4. Öfuingsböcker i rättskrifning.

Transkript

1 76 Sundén, D. A - 43, 44. Svenssn, J. A 46. Svärd, Jn. ch Pira, G 46. Trnberg, E. J Öfuingsböcker i rättskrifning. Almqvist, C. J. L 60. Brdén, Ivar 61. Bäckman, J Börjessn, G Granér, S. A. ch Wikhlm, K. J Lundblad, P. S. W 63. Meijerberg, C. J 64. Ohlssn, A 65. Sundén, D. A. 65. Svenssn, A.» Törnberg, E. J 66. Wessman, Karl O Zachrissn, J. A Åberg, L Sid.

2 ^ GRANSKNING AF LÅROBÖCKER FÖR FOLKSKOLAN JEMTE GRUNDSATSER FÖR DERAS UPPSTÄLLNING. UNDERDÅNIGT UTLÅTANDE AFGIFVET DEN 24 MARS 1887 AF UTSEDDE KOMMITTERADE. TREDJE EÅKNIN&. HÄFTET. GEOMETRI. STOCKHOLM. P. A. N O R S T E D T & SÖ N E K.

3 OV. I-A. A. Grundsatser, Skall räkneundervisningen kunna fylla sin uppgift att föra Lärbkens lärjungarne till begripande af talen sjelfva ch de peratiner, sta $ ~ h ni med dem företagas, samt bibringa dem erfrderlig räknefärdighet ch förmåga att tillämpa räknesätten på praktiska uppgifter, så måste den bedrifvas på ett sådant sätt, att barnens eftertanke tages i anspråk, ch att ämnets behandling blir enkel ch.sökt ch så- ^-JcUU-rvV»^/- lunda fri från alla behöfliga föreskrifter ch regler. Härför är nödigt, att en enhetlig tanke genmgår det hela, så att det efter- Ljuy % följande alltid framträder sm naturlig utveckling af det föregående "^"^ ch utförandet af samtliga räknesätten, allt efter sm deras lika art kräfver, grundas på en allmän lag. Denna lag framgår ur det allmänna talbegreppet, sådant detta ter sig i vårt talsystem. På T**' *^'W4e^ lk grund häraf måste man först undersöka talbegreppet. Begreppet tal utgöres af tvenne mment, nemligen. antal ch talsrter, angående hvilket senare namn redgörelse finnes under terminlgien. Vårt talsystem är nemligen uppbygdt af talsrter, ch vi räkna alltid med antal af talsrter. Så är t. ex. 352 = 3 hundratal + 5 tital + 2 ental. Klargörandet af "talbegreppet hör naturligtvis till förberedande öfningar, hvilka, enär.falbegreppet innehåller två mment, blifva af tvenne slag, nemligen klargörande af antal ch klargörande af talsrter';-' Klargörandet af antal sker genm undersökning af talinnehållet (talens uppkmst, uppdelning i lika ch lika delar samt efter undersökning af delarne det helas återbildande af dessa). Dessa öfningar i sin fullständiga frm kunna begränsas till talmrådet 1 9, ty m större tal uppkmma, bildas nya talsrter, ch af dem har man icke heller större antal än ni.

4 RAKNING. Genm undersökning af talinnehållet förberedas derjcmte d kmmande peratinerna inm de fyra räknesätten, livadan ck vid anrdnandet af dessa öfningar hänsyn brttagas härtill. ^6r kla^ görande af talsrterna påvisar man deras uppkmst ch bildning samt utreder deras förhållande till hvarandra genm jemförelser ch förvandlingar. Talsrterna behandlas dck icke alla på en gång, utan i mn af behf ch efter barnens utveckling. Sålunda klargöras lieltalssrterna-först, under det att de öfriga uppskjutas, tills räkningen med dem kan begynna. De förberedande öfningarna böra vara mycket grundliga, emedan talbegreppet är den allmänna grundval, hvarpå all räkning skall byggas. Dessa öfningar utföras bäst muntligt. De enklare höra väl till småsklan, men det är dck lämpligt, att äfven några sådana upptagas i lärbken för flksklan till ledning för lärgången ch såsm repetitin af det i småsklan genmgångna. Det för flksklan afsedda bör deremt vara tillräckligt utförligt behandladt i lärbken. Genm undersökning af talen ch talsystemet finner man,(l)} att antalen alltid hänföra sig till någn talsrt( 2y att talsrterna alltid ingå åtskilda i talen, chqj)) att, när vid talens bildning nya talsrter uppkmma, dessa alltid sammanföras med dylika af samma slag, när sådana förut finnas. Ur dessa förhållanden framgår lagen för talsrterna, ch emedan äfven knkreta dekadiska srter samt andra strheter kunna underrdnas under den samma, kan den erhålla följande allmänna frmulering: (1) bltt strheter af samma srt kunna sammanläggas, fråndragas eller medelbart jemföras. Såsm en medelbar följdsats häraf ch af undersökningen m srters förhållande ch förvandling framgår, att (2) strheter af samma klass (se terminlgien) måste först förvandlas till strheter af samma srt, innan de kunna behandlas enligt den först nämda lagen. I närmaste samband härmed står ck följande för undervisningen vigtiga grundsats, hvilken bör tillämpas så fta det är möjligt, nemligen (3): i talen behandlas hvarje talsrt för sig, eller med andra rd: talen behandlas uppdelade i talsrter. Detta är alldeles det samma sm man gör, då- man säger eller tecknar ett tal, ty vare sig man säger

5 GRUNDSATSER. 5 tre hundra fem ti sju eller tecknar 357, fördelar man efter hundratal, tital ch ental. Innan kmmitterade framlägga grunddragen af räkneperatinerna för att visa, huru fvannämda satser te sig i tillämpningen, vilja de förutskicka en allmän anmärkning. Enär det vid undervisningen i aritmetik är af synnerlig vigt, att man utgår från åskådningen, så bör så väl vid de förberedande öfningarna, eller den allmänna inledningen (klargörandet af antal ch talsrter), sm vid klargörandet af ch inledandet uti hvarje särskildt räknesätt början göras med någt lämpligt åskådningsmaterial, t. ex. pinnar ch bundtar. af dem, kuber ch prismr, mätredskap, räkneram. d. Derefter användas lämpliga knkreta dekadiska srter, för framtiden valda från metriska systemet ch mynträkningen, hvarefter öfvergång sker till de abstrakta talsrterna ch talen. Utm det att denna rdning är lämplig såsm utgående från det knkreta ch öfvergående till det abstrakta, medför den derjemte den fördelen, att den s. k. srträkningen, i stället för att i lärbken behandlas för sig ch till ch med under frm af särskilda räknesätt, blir en integrerande ch dertill grundläggande del af de vanliga enkla räknesätten. Dck kunna såsm tillämpningsexempel efter decimalbråk upptagas lämpliga grupper af srtexempel till sammanfattning af srträkningen. Aldrig bör uppfattningen af talen grundas pä beteckningen eller siffrrnas plats, utan tvärt m meddelandet härm följa på begripandet af talen. Hvad nu sjelfva räknesätten beträffar, är redan i det föregående antydt att, så snart heltalssrterna (naturligtvis indelade i kurser efter deras strlek) är klargjrda, man öfvergår till räkning med dem, d. v. s. till de fyra räknesätten med hela tal. Härvid märkes, att hvarje nytt räknesätt ch nytt mment bör förberedas medelst lämpliga inledande exempel (»särskilda inledningar»). Vid additin har man intet annat att iakttaga, än att alltid lika srter (natur- 1 ligtvis inberäknadt talsrterna) läggas tillhpa (lagen 1), ch att, m så många fås af en srt, att en större srt kan bildas af dem, förvandling sker ch det uppkmna (det s. k.»minnestalet») lägges

6 c 6 RÄKNING. till de öfriga af samma srt, der sådana finnas (lagen 2). Vid subtraktin fråndragas samma srter från hvarandra (lagen 1), ch m minuenden har mindre antal af någn srt än subtrahenden, förvandlas 1 af en större srt ch lägges till den förstnämda (lagen 2), hvarefter fråndragning sker. Vid båda dessa räknesätt ske peratinerna med hvarje talsrt för sig (lagen 3), ch vid inledningarna behandlas de uppgifter, sm innehålla knkreta dekadiska srter, med fördelade srter just för att belysa detta. Vid multiplikatin bör hvarje talsrt behandlas ch i resultatet klargöras för sig (lagarne 1 ch 3), ch när behöfiigt är, förvandlas en mindre srt till större (lagen 2, s. k.»minnestal»), ch slutligen sammanläggas strheterna af samma srt hvar för sig (lagen 1). Alla regler m prduktsiffrrnas placering m. fl. bli härigenm öfverflödiga, liksm på mtsvarande sätt en mängd dylika vid öfriga räknesätt. När multiplikatrn är flersiffrig, användes äfven i denna, hvar talsrt för sig, ch de talsrter, sm är större än ental, uppdelas så, att det egentliga antalet ch det antal, sm ligger i talsrten, åtskiljas ch det sistnämda användes för att tlka ch behandla prduktsiffrans värde (talsrt). Ty för lättnad vid undervisningen kunna de större talsrterna betraktas såsm ental, bltt man i hvarje fall ihågkmmer, hvilken talsrt i multiplikatrn sm behandlas. Detta behöfves nemligen för den rätta tlkningen af hvarje prduktsiffras värde, hvilket berr af den för tillfället i multiplikatrn behandlade talsrtens förhållande till entalen, så att, m det multipliceras med tital, hvarje talsrt i prdukten genm förvandling ckså blir tifalden eller 10 gånger så str, sm m multiplikatinen skett med ental, ch vid multiplikatin med hundratal hundrafalden. s. v. Detta mment blir lätt, m i den allmänna inledningen titalsförhållandena rdentligen klargjrts. Så bör i ex. 316 x x 2 behandlas såsm 3x2 ental = 6 ental, men sm multiplikatrn var hundratal, följer deraf, att ck svaret blir hundrafalden eller hundratal d. v. s. 6 hundratal. Eller ck kan man först söka talsrten ch sedan mångfaldiga denna. Om t. ex. 2 ental skla tagas 300 gånger,

7 GRUNDSATSER. 7 tages först af entalen hundrafalden, hvarigenm efter vanlig förvandling talsrten hundratal erhålles, hvarefter dessa 2 hundratal tagas 3 gånger. Detta sista sätt är särskildt beaktansvärdt såsm stående i full harmni med förfaringssättet inm bråkläran. Emellertid bör lärbken här liksm vid multiplikatin i decimalbråk använda bltt det ena alternativet ch enligt kmmitterades åsigt helst det senare. Vid divisin i hela tal börjas med likadelning såsm det lättfattligaste. Hvarje talsrt för sig (lagen 3) delas i lika delar, ch öfversktten förvandlas till närmast lägre srt för att tillsamman med i talet möjligen befintliga dylika i sin tur delas. Förklaringen af hvarje qvtsiffras talsrt framgår härigenm af sig sjelf. För sökande af innehåll kunna enligt lagen 1 bltt lika talsrter jemföras, hvarför de särskilda talsrterna måste, så länge fråga är m hela tal, tänkas i ental, enär divisrn i hela tal alltid betraktas sm ental, men för att erhålla qvten angifven i vederbörliga talsrter sökes antalet gånger, sm divisrn innehålles i dividenden, efter fulla ti- ch hundratals gånger, hvarigenm resultatet medelbart framgår. Om man t. ex. söker, huru många gånger 12 innehålles i 732, så innehållas ej 12 ental i 7 hundratal eller 700 ental någt jemt hundratal gånger, men i 73 tital eller 730 ental 6 tital gånger, hvarför i qvten erhålles 6 såsm antal af titalen. Då denna frm dck är någt svårare än den förra, bör den samma följa efter likadelningen ch endast i krthet behandlas. När rest af entalen uppstår, bör denna enligt den allmänna lagen (2) förvandlas till lägre talsrt (bråksrt), men enär hittills endast heltalssrterna behandlats, böra dylika exempel uppskjutas, tills de brutna talsrterna, det vill säga det allmänna bråkbegreppet blifvit klargjrdt. För att dck icke för mycket åtskilja samhörande saker ch af den anledning, sm nedan namnes, nemligen att allmänna bråkbegreppet bör behandlas före decimalbråk, anse kmmitterade, att detta begrepps klargörande bör följa medelbart på divisin i hela tal utan rest ch sättas i sammanhang med likadelning, ch såsm exempel härtill böra nu divisinsexempel med rest upptagas.

8 8 B.ÄKNINO.. Att restbråket angifver ett antal af en lägre talsrt än ental, bör bär tydligt framhållas, ehuru det blir fullständigare klargjrdt först vid den fullständigare bråkläran. Den rdning, i hvilken talsrterna behandlas, är icke likgiltig, ch det är för öfrigt af föga gagn att, såsm det brukas i många lärböcker, behandla samma räknesätt med lika rdningsföljd i detta afseende, enär för enkelhet, reda ch fasthet bltt den bästa bör följas. Den allmänna grunden för rdningen kan uttryckas medelst följande skema: när efter peratinen en talsrt m möjligt skall förvandlas till större (additin ch multiplikatin) eller före peratinen en större möjligen måste förvandlas till en mindre (subtraktin), måste böljan göras med den minsta talsrten, men mvändt när efter peratinen en större talsrt måste förvandlas till en mindre (öfversktten vid divisin), så bör början göras med den största talsrten. Särskildt må påpekas, att exempel till muntlig öfning (s. k. hufvudräkning), sm upptagas för att inleda ett räknesätt, böra behandlas på samma sätt ch i samma rdning, sm sedan skall följas, s hvaremt hufvudräkningsexempel, sm innehålla s. k. genvägar, i fall sådana upptagas i lärbken, må upptagas endast såsm bihang till räknesätten. Läran m räkning med hela talsrter, de s. k. fyra räknesätten med hela tal, bildar en afrundad del. Från denna kmmer den följande att skilja sig icke genm några nya räknesätt, utan endast derigenm att med de samma räknesätten behandlas nya talsrter, nemligen de brutna. Häraf följer, att sjelfva räknesätten, lagarne för dem, reglerna, icke böra bli andra än för hela tal ch icke böra framställas med andra mdifikatiner än dem, sm betingas deraf, att man måste röra sig med ett annat slag af talsrter än förut. När sålunda nu nya talsrter skla framföras i räkneläran, blir det på grund af hvad förut är sagdt här nödvändigt att först klargöra dessas begrepp. De brutna talen, så väl allmänna bråk sm decimalbråk, är nemligen intet annat än särskilda talsrter, af hvilka vissa antal ingå i talen. 3 fjerdedelar är intet annat än 3 stycken af den

9 GRUNDSATSER. 9 talsrt, sm kallas fjerdedelar, liksm 3 hundratal, 3 krnr, 3 meter. s. v. innehålla tre stycken af sina vidkmmande srter. Nämnaren utvisar talsrten, hvilken vid hela tal såsm ck vid decimalbråk angifves genm siffrrnas plats. Liksm man fta vid andra tillfällen först behandlar enklare fall, så gör man ck här, i det att man först meddelar läran m de s. k. decimalbråken. Men för att lärjungarne lättare skla förstå decimalbråkbegreppet, göres dck en inledning m det allmänna bråkbegreppet, emedan det är lättare för nybörjaren att fatta delars natur, m det hela är deladt i ett mindre antal delar, t. ex. 2, 3. s. v.,, än m det är deladt i ett större antal sådana, t. ex. 10, 100. s. v. Efter en dylik mera allmän inledning m bråks uppkmst bör lärbken sålunda öfvergå till decimalbråken, dels emedan räknesätten här liksm vid hela tal på ett synnerligen lämpligt sätt kunna inledas genm exempel med knkreta dekadiska srter, dels äfven af den anledning att dessa bråk ör af str praktisk betydelse. Det är nemligen af mycket str vigt, att alla barn, innan de lemna sklan, få göra bekantskap med decimalräkningen, på hvilken vårt srtsystem är grundadt. Den svårighet, sm kan vara förenad med denna lärgång, bör lätt ng kunna öfvervinnas vid rätt behandling af titalsförhållandet under öfningen med hela tal,, hvilkas behandling erbjuder sökta anknytningspunkter till peratinerna med decitaalbråk. Inledningen till decimalbråk bör mfatta ett grundligt klargörande af decimalbråkbegreppet, dels med hänsyn till decimalsrternas uppkmst, dels med hänsyn till derasförhållande ch förvandling sins emellan, ty m denna sak blir grundligt ch planmessigt inlärd, framgår räknesättens behandling nära ng af sig sjelf. För additin ch subtraktin behöfver intet, annat sägas, än hvad fvan framstälts m hela tal, nemligen att bltt lika talsrter sammanläggas eller fråndragas (lagen 1), hvarvid förvandling sker af samma skäl sm vid hela tal (se fvan), ch hela skilnaden består deri, att man. här får behandla ch sins emellan förvandla icke ensamt hela talsrter, utan äfven decimala talsrter. För multiplikatin tillkmmer bltt det mment, sm mt-

10 10 RAKNING. svarar behandlingen i hela tal af andra talsrter än ental i multiplikatrn; det vill här säga att, när multiplikatrn innehåller decimalbråk, livar talsrt behandlas för sig ch uppgiften hvarje gång uppdelas efter talsrt ch antal antingen så, att talsrterna behandlas såsm ental, hvarefter prduktsiffrrnas talsrt tlkas medelst de talsrter, sm ingå i faktrerna i ex. 2,5 X 2,3 tages alltså 5 gånger 3 tindedelar, men på grund af att i multiplikatrn talsrten är tindedelar, blir prduktsiffrans talsrt hundradelar enligt de öfningar, sm ingå i inledningen till decimalbråk ; eller ck så, att först multiplikatrns talsrt användes för att erhålla ch klargöra hvarje prduktsiffras talsrt, hvarefter det begärda antalet af denna talsrt tages. Om t. ex. uppgiften är 2,3 X 6, bör man för multiplikatin af 6 med 3 tindedelar först taga tindedelen af entalen, hvarigenm erhållas tindedelar (6 tindedelar), hvarefter 3 gånger så många sådana tagas (18 tindedelar); ch m exemplet lyder 2,3 x 5,36, tages först tindedelen af hundradelarne, d. v. s. tusendelar, genm 3:ans talsrt (tindedelar), hvarigenm 6 tusendelar erhållas, hvarefter 3 gånger så många sådana tagas (18 tusendelar). Om i en prdukt förvandling kan ske, utföres den såsm vid hela tal (såsm i sistnämda exempel 18 tusendelar = 8 tusendelar ch 1 hundradel). Härvid är att märka, att bildandet af ch förvandlingen till lika slags delar är lätta saker, m de i inledningen blifvit grundligt ch väl behandlade samt baserade pä åskådningsmedel. Divisin i decimalbråk bör enligt den angifna genmgående planen behandlas så, att vid innehållsundersökning lika talsrter jemföras (lagen 1) antingen så, att både divisr ch dividend förvandlas till det minsta slags delar, sm finnas i endera (göras lik- nämniga), eller ckså, att divisrns minsta talsrt lägges till grund för jemförelsen d. v. s. divisrn ch mtsvarande talsrt i dividenden betraktas sm hela tal, hvilket alltid bör ske, när endast dividenden innehåller decimaler. Vid likadelning med decimaler i divisrn är enklast för klargöringen att fördela ut dividenden på antalet af divkms delar (talsrt) ch sedan söka svaret för ett

11 GRUNDSATSER. 11 helt genm multiplikatin. I följande exempel:»m säd skla -utsås på 2,3 ar, huru mycket på ett ar», sökes först mängden för ett tindedels ar genm divisin med 23, hvarefter mängden på ett ar fås genm multiplikatin med 10. Läran m allmänna bråk, sm härefter följer, blir nu fullständigare inledd, än hvad sm kunde ske vid inledningen till läran m decimalbråk. Till denna afdelning förläggas särskildt de mment, sm röra hithörande talsrters uppkmst ur hvarandra, förvandling ch jemförelse. Allmänna bråks förvandlingar (transfrmatiner) utgöras af förvandling till mindre delar (s. k. förlängning), förvandling till större delar (s. k. förkrtning) samt förvandling till samma slags delar (s. k. liknämniggörande). Vid förvandling till mindre delar tankes saken enklast så, att antalet mindre delar (nemligen det antal, sm finnes i ett helt) fördelas ut på antalet större delar. Om t. ex. /s skla förvandlas ä till 24:delar, så fördelas 24 tjugufjerdedelar ut på de 8 åttndedelarna, ch då kmma 3 på hvarje ch 15 på 5, alltså ä = /8 i- Förvandling af blandadt tal till egentligt bråk ch tvärt m är intet annat än förvandling mellan talsrter, nemligen mellan hela ch brutna, ch bör så betraktas. Blifva dessa förvandlingar med hjelp af lämpliga åskådningsmedel klart insedda, så är ck räknesätten lätta att förstå. Af den lagen att bltt lika talsrter kunna sammanläggas eller fråndragas framgår, att för additin ch subtraktin bråken böra göras liknämniga, ch att vid blandade tal de hela ch bråken kunna behandlas för sig. Uppkmna egentliga bråks förvandling till blandade tal följer af lagen m förvandling till annan talsrt (2), nemligen här från bråksrt till heltalssrt, ch lån från de hela vid subtraktin är en enkel tillämpning af lagen under 2 i full öfverensstämmelse med dess användning för lån i hela tal ch decimalbråk. Vid multiplikatin med bråk i multiplikanden, men helt tal i multiplikatrn (t. ex. 3 X /r) inskränker sig uppgiften 5 till att taga a,ntalet (i anf. ex. 5) af multiplikandens talsrt (i ex. sjundedelar) ett visst antal gånger (här i ex. 3 gånger, alltså 3x5 sjundedelar = 15 sjundedelar). Ar multiplikatrn ett bråk, så sker först,

12 12 RÄKNING. i full öfverensstämmelse med hvad fvan sagts m större hela talsrter ch decimala talsrter, ett sökande af den blifvande talsrten, för livilken peratin redgöres i inledningen till bråk, hvarest bråktals uppkmst behandlas. Derefter tages den samma talsrten så många gånger, sm antalet i multiplikatrn angifver. Om t. ex. uppgiften är att taga 3 /t af 25, tages först fjerdedelen af de 25 entaleu, hvarigenm erhålles \, ch dessa tagas 3 gånger, således j, hvarefter förvandling till blandadt tal sker enligt lagen 2. I ex.»m 1 kg. kstar 7 kr., hvad kstar ä /g kg.» sökes först priset på '/8 kg. genm att taga */g af 7 kr., d. ä. 7 /8 kr., ch sedan multipliceras med 5. Att söka 3 /4 af t. ex. 5 /8 sker genm att taga \/4 af /8, då -'/3, fås, 5 hvarefter dessa tagas 3 gånger, alltså '/32- I stället för talsrterna fjerdedelar ch åttndedelar fås således 32:delar (jemför algebr. 1! 3 a x 5 b = 15 ab). Att multiplikanden, m den utgöres af blandadt tal, icke behöfver förvandlas till egentligt bråk, framgår af den lagen, att hvarje talsrt bör behandlas för sig. Divisin i allmänna bråk har utgjrt en svår stötesten, ch man har nöjt sig med den mekaniska minnesregeln att vända upp ch ned på divisrn ch att sedan utföra en multiplikatin, hvilken peratin för barnen måste framstå såsm ett rent knstgrepp, i synnerhet sm förklaringarna vanligen är ganska långsökta. Enligt den nu framstälda lagen eller talsrternas lag blir till ch med denna sak ytterst enkel. När fråga blir m innehåll måste, enär endast lika srter kunna medelbart jemföras (lagen 1), båda talen förvandlas till samma slags delar (liknämniggöras), hvarefter innehållssökandet faller af sig sjelft. Huru många gånger 2 /n innehålles 1 2 eller f, blir lätt att inse, m båda talen förvandlas till nindedelar, ty att 2 /9 innehålles i 2i /9 12 gånger, är lika enkelt, sm att 2 krnr innehållas i 24 krnr 12 gånger. När fråga blir m delning med divisrer, sm innehålla bråk, delas uppgiften i tvenne. Först fördelas nemligen dividenden ut på antalet af divisrns delar, d. v. s. man fördelar ut på halfvr, tredjedelar, fjerdedelar. s. v., såsm man vid hela tal fördelar ut på entalen, ch derefter sökes svaret för ett helt genm multiplikatin. T. ex.:»hvad kstar 1

13 GRUNDSATSER. 13 lil., m 3 lil. ksta 75 krnr?» Fördelas 75 krnr ut på de 15 fjerdedelame genm delning med 15, så erhållas 5 krnr såsm priset på hvar fjerdedels hl., ch 4x5 kr. anger priset på 1 hl.*) Att divisrn här måste förvandlas från blandadt tal, m den utgöres af ett sådant, till egentligt bråk, framgår af lagen 1, ty man kan icke fördela ut dividenden i lika delar, m den icke delas ut på ett antal af samma srt, I stället för att efter hvartannat utföra båda peratinerna kan man begagna aritmetisk teckning, således i förestående exempel först 75 :15 eller {f ch sedan (75 :15) X 4 eller *^f±. Till denna allmänna grundplan kan naturligtvis ett eller annat tillägg göras. Här vilja kmmitterade särskildt påpeka några förfaringssätt, sm tydligt ch bestämdt böra angifvas såsm aritmetiska genvägar ch såsm sådana klargöras. Sådana är: multiplikandens förvandling till egentligt bråk före multiplikatinen; multiplikatrns ch multiplikandens förvandling till frm af bråk med förkrtning krsvis; den aritmetiska teckningen af divisin i bråk med eller utan förkrtning af gemensamma faktrer; täljarens ch nämnarens i divisrn mbyte af plats (divisrns»upp- ch nedvändande»); dividendens mångfaldigande med 10, 100. s. v. för divisin i decimalbråk i stället för qvtens mångfaldigande, enär samma resultat uppkmmer. Sådana genvägar böra dck aldrig upptagas, förr än räknesättet är fullt klart för lärjungen. För att det med räkneundervisningen afsedda ändamålet skall kunna på bästa sätt främjas, bör lärbken utgöras dels af en sam- *) Exemplen är anförda med siffrr, sm ange enkla ch åskådliga resultat, men äfven m t. ex. den första deluppgiften skulle lemna bråk till svar, blir klargörandet det samma. Om t. ex. i sistnämda exempel priset varit 74 kr. i stället för 75 kr., hade priset på '/«hl. blifvit 4jJ kr. ch på 1 hl. genm multiplikatin med 4 16f \ kr., d. ä. 19f J kr.. Vidare /.: 4 betyder intet annat än 3 att dela % i 4 lika delar, hvilket sker genm att dela talsrten (7:delarne) i mindre delar.här i 28:delar, alltså /2a. Uttrycket 6: f betyder antingen: huru många 3 gånger innehålles % i > hvilket sökes genm liknämniggöring ( 5 /; i V Vli = eller: m för */, af en sak åtgår 6, huru mycket för 1 hel, hvarvid 6 fördelas ut på sjundedelarne (f) ch svaret sedan erhålles genm mångfaldigande med 7. Ty liksm vid delning med helt tal man söker, huru mycket sm- kmmer på ett helt, så sker äfven i det här sist anförda fallet.

14 14 RÄKNING. ling väl valda ch ändamålsenligt rdnade exempel, dels ck af regler, sm framgå ur exemplen ch tjena till stöd för följande tillämpningsöfningar. För småsklan trde räknebk i allmänhet ej behöfvas, men m en sådan af en eller annan anledning skulle anses erfrderlig, så bör den samma innehålla endast- planmessigt rdnade exempel, hvarjemte den bör utgifvas särskildt, på det att ej priset på flksklans räknebk må nödigtvis höjas. I det följande kmmer derför hänsyn att tagas bltt till flksklans räknebk. Kmmitterade anse, att följande allmänna grundsatser böra iakttagas vid exempelsamlingens utarbetande. 1. Exempelsamlingen bör afse den skriftliga räkningen. Dck böra uti inledningarna, så väl den allmänna för talbegreppen sm de särskilda för räknesätten ch vid nya mment af de samma, hufvudräkningsexempel upptagas. 2. Sakexempel ch sifferexempel (se terminlgien), rdnade efter tilltagande svårighet, böra gruppvis mvexla. Sakexemplen, böra i allmänhet ch i synnerhet i de delar af bken, sm är afsedda för det lägre stadiet, föregå sifferexemplen. 3. Exempelsamlingen bör med hänsyn till så väl siffer- sm sakexempel vara tillräcklig både för klargörandet af räknesätten ch för deras inöfning, ch exemplen böra vara så beskaffade ch anrdnade, att barnens eftertanke tages i anspråk. Likartade exempel böra följa efter hvarandra, dels för att barnen må vinna nödig säkerhet i lösningen af ett slags uppgifter, innan de öfvergå till uppgifter af ett annat slag, dels ck för att lärarens arbete vid anrdnandet af de tysta öfningarna må underlättas. * T. TJénm någt slags typgrafisk utstyrsel böra särskildt utmärkas de svårare uppgifter, sm företrädesvis lämpa sig för lyckligare lttade sklr ch för mera begåfvade barn. 5. Vid hvarje följande räknesätt bör förekmma en grupp från de öfriga exemplen typgrafiskt afskilda blandade ch kmbinerade öfnings- ch tillämpningsuppgifter, sm afse äfven föregående räknesätt. (Jfr sid. 17).

15 GRUNDSATSER Exemplen böra i allmänhet väljas så, att de ansluta sig till förhållanden i det praktiska lifvet, ch få derför ej hafva knstladt innehåll eller vara mera invecklade, än de i verkligheten mötande, räkneuppgifterna vanligen är. Härmed må dck ej vara sagdt, att icke ett ch annat svårare exempel, sm är särskildt egnadt att göra uppfattningen af räknelagarne klarare, kan upptagas på lämpligt ställe. 7. De i exemplen använda talen vare ej öfver höfvan stra. 8. Gällande srter böra användas i alla exempel, i hvilka srter ingå, med undantag af dem sm afse förvandling från gamla srter till metersrter. 9. Exemplen må anrdnas så, att svaren blifva naturliga. 10. De i lärböckerna i räkning mycket fta under särskilda räknesätt upptagna reguladetri-, intresse-, prcent-, alligatinsfrågrna m. fl. böra icke hänföras till särskilda räknesätt, utan behandlas bltt såsm praktiska uppgifter, sm skla uträknas medelst de vanliga fyra räknesätten. Sådana exempel böra liksm andra lösas enligt sin egen innebörd ch på ett så naturligt sätt sm möjligt. Det är derför lämpligt att för dessa uppställa vissa skema eller frmulär, emedan lärjungarne då förledas att bltt mekaniskt söka inpassa ch placera uppgifternas siffrr i det uppgifna frmuläret, utan att undersöka ch söka tlka uppgifterna sjelfva efter deras vexlande innehåll. De ifrågavarande uppgifterna böra derför infgas såsm exempel under räknesätten ch upptagas i den mån deras svårighet betingar. När uppgifter med kmbinerade räknesätt förekmma, är det till en början lämpligt, att frågan allt efter uppgiftens egen natur upplöses i sina särskilda mment, hvilka uträknas efter hvarandra, men på ett mera framskridet stadium böra sådana uppgifter först aritmetiskt tecknas ch derefter uträknas. Den aritmetiska teckningen, på hvilken prf böra förekmma i lärbken, ch sm redan förut bör användas för exempel med ett enda räknesätt, sättes i harmni med ch baseras på uppgifternas innehåll, ch frågrnas upplösning i flera bildar den naturliga utgångspunkten härför, när fråga blir m kmbinerade räknesätt.

16 16 RÄKNING. Härvid inträder behfvet af parenteser. Dessa böra användas med plan ch reda, till begränsadt mfång ch på ett för lärjungarne lättfattligt sätt. Lämpligast är, att parenteser få msluta de peratiner, sm enligt textens innehåll skla utföras före en annan peratin, hvilken senare i sin rdning kan bli föregående till en hufvudperatin ch då i sin helhet äfven mslutes af parenteser. Möjligen kan man ju påpeka såsm öfvergång för dem, sm kmma att frtsätta vid läranstalter, der algebraisk räkning öfvas, att prdukter ch qvter af ensamma termer i vanliga fall kunua undvara parenteser. Den aritmetiska teckningen bör för öfrigt så behandlas, att den kan bilda förberedelse ch öfvergång till enklare eqvatiner. Eqvatinsbegreppet, enkelt behandladt, trde nemligen vara af ganska strt värde äfven på aritmetikens mråde. De regler, sm anses behöfliga i lärbken, böra vara krta, bestämda, enkla ch lättfattliga. Om fvanstående lärplan följes vid räkneundervisningen ch i lärbken, så blir ett helt litet antal sådana erfrderligt. De specialfall af regeln, sm behöfva i lärbken meddelas, böra så småningm angifvas genm antydningar, anvisningar ch slutledningar ur exempel, hvarefter de särskilda mmenten slutligen sammanfattas i en regel. Denna regel kan då antingen få sin plats efter samlingen af alla de exempel, sm tillhöra räknesättet; eller ck, hvilket synes kmmitterade lämpligare, kan den införas efter de exempel, hvilka tillhöra inledandet ch den erfrderliga inöfningen af de fall, ur hvilka den kan sökt visas framgå. Den kmmer då att möta barnen sm en sammanfattning af det, sm de vid inöfningen af räknesättet inhemtat, samt att föregå de tilllämpningsuppgifter, sm afse att inskärpa ch befästa det förut inhemtade. Om de särskilda klassernas kurser utgifvas i särskilda häften, bör alltid den sistnämda anrdningen iakttagas. Till förebyggande af den i lärböckerna stundm förekmmande sammanblandningen af reglerna för sjelfva peratinerna ch de anvisningar, sm erfrdras för deras rätta tillämpning på lika slags uppgifter, vilja kmmitterade framhålla önskvärdheten af att de förstnämda, eller reglerna för sjelfva peratinerna vid de särskilda

17 GRUNDSATSER. 17 räknesätten, i första rummet upptagas särskildt för sig, men att derefter pä vederbörliga ställen meddelas anvisningar för de inlärda reglernas tillämpning på vissa arter af exempel. Der det befmnes lämpligt att jemte den egentliga regeln upptaga en krtare minnesregel, eller en anvisning att på en genväg utföra en räkneperatin, bör denna anvisning införas strax efter den utförligare framstälda regeln. Beträffande de i en del räkneböcker förekmmande reglerna för pröfning af den utförda räkningens riktighet anse kmmitterade, att anvisningar till sådana pröfningar, sm ber på de för barnen bekanta räknesättens användning, icke är att förkasta. Deremt hålla de före, att prf, sm är fattliga för barnen, t. ex. de knstlade niprfven, icke hafva sin plats i den för dem afsedda lärbken. Till en förtydligande sammanfattning af hvad kmmitterade yttrat m exemplens rdningsföljd inbördes ch förhållande till regeln uppställes här följande skema enligt det senare alternativet för l-egelns plats, med den anmärkning att indelningen i särskilda mment icke bör föranleda till nödig splittring: A. 1. Inledningsexempel för enkelt fall af regeln. 2. Inöfningsexempel härför. 3. Inledningsexempel för nytt fall. 4. Inöfningsexempel härför. s. v. för alla fall. B. Regeln. C. Tillämpningsuppgifter, hvaribland exempel äfven för föregående räknesätt. Emellertid må anmärkas, att de särskilda fall, sm tillhöra den andra klassens kurs, kmma att stå efter regeln, hvarvid denna, der,så behöfs, måste kmpletteras (rest vid divisin). Såsm af det förut sagda framgår, är det, utöfver den kursindelning för årsklasser sm nrmalplanen angifver, endast tillämpningsöfningarna, sm lärbkens kursfördelning kan kmma att mfatta. Skulle någn lärbksförfattare anse lämpligt att sammanföra i särskilda häften hvad sm tillhör de särskilda klasserna, så hafva kmmitterade intet att erinra emt en sådan anrdning. Betänkande ang. Flksklans lärböcker. ** Kursfördelning.

18 18 RÄKNING. Bettctmtuj. I samband härmed vilja kmmitterade påpeka önskvärdheten af att nrmalplanens kurs för räkning i första årsklassen utvidgas derhän, att exemplen må kunna få mfatta äfven fyrsiffriga tal, dck att miiltiplikåtr ch divisr ej få vara mer än tvåsiffriga. Härigenm blifva svårigheterna icke nämnvärdt ökade, enär hvarje talsrt, sedan den klargjrts, vid räkningen behandlas sm ental enligt den meddelade grundplanen. Till den sjelfklara allmänna grundsatsen, att det i det vanliga aritmetiska språket brukliga beteckningssättet bör användas äfven vid undervisningen i flksklan, anse sig kmmitterade behöfva tilllägga endast följande erinringar. Räknetecknen böra vara enkla, bestämda ch tydliga, så att de ej leda till förvexling, samt följdriktigt genmförda. Uppställningar för räknesättens utförande böra få sin plats bland inledningsexemplen, der de första gången behöfvas. De böra hafva till uppgift endast vinnande af reda ch beqvämlighet, men må icke på någt sätt tjena hvarefter räkningen skall utföras. till ett slags frmulär eller schabln, Batiif- Beskrifningar, definitiner, förklaringar af termer ch annat dtfmåiiler dermed iemföi-ligt må meddelas i lärbken vid behandlingen af ch ter- J b minlgu ^et räknesätt, der de för första gången möta. Definitinerna böra vara så enkla ch lättfattliga sm möjligt, ch de må derför, så vida de i sin fullständiga frm anses kmma att på ett lägre stadium medföra svårighet att blifva riktigt uppfattade, der upptagas endast till den fullständighet, sm pröfvas för detta stadium nödig, ch sedermera vid behf fullständigas. Men så fta sm det är förenligt med förenämda frdran, bör åt definitinerna gifvas en så allmän frm, att de kunna användas på lärbkens hela mråde. Så bör t. ex. sägas: att multiplicera är att taga multiplikanden så många gånger, sm multiplikatrn utvisar, eller att söka antalet för multiplikatrn, när antalet för ett helt är kändt; ch att dividera är 1) att dela ett tal i ett visst antal delar, eller att söka antalet för ett helt, när antalet för divisrn är kändt, ch 2) att undersöka huru många gånger ett tal innehålles i ett annat.

19 GRUNDSATSER. 19 «Definitinerna må icke förvexlas med redgörelse för förfaringssättet. Vill man t. ex. definiera bråks förlängning, så får man icke säga: förlänga bråk är att multiplicera tälj are med ch nämnare samma tal; utan: förlänga bråk är att förvandla större delar till mindre, hvilket sker genm att multiplicera. s. v. Om det än i allmänhet är önskvärdt, att från främmande språk lånade uttryck undvikas i framställningen, så böra dck de allmänt brukliga tekniska termerna användas i de fall, då enkla ch naturliga inhemska uttryck ej finnas att tillgå. Terminlgien bör alltid vara fast, bestämd ch klar. Sålunda bör t. ex. uttrycket»enhet» icke begagnas i betydelsen»ental» ch icke heller i betydelsen af»ett helt» eller»det hela». I fråga m indelningen af de aritmetiska strheterna råder mycken förbistring, ch terminlgien rörande dem användes mycket bestämdt. För vinnande af reda föreslå derför kmmitterade, att med»strheter af samma klass» må menas sådana strheter, sm genm förvandling kunna öfverföras till hvarandra, t. ex. krna ch öre; meter, decimeter ch centimeter; meter ch ft; hundratal ch tital; ch att med»strheter af samma srt» må förstås sådana, sm innehålla samma slags enhet, t. ex. 5 kr. ch 3 kr., 6 m. ch 3 m. Längdsrterna bilda sålunda till hpa en klass, vigtsrterna en annan. s. v. Talsrterna bilda en särskild klass, abstrakta dekadiska ch icke-dekadiska srter, i mtsats till de knkreta dekadiska ch icke-dekadiska srterna. Inm talsrterna kunna sedan urskiljas lika underafdelningar:»hela talsrter» (»ental»,»tital»,»hundratal»,»tusental». s. v.) ch»brutna talsrter», hvilka senare sönderfalla i allmänna bråksrter ch decimalbråksrter.»abstrakta exempel» ch»knkreta exempel»,»exempel» med benämda tal» ch»exempel med benämda tal» är egentliga namn. I stället föreslås till användning»sifferexempel» ch»sakexempel». Likaså är benämningarna»benämda tal» eller»knkreta tal» samt»benämda tal» eller»abstrakta tal» egentliga, ty alla tal är i sjelfva verket abstrakta. Det är af synnerlig vigt, att så väl räknebken sjelf sm facit- ö/veraubken så anrdnas, att de blifva öfverskådliga ch lätthandtcrliga.

20 20 RÄKNING. srtindei- Härtill bidrager i hög grad, förutm lämplig uppställning ch ändamålsenlig numrering, att innehållet åskådliggöres genm passande öfverskrifter ch randrubriker. Srtindelningstabellerna böra upptaga de genm lag antagna srmngstaliel- _... ler m. m. terna ch uppställas i tvenne afdelningar i den rdning de inm hvarje afdelning anses böra vid undervisningen inträda, nemligen: A. Tabeller för 1) penningräkning, 2) tidsindelning ch 3) stycketalsräkning. B. Tabeller för 1) längd-, 2) yt- ch 3) rymdmått samt 4) vigtet. Efter dessa bör lärbken inrymma de förnämsta kulturländernas myntsystem med reduktinstal för förvandling till vårt samt äfven af de äldre svenska srterna sådana, sm kunna anses ega vigt, då de ännu finna någn allmännare användning i tal ch skrift, hvarjemte ck reduktinstal samt en eller annan anvisning bör meddelas för de senares öfverförande till de i lag stadgade. Srtindelningstabellerna böra få sin plats i slutet af bken, i hvilken må hänvisas till dessa, så fta sådant finnes vara behöfligt. Utgifves lärbken i flere häften, så böra tabellerna införas i slutet af det första. Multiplikatinstabellen, hvilken inöfvas så åskådligt, praktiskt ch ändamålsenligt sm möjligt, bör intagas i lärbken ch helst få enahanda plats sm srtindelningstabellerna.

21 B. Granskning. Lundeqvist, A. E., Mer än 1,000 räkneuppgifter för flksklan. De fyra räknesätten i hela tal, bråk ch srter, jemte regula de tri, intresseräkning ch gemetri. Hemlexr VI. Elfte förändrade upplagan. Jönköping, Nrdströmska bkhandeln, tryckt i C. J. Lundgrens Enkas bktryckeri sidd. Pris med facit 15 öre. Lundeqvist, A. E., Hemlexr för flksklans barn. I. Rättstafning, räkning ch gemetri. 23:e förändrade upplagan. Jönköping, Nrdströmska bkhandeln, tryckt i C. J. Lundgrens Enkas bktryckeri, sidd. Pris 12 öre. På det lilla mrådet af 32 sidr har förf. inrymt sina»mer än 1,000 räkneuppgifter» ch rdnat dem efter den vanliga lämpliga indelningen i en mängd räknesätt, såsm de fyra räknesätten i srter, regula de tri m. m. Dessa räkneuppgifter kunna användas endast för ett rent mekaniskt inlärande af räknesätten, ch så väl beskaffenheten af dem sm anrdningen (t. ex. subtraktin, multiplikatin, divisin i decimalbråk m. m.) ådagalägger klart, att någt annat mål icke heller åsyftats. Detta framträder ännu tydligare, då man med dessa räkneuppgifter jemför förf:s Hemlexr för flksklans barn i räkning ch gemetri, hvilka utgöra en samling frågr ch svar, hvarur några prfbitar må anföras. Sid. 17:»I hvad förhållande stå dessa siffrr till hvarandra? Hvarje siffra till venster af samma värde är ti gånger större än den närmaste till höger».» 17:»Huru uppnämner du fvanstående tal? Jag säger tre milliner femhundra sextifyra tusen trehundra tlf.»

22 22 RÄKNING. Sid. 22:»Huru gör man ett blandadt bråk till egentligt? Man multiplicerar det hela talet med nämnaren, adderar dertill täljaren ch sätter denna sumprdukt (!) såsm täljare med den förre nämnaren till nämnare, t. ex. 2'/4 = /4.» 9 Enär räkneundervisningen måste förfela sitt ändamål, m den nedsjunker till inlärande af dylika fullkmligt mekaniska s. k. hemlexr, ch enär förf:s räkneuppgifter är uppstälda utan hänsyn till någn lämplig lärgång, måste kmmitterade afråda från allt användande af så väl hemlexrna sm räkneuppgifterna. Svenssn, J. A., Handledning i räknelära ch gemetri med krta regler, beskrifningar ch mkring 2,000 öfningsexempel, grupperade efter nrmalplanen för småsklr ch flksklr. Andra upplagan. Sandsjö, författarens föidag. Tryckt i Jönköping hs H. Halls bktryckeri-aktieblag sidd. Pris 25 öre. Efter en inledning m grundenhetstal ch siffrr samt m tital ch tecken behandlar förf. de fyra räknesätten i hela tal i två kurser, den förra med mindre, den senare med större tal, hvarefter följa decimalbråk cli allmänna bråk samt slutligen en afdelning, sm har till öfverskrift:»räknesättens praktiska användande». Emt en dylik indelning, sm upptager räknesättens praktiska användande såsm ett sista kapitel, må anmärkas, att räkneundervisningen redan i det föregående bör afse den praktiska användningen. Denna rubrik begagnas här (sid. 35) endast såsm en gemensam skylt för de gamla räknesätten: enkel regula de tri, ränteberäkning, blagsräkning, kedjeräkning. s. v. Den allmänna inledningen utgöres af mycket rdnade småskleöfuingar inm talmrådet 1 10, af hvilka de flesta hafva föga värde. För titalssystemet redgöres icke på annat sätt än genm att visa, huru man räknar i rdning från 1 till mkring 50. Exempelsamlingarna är icke rdnade med hänsyn till räknesättens förklaring; någn annan rdning kan icke skönjas, än att exempel med mindre tal gå före sådana med större. Den enda förtjenst man kan finna hs dessa exempelsamlingar är, att reduktin af srter föres till

23 GRANSKNING. 2;s multiplikatin ch divisin ch icke såsm vanligt till ett särskildt räknesätt. Exempel, sm innehålla srter eller förutsätta bruk af åskådningsmateriel, användas icke till grundläggning af räknesättens uppfattning, ch någn klargöring af talsrterna i detta syfte finnes hvarken i texten eller i exemplens anrdning. Först efter de fyra räknesätten med hela tal af mindre strlek redgör förf. för talsrterna, men detta sker på sådant sätt, att han under rubriken»siffrrnas värdeförhållande till hvarandra i större tal» helt krt angifver siffrrnas värde med hänsyn till»de rum», i hvilka de stå, ch utan vidare genast behandlar alla talsrter från ch med trilliner ända ned till millindelar. Omedelbart härefter öfvergår han till srters förvandling. Detta kapitel slutar med en knstmessig framställning m decimalkmmats flyttning åt höger ch åt venster (sid. 11), hvilken framställning säkerligen blir mycket svårfattlig för lärjungar på detta stadium ch sannlikt kmmer att leda till mycken säkerhet i decimalbråks användning. Vid behandlingen af de fyra räknesätten med hela tal inm större talmråden redgöres för uppställning ch uträkning. Härvid har förf. i hörjan grundat framställningen på talsrterna. Stundm användes dck alltför str mständlighet, t. ex. i fråga m lån (sid. 15), ch stundm hade en större klarhet varit behöflig, t. ex. beträffande specialprdukternas behandling vid multiplikatin (sid. 17). Vid divisin har förf. deremt öfvergått till ett rent mekaniskt, framställningssätt. Då härtill kmmer, att inledningsexempel till räknesätten helt ch hållet saknas såsm sådana kunna icke de i första kursen befintliga anses, måste denna lärbk hänföras till sådana, sm behandla räkningen mekaniskt. Vid decimalbråks ch allmänna bråks behandling framträder ännu mer förf:s mekaniska förfaringssätt. Såsm prf härpå må endast aftryckas redgörelsen för multiplikatin i decimalbråk (sid. 25):»den faktr, sm har decimaler, uppställes mångdubblad med 10, 100, 1,000,. s. v.», (förf. hänvisar här till fvannämda»flyttningsmetd»),»så att den får utseende af helt tal, hvarefter uträkningen verkställes sm multiplikatin i hela tal. Sist delas prdukten med lika många

24 2-1 RAKNING. 10-, 100- eller 1,000-tal, sm uppställningen mångdubblats. Deri- 2'enm får lian sitt rätta värde ch decimalerna blifva lika måns-a sm sammanlagda antalet decimaler i faktrerna.» Såsm prf på reda i framställningen må upptagas redgörelsen för bråks förlängning, sm i sin helhet lyder så (s. 28):»ett bråk förlänges, m både tälj are ch nämnare multipliceras med ett ch samnia tal; detta tal, vanligen en faktr till nämnaren i ett annat bråk, är qvten af den större nämnaren, dividerad med den mindre.» För regula de tri använder författaren den s. k. enhetsmetden, men i stället för att låta lärjungarne eftertänka förfaringssättet, lemnar han den mekaniska föreskriften att, m svaret skall bli mera eller större än det, likartade talet i frågan, så får man multiplicera med det större ch dividera med det mindre af de båda andra talen, ch tvärt m (sid. 35). För ränteberäkning nöjer sig förf. med att helt enkelt uppställa fyra frmler. Språket är fta mindre gdt. Utm de mycket förkastliga s. k. blindfrågrna (t. ex. sid. 2:»1 öre till 1 öre gör»?»1 öre ifrån 2 öre rester»?) möta äfven eljest besynnerliga uttryck, t. ex. det nyss anförda»rester»; sid. 7:»af följande tabell genmadderas en klumn i sänder». Enär denna lärbk i det hela står på mekanisk ståndpunkt samt har ett redigt ch klart framställningssätt, så måste användandet af den samma lända till föga gagn fr räkneundervisningen. Schelin, P. JSr., Råknelära {efter nya srtersindelningen ch metersystemet) för nybörjare ch dem, sm på egen hand vilja lära sig räkna, jemte det allmännaste af gemetrien. Tillegnad barn- ch söndagssklr. Tlfte förbättrade upplagan (steretyperad). Stckhlm, F. & 6. Beijers förlag, tryckt hs A. L. Nrmans bktryckeri-aktieblag sidd. Pris 50 öre. Innehållet i denna räknelära utgöres af»de fyra enkla räknesätten, decimalräkningen, srter, bråk, regula de tri, intresseräkning, rabatträkning, kedjeräkning, blagsräkning, det allmännaste af gemetrien, frmler till gemetrien ch de så kallade gamla srterna».

25 GRANSKNING. 25 ' Häraf synes, att det aritmetiska lärstffet är rdnadt i en mängd knstlade räknesätt. Hvart ch ett af dessa föregås af långa mekaniska minnesregler m huru lärjungarne i de särskilda fallen skla göra, ch i detta afseende öfverträffar denna lärbk ganska fta de flesta andra. Så lemnas sådana föreskrifter, sm att >vid uppställningen af ett additinstal enhetsraden alltid skall varajemn ch fulltecknad» (sid. 7); att siffrr»bibehållas i minnet»,»antecknas i minnet» ch»hållas i minnet» (sid. 9 m. fl.);»att man måste nga tillse, att den första siffran från höger alltid kmmer midt under den siffra, hvarmed man multiplicerar» (sid. 20),»ch de följande siffrrna sättas i gd rdning åt venster»;»att man» i dividenden»afskiljer (till venster) så många siffrr, sm det är siffrr i divisrn; men m divisrn icke innehålles deri en gång, ökas det afskilda talet med en (den närmaste) siffra till» (s. 24);»till resten nedflyttas ur dividenden nästa siffra, ch då uppstår deraf en ny dividend». s. v. På sid. 33 får man veta att,»när täljaren blifver lika str med nämnaren, är det icke längre ett bråk», men några rader längre ned underrättas man, att»egentligt bråk kallas det bråk, sm har täljaren större eller lika str med nämnaren». För subtraktin i decimalbråk (sid. 39) lemnas t.. m. så nggrann föreskrift, sm att minuenden skall»skrifvas först». Uttalandena:»större srter förvandlas till mindre genm multiplikatin med reduktinstalet, ty multiplikatin ökar, ch man får antalet större» (sid. 45);»mindre srter förvandlas till större genm divisin med reduktinstalet, ty divisin minskar, ch man får antalet mindre» (sid. 46);»man multiplicerar 15 år med 12, hvilket gör 180, sm blir månader» (sid. 46);»man vänder upp ch ned på divisrn, hvarigenm divisinen förvandlas till multiplikatin» (sid. 76) är ytterligare exempel på huru förf. behandlar sitt ämne. Att anföra alla dylika egentliga ch riktiga uttryck vre det samma sm att afskrifva större delen af bkens text. Att det sätt, hvarpå lärämnet behandlats i denna lärbk, medför ringa, m ens någt, resultat i fråga m uppöfvande af lurjungarnes förmåga att uppfatta de aritmetiska, frågrnas innebörd

26 26 RÄKNING. ch att på eftertankens väg lösa dem, trde framgå af hvad redan yttrats ch bestyrkes dessutm till full af förf. sjelf. På sid. 29 efter frågan»huru mycket är 286 krnr mera än 182 krnr»? säger han nemligen:»här kan rimligtvis ej gissas på andra räknesätt än additin ch subtraktin». Det är ju ett bevis på att det aritmetiska lärämnet behandlats lämpligt, att lärjungarne, när de kmma till blandade exempel efter hela tal, för lösandet af en dylik enkel fråga nödgas gissa sig fram. Exemplen utgöras i hela tal förnämligast af sifferexempel, åtföljda för kvart särskildt räknesätt af 5, högst 10 sakexempel. Afdelningen m decimalbråk innehåller för hvarje räknesätt 10, högst 15 exempel, hvilka nästan utan undantag är sifferexempel. Regula de tri (»regeln m tre»),»sm lärer, huru man af tre gifna tal skall finna det fjerde», inledes af en fyra sidr lång afhandling m prprtin, analgi, föregående ch efterföljande termer, rsak ch verkan; den s. k. enhetsmetden vidröres endast i en anm. på sid. 80. Att denna lärbk icke är lämplig för undervisning i räkning, framgår af det anförda. Kellin, Sv. O., Nya räknenötter för flksklans lärjungar. I. Prgressiva öfningar i de 4 räknesätten med liela tal, decimaler ch srter, anrdnade med ledning af»nrmalplanen» ch»kmiterades granskning» samt med sjelf kntrllerande facit. Utgifvarens förlag. Tryckt i Malmö, Frssell db Lundgrens bktryckeri, sidd. Pris häftad 40 öre, kart. 50 öre. Kellin, Sv. O., Nya räknenötter. II. Praktiska uppgifter för räkneknstens tillämpning (äfven å gemetrien), anrdnade med ledning af»nrmalplan för undervisn. i flksklr», med egendmliga facit, sm kntrlleras utan facitbk. Utgifvarens förlag. Tryckt i Malmö, Frssell & Lundgrens bktryckeri, sidd. Pris 30 öre (med facit 35), banden 37 öre. Kellin, Sv. O., Den mutlige mnitören, genm hvilken läraren kntrllerar utan facitbk uträkningen af»räknenötter för flksklans lärjungar», jemte antydningar m dessa öfningars ändamål ch användning samt förteckning å deras' facit. Författarens förlag. Tryckt i Malmö, Frssell & Lundgrens bktryckeri, sidd. Pris 50 öre.

27 GRANSKNING. 2" Kellin, Sv. O., Tillägg till»den mutlige mnitören» m de nya räknenötterna. Författarens förlag. Tryckt i Malmö, Frssell d> Lundgrens bktryckeri, sidd. Pris 20 öre. Förf. till dessa fyra häften har uppstält räkneöfningar med så beskaffade svar, sm efter en enkel princip kunna pröfvas lätt ch säkert utan facitbk. Han kallar dessa öfningar räknenötter, ch deras uppgift säges vara att bereda de båda fördelarne: uppmuntran för lärjungarne ch tidsbesparing för läraren. Säkerligen vinnes dck föga tidsbesparing, helst flere lika principer för finnandet eller kntrllerandet af facit måste inläras vid de särskilda räknesätten, ch ett vida verksammare medel för lärjungaines uppmuntran trde vara att behandla lärämnet så, att de få intresse derför.. De åtgärder, sm vidtagits för vinnande af de med nötterna afsedda fördelarne, hafva deremt haft till följd åtskilliga lägenheter, sm göra dessa räkneböckers användande mindre lämpligt. Det mål, sm förf. åsyftat vid utarbetandet, har nemligen varit att erhålla svar af en viss beskaffenhet, men deraf har följden åter blifvit, att exemplen måst knstrueras efter ch blifva berende af svaren. Någn hänsyn till sjelfva ämnets behandling har således näppeligen kunnat tagas; de härför erfrderliga principerna hafva måst vika för de gdtyckligt knstruerade principerna för kntrllerande af facit. / Enär alltså dessa räknenötters förmenta förtjenst är af ett tvifvelaktigt värde ch de mment, sm vid räkneundervisningen böra utgöra hufvudsaken, här är helt ch hållet undanskjutna, så trde de icke böra kmma till användning i sklrna, m ck erkännas måste, ä"tt åtskilliga exempel är i ch för sig gda. Fröberg, A* P., Lärbk i räkneknsten. I sammandrag för flksklr ch flkhögsklr utarbetad. Götebrg, N. J. Gumperts bkhandels förlag, tryckt å Götebrgs Handelstidnings aktieblags tryckeri sidd. Pris 1,25 kr. Den Ofvanstående lärbk behandlar sitt innehåll i fyra afdelningar. första mfattar läran m hela tal, den andra läran m decimal-

28 28 RÄKNING. bråk ch den tredje läran m allmänna bråk. Den fjerde afdelningen innehåller under rubriken»de fyra räknesättens praktiska användning» en mängd likartade räknesätt, nemligen enkel regula de tri, sammansatt regula de tri, prcenträkning, intresseräkning, rabatträkning, disknträkning, blagsräkning, kedjeräkning, digniteter ch rötter, samt en gemetrisk afdelning ch åtskilliga tabeller. Efter decimalbråk ch allmänna bråk upptagas srträkningsexempel under rubrikerna»srters förvandling»,»de fyra räknesätten i srter» ch»bråks tillämpning på srter». Dessa exempel liksm ck de behöfliga af de under den fjerde afdelningen upptagna hade brt inrdnas såsm exempel under de fyra räknesätten i hela tal ch bråk, hvarigenm de många räknesätten kunnat till antalet betydligt förminskas ch öfvermåttet af regler ch förklarade föreskrifter undvikas. Lärbken har en mycket rikhaltig exempelsamling, ch den praktiska anrdningen är vidtagen, att efter de flesta räknesätten meddelats blandade öfningar med exempel, sm afse äfven föregående räknesätt, såsm redan vid subtraktin i hela tal (s. 30). Uppgifterna är dck alltid betraktade såsm öfnings- ch tillämpningsexempel, ch förf. har icke sökt att genm inledande exempel klargöra räknesätten. Han utgår i stället från reglerna, hvilka vanligen gifvas utan förklaring ch på ett fullkmligt mekaniskt sätt. Visserligen meddelas anvisningar för uträkning ch s. k. mönsterexempel, men i allmänhet är dessa lika mekaniskt behandlade. Förf. ställer sig sålunda på den mekaniska metdens ståndpunkt; endast undantagsvis finner man ansatser till ämnets behandling efter en utvecklande metd. Hvarkeu vid hela tal eller vid decimalbråk är reglerna förmedelst redgörelser för talsrterna baserade på talsystemet, ch exempelsamlingarna vid räknesätten är aldrig inledda med exempel från knkreta dekadiska srter. Detta har haft till följd, att framställningen i allmänhet blifvit mycket abstrakt. I inledningen (ss. 3 9) går förf. stundm från tecknen till namnen, såsm vid entalen, stundm från namnen till tecknen, så-

29 GRANSKNING. 29 sm vid titalen ch hundratalen, men såsm förtjenst måste räknas, att lärjungarne få på de särskilda stadierna vexelvis sönderdela ch skrifva tal. Sjelfva talbegreppen, deras uppfattande ch inlärande, hade brt behandlas med någt mera msrg ch mera praktiskt. Genm användande af dekadiska srter hade detta mment blifvit mera knkret. Vid redgörelsen för decimalernas betydelse (ss ) utgår förf. från beteckningen, d. v. s. från siffrrnas plats, ch söker att derifrån leda sig till uppfattningen af sjelfva saken eller talsrterna. Han kmmer dck bltt till delarnes namn, ch liksm vid hela tal försummar han eller vidrör bltt flygtigt det vigtigaste mmentet. Han hade i stället brt först utreda decimalbråkbegreppet, d. - v. s.»slag af delar» (talsrterna), ch från denna utgångspunkt leda sig till namn ch beteckning. Följden af det af förf. använda framställningssättet blir, att lärjungarnes verksamhet vid sådana öfningsuppgifter, sm finnas upptagna på sid. 76, kmmer att bestå i bemödandet att enligt det uppgjrda skemat på vederbörliga ställen inskjuta decimalerna, samt att de i det följande sakna stöd för behandlingen af decimalbråk, emedan de icke fått en klar uppfattning af de decimala talsrterna. Exemplen är från förfts ståndpunkt i allmänhet väl valda, men är/stundm alltför stra. En sådan mängd stra sifferexempel sm på sidd. 41, 87 (ex. 132), 92 är tröttande ch lämplig. Hela innehållet på sidd bör med undantag af några lättare blandade exempel utgå, emedan talet m s. k. sammansatta bråk är öfverflödigt samt det största antalet af de här anförda exemplen saknar all praktisk betydelse ch endast tjenar att skapa svårigheter ch spetsfundigheter. Stundm lemnas dessutm ganska svåra saker i denna afdelning utan förklaring, t. ex. behandlingen af en del exempel på s. 218 ch följ. (se särskildt sådana exempel sm 698). En ledning hade ck behöfts vid åtskilliga andra enstaka exempel, t, ex. s. 65: 617; s. 66: 623; s. 157: -650 (hvarest anm. i sjelfva verket icke gifver någn förklaring).

30 30 RÄKNING. Anvisningarna för uträkning vid de fyra räknesätten i hela tal (ss. 9 48) är rent mekaniska, ch fta begagnas mycket mekaniska uttryckssätt, t. ex. sammanlägga siffrrna, öfverflytta, vidfga, öka (i bet. skrifva till). s. v. Detta berr derpå, att förfaringssättet icke grundar sig på redgörelse för talsrterna; de här gifna anvisningarna blifva derför i denna del icke tillfredsställande. Hade : förf. vid hela tal utgått från den grundsatsen, att bltt lika talsrter kunna sammanläggas eller fråndragas, så hade de långa ch nödiga upprepningarna kunnat undvikas vid decimalbråk (ss ). Stundm saknas redgörelse för förfaringssättet eller är den fullständig, t. ex. för multiplikatin i decimalbråk (s. 85), der redgörelse lemnas endast beträffande jemna 10-, 100-, 1,000-tal, 0,1, 0,i, 0,i. d., samt för divisin i decimalbråk (ss ). Vanligen är sjelfva grunden till förfarandet icke klargjrd, t. ex. s. 192, reg. 7; s. 89, reg. 2. Den behandling af divisin i bråk, sm är angifven s. 212 i anm., hade lämpat sig bättre till utgångspunkt (jemförelse af lika talsrter) i stället för att affärdas i en anmärkning. Att förvandla till minsta srt vid srttals behandling (ss. 132, 139, 147, 155) är lämpligt, i synnerhet när reduktinstalen icke är dekadiska. Sedan man ersatt den s. k. analgimetden, i synnerhet i dess mest mekaniska frm, med den s. k. enhetsmetden, har denna senare stundm blifvit drifven till ytterlig fullständighet. Förf. går mycket långt i detta afseende. I stället för att genm lämpliga frågr vägleda lärjungarne till att tlka exemplen efter deras egen innebörd ch, der så behöfs, förenkla uppgiften, meddelar han under rubriken»uträkningar» (ss , 256 7, 268 9, 273 5, 285 7) ett slags frmulär, hvarigenm hela räkningen blir mycket mekanisk. Särskildt visar mm. 4 på sid. 274 ch mm. 2 på sid. 269, huru det enkla kan göras knstigt. Lärjungarne förledas att i stället för att använda eftertanke försöka att inpassa sifferuppgifterna i ett gifvet frmulär, äfven m specialsvaren är hur rimliga sm helst; ch upplysningen i mm. 2 på sid. 269, att 100 gifver 350,4 kg, visar hur frmulärmetden kan leda vilse, ty 100

31 GRANSKNING. 31 gifver 80 kg på grund af 80 % Särskildt vid prcent- ch intresseräkning hör förenkling ske genm att fasthålla ch enkelt tlka prcentbegreppet. Bland exemplen för prcenträkning trde för öfrigt flere finnas, sm svårligen kunna lösas med ledning af mönsterexemplen, t. ex. ss :128, 132, 138. Hade det i mm. 2 å sidd angifna förfaringssättet användts till utgångspunkt, så hade framställningen af ränteräkningen kunnat blifva mycket enklare. Reglerna är i allmänhet, såsm förut antydts, mycket mekaniska ch meddelas i Öfverdrifven mängd, t. ex. ss Regeln 3 på sid. 191 är alldeles öfverflödig ch en försämring af reg. 1, ch regeln 2 hade kunnat vara mycket krtare ch derigenm enklare. De på sid. 204 i nterna angifna reglerna visa, till hvilken rimlighet mekaniska regler kunna gå. Med den minsta eftertanke blir saken högst enkel för lärjungarne, men på detta sätt ytterst knstig. Enligt den använda metden utgöra reglerna utgångspunkten ch den enda ledtråden, mén fta är de alltför invecklade för detta ändamål. Stundm kunna exempel, sm i ch för sig är gda, enär de taga eftertanken i anspråk, svårligen lösas endast med tillhjelp af reglerna, t. ex. s. 182: Definitinerna är stundm mindre gda. Den första definitinen på subtraktin (s, 21) är lämplig, synnerligast såsm utgångspunkt. Det ständiga upprepandet af rdet tal (ss. 21, 34) gör definitinerna abstrakta för lärjungarne. Att föreskrifva att multiplikatrn alltid skall stå sist (ss. 34, 148) är riktigt, ch de båda lika afiäsningarna af multiplikatinstecknet (s. 34) är berende på multiplikatrns lika ställning i förhållande till multiplikanden.*) Såsm definitiner på bråks förkrtning ch förlängning användas redgörelser för peratinerna (ss. 181, 182, 187). Såsm öfverfiödiga termer kunna anföras uttrycken»stambråk» ch»afledda bråk» (s. 176), af hvilka det förstnämda dessutm användes i *) I åtskilliga andra räknelärr föreskrifves likaledes, att multiplikatrn skall stå efter multiplikanden. I fråga m dessa vilja kmmitterade hänvisa till den här gjrda anmärkningen, sm ej kmmer att upprepas i det följande.

32 32 RÄKNING. C O två lika betydelser (ss. 176, 229), ch likaså»sinsemellan primtal» (s. 183), hvilken term fördunklar den egentliga betydelsen af primtal. När förf. talar m att»strheter sägas vara likartade», menar han srter af samma kategri, d. v. s. af samma klass, ch han identifierar detta uttryck med»strheter af samma slag»; för»strheter af samma srt» har han användt termen»liknämda» ch i mtsats härtill»liknämda» (s. 98), ehuru han i det följande icke begagnar dessa uttryck (se t. ex. ss. 130, 138, 246). Utm det att dessa senare termer är behöfliga, är deras bruk att afråda äfven af den rsak, att de lätt föranleda till förvexling med termerna»liknämniga» ch»liknämniga». Förf. försummar det vigtigaste mmentet, nemligen att klargöra skilnaden mellan strheter af samma srt ch strheter af samma klass (kategri, art), af hvilka de förra kunna jemföras medelbart, men de senare endast medelbart, d. v. s. förmedelst reduktin. På grund af denna underlåtenhet råkar han i mtsägelse med sig sjelf. På sid. 98 säger han nemligen, att alla benämda tal är likartade ch således kunna jemföras, ch på sid. 191, att bråk med lika nämnare, sm ju dck är benämda tal,»i allmänhet ej kunna jemföras». Vanligen förvexlas siffra med talsrt (s. 24 m. fl.). Att kalla de lika talsrterna (ental, tital. s. v.) med ett allmänt namn»enheter» (s. 24 m. fl.) ch på samma gång använda denna benämning särskildt för entalen ch att derjemte (s. 177) benämna enhet af delar för»delenhet» är förvillande, ty samma rd bör icke användas i lika betydelser, ej heller samma begrepp benämnas med lika rd. Likaså användes rdet»grundenhet» i lika betydelser, såsm för ental (ss. 3, 34, 73), för ett helt (s. 74), för grundenhet för srter (s. 99), för en enhet i allmänhet (s. 138). Om den aritmetiska teckningen ger förf. en antydan på sidan 56 (ex. 536), ehuru på ett ganska dunkelt sätt. Af facit framgår, att han vill först uträkna ch sedan teckna exemplet, men derigenm förfelas ändamålet med teckningen. Ej heller angifves, att de följande exemplen ( ) böra före uträkningen tecknas, ch i allmänhet förbiser förf. vigten af att lärjungarne få öfva sig att teckna sak-

33 O GRANSKNING. 33 exemplen, innan de uträknas. Deremt kan såsm en förtjenst anföras, att förf. använder parenteser, ch det x alltid på ett fullt riktigt sätt. Bruket af dem bör dck icke drifvas till ett sådant öfvermått, sm stundm sker (ss. 31: 239; 56: 533; 84; 94). På sid. 10 är ändamålet med parentesernas användande lämpligt uttryckt, ty alla tecknade peratiner kunna tänkas utförda. Uttrycket på sid. 30 är bättre. På sid. 55 saknas anvisning för upplösning af parenteser vid multiplikatin ch divisin (jfr ss. 30, 31). Språket är i allmänhet riktigt. /På flere ställen kunde dck uttrycken hafva varit bättre. Uttrycket (s. 3):»0 användes för att meddela de öfriga siffrrna andra värden, än de hafva i ch för sig sjelfva» brde hafva lydt:»0 användes för att angifva, att någn viss talsrt saknas»; uttrycket å sid. 7:»öfverflyttas det genast såsm cn enhet af högre rdning till nästa rum» brde hafva hetat:»uppstår en enhet af högre rdning». På sid. 247 är uttrycket att»gå från mångfalden till enheten genm multiplikatin» stridande mt multiplikatinens begrepp, ch likaledes uttrycket att»gå från enheten till mångfalden genm divisin» stridande mt divisinsbegreppet. Här brde hafva stått:»man går från det tal, sm gäller den gifna mångfalden, till det tal, sm gäller enheten, genrh» etc. På sid. 251 identifieras uttrycket»vanliga tal» med»uträknade tal». Uttrycken»gånger större»,»gånger mindre»,»gånger högre»,'»gånger längre». s. v. användas fta i st. f.»gånger så str». s. v.; särskildt vid regula de tri-exemplen blifva dylika uttryck förvillande (se ck s. 227: 785).*) Anmm. på sid. 71 (ex ) visa, hvarthän det leder att använda sådana, ty de i bisatserna gifna förklaringarna kunna lätt förmå lärjungarne till subtraktin. Mindre gda uttryckssätt möta äfven i ex. 784, 786 å sid. 227, vid hvilkas lösning man kan förledas till andra räkne- ' " *) I ett strt antal räkneböcker användas de lämpliga uttrycken»gånger större»,»gånger mindre». s. v. I st. för»gånger så str»,»gånger så liten». s. v Dessa uttryck böra åtskiljas lika väl sm»hälften större»,»hälften så str»,»en half. gång större»,»en half gång så str»,»dubbelt så str». s. v. För undvikande af upprepning påpekas denna riktighet bltt här. Betänkande ang. Flksklans lärböcker. ***

34 34 RÄKNING. sätt, än förf. afsett, hvarjemte å sid. 157 ex. 647 ch å sid. 158 ex. 654, hvilka exempel innehålla öfningar för beräkning af yta ch Tymd, rden»längd»,»bredd» ch >höjd» hade brt ersättas med ilängdtal»,»breddtal» ch»höjdtal» (jfr sid. 151). Jemte det att denna lärbk, såsm af det anförda framgår, är med afseende på behandlingssättet tidsenlig, är den dertill lämplig på grund af sin vidlyftighet ch brist på kursindelning. Det är alltid lämpligt att utgifva lärböcker för lika slag af sklr såsm här för flksklr ch flkhögsklr utan att angifva hvad sm är afsedt att genmgås i det ena eller det andra slaget af dessa. Schmidt, Carl Gustaf, Räknebk för sklans lägre klasser. Stckhlm, Hjalmar Linnströms förlag, P. A. Nymans tryckeri sidd. Pris inb. 40 öre. Innehållet i denna lärbk är utskiftadt på en mängd afdelningar, sm behandla hvar sitt af följande s. k. räknesätt, nemligen de fyra räknesätten i hela tal; de fyra räknesätten i decimalbråk; de fyra räknesätten i srter, med en inledning, upptagande nya srter, gamla srter ch lagliga srter samt srters förvandling; de fyra räknesätten i vanliga bråk; enkla tretalsregeln; sammansatta tretalsregeln; prcent-, ränte- ch rabatträkning m. m.; blagsräkning; kedjeräkning; digniteter ch rötter. Sjelfva utförandet af räknesätten synes vara hufvudsak för förf., ty förklaringarna, när de någn gång förekmma, sättas i andra rummet. Någn inledning, sm skulle ha till uppgift att föra lärjungarne till insigt m talbegreppen, finnes icke, ch den krta s. k. inledning, sm upptages å sid. 3, utgör förnämligast en abstrakt redgörelse för beteckningssystemet. Efter denna öfvergår förf. genast till räkningen med hela tal. Ej heller för de särskilda räknesätten med dessa finnas inledande exempel, utan efter några, stundm föga bestämda definitiner meddelas under rubrikerna»uppställning ch uträkning» så genmgående mekaniska föreskrifter, att knappast tillstymmelse förefinnes till försök att leda lärjungarne till begripande af hvad de utföra. Inledningen till decimalbråk

35 35 antycrer visserligen ett försök, m än helt knapphändigt, att förklara först vanligt bråk ch sedan decimalbråk, men medelbart derpå öfvergår förf. till beteckningen samt talar derefter m liknämniggöring, förlängning ch förkrtning af decimalbråk på ett sätt, sm är mycket mekaniskt ch säkerligen icke leder lärjungarne till någn verklig insigt. De derefter meddelade exemplen (ss. 18, 19) innehålla väl ansatser till ett bättre, men redgörelsen för räknesätten med decimalbråk är åter fullkmligt lika mekanisk ch lämplig sm den för räknesätten med hela tal, ch de vid multiplikatin ch divisin gifna förklaringarna för decimalkmmats insättande ch utstrykning förbättra icke förf:s i all förkastliga metd. Vid srträkningen utgår förf. från den riktiga satsen, att endast»liknämda srter» (d. v. s. strheter af samma srt) kunna sammanräknas eller fråndragas, ch att liknämda göras liknämda genm så kallad förvandling. Denna del af lärbken är ck i allmänhet, afsedt en ch annan enskildhet, jemförelsevis bättre framstäld. Om den samma blifvit i ett ch annat, särskildt med hänsyn till inledningen ch srtförvandlingen, mera planmessigt behandlad, skulle hithörande exempel hafva kunnat lämpa sig dels till klargörande af talbegreppen ch talsrterna ch till inledningar för räkningen med hela tal, dels till att upptagas bland öfningsexemplen för hela tal ch decimalbråk. Läran m allmänna bråk är alltigenm mekanisk ch innehåller en mängd föreskrifter m knstlade sätt att gå till väga, Att lärjungarne genm en sådan framställning icke lära sig att inse grunden för förfaringssättet, trde vara tvifvelaktigt. Hade så varit fallet, så hade förf. icke behöft att vid divisin (s. 56) intaga denna varning:»man måste vid upp- ch nedvändningen af divisrn nga tillse, att man icke i stället för denna tager dividenden». För regula de tri-frågr m. fl. begagnar förf. den så kallade enhetsmetden, men utför den till en ytterligt mekanisk frmulärmetd, sm når sin höjdpunkt i det stra antalet frmulär för prcentexempels uträkning (ss ). Icke mindre än sju lika sådana skla inläras, för att lämplig frmel må finnas för inpassande af alla förekmmande exempel.

36 36 RÄKNING. C O Öfningsexemplen innehålla väl åtskilliga praktiska saker, men är icke rdnade efter tilltagande svårighet eller med hänsyn till barnens utveckling. I allmänhet börjas vid hela tal med några sakexempel, ch efter sifferexemplen följa åter dylika. Någn kursindelning finnes icke. Den enda grunden för rdnandet synes vara talens numeriska strlek, men äfven med hänsyn härtill möter fta bristande följdriktighet. Sålunda upptagas för subtraktin i hela tal (s. 8) först sju exempel med 1- ch 2-siffriga tal, hvarefter genast följa åtskilliga med tal på 4 eller flere siffrr, ch först bland dessa förekmma låneperatiner, men utan tillstymmelse till förberedelse. Mtsvarande anmärkningar kunna göras mt det sätt, hvarpå exemplen rdnats vid multiplikatin (s. 11) ch divisin (s. 14). Vid decimalbråk ch allmänna bråk är sifferexemplen stälda först ch rdnade utan någt slags hänsyn till svårigheterna. Följden blir ck att, sedan de mekaniska minnesreglerna väl är inlärda, exemplen kmma alla att uträknas så att säga efter samma frmulär, berende af huruvida lärjungarne begripa någt eller' icke. Definitinen på nll (s. 3) är riktig (»nll betecknar i ch för sig ej någt värde, men användes vid behf för att meddela de öfriga siffrrna andra värden, än de eljest hafva livar för sig»). Egendmlig är stundm författarens terminlgi. Så menar han (s. 25) med benämningen»abstrakta tal» talen (talsrter) ch med benämningen»knkreta tal» knkreta dekadiska srter eller rättare antal deraf. Dessa kallas gemensamt för»benämda tal», hvaremt uttrycken för vissa mängder af föremål kallas»benämda tal». Strheter af samma klass kallas»likartade», under det att strheter af samma srt kallas»liknämda», en benämning sm är öfverflödig ch leder till förvexling med den inm bråkläran använda termen»liknämniga». Af sid. 43 synes, sm m till likartade strheter äfven skulle räknas sådana, sm höra till lika system, t. ex. sådana sm är grundade på ft, aln ch meter sm enhet, enär der mtalas, att likartade strheter vid divisin skla»förvandlas till den srt, m hvars enhet det är fråga» (en för öfrigt mycket tydlig framställning).

37 ti * Afven "O GRANSKNING. 37 i öfrigt är uttryckssättet fta tillfredsställande, såsm framgår af följande exempel: (s. 10)»titalssiffran behålles i»minne», det vill säga lägges till nästa prdukt»;»men för rdningen siffrrna emellan uppskrifves en nlla såsm prdukt»; (s. 17)»hvarje tal kan delas» (för strhet); (s. 18)»decimalkmmat utgör skiljemärket mellan talets hela ch dess delar»; (s. 23)»den femte decimalen ökas, vinnande af större nggrannhet, med en enhet, hvilket kallas att krrekt afsluta bråket». Alldenstund denna lärbk alltigenm intager en mekanisk ståndpunkt ch dess exempel dessutm icke är rdnade med hänsyn till någn utvecklande lärgång för undervisningen, så kan den icke förrdas till användning i flksklan. till Karlssn, <T. A., Småsklans nya räknebk i två kurser, uppstålda efter nrmalplanen. Andra fullständigt marbetade upplagan. Köping, M. Barkens förlagsbkhandel (C. A. Hermanssn). Tryckt i Jönköping hs H. Halls bktryckeri-aktieblag sidd. Pris haft. 0,i; inb. 0,1$. Första afdelningen (A) utgöres af»anvisningar med åtföljande hufvudräkningsexempel» ch andra afdelningen (B) af tafvelräkningsexempel, båda med särskildt angifna kurser för småsklans tvenne årsklasser. Första årsklassens kurs mfattar talserierna 1 5, 5 10 ch 10 20; andra årsklassens kurs talen Före hufvudräkningsexemplen i hvardera af serierna 1 5 ch 5 10 meddelar förf. anvisningar m sättet att gå till väga för att lära barnen uppfatta talbegreppen ch beteckna talen. Talserien ch andra årsklassens kurs behandlas bltt med hänsyn till dessa två metdiska mment. Förfaringssättet för meddelande af sjelfva talbegreppen inm serien 1 10 vre temligen tillfredsställande, m förf. ej hade förgätit ett vigtigt mment, nemligen talinnehållet, t. ex. huru många ental, tvåtal, tretal. s. v. ett tal innehåller. Detta utgör en bestämd brist. Så brde ck större msrg hafva egnats åt talbegreppen En str del hufvudräkningsexempel är gda, flertalet användbara, men en del lämpliga, såsm det

38 c 38 RÄKNING. allra första exemplet på divisin med hänsyn till sin plats:»jhan har 5 öre ch köper bröd för */s deraf; huru många öre har han qvar? (i)». Divisinsbegreppet blir icke åskådligt genm att utgå från delarne. I afdelningen B (tafvelräkning) börjar den egentliga räkningen i ex. 11, ch redan ex. 14 har uppgifter med två bekanta ch en bekant addend, medan ex. 15 deremt har en bekant ch en bekant addend. Tabellen 2 (subtraktin) har redan i 6:te ex. subtrahenden ch i 7:de ex. minuenden bekant, hvarjemte flertalet följande uppgifter är med dem likartade. Tab. 3 har uppgifterna Ox? = 0;?xO = 0 (2 ggr), ch 4:de tab. uppgiften 0 :? = 0, hvilka är lösliga, alldenstund hvilket facit sm helst kan gifvas. Åtskilliga saker införas alltför tidigt. Redan i tab. 3 ex. 15 ch 16 förekmma i mängd sådana uppgifter sm: 2x =? ch 5x0 + 4? = 2 ch dylika. I tab. 4 (divisin) ex. 8 möter egentligheten /j af 1, ch i talserien 5 10 tab. 4 finnas sådana exempel l sm '/s af 10 =?; 72 af?=3; hvilken del af 8 = 4; 9 :? = 3 ch?:4 = 2. I talserien har 4:de tab.: 4 /ä af 15 =?; 3 /8 af 16 =?; % af 14 =? ch 9 /10 af 20 =? m. fl. dylika ch för öfrigt en mängd exempel med kmbinerade peratiner. Af huru str nytta tecknade peratiner än månde vara, så är de dck icke lämpliga för sjuåriga lärjungar, åtminstne icke i sådan utsträckning sm i denna lärbk, der dessutm talinnehållets klargörande är försummadt. Andra årsklassens tafvelräkningsexempel upptaga bltt två (2) sidr, beräknadt multiplikatinstabellen, ch är mycket mindre invecklade, men dck icke, synnerligast hvad subtraktinsexemplen beträffar, valda med nödig msrg. Åtskilliga egentliga uttryck i språkligt afseende förekmma, såsm»addi- ch subtraktin»,»hvarje siffra genmgås». s. v. Då i denna lärbk alltför liten msrg egnats åt talbegreppen (synnerligast titalen ch hundratalen), ch då exemplen ej är tillräckligt metdiskt rdnade ch icke heller väl afvägda för de särskilda årsklasserna, samt då lärbken såsm handledning fr

39 r GRANSKNING. 39 läraren är tillräcklig, så kån den icke anses mtsvara det ändamål, sm förf. afsett med den samma. Karlssn, J". A., Flksklans nya räknebk i fyra kurser, uppstälda efter nrmalplanen. Tredje genmsedda ch tillökade upplagan. Med förrd af C. G. Åström. Köping, M. Barkens förlagsbkhandel (G. A. Hermanssn). Tryckt i Stckhlm hs A. L. Nrmans bktryckeriaktieblag sidd. Pris 40 öre. Denna räknebk är indelad i kurser efter årsklasser, nemligen A) första årsklassens kurs: de fyra räknesätten i enkla tal inm tålmrådet 1 1,000; B) andra årsklassens kurs: de fyra räknesätten i enkla tal inm större talmråde än 1,000; C) tredje årsklassens kurs: decimalbråk ch de fyra räknesätten i srter; D) fjerde årsklassens kurs: allmänna bråk samt regula de tri, intresseräkning m. m. Enär förevarande räknebk utgöres af en ren exempelsamling, skulle man vänta, att exemplen vre så rdnade, att af dem kunde framgå en bestämd plan för behandlingen af räkneundervisningen. Så är emellertid icke förhållandet; åtminstne kan man icke annat än undantagsvis finna någn anrdning, sm tyder på en utvecklande metd för räknesättens behandling. Först ch främst söker man förgäfves allmän inledning för inlärande af talsrterna (talbegreppen). Vid' samtliga räknesätt i hela tal saknas öfningar med knkreta dekadiska srter för att införa lärjungarne i räknesättens väsen ch åskådliggöra för dem sättet för peratinernas utförande. De meddelade småskleexemplen med ental kunna icke anses såsm tillräcklig inledning, ch preparatiner saknas för nyinträdande svårigheter. Till följd af den bristande inledningen har förf. nödgats undvika exempel med fördelade srter, hvilka eljest synnerligen väl lämpa sig till jemförelse med talsrterna, Af samma rsak har han måst använda nödigt stra öretal (s. 29: 65, 66, 68, 69, 70). I andra årsklassen böra lärjungarne icke vara främmande för så enkla reduktiner, sm här behöfts. I förbigående må nämnas, att det följaktligen är inknseqvent af förf. att i facit till nyssnämda ex. 70 fördela srterna.

40 c. 40 RÄKNING. Äfven för decimalbråks uppfattning ch decimalsrternas förvandling (s. 39) saknas allmän inledning. Ej heller finnas inledningar till de särskilda räknesätten eller preparatiner för lösning af svårigheter, hvilka här kmma mycket tätt på hvarandra. Inledningen till allmänna bråk (s. 65) visar en gd ansats, men för att den skulle hafva mtsvarat sitt ändamål, införande i bråkbegreppet, hade mera planmessighet ch åskådlighet varit af nöden. För sökande af största gemensamma divisrn ch minsta gemensamma dividenden saknas exempel (s. 66), ch de särskilda mmenten af inledningen (ss. 65, 66) hade brt förberedas med inledande exempel, af hvilka förfaringssättet kunnat framgå. Allmänna bråkbegreppet liksm ck allmänna bråks förvandling till decimalbråk (ss. 65, 66) hade brt behandlas tidigare. De fyra räknesätten i srter (ss ) ch det vigtigaste af afdelningen m regula de tri, intresseräkning m. m. (ss ) hade kunnat inrdnas under de fyra räknesätten i hela tal ch bråk. Väl har förf. afsett att inskränka de många slagen af reduktiner ch derför sammanfört på ett ställe (ss ) förvandlingar a) inm ännu gällande dekadiska srter, b) inm metriska, c) mellan båda dessa system, d) inm icke-dekadiska srter, så väl i decimalbråk sm i hela tal, men framställningen hade kunnat vara bättre rdnad. Hvad exemplen beträffar, är de i allmänhet valda från praktiska mråden. En del höra dck till småsklans hufvudräkningskurs (s. 3: 1 9, s. 6: 1 14, s. 11: 1 14, s. 14: 1 14). Några exempel upptaga alltför små mått, såsm å ss , der trädgårdsland mätas så nga sm med qvcm. (ex. 4), lingn med kubiklinier (ex. 5) ch persnvigt bestämmes med mgr (ex. 9 å s. 54) eller krn (ex. 9 å s. 55). s. v. Några är möjliga att utföra i verkligheten, såsm uppgiften att köpa äpplen för /ii2 krna (s ex. 13). I ex. 17 å s. 57 räknar förf. 1 mån. till 4 veckr ch har derför, såsm synes af facit, kmmit till den besynnerligheten, att ett år skulle vara lika med 336 dagar. Ehuru förf. förut srgfälligt undvikit exempel med fördelade srter, har han flere dylika på ss , dck rdnade utan någn plan. På ss finnas

41 GRANSKNING. 41 flere exempel, sm innehålla uppgifter med bråk, för hvilkas lösning ledning ej trde hafva varit öfverflödig (t. ex. 74, 82), eller sm förutsätta kännedm m allmänna bråkbegreppet (t. ex. 87); iifven för flere andra exempel å ss hade någn ledning varit erfrderlig (t. ex. 93). Vare sig förf. afser analgi eller den s. k. enhetsmetden, trde ex. 7 ch 8 å s. 75 kmma för tidigt. Olämpligt är att i det första exemplet med egentligen tresiffrig divisr i hela tal använda så strt tal sm i ex. 50 (s. 15), der dessutm rest uppstår, hvarpå förut icke förekmmit exempel. Förf. har för öfrigt icke på någt ställe behandlat tal med rest eller sökt att tlka den samma, men ändck förekmma exempel med rest, förvandlad till bråk,. på måfå inkastade bland de blandade (ss ), såsm ex. 68, i hvilket till ch med förkrtning användts. Mt det sätt, hvarpå exemplen anrdnats, kunna befgade invändningar göras. Utm hvad sm anmärkts angående bristande preparatiner, måste t. ex. framhållas, att ex ch ex (ss. 14, 15) samt ex (ss. 15, 16) sins emellan icke är systematiskt rdnade med hänsyn till de särskilda talsrternas delning. Exempelvis brde uppg. 32 hafva föregått 30 ch 31. På samma sätt brde vid subtraktin i decimalbråk ex. 2*hafva gått före 1 ch ex. 8 före 6 (s. 40) ch i multiplikatin ex. 7 före 6, liksm ex. 14 går före 15, hvarjemte må anmärkas lämpligheten af att redan i tredje ex. (s. 42) hafva decimaler i multiplikatrn ch att redan i ex. 6 d) (s. 42) använda till ch med millindelar. I divisin är det lämpligt att börja med decimaler i divisrn (se ex. 1 ch 12 å ss. 44, 45), ch ex. 1, 2, 3, 5 (s. 44) är alltför svåra för nybörjaren, så vida icke kmbinerade räknesätt användas, samt är i alla händelser lämpliga att begynna med. Den på alla räknesätt i decimalbråk (ss ) tillämpliga anmärkningen m bristande plan i anrdningen af exemplen gäller i synnerhet m divisin. Åfven exemplen i allmänna bråk är bristfälligt rdnade. Vid subtraktin (s. 68) föregå exempel med liknämniga tal (3, 4) sådana med liknämniga (5, 6, 7); vid multiplikatin (s. 70) är det lämpligt att börja med sådana exempel, i hvilka multiplikatrn ut-

42 42 RÄKNING. göres af bråk, ch likaså att redan i första exemplet för divisin (s. 72) låta divisrn vara ett dylikt tal. Både multiplikatin ch divisin är för öfrigt synnerligen planlöst behandlade, ch de särskilda svårigheterna upptagas utan förberedelse eller öfvergångar. I synnerhet af dessa räknesätts behandling framgår, att förf. synes hafva tänkt sig ett mekaniskt förfaringssätt. Prcenträkningen är icke utförd efter någn genmtänkt plan. Ex. 40 (s. 43) hade brt behandlas i likhet med ex. 33 ch 34 (s. 11); sjelfva begreppet prcent hade brt någn gång utredas (se ex. 24 s. 60). Vid den egentliga ränteräkningen (ss. 76, 77) gifves hvarken genm exemplens beskaffenhet eller deras anrdning ej heller genm någt annat medel någn anvisning för sökande af kapital, prcent eller tid. Ehuru förf. i sin lärbk för småsklan upptagit redan för den första årskursen en mängd exempel med förenade räknesätt tecknade, förekmma i lärbken för flksklan alls inga sådana bland de blandade uppgifterna för hela tal (ss. 8, 9), ch ehuru i förstnämda lärbk så väl faktrer sm termer mycket fta är tecknade att sökas, finnes här icke ett enda fall för sökande af termer, hvarjemte likhetstecknet 'icke någnstädes i denna bk finnes användt. I synnerhet hade det för de blandade uppgifternas behandling (t. ex. ss. 25, 60) varit behöfligt att gifva en anvisning för aritmetisk teckning. Förf. har helt ch hållet försummat detta vigtiga mment ch icke heller någnstädes lemnat ens en antydan m eqvatinsbegreppet. Uppgiften i nten å s. 31 angifver icke grunden till parentesens frånvar. Parentesernas användning brde hafva klargjrts ch de fall angifvits, då parenteser behöfvas. Förf. begagnar för öfrigt detta tecken temligen regelbundet. Så sakna t. ex. i uppg. 89 (s. 31) ch 46, 47 (s. 44) faktrerna parenteser, men i ex. 92 å s. 31 liksm i ex. 45 å s. 44 mslutas de med dylika; öfverflödiga parenteser förekmma å ss. 74, 75 i ex. 59 mkring divisrn ch i ex. 60 ch 61 (de yttre parenteserna). Att tlka nrmalplanen så, att multiplikatinsexemplen inm kursen för första årsklassen i prdukten icke få hafva mer än tre

43 siffrr O-. GRANSKNING. 43 (se s. 12 ex ), trde vara att taga dess föreskrifter alltför inskränkt. Uttryckssättet är i allmänhet gdt. Några anmärkningar kunna dck göras. Så bör»enkla» tal utbytas mt»hela». En del öfverflödiga främmande rd 'begagnas, t. ex. expedierades (s. 41). I ex. 64 (s. 79) står»huru str rabatt» för»huru många % rabatt», ty svaret blir efter exemplets nuvarande lydelse 61 kr. 50 öre ch icke 5 %; i ex. 67 (s. 79) står»4 prcent» för»årligen 4 prcent». sig Enär förf., enligt hvad det anförda gifver vid handen, tänkt ett mekaniskt förfaringssätt för räkneundervisningen, så är det gifvet, att hans exempelsamling icke på långt när mtsvarar de kraf, sm en väl rdnad behandling af nämda undervisning ställer på den bk, sm sättes i barnens hand. Räkneundervisningen bör nemligen bedrifvas efter en utvecklande metd, ch exempelsamlingen måste vara rdnad med hänsyn härtill. Segerstedt, Albrekt, Säknekurs får småsklr, flksklr ch nybegynnare, med talrika exempel till metersystemet. Uppstäld efter nrmalplanen. Tredje upplagan. Stckhlm, Hjalmar Kinbergs förlagsexpeditin, tryckt hs A. L. Nrmans bktryckeri-aktieblag sidd. Pris 40 öre. Denna räknekurs är fördelad i sju kapitel, sm behandla hvart sin af följande innehållsgrupper: talen 1 9; talen 10 19; talen 1 99; de fyra räknesätten inm talmrådet 1 999; de fyra räknesätten i hela tal inm större talmråden; decimalbråk ch srter samt frtsatta öfningar med hela tal; allmänna bråk. Den utgör hufvudsakligen en samling exempel, hvilka visserligen i ch för sig i allmänhet är gda ch hafva ett praktiskt innehåll, men till sitt ändamål förnämligast är öfnings- ch tilllämpningsuppgifter. Praktiska exempel för klargörande af talbegreppen förekmma mycket sparsamt (ss. 9 ch 12), ch exempel med knkreta dekadiska srter såsm inledningar för bibringande af insigt m räknesättens väsen ch åskådliggörande af sättet för räkneperatinernas utförande saknas så väl i småsklekursen sm i flk-

44 44 RÄKNING. sklekursen. Sid. 9 innehåller exempel, sm afse att gifva en föreställning m förhållandet mellan tital ch ental, men dessa exempel kmma temligen sent. Redan förut upptagas nemligen räkneuppgifter, der båda dessa talsrter finnas (ss. 6 8), m ck bltt inm talmrådet Emedan förmågan att räkna förekmmande exempel till str del berr på att de särskilda talsrtema ch deras förhållande till hvarandra blifvit klargjrda ch att öfning vunnits i att behandla dem hvar för sig, så brde inlärandet af dessa mment hafva föregått sjelfva räknandet. 1 ch 2 (ss. 3. 4), sm bära till rubrik»uppfattning ch beteckning» af talen 1 5, 5 9, hafva dck till största delen enahanda uppgift sm 3 med rubriken»additin ch subtraktin», ch entalsbegreppen bibringas hufvudsakligen genm att»med siffrr beteckna antalet af streck» ch»med streck beteckna betydelsen af siffrrna» (s. 3). För talinnehållets inlärande saknas uppgifter, såvida ieke dit skla räknas additins- ch subtraktinsuppgifterna, men dessas behandling lämpar sig tydligen icke till att klargöra detta mment. Rubrikerna i 1 ch 2, tagna från nrmalplanen, är visserligen lika med rubriken till 3, men skiljaktigheten inskränker sig hufvudsakligen till rubriken. Titalet, sm är af synnerlig vigt ch derför brde särdeles nggrant inläras till begrepp, innehåll ch beteckning, affärdas här med ett enda exempel (1 å s. 6), hvilket exempel utgöres af 10 ettr med plus emellan. Omedelbart derefter förenas ental med tital. Någn antydan m att talsrterna vid räkneperatinerna böra behandlas hvar för sig finnes hvarken i småsklekursen eller i flksklekursen. I begge kurserna gå sifferexemplen före sakexemplen. På sid. 13 anmärker förf. dck, att det må ber af»lärarens gdtfinnande», hvilka exempel böra räknas först. Srter är intagna i sammanhang med decimalbråk (kap. 6) sålunda, att srters reduktin föregår decimalbråk, men srträkningen för öfrigt förekmmer i de fyra räknesätten med decimalbråk, hvarvid likväl af de icke-dekadiska, ännu gällande srterna finnes bltt ett exempel på additin (s. 49: 151), ett på subtraktin

45 GRANSKNING. 45 (s. 51: 187) ch ett på divisin (s. 55: 258). Oaktadt således genm sammanförande af decimalbråk ch srter en sökt anledning gifvits att använda knkreta dekadiska srter för klargörande af decimalbråkbegreppet ch för att inleda räknesätten, har detta likväl försummats. Endast för beteckningen hafva dylika srter blifvit i någn mån begagnade; dck upptagas de (s. 46) först efter en afdelning, sm innehåller endast sifferexempel, ch är så litet rdnade med hänsyn till en frtskridande utvecklingsgång, att redan det fjerde exemplet (s. 46: 112) har tusen-millindelar. Emedan någt försök att på annat sätt eller med andra medel klargöra decimalbråkbegreppet icke finnes, måste denna del af bken anses mycket bristfällig. I inledningen till allmänna, bråk (s. 64) förekmma under rubriken»bråkens beteckning» flere exempel med icke-dekadiska srter för allmänna bråks uppfattning; deremt saknas exempel för bråks beteckning, ehuru rubriken angifver, att just detta mment skulle behandlas. Äfven åtskilliga andra rubriker gifva en riktig föreställning m innehållet. Så har sista kapitlets sista till rubrik»räknesättens tillämpning», men hvarje räknesätt har redan förut haft riklig mängd tillämpningsexempel, ch denna ' innehåller för öfrigt regula de tri-, intresse- ch blagsfrågr, genm hvilka nästan endast multiplikatin ch divisin»tillämpas». Dylika frågr hafva dessutm förut förekmmit, synnerligast intressefrågr. Så väl ämnets behandling sm anrdningen af exemplen leder till ett hufvudsakligen mekaniskt förfaringssätt ch gifver icke stöd åt en undervisning efter en följdriktigt utvecklande metd. Utm denna hufvudbrist i ämnets behandling påträffas ck smärre fel ch inknseqvenser så väl i språkligt sm i matematiskt afseende. Metersrternas namnförkrtningar stå icke i öfverensstämmelse med justeringsstyrelsens cirkulär. För vigtsrterna finnes t. ex. ingen annan riktig förkrtning än gr. (gram); för rymdsrterna är hl., 1. dl. ch cl. krrekta, men de öfriga riktiga, ch det till den grad att kubikmeter tecknas km., d. v. s. lika med kilmeter. Afven i andra fall förekmma egentligheter ch jemnheter i förkrtningar;

46 46 C RÄKNING. så t. ex. förkrtas decimaler till dm. (s. 59: 316) ch till dem. (s. 62: 349; s. 63: 355). I srttabellema är lispund intaget tillsammans med ännu gällande dekadiska srter. Dessa tabeller kunna för öfrigt uppställas åskådligare. Förf. synes i sin räknekurs följa den grundsatsen att i samma uppgift skilja de särskilda srterna med kmma, t. ex. (s. 12: 57)»förvandla till centimeter 5 m., 7 dec, 8 centim.!» Ehuru detta mt hittills gängse bruk stridande beteckningssätt från språklig synpunkt skulle kunna vara berättigadt, förrsakar det dck i räkneuppgifter tydlighet, enär exemplen tyckas innehålla lika många uppgifter, sm srter finnas. I alla händelser brde väl förf. sjelf vara sin grundsats trgen, men det är han icke, ty han tillämpar den icke på exempel med myntsrter ch ej heller på åtskilliga andra, t. ex. s. 62: 354, der han på ena raden skrifver» dl.», på den andra»6 1., 9 dl.». Men i facitbken deremt tyckes han hafva återgått till den vanliga beteckningen, i det de flesta svar der är betecknade utan kmma mellan srterna. Dck visar sig äfven der brist på knseqvcns, ty på samma sida ja t.. m. i samma svar (t. ex. sid. 5, III: 3, ex. 48) tillämpas båda sätten. Ehuru redan i småsklekursen ett slags eqvatinsexempel förekmma, t. ex. 57 = 19 +?; 23 = ?, har dck i flksklekursen eqvatinsfrmen icke i någn större mån användts, än att likhetsteckuet utsatts vid sifferexemplen i hela tal ch decimalbråk samt vid åtskilliga tecknade srtexempel (ss. 50 ff.). Facitbken hade kunnat uppställas redigare, ch facit är ck stundm riktigt, t. ex. s. 52 : 199. Af det sagda framgår, att denna räknekurs först efter en msrgsfull ch planmessig marbetning kan blifva lämplig att användas.

47 GRANSKNING. 47 BäcTcmaii, J., Flksklans räknebk, innefattande hela tal, srter, bråk, regula de tri, intresse- ch blagsräkning samt det enklaste ur gemetrien. Med talrika öfningsexempel. Sjunde upplagan. Stckhlm, 1 Hjalmar Kinbergs förlag, Ivar Hceggströms bktryckeri sidd., II sidd. Pris I: 0,40, II: 0,es, I II: inb. 1,90, Ifrågavarande räknebk är indelad i två kurser, af hvilka den förra mfattar»hela tal jemte början af det enklaste ur gemetrien» ch den senare meddelar återstden af hvad titelbladet angifver. Förf. säger visserligen i sitt förrd, att bken hufvudsakligen är afsedd att vara en exempelsamling, men han meddelar dck en sådan mängd af regler ch föreskrifter, att man får den föreställningen, att dessa är hufvudsak. Reglerna är merendels rent mekaniska minnesregler. Ofta är de visserligen försedda med förklaringar, men dessa är vanligen ganska abstrakta. Från reglerna öfvergår förf. till exemplen, hvilka i allmänhet ej är så anrdnade, att de tjena till att steg för steg utveckla lärjungarnes förmåga att använda räknesätten (se särskildt II s. 89). Oaktadt bken sålunda innehåller åtskilliga ^förklaringar för att försöka leda lärjungarne att inse- grunden tivl»j[örfaringssätten, måste den dck anses tillhöra ett numera öfvervunnetv stadium, nemligen det, då man baserade räkneundervisningen paren mekanisk metd^ Inledningen (I ss. 3 7), sm skulle ha till uppgift att klargöra talbegreppen, är för detta ändamål lämplig. Framställningssättet '^tteci^ är nemligen alltför abstrakt; med undantag af exemplen för tals teckning ch uppsägning är denna afdelning alldeles brukbar för lärjungen. Framställningen m decimalbråks beteckning (II s. 53) utgår icke från titalssrterna, ch exemplen under hela tal ch decimalbråk är icke uppstälda med hänsyn till titalssystemet ch dess lika talsrter. För det allmänna bråkbegreppet redgöres endast i inledningen till decimalbråk (II s. 50), men på ett mycket knapphändigt ch ensidigt sätt. Förf. mnämner dck bråk redan i inledningen (I s. 7).

48 48 RÄKNING. Förf. har upptagit eu hel mäugd lika s. k. räknesätt, såsm srter först med fyra räknesätt för metersrter jemte en del andra, sm kmma att gälla frtfarande, ch sedan med fyra för äldre srter samt dessutm med särskilda tillämpningsöfningar efter decimalbråk ch särskilda efter allmänna bråk (II ss , 60 68, 73, 74, 91 96); vidare (ss ) regula de tri med underafdelningarna: enkel ch sammansatt; intresseräkning, likaledes med underafdelningarna: enkel ch sammansatt; alligatinsräkning, indelad för sökande af medelvärden ch medeltal, samt blagsräkning. Upptagandet af alla dessa såsm skilda räknesätt är ej till någn fördel; dithörande uppgifter hade mycket väl kunnat inrdnas under de fyra egentliga räknesätten. Förf. behandlar regula de tri-uppgifterna efter enbetsmetden, men redgör äfven för deras lösning enligt analgimetden. Då han emellertid enligt anvisningen å sid. 102 anser, att de böra lösas enligt den förstnämda, så hade meddelandet af det senare behandlingssättet kunnat förbigås. Men äfven m det ansetts behöfligt att upptaga betraktelsesättet enligt analgifrmen, så hade dck behandlingen brt vara enklare ch naturligare, ch det trde ej hafva varit möjligt att finna en frm, sm ligger barnets fattningsförmåga närmare än den utan tillräcklig förklaring här meddelade lagen, att prdukten af de båda yttersta termerna är lika med prdukten af de båda mellersta, med deraf härledda mekaniska minnesregler. Ett någt enklare ch lättfattligare sätt hade tvifvels utan varit att direkt jemföra förhållandetalen, qvterna, ch utföra lösningen t. ex. enligt eqvatinsmetd. Förf. har emellertid icke någnstädes redgjrt för teckning enligt eqvatinsfrm, ehuru han (I s. 11) säger, att de flesta räknefrågr kunna ch rätteligen böra tecknas så. Alligatinsräkningen är fullständig, emedan här saknas exempel, i hvilka en beståndsdel eller dess värde sökes, äfvensm regler härför (II s. 100), men skulle denna sak hafva fullständigt behandlats enligt den af förf. följda metden, så skulle säkerligen minnesreglernas antal ännu mer hafva ökats. Sakexemplen är i allmänhet väl valda ch praktiska. Äldre srter förekmma dck i större mängd, än sm kan anses behöfligt.

49 O GRANSKNING. 49 Väl många exempel med bråktal anföras, innan bråk är behandlade (II ss. 30, 31). Sifferexemplen är alltid satta före sakexemplen; öfverallt saknas inledningsexempel. Såsm redan antydts, är författarens förfaringssätt mycket mekaniskt. Ofta lemnas föreskrifter sådana sm:»utstryk siffrr»,»fga ihp»,»vidfga»,»lägg till»,»verkställ» sålunda regeln»gör ch undervisningen blir härigenm en dressyr ch ett exercerande med förstådda minnesregler. En naturlig följd häraf är, att räkne- f^w- apjlkia sättens" behandling måste blifva mindre tillfredsställande. Så må _ n anmärkas, att för multiplikatin (I s. 23 samt styckena med fm stil <* " å ss. 24, 25) gifvas rent mekaniska föreskrifter, sm fördunkla upp- si**. _s JU* fattningen, ch af hvilka lärjungarne icke kunna inhemta någn grund för förfarandet. Tydligt framgår häraf, huru svårfattligt förfaringssättet blir, då man underlåter att basera räkneundervisningen på talsystemet ch förbiser talsrternas värde. Förklaringen för multiplikatin med flersiffrig multiplikatr (I s. 24) hade blifvit för barnens uppfattning mera åskådlig, m jrduktsiffrrna tlkats hvar för sig i st. f. såsm här hela specialprdukterna på en gång. Den på ss. 33, 34 meddelade framställningen m divisin i hela tal måste anses misslyckad, hvaremt den på sid. 32 upptagna delen är bättre; förvandlingen från den ena talsrten till den andra är förbisedd; förklaringen öfver divisin med tvåsiffrig divisr är tillfredsställande; restens utförande till bråk är rent mekaniskt behandladt. s. v. Framställningen af reduktin af srter (II ss ) är i hög grad meka - nisk ch rent ut hindrande för lärjungarnes egen eftertanke ch åskådliga uppfattning. Så är ck förhållandet med regeln för utförandet af multiplikatin i decimalbråk jemte förklaringen härtill (II s. 56) ch likaledes med framställningen af divisin i decimalbråk (II ss. 57, 58), hvilken derjemte är invecklad ch nödigt försvårad. Den af förf. meddelade»genare vägen» (II s. 58) kan numera anses antiqverad, ch genvägarne med bråk, sm ha 1 i täljaren, är nödiga ch knstlade (II ss. 84, 85). För öfrigt erbjuda i allmänhet afdelningarna för decimalbråk (II ss ) ch allmänna bråk (II ss ) en mängd Betänkande ang. Flksklans lärböcker. ****

50 50 RÄKNING. exempel pä mekaniska regler med till dem fgade långa, abstrakta ch stundm knstlade förklaringar. Divisin i allmänna bråk är dck jemförelsevis bättre behandlad, ehuru sådana fall, i hvilka multiplikanden sökes, då multiplikatrn är ett bråk, ch sm sedermera upptagas i blandade exempel, icke särskildt beröras (II ss. 88, 92). Egendmligt är, att vid förklaring af låneperatinerna vid subtraktin (I s. 17) ett sådant exempel valts, der lån måste ske från hundratal ch titusental, då det väl varit naturligare att göra början med ett exempel, sm kraft denna peratin mellan tital ch ental. På sistnämda sida är uttrycket»blifvit flyttad ett steg till höger» minst sagdt lämpligt i st. f.»blifvit förvandlad till närmast lägre srt». Äfven eljest är förf:s bruk af termer ch uttryck fta tillfredsställande. Så t. ex. skiljer han ej strängt mellan begreppet tal ch beteckningen af tal (t. ex. I s. 3 1 ch 4; s. 21, stycket med fin stil:»de tecken, sm utmärka huru många föremålen är, kallas tal»;»5 är sammansatt af fem ettr»;»4 innehåller 4 ettr»), förvexlar merendels siffra ch tal, håller icke åtskilda siffra ch talsrt (I ss. 17, 23, 33), hvilket senare begrepp ej mycket beaktas. Vid behandlingen af de knkreta dekadiska srterna (II ss. 16, 18) tages dck mer hänsyn dertill. Hade förf. från början klargjrt den satsen, att bltt lika srter (talsrter, längd-, vigt-, styckesrter. s. v.) kunna sammanläggas ch fråndragas, så hade åtskilliga upprepningar kunnat undvikas, särskildt hvad beträffar de fta återkmmande likartade reglerna vid samma slags räknesätt (se t. ex. I s. 9, II s. 16, II s. 54). Då fråga är m strheter»af samma slag», synes förf. vara klar: i uttrycket»m talen kunna jemföras» (I s. 7) bör rdet»talen» utbytas mt»strheterna», ch skilnad brde hafva gjrts mellan strheter af samma klass ch samma srt; det hade jemväl varit bättre att framhålla den satsen, att»endast strheter af samma srt kunna medelbart jemföras», än att uttrycka sig, sm förf. gjrt (I s. 7). Vid framställningen m analgi (II s. 102) visar sig detta än tydligare. Förf. räknar här likaledes strheter, sm höra till samma klass, för att vara»af

51 x GRANSKNING. 51 samma slag» ch framhåller icke att, m förhållandet skall finnas genm bestämningstalen medelbart, detta är möjligt bltt då de hänföra sig till samma srt, ch att, när det är fråga m lika srter, hörande till samma klass, sådan jemförelse kan ske, endast m den ena srten förvandlas till den andra. Enär strängt vetenskapligt utförda, abstrakta definitiner ha ringa betydelse för undervisningen på detta stadium, trde den anförda utvidgade definitinen på multiplikatin (II s. 56) ha kunnat utelemnas, eller ck brde den samma hafva i någn enklare frm upptagits från början, på det att man, så vidt möjligt, inm den elementära aritmetikens mråde för hvarje räknesätt måtte få endast en definitin. Bestämningen af uttrycken»abstrakt» ch»knkret» är riktig (I s. 7, II s. 3), ty talen är alltid abstrakta, vare sig de bestämma någn srt eller icke. Förf:s definitiner är stundm förvexlade med redgörelse för förfaringssättet, t. ex. definitinerna på att förkrta ch förlänga bråk (II ss. 76, 77); det brde hafva hetat: är förvandling till mindre eller större slags delar, men sker genm. s. v. Sjelfva betydelsen af prcent hade icke brt förbigås vid första redgörelsen (II s. 32). Den z edgörelse, sm finnes å sid , är enklare ch tydligare än den å sidd Uttalandet, att enkel intresseräkning uppkmmer, då intet afseende göres på tiden, men att, m afseende fästes härvid, det blir sammansatt intresseräkning (II s. 112), är riktigt, enär alltid vid ränteberäkningar afseende måste fästas vid tiden. Redgörelse för parentesers bruk saknas, ehuru i en del anförda exempel sådana behöft användas (II 8. 59: 101, 102). Emt framställningssättet kan anmärkas, att det fta är alltför pedantiskt mständligt. På åtskilliga ställen är det aktadt uttrycken fullständiga (t. ex. I s. 10:»öfverflytta summans tital» i st. f. tital af ifrågavarande talsrt; I s. 23:»uppskrif enheten» för enheten af talsrten,»anteckna titalet» för titalet af ifrågavarande talsrt; I s. 24, första punkten). Stundm är språket mindre gdt. En sådan sats sm:»den större srten, bragt till mindre srt, är så-

52 52 RÄKNING. ledes först ch främst lika med sig sjelf ch derefter lika många nllr sm reduktinstalet eger» (II s. 10), klandrar sig sjelf. Då denna lärbk, såsm af det anförda visar sig, utgår från mekaniska, m än fta vidlyftigt förklarade regler ch låter räkningen af exemplen ber på kännedmen m reglerna, i stället för att låta dessa framgå ur metdiskt rdnade exempel, kan den i sin nuvarande frm ej anses lämplig. Kindvall, C. A., liäknelära för flksklr ch begynnare. Innehållande hela tal, srter, bråk, regula de tri, intresse-, rabatt-, blags- ch alligatinsräkning. Med talrika öfningsexempel. Omarbetad ch ökad äfven med en framställning m det metriska systemet ch dertill lämpade räkneuppgifter af J. Bäckman. Åttnde upplagan. Stckhlm, Fr. Skglunds förlag. Tryckt i Nrrköping hs M. W. Wallberg & Cmp sidd. Pris bunden 45 öre. Förf. har gjrt till sin uppgift att lemna en rikhaltig exempelsamling ch att i krta ch bestämda satser upptaga endast hufvudpunkterna af räkneläran. Detta är i sig riktigt, men då brde förf. ck hafva sökt att genm valet ch anrdningen af exemplen angifva en tillfredsställande gång för ämnets inhemtandc. Så har dck icke skett, hvilket framgår bland annat deraf, att vid samtliga räknesätt saknas inledningsexempel för att föra lärjungarne till begripande af förfaringssättet. Vidare föregå sifferexemplen alltid sakexemplen, ch de meddelade anvisningarna förutsätta i allmänhet ett mekaniskt inlärande af så att säga handgreppen. Bearbetaren säger i sitt förrd, att»på behöriga ställen i sista kapitlet (m reg. de tri m. m.) hafva upptagits krta anvisningar m, huru dit hörande uppgifter kunna lösas på ett så att säga knstlöst sätt, endast genm eftertanke ch redig tillämpning af de 4 räknesätten, en lösning sm allt mer bör vinna företräde vid räkneundervisningen», men han har af vissa hänsyn ansett sig icke böra låta denna behandling blifva den hufvudsakliga. Det hade dck varit en str förtjenst hs bearbetaren, m han så gjrt, ty endast på detta sätt kan man kmma ifrån den mekaniska receptmetd, sm är så vanlig i räkneböcker, ch sm följts äfven i denna.

53 O O GRANSKNING. 53 Kapitlet m srter (ss , 60 63, 79 81) hade brt inrymmas under de fyra räknesätten i hela tal ch bråk, hvarigenm här upptagna regler kunnat undvaras, ch m de för lösande af regula de tri-frågr m. m. meddelade enklare sätten (ss. 86, 91, 96) hade fått intaga första rummet, så hade äfven största delen af hithörande uppgifter (ss ) kunnat inrdnas i det föregående. Hade förf. klargjrt begreppen lödighet, karat, specifik, vigt (s. 94), så hade för lösningen af dithörande uppgifter icke behöft tillgripas en så knstlad metd, sm här användts. I. samband härmed må m ex (s. 95) i förbigående erinras, att de böra ch kunna lösas på ett vida enklare ch naturligare sätt än det här afsedda. Vid behandlingen af talbegreppet utgår förf. från siffrrnas namn, leder sig vidare till talsrterna ch lägger hufvudvigten vid. rummen samt låter kännedmen m rumvärdena vara den egentliga grundvalen ch ledtråden för så väl hela tals (ss. 1 3) sm decimalbråks uppfattning ch beteckning (ss ). Detta leder icke till en klar uppfattning af dessa förhållanden. Exemplen, betraktade såsm öfningsexempel, är i allmänhet gda, men de är vanligen icke anrdnade med särskild hänsyn till någn utvecklande lärgång. Man behöfver bltt granska exemplen till räkningen med decimalbråk (ss ) ch till divisin med allmänna bråk (s. 78) för att finna detta. Sakexempel saknas vid de särskilda räknesätten med decimalbråk ch allmänna bråk. Under rubriken»uträkning» under hela tal lemnar förf. högst mekaniska ch tillfredsställande föreskrifter, då deremt de med fin stil bifgade förklaringarna är temligen gda ch hade blifvit ändå bättre, m de många parenteserna varit brta. Stundm nöjer sig förf. med bltta minnesregler, t. ex. vid multiplikatin med två- eller flersiffrig multiplikatr, der en så mekanisk ch naken föreskrift lemnas sm:»sätt för hvarje gång första prduktsiffran rätt under den siffra, hvarmed mångdubblingen sker». Hade författaren vid räknesättens behandling utgått från talsrterna, så hade framställningen blifvit mycket enklare ch åskådligare ch de många mekaniska föreskrifterna kunnat utelemnas. Reglerna för

54 c 54 RÄKNING. decimalbråk ch allmänna bråk (ss , 68 78) utgöras nästan uteslutande af minnesregler med högst mekaniska föreskrifter m huru lärjungarne skla»göras. I all synnerhet gäller detta m multiplikatin ch divisin, enär grunden till förfaringssättet icke alls klargöres. Det på sid. 78 för divisin meddelade sättet, nemligen bråkens liknämniggöring, hade brt utgöra utgångspunkt. Allmänna bråkbegreppet är alltför tillräckligt utred t i inledningen till decimalbråk (s. 53). Såsm särskilda anmärkningar kunna anföras, att å sid. 20 talsrternas förvandling i de öfversktt, sm uppkmma vid divisin, icke är tillräckligt tydligt förklarad, ch att restens behandling (s. 21) är i högsta mått mekanisk ch tillfredsställande. På sid. 35 säges, att i vissa fall»måste lån ske på ett annat sätt», men lån sker aldrig på annat sätt än genm att låna af närmast större srt ch förvandla det lånade till närmast mindre. Definitinerna på multiplikatin ch divisin är genm upptagande af rden»helt» ch»hela» samt användande af uttrycket»innehåller enheter» för»angifver» för trånga. Under nuvarande frm gälla de icke för det följande, ch någn utvidgad frm finnes icke annanstädes. Om prcentbegreppet klargjrts (ss. 42, 43), hade de exempel, i hvilka kapitalet är jemna hundratals krnr, kunnat direkt lösas, ty att i dessa fall gå till öre är en mväg. Vid enkel intresseriikning säger förf., att afseende icke fästes vid tid (s. 95), hvilken ju dck är ett år. Ofta förvexlas siffra med talsrt (ss. 10, 14, 20). Att tala m att en siffra är mindre än en annan, m att låna från närmast stående siffra i st. f. näst större talsrt, m att enheten blifvit flyttad ett steg till höger i st. f. förvandlad till närmast mindre talsrt, är lämpligt samt fördunklar i stället för att utreda. Tecknen kallas tal i st. f. siffrr (s. 1). Ordet»enhet» begagnas såsm uttryck för ental ch äfven såsm benämning för öfriga talsrter (s. 1). Användningen af rdet»antal» (s. 1: 1) är riktig, ty en enhet är äfven ett antal. På sid. 1 säges, att»nllan betyder ingenting», men den betyder dck, att en viss talsrt saknas, ch uttrycket:»så brt-

55 GRANSKNING. 55 faller nllan» (ss. 1, 2), ar icke lämpligt. Uppgiften å sid. 5:»ty de siffrr, sm hafva alldeles samma värde, höra i hp ch kunna sammanläggas», är ett egentligt uttryck för den satsen, att de tal, sm är af samma srt, skla sammanläggas. På sid. 86 har förf. icke mnämt, att det är strheter»af samma slag», sm skla bringas till samma srt. Ehuru han på sid. 84 kallar strheter af samma klass för strheter af samma slag, använder han dck på sid. 91 för dem en annan term, nemligen»likartade». Ofta användas egentliga uttryck sådana sm:»flyttas till venster» (s. 1),»nedflytta bråken» (s. 76),»fga nu i hp dessa tal» (s. 75),»fattas mindre srter, så fyll bristen med nllr» (s. 35),»tindedelarnes sifferrad är alltid fyld» (s. 56). s. v. Denna lärbk intager i allmänhet samma ståndpunkt sm den näst förut behandlade, af hvars författare den ck är bearbetad. På denna grund gäller äfven m nu ifrågavarande bk, att den är mindre lämplig, ty ehuru reglerna är mer eller mindre fullständigt förklarade, blifva de dck i användningen mekaniska minnesregler ch kmma att utgöra den enda utgångspunkten för räkningen. Plhlstrand, P. J., Lärbk i räkneknsten. Med metersystemet. Åttnde marbetade ch förbättrade upplagan, utgifven af Håkan Ohlssn. Lund, O. W. K. Gleerups förlag, Fr. Berlings bktryckeri sidd. Pris inb. 1 kr. 25 öre. Lärbken är indelad i följande afdelningar: 1) hela tal utan srter, 2) decimalbråk utan srter, 3) srträkning, 4) allmänna bråk ch 5) tals användning sm räkneenheter, samtliga med en mängd und erafd elningar. Denna räknebk står i det hela på en mekanisk ståndpunkt ch trde förnämligast kunna användas sm exempelsamling för tilllämpning af hvad sm på annat sätt kunnat inhemtas, ehuru den genm sin uppställning är afsedd att äfven vara en lärbk. Någn utredning af talbegreppen utöfver hvad sm behöfves för talens teckning finnes icke. Ej heller finnas några inledande exempel för räknesättens uppfattning ch utförande.

56 56 KÄKNIXG. Räknesätten för hela tal är fullkmligt mekaniskt behandlade. För additin finnes t. ex. följande redgörelse:»begynn additinen med enhetsraden ch skrif summan midt under samma rad.' Uppgår summan till ett tital eller deröfver, så att den består af mer än en siffra, så skrif den högra siffran under den sammanlagda raden, ch lägg den eller de öfriga, sm kallas minnestal, till närmaste rad. Gör på samma sätt vid alla sifferraderna, med undantag af den yttersta, hvars summa skrifves fullt ut». För öfriga räknesätt är framställningen lika mekanisk. Endast vid divisin finnes en riktig förklaring anförd (s. 21). Vid återblicken på hela tal (s. 30) säger förf. sjelf:»hvad sm blifvit förut anfördt m multiplikatin ch divisin, har företrädesvis gält det praktiska utförandet. Till sitt begrepp är dessa räknesätt mycket enkla». Han meddelar derefter ett slags redgörelse, men den är på grund af sin abstrakthet allt utm enkel. 1 inledningen till decimalbråk (ss ), liksm ck i förklaringen öfver divisin (s. 41), finnes en ansats till ett bättre, men för öfrigt är läran m decimalbråk lika mekanisk sm redgörelsen för hela tal. Afven framställningen af srträkningen lider af samma fel (se t. ex. indelning af srter s. 50). Hela läran m srter, uppdelad i: nu gällande indelning af mått, vigt ch mynt; metriska mått- ch vigtsystemet; förvandling från nu gällande system till metersystemet ch tvärt m; stycketals- ch pappersräkning samt tidräkning, hade, såsm förf. i en återblick (s. 78) sjelf antyder, icke brt behandlas såsm en särskild afdelning inm räkneläran, utan dithörande uppgifter hade brt upptagas i det föregående. Den i nämda återblick angifna synpunkten beträffande förhållandet mellan talsrter ch knkreta dekadiska srter hade brt beaktas redan från början (s. 78, jemf. s. 48). Behandlingen hade dck brt vara bättre, än framställningen m den s. k. hyfsningen ch decimalkmmats flyttande fram ch tillbaka är. Vid bråkläran hade brt betnas, att bråk, sm hafva lika nämnare, ch sm sägas vara»af samma slag» (s. 93), är af samma srt (nemligen talsrt), ch den satsen hade brt göras till grundläggande, att bltt lika talsrter kunna medelbart jemföras. hpläggas

57 GRANSKNING. ' 57 eller fråndragas, samt att förlängning ch förkrtning bltt är förvandlingar till andra slags delar (andra talsrter). Härigenm hade bråkläran blifvit mera begriplig. Denna lära bygges nu helt ch hållet på de satser, sm meddelas å sidd. 91 ch 92. Dessa är emellertid härtill mycket lämpliga ch leda till att hela bråkläran kmmer att utgöras af mekaniska anvisningar. Visserligen finnas några undantag härifrån, i det att förlängning, förkrtning ch liknämniggöring är åskådliggjrda medelst linier, men denna jemförelsevis förtjenstfulla behandling är icke frtsatt i det följande. De för multiplikatin ch divisin gifna förklaringarna är dessutm icke tillräckligt lättfattliga. Hela den femte afdelningen grundas på en mycket abstrakt åskådning. Dithörande.uppgifter brde hafva behandlats under föregående räknesätt, hvar uppgift efter sin innebörd. Hvad prcent- ch ränteberäkningar beträffar, antyder förf. sjelf detta i en anm. å sid. 122, men i den förklaring han här lemnar invecklar han sig i svårigheter genm att förvexla multiplikatr ch multiplikand. Sifferexemplen sättas alltid före sakexemplen ch är i allmänhet rdnade endast med hänsyn till talens strlek. Man kan ej spåra någn ansats hs förf. att genm exemplens beskaffenhet söka leda lärjungarne till öfvervinnande af svårigheterna. Många exempel är rimligt stra. Sakexemplen är mycket rikhaltiga ch af ett mvexlande innehåll. I dem tyckes bkens förnämsta förtjenst ligga. Värd t att mnämnas med erkännande är, att såsm blandade uppgifter efter hela tal upptagas en del s. k. regula de tri-frågr. Vid divisin i hela tal möta sådana exempel, sm lemna rest, (s. 25: ), utan att någn förklaring finnes, huru den skall behandlas, men i facit är svaren angifna med vanliga bråk. I dessa exempel begagnas för öfrigt endast mycket stra tal (minsta divisrn 4-siffrig, minsta dividenden 9-siffrig). Förf. har icke gifvit någn ledning till aritmetisk teckning, hvilken dck för lösningen af blandade uppgifter (ss ) varit synnerligen behöflig. Hans sätt att använda parenteser (s. 27) förtjenar att förrdas såsm mycket lämpligt ch åskådligt.

58 c, r 58 RÄKNING. Termerna»siffergrupp» (s. 3),»delenhet» (s. 31),»decimal» (s. 33),»decimalenheter» (s. 33) är riktigt använda. Deremt användes»enhet» både i sin rätta betydelse ch för ental (s. 4). I st. för ett helt säges på sid. 31»grundenhet» ch på sid. 32»enhet». Siffra förvexlas fta med talsrt (ss. 12, 21). På sid. 90 i inledningen till allmänna bråk är termerna använda på ett inveckladt sätt, i synnerhet i-anm., ch den öfverflödiga termen»stambråk» är upptagen för delenhet, men på sidd. 91, 92 är terminlgien deremt bättre. Strheter af samma klass kallas»likartade» (s. 48) ch strheter af samma srt dels»lika» srter (s. 48), dels»likbenämda» (s. 54), hvarjemte»gemensam» srt användes i mtsats till «lika srttal», hvilken regelbundenhet är lämplig. Vid redgörelsen för att talsrterna utgöra talenheter ch mätningssrterna måttenheter (s. 48), hvilka senare»erhålla sina bestämda srtnamn», hade någt större tydlighet varit önskvärd i den för öfrigt gda sammanställningen. Om man brtser från den svårfattlighet, sm alltid medföljer så väl det mekaniska sm det abstrakta behandlingssättet, är språket i allmänhet gdt. Förf. har i vissa fall sökt att gifva sin behandling en vetenskaplig hållning, men han har då råkat i ett abstrakt framställningssätt; detta framträder i synnerhet vid hans redgörelse för hurusm talen i allmänhet kunna ingå i lika peratiner såsm ett slags räkneenheter (se ss. 30, 31, 104, 115, på hvilket sista ställe denna sak särskildt. framhålles). För öfrigt är behandlingen alltigenm mekanisk, hvadan en marbetning är behöfiig på grundvalen af en klar framställning af talbegreppen ch räknesättens behandling efter talsrter, hvarjemte exemplen böra så anrdnas att genm de samma lärjungarne kunna ledas till begripande af förfaringssätten. I annat fall kan den rikhaltiga exempelsamlingen, såsm redan nämts, endast användas för tillämpning af hvad sm inlärts på annan väg.

59 O. O ' GRANSKNING. 59 Siljeström, P. A., Lärbk i aritmetik, till sklrnas tjenst utgifven. Med författarens tillstånd delvis marbetad ch för metersystemet lämpad af Mac Berlin. Steretyperad upplaga. Stckhlm, P. A. Nrstedt & Söners förlag sidd. Pris 1 kr. 50 öre. Denna lärbk är indelad i trenne afdelningar. Den första eller inledningen mfattar beteckning af tal jemte öfningar i hufvudräkning under följande rubriker: 1) förberedande öfningar, 2) ytterligare räkneöfningar med talen 1 9 samt dessas beteckning, 3) räkneöfningar med talen samt dessas beteckning, 4) beteckning af tal från ch med 100; allmän lag för tals beteckning, 5) tillägg till läran m tals beteckning. Den andra afdelningen behandlar de fyra räknesätten med hela tal, srter, decimalbråk ch vanliga bråk ch afslutas med läran m digniteter ch rötter samt lgaritmer. Den tredje afdelningen utgöres af prblem. Efter blandade exempel, prcent-, ränte-, prprtins-, blags- ch blandningsexempel upptagas i den samma äfven exempel med eqvatinsräkning samt gemetriska ch fysiska exempel. Den åskådningsmateriel, sm användes i inledningen, handens fingrar, är mindre lämplig. Brtskiljandet af de fingrar, sm icke p - skla medräknas, är nemligen i vissa fall svårt, ch räkningen blir ^^-<vn^ beqväm, m undanhållandet skall ske med den ena handen, medan man räknar med fingrarne å den andra, enär då händerna skla på samma gång tjena sm redskap att utföra någt ch vara föremål för utförandet. Lärjungarne få ck lätt vanan att ständigt räkna entalsvis medelst ett slags För Jd^görande af ^talbegrepper^ahnnehålkt^<(h^ talsrterna saknas öfningar. Inledningen ntgöfes till största delenttf lättafe småskleexempel för hufvudräkning inm de fyra räknesätten. Dessa är dck icke rdnade efter någn utvecklande metd; För divisin är framställningen så till vida lämplig, sm der till en början (ss. 7, 15) alltid frågas efter en viss del, hälften, tredjedelen, fjerdedelen. s. v., i stället för att äfven uppgifter till delning i lika delar brde hafva lemnats. Förklaringen till en del divisinsexem- ",VA ^ <1^i pel afser lärjungarnes införande i en divisinsmetd (s. 15), sm i dlv^^^

60 - RAKNING. det följande blir beqväm ch svår att använda. Dels upplöses nemligen divisrn i ensiffriga faktrer, ch divisinen utföres med hvar ch en särskildt, dels begagnas för sökande af innehåll samma uppdelning sm i Phragméns lärbk (se utlåtandet m denna). Slutet af inledningen utgöres af en redgörelse för tals beteckning samt innehåller efter en mycket knapp ch stundm tvetydig behandling af tals uppdelning i talsrter (s. 18) en på detta stadium lämplig ch behöflig redgörelse för andra talsystem än decimalsystemet (s. 21). Räknesätten för hela tal ch decimalbråk börja i allmänhet med rent mekaniska föreskrifter samt några uträkningsfrmulär, hvarefter exemplen följa, sifferexemplen först ch de jemförelsevis få sakexemplen derefter, utan någn rdningsföljd inbördes, sm syftar att steg för steg utveckla barnens förmåga att behandla räknesätten. Vid divisin (s. 30) börjar författaren med innehållsexempel, hvilka här behandlas annrlunda ch mycket bättre än i inledningen. Srterna (metersystemet ch penningräkningen) behandlas näst efter hela tal. För hvarje slag inflickas i srttabellen reduktinsexempel, af hvilka en str del väl hade lämpat sig för åskådliggörande af talbegreppen. I sådant fall hade srtexemplen kunnat inrdnas bland hela tal. Dylika hade då ck kunnat användas för förklaring af räknesätten. Egendmligt för förf. är, att han i»slutanmärkningar angående räkning med hela tal» (ss. 43 ff.) anför dels åtskilliga genvägar ch. en del mment, sm brt upptagas ch behandlas i hufvudkursen på lämpliga ställen, dels ck sådana saker, sm tillhöra ett mycket högre stadium af räkneundervisningen, t. ex. hvad sm namnes å sid. 47 anm. 2. Uti inledningen till decimalbråk tages till utgångspunkt divisin (s. 49), ch den knapphändiga framställningen åskådliggöres genm två i ti delar indelade linier. För öfrigt utgöres denna inledning hufvudsakligen af redgörelse för beteckningen. Hade de i ex. 336, 338 ch 339 (ss. 50, 51, 52) meddelade öfningarna varit mera fullständigt ch planmessigt behandlade, så hade de kunnat

61 GRANSKNING. 61 tjcna såsm medel för.-.klargörande af decimalbråkbegreppet. Den på sid. 52 meddelade framställningen m kmmafiyttning tjenar icke på detta stadium att klargöra uppfattningen af decimalbråk. Multiplikatin ch divisirr^^aessa^bråk förklaras genm förberedande förändringar med talen ch grundas icke på talsrternas behandling, hvilket säkerligen leder till ett mekaniskt förfaringssätt. I läran m allmänna bråk, hvilken inledes med divisin i hela tal med rest, behandlad såsm bråk, är redgörelsen för additin ch subtraktin mekanisk. Detta berr till str del af den bltt på ett påstående grundade användningen af förlängning vid liknämniggöring. Behandlingen af multiplikatin hade kunnat blifva gd, m den varit någt utförligare, men framställningen af divisin är abstrakt ch svårfattlig samt leder icke till någn klar uppfattning af bråkdivisinens begrepp. För de fyra räknesätten i decimalbråk ch allmänna bråk finnas ej andra sakexempel än de, sm är upptagna under rubrikerna»blandade exempel». Definitinerna på räknesätten i inledningen är i allmänhet enkla, men den på divisin (s. 7) är i mm. a) trängre än de öfriga. De upptagna anmärkningarna är deremt för abstrakta för det stadium, hvarpå lärjungarne befinna sig. Strheter af samma klass kallas»likartade» (s. 37) ch bestämmas på sådant sätt, att de sägas kunna mätas med»samma slags mått», men hvad sm menas med samma slags mått blir icke fullt klart. Bestämningen på»lika srter» är på grund af det använda uttrycket»samma slags strheter» för likartade ej fullt tydlig. För strheter af samma srt begagnas termen»liknämda», ch de sägas vara sådana tal, sm i»samma srts mått angifva strleken af likartade strheter». Utm det att rdet liknämda leder till förvexling med termen liknämniga, är fvanstående namn icke så klara ch åskådliga, sm önskligt varit. De på sid. 38 meddelade lagarne är gda, men hade kunnat uttryckas bättre ch brt framhållas äfven vid behandlingen af talsrterna samt användas såsm grund för räkneperatinerna. Att siffra stundm förvexlas med talsrt (t. ex. ss. 26, 27, 28, 52), står i öfverensstämmelse med det mekaniska behandlingssättet i all-

62 62 C KÄKNING. mänhet. Satsen (s. 26):»tag ett tital (d. v. s. ti enheter) ch tillägg enheterna», Sr visserligen i någn mån upphjelpt med den inskjutna parentesen, men m den lagen, att bltt lika talsrter få sammanläggas eller fråndragas, trädt fullt i förgrunden, hade satsen kmmit att uttryckas klarare. Det samma gäller m den närmast följande framställningen. För parentesernas bruk (s. 40) hade brt redgöras fullständigare. I den tredje afdelningen har förf. under rubriken»prblem» upptagit exempel, sm bruka benämnas regula de tri-, prcentuppgifter. s. v., men det hade varit lämpligare, m det behöfliga häraf inrdnats såsm öfningsexempel under hela tal ch bråk. Många af dessa saker, t. ex. ränteräkningar, lättare regula de tri-exempel, är af sådan vigt, att de inåste upptagas tidigare i en räknebk än här skett. Angående behandlingssättet hänvisas till hvad sm säges m Nyströms behandling af samma sak. Att förf. upptagit en krt eqvatinslära, kan icke annat än räknas såsm en förtjenst, men önskligt hade varit, att lagarne för eqvatinernas lösning på ett tydligt ch enkelt sätt framstälts. Eqvatinsbegreppet liksm den aritmetiska teckningen hade dck brt beaktas mera äfven i det föregående. Denna lärbk behöfver marbetas så, att räkneperatinerna grundas ]>å talbegreppens uppfattning ch behandlas etter talsrter, att en del förklaringar blifva fadndre abstrakta, att reglerna affattas i full öfvcrcnsstämnielsc ined den utvecklande metdens frdringar, att inledningscxempel för klargörande af räknesätten upptagas, samt att öfningscxcmplcn rdnas mera planmessigt efter inträdande svårigheter ch de dertill lämpliga af prblemen upptagas såsm öfningsexempel under de särskilda räknesätten. Nyström, C. A., Räknelära för flksklr. Stckhlm, Hjalmar Kiniergs förlagsexpeditin, Ivar Hwggströms bktryckeri I. Textafdelningen. 120 sidd. Pris 75 öre. II. Exempelafdelningen. 84 sidd. Pris 50 öre. Denna räknelära är fördelad på tvenne häften, af hvilka det ena innehåller text, det andra exempel. Det anseende, förf. vunnit

63 GRANSKNING. 63 för sina lärböcker i räkning, har i främsta rummet haft sin grund deri, att han för de s. k. regula de tri- ch prcentfrågrna m. fl. infört ett nytt behandlingssätt. Väl har han, liksm många andra författare, för dylika frågr uppstält särskilda räknesätt, men han hår för deras lösning icke användt analgimetden, säkerligen i afsigt att förekmma den tankedödande mekanism, sm denna metd visat sig medföra, utan han har i stället betjenat sig af den s. k. enhetsmetden (I: ss ). Detta måste betecknas såsm ett strt framsteg, men det sätt, hvarpå metden tillämpats af förf., har till str del förtagit värdet af den samma. Genm de mekaniska föreskrifterna ch de många mönsterexemplen för lösning af likartade uppgifter har metden blifvit ett slags frmulärmetd, ch genm de fta naturliga svaren, till hvilka den under uträkningen leder, intrasslas lärjungarne lätt vid lösningen. Sättet att under resnnemanget (I: s. 114 liksm ck s. 85) inskjuta hela tal i stället för bråk ch sedan åter vid peratinernas utförande insätta bråk i stället för de hela talen måste förefalla lärjungarne såsm ett rent knstgrepp, ch dessa knstlade inskjutningar leda dem icke till att på den rakaste ch enklaste vägen lösa hvarje särskild uppgift efter dess art. I fall den grundsatsen i första rummet tillämpats, att uppgifterna alltid böra lösas på enklaste sätt efter deras egen innebörd ch icke med ledning af hänvisningar till det eller det särskilda räknesättet, ch m förf. lagt vigt vid att lärjungarne skla öfvas att aritmetiskt teckna sakexemplen, hvilket mment helt ch hållet är förbisedt, så hade de till nyssnämda s. k. räknesätt hörande uppgifterna kunnat inpassas på lämpliga ställen inm de fyra räknesätten. Hvad framställningen af de fyra räknesätten i hela tal beträffar, finner man väl här ch der ansatser till en utvecklande metd, men i allmänhet är behandlingssättet mekaniskt. Om förf. efter öfningarna för entalens, titalens ch hundratalens uppfattning med tillhjelp af de åskådliga ch synnerligen lämpliga figurerna i II: ss. 1 3, hvilka naturligtvis förutsätta verklig åskådningsmateriel, frtsatt med praktiska exempel för meddelande af öfning i dessa

64 64 RÄKNING. c c tals förvandling inbördes ch af klar inblick i deras förhållande till hvarandra, så hade den långa, stundm lämpliga teretiserande framställningen i textafdelningen kunnat undvikas. Till inledningen hade då mycket väl kunnat föras öfningar för uppfattning icke allenast af de enklare metersrternas, utan äfven af de i II ss. 15 ff. behandlade yt- ch rymdsrternas inbördes förhållanden äfvensm öfningar för förvandlingar inm dem. Exemplen för hela tal (II: ss. 4 28) är väl i ch för sig temligen gda, men inledningsexemplen brde hafva varit flere ch mer planmessigt rdnade samt svårigheterna bättre förberedda. Om förf. grundat framställningen på uppgifter med fördelade srter ch lärjungarne fått ^änja slg^jatt fasthålla vid talsrternas värde ch göra förvandlingar mellan dem (såsm vid subtraktin I: s. 9 ch här ch der vid multiplikatin 1: s. 11 ch divisin I: s. 19), så hade exempel med srter kunnat med fördel inrymmas bland uppgifterna för hela tal ch de många mekaniska föreskrifterna i textafdeluingen blifvit öfverflödiga. Såsm exempel på dylika kunna anföras: (I: s. 6)»enhetssiffran i den dervid erhållna summan skrifves under strecket i linie med titalens sifferrad» m. m. på samma sida; (I: s. 14)»delprdukten skjutes ett steg längre åt venster». s. v.; (I: s. 23)»afskilj från venster i dividenden så många siffrr, att de (nätt ch jemt) bilda ett tal, sm är större än eller åtminstne lika strt med divisrn»;»insätt i qvten passande siffra»;»nedflytta ch skrif till höger m den nyss erhållna resten den af dividendens siffrr» etc; (I: s. 19)»den uppkmmande resten skrifves efter talet i qvten, ch under den samma dragés ett hrisntalt streck, under hvilket åter divisrn skrifves». Vid multiplikatin med flersiffrig multiplikatr (I: ss. 12, 13) hade det varit bättre att behandla hvarje siffras talvärde för sig än hela specialprdukten på en gång. Hvarför prdukten (s. 12) är ti eller hundra gånger för liten, ch huru den göres ti gånger så str (»genm att till höger m talet sätta en nlla, ty derigenm bringas hvarje siffra att beteckna 10 gånger större enheter än förut», hvilket icke är förklarad t i det föregående), blir för lärjungarne vid detta behandlingssätt svårt

65 GRANSKNING. 65 att fatta. Att i qvten utskrifva alla större talsrter i ental (I: ss. 18, 19), d. v. s. med sina nllr, är lämpligt. Det är bättre, m lärjungarne i början skrifva ut talsrterna med bkstäfver. Restens behandling ( I: ss. 19, 20) är i högsta grad mekanisk, ch anvisningen att»när 0 skrifves såsm qvtsiffra, skulle man egentligen äfven multiplicera divisrn med denna siffra» etc. (I: s. 24), hade varit fullkmligt öfverflödig, m framställningen grundats på talsrterna, ch m lärjungens egen eftertanke tagits i anspråk. Decimalbråks beteckning ch uppnämning (I: ss. 29, 30; II: ss. 29, 30) grundar förf. derpå,»att hvar ch en af de enheter, sm utmärkas af en siffra, skall innehålla ti enheter af det slag, sm betecknas af närmast till höger stälda siffra», ch att det förhållandet, att hvarje tindedel innehåller 10 hundradelar samt hvarje hundradel 10 tusendelar. s. v., skulle vara någnting för lärjungen redan bekant. Bibringandet af sjelfva decimalbråkbegreppet försummas således, ch utgångspunkten för lärjungen blir att inpregla i minnet betydelsen af de särskilda rummen ch att med ledning af denna minneskunskap»placera» (I: s. 31) siffrrna i dessa. Att vid decimalbråks multiplikatin kalla multiplikanden för dividend (I: s. 37) är förvillande, enär lärjungarne förut i hela tal fått den uppfattningen, att prdukten kan betraktas sm dividend. Att begynna med förlängning af dividenden, när divisrn är helt tal (I: s. 45), är öfverflödigt ch försvårar för lärjungarne uppfattningen af grunden till förfaringssättet. Det samma gäller ck m förvandling till»skenbart decimalbråk» (I: s. 46). Förfaringssättet för divisin, då divisrn är decimalbråk (I: s. 46), är alltför svårfattligt ch hade bättre grundats på liknämniggörande. På några få undantag när, hvilka visa ansats till ett riktigt förfaringssätt, t. ex. det med fin stil tryckta stycket i I: s. 36, är framställningen m decimalbråk (I: ss ) högst mekanisk, ch i de flesta fall trde lärjungarne förstå föga af dessa s. k. anrdningar med decimalkmmats brtstrykande ch förflyttning (s. 47) ch af åtskilliga andra mekaniska åtgärder, såsm att»resten förvandlas till tindedelar genm ettans nedfiyttning» (s. 44) eller genm nllas tillskrifvande (ss. 44, 45) m. m. Exemplen Betänkande ang. Flksklans lärböcker. *****

66 66 kikning. till decimalbråk (II: ss ) är icke rdnade efter någn frtskridande utvecklingsgång, allra minst i multiplikatin ch divisin. Redan i andra exemplet på divisin förekmma i svaret sex ch i tredje exemplet åtta decimaler, hvarjemte sifferexemplen alltid föregå sakexemplen. Den grund, hvarpå förf. bygger hela den allmänna bråkläran (I: ss , II: ss ), ch för hvilken redgöres å ss. 89 ch 90, är, sådan den af hnm är framstäld, svår för lärjungarne att inse ch leder till en alltigenm mekanisk ch svårfattlig behandling af nämda lära. Denna utgöres ck hufvudsakligen af mständliga ch teretiserande beskrifningar. Hade dekadiska srter användts såsm hjelpmedel för inlärande af talbegreppen, så hade, såsm redan delvis antydts, innehållet i afdelningen m srter (I: ss , II: ss ) kunnat med fördel inrdnas på lämpliga ställen i inledningarna, hela tal ch decimalbråk. Att först förvandla alla delar till minsta srt (I: ss. 72, 78) ch sedan åter förvandla denna till större är en nödig mväg. Det naturligaste är att låta lösningen följa samma lag sm för hela tal. Det vidlyftiga resnnemanget m»hyfsning» af srttal (I: s. 71) är öfverflödigt. Åtskilliga aritmetiska termer har förf. icke alltid användt krrekt "kj-f^ ch knseqvent. Sålunda kallar han ental för»enhet» (I: s. 5), stun- SBi-Jlt dva med tillägg af rdet»enkel» (I: s. 2), samtidigt med att han med enhet på andra ställen menar»en hel» (I: ss. 33, 89) ch på åter andra»talsrt» (I: s. 2). Talsrt deremt kallas icke allenast enhet, utan på åtskilliga ställen»klass» (I: ss. 2, 8, 33) samt»samma slags enheter» (I: s. 33) ch»liknämniga enheter» (I: ss. 5, 7), hvilket sista namn dessutm är egentligt, enär det förleder till sammanblandning med samma uttryck i bråkläran. Tital kallas dels så (I: s. 6), dels»tir» (I: s. 6). Deremt har rdet»siffergrupp» (I: s. 4) fått en lämplig användning. Ordet»siffra» förvexlas fta med talsrt, t. ex.»är en siffra i subtrahenden större än mtsvarande siffra» etc. (I: s. 8 ch på samma sätt I: ss. 23, 33, 35 m. fl. st.). Nllans betydelse (I: ss. 1, 2) är riktigt uppgifven, ty nll har icke mer än andra siffrr

67 GBAN8KNING. 67 Bärskild uppgift att»meddela förändrade värden» åt de enheter, sm betecknas med de öfriga ni siffrrna, utan dess uppgift är endast att utmärka, att af någn vibs talsrt intet antal finnes. (Jfr det rät/ta uttrycket vid decimalbråk s. 32). Bland rena detaljanmärkningar må följande anföras. Figuren 12 till ex. 205 (II: s. 16) är för str enligt det uppgifna måttet. Ex. 181, 185, 198 samt 250 ch 315 (II: ss ) är inkastade såsm enstaka exempel med srter ch sakna förberedelse, enär redgörelse för srters förvandling icke lemnas i det föregående. Språket bär i allmänhet spår af det mekaniska framställningssättet, t. ex. i uttrycken:»fås i minnet»,»tillsammans med minnet» (I: s. 6 m. fl. st.);»hafva det mindre talet uti multiplikatrn» (I: s. 16);»m ett visst antal sådana delar skall betecknas, kallar man det tal för bråk, sm dertill begagnas» (I: s. 29);»enhetsdelar» för delenhet (I: s. 33). Af det föregående framgår att, m bken skall kunna blifva lämplig att begagnas vid undervisning i räkning, den måste till planen marbetas, så att räkningen städse kmmer att grundas på talbegreppens uppfattning ch på talsrternas behandling efter en utvecklande metd. Hvad särskildt angår textafdelningen, sm nu innehåller regler med vidlyftiga förklaringar ch i allmänhet bär spår' af ett mekaniskt behandlingssätt, vare sig regler eller mönsterexempel tjena sm utgångspunkt, så måste den icke allenast marbetas, utan äfven betydligt förminskas med hänsyn till förklaringar ch resnnemanger. Otterström, J., Lärbk i aritmetik efter eqvatinsmetd för sklans lägre stadium. Andra upplagan. Stckhlm, Ivar Haiggströms bktryckeri sidd. Pris 1 kr. Till följd deraf att förf:s stil är alltigenm plemisk ch att han icke allenast angriper lika -åsigter m räkneundervisningen,

68 c 68 RAKNING. utan äfven drager i hämad mt åtskilliga persner ch förhållanden, t. ex. (s. 20) meterkmmissinen, (s. 18) imprtörer, är hans bk i sitt nuvarande skick alldeles användbar såsm lärbk. Trts detta måste man emellertid gifva fullt erkännande åt hans försök att vid räkningen tillämpa eqvatinsmetden, en metd sm säkerligen har en gd framtid för sig. Förf. har dck drifvit denna metd till ytterlighet. Han hade brt grunda de första peratinerna (de fyra räknesätten) på talbegreppens uppfattning ch på behandling efter talsrter. Derefter hade han brt behandla uppgifter, i synnerhet dylika med kmbinerade räknesätt, på det sätt, att han låtit lärjungarne först aritmetiskt teckna ch sedan lösa dem. Härvid hade han brt börja med sådana uppgifter, i hvilka det bekanta ensamt utgjrt det ena membrum, ch sedermera frtsätta med sådana, sm kraft s. k. hyfsning af eqvatinen. I stället har han redan från början begagnat sig af förklaringar, sm höra till eqvatinsläran (t. ex. ss. 1, 3, 5), ch lemnat mycket svårfattliga framställningar angående tecknens behandling, psitiva ch negativa strheter (t. ex. s. 26). s. v. Den egentliga eqvatinsläran är deremt bättre behandlad, ehuru exemplen ej sällan innehålla spetsfundigheter ch naturliga sammanställningar (ss. 80 ch 83) ch behandlingen af tecknen fta är knstlad (t. ex. s. 74 ex. 2, s. 78 ex. 9, s. 106 ex. 66). Det är alltså en brist hs förf., att han helt knapphändigt behandlat talbegreppen (ss. 4 ch 5), ch att han icke annat än undantagsvis (ss. 9, 10, 42) grundat läran m beteckningen ch peratinerna på talsrternas uppfattning ch förvandling. Han låter i allmänhet uppfattningen vara berende af ett slags rumteri, den s. k. decimalkedjan (s. VIII), såsm man kan finna i synnerhet af redgörelsen för dekadiska srter, t, ex. ss. 12 ch 13, der det s. k. afskiljandet sker mycket mekaniskt. Naturligare synes det vara att vid jemförelsen mellan metersrter ch talsrter låta hvar sak vara hvad den är ch att först perera med fördelade metersrter ch sedan med förenade samt slutligen på samma sätt med talsrterna. Såsm exempel på denna rumteri kunna ytterligare nämnas framställningarna på ss. 15, 17 ch ännu mer hvad sm säges vid behandlingen af yt- ch

69 GRANSKNING. 69 rymdmåtten (ss. 19, 21 ch 24), der sådana uttryck förekmma sm:»här (vid ytmåtten) intager således hvarje srt två rum i decimalkedjan»;»talet uttrycker således hvad vi här hafva»;»talen uppställas så från venster» etc. Vid framställningen af multiplikatin finnes ansats till behandling efter talsrter (s. 42), men för divisin (s. 45) användes åter en mycket mekanisk rumteri, ch icke ens sättet för öfverförandet från rum till rum är förklaradt. Såsm egendmligt för förf. måste vidare framhållas icke allenast hans sammanslående af additin ch subtraktin samt af multiplikatin ch divisin, utan än mer hans öfverförande af hela bråkläran till divisin. Huru berömvärdt detta försök än i vissa delar må vara, stöter det dck på den svårigheten, att behandlingen af bråksrterna blir nästan helt ch hållet försummad, ch att åskådningssättet fta kmmer att gå bredvid det vid det vanliga tänkandet allmänna ch naturliga. Detta aktadt användas dck de vanliga termerna (t. ex. s. 31: fjerdedelen. s. v.), ch smliga saker, t. ex. liknämniggöringen (s. 35, s. 52 ex. 94), kmma att stå sm främmande mment, sm icke framgå ur metden sjelf. I redgörelsen för ex. 83 (s. 47) ch delvis i ex. 99 (s. 54) begagnar förf. en förklaring m bråk, sm han sjelf klandrat förut (ss. 29, 30). Märkligt är, att de s. k. regula de tri-frågrna behandlas medelst ett slags tecknad analgi (ss. 111 ff.), sm i många fall är nödigt invecklad ch för barnen säkerligen lika svårbegriplig sm den gamla analgimetden. Ehuru förf. strängeligen plemiserar mt all mekanisk behandling af räkneundervisningen, ch det med rätta, kan man dck träffa på mekaniska framställningar äfven hs hnm. Så förvexlar han på s. 9 siffra med talsrt (»du pererar i alla fall», d. v. s. äfven vid titalens ch hundratalens additin ch subtraktin,»endast med en ch en siffra»;»m en större siffra är i subtrahendens än sm var i minuendens samma rum»;»m 0 är i det rum, hvarifrån skulle lånas, måste lånet tagas från den gälfande siffran, sm först kan träffas, ch lånet gå från rum till nästa rum undan för undan, så långt sm behöfs»). Vid framställningen m allmänna bråks för-

70 70 RÄKNING. O Q- vandring till decimalbråk (s. 35) samt vid förklaringen af divisin med flersiffrig divisr (s. 46) framträder mekanismen i sin renaste frm. Enahanda är förhållandet med ex. 84 å s. 48 ch ex. 93 å s. 51, på hvilket senare ställe dividenden först förvandlas till allra minsta srt, hvarefter divisinen utföres. Användningen af parenteser är synnerligen åskådlig, såsm alltid framgående ur sjelfva beskaffenheten af exemplens innehåll (ss. 6 8). Språket är fta i hög grad inveckladt. Redan vid första redgörelsen för eqvatin (s. 1) möter en för nybörjaren svårfattlig framställning. Enär bken i sitt nuvarande skick, såsm af det nämda framgår, icke kan bli användbar, har den icke underkastats någn mer mfattande detaljgranskning. Fhragmén, Lars, Räknebk för flksklr. Stckhlm, P. A. Nrstedt & Söners förlag. Tryckt»' Örebr, Länstidningens bk- ch stentryckeri sidd. (Prisuppgift saknas.) Denna lärbk angifves vara hufvudsakligen ett utdrag ur förf:s aritmetik för elementarlärverken. Detta förhållande har ck gifvit bken dess karakter. Den utmärker sig visserligen genm en vetenskaplig behandling af innehållet, men framställningens frm är mestadels mycket abstrakt. Sålunda öfvergår förf. redan i inledningen (s. 2) helt hastigt från den åskådliga ch knkreta behandling, hvarmed bken börjar, till ett abstrakt framställningssätt, ch först vid tals beteckning ch utsägning tager han lärjungarnes sjelfverksamhöt i anspråk (s. 3, 4). Innehållet å sid. 2 hade med anslutning till' den valda utgångspunkten brt framställas på ett knkret sätt under användning af praktiska uppgifter med dekadiska srter. Förf. egnar alltför liten uppmärksamhet åt uppfattningen af sjelfva talbegreppen, ch inledningen tyckes förnämligast afse beteckningen. Försummandet att i inledningen klargöra talsrterna har rsakat, att förf. redan från början kmmit in på en svårfattlig behandling

71 0 0 GRANSKNING. 71 af räknesätten. Framställningen af additin (s. 6) ch subtraktin (s. 11) är visserligen egnad att åskådliggöra entalens ch titalens sammanläggning ch fråndragning, men den blir genm de hpade jemförelserna ch förvandlingarna alltför vidlyftig ch förlrar derigehm i öfversigtlighet, hvartill äfven kmmer, att förf. går från större srter till mindre. Skall förf:s förfaringssätt knseqvent följas, så frdras t. ex. vid ex. 8 (s. 6) ytterligare två steg (nemligen: 1 f. 1 t = 1 f. 1 t. + 1 t, 4 1. = 1 f. 2 t. 4 1.), ch skla flere än två tal sammanläggas, så blifva svårigheterna naturligtvis ännu större. Om lärjungarne få öfva sig tillräckligt med lösningen af stegvis frtskridande uppgifter med dekadiska srter, så framgår ur denna öfning liksm af sig sjelf jemförelsen med ch tillämpningen på talsrter. Synnerligen invecklad är framställningen af divisin. Förf. säger på sid. 21:»m bltt det sökta talet är ensiffrigt, kan det, såsm vi snart finna, utan särdeles svårighet erhållas genm eftertanke ch försök. Ar slutligen det sökta talet flersiffrigt, så gäller det bltt att kunna uppdela prdukten i de termer, till antalet lika många sm det sökta talets siffrr, genm hvilkas summering den kan anses hafva uppkmmit». Detta är visserligen teretiskt riktigt; men för finnandet af de rätta termerna hade det varit skäl att behandla dividenden efter dess talsrter enligt vanlig divisinsmetd, i ställetför att, såsm förf. gjrt, betjena sig af ett mycket mständligt ch inveckladt förfaringssätt, sm leder till rimliga resultat i metdiskt afseende, m det knseqvent fullföljes. Sin metd åskådliggör han på sidd. 22 ff. För delning med ensiffrig divisr uppdelar han dividenden i dess talsrter, ch genm att dela hvar ch en af dessa talsrter för sig med divisrn erhåller han qvtens talsrter. Detta förfaringssätt är fullt riktigt, men förf. hade brt tydligare visa, när ch huru öfversktten af de högre talsrterna skla förvandlas till lägre. När divisrn åter är flersiffrig, uppdelar han, åtminstne då fråga är m sökande af innehåll, äfven denna för att sedan dividera hvarje part af den samma i hvar sin mtsvarande part af dividenden. För att finna den rätta uppdelningen måste man emeller-

72 72 RÄKNING. D C tid anställa ett strt antal försök. Två lägenheter kunna dervid inträffa, nemligen l:) att titalsparterna, 2:) att entalsparterna för tidigt gå jemt upp. Den förra förebygger förf. derigenm, att han låter lärjungen anställa ett lika strt antal multiplikatiner, sm han gjrt försök, till dess han lyckas få den prdukt, sm är lika med eller närmast mindre än dividenden (anm. till ex: 3). Detta leder väl till ett riktigt resultat, men försöken bli i allmänhet lika många, sm prdukten af divisrns ch den ensiffriga qvtens ental innehåller tital, ch följaktligen ck multiplikatinerna lika många, hvilket måste anses såsm ett bra nödigt arbete, när saken kan utredas på ett mycket enklare sätt. Den andra lägenheten söker förf. förebygga genm anmärkningen till ex. 4, der han m sättet att finna, huru många gånger 17 innehålles i 102, eller 1 tital + 7 ental i 6 tital + 42 ental, säger:»m 102 efter hvart annat tankes under frm af 10 t. + 2 e., e., e., e., e., märker man lätt, att enheternas antal först under den sista frmen räcker till». Tager man dessa rd efter sin vanliga betydelse, så behöfver man bltt välja ett annat exempel för att finna, till hvilka rimligheter de leda. Hvilka slags exempel sm för detta ändamål är lämpliga, är icke svårt att bestämma. Vill man t. ex. finna, huru många gånger 36 innehålles i 252, så får man enligt förf:s försöksmetd göra följande uppdelningar af dividenden: e., e.. s. v. ch Be efter, när entalen räcka till för divisrns ental. Men man behöfver ej gå längre än till den andra uppdelningen, ty 12e. räcka till för 6e., ch man skulle få ett så rimligt svar sm detta: 3t. innehållas i 24t. 8 gånger, 6e. il2e. 2 gånger. Huru lärjungen nu skall reda sig, angifver förf. icke. Möjligen menar han, att man skall utföra ett multiplikatinsförsök enligt anm. 3. Men då bli sannerligen försöken så många, att ingen lärjunge finner vägen, ty efter någn ledning, hur han skall kmma fram ur denna labyrint af försök, letar han förgäfves. Möjligen inlägger förf. i uttrycket»räcker till» den meningen, att qvterna vid divisin af båda paren parter skla bli lika, ch i sådant fall blir resultatet riktigt; men han brde då

73 GRANSKNING. 73 hafva uttryckt sig tydligare, så att intet missförstånd kan uppkmma. När en flersiffrig qvt uppstår, på samma gång sm divisrn är flersiffrig, blir förf:s metd mycket svår att använda, enär försöken kunna bli fantligt många, innan resultatet vinnes, ch i uppgifter med rest i qvten måste behandlingssättet med dessa försök blifva i högsta mått inveckladt. Förf. synes icke heller längre fram hafva fullföljt sin metd, ty i ex. 8 (s. 23), der flersiffrig divisr ch flersiffrig qvt första gången förekmma tillsammans, uppdelar han, icke divisrn. Han söker här förmdligen äfven genm försök såsm i ex. 4, ehuru detta icke på någt sätt antydes uppdela dividenden i parter, tills han får de största möjliga af de större talsrterna. När förf. sedan kmmer till den skriftliga räkningen ( 34 å s. 23), hänvisar han visserligen till 32, men i förklaringen kmmer han in på den äfven i teretiskt afseende fullt riktiga metden att dela talsrt efter talsrt. Förf. lägger således i 32 en grund, på hvilken han icke bygger, ch bygger sedan på en grund sm han icke lagt. Vid sökandet af innehåll synes han emellertid återgå till det föregående uppdelningssättet (s. 24) ch invecklar sig sålunda i svårigheter. Olämpligt är att vid divisin utgå från delen (tredjedelen. s. v., s ) i stället för att börja med delning i lika delar, ty det är just genm delningen, sm lärjungarne skla ledas till insigt m huru delarne uppstå ch till uppfattning af deras betydelse. Vid behandlingen af ex. 5 ch 6 (s. 25) har förf. ej klart framhållit att, när fråga är m att undersöka innehåll, de särskilda strheterna böra vara uttryckta i samma talsrt. Framställningen m decimalernas beteckning ch utsägning (ss. 61, 62) är alltför abstrakt ch leder derjemte lätt till en mekanisk behandling, alldenstund beteckningen ch utsägningen icke grundas på begreppet, utan på platsen. Tillräcklig vägledning för att föra lärjungarne till uppfattning af de decimala bråksrterna ch deras förhållande till hvarandra finnes nemligen icke. På samma sätt är utredandet- af det allmänna bråkbegreppet (s. 100), hvilket hör till det vigtigaste i bråkläran, nästan alldeles försummadt, hvaremt större

74 74 RÄKNING. c. c delen af inledningen till allmänna bråk är egnad åt beteckning ch utsägning. Åtskilliga detaljer vid räknesättens behandling är mindre väl utförda, ch jeranheter förekmma stundm i framställningen. Så t. ex. brde satsen vid additin i hela tal (s. 3):»m alla termerna är hela tal, betecknar således summan ensam lika många enheter sm alla termerna till samman», hafva fått en mtsvarande utvidgning vid decimalbråk, men så är icke fallet. Förmågan att utföra en subtraktin, i hvilken flersiffriga tal ingå (s. 10), är väl icke vunnen med kännedm af subtraktinstabellen, ch å andra sidan utgör väl denna kännedm icke i högre grad ett vilkr för möjligheten att utföra en subtraktin med flersiffriga tal än för möjligheten att verkställa samma peratin med ensiffriga, synnerligast m lärjungarne vänjas att behandla hvarje talsrt för sig såsm sådan ch att behandla alla talsrter lika. I detta fall blefve ck den för andra gången meddelade förklaringen af låneperatinen (ss. 33, 34) öfverfiödig. Att hvarje term kan uppdelas i lika många termer, sm den innehåller enheter af lika rdningar, kan icke med större skäl anses vara grund för den skriftliga räkningen (s. 30) än för den muntliga. Ehuru förf. först (se s. 42) framställer två slag af divisin, nemligen delningsdivisin ch innehållsdivisn, har han dck på sid. 72 sökt att brtresnnera den senare, hvilken dck just här bäst behöfts för att göra divisin med decimaler i divisrn lättfattligare. Likaledes undanskjutes i 131 å sid. 108 skilnaden mellan de lika slagen af divisin i fråga m allmänna bråk. På sid. 76 säger förf., att»de båda slagen af divisin framstå vid räkning med srter ännu tydligare än eljest», men förhållandet är, att äfven de öfriga räknesätten framstå klarare vid räkning med srter, ch detta är just ett bevis för lämpligheten af srters användande vid räkning så väl med hela tal sm med bråk. Hela afdelningen m srter hade derför brt inrymmas i det föregående. Framställningen af divisin i bråk (s. 108) är långt ifrån lättfattlig. Visserligen visas, att resultatet blir sådant, sm det säges, men hvarför det blir sådant, blir ej klart för lärjungarne. Det måste före-

75 GRANSKNING. 75 falla dern såsm ett knstgrepp, att täljare ch nämnare byta plats. Den abstrakta ch tunga framställningen, ehuru den skulle ha till syftemål att utreda, leder dck här liksm på andra ställen till en försfådd mekanism, till ett begagnande af en mekanisk regel med förbigående af åskådlig utredning. Enklare ch naturligare är att, när fråga blir m sökande af innehåll, begagna liknämniggöring ch att, när fråga är m delning, först fördela ut dividenden på delarne ch sedan söka antalet för ett helt. Egentliga inledningsexempel för räknesätten saknas, ty de meddelade exemplen för muntlig räkning (s. 5 10, s. 6 12, s , s , ss. 37, 43) lämpa sig förnämligast till att bibringa hufvudräkningsfärdighet, ehuru äfven till detta bltt delvis, ch icke till att leda lärjungarne till insigt m behandlingssättet. Inlärandet af de lika sätten för räkneperatinernas utförande är för barn på det stadium, för hvilket de nu är i lärbken upptagna, af föga gagn, t. ex. sidd. 19, 30, 39. s. v. För multiplikatin (s. 38) är den i anm. (»men i öfverensstämmelse». s. v.) angifna behandlingen den naturligaste ch lämpligaste, enär' det är bäst att behandla denna sak- med fördelade srter ch i den rdning, att man begynner med den lägsta srten, eftersm erhållna lägre srter skla vid behf förvandlas till högre. På sid. 39 säger förf., att den i a) upptagna metden (att börja med de större talstterna i multiplikatrn)»angifver genast det erfrderliga utrymmet, stämmer bättre öfverens med hufvudräkningen, lättar uppfattningen af divisin ch har dessutm andra fördelar, sm här ej kunna antydas», men m hufvudräkning ch divisin behandlas på naturligt sätt, såsm i kmmitterades grundsatser angifves, trde det under b) upptagna sättet vara det i all fördelaktigaste. I stället för att uttrycka alla talsrter i ental (s. 39 c, s. 44 a), d. v. s. med utskrifna nllr, hade det varit bättre att använda text för angifvandet af talsrterna. Definitinerna på räknesätten är i allmänhet mycket abstrakta ch äfven någn gång knstlade ch mekaniska, t. ex. sid. 70, hvarest uttryckssättet derjemte är mycket tungt. Den förtjensten ha de

76 76 RAKNING. c dck, att en enhetlig tanke genmgår dem alla. Uttrycket, sm angifver parentesernas uppgift (s. 3), är ej tillräckligt tydligt, ty hvarje»tecknad beräkning» kan»tänkas utförd ch resultatet insatt i beteckningens ställe». Sättet för parentesernas användande är emellertid gdt (s. 13), men enklare exempel brde hafva föregått de svårare. Emt förf:s terminlgi kan en ch annan mindre anmärkning göras. Att begagna uttrycket»enhet» såsm en allmän benämning för talsrterna (s. 2:»enheter af högre rdningar»,»det slag af enheter», s. 5:»enheter af samma slag». s. v.) ch derjemte såsm ett särskildt namn för»ental» (s. 2:»enheternas antal», s. 5:»enheter sammanläggas med enheter, tital med tital». s. v.) är förvillande. På sid. 3 6 ch sid. 1 2 begagnas rdet»enhet» i ännu en annan betydelse. I den mening, sm förf. använder uttrycket»enheter af samma slag» på sid. 5, hade det varit bättre att säga»strheter af samma klass» (jfr grundsatserna s. 19) ch i st. f.»likbenämnda enheter»»strheter af samma srt». I följande stycke menas med»hvarje slag»»hvarje srt». Ehuru uttrycket»likbenämnda» begagnas på sid. 5, användes på sidd. 7 ch 30 för samma sak»enheter af samma rdning» -ch på sid. 10»enheter af samma slag». På sid. 75 begagnas frmen»liknämnda» för strheter af samma srt, men denna kan liksm ck termen»likbenämnda» (s. 5) lätt föranleda förvexling med uttrycket»liknämniga». På sid. 19 hpblandas talsrt ch siffra (»titalssiffrans multiplikatin» i st. f. titalens m.). Att kalla de i prdukten erhållna titalen för»dess enheter» (s. 19) ch hundratalen för»dess tital» medför reda. Afven på sid. 33 ( 46) är siffra ch talsrt förvexlade i uttrycket:»m då ingen af minuendens siffrr är mindre än subtrahendens derunder stående siffra, så dragés hvarje siffra». s. v. Ehuru förf. i allmänhet söker att från sin ståndpunkt utreda ch klargöra peratinerna, påträffas ändck stundm en eller annan mekanism, t. ex. de öfverflödiga föreskrifterna på sidd. 104 ch 106 m hur liknämniga bråk adderas ch subtraheras (»liknämniga bråks» etc.) ch på sidd. 107 ch 109 i fråga m multiplikatin ch divisin (»skrif». s. v.). Så ck 38 på sid. 28.

77 GRANSKNING. 77 Förtjenstfullt är, att regula de tri- ch intressefrågr m. m. intagits under hela tal; för sökande af prcent, kapital ch synnerligast tid hade bättre ledning behöfts. Ehuru denna lärbk, ensam i sitt slag, utmärker sig för krrekthet, i allmänhet är fri från mekaniska föreskrifter samt alltjemt intager en vetenskaplig ståndpunkt, behöfver den dck för att bli användbar för barn inm flksklans åldersklasser marbetas i den riktning, att framställningen blir mera knkret. De fta nödigt vidlyftiga teretiska utredningarna böra inskränkas, verkliga inledningar för talbegreppens uppfattning ch bättre sådana för räknesättens behandling böra upptagas ch dessa senare genmgående behandlas efter talsrterna, hvarje räknesätt efter sin egen natur. Derjemte trde exemplens antal i åtskilliga fall böra förökas. Nrdlund, K. P., Räkneöfningsexempel för sklr uppstälda med afseende på heuristiska metdens användande. Uppsala, W. Schultz. Häftet I. Hela tal. Sjette upplagan. Tryckt i Stckhlm, Centraltryckeriet, sidd. Pris 50 öre. Häftet II. Brak. Fjerde upplagan. Tryckt i Uppsala, Edv. Berlings bktryckeri, sidd. Pris 50 öre. Dessa räkneöfningsexempel, sm rdnats i två afdelningar, A ch B, af hvilka den senare innehåller någt mer invecklade uppgifter för mer begåfvade lärjungar, är i flere afseenden uppstälda på ett högst förtjenstfullt sätt, synnerligen hvad hela tal beträffar, men äfven i fråga m vissa delar af bråkläran. Förf. lägger med rätta str vigt vid att utgångspunkten skall vara åskådning. Lärjungarne få derigenm från början en klar ch riktig uppfattning af sjelfva talen ch lära sig skilja mellan talbegreppen ch taltecknen, hvilket i betydlig mån underlättar förfaringssättet vid räknandet. Förf. inrdnar i grundsatsen m det hela, delarne ch delarnes antal likasm i en ram alla s. k. räknesätt, ch först i afdd. XI XIV förekmma uttrycken addera etc. Räkneöfningsexemplen

78 78 RÄKNING. c c frtgå från lättare till svårare, är knkreta ch praktiska, beröra frågr ur naturen ch lifvet samt taga ständigt lärjungens eftertanke i anspråk för lösningen. Härigenm är de synnerligen egnade att främja hans förmåga af eget tankearbete ch att väcka hs hnm lust ch intresse för ämnet. Det hade dck varit önskligt, att de följda grundsatserna så småningm ch mera fullständigt utvecklats. Nu förekmma t. ex. uppgifter för talbegreppens uppfattning endast i afdeln. I, ch dervid behandlas genast på en gång hundratal, tital ch ental. Inledningsexemplen till de särskilda räkneperatinerna är för stra för lärjungarnes successiva införande i förfaringssättet, ch den vigtiga grundsatsen, att hvar talsrt bör behandlas för sig, är icke ng beaktad. Så hafva icke heller alltid nya steg ch inträdande svårigheter med tillräcklig nggrannhet förberedts, t. ex. låneperatinen, mångdubblingen med tital m. m., lösningen af de i ch för sig gda, men vid första påseendet svåra ex å sid. 15, ränteberäkningen (ex. 7 9, sid. 27, häft. I) samt bråks liknämniggörande (förvandl. till samma slags delar, sidd. 5 ch 16, häft. II) m. fl.. Orsaken till denna brist på vigtiga förmedlande länkar trde få sökas deri, att förf. icke betraktar sina räkneöfningsexempel såsm en fullständig räknelära, utan endast sm hjelpmedel att befästa det muntligt meddelade, hvarpå med all rätt synnerlig vigt lägges. Det hade dck ländt saken till strt gagn, m dessa öfningsexempel ännu klarare afspeglat förfaringssätten ch lemnat tydligare ledning. Åtskilliga tydligheter förekmma i en del frågr, såsm i ex. 1 3 å sid. 8 af häft. I. I bråkläran har förf. tillämpat läran m förhållande (se sidd. 11 ff.), men ehuru han gått till väga knseqvent ch från den antagna synpunkten riktigt, så är dck hans förfaringssätt alltför svårfattligt ch leder lätt till en abstrakt behandling, hvadan det ej trde kunna med fördel användas för lärjungar på det stadium, der bråkläran i allmänhet påbörjas. Såsm speciella anmärkningar kunna anföras följande. Vigten af att lärjungarne öfva sig aritmetiskt teckna exempel har blifvit förbisedd.

79 GRANSKNING. 79 Då decimalbråk är af så str betydelse för det praktiska lifvet, hade deras behandling brt förr inträda. Ett frångående af den utvecklande metden innebär redgörelsen- för beteckning af decimalbråk å sid. 24, haft. II, hvarest framställningen är rent mekanisk. Prcentbegreppet (II: 29, 30) hade kunnat behandlas enklare ch bråkbegreppet (II: 15) någt nggrannare. Detta arbete har sålunda många stra förtjenster ch utmärker sig särskildt för sin vetenskaplighet ch krrekthet samt sin strängt utvecklande metd, men för barn inm flksklans åldersklasser trde det dck icke lämpa sig i sin helhet ch i sin nuvarande frm, emedan framställningen, ehuru grundad på ch utgående från åskådningen, dck i vissa delar är alltför abstrakt ch svårfattlig. En marbetning särskildt af bråkläran med hänsyn till behandling efter talsrter trde vara önsklig. Sievers, P. Fr., Första öfningsbken i räkning. Med synnerligt af seende på en naturlig sammanbindning af muntlig ch skriftlig räkning. Fjerde, genmsedda upplagan. Stckhlm, förf:s förlag. Tryckt i Oefle å Geflepstens tryckeri sidd. Pris inb. 85 öre. Ofvanstående bk är indelad i fyra kurser, af hvilka den första behandlar talmrådet 1-10, den andra 1 100, den tredje 1 1,000 ch den fjerde 1 10,000, hvarefter några blandade slutöfningar upptagas. Såsm en mycket framträdande egendmlighet hs denna öfningsbk kan i första rummet nämnas dess rikedm på sifferexempel, under det att sakexemplen är mycket få ch upptagas först i slutet af den andra kursen (se sid. 65) samt här ch der i den tredje ch fjerde. Denna anrdning måste anses mindre gd, äfven m förf:s i förrdet lemnade anvisning, att läraren bör muntligen ifylla text till de uppgifna siffrrna, vre möjlig att städse efterkmma.

80 c * 80 RÄKNING, Såsm varande en första öfningsbk upptager bken bltt hela tal, men inrymmer bland dem äfven uppgifter med srter, hvilket är värdt erkännande. Ännu mera förtjenstfullt hade varit, m förf. tidigare begagnat sig af srter, nemligen till att klargöra talbegreppen. Detta sista mment har han helt ch hållet öfverlemnat åt läraren, ch i räknebken finnes sålunda ingen ledning hvarken genm textanvisningar eller exempel för gången af dylika föröfningar ch för deras lämpliga sammanställning med räkneöfningsexemplen. Detta är en brist. Bken vitmärker sig särskildt derutinnan, att exemplen genm sin anrdning afse att angifva en sådan gång för undervisningen, att denna må leda till en rätt uppfattning af räknesätten. Exemplen, af hvilka de i den första ch andra kursen upptagna i allmänhet höra till småsklans stadium, är sålunda rdnade efter en frtskridande lärgång, ch särskildt afseende fästes derjemte vid de lika talsrternas behandling. Framställningen i denna del skulle emellertid hafva vunnit i klarhet, m på hvarje stadium exempel med talsrter uttryckta i rd hade föregått exempel med talsrter uttryckta i ental (d. v. s. fullt utskrifna med siffrr). Med hänsyn härtill brde förf. ck vid de för räkneperatinerna gifna teckningarna hafva behandlat talsrterna hvar för sig såsm sådana (t. ex. ss. 25, 35) ch tydligare åskådliggjrt deras förvandling (t. ex. ss. 35, 61, 82, 83 ch särskildt vid tvåsiffrig multiplikatr, s. 86, ch tvåsiffrig divisr, s. 92). Såsm efterfölj ans värdt må påpekas, att förf. vid hpläggning ch fråndragning håller sig inm första titalet (1 10), i mtsats mt att författare vanligen röra sig inm de två första (1 20), ch sålunda alltid t. ex. vid additin först fyller den na addendens tital med ental från den andra ch sedan låter de återstående entalen tilläggas såsm sådana (t. ex. s. 27: ; = 50; = 55). De genvägar, förf. anvisar ss. 97, 99 ff., trde mera passa för hufvudräkning. I B. 1 (s. 62) förbereder förf.'uppfattningen af bråkbegreppet, men alltför knapphändigt ch för litet åskådligt samt företrädesvis i sammanhang med restens behandling vid divisin.

81 GRANSKNING. 81 En anmärkningsvärd egentlighet i anrdningen är att låta = betyda äfven annat än»lika med». Sä användes det på s. 36 för»ksta» {2 kgr. = 38 öre, 1 kgr. =? öre; 2 duss. = 56 öre, 1 dussin =? öre), på/s. 128 för»arbeta» (4 man = 3 dagar). s. v. på många ställen. Vid kmbinerade uppgifter hade det varit skäl att använda parenteser eller ck att med rd uttrycka räkningens gång, t..ex. (s. 40) 8x6 5x9, hvilket tydligare hade uttryckts så: (8x6) (5 X 9), för att få afsedt facit. Kmmitterade anse, att denna öfningsbk för att blifva fullgd behöfver marbetas, ch att dervid hänsyn bör tagas i synnerhet dertill, att talbegreppen klargöras, ch att räknesätten mera grundas på talsrternas behandling såsm sådana, hvarjemte sakexempel böra upptagas i riktig följd ch i tillräcklig mängd. Xijungh, J., Räknelära för flksklan, afsedd för hufvud- ch sifferräkning. Första kursen: enkla tal, srter ch regula de tri, efter Ernst Hentschels»Rechenwerk». I. Lärbk. Helsingbrg, Jh. Svenssn i kmmissin. Tryckt i Varberg, J. P. Nybergs bktryckeri, sidd. Pris 1 kr. Jjjungh, tl, Räknelära för flksklan, afsedd för hufvud- ch sifferråkning. Andra kursen: bråk, regula, de tri m. m., efter Ernst Hentschels»Rechenwerk». Lårbk. Andra upplagan, med tillämpning af metersystemet. Helsingbrg, utgifvarens förlag, F. T. Brgs bktryckeri sidd. Pris 1 kr. Jjjungh, J., Räknelära för flksklan. Exempelbk. Andra marbetade upplagan, rdnad enligt nrmalplan för flksklr ch metersystemet. Första kursen. Enkla ch benämnda tal. Helsingbrg, Jhan Svenssn i kmmissin, tryckt hs N. Jönssn sidd. Pris 25 öre. {Facitbken särskildt 25 öre.) Xijungh, J., Räknelära för flksklan. Exempelbk. Andra marbetade upplagan, rdnad enligt nrmalplan för flksklr ch metersystemet. Andra kursen. Bråk, regula de tri m. m. Helsingbrg, Jhan Svenssn i kmmissin, N. Jönssns bktryckeri sidd. Pris 30 öre. {Facitbken särskildt 20 öre.) Betänkande ang. Flksklans lärböcker. *****

82 . 82 RAKNING. Lärbken innehåller jemte exempel för hufvud- ch tafvelräkning en detaljerad framställning m hur ämnet bör behandlas på de lika stadierna. Förf. framhåller, att talbegreppen ch särskildt talinnehållet böra af lärjungarne Tara klart uppfattade, innan de få i räkning perera med talen (I: 3 26). Vid tillämpning af denna sats hade det varit fördelaktigt, m talen sönderdelats i alla sina. beståndsdelar ch icke endast i två (I: 6). Vid titalen har förf. gått direkt från kulramen till de abstrakta siffertalen (J: 28). Lämpligare hade det varit så väl för uppfattningen af tital ch ental sm ck för räkneperatinerna med dem att först begagna exempel med knkreta dekadiska srter. Dessa behöfva icke betraktas såsm en ny svårighet (I: 36), utan snarare såsm en förmedlande öfvergång från den medelbara åskådningen till de abstrakta siffertalen ch såsm ett gdt medel att ytterligare klargöra talsrterna. Att vid sammanläggning ch fråndragning uppdela entalen så, att först ett tital bildas, till hvilket öfverskjutande ental sedan läggas eller hvarifrån de dragas, är deremt förtjenstfullt. Hade decimalbråkbegreppet förberedts medelst öfningar med dekadiska srter, så hade den sjette öfningen i II: 13 blifvit öfverflödig. Sedan talsrterna blifvit klargjrda, hade icke allenast vid hela tal, utan ck vid decimalbråk räknesätten brt inledas genm öfningar med knkreta dekadiska srter ch talsrter. Härigenm hade behandlingen blifvit mycket enklare ch för lärjungarne lättfattligare än genm den i bken förekmmande knstlade upplösningsmetden. Framhållas må ck, att de hufvudräkningsexempel, sm användas att inleda räknesätten, böra behandlas på samma sätt ch i samma rdning, sm man i det följande ämnar gå till väga, ty i annat fall blifva de icke grundläggande. Förf:s långt i en riktning drifna upplösningsmetd i hufvudräkningsexemplen kan väl gifva mera framskridna lärjungar anvisning till genvägar, men genm de många likartade ch lätt förvillande föreskrifterna är den lämplig såsm inledande ch grundläggande. Enär räkneperatinerna böra grunda sig på talsrterna, böra vid förberedande öfningar inga andra uppdelningar förekmma än sådana, sm hänföra sig till

83 GRANSKNING. 83 dessa; behandlingen bör ck, utm vid divisin, börja med entalen (Ii 34, 39, 40, 41, 52. s. v.). I fall förf. hade gått till väga på detta sätt, hade icke en så lämplig mkastning behöft göras med afseende på rdningsföljden sm den, hvilken mtalas för den skriftliga räkningen i I: 44, enär det nya förfaringssätt, sm här införes, mycket väl kunnat följas redan i inledningen. Vid klargörandet af den skriftliga räkningen har förf. väl i allmänhet följt den principen att använda talsrterna såsm grund, men denna tanke har dck icke alltid varit den ledande. I stället för att i spetsen för additin (s. 37) sätta den mekaniska satsen:»man har bltt att iakttaga vid uppskrifningen, att enheter skrifvas under enheter ch tital under tital» etc, hade det brt heta:»man har bltt att iakttaga, att endast lika talsrter kunna läggas tillsammans». Det å sid. 96 anförda skälet för reducering till en srt är icke giltigt. Det är tvärt m mera åskådligt att vid behandling af lån först använda fördelade srter. Olämpligt är att på sådant sätt sm å sid. 52 mkasta (»mvända») faktrerna, ch derigenm vinnes icke någn förberedelse till multiplikatin med tvåsiffrig multiplikatr. Förklaringen af multiplikatin med flersiffrig multiplikatr medelst den knstiga s. k.»inryckningen» (I: ) gör behandlingssättet någt tillkrångladt ch framkallar åtskilliga mekaniska föreskrifter, t. ex.»vi måste derföre tillägga 2 nllr» (s. 111). Vid divisin bör icke sökandet af innehåll (s. 56) vara det första steget. 1 fråga m delning är det lättare för lärjungarne att fä börja med att dela i lika delar än att genast söka en viss del (s. 62), ch i exempelbken är ck en mtsatt rdning följd. Den för divisin använda uppdelningsmetden (ss. 69 ch 70) är praktisk, ty lärjungarne kunna icke leda sig till huru uppdelningen skall ske, hvadan ett gdtyckligt förfarande ch ständigt försökande blir följden. Stundm föranleder denna metd till riktiga svar, t. ex. I: 75, der 8 säges innehållas i ggr i st. f. 11 ggr. Bättre hade varit att behandla denna sak efter talsrtér. I den fjerde afdelningen (I: 136 ff.) behandlar förf. decimaltal, decimalsrter ch deras förvandling samt decimalbråks beteckning,

84 84 RÄKNING. innan lärjungarne fått någn sm helst kunskap m mtsvarande begrepp, hvilket är att gå i en naturlig rdning ch haft till följd, att hela afdelningen är mekaniskt framstäld. Läran m decimalbråk är den svagast behandlade delen af bken. Från den teretiserande beskrifningen af bråkbegreppet (II: 3) kmmer förf. till beteckningen. Han har sålunda frångått sin första föresats att»börja med åskådning» ch att»i första rummet meddela saken sjelf ch i andra rummet beskrifningen» (I: 3). Om praktiska exempel användts för delars klargörande (II: 4), så hade lärjungarne uppfrdrats till större sjelfverksamhet, ch en redigare uppfattning af saken hade vunnits. Att jemte decimaler genast medtaga hela underlättar icke uppfattningen. Sambandet mellan tindedelar ch hundradelar blir icke tydligt för lärjungarne, emedan förf. ej förvandlar tindedelar till hundradelar (II: 5). Större delar hade alltjemt vid öfvergångarne till någt nytt brt förvandlas till mindre delar i st. f. att dervid till större förvandla de mindre. Innebörden af decimalbråks förlängning, förkrtning ch liknämniggöring (talsrters förvandling) förblandas med förfaringssättet vid dessa, förvandlingar (II: 6, 7). De meddelade reglerna för räkning med decimalbråk är fullkmligt mekaniska (II s. 15 :14, 16 : 17, 19 : 22, 22 : 28). Förfaringssättet då multiplikatrn eller divisrn är 10, 100, 1,000. s. v. (II: 17, 20) är en mekanisk genväg ch lämpar sig icke till utgångspunkt, enär det hvarken åskådliggör räknesättens art eller klargör grunden till förfarandet. Den på sid. 21 i 25 framstälda tanken (jemförande af lika talsrter, d. v. s. liknämniggöring vid fråga m innehåll) hade brt knseqvent utvecklas. De allmänna bråken (II: 25 ff.) är mycket bättre behandlade. Om förf. under anslutning till den åskådliga ch jemförelsevis gda framställningen i 37 grundat den följande behandlingen på delarnes förvandling, så hade större delen af 38 ch 41 kunnat undvaras. Inledningen till bråk är ganska förtjenstfull, ch hade förf. fasthållit ch knseqvent utvecklat de tankar, sm finnas uttalade å sid. 33 (»lärjungarne finna strax» etc), å sid. 34 (»har det hela» etc.) ch å

85 GRANSKNING-, 85 sid. 35 (»man måste dela det hela» etc.), så hade föreskriften m bråkens förlängning vid deras liknämniggörande blifvit behöflig, ch föreskriften å sid. 39, att»bråken måste först göras liknämniga», hade då ingått i den allmänna lagen m förvandling till samma slags delar (jfr S; 41). Enär förf. för additin ch subtraktin (ss ) följer en utvecklande metd, blifva de i 54 ch 57 upptagna mekaniska minnesreglerna öfverflödiga. I den femte ch de följande af delningarna behandlas regula de tri m. m. (II: 58 ff.). Den för dessa frågrs lösning använda s. k. enhetsmetden bör icke drifvas till sådan ytterlighet, sm här skett, utan hvarje exempel må behandlas efter sin egen innebörd. Metden för uppsökande af medeltal mellan två tal (s. 62) är ej tillämplig, när antalet tal mellan de uppgifna är jemt, ch när fråga är m. tre tal, kmmer man med förf:s metd för»upplösning» endast undantagsvis till rätt resultat. För öfrigt hade det vigtigaste af femte, sjette ch sjunde afdelningarna brt inrdnas under de fyra räknesätten. Angående exemplen kan följande anmärkas. De i exempelbken I sidd. 7, 8 upptagna ex. 1-5, 43 ch 44 är alltför enfrmiga ch tröttande. På sidd (ex. 1 50), sid. 12 (ex. 1 6), sidd. 12, 13 (ex. 1 7) upptagas mycket lätta uppgifter i för str mängd. På sid. 11 är resten i ex. 22 ch 23 förvandlad till bråk, men nöjaktig redgörelse härför lemnas i lärbken först längre fram. Ex å sid. 50 är på detta stadium lämpliga, synnerligast sm ledning saknas. I exempelsamlingen II kunna bland egentligheter anföras följande. A sid begynna exemplen för medeltalsberäkning lämpligt ng med bråktal; å sid brde enklare exempel hafva användts i början, ch det hade brt angifvas, att förf. önskar förhållandet angifvet med de minsta möjliga hela talen. För parentesers förklaring (I: 45) hade det varit bäst att utgå från riågt sakexempel ch medelst aritmetisk teckning af detta visa deras uppgift. Förf. har emellertid ingenstädes redgjrt för aritmetisk teckning, ch i exempelbken finnas inga exempel, sm leda lärjungarne till insigt derm.

86 c c 86 RÄKNING. I språkligt afseende finnas åtskilliga jemnheter. Ordet»upplösning» begagnas vanligen m tals uppdelning i faktrer eli talsrter, men äfven i andra eb dertill egentliga betydelser, såsm i lärbken I: 48 ch i exempelbken I: 88. Uttrycket att fjerdedelen af 3 hela = 0 (II: 7), är högst besynnerligt. Med anledning af hvad sm nämts här fvan anse kmmitterade, att lärbken bör marbetas efter en utvecklande, på dekadiska srter baserad ch knseqvent genmförd metd, hvarvid särskildt bör iakttagas, att anvisningarna till räknesättens behandling städse kmma att grundas på de särskilda talsrterna. I exempelbken, sm naturligtvis bör rdnas i öfverensstämmelse med den marbetade lärbken, böra inledningsexemplen till räknesätten få sin plats. I sin nuvarande frm är exempelbken ensam icke tillräcklig, ch lärbken kan icke, sådan hn nu är, fylla bristerna i den samma, enär hn innehåller alltför många metdiska anvisningar för att lämpligen kunna sättas i barnens hand. Velanders räknebk för flksklan. I. Hela tal. Flksklans första ch andra årskurser. 2,000 uppgifter femte nödiga anvisningar. Stckhlm, P. A. Nrstedt & Söner, tryckt i P. A. Nymans tryckeri sidd. Pris 25 öre, inb. 35 öre. (Facit särskildt 10 öre). Af denna lärbk bar icke mer än första delen ännu (mars 1887) utkmmit, hvarför någt mdöme icke kan fällas m dess plan i sin helhet. Emt denna del trde dck några anmärkningar böra göras. Medelst inledningsexempel till de lika grupperna af additin (ss. 4 9) visar förf., att de särskilda srterna böra behandlas hvar för sig, men till följd deraf att dessa exempel är alltför få ch ega ringa samband med följande exempel, kan man befara, att lärjungarne icke kmma till klart medvetande m detta vigtiga mment. Behandlingen är ck fullständig derutinnan, att öfningar med bltta tital saknas. Åfven andra knkreta dekadiska srter än myntsrter hade kunnat användas med fördel. Förf:s uttalande

87 \.*xxt i.'^-^»&*ju~ O-J \NuJU~lU j GRANSKNING. 87 (s. 9):»för att draga ensiffriga tal från tvåsiffriga behöfver man aldrig låna» tyckes visa, att han här icke grundar räkningen på talsrterna, utan i stället använder någt slags mekaniskt inlärande af en subtraktinstabell intill 100. Behöfver man icke»låna» i fråga m tvåsiffriga tal, så kan ck sägas, att man icke behöfver låna från tal med tre eller flere siffrr, ty kan t. ex. 7 dragas från 63 utan lån, så kan ck 7 dragas från 163 utan lån. Uttrycket att man multiplicerar med 10»genm tillsättning af en nlla» (s,. 18 ex. 221) antyder ett mekaniskt förfaringssätt. Här visar sig följden af den knappa behandlingen af talbegreppen i det hänseendet, att några, öfningar icke intagits för hundratalens förvandling till tital ch de på detta sätt uppkmna titalens förvandling till ental. Förf. har dck vid multiplikatin liksm vid de två föregående räknesätten sökt att i någn mån tillämpa grundsatsen m talsrternas behandling hvar för sig ch att på denna väg leda lärjungarne till insigt af räknesättets väsen ch förfaringssättets grund, ch ehuru mycken fullständighet ch brist på klarhet i plan göra sig gällande, är dck behandlingssättet här jemförelsevis gdt. Vid divisin har han deremt begagnat ett mycket praktiskt sätt att gå till väga. I stället för att utreda begreppen delning ch innehåll medelst lämpliga exempel, har han sökt att förklara divisinsbegreppet genm att använda ett slags på multiplikatinstabellen grundade frmler, ch sedan han på dylikt sätt behandlat först innehållsdivisin (s. 20) ch sedan delning (s. 22), uppställer han generella frmler (s. 24) för alla multiplikatinsfrågr ch de båda slagen af divisinsfrågr. Dessa senare blifva dck' härigenm icke annat än aritmetiskt tecknade multiplikatinsexempel. De kunna knappt anses såsm divisinsfrågr, så länge de ha multiplikatinstecken. Dessa frmler är föga tjenliga sm hjelpmedel för uppfattning af divisin ch icke på någt sätt lämpliga att utgöra grund för divisinsräkningen. Endast för belysande af sammanhanget mellan divisin ch multiplikatin kunna de vara till någt gagn, men böra då meddelas såsm afslutning ch icke såsm inledning. Hänsyn till talsrterna tages först senare, nemligen i ex. 292 ch 305. Först här inslår förf. på den rätta vägen, men

88 88 RÄKNING. då hans mening tyckes vara, att de inm () angifna uttrycken i regel skla förbigås, kunna lärjungarne lätt kmma att förfara mekaniskt, allra helst sm de öfriga exemplen icke sammanbindas med det inledande exemplet. Derjemte försvåras uppfattningen af räknesättet ch peratinerna genm att vid s. k. delningsdivisin (s. 23) till en början en viss del af dividenden sökes, i stället för att dividendens delning i lika delar brt utgöra utgångspunkt. Ehuru divisinstabellen gifver anledning till att utgå från s. k. innehållsdivisin,, så böra dck frågr af detta slag, såsm mindre användbara för meddelande af insigt i förfarandet vid divisinsräkningen, uppskjutas tills säkerhet i detta afseende vunnits genm s. k. delningsräkning. På grund af den klara behandlingen ch den bristfälliga ledningen är det fara värdt, att lärjungarne kmma till ett mekaniskt förfaringssätt, eller att de, sm författaren säger på sid. 23,»först dela på måfå» ch sedan»jemka» någt eller ck följa anvisningen på sid. 29 att gdtyckligt»höja de jemna talen någt». - Behandlingen af divisin i den senare kursen är likartad med den i Phragméhs räknebk använda medelst parter, livarför här endast hänvisas till utlåtandet m denna. Kapitlen m några metriska mått ch vigter (ss , 39 41, 48, 54) är föga systematiskt behandlade. Ex. 13, 14, 22, 25, 26 m. fl., hade lämpat sig särdeles väl för klargörandet af talbegreppen ch hade derför kunnat intagas i inledningen till den första kursen. De öfriga hade kunnat användas såsm inledningsexempel till räknesätten. Vid additin hade det varit bättre att använda dekadiska srter för klargörandet än icke-dekadiska (ss. 34, 35). På sid. 54 säges, att ytmåttets förhållande till längdmåttet visas lättast med hjelp af några äldre mått, men det bör kunna ske lika lätt med de nya. Det på sid. 42 i ex. 82 upptagna resnnemanget är ändamålslöst. Dylika förändringar af tal för lån är af föga gagn. Stundm inblandar förf. sådana talsrter, sm icke tillhöra den uppgift han har före. Sålunda är det lämpligt att i inledningen (ss. 1 3) inblanda»femöring»,»femtiöring»,»tvåkrna». s. v., när

89 .. O O GRANSKNING. 89 det är fråga m att klargöra förhållandet emellan ental ch tital. På samma sätt upptages äfven»femtiöring», när fråga är m entals ch titals behandling för sig vid multiplikatin (s. 15 :153 m. fl.). Förf. har åsyftat att göra innehållet öfverskådligt genm en mängd rubriker, men härutinnan förekmmer dck fta rdning ch mindre gd reda. Rubrikerna beteckna nemligen icke alltid nya steg i utvecklingen. Rubriken»vanlig divisin (med subtraktin ch nedflyttning): divisr högst 20» (s. 27) är föregången af en afdelning (ex ), sm har sådana divisrer sm 24, 48, 30, 25, 32, 36, 110 ch uppgifter sådana sm = x. Afdelningen före denna åter (ex ) bör väl anses höra till inledningen för divisin, men innehåller exempel, i hvilka rest uppstår. De på sid. 17 upptagna exemplen är icke, såsm man kunde tr på grund af rubriken, mer specifika öfningar för multiplikatinstabellens inlärande än hvilka multiplikatinsexempel sm helst, ch m mångdubbling rätt behandlas, betecknar icke rubriken på sid. 18 (tresiffrig multiplikand) någn ökad svårighet. Språket är en ch annan gång tydligt. Satsen på sid. 18r»vanligen multipliceras först med 2 ch sedan med 10» kan missuppfattas, så att talet tages 12 gånger i stället för 20.»Sammansatta enheter» (s. 31) är en lämplig term, ty äfven 2, 3. s. v. är sammansatta. Satsen på sid. 55:»m längdmått multipliceras med längdmått, blir resultatet ytmått» är lämplig äfven såsm minnesregel. Af det sagda framgår, att det utkmna häftet bör i åtskilliga delar underkastas en grundlig marbetning. Ohlssn, Håkan ch Celander, A., Exempelsamling för skriftlig räkning, i enlighet med nrmalplan för undervisningen i flksklr ch småsklr utarbetad ch metdiskt rdnad. l:a h. De fyra räknesätten inm talserien 1 1,000 (15 öre). 2:a h. De fyra räknesätten med tal öfver 1,000 (20 öre). 3:e h. Decimalbråk ch metersrter (25 öre). 4:e h. Allmänna bråk ch deras tillämpning pä srträkning (30 öre). 5:e h. Regula de tri ch allmän prcenträkning (30 öre). Lund, O. W. K. Gleerups förlag, Fr. Berlings

90 100 O RÄKNING. O de delar, sm sålunda blifvit bristfälligt behandlade, skall den säkerligen kmma att väl mtsvara sitt ändamål. Vid en sådan marbetning vre det önskligt, att förf. baserade hela framställningen på titalssystemet, behandladt på ett mera grundläggande sätt än i förevarande upplaga, der det är' affärdadt med alltför str krthet uti inledningen till^blkjkfllans^kurs (ss. 17, 18), samt att han ständigt betjenade sig «talsrterna»vid räknesättens inöfning. JRedan i småsklekursen bör större Omsrg egnas åt öfningarna för talens uppfattning, än hvad nu ar fallet./' rivart ch ett af räknesätten i hela tal hade brt föregås af en mera allmän inledning för att föra lärjungarne till uppfattning af dem. / Vid additin ch subtraktin (ss. 18, 20) är de anförda inlcdningsexemplen icke tillräckliga för att bibringa lärjungarne insigt m att det bltt är lika talsrter, sm kunna läggas tillsammans eller fråndragas. För lösning af nya svårigheter hade stundm bättre förberedelse brt lemnas. Så hade ex. 56 (s. 13), sm afser att inleda läncperatincn, brt behandlas åskådligare. (Jfr ex. 81 å s. 20). Ifall förf. fullständigt baserat räknesättens behandling på dekadiska srter, så hade sådana exempel, sm upptagas å sidd. 37 (49 55), 39 (89 96), 42 ( ), 44 ( ), med fördel kunnat användas såsm dylika inledningar, ehuru ifrågasättas bör, m det då varit lämpligt att betjena sig af så många lika slag af srter, sm här förekmma. För det första exemplet i subtraktin med hela tal (s. 20 ex. 66) hade en annan frm varit lämpligare, ch rdningsföljden mellan exemplen å sid. 20 hade brt vara 69, 68, 67. Vid rnultirjikatin (s. 23) hade det varit bättre, m exempel, sm innehålla multiplikand med tital ch ental, gått före sådana, sm hafva multiplikand med hundratal. I ex. 189 (s. 25) hade b) brt föregå a) ch detta senare enligt förf:s metd (ex. 173) uppdelas i två uppgifter. Den andra specialprduktens siffervärden trde icke blifva fullt klara för lärjungarne genm förf:s framställningssätt, ty betydelsen af mångdubbling med de särskilda talsrterna framhålles icke tillräckligt tydligt, Uppställningen i ex. 180, 183, 186 (ss. 24, 25) är icke lämplig såsm förberedelse för det resultat, sm åsyftas

91 GRANSKNING., 101 genm ex. 189, enär delprdukterna i de förra är sammanslagna, i det senare skilda. Vid divisin brde sådana exempel, sm åskådliggöra den enklare ch påtagligare betydelsen eller delningen (t. ex. 218 d), hafva föregått dem, sm behandla innehållssökandet (se ck s. 28: 245, s. 29:.249). Ehuru ex (ss. 27, 28) är sådana, att inga partialrester uppstå, hade det dck varit fördelaktigt, m de varit föregångna af en afdelning med bltt tital, pä det att lärjungarne så mycket säkrare måtte vänja sig vid att behandla hvarje talsrt för sig. Uppdelningen i a) ch b) i ex. 238 ch 239 (s. 28) gifver icke tillräckligt klar ledning för öfverskttens förvandling i ex. c). Behandlingen af ex. 254 (s. 29) trde göra, att syftemålet med ex till str del förfelas. Dessutm är den gjrda uppdelningen, sm afser att vara en fingervisning, missledande för den följande räkningen, såsm framgår af ex. 256, der 84 skall delas med 12. Enligt förfs ledning genm ex. 254, ytterligare inskärpt i ex. 255, skulle lärjungen här säga:»huru många gånger 10 är 80, huru många gånger 2 är 4», men från svaren på dessa frågr kan han icke kmma till den rätta qvtsiffran (se ck ex. 257). Anvisning till restens behandling i frm af allmänt bråk saknas helt ch hållet. Vid inledningarna så väl till. decimalbråk i allmänhet sm till de särskilda räknesätten med dessa bråk (ss ) har förf. visserligen sökt tillämpa en utvecklande metd ch stundm gjrt det ganska förtjenstfullt, men han har icke alltid lyckats att knseqvent fullfölja denna föresats. Slutet af den allmänna inledningen för till en mekanisk behandling, enär förf. grundar beteckningen på de mönster han gifvit ch frdrar, att lärjungarne skla kunna uppskrifva talen med ledning af»delarnes» ch»decimalernas» antal i hvarje fall. Kättare är att bygga läran m beteckningen på delarnes värden, då det faller af sig sjelft att, m en talsrt saknas, detta angifves genm 0. Förfaringssättet vid de särskilda räknesätten hade blifvit redigare, klarare ch enklare, m behandlingen fullständigt grundats på talsrterna. Särskildt multiplikatin ch divisin visa genm så väl behandlingssättet sm exemplens beskaffenhet, att planen icke är

92 102 RÄKNING. c c fullt genmtänkt. Anm. till ex. 67 å sid. 52 innehåller en rent mekanisk anvisning. Vid redgörelsen för multiplikatin med decimaler i multiplikatrn (s. 54: 110) hade det varit bättre att behandla hvar talsrt för sig. Anm. vid ex. 122, den enda ledningen för divisin i decimalbråk, är mekanisk ch lemnar ingen redgörelse för qvtens talsrter. Förklaringarna vid ex. 136 ff. (s. 55) hade tydligare brt framhålla liknämniggörandet, då fråga är m innehåll, ch fördelningen på delarne, när fråga är m likadelning., Räknesätten med allmänna bråk (ss ) brde hafva inledts på ett mera åskådligt sätt ch behandlats med anslutning till talsrterna, hvarjemte exemplen brde hafva varit af mera praktiskt innehåll. Ex. 6 (s. 75) lämpar sig till utgångspunkt ch brde hafva föregått ex. 1-5; man hade väntat sig en mångsidigare användning af detta åskådningsexempel för att inleda det allmänna bråkbegreppet. Vid bestämmande af begreppen egentligt ch egentligt bråk (s. 76: 14, 25) brde utgångspunkten hafva varit bråkets strlek i förhållande till ett helt ch icke täljarens ch nämnarens inbördes strlek. Förf:s framställning m bråks förvandling är ganska bristfällig. Frågrna i ex. 38 (s. 77) brde hafva varit så uppstälda, att d lcdt till de svar, sm finnas i facit, hvarigenm en bättre öfvergång vunnits till ex. 39. Afven såsm utgångspunkt för framställningen af bråks förlängning brde nyssnämda x. 38 hafva varit bättre behandladt, ch i det följande brde ex hafva kmmit senare, emedan först af ex. 66 ff. det väsentliga framgår, nemligen att förlängning är förvandling till andra slags delar. Allmänna bråk förvandlar man icke, såsm förf. (s. 78) säger, till decimalbråk»i stället för att förkrta» dem. Denna förändring är ftare en förlängning. Upplysningen m förfaringssättet, lemnad genm hänvisning till ex. 133 å sid. 55, är ytterst knapphändig ch bristfällig, ch grunden till det samma är icke antydd med ett nda rd. De gifna föreskrifterna m bråks liknämnig^ görande är icke tillräckligt förklarade (s. 79), hvadan regeln framstår sm mekanisk, ch innebörden af att bråk skla göras liknämniga är icke klargjrd, ej heller har vid de fyra räknesätten, der så

93 GRANSKNING. 103 behöfts, nödvändigheten af peratiner med samma slags delar tydligt framhållits (se ex. 103, 118). Multiplikatin i allmänna bråk (s. 81) är i vissa delar lämpligt behandlad. Anledningen till jemförelsen af ex. 132 med ex. 34 (s. 77) är svag, ch att använda ex. 35 (s. 77) till ledning för»skriftlig uträkning» af uppgifterna i ex. 149 är möjligt. Likaså är det, hvad divisin beträffar, rimligt att grunda uträkningen af ex. 165 (s. 82) på ex. 35 (s. 77). Den behandling, sm divisin med allmänna bråk erhållit i ex. 171 (s. 82), är för lärjungarne mycket svårfattlig, i synnerhet i fråga m mm. b; Bkälet till förfaringssättet är icke för någtdera mmentet tydligt. Hvarken af denna uträkning eller af den följande vid ex. 172 (s. 83) framgår den meddelade regeln såsm en naturlig följd, h vadan den blir helt mekanisk.ch nästan fristående. Exemplen i denna lärbk är synnerligen rikhaltiga, ch merendels väl rdnade, men gifva dck anledning till några smärre anmärkningar. Ehuru låneperatinerna prepareras först i ex. 81 (s. 20), förekmma dck lån redan i ex. 75 ch 79. Exemplen med hundratal i multiplikatrn (ss : 177, 178, , 198, 199) hade brt bilda en grupp för sig efter exemplen med tital ch ental. Bland divisinsexemplcn å sid. 42 är upptagna åtskilliga, sm höra dels till allmänna inledningen, dels till inledningen för divisin. Ex (s. 59) hade brt rdnas på samma sätt, sm skett inm de föregående afdelningarna. Ex. 7 c), 8 b) ch c) (s. 75) brde hafva stälts i samband med serien Det nya mment, sm intagits i ex. 36 (s. 77), är här mtivcradt ch leder in på cn annan väg för jemförelsen än den naturliga ch sedan använda. Att tlka nrmalplanens rd rörande kursen för den första årsklassen så, att icke ens i prdukten får finnas mer än tre siffrr (ss ), är att tyda dess anvisningar alltför ensidigt, Förf. behandlar srträkningen uti en särskild afdelning efter decimalbråk (ss ), men åtskilliga dithörande exempel hade brt inrdnas på lämpliga ställen dels i hela tal, dels i decimalbråk. (Jfr uttalandet i grundsatserna). Likaså hade de vigtigaste af uppgifterna för regula de tri, rabatt m. m. (ss ) kunnat upptagas i det föregående.

94 104 RAKNING. c I sina definitiner ch sitt val af termer har förf. icke alltid varit lycklig. Sålunda är definitinen på multiplikatin (s. 40: 105) fullständig, ch i stället för hvad han i anslutning till denna säger:»de gifna^akm-k-ftl^las fak4e^r.>,hre»ie^det hafva hetat:»de tal, sm uttrycka/ delarne tehtdelarnes antal») etc. För öfrigt är denna delinitin utsrrrrraefinitiietliii på "Sfriga räknesätt abstrakt. Definitinerna för bråks förlängning ch förkrtning redgöra ej för hvad dessa begrepp innebära, utan mtala endast ch allenast sätten för utförandet (s. 77). Till förklaring af parenteser anmärker förf. efter ex. 243 (s. 47) att,»emedan mångfaldigande är förkrtad sammanläggning, ch likadelning är förkrtad fråndragning, så skla mångfaldigande ch likadelning föregå sammanläggning eller fråndragning», men denna anm. är efter rdalydelsen rimlig ch innehåller alldeles icke någn anvisning för parentesers behandling. Den vid ex. 9 (s. 93) angifna regeln för deras användande är fullständig ch tydlig. Få sid. 10 ex. 17 m. fl. st. användas namnen på siffrrna (tvår. s. v.) för talen (tvåtal. s. v.). 1 ex. 11, 14, 18 (ss. 33, 34) betecknas talsrterna med benämningen»enheter», under det att likväl förut entalen betecknats med detta namn; i ex. 57 (s. 37) begagnas enhet i båda bemärkelserna. Ehuru denna räknebk har flere stra förtjenster, behöfver den dck marbetas för att blifva fullt ändamålsenlig. Härvid bör iakttagas, såsm redan delvis antydts, att en enhetlig plan kmmer att genmgå bken i dess helhet, att delarne bättre hpfgas ch innehållet uppställes någt åskådligare, samt att räknesätten erhålla en fullständigare, på åskådning ch knkreta dekadiska srter grundad inledning ch talsrterna blifva bestämmande för deras behandling. Åtskilliga räkneböcker för flksklan utöfver de fvan mnämda hafva visserligen kmmit till kmmitterades kännedm, ehuru granskningar af dem icke blifvit här intagna. Orsaken till att kmmitterade ansett sig böra utesluta dem har varit den, att de icke

95 GRANSKNING. 105 utkmmit i nya upplagr efter metersystemets införande i vårt land, ch att de således redan af denna anledning för närvarande är användbara. De flesta hafva dessutm varit af en mer eller mindre underhaltig beskaffenhet, ch endast några få göra härifrån undantag, t. ex. O. Abergh, Småsklans räknebk (Stckhlm, P. Palmqvists förlag, tryckt hs A. Hlmberg & Cmp. 1872) ch J. E. Jhanssn, Praktisk räknelära för flksklr med talrika öfningscxempel (distrib. af Ågren & Aminff, Sala, tryckt i Stckhlm å aktieblaget Frsetes bktryckeri 1875). Den senare *) af dessa utmärker sig på ett förtjenstfullt sätt. derigenm, att utgifvaren grundat uppställningen på titalssystemet ch sökt tillgdse en utvecklande metds frdringar. *) I uttalandet rörande denna lärbk bar kmmittéledamten Jhanssn icke deltagit.