Test av svag marknadseffektivitet

Transkript

1 NATIONALEKONOMISKA INSTITUTIONEN Uppsala Universitet Magisteruppsats Handledare: Lennart Berg Författare: Sabahudin Mahović HT 007 Test av svag marknadseffektivitet Balkan

2 Abstract Denna uppsats undersöker huruvida ett antal aktiemarknader på Balkan tillfredställer den svaga formen av marknadseffektivitet under perioden Svag marknadseffektivitet innebär att priset på en finansiell tillgång reflekterar all historisk prisinformation. Om en marknad är svagt effektiv leder analys av historisk kursinformation inte till överavkastning eftersom all historisk information redan är diskonterad av marknaden. För att pröva den svaga formen av effektivitet för Kroatien, Makedonien, Montenegro, Serbien och Slovenien genomförs olika statistiska tester såsom autokorrelationstest, runs test, varianskvottest och regressionsanalys. Samtliga tester i studien genomförs på dagsavkastningar. Resultatet av undersökningen visar att samtliga avkastningsserier lider av positiv autokorrelation, vilket innebär att den historiska avkastningen i viss mån kan användas för att predicera den framtida avkastningen. Detta behöver dock inte betyda avvikelse från den effektiva marknadsmodellen då den ekonomiska signifikansen är relativt låg med en genomsnittlig förklarningsgrad under fem procent. Nyckelord: Emerging markets, effektiva marknadshypotesen, random-walk- hypotesen

3 1 INTRODUKTION BAKGRUND... 5 TEORI RANDOM WALK OCH EFFEKTIVA MARKNADER EFFEKTIVA MARKNADSHYPOTESEN RANDOM WALK HYPOTESEN TYPER RANDOM WALK Random Walk Random Walk Random Walk TIDIGARE STUDIER METOD VAL AV ANALYSMETOD LJUNGS-BOX TEST RUNS TEST VARIANSKVOTTEST REGRESSIONSANALYS RESULTAT SLUTSATS REFERENSER... 4 APPENDIX APPENDIX

4 1 Introduktion Emerging Markets 1 är olika typer av marknader som under de senaste åren ökat i popularitet och varit ett hett investeringsområde. Inflödet av kapital till denna typ av marknader har varit massivt de senaste åren samtidigt som det blivit ett intressant alternativ för investerare som vill ta del av den kraftiga ekonomiska tillväxten i dessa länder. (Claessens et al. 1995). Dessutom har dessa aktiemarknader historisk uppvisat låg korrelation med mogna ekonomiers aktiemarknader och på så sätt varit ett intressant alternativ ur diversifieringssynpunkt (Campbell, 1995). Generellt kännetecknas EM av höga avkastningsnivåer förenat med hög volatilitet (Aggarwal et al.1999). En kombination av abnormala avkastningar, hög autokorrelation i avkastningsserier samt volatila priser kan tyda på ineffektivitet (Buckberg 1995). Ineffektivitet indikerar en viss grad av predicerbarhet vilket kan vara en bidragande faktor till marknadernas popularitet bland investerare. Ett ökat intresse för denna typ av marknader har i sin tur motiverat att diverse empiriska studier, inriktade på EM och aktiemarknader i synnerhet, gjorts (Poshakwalle, 00). En ofta ställd fråga vid analys av olika aktiemarknader är dess grad av effektivitet (Williams, 005). Huruvida finansiella marknader är effektiva har i de senaste decenniernas forskning varit en central fråga. Faktum är att det fortfarandet inte finns något slutgiltigt konsensus i den akademiska världen angående marknadens eventuella effektivitet (Bernhardsson, 00). Mycket av den empiriska forskningen på området effektiva marknader, har under de senaste åren haft sin fokus på asiatiska och latinamerikanska aktiemarknader (Omran och Farrar, 006). En region som däremot hamnat lite i skymundan, men som ökar i betydelse är Balkan. Huvudsyftet med denna uppsats är att utreda huruvida ett antal aktiemarknader på Balkan tillfredställer den svaga formen av effektivitet under perioden 003 och 007. Undersökningen är avgränsad till att endast omfatta några av de Sydeuropeiska EM. Ekonomier som har karaktären av EM definieras i undersökningen som Kroatien, Serbien, Slovenien, Makedonien och Montenegro. 1 Möjlig svensk översättning är tillväxtmarknader. I uppsatsen väljer jag dock att använda emerging markets, som är ett etablerat begrepp även i svensk litteratur. Vidare fokuserar uppsatsen uteslutande på aktiemarknader. Fortsättningsvis skrivs emerging markets som EM. 4

5 1.1 Bakgrund En av de äldsta frågorna inom finansteori är huruvida prisförändringar på finansiella tillgångar är predicerbara (Campbell et al.1997). Teorin om effektiva marknader har under flera decennier stått i centrum och därmed gett upphov till att åtskilliga empiriska studier genomförts. Majoriteten av studierna rörande området effektiva marknader har dock behandlat mogna aktiemarknader (Filis, 00). Mycket av forskningen på området effektiva marknader baseras på random walk hypotesen. Begreppet random walk är ett vanligt förekommande begrepp som flitigt används när man vill åskådliggöra vad som menas med en effektiv marknad (Williams, 005). Den svaga formen av effektivitet kan prövas genom att undersöka om avkastningar på en finansiell tillgång är kopplade till tidigare periodens avkastning (ibid.). Random walk beskriver en avkastningsserie vars utveckling är fullständigt stokastisk och oförutsägbar. Detta innebär därmed att avkastningar inte kan predikteras genom studier av historiska kursrörelser. Det finns forskare som hävdar att avkastningar på EM i betydligt högre grad besitter karaktärsdrag som möjliggör en prediktion av det framtida aktiepriset än avkastningar på välutvecklade och mogna aktiemarknader. Den empiriska forskningen visar att aktiemarknader som befinner sig i ett tidigt utvecklingsskede ofta är ett exempel på avvikelser från den effektiva marknadshypotesen (se t ex Lock (007) och Filis (00)). Mot bakgrund av detta är det intressant att undersöka huruvida Balkanländerna som den senaste tiden uppvisat en allt högre tillväxt, men som inte ännu varit föremål för empiriska undersökningar uppvisar effektivitet i svag form. Det är framförallt Slovenien som har varit föremål för liknande undersökningar av denna typ. Se t ex Pajuste et al. (1999), Claessens et al. (1995), Griffin et al. (007) 5

6 Teori.1 Random Walk och Effektiva Marknader Icke-arbitrage, diversifieringsmöjligheter, låga transaktionskostnader och tillgångar med hög likviditet är några av begrepp som kännetecknar en effektiv marknad (Nordén & Hossein, 006). Att studera marknaden (exempelvis historiska kursrörelser) för att hitta samband att agera på är svårt då hypotesen är att marknaden diskonterar all information. Konsekvensen av detta blir att gammal kunskap och gamla samband ständigt är oanvändbara. Teorin om effektiva marknader Efficient Market Theroy vanligtvis förkortat EMT på engelska, hävdar att alla kursrörelser är slumpmässiga. Analys och användning av historiska kursrörelser kan ej generera överavkastningar. Förutsättningarna för att spå vart aktiebörsen är på väg är lika med noll. EMT har resulterat i Effektiva marknadshypotesen, vanligtvis förkortat EMH och Random walk hypotesen (RWH). Det finns ett flertal definitioner på vad som är en effektiv marknad. I detta avsnitt presenteras den klassiska och mest använda definitionen av Eugene Fama (1970). A market in which prices always fully reflect available information is called efficient (Fama 1970). Definitionen ovan säger att en marknad där priserna alltid fullständigt reflekterar all tillgänglig information kallas effektiv. Med tillgänglig avses den information som kan antas vara sådan att den leder till ett intjänande av de kostnader som inhämtandet av den medfört (ibid.). Detta är också den starkaste definitionen på vad en effektiv marknad är. Nackdelar med definitionen är att den baseras på ett par orealistiska antaganden: exempelvis alla aktörer på marknaden är rationella och inga transaktionskostnader.. Effektiva marknadshypotesen Effektiva marknadshypotesen berör alltså frågan om huruvida aktiemarknaden är informationseffektiv eller inte. Informationseffektivitet betyder att priset på en aktie enbart påverkas av information. Detta innebär att det enda som kan orsaka en prisförändring är ny information. Och eftersom alla investerare på marknaden har tillgång till all information resulterar detta i att ingen aktör har fördelar framför någon annan (Williams, 005). Ny information är ny, vilket per definition inte går inte att känna till. Det betyder följaktligen att spå vilka aktier som kommer att bli vinnare eller förlorare blir omöjligt då kursutvecklingen 6

7 är slumpmässig och sägs härvid följa en random walk. Inom finansteori beaktas tre typer av information: Historisk information (t.ex. historiska aktiepriser) Publicerad information (företagsspecifik information såsom årsredovisningar, ett företags intäktsprognos eller ett uttalande om räntenivåer från en centralbank) Insider information (information om ett företag som ej blivit offentlig nyhet ännu, exempelvis information om ett omedelbart övertagande av ett företag från ett annat företags sida, som endast är känd av ledningen för det förvärvande företaget) Till dessa tre typer av information hör tre nivåer av effektivitet kategoriserade av Fama. 1. Svag effektivitet innebär att priset på t ex en aktie idag reflekterar all historisk prisinformation. Detta innebär att all information finns inkorporerad i priserna och att en avkastningsserie i statistisk mening, bäst kan karaktäriseras som en random walk. Historiska kursrörelser kan ej användas för att prediktera framtida priser. I statistiska termer innebär detta att successiva prisförändringar är oberoende och fullständigt slumpmässiga. Därför kan en investerare inte utnyttja tillgångens historiska kursutveckling för att göra en vinst. Om marknaden är effektiv i den svaga formen kan vi konstatera följande: analys av historisk kursinformation tillför inte något eftersom all historisk information redan är diskonterad av marknaden (De Ridder, 00). Användare av tekniskanalys och tidsserieanalys kan ej åstadkomma överavkastning om EMH i svag form håller.. Halvstark effektivitet innebär att prissättningen, utöver den historiska informationen, baseras också på all publik information. Således har en investerare vars investeringsstrategi baseras på fundamental analys eller företagsspecifika nyheter inga verkliga, vinstgivande effekter (Norden, 006). Med publik information menas det vanligen företagsspecifik information såsom information om split, utdelningar och olika rapporter. Är aktiemarknaden effektiv i den mellanstarka formen betyder det att både den historiska informationen om aktien och annan publik information tillsammans inte ger någon fördel för aktörerna att förutsäga kursutvecklingen. Metoder som används för att undersöka huruvida en marknad är effektiv i den mellanstarka formen är event-studie eller residualanalys. 7

8 3. Stark effektivitet innebär att även insiderinformation är avspeglad i priset. Därför kan insiderinformation inte utnyttjas i vinstsyfte. Är marknaden effektiv i den starka formen nås ingen fördel av att ha tillgång till monopolistisk information (Williams, 005). Insiderinformation leder alltså inte till bättre investeringsbeslut, även här har marknads aktörer diskonterat denna information. Denna form av marknadseffektivitet är av förklarliga skäl också den svåraste att testa empiriskt. Tabellen nedan sammanfattar EMH och dess nivåer. Tabell 1 Sammanfattning av EMH och dess nivåer Nivå Information som reflekteras i aktiekurs Svag Mellan stark Stark Samtlig historisk data om företaget Samtlig historisk data om företaget samt överig allmän information Historisk data + allmän information + inside information Är aktiemarknadernas effektivitet testbar? Campbell et al. (1997) menar att Famas definition är en alldeles för extrem version av effektiv marknad för att det ska gå att testa den empiriskt. Därför är det nödvändigt att noggrant specificera vad som menas fullständigt reflekterar för att det ska gå att testa den empiriskt. Vid emiriska undersökningar brukar detta vanligen exemplifieras genom att utgå från någon form av testbar jämviktsmodell. Fama nämner tre erkända modeller för empiriskt testbara hypoteser: Random Walk Model, Fair Game Model och Submartingale Model. Ett problem som uppstår vid test av EMH är att test av EMH samtidigt är en test av den jämviktsmodell som antas (Campbell et al. 1997). Detta innebär om testet genoförs och hypotesen om effektiv marknad förkastas kan det bero på antigen jämviktsmodellens begränsningar och förankring i verkligheten eller att en felaktig jämviktsmodell har antagits. Därför går det inte att dra exakta slutsatser om effektiviteten på marknaden och därför kan marknadseffektivitetshypotesen aldrig förkastas, eftersom en hypotes om effektivitet inte är empiriskt testbar (ibid.). 8

9 3 Random Walk Hypotesen En pristidsserie vars framtida förändringar karaktäriseras av fullständigt slumpmässiga rörelser beskriver en random walk. Tidsseriens framtida förändringar är därmed icke predicerbara på grund av dess slumpmässiga beteende. Modellen bygger på två antaganden: dels avkastningar är oberoende av varandra, dels att sannolikheten att priset på en aktie antigen stiger eller sjunker är lika stor (Campbell et al., 1997). Matematiskt kan en random walk modell beskrivas som: ln P ln t P t 1 t där lnp t och lnp t-1 betecknar logaritmerat pris dag t och t-1, ε t är feltermen. Ekvationen ovan säger alltså att avkastningen vid tidpunkt t inte beror på avkastningen vid tidpunkt t-1. Detta innebär att det inte råder någon systematisk korrelation mellan gårdagens och dagens avkastning, således den bästa gissningen angående morgondagens avkastning är dagens avkastning. Den empiriska forskningen har de senaste åren visat att denna modell inte beskriver utvecklingen på aktiepriser väl (ibid.). I Campbell et al.(1997) presenteras tre typer av random walkmodell (RW1, RW, och RW3). Nedan ges en utförligare beskrivning av dessa. 3.1Typer Random Walk Random Walk 1 RW1 beskriver den mest stringenta formen av RWH. Här är prisförändringar är oberoende och identiskt distribuerade (IID). 3 En aktieprisserie som följer (RW1) kan skrivas som: ln P ln ~ IID(0, ) t P t 1 t t Modellen ovan kallas normalt random walk med drift, där μ 0. Enligt ekvationen är prisförändringarna logaritmerade oberoende och identisk distribuerade med väntevärdet noll och variansen (ibid.). Termen µ är en drift eller förväntad prisförändring. Anledningen till att µ termen läggs till är att en drift iakttagits på de flesta finansiella marknaderna (ibid.). Positiv drift tolkas här som den ersättning en placerare kräver på sin investering. Slutligen säger modellen att om den svaga formen av marknadseffektivitet är uppfylld är historisk 3 (IID) står för independently and identically distributed. 9

10 prisutveckling inte värdefull för investeringsbeslut. Överavkastning går alltså inte att generera genom att titta på hur aktiepriserna rört sig historiskt. Det finns statistiska test som kan användas för att testa om RW1 håller. Exempelvis kan Ljung-Box test och runs test användas (ibid.). I uppsatsen kommer båda testerna att genomföras för att testa om antagandet om oberoende i successiva avkastningsförändringar uppfylls. Ljung-Box prövar om autokorrelationen är lika med noll. Autokorrelation innebär att det finns ett linjärt samband mellan en avkastning beräknad över en viss tidsperiod och en annan avkastning beräknad över samma tidsperiod, men längre tillbaka i tiden (ibid.) Random Walk t ~ INID (0, ) 4 Enligt Campbell et al. (1997) finns det anledningar till att antagandet om identiskfördelning inte håller för finansiella tillgångar. Därför lättar RW på antagandet att residualerna behöver vara identiskt distribuerade och förutsätter istället oberoende men icke identisk fördelade residualer. Denna modell är alltså en mindre stringent form av random walk 1. RW tillåter heteroscerasticitet i slumptermen, och därmed varierande volatilitet. Implikationen från modellen är följande: att det inte ska gå att prediktera kommande priser genom att titta på historiska priser. Tester av EMH baserade på RW är bl.a. filterregler och teknisk analys. Filterregler innebär att då priset på en aktie ökar med X % genereras en köp- och säljsignal då priset minskar med X %. Fama och Blume (1966) använde sig just av denna teknik i sina empiriska studier där de jämförde avkastningarna med filterreglerna med motsvarande avkastning för ett köp och behåll strategi. Författarna kom till slutsatsen att filterreglerna ibland kunde prestera bättre än köp och behåll, men efter att justeringar för utdelningar och transaktionskostnader gjorts visade det sig att filterreglerna var sämre än köp och behåll strategi. Teknisk analys är benämningen på metoder som går ut på att analysera marknader, till skillnad från fundamental som är analys av företaget (Campbell et al. 1997). Grundtankarna inom teknisk analys är att prediktera framtida kurser baserat på tidigare kända kurser. I en svagteffektiv marknad ska denna typ av teknisk analys inte löna sig. 4 INID står för independent, not identically distributed 10

11 3.1.3 Random Walk 3 Den mest generella random walk modellen och den som har testats mest på senare tid är RW3. RW3 lättar på antagandet att residualerna behöver vara oberoende. Modellen tillhör den svagaste formen av de tre random-walk modellerna. RW3 antar varken att residualerna är oberoende eller identiskt distribuerade. Det viktigaste är att det inte finns någon autokorrelation mellan dem. För att RW3 ska vara uppfyllt gäller att Cov t, 0 tk för alla k 0 Cov, där t, t k 0 för något k skiljt från noll 5. Cov betecknar korrelation. I RW3 är residualerna ickekorrelerade men inte kvadraterna av residualerna, vilket betyder att de kvadrerade residualerna inte behöver vara oberoende (ibid.). Som vi ser inbegriper RW3 både RW1 och RW som special fall. Det finns en rad olika test för att testa om modellen håller. Till exempel kan Ljung-Box, varianskvottest eller regressionsanalys användas. Dessa tester går ut på att kontrollera ifall autokorrelation förekommer. I uppsatsen har samtliga ovannämnda tester valts som metod att testa både den svagaste och starkaste formen av random walk. Det gemensamma för modellerna (RW1,RW,RW3) är att samtliga ser ut som RW1, men ställer olika krav på ε. 4 Tidigare studier På senare tid har det utkommit en rad studier över huruvida avkastningar på EM tillfredställer den svaga formen av effektivitet. Jag skall här redogöra för resultaten hos ett urval av dessa rapporter och peka på skillnaderna mellan dessa. Worthington & Higgs hävdar i en studie genomförd 003 att bland de länder som ingick i undersökningen var det endast ett (Ungern) som tillfredställde den svaga formen av effektivitet. Övriga aktiemarknader i studien utgjordes av Polen, Ryssland och Tjeckien. Att just Ungern uppfyllde kraven kunde det bero på att Ungern var en mognare marknad än de övriga som ingick i studien. Smith & Ryoo (003) testade RWH genom ett varianskvottest för veckoavkastningarna på fem europeiska EM aktiemarknader nämligen Grekland, Ungern, Polen, Portugal och Turkiet. I studien finner de att endast den turkiska aktiemarknaden uppfyller kraven för random walk. RWH 5 Se till exempel Campbell et al. (1997) sid

12 förkastades för de övriga aktiemarknaderna i undersökningen. I ett flertal studier (se t ex Cheung et al. (000), Ojah och Karamera (1999)) konstaterades det att avkastningar på EM följer en random walk och är effektiva i svag form. Lock (007) genomförde en liknande studie där han testade RWH genom Lo & MacKinley s varianskvottest för veckoavkastningarna på den Taiwanska börsen under åren Resultatet visade att avkastningarna under den undersökta perioden följer en random walk. I en studie av Arlt & Arltovà (000) testades RWH på Pragsbörsen under åren genom ett Variance Ratio test på dags- samt veckodata för PX50 indexet. De fann att varken dags- eller veckoavkastningarna följde en random walk, och därmed förkastades nollhypotesen. I tabellen nedan presenteras en kort översikt över nyligen genomförda studier. Tabell Kort översikt över nyligen genomförda studier Tabellen ger en översikt av den empiriska forskningen som genomförts på området Studie Metod Data Slutsats Dockery och Variance ratio test Veckoavkastningar av aktieindex Budapests aktiemarknad har Vergari (1997) för åren 1991 till och med 1995 under den undersökta perioden varit effektiv i svag form. Wheleer et al. Autokorrelationstest Dagsavkastningar för 16 individuella Resultatet visar att de flesta aktierna -00 Runs test aktier listade på Warszawas börs inte följde en random walk. för åren 1991 till och med 1996 Variance ratio test Worthington et al. Autokorrelationstest dagsdata; innefattar aktieprisindex Resultatet visar att endast Ungern -003 Runs test för Tjekcien, Ungern, Polen och uppfyller villkoren för en svagteffektiv Unit root test Ryssland för åren 1994 tom 003 marknad Lock (007) Variance ratio test Veckoavkastningar på den Taiwanska Resultatet visar att den Taiwanska börsen under åren aktieprisindexet följer en random walk Arlt et al. (00) Autokorrelationstest dags- och veckodata av PX-50 Random walk hypotesen förkastas Variance ratio test Prags aktieprisindex under åren 1993 i samtliga fall, både för dags- och till och med 000 veckoavkstningar. Kwong et al. Variance ratio test dagsavkastningar av Hang Seng index Hong Kong Stock Exchange har under -000 Hong Kong Stock Exchange. Tidsserien den undersökta perioden varit sträcker sig från 1985 tom 1997 effektiv i svag form. En vanlig föreställning är att omogna ekonomiers aktiemarknader oftast inte är effektiva i svag form. När det gäller de mogna och välutvecklade aktiemarknaderna visar den empiriska forskningen att dessa marknader generellt sett tillfredställer den svaga formen av marknadseffektivitet (Mobarek och Keasey, 000). Tabellen ovan visar att det finns resultat som stödjer random walk hypotesen men att det också finns rapporter som förkastar hypotesen. Olika studier ger alltså olika svar. 1

13 5 Metod DATA och deskriptiv statistik All data inför denna undersökning har inhämtats från databasen Ecowin. Det datamaterial som används i denna studie är dagsdata och innefattar aktieprisindex för Kroatien (CROEMI), Makedonien (MBI 10), Montenegro (NEX 0), Serbien (BELEX 15), och Slovenien (SBI 0). Den ursprungliga ambitionen var att studien även skulle innefatta undersökning av den bosniska aktiemarknaden. Dataserien som finns tillgängligt är dock för kort och därmed oanvändbar. BELEX-15 är ett kapitalviktad index, bestående av de 15 mest omsatta aktierna på Belgradsbörsen och ger därmed en representativ bild av utvecklingen på den serbiska aktiemarknaden. Tidsperioden för Belex-15 sträcker sig från och med oktober 005 till och med november Tabell 3 Deskriptiv statistik Land Börs Datum Index Omfattar Kroatien Zagreb Stock Exchange CROEMI 0 största aktierna Makedonien Macedonian Stock Exchange MBI största aktierna Montenegro Montenegro Stock Exchange NEX 0 0 största aktierna Serbein Belgrade Stock Exchange Belex största aktierna Sloveninen Ljubljana Stock Exchange SBI 0 0 största aktierna NEX 0 (Montenegro) representerar 0 största företag, mätt i marknadsvärde. MBI-10 innefattar de 10 största aktierna, där aktierna väljs ut med hänsyn till Stock Exchange Index Commission. SBI 0 innehåller 0 ledande slovenska företag. SBI 0 är ett kapitalviktad index vars syfte är att spegla marknadsutvecklingen för bolag på Ljubljanabörsen. Samtliga aktieindex omfattar olika lång tidsperiod på grund av varierande tillgänglighet för respektive index. Vidare är indexen är uttryckta i respektive lands valuta. I uppsatsen beräknas avkastning genom kontinuerlig sammanräkning enligt: r t = ln(p t /P t-1 ) = lnp t - lnp t-1 = p t - p t-1 där P t och P t-1 är stägningskurser vid tidpunkt t och t-1. Grundläggande statistiska karakteristika för samtliga aktieindex presenteras i tabellen nedan. 6 BELEX-15 utvecklades 04 oktober 005, och hade då en startnivå på

14 Tabell 4 Deskriptiv statistik för avkastningsserierna under perioden Kroatien Makedonien Montenegro Serbien Slovenien Startdatum Slutdatum Mean 0,063 0,14 0,144 0,0668 0,045 Median 0,0435 0,071 0, ,0496 0,058 Max,797 3,5133 4,1765 4,7035 1,9813 Min -,945-3,095-3,430 -,935-1,3773 Std.Dev Skew Kurtosis Jarque-Bera Probability Observationer Enligt tabellen ser vi att den lägsta medelavkastningen hittas i Slovenien (0.045%) medan den högsta medelavkastningen påträffas i Makedonien (0.14%) och Montenegro (0.14%). Det lägsta minvärde är i Slovenien ( %) och det högsta maxvärde är i Serbien (4.7035%). Montenegro och Makedonien har den högsta standardavvikelse i avkastningarna av de fem aktiemarknaderna. På basis av historiska avkastningsdata verkar det som att det är Slovenien som är den minst volatila aktiemarknad. Slovenien är sedan 1 maj 004 ett EU land och har kommit längst av länderna i exjugoslavien. Tabellen visar också att samtliga avkastningsserier utom (CROEMI, Kroatien) uppvisar positiv skevhet, vilket innebär att den vänstra svansen är tjockare och att det är större sannolikhet att avkastningen är högre än genomsnittet. Jarque-Bera testet med dess tillhörande p-värden presenterade i tabellen ovan har använts för att testa nollhypotesen om avkastningsserierna är normalfördelade. Samtliga p-värden är mindre än 0.01 vilket tyder på att avkastningsserierna inte är normalfördelade. Nollhypotesen förkastas i samtliga fall. Den höga kurtosisen indikerar en toppigare fördelning för samtliga marknader vilket även styrks av den grafiska analys som utförts, se figur 1-5 i appendix. För att undersöka huruvida aktiebörserna på Balkan är effektiva i svag form har jag valt att använda mig av ovanstående aktieprisindex. Jag anser att samtliga index väl representerar Balkanbörser då dessa innehåller de mest likvida företagen på respektive lands börs. Slutligen har samtliga beräkningarna har utförts i Excel och statistikprogrammet SPSS. 14

15 6 Val av analysmetod I avsnittet nedan presenteras de statistiska modeller som använts för att pröva den svaga formen av effektivitet. 6.1 Ljungs-Box test Ett test som ofta används i tidsseriemodeller och som från början formulerades av Box och Pierce (BP) ser ut på följande sätt: Q BP N m k 1 ( k) där N betecknar antalet observationer, m står för antalet laggar och k är autokorrelationskoefficienten det vill säga en skattning på autokorrelationen på lag k. Formeln modifierades senare av Ljung och Box (LB) och ser ut enligt följande: Q * LB m ( k) N ( N ) ~ N k k 1 m LB formeln passar bättre för mindre stickprovsstorlekar (Gujarati, 003). Variabeln * Qm är approximativt (chi-square) fördelat med (m- -q) frihetsgrader. Variabeln * QLB testar om samtliga autokorrelationskoefficienter upp till lagg k är lika med noll. Hypotesen som testas är att korrelation mellan avkastningarna för olika laggar (m) är lika med noll. Noll- och alternativhypotesen formuleras enligt följande: H 0 : ( k) 0 k = 1, H 1 : ( k) 0 Om * Q testvärdet är större än det kritiska värdet för minst ett av Q * LB LB värdena för indexen, förkastas nollhypotesen. Om ingen signifikant autokorrelation påträffas antas avkastningsserie följa en random walk. 6. Runs test Runs testet, som också är ett autokorrelationstest bygger på att studera slumpmässigheten i feltermernas tecken genom att de delas upp i sekvenser. En run definieras som sekvens av avkastningar som följs av samma tecken antigen (+ + +), (0 0 0) eller (- - -) (Gujarati, 003) Testet undersöker om successiva avkastningsförändringar är oberoende av varandra. I motsats till Ljung-Box testet är detta ett icke parametriskt test och kräver inte att avkastningarna är normalfördelade (ibid.). Modellen baseras på antagande om att det förväntade antalet runs 15

16 ( R ) bör vara nära det faktiska antalet runs (R), om avkastningsförändringar är slumpmässiga. Om vi exempelvis låter A och B vara en följd av observationer som kan vara av två olika typer. A står för avkastning som är lika med eller över genomsnittet och likaledes B för avkastning under genomsnittet. n A och nb är antalet observationer av första respektive andra typen. Hypotesen som testas är att avkastningsförändringar är oberoende av varandra. Om avkastningarna följer en random walk är sannolikheten att få en sekvens av (+) lika stor som sannolikheten att få en sekvens av (-). Testfunktionen definieras som: Z R R R N(0,1) Teststatistika Z följer en standardiserad normalfördelning med väntevärde (µ=0) och standardavvikelse (σ=1). Sannolikheten är 95 procent att få ett värde mellan ± 1.96 av ren slump. Om teststatistika Z överstiger 1.96 förkastas RW1 procents på fem procents signifikansnivå. nanb där R 1, n n AnB (n AnB n) R och där B n ( n 1) n n n A är antal observationer av positiva (+) och negativa (-) avkastningar i samplet med n observationer. 6.3 Varianskvottest Varianskvottestet utvecklat av Lo & MacKinlay (1988) bygger på att testa en varianskvot, vilket görs för att korrigera för homoskedasticitet och heteroskedasticitet. I varianskvottestet gäller att variansen för de observerade feltermerna ökar linjärt med tidsintervallet. I en avkastningsserie som inte lider av autokorrelation blir varianskvoten VR (q) =1 även då heteroskedasticitet och homoskedasticitet föreligger. Detta eftersom variansen av summan av de ickekorrelerade residualerna måste vara lika med summan av varianserna (Campbell et al. 1997). En varianskvot för exempelvis två perioder q = ser ut enligt följande: Var( p ()) ( ) Var ( p ) Cov( p, p ) t Var pt p 1 t t t t1 VR() 1 ( k) Var ( p ) Var ( p ) Var ( p ) t t Varianskvoten för en avkastningsserie som följer random walk är lika med VR ( q) 1. Nollhypotes och alternativhypotes som formuleras ser ut enligt följande: t 16

17 För RW1 och RW3 H 0 : VR(q)= 1 q =, 4, H 1 : V(q) 1 Nollhypoteser som testas säger att varianskvoten VR(q) är lika med ett mot dubbelsidiga alternativhypoteser att minst en av q n är statistiskt skiljt från ett. Om absolutvärdet av testvariablerna Z(q) och Z*(q) är högre än det kritiska värdet 1.96 på fem procents signifikansnivå förkastas H 0. Härledningen av Lo och MacKinlays varianskvottest presenteras i appendix Regressionsanalys En annan metod 7 för att testa RW3 är att genomföra regressionsanalys med laggad avkastning och logaritmen av aktieindexet som beroende variabel (Campbell et al. 1997). Regressionsmodellen 8 ser då ut på följande sätt: r( t, tk ) ( k) ( k) r( t k) ( t, t k) där r( t, t k ) är kontinuerlig (log) avkastning över t och t+k av tidshorisonten (k =, 4, 8, 16, dagar). Parametern k är första ordningens autokorrelation av k periodens avkastning och ε t+k är slumptermen. Regressionsmodellen ovan använder överlappande avkastningar som i sig själv skapar autokorrelation i ε (t, t+k). För att hantera detta problem med överlappande avkastningar beräknas standardfelen enligt Newey-West metoden (HAC). 9 Fördelen med regressionsmodell är att den på ett lättolkat sätt visar hur mycket av variationen i den beroende variabeln förklaras av den oberoende variabeln. Regressionens determinationskoefficient R kan tolkas här som ett mått på den ekonomiska signifikansen av förutsägbar avkastning (Rey, 004). Vidare bör det tilläggas att modellen är nära besläktad med varianskvottestet som presenterades tidigare i detta avsnitt (Campbell, 1991). 10 Som 7 Metoden har presenterats och använts av Fama och French (1988) i deras studie om aktieavkastningarnas beteende på den amerikanska aktiemarknaden. Tre läsvärda referenser inom detta område är Campbell et al (1997), Fama och French (1998a) och (1998b) 8 Regressionsmodellen kan naturligtvis generaliseras till andra förklarande faktorer, exempelvis direktavkastning och PE-tal. 9 Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent 10 Exempelvis Var (K) förklarningsgraden R av period (k) är helt enkelt kvadraten av β 1 (k) (Campbell, 1991). ( k) Var ( K) 17

18 nollhypotes sätts att β (k) är lika med noll för alla k. Ett signifikant värde på β (k) innebär att avkastningar inte följer än random walk, RW3 förkastas. 7 Resultat Ljung-Box test Resultatet från korrelationstestet i tabell 5 nedan, visar att de logaritmerade avkastningsserierna inte är random walk. Samtliga koefficienter är positiva och indikerar positiv seriell korrelation i dagsavkastningar. Den positiva autokorrelationen antyder att det finns ett beroende mellan dagsavkastningar. Det vill säga att avkastning vid tidpunkt t som i detta fall är över genomsnittet för samtliga avkastningsserier har en viss tendens att följas av ett till mätvärde över genomsnittet. Värt att notera är att Montenegro har den lägsta autokorrelationen (0.169). Vad innebär en autokorrelation på 17 procent egentligen? Observera att determinationskoefficienten (förklarningsgrad) R i regressionen med laggad avkastning och logaritmen av aktieindexet som beroende variabel räknas fram genom att kvadrera korrelationskoefficienten (ρ). Lutningskoefficienten (β) är helt enkelt första ordningens autokorrelation (ρ). Följaktligen innebär en autokorrelation på 17 procent att ungefär 3 procent av variationen i nästa periods avkastning kan förklaras denna periods avkastning. 11 Nollhypotesen, att det inte finns någon korrelation mellan avkastningarna för olika laggar förkastas på fem procents signifikansnivå för samtliga marknader. Tabell 5 Autokorrelationstest för de fem EM under tidsperioden Autokorrelation Marknad ρ Koefficient Box-Ljung Q p -värde Kroatien (0.031) Makedonien (0.039) Montenegro (0.09) Serbien (0.043) Slovenien (0.09) Not: Q LB har testats för 16 olika värden på m. I tabellen presenteras Första laggs autokorrelation för respektive marknad. (Standardavvikelse inom parantes) 11 Korrelationskoefficienterna i tabellen översätts i termer av ekonomisk signifikans. 18

19 Runs test I tabell 6 framgår resultaten av runs testet. Resultatet visar att teststatistika Z är signifikant negativ och större än 1.96 för samtliga avkastningsserier. Ett signifikant negativt värde på Z visar att det är få runs i sekvenser och indikerar positiv seriell korrelation. Vidare kan vi tillägga att antalet faktiska runs är färre än antalet förväntade runs är i linje med tidigare forskningsresultat (Worthington och Higgs 003, Borges 007). Slutligen kan vi konstatera att utifrån detta test finns det inget som tyder på att någon av aktiemarknaderna tillfredställer den svaga formen av effektiv marknad. De successiva avkastningar för samtliga marknader är inte oberoende vilket strider mot den effektiva marknadsmodellen. Tabell 6 Runs test för EM under tidsperioden Marknad Faktiska R Förväntade µ R Cases < mean n b Cases mean n a Total Runs Z- statistika p-värdet Kroatien Makedonien Montenegro Serbien Slovenien Not: H 0 : E(µ R ) = R 19

20 Varianskvottest Varianskvottestet visar resultatet att nollhypotesen för RW1 förkastas i samtliga fall på fem procents signifikansnivå för de alla q perioder, vilket betyder att avkastningarna inte följer en random walk. Resultatet visar också att samtliga varianskvoter för alla marknader är större än ett. I tabellen nedan presenteras resultatet från de utförda testerna. Tabell 6 Resultaten av varianskvottestet för de fem EM under tidsperioden Tabellen visar resultatet av varianskvottestet för RW1 och RW3. Den homoskedasticitet-konstistenta testvariabeln Z(q) visas inom parantes och den heteroskedasticitetkonstintenta testvariabeln Z*(q) visas inom klammer. Då en avkastningsserie inte karaktäriseras av random walk gäller att testvariablerna Z och Z* överstiger Varianskvottest för dagsdata Antal q intervall (dagar) Marknad Kroatien VR(q) Z (7.3) a (6.68) a (7.39) a (8.9) a (6.49) a (4.3) a Z* [5.47] a [4.68] a [5.9] a [6.30] a [5.18] a [3.54] a Makedonien VR(q) Z (15.51) a (15.33) a (11.99) a (11.5) a (10.89) a (3.9) a Z* [7.66] a [7.88] a [6.51] a [6.54] a [6.94] a [.89] a Montenegro VR(q) Z (5.88) a (6.45) a (6.9) a (7.44) a (7.68) a (6.50) a Z* [3.76] a [4.1] a [4.78] a [5.44] a [6.07] a [5.57] a Serbien VR(q) Z (8.44) a (8.0) a (5.71) a (7.34) a (8.0) a (8.09) a Z* [4.71] a [3.86] a [.75] a [3.91] a [4.88] a [5.37] a Slovenien VR(q) Z (11.00) a (6.18) a (5.3) a (5.53) a (7.3) a (8.9) a Z* [6.8] a [3.63] a [3.6] a [3.74] a [5.8] a [6.45] a a Statistiskt skilt från ett på 5% signifikansnivå Teststatistikan Z(q) är högre än 1.96 för det kritiska värdet på fem procent signifikansnivå och ligger mellan och dvs. en bra bit utanför intervallet när den starkaste formen av random walk (RW1) förkastas. Till exempel dagsavkastningar i Kroatien under testperioden uppvisar autokorrelation på procent approximativt. En autokorrelation på procent innebär att cirka fem procent av förändringen i nästa dags avkastning kan förklaras med denna dags avkastning. Vi ser även att graden av predicerbarhet ökar med tidsintervallet. Detta kan tolkas som att anpassningen till ny information inte är omedelbar, vilket indikerar informationsineffektivitet. Den effektiva marknadshypotesen i svag form implicerar en omedelbar anpassning till ny information. Tar vi en titt på Serbien ser vi att den genomsnittliga varianskvoten då q är 1.37, vilket innebär positiv autokorrelation i avkastningsserien. Den positiva korrelationen är på 37 procent under urvalsperioden 005 till 007. Detta innebär att ungefär 14 procent av 0

21 variationen i nästa periods avkastning P t kan förklaras denna periods avkastning P t-1. Då RW1 förkastas, beror det inte på att residualernas varians är konstant över tiden, eftersom testvariabeln Z(q) är homoskedasticitetkonsistenta. Även nollhypotesen för RW3 som är den svagaste formen av random-walk modeller, förkastas i samtliga fall. Nollhypotesen, att dagsavkastningarna följer både en homoskedastiskt och heteroskedastiskt random walk förkastas för samtliga länder på grund av närvaron av korrelation i avkastningsserierna. Vi kan därmed konstatera att detta inte ger stöd åt EMH i svag form eftersom nuvarande förändringar i avkastningsserierna är kopplade till tidigare förändringar. Resultatet visar att RWH som hävdar att kursutvecklingen är fullständigt stokastisk och oförutsägbar, inte håller i fråga om den kroatiska, makedonska, montenegrinska, serbiska och slovenska. Resultatet rörande Slovenien är i enlighet med det som Deželan (1999) kom fram till. Deželan genomförde samma test för dagsavkastningar på slovenska börsen under perioden Undersökningen resulterade i förkastande av random walk hypotesen. 1

22 Regressionsanalys I tabell 7 framgår resultaten från regressionsanalysen. I tabellen framgår dels betavärdet β (k), vilket utgör den förklarande variabelns förhållande till den beroende variabeln och dels återfinns determinationskoefficienten R vilken anger modellens förklaringsgrad. Tabell 7 Regressionsresultat för EM under tidsperioden k= Marknad Kroatien α (5.51) (6.417) (7.337) (10.895) (16.653) (4.005) [3.878] [3.919] [3.418] [4.465] [6.534] [10.795] β (4.136) (6.588) (8.819) (.473) (.71) (6.309) [1.990] [.436] [.949] [1.057] [-0.677] [.068] R Makedonien α (3.6) (5.130) (6.064) (6.899) (14.175) (.491) [.74] [3.00] [3.115] [3.441] [6.576] [9.650] β (8.986) (3.36) (5.745) (6.644) (5.36) (6.794) [3.606] [1.195] [.44] [1.896] [-.54] [3.8] R Montenegro α (6.039) (7.558) (9.035) (11.35) (15.666) (8.869) [4.744] [4.563] [4.61] [5.409] [7.91] [9.958] β (5.357) (6.378) (8.7) (8.594) (3.810) (8.407) [.674] [.558] [3.336] [3.160] [1.76] [-3.361] R Serbien α (.797) (4.134) (3.893) (4.079) (5.90) (8.48) [1.934] [.9] [1.970] [1.903] [.745] [3.666] β (4.681) (0.630) (8.831) (9.105) (5.837) (.776) [1.55] [0.170] [3.967] [3.479] [1.793] [1.085] R Slovenien α (6.177) (8.155) (9.733) (9.350) (11.54) (13.559) [4.35] [4.504] [4.833] [3.978] [4.689] [6.341] β (0.345) (3.03) (6.49) (13.638) (1.94) (16.341) [0.08] [1.476] [3.171] [5.516] [5.007] [5.01] R Not: standard t-värden visas inom parantes, Newey-West (HAC) visas inom klammer. Kritiska värden för t (vid dubbelsidigt test) 1%.576; 5% 1.96; 10% 1.645, *HAC = Heteroscedasticity and Autocorrelation Consistent ; Nollhypotes: H 0 = β (k) = 0 för alla k Som tabellen visar besitter samtliga avkastningsserier karaktärsdrag som till en viss del möjliggör en prediktion av den framtida avkastningen med statistisk signifikans. Det faktum att avkastningen till en viss del kan förutsägas är tecken på ineffektivitet. Den förklarade variationen är dock mycket låg. Exempelvis betakoefficienten för Kroatien då k =, förklarar

23 närmast en obefintlig del av kommande dags avkastning (1.6%). Vidare kan vi se att betakoefficienternas tecken och signifikans varierar under de olika k-perioderna. Förklarningsgraden R är de flesta fall låg på kort sikt, men ökar med tidshorisonten, vilket är för övrigt karaktäristiskt för modeller av denna typ (Campbell et al. 1997). Avslutningsvis visar resultatet att det föreligger autokorrelation över korta tidsperioder och att ingen av avkastningsserierna uppför sig enligt ett random walk mönster under tidsperioden Den ekonomiska signifikansen är emellertid låg med en genomsnittlig förklaringsgrad under fem procent. 8 Slutsats Uppsatsens syfte var att undersöka huruvida ett antal aktiebörser på Balkan är effektiva i svag form under perioden 003 och 007. För att pröva den svaga formen av effektivitet används ett autokorrelationstest, runst test, varianskvottest och regressionsanalys. Testresultaten visar att i samtliga fall så uppvisar avkastningsserierna karaktärsdrag som till en viss del möjliggör en prediktion av framtida kursrörelser. Följaktligen skulle det kunna vara möjligt för aktörer som agerar på dessa marknader att enbart utifrån historiska kurser utforma investeringsstrategier. Det fjärde testet, regressionsanalys, i undersökningen visar att den ekonomiska signifikansen är relativt låg vilket jag här väljer att tolka som möjligheten till att den identifierade kortsiktiga ineffektiviteten leder till en vinstgivande strategi är begränsad. Det som ändå måste poängteras är att även om avkastningsserierna uppvisar ett beteende som strider mot random walk hypotesen behöver det per automatik inte betyda marknadsineffektivitet (Campbell et al 1997). Det finns en omfattande empirisk forskning 1 som visar att ett flertal transitionsekonomier tenderar att vara svagt informationsineffektiva i statistisk mening, varför Kroatien, Makedonien, Montenegro, Serbien och Slovenien knappast är unikt i detta avseende. 1 Se t ex Worthington och Higgs (003), Omran, Farrer (006) och Lock (007), Wheeler et al. (00) 3

24 9 Referenser Aggarwal, R., Inclan, C. and Lea, R. (1999), Volatility in Emerging Stock Markets The Journal of Financial and Quantitative Analysis 34, pp Arlt, J. & Arltovà M. (000) Variance Ratios Bernhardsson, J. (1996). Tradingguiden. Bokförlaget Fischer & Co Borges, M. R. (007). Random Walk Tests for the Lisbon Stock Market Buckberg, E. (1995). Emerging Stock Markets and International Asset Pricing The World Bank Economic Review 9, pp Campbell, J. Y. Lo, A. W. and MacKinlay, C. A. (1997). The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press Campbell, J. Y. (1991). A Variance Decomposition for Stock Returns The Economic Journal, Vol. 101, No pp Campbell, R. Harvey (1995). The Risk Exposure of Emerging Equity Markets The World Bank Economic Review 9, pp Chang, K. and K. Ting (000) A Variance Ratio Test of the Random Walk Hypothesis for Taiwan s Stock Market Applied Financial Economics 10, Claessens, S., Dasgupta, S. and Glen, G. (1995), Return Behavior in Emerging Stock Markets The World Bank Economic Review 9, pp Deželan, S. (1999), Efficiency of Slovenian Capital Market De Ridder A. (00). Effektiv kapitalförvaltning, Norstedts Juridik AB, Stockholm Dockery, E. and Vergari, F. (1997) Testing the random walk hypothesis: evidence for the Budapest stock exchange Filis, G. (00), Testing for Market Efficiency in Emerging Markets: Evidence from the Athens Stock Exchange Fama, E. & Blume, Marshall E. (1966) Filter Rules and Stock-Market Trading, The Journal of Business, Vol. 39, No. 1, pp Fama, F. E. (1970), Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work pp Fama, E. och French, K. (1988a). Dividend Yields And Expected Stock Returns, Journal of Financial Economics, Vol, pp 3-5 Fama, E. och French, K. (1988b). Permanent and temporary components of stock prices. The Journal of Political Economy 96, pp Gilmore, G. C. (003), Random-Walk and Efficiency Tests of Central European Equity Markets Volume 9 Number 4 Gujarati, N. Damodar (003). Basic Econometrics 4

25 Karamera, D. and Ojah, K. (1999). Random Walks and Market Efficiency Tests of Latin American Emerging Equity Markets The Financial Review 34, pp Kwong, C., Andrew, J. C. (000). A note on weak form market efficiency in security prices: evidence from the Hong Kong exchange Lock, D. B. (007). The Taiwan stock market does follow a random walk Mobarek, A., Keasey, K. (000). Weak-form market efficiency of an emerging Market: Evidence fromdhaka Stock Market of Bangladesh Omran, M. and V. S. Farrer, (006). Tests of weak form efficiency in the Middle East emerging markets Pajuste, A., Kepitis, G. & Högfelt, P. (1999). Risk factors and predictability of stock returns in Central and Eastern Europe Poshakwale, S. (00) The Random Walk Hypothesis in the Emerging Market Rey, D. (004), Stock Market Predictability: Is it There? A Critical Review, Department of Finance, Working Paper No. 1/03 Smith, G. & Ryoo, H-J (003) Variance ratio test of the random walk hypothesis for European emerging stock markets Worthington, A. C. & Higgs H. (003) Weak market efficiency in European emerging and developed stock markets Wheeler, F. P., Kowalski, T., Letza, R.S. (00), The efficiency of the Warsaw Stock Exchange: the first few years Nordén, L. och Hossein, A. (007) Räntebärande instrument : Värdering och riskhantering John M. Griffin A. Patrick J. Kelly, B. and Federico Nardari (007) Measuring Short-Term International Stock Market Efficiency Williams V. Leighton (005). Information Efficiency in Financial Markets, Cambridge University Press 5

26 Appendix 1 Härledning av Lo MacKinlays varianskvottest c ( q) VR( q) a ( q) (1) Uttrycket i täljaren är en unbiased estimator för 1/q av variansen för den q:te differensen för aktiekursen Pt och härleds enligt ekvation (). nq 1 c ( q) ( Pt Pt 1 q ˆ) m tq () m beräknas på följande sätt: m q( nq q 1) 1 q nq (3) nq = är uttryck för antal basintervall ( n q 1) ˆ = betecknar medelavkastning i prisindexserie och beräknas genom ekvationen nedan ˆ 1 nq ( Pt Pt 1 ) ( Pnq P0 ) nq t 1 nq 1 (4) Uttrycket i nämnaren (se ekvation 1) är en unbiased estimator för variansen av den första differensen av Pt och beräknas enligt ekvation fem: nq 1 a ( q) ( Pt Pt 1 ˆ) nq tq (5) Z(q) är en teststatistika som följer en standardiserad normalfördelning med väntevärdet noll och standardavvikelse ett. Här korrigeras för homoskedasticitet. Om avkastningarna är ickekorrelerade kommer varianskvoten (se ekvation 1) att vara lika med ett även i närvaro av homoskedasticitet. Z(q) beräknas enligt ekvation 6. VR( q) 1 a Z( q) ~ N(0,1) 1 ( q) (6) där är variansen vid närvaro av homoskedasticitet och beräknas enligt ekvation nedan. ( q) (q 1)( q 1) 3q( nq) (7) 6

27 således Z( q) q 1 t 1 nq( VR( q) 1) (q 1)( q 1) 3q( nq) a ~ N (0,1) vid närvaro av homoskedasticitet (8) Z *( q) följer en standardiserad normalfördelning med väntevärdet noll och standardavvikelse ett. Här korrigeras för heteroskedasticitet. Om de logaritmerade priserna är ickekorrelerade kommer varianskvoten att vara lika med ett även i närvaro av heteroskedasticitet. Detta eftersom variansen av summan av ickekorrelerade residualer fortfarande är lika med summan av varianserna (ibid.). Sannolikheten är 95 procent att få ett värde mellan av ren slump. Om teststatistika Z* överstiger förkastas nollhypotesen på 5 % signifikansnivå. Z *( q) beräknas enligt ekvation 9. VR( q) 1 a Z * ( q) ~ * ( q) 1 N (0,1) (9) där * är variansen under homoskedasticitet och beräknas genom *( q) q 1 j1 ( q q j ) ˆ( j) (10) där ˆ( j ) är: ˆ( j) nq jk 1 ( P P t t1 nq ( P t Pt 1 ˆ) k1 ˆ) ( P t j P t j1 ˆ) (11) nq( VR( q) 1) a Z *( q) ~ N(0,1) * ( q) (1) där q = antal laggar nq = antal obserbationer p = logaritmerat pris µ = genomsnittligavkastning 7

28 Appendix Figur 1 Figur BELEX 15 CROEMI ,03-0,0-0,01 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 0-0,04-0,016-0,008 0,000 Croemi 0,008 0,016 Figur 3 Figur 4 MBI 10 NEX ,03-0,0-0,01 0,00 0,01 0,0 0,03 0-0,03-0,0-0,01 0,00 0,01 0,0 0,03 0,04 Figur 5 SBI ,010-0,005 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 8