Undervisningsplanering i Matematik Kurs E (Poäng 50) Kurskod: MA1205 Styrdokument: Kursplan i matematik med betygskriterier. Läromedel: Matematik 3000 N&K. Lån för studerande upp till 20 år De studerande som är över 20 år köper själva böcker. Räknare: TI 83 plus, grafritande räknare. De studerande köper själva sina räknare. INNEHÅLL Kursinnehåll enligt skolverket sid 2 Betygskriterier för nivåerna G, VG och MVG sid 3 Kursinnehåll med exempel på betygskrav inom Algebra - Komplexa tal sid 4 Differential och integralkalkyl sid 6 Matematikkursens syfte, karaktär och struktur enligt Skolverket. sid 9 Säkerställa likvärdig bedömning sid 10 KOMVUX 1(10)
KURSINNEHÅLL MATEMATIK E 50 poäng Matematik E bygger vidare på Matematik D och ger den studerande tillfälle att i en syntes använda tidigare kunskaper om talbegreppet samt kunskaper från algebra, funktionslära, trigonometri, geometri och differential- och integralkalkyl. Kursen behandlar komplexa tal samt fördjupad differential- och integralkalkyl. Kursen skall ge de fördjupade kunskaper som krävs för fortsatta studier inom matematikintensiva utbildningar. Mål Mål som de studerande skall ha uppnått efter avslutad kurs Den studerande skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser, kunna förklara hur och motivera varför talsystemet utvidgas till komplexa tal, kunna räkna med komplexa tal skrivna i olika former samt kunna lösa enkla polynomekvationer med komplexa rötter även med hjälp av faktorsatsen, kunna analysera, formulera och lösa problem som kräver bestämning av derivator och integraler samt beräkna volymer med hjälp av integraler, kunna tolka, förklara och ställa upp differentialekvationer som modeller för verkliga situationer, kunna ange exakta lösningar till några enkla differentialekvationer och förklara tankegången bakom någon metod för numerisk lösning, kunna arbeta med problem, som kräver en överblick över förvärvade kunskaper inom den komplexa talmängden, algebran, trigonometrin samt funktionsläran med differentialoch integralkalkyl. KOMVUX 2(10)
BETYGSKRITERIER. GODKÄND. Den studerande använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. Den studerande genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Den studerande skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. VÄL GODKÄND. Den studerande använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Den studerande deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Den studerande använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Den studerande visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. Den studerande ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. MYCKET VÄL GODKÄND Den studerande formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Den studerande analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Den studerande deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Den studerande värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Den studerande redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. KOMVUX 3(10)
KOMPLEXA TAL Följande moment behandlas Räkning med komplexa tal skrivna i rektangulära koordinater. Att införa andra objekt än reella tal och för vilka räknelagarna gäller. De reella talet blir en delmängd till de nya talen, de komplexa talen. Det komplexa talplanet. Att använda algebrans fundamentalsats: En polynomekvation har exakt lika många rötter som ekvationens grad. Räkning med komplexa tal skrivna i polära koordinater. Ekvationer och funktioner. Enhetsekvationer. Andragradsekvationen. Exponentialfunktionen e z Att använda lösningen till en ekvation av andra graden för att formulera den fullständiga lösningen till en differentialekvation av andra ordningen. Faktorsatsen. Att peka på användningen av komplexa tal i tillämpningar, t ex komplexa metoden för växelströmsberäkningar. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån: - z = 2-3i och w = 6 + 2i. Beräkna och svara på formen a + ib a) z + w b) z/w - Bestäm det reella talet t så att z = - z = -1 + i. Bestäm arg z och z. 1 2 + i + t 1 i blir reellt. - Skriv det komplexa talet z = - 3 i på polär form. - Markera de komplexa talen z = -2 + 8i och w = 6 + 2i i det komplexa talplanet. Beräkna z w. - Beräkna z 1, om z 1 = 3 (cos 5 π + i sin 5 π π ) och z = 2 (cos z 2 6 6 3 + i sin π 3 ). - Förenkla så långt som möjligt uttrycket för z, då z = cos 30 + isin 30. Svara på formen a + ib. - Förenkla med de Moivres formel (1 + i) 4. - Lös ekvationen z 2 = -1. iπ - Skriv talet e + e 2 på formen a + ib. - Lös ekvationen z 2-4z + 8 = 0. i π - Beräkna resten, då z 2 + z + 1 divideras med z - i. KOMVUX 4(10)
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån: - Bestäm det reella talet a så att Im 1 1 + = 0. 1+ ai 1 + 2i - Lös ekvationen 3z+ 3i= iz. - Åskådliggör i det komplexa talplanet de punkter z för vilka z + 3 = 2 ochimz 0. - Beräkna arg z om z = 1 i. Svara i radianer. π π - Man vet att z = cos + isin Beräkna 4 4 z6. - Bestäm det minsta heltal n sådant att ( 3 i) n blir reellt. - Skriv talet 2 i 2 a) på formen r e iy b) på formen e z. - För två komplexa tal z 1 och z 2 gäller följande z1 = z2 = z1 z2 arg z 1 = π arg z 6 1 arg z 2 π Ange ett exakt värde på arg (z 1 - z 2 ). - Man har de komplexa talen z 0 = 0, z 1 = 2 + 4i och z = t + (t-2)i. Bestäm det reella talet t så, att z z = z z 0 1 B - Sök det samband som råder mellan de reella talen A och B, då Az + är reellt för de z komplexa tal z, vars absoluta belopp är 2. - Ekvationen z 3-3z 2 + 7z + 75 = 0 har en rot z = -3. Visa detta och lös ekvationen fullständigt. 1 2i - Visa att uttrycket får ett reellt värde, då man sätter a = 2. a) Bestäm detta 1 ai 5 reella värde. Det finns även ett annat värde på a än 2, för vilket uttrycket får ett reellt värde. b) Beräkna detta värde på a. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND nivån: n - Låt z = cosv + isinv och förenkla uttrycket w = z + 1 n z KOMVUX 5(10)
DIFFERENTIAL- OCI INTEGRALKALKYL kunna förklara begreppet differentialekvation och känna till dess lösningar kunna verifiera en lösning till en differentialekvation Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån: x - Verifiera att y = 2e + 4e 3 2x är en lösning till y + 2y = 10e 3 x. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån: - Verifiera att y = Acos2x + B sin2 x är en lösning till differentialekvationen y + 4y = 0 oberoende av värdena på konstanterna A och B. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND nivån: x - Bestäm det reella talet a, så att y = e sin ax blir en lösning till differentialekvationen y + 2y + 5y = 0. - kunna ställa upp en differentialekvation Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån: - Ett radioaktivt preparat, som från början var 110 g sönderfaller med en hastighet som är 7% av den aktuella mängden per år. Ställ upp en differentialekvation, som beskriver detta förlopp. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND nivån: - Ett rum med volymen 80 m 3 innehåller 0,003 mg /m 3 av en hälsovådlig gas. Luft med 0,0002mg/m 3 av gasen tillförs rummet med hastigheten 2 m 3 /min. Väl blandad luft bortförs med hastigheten 2 m 3 /min. Antag att rummet innehåller y mg av gasen efter x min. Ställ upp en differentialekvation med begynnelsevillkor, som visar hur gasmängden i rummet förändras. - kunna med hjälp av exakta lösningsmetoder lösa första- och andra ordningens homogena differentialekvationer Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån: - Differentialekvationen y 3y = 0 är given a) Bestäm den allmänna lösningen b) Bestäm den partikulärlösning som uppfyller villkoret y( 0) = 5 - Bestäm den allmänna lösningen till y + 5y 14y = 0 KOMVUX 6(10)
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån: - Bestäm den lösning till y 4y + 3y = 0 som uppfyller villkoren y( 0) = 1 och y ( 0) = 1 Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND-nivån: - Bland lösningskurvorna till y + 2y + 5y = 0 finns det en som går genom punkten (0,3) och som i denna punkt har tangenten y = x + 3. Bestäm kurvans ekvation. - kunna med hjälp av exakta lösningsmetoder lösa första - och andra ordningens inhomogena differentialekvationer Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND nivån: - Ekvationen y + 3y = 6x 1 har en partikulärlösning y = 2x 1. Verifiera detta och ange sedan ekvationens allmänna lösning. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån: - Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y + 2y = 4x 2. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND-nivån: - En liten motorbåt med massan m =160 kg drivs med en motor som ger den konstanta framåtdrivande kraften F = 200 N. Friktionen (vattenmotståndet) ger upphov till kraften kv, där v är båtens hastighet och k en konstant med värdet 30 Ns/m. Båtens rörelse beskrivs av differentialekvationen m dv = F kv dt I ett visst ögonblick är båtens hastighet 1,5 m/s. Hur stor är hastigheten 7,5 sekunder senare? - kunna lösa separabla differentialekvationer och kunna lösa vissa ekvationer med hjälp av integrerande faktorn. - kunna förstå begreppet riktningsfält och använda numeriska metoder för att lösa differentialekvationer KOMVUX 7(10)
Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för GODKÄND-nivån: - Differentialekvationen y = 2x är given. Skissera riktningsfältet inom området 2 x 2 och 1 y 3. - Bestäm med hjälp av Eulers stegmetod y( 02, ) då y = x+ y och y( 0) = 1. Använd steglängden 0,5. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för VÄL GODKÄND nivån: - För en fallskärmshoppare som faller fritt utan att låta fallskärmen utveckla sig gäller under vissa förhållanden följande differentialekvation: dy = 98, 00038, y 2 dx där y m/s är hastigheten och x tiden. Beräkna med Eulers metod hur lång tid uttryckt i sekunder det tar för fallskärmshopparens hastighet att öka från 15 m/s till 25 m/s. Använd steglängden 0,2 s och svara med det bästa närmevärdet med en decimal. Exempel på uppgifter som motsvarar betygskraven för MYCKET VÄL GODKÄND-nivån: - En kropp faller fritt utan begynnelsehastighet. Kraftresultanten på kroppen är differensen av tyngden och luftmotståndet. Använd kraftekvationen F = ma = m dv för att ställa upp en differentialekvation som dt beskriver rörelsen. Vilken hastighet har kroppen efter 5,0 s, om dess massa är 80 kg och luftmotståndet är proportionellt mot hastigheten i kvadrat med proportionalitetskonstanten 0,080 kg/m? KOMVUX 8(10)
MATEMATIKÄMNETS SYFTE, KARAKTÄR OCH STRUKTUR SYFTE Matematik är ett nödvändigt verktyg såväl för andra ämnen inom den gymnasiala utbildningen som för ett flertal ämnesområden inom eftergymnasiala studier. Matematikundervisningen syftar till att ge de studerande tilltro till det egna tänkandet samt till den egna förmågan att lära sig matematik och använda matematik i olika situationer. Undervisningen skall utveckla de studerandes nyfikenhet, öppenhet, analytiska förmåga, kreativitet och ihärdighet vid matematisk problemlösning samt förmåga att generalisera, abstrahera och estetiskt fullända lösningar och resultat. Undervisningen skall sträva efter att de studerande skall få uppleva tillfredsställelsen i att behärska matematiska begrepp och metoder, i att upptäcka mönster och samband och i att lösa problem samt lära sig använda och inse värdet av matematikens symboler och uttryckssätt. Väsentligt är att de studerande lär sig förstå och föra matematiska resonemang, skapa och använda matematiska modeller och kritiskt granska deras förutsättningar, möjligheter och begränsningar samt lär sig redovisa sina tankegångar muntligt och skriftligt. De studerande skall få förståelse för att matematiken har sitt historiska ursprung i många äldre kulturer och få inblickar i hur matematiken utvecklats och fortfarande utvecklas samt lära sig att med förtrogenhet och omdöme använda sig av miniräknare och datorer som matematiska verktyg. KARAKTÄR OCH STRUKTUR Matematik är ett sätt att undersöka och strukturera teoretiska och praktiska problem. Matematik är också ett sätt att tänka med inslag av både intuition och logik. Matematik handlar om att kunna formulera hypoteser, undersöka dem och dra slutsatser samt att kunna övertyga andra om giltigheten i ett resonemang. I den matematiska bevisföringen preciseras några få egenskaper som är intuitivt naturliga och utifrån dessa härleds sedan andra egenskaper och samband. Matematik är också ett språk som genom sina symboler gör det möjligt att kort och precist uttrycka och logiskt bearbeta komplicerade idéer och påståenden. Tillgången till nya tekniska hjälpmedel förändrar delvis matematikens innehåll och metoder. Många rutinoperationer, främst av numerisk och grafisk karaktär, kan nu utföras av miniräknare och datorer. Inriktning mot förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultatet samt förmåga att dra slutsatser blir viktigare än isolerad färdighetsträning. I en kreativ matematisk problemlösningsprocess berikar olika metoder varandra. Inom matematikämnet utnyttjas algebraiska, numeriska och grafiska metoder - de senare både utan och med hjälp av miniräknare och datorer. Problemlösning, användning av matematiska modeller, kommunikation och matematikens idéhistoria är fyra viktiga aspekter av ämnet matematik som skall belysas i undervisningen. Ämnet matematik i gymnasial utbildning behandlar följande kunskapsområden: aritmetik, geometri, trigonometri, sannolikhetslära, statistik, algebra, funktionslära, differential- och integralkalkyl. Vissa delar ingår redan i matematikkurserna för grundskolenivå och fördjupas sedan i de gymnasiala kurserna. Andra delar kräver sådana förkunskaper att de kan behandlas först inom senare gymnasiala kurser. Ämnet matematik är i den gymnasiala utbildningen uppdelat i påbyggbara kurser: A, B, C, D och E. KOMVUX 9(10)
Säkerställa likvärdig bedömning För att säkerställa betygsättningen använder vi oss av skolverkets nationella prov. Några av dessa är frisläppta och kan därför användas för att diskutera proven i förhållande till kursplanerna 2000. Ett flertal grupper med lärare och lärarutbildare är involverade i problemkonstruktion, utprövning och kravgränser av de nationellt fastställda kursproven. Dessa personer är också med i diskussioner om poängsättning och helhetsbedömning. Provens och bedömningsanvisningarnas utformning och innehåll bygger på utprövningar samt erfarenheter och synpunkter från lärarenkäter. För att ytterligare säkerställa tolkningen av skolverkets nationella prov för vi en kontinuerlig dialog med Nils Ericsonsgymnasiets matematiklärare. KOMVUX 10(10)