aboration i atlab Uppgifterna i denna laboration kan innehålla fsik och matematik som ni inte känner till, men det kommer ni inte att behöva för att kunna lösa uppgifterna. Uppgifterna är skrivna så att ni får en del hjälp på vägen, men vissa delar får ni göra själva. Det går mcket lättare om in har läst kompendiet ntroduktion till atlab innan ni genomför laborationen. Uppgift Beskrivning atlab är mcket effektiv på att lösa stora ekvationssstem med flera obekanta, och det finns många fsikaliska problem där man behöver detta. Till eempel inom elläran så får man ofta stora ekvationssstem av obekanta strömmar och spänningar, som måste lösas. den första uppgiften ska ni därför lösa ut strömmar och spänningar i ett sådant ekvationssstem, men ni kommer att få hjälp med att ställa upp sstemet. Betrakta det elektriska schemat nedan. Alla strömmar och spänningar finns redan angivna, men det finns flera steg att gå igenom innan ekvationssstemet kan lösas. Först måste vi använda lite kunskaper i ellära. 5 - - _ 7 7 ut 5 Fig.. Ett elektriskt schemat med obekanta strömmar och spänningar. Schemat i Fig. går att räkna ut för hand utan, men nu ska vi illustrera hur det går att beräkna denna krets med atlab. Till och börja med måste vi identifiera obekanta och inparametrar. detta fall är spänningarna,,, och, insignaler till kretsen, så dessa måste vi ange ett värde på för att kunna beräkna de övriga ( - 7,, - och ut,, - ), som då är obekanta. idare så måste vi också känna till alla värden på resistanserna, - 7, samt förstärkningen A (se nedan). i börjar med en förenkling: Den trekantiga smbolen illustrerar en operationsförstärkare, som förstärker skillnaden mellan spänningarna och - med en mcket hög förstärkning, A. i kan göra två antaganden om denna förstärkare. ) nresistansen är mcket hög vilket innebär att vi kan anta att strömmarna och - är lika med noll, så dessa behöver ni inte beräkna. ) Utresistansen är mcket låg och ()
detta innebär att spänningen ut bestäms helt av skillnaden i inspänningar och inte alls av strömmen 7. Nu kan vi gå vidare med att ställa upp ekvationer, och vi behöver stcken eftersom vi har stcken obekanta. i börjar från vänster i schemat och ställer upp följande ekvationer enligt Kirchoffs lagar och hms lag. ( ) 5 5 5 7 ut 7 7 ut ( ) A ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( ) Nu är i princip problemet löst, det enda som är kvar är att implementera detta i ett atlab program (skript). Börja med att skapa en m-fil i en teteditor (t.e. medit eller emacs). Definiera sedan variabler för alla inparametrar och använd gärna kommentarer för att förklara vad som är vad. Använd följande värden för alla spänningar, resistanser och förstäkning: % atlab script för laborationsuppgift % nparametrar % Spänningar ; % ; % ; % ; % % esistanser ; % hm ; % hm ; % hm ; % hm 5 ; % hm ()
; % hm 7 ; % hm % Förstärkning A ; Nästa steg är att skapa det ekvationssstem som skall räkna ut de obekanta variablerna. För att göra detta kommer vi använda atlab:s matrismultiplikation, som fungerar på följande sätt för en matris som multipliceras med en matris: a a b a b a b a a b a b a b m vi nu skriver om samtliga ekvationerna på följande sätt: 5 5 5 7 ut 7 7 7 ut A A ( ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( ) Notera hur alla termer med en obekant är placerade till vänster om likhetstecknet och övriga termer är placerade på andra sidan, som får värdet noll om inga andra termer finns. m vi nu placerar alla obekanta i en vektor (motsvarar b i matriseemplet) och faktorn framför den obekanta i en matris (motsvarar a i eemplet), så kan dessa ekvationer skrivas i matrisform, se nedan. ()
() 7 5 7 7 5 A A ut Detta kan se lite mastigt ut till en början, men ta t.e. första raden så ger matrismultiplikationen: 7 5 ut Kontrollera gärna övriga rader, så får ni lite känsla för matrismultiplikationer. Alla element i matrisen och matrisen till höger om likhetstecknet innehåller kända värden från de första raderna i m-filen. Den andra matrisen innehåller endast obekanta och det är alltså dess element vi söker. En kompakt form av ekvationssstemet kan skrivas på följande sätt: X Där är matrisen, X är matrisen med de obekanta och är den kända matrisen. er m-fil kan ni nu fortsätta med att lägga till rader som definierar de två matriserna och i atlab, och kalla dem också för och. Eemplet nedan ger lite hjälp på traven. ar väldigt noga med hur storleken på era matriser blir, kolla gärna genom att köra ert program följt av kommandot whos. % atris [ / ;... % :a raden / ;... % :a raden / ;... % :e raden % osv... När ni är klara med definitionen av och återstår bara att lösa ut vektorn med obekanta, som vi kallar för X. Detta gör ni genom att matrisdividera på båda sidor om likhetstecknet precis som det beskrevs i kurslitteraturen (ntroduktion till atlab) under sektionen atematiska operationer. ar noggranna med att använda rätt tp av matrisdivision annars kommer det inte att fungera. Uppgifter Börja först med att beräkna lösningen för de inparametrar som var givna, och fll i svaren från matrisen X i tabellen nedan. Försök sedan lista ut hur utspänningen, ut, beror av inspänningarna,,, och, genom att testa er fram. Fll i de tester ni gör i tabellen. Ett tips är att ändra en
inspänning i taget. När ni har kommit på hur formeln ser ut kan ni skriva den i fältet nedanför tabellen. edovisa också det program ni skrivit. Tabell. esultaten från beräkningarna. bservera att enheten på strömmarna skall anges i ma men i variabeln X har de enheten A. [] [] [] [] 5 7 [] - [] ut [] Skriv in formeln för ut här: 5()
Uppgift Beskrivning Att beräkna derivatan av en given funktion är en ganska vanlig uppgift vid numerisk anals av bl.a. mätdata. denna uppgift ska vi göra en funktion som beräknar derivatan av en funktion då -värdena och -värdena är givna som vektorer. En derivata kan beräknas numeriskt på lite olika sätt, den vanligaste metoden kallas för centrala differensmetoden och finns beskriven nedan. df f ( ) f ( ) f '( ) där f () d Nu antar vi att vi har en viss mängd -värden lagrade i en vektor (t.e. en matris) och vi kallar varje element i denna vektor för,,,...,. Sedan beräknar vi lika många -värden med funktionen f() och får då en vektor med elementen f( ), f( ), f( ),..., f( ). På samma sätt som formeln ovan kan vi med dessa vektorer beräkna den numeriska derivatan genom följande formel. n n ' n där n,,...,9 n n Denna formel har en fördel jämfört med den tidigare, eftersom den inte är beroende av att alla -värden är jämnt fördelade. den första formeln används ju som skillnad i -värden. bservera att det uppstår lite problem för ändpunkterna med denna formel (n och n), så där får vi använda följande formel. ' och ' 9 9 en strikt numerisk ger denna formel derivatan mitt emellan och respektive 9 och, så ett litet fel får vi faktiskt här. Tvärr går detta inte att göra så mcket åt, utan vi får leva med detta fel. vissa speciella fall går det att få bättre noggrannhet, men då måste man ha någon kännedom om hur derivatan ser ut vid ändpunkterna. Båda formler går att beräkna mcket snabbt och effektivt med atlab genom att använda matrismultiplikation. Studera matrismultiplikationen nedan. 9 esultatet blir faktiskt nämnarna i de båda formlerna ovan, och multiplicerar vi samma matris med -värdena så får vi täljarna. Det enda som återstår är att utföra en elementvis division (./ )av de båda resultaten. Skapa en m-fil som innehåller följande funktionshuvud. % Funktion för att derivera f() 8 9 ()
function dd derivera(,) if size(,) > '; end if size(,) > '; end if size() ~ size() error('vektorerna och måste ha samma storlek'); end Spara sedan filen med namnet derivera.m. Detta funktionshuvud innehåller också en del felkontroll av argumenten. Första if satsen kontrollerar om vektorn har fler än en kolumn, och i så fall bter den på kolumnerna och raderna genom att sätta tecknet efter vektorn (kallas för att transponera en matris eller vektor). Nästa if sats gör samma sak med vektorn. Den sista if satsen kontrollerar att och har samma storlek, om så inte är fallet visas ett felmeddelande. Kommandot size(a) ger alltså antalet rader och kolumner hos matrisen A, och om ett andra argument är givet för kommandot så anger den antalet element längs den dimension som anges (rader och kolumner ). Det som är kvar för att ni skall kunna göra klart funktionen är att konstruera den matris som ger täljare och nämnaren, kalla t.e. denna matris för D. Detta är ganska komplicerat att göra med hakparenteser ( [] ) som vi gjort tidigare eftersom storleken på vektorerna är okända just nu. En praktisk funktion att använda här är diag som skapar matriser från en vektor där vektorns element läggs på diagonalen i matrisen. Skriv ut hjälpen för detta kommando i atlabfönstret. >> help diag DAG Diagonal matrices and diagonals of a matri. DAG(,K) when is a vector with N components is a square matri of order NABS(K) with the elements of on the K-th diagonal. K is the main diagonal, K > is above the main diagonal and K < is below the main diagonal. DAG() is the same as DAG(,) and puts on the main diagonal. DAG(X,K) when X is a matri is a column vector formed from the elements of the K-th diagonal of X. DAG(X) is the main diagonal of X. DAG(DAG(X)) is a diagonal matri. Eample 7()
m 5; diag(-m:m) diag(ones(*m,),) diag(ones(*m,),-) produces a tridiagonal matri of order *m. See also SPDAGS, TU, T. atrisen D har tre diagonaler. Huvuddiagonalen börjar med och slutar med och nollor däremellan. Diagonalen under huvuddiagonalen har i alla element och diagonalen över har i alla element. Två andra kommandon är också praktiska i detta sammanhang, och det är ones(m,n) och zeros(m,n), som skapar mn matriser med ettor respektive nollor. Försök skapa matrisen D med dessa kommandon. Som hjälp så skapar ni huvuddiagonalen och den undre diagonalen med följande kommandon. % Differensmatrisen % Huvuddiagonal dh diag([- zeros(,size(,)-) ]); % Undre diagonal du diag(-ones(,size(,)-),-); ista sedan själva ut hur ni skapar den övre diagonalen och hur ni sätter ihop alla diagonalerna till matrisen D (se eemplet i hjälpteten för diag). Uppgifter Skapa en vektor som innehåller -värden från π till π med avståndet.5 mellan varje punkt. Det blir lättare om ni redan nu ser till att det är en kolumnvektor (dvs. matris med endast kolumn och flera rader). Beräkna sedan -värdena genom funktionen sin(). Använd er derivera.m funktion för att beräkna derivatan och plotta den i en figur. Jämför sedan den beräknade derivatan med den eakta derivatan, som ni får genom att plotta cos() i samma figur (helst med olika färger). inska nu avståndet mellan -värdena till. och gör samma jämförelse igen i en n figur. Försök zooma in vid ändpunkten och studera noggrannheten av derivatan där. isa figurer och filen derivera.m (Tips: ni kan spara figurer genom menvalet File -> Save as, och skriv sedan in filnamnet med ändelsen.fig. id ett senare tillfälle kan ni öppna denna fil i ett figurfönster.). 8()
9() Uppgift På samma sätt som förra uppgiften, så går det också att beräkna integralen av en funktion given som -värden och -värden. Precis som för derivator så finns det flera sätt att beräkna integraler. i kan här bestämma oss för att använda trapetsmetoden, och den fungerar enligt formeln nedan, där vi antar att vi har en -vektor och en - vektor med element vardera. ) ( d f ( )( ) ( ) ) ( d f ( )( ) ( )( ) ( ) ) ( d f osv. fram till sista elementen i och vektorerna. ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 9 9 ) ( d f K Dvs. integralen får också element eftersom övre integrationsgränsen motsvarar varje element i -vektorn. För att utföra detta med matrismultiplikation måste vi först dela upp multiplikationen av parenteserna. 9 9 Kontrollera denna matrismultiplikation, så ni ser likheten med uttrcken ovan. ektorn i uttrcket kan ni få fram på liknande sätt som föregående uppgift, men med en lite annorlunda matris. Notera att matrisen har en kolumn mer än antalet rader. Dessa matriser är lite mer komplicerade att skapa än helt frkantiga matriser (samma antal rader och kolumner). Det enklaste är att först skapa en frkantig matris och sedan dra bort den del man inte vill ha. T.e. kan matrisen ovan skapas med följande kommandon. % atrisen för att få d D diag(-ones(,size(,))) diag(ones(,size(,)- ),);
D D(:end-,:); Först skapas huvuddiagonalen flld med :or, och sedan adderas den övre diagonalen flld med :or. Sedan tas den understa raden bort med radangivelsen :end-, dvs. alla rader från nummer till sista minus ett. Alla kolumner väljs genom att ange ett kolon ( : ) i kolumnangivelsen. atrisen med elementen i -vektorn kan skapas på följande sätt. 9 9 Även här måste ni tria lite för att skapa matriserna. atrisen med -värdena är ej frkantig, så ni behöver använda samma teknik som för den förra formeln. För att få matrisen med ettor så kan ni använda ett kommando som heter tril, som hämtar den undre delen av en matris från diagonalen och ersätter övriga element med nollor. Sedan kan ni manuellt sätta det översta elementet till noll, se kodsnutten nedan. % Trapetsmatrisen för T tril(ones(size(,))); T(,) ; Här skapar kommandot ones(size(,)) en frkantig matris med endast ettor och tril ger endast den nedre delen och övriga element blir nollor. Det gäller att ha koll på hur många rader och kolumner varje matris har, eftersom det inte helt tdligt framgår av eemplen ovan. Dock går det att lista ut från multiplikationerna. Kom ihåg regeln att resultatet av en matrismultiplikation har samma antal rader som den första faktorn och samma antal kolumner som den andra faktorn. Detta är en bra övning i att skapa och använda matriser på ett effektivt sätt i atlab. Försök nu själva skapa funktionen som integrerar vektorn med avseende på vektorn, och kalla funktionen för integrera.m. Utgå gärna från funktionen derivera.m och ändra där det behövs, t.e. kan raderna för felkontrollen återanvändas. Det svåra är att översätta alla matrisoperationer ovan till atlab kod, men tag hjälp av det tidigare eemplet. Titta också i kurskompendiet. Uppgifter ntegrera funktionen sin() för -värdena från -π till π med avstånden.5 och.. Jämför med den eakta integreringen, -cos(), genom att plotta numerisk och eakt integrering i samma figur. Försök förklara eventuella skillnader (Tips: vad är det som saknas i den eakta integreringen?). ()
Uppgift Beskrivning denna uppgift skall ni använda funktionen integrera.m för att beräkna volmen på en rotationssmmetrisk kropp, där radien bestäms av formeln r sin( ) där π π varierar mellan och. Denna integral beräknas ju genom att ta arean för en cirkel och integrera denna längs -aeln enligt formeln: π πr d π ( sin( ) ) π π π d atlab går det också smidigt att rita denna kropp med kommandot surf. Det åstadkommer ni genom att rita den ta som omger den kropp ni beräknat volmen på. ad ni kommer att behöva är då (,,z) koordinater för ett antal punkter längs denna ta, och för att få dessa måste ni utföra rotationen och beräkna dessa koordinater, se Fig.. Z Z X r cos(a) r r sin(a) Y Y Fig.. Den rotationssmetriska volmen och beräkningen av dess och z koordinater. Skapa en n m-fil och skriv alla kommandon i den eftersom det då blir lätt att ändra i π π kommandosekvensen. åt variera mellan och med steg om., och låt vinkeln a variera mellan och π med steg om.. Skapa sedan en tillhörande matriser med kommandot meshgrid. % Skapa matriser med meshgrid [X,A] meshgrid(,a); äkna sedan ut och z koordinaterna från dessa matriser enligt formeln för radien ovan. Koden för detta finns nedan. % äkna ut Y och Z koordinaterna Y (.5*sin(X)).*sin(A); Z (.5*sin(X)).*cos(A); ()
bservera användandet av punkt-gånger för att utföra allt element för element. ita sedan hela kroppen med kommandot surf, vilket utför nästan samma sak som mesh men skapar en ta istället för ett rutnät. % ita volmen surf(x,y,z) Kör er kommandofil och studera figuren, prova att rotera den genom att använda rotationsverktget i figurfönstret (smbolen ). För att sngga till det hela så kan ni utföra följande kommandon. % Skapa en ljuskälla l light; % Gör volmen lite snggare set(s,'edgecolor','none','facelighting','phong','facecolo r',[. ]); % Fia till aspect ration, lägg till perspektiv och ta bort de vita fälten ais('equal') set(gca,'projection','perspective','visible','off'); Dessa kommandon och genom att vrida figuren lite, så kan ni få bilden på framsidan av kurskompendiet. Till slut kan ni lägga till en titel på figuren med kommandot title, där teten skall innehålla volmen på kroppen. Anta att alla mått är angivna i cm, så får ni en enhet också. olmen beräknar ni med den funktion ni skapade i förra uppgiften. En annan funktion ni kommer att behöva är numstr, som omvandlar en numerisk värde till en teckenmatris (sträng). Använd atlab:s kommando help för att se hur ni använder dessa (Tips: för att få cm skrivet i titeln skriver ni cm^ ). Uppgifter ita endast upp figuren i ett fönster och försök få den att se ut som den i kurskompendiet. aborera gärna med de olika grafiska verktgen i figuren. ()