed 1986 års värde. I 86 = (480545/291916) 100 = och I 90 = (698996/336703) 100 = /164.6 = = De har ökat med 26.1% (b) År Rel.prisindex, 1986= Priserna har sjunkit med 12.8%. 12