JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 1(41) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 006 3 Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 4 Del II, 9 uppgifter med miniräknare 7 NpMaB HT 006 LÖSNINGAR 13 Del I: Digitala verktyg är INTE tillåtna 13 Del 1 # 1 (/0) Lös ekvationen.................... 13 Del 1 # (1/0) Rita linje....................... 14 Del 1 # 3 (/1) Linjärt ekvationssystem............... 15 Del 1 # 4 (1/0) Vilken av funktionerna................. 16 Del 1 # 5 (/0) Chokladhjul...................... 17 Del 1 # 6 (/1) Logotyp i cirkel.................... 18 Del 1 # 7 (1/) Beräkna och förenkla................. 0 Del 1 # 8 (0/1/ ) Triangel........................ 1 Del II: Digitala verktyg är tillåtna Del 1 # 9 (1/0) Utveckla och förenkla................ Del 1 # 10 (/0) Linje genom punkt.................. 3 Del # 11 (4/0) Triangel med parallell linje............. 4 Del # 1 (/1) Lådagram....................... 6 Del # 13 (0/) Punkt ovanför linje.................. 8 Del # 14 (0/) Linjaler........................ 9 Del # 15 (1/1) Ringmärkta havsörnar................ 30 Del # 16 (0// ) Låda med volymen 000 cm 3............. 3 Del # 17 (0/3/ ) Ekvationssystem................... 35 Del # 18 (3/4/ ) Stoppsträcka..................... 37 c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 (41) Förord Skolverket har endast publicerat ett kursprov till kursen Ma. Innehållet i den äldre kursen Ma B hör nu till Ma 1 och/eller Ma. I tabellen nedan framgår vilka uppgifter som är lämpliga till respektive kurs. 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 Ma 1abc 5 15 Ma a 1 3 4 6 8 9 10 16 17 Ma bc 1 3 4 6 6 8 9 10 11 1 13 14 16 17 18 Kom ihåg Matematik är att vara tydlig och logisk Använd tet och inte bara formler Rita figur (om det är lämpligt) Förklara införda beteckningar Du ska visa att du kan Formulera och utvecklar problem, använda generella metoder/modeller vid problemlösning. Analysera och tolka resultat, dra slutsatser samt bedöma rimlighet. Genomföra bevis och analysera matematiska resonemang. Värdera och jämföra metoder/modeller. Redovisa välstrukturerat med korrekt matematiskt språk. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
NpMaB ht 006 Version 1 Skolverket hänvisar generellt beträffande provmaterial till bestämmelsen om sekretess i 4 kap. 3 sekretesslagen. För detta material gäller sekretessen fram till och med 31 december 01. Anvisningar Provtid Hjälpmedel Provmaterialet NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS B HÖSTEN 006 40 minuter för Del I och Del II tillsammans. Vi rekommenderar att du använder högst 60 minuter för arbetet med Del I. Del I: Formler till nationellt prov i matematik kurs B. Observera att miniräknare ej är tillåten på denna del. Del II: Miniräknare och Formler till nationellt prov i matematik kurs B. Provmaterialet inlämnas tillsammans med dina lösningar. Skriv ditt namn och komvu/gymnasieprogram på de papper du lämnar in. Lösningar till Del I ska lämnas in innan du får tillgång till miniräknaren. Redovisa därför ditt arbete på Del I på separat papper. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Provet Provet består av totalt 18 uppgifter. Del I består av 8 uppgifter och Del II av 10 uppgifter. Poäng och betygsgränser Till några uppgifter (där det står Endast svar fordras) behöver bara ett kort svar anges. Till övriga uppgifter räcker det inte med bara ett kort svar utan det krävs att du skriver ned vad du gör, att du förklarar dina tankegångar, att du ritar figurer vid behov och att du vid numerisk/grafisk problemlösning visar hur du använder ditt hjälpmedel. Uppgift 18 är en större uppgift, som kan ta upp till en timme att lösa fullständigt. Det är viktigt att du försöker lösa denna uppgift. I uppgiften finns en beskrivning av vad läraren ska ta hänsyn till vid bedömningen av ditt arbete. Försök att lösa alla uppgifterna. Det kan vara relativt lätt att även i slutet av provet få någon poäng för en påbörjad lösning eller redovisning. Även en påbörjad icke slutförd redovisning kan ge underlag för positiv bedömning. Provet ger maimalt 44 poäng. Efter varje uppgift anges maimala antalet poäng som du kan få för din lösning. Om en uppgift kan ge g-poäng och 1 vg-poäng skrivs detta (/1). Några uppgifter är markerade med, vilket innebär att de mer än andra uppgifter erbjuder möjligheter att visa kunskaper som kan kopplas till MVG-kriterierna. Undre gräns för provbetyget Godkänd: 13 poäng Väl godkänd: 5 poäng varav minst 6 vg-poäng. Mycket väl godkänd: 5 poäng varav minst 13 vg-poäng. Du ska dessutom ha visat prov på flertalet av de MVG-kvaliteter som de -märkta uppgifterna ger möjlighet att visa.
NpMaB ht 006 Version 1 Del I Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 1. Lös ekvationen 0 + 36 = 0 (/0). Rita i ett koordinatsystem en rät linje som går genom punkten (0, ) och har riktningskoefficienten 3 Endast svar fordras (1/0) 3. a) Lös ekvationssystemet + y = 15 3 + y = 4 (/0) I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första ekvationen i ekvationssystemet ovan. b) Låt vara priset i kronor för en korv. Tolka den andra ekvationen i ord. (0/1) 4. Vilken av funktionerna A-F visas som graf i figuren? A) B) y = y = C) y = + 1 D) y = 1 E) F) y = 1 y = 1 Endast svar fordras (1/0)
NpMaB ht 006 Version 1 5. Robin och Jennifer är på ett nöjesfält och spelar på Chokladhjulet. Hjulet är indelat i 4 likadana delar som är numrerade från 1 till 4. Vid en spelomgång snurras hjulet och det nummer som är vid pilen när hjulet stannat ger vinst. a) Robin påstår att det är lättare att vinna om de alltid spelar på samma nummer. Har Robin rätt eller fel? Förklara. (1/0) b) De planerar sedan att spela på tre nummer i samma spelomgång. Jennifer påstår att det är lättare att vinna om de spelar på tre nummer intill varandra, t.e. 3, 4 och 5, än om de spelar på tre nummer som inte är intill varandra. Har Jennifer rätt eller fel? Förklara. (1/0) 6. På en reklambyrå ska en cirkulär logotyp tillverkas för en kunds räkning enligt skissen nedan. För att kunna tillverka logotypen måste vinklarna bestämmas. Beräkna och y. (/1) Skiss Färdig logotyp
NpMaB ht 006 Version 1 7. Låt f + ( ) = (1 ) (1 ) a) Beräkna f () (1/0) b) Förenkla uttrycket f ( a) f ( b) så långt som möjligt. (0/) 8., y och z är yttervinklar till triangeln nedan. Visa att + y + z = 360 (0/1/ )
NpMaB ht 006 Version 1 Del II Denna del består av 10 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 9. Utveckla ( 3)( + 7) och förenkla uttrycket så långt som möjligt. Endast svar fordras (1/0) 10. Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (15, 8) och har riktningskoefficienten k = 0, (/0) 11. I triangeln ABC är DE parallell med AB. Figuren är inte skalenligt ritad a) Bestäm längden av sträckan AC. (/0) b) Bestäm längden av sträckan DE. (/0)
NpMaB ht 006 Version 1 1. Sara ville ta reda på hur vanligt det är att man skickar SMS i hennes klass. I klassen går det 9 elever. En dag lämnade Sara ut lappar med frågan Hur många SMS skickade du förra veckan? Alla i klassen utom Sara svarade på frågan. Det lådagram som hon ritade över resultatet ser du här nedanför. Med lådagrammet delas antalet elevsvar in i fyra lika stora delar. Till eempel så finns en fjärdedel av elevsvaren mellan det minsta värdet och nedre kvartilen, se figur. a) Bestäm variationsbredden. Endast svar fordras (1/0) b) Medelvärdet är 3 skickade SMS. Förklara vilket lägesmått (medelvärde eller median) som är lämpligast att använda om du vill beskriva hur många SMS en elev i klassen skickar under en vecka. (1/0) c) Sara hade själv skickat 5 SMS. Undersök om medianen ändras om Saras SMS räknas med. (0/1) 13. Figuren visar en del av ett koordinatsystem med linjen y = + 70 Vilka koordinater har punkten A? (0/)
NpMaB ht 006 Version 1 14. Firma Plastsaker & Sånt tillverkar bland annat linjaler. Varje vecka tillverkas 50 000 linjaler. Alla linjaler som tillverkades under en viss vecka såldes till en kund i Lund. Efter ett tag började firman få klagomål från kunden och beslöt att göra en kvalitetskontroll i form av en stickprovsundersökning. Under en vecka kontrollerades kvaliteten på var 00:e linjal som tillverkades. Man hittade 11 linjaler som var av dålig kvalitet. Hur många av de linjaler som skickades till Lund kan antas ha varit av dålig kvalitet? (0/) 15. Sveriges största rovfågel är havsörnen. Uppskattningsvis 70 % av de svenska havsörnarna är ringmärkta. Havsörnar som lever i par håller under hela sin livslängd ihop med samma partner. a) Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av två ringmärkta fåglar. (1/0) b) Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av en ringmärkt och en omärkt fågel. (0/1)
NpMaB ht 006 Version 1 16. Kalle och Lisa ska tillverka var sin öppen låda. De har några kartongark i A4-format med måtten 1,0 cm 9,7 cm. Först tar de var sitt ark och viker upp kortsidorna och sedan klipper de till två remsor av ett annat ark och tejpar fast dem på långsidorna, se figuren. Bredden på remsorna blir höjden på lådan. De vill båda tillverka en låda med volymen 000 cm 3. Efter en stunds pysslande har de gjort var sin låda. Kalles remsor är bredare än Lisas. Är det möjligt att Kalle och Lisa har tillverkat var sin låda med volymen 000 cm 3? (0// ) 17. a) y = 3 + 1 I ekvationssystemet är k en konstant. y = k + För vilket eller vilka värden på k saknar ekvationssystemet lösning? Förklara. (0/1) y = 3 + 1 b) I ekvationssystemet är a och b konstanter. y = a + b Hur många lösningar får ekvationssystemet för olika värden på a och b? Förklara. (0// )
NpMaB ht 006 Version 1 Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: Hur väl du genomför dina beräkningar Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete Hur väl du motiverar dina slutsatser Vilka matematiska kunskaper du visar Hur väl du använder det matematiska språket Hur generell din lösning är 18. I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då föraren upptäcker ett hinder, bromsar in och stannar. Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är den sträcka bilen kör från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren reagerar och trycker på bromspedalen. Den andra delen, bromssträckan, är den sträcka som bilen kör då föraren bromsar in och stannar, se figur. Stoppsträckan s vid ett visst väglag kan beräknas enligt följande formel: där stoppsträckan s anges i meter och hastigheten v anges i km/h. Beräkna reaktionssträcka, bromssträcka och stoppsträcka för några hastigheter, t.e. 70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rita en tabell och fyll i dina värden. Hastighet (km/h) 70 90 110 Reaktionssträcka (m) Bromssträcka (m) Stoppsträcka (m) Vid landsvägskörning i mörker lyser halvljusen upp vägen ca 50 meter framför bilen. Det är vid det avståndet föraren tidigast kan upptäcka ett hinder. Kommentera möjligheten att kunna stanna på 50 meter.
NpMaB ht 006 Version 1 Enligt formeln för stoppsträckan s = 0,7v + 0,005v hinner föraren inte stanna före ett hinder som upptäcks då avståndet till hindret är 50 meter och föraren kör med hastigheten 110 km/h. Om bilen kan passera hindret och föraren fortsätter att bromsa, hur långt bortom hindret stannar då bilen? Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret? Om du vill kan du ta hjälp av diagrammet nedan. Reaktionssträcka och bromssträcka som funktion av hastigheten Undersök och beskriv sambandet mellan den ursprungliga hastigheten v 1 km/h en bil har när en förare upptäcker ett hinder på 50 meters håll och den hastighet v km/h bilen har när den är vid hindret. (3/4/ )
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 NpMaB ht 006 Version 1 13(41) Del I NpMaB HT 006 LÖSNINGAR Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får Del tillgång I: till Digitala din miniräknare. verktyg är INTE tillåtna Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Del 1 # 1 (/0) Lös ekvationen Formler till nationellt prov i matematik kurs 1. Lös ekvationen 0 + 36 = 0 (/0) 1(4) Ekvationen är en :a gradsekvation. Lös ekvationen med pq-formeln som finns i FORMELSAMLINGEN. Algebra. Rita i ett koordinatsystem en rät linje som går genom punkten (0, ) och har riktningskoefficienten 3 Endast svar fordras (1/0) Regler Andragradsekvationer ( a + b) = a + ab + b + p + q = 0 + y = 15 3. ( a ba) ) = alös ekvationssystemet ab + b (/0) 3 + y = 4 p p ( a + b)( a b) = a b = ± q I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första ekvationen 0 = i ekvationssystemet 0 + 36 ovan. }{{} }{{} p= 0 q=36 b) Låt vara priset i kronor för en korv. Tolka den andra ekvationen i ord. Aritmetik 1, = 3 ± 10 36 = 10 ± 64 = 10 ± 8 (0/1) 1 = 18 Prefi = Svar 4. T a) Vilken G av funktionerna M k A-F h visas d 1 = 18 och = c m µ n p tera som giga graf i mega figuren? kilo hekto deci centi milli mikro nano piko Kommentar 10 1 10 A) Alla 10 6 :a gradsekvationer 10 3 10 10-1 kan 10 - lösas med 10-3 pq-formeln 10-6 10-9 men 10-1 om en av p eller q saknas kan ekvationen y = lösas enklare utan pq-formel. B) y = C) y = + 1 Potenser D) y = 1 y + y a a a = a E) y = 1 a F) y = 1 a a b = ( ab) b y 1 a y y y = a ( a ) = a a = a 1 = n n b a = a 0 = 1 a Endast svar fordras (1/0) Logaritmer c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05 y = 10 = lg y lg + lg y = lg y lg lg y = lg y lg p = p lg
Denna del består av 8 uppgifter och är avsedd att genomföras utan miniräknare. Dina svar på denna del ges på separat papper som ska lämnas in innan du får tillgång till din miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 14(41) 1. Lös ekvationen 0 + 36 = 0 (/0) Del 1 # (1/0) Rita linje. Rita i ett koordinatsystem en rät linje som går genom punkten (0, ) och har riktningskoefficienten 3 Endast svar fordras (1/0) Rita 3. linjen a) Lös... + y = 15 ekvationssystemet 3 + y = 4 (/0) 5 I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första ekvationen i ekvationssystemet ovan. 4 3 b) Låt vara priset i kronor för en korv. Tolka = 1den andra ekvationen i ord. (0/1) 1 y = 3-5 -4-3 - -1 3 4 5 4. Vilken av funktionerna A-F visas -1 som graf i figuren? - A) B) y = y = C) y = + 1-3 -4-5 D) y = 1 Strategi 1) Markera E) y = första 1 punkten på linjen, (0, ) ) Hitta F) en y = andra 1 punkt. Tag 1 steg i -led och -3 steg i y-led 3) Drag en linje genom de två punkterna Endast svar fordras (1/0) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
1. Lös ekvationen 0 + 36 = 0 (/0) JENSEN. Rita vu i ett utbildning koordinatsystem en rät linje NpMaB som går ht006 genom punkten (0, ) och har 15(41) riktningskoefficienten 3 Endast svar fordras (1/0) Del 1 # 3 (/1) Linjärt ekvationssystem 3. a) Lös ekvationssystemet + y = 15 3 + y = 4 (/0) I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första ekvationen i ekvationssystemet ovan. b) Låt vara priset i kronor för en korv. Tolka den andra ekvationen i ord. (0/1) a) 4. Lös Vilken ekvationssystemet av funktionerna A-F visas Det finns som två graf olika i figuren? metoder för att lösa linjära ekvationssystem med flera obekanta. För ekvationssystem med bara två obekanta är det betydelselöst vilken metod du väljer. Substitutionsmetoden A) y = är enkel och fungerar utmärkt för två obekanta. B) + y y = = 15 (1) 3 C) + y y = + 1= 4 () Skriv om ekvation (1) till D) y = 1 y = 15 (3) Substitutera E) yy= i1ekvation () med hjälp av ekvation (3). Vi får 3 F) + (15 y = 1 ) = 4 3 + 30 = 4 = 1 Endast svar fordras (1/0) (4) Med ekvation (3) och (4) kan y beräknas. y = 15 1 y = 3 Svar a) = 1 och y = 3 Svar b) Ekvationen beskriver att priset för 3 korvar och bröd är 4 kronor. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
3 + y = 4 I en kiosk betalade Pelle 15 kr för en korv med bröd. Detta beskrivs i den första ekvationen i ekvationssystemet ovan. JENSEN b) vu Låt utbildning vara priset i kronor för NpMaB en korv. ht006 Tolka den andra ekvationen i ord. (0/1) 16(41) Del 1 # 4 (1/0) Vilken av funktionerna... 4. Vilken av funktionerna A-F visas som graf i figuren? A) B) y = y = C) y = + 1 D) y = 1 E) F) y = 1 y = 1 Endast svar fordras (1/0) A y = + C y = + + 1 E y = +1 B y = D y = + 1 F y = 1 Svar Alternativ C är korrekt, y = + 1. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 17(41) Del 1 # 5 (/0) NpMaB ht Chokladhjul 006 Version 1 5. Robin och Jennifer är på ett nöjesfält och spelar på Chokladhjulet. Hjulet är indelat i 4 likadana delar som är numrerade från 1 till 4. Vid en spelomgång snurras hjulet och det nummer som är vid pilen när hjulet stannat ger vinst. NpMaB ht 006 Version 1 Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng 5. Ma /0 a) Godtagbar förklaring med korrekt svar ( Robin har fel. Sannolikheten för 1 vinst är alltid oavsett vilket nummer man satsar på. ) +1 g 4 Elevlösning a) Robin 1 (0 g) påstår att det är lättare att vinna om de alltid spelar på samma nummer. Har Robin rätt eller fel? Förklara. (1/0) b) De planerar sedan att spela på tre nummer i samma spelomgång. Jennifer påstår att det är lättare att vinna om de spelar på tre nummer intill varandra, t.e. 3, 4 och 5, än om de spelar på tre nummer som inte är intill varandra. Har Jennifer rätt eller NpMaB fel? Förklara. ht 006 Version 1 (1/0) Kommentar: Elevens svar ger inget underlag för att avgöra om Robin har rätt eller fel. Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng Svar a) De olika utfallen är oberoende av varandra. I Skolverkets rättningsnorm finns 6. På en reklambyrå ska en cirkulär logotyp tillverkas för en kunds räkning enligt följande Elevlösning 5. svar. (1 g) Ma /0 skissen nedan. För att kunna tillverka logotypen måste vinklarna bestämmas. a) Godtagbar förklaring med korrekt svar ( Robin har fel. Sannolikheten för Beräkna och y. 1 (/1) vinst är alltid oavsett vilket nummer man satsar på. ) +1 g 4 Kommentar: Eleven ger ett godtagbart svar trots att sannolikheten för vinst (1/4) ej Svar nämnts. Elevlösning b) De 1 (0 olika g) utfallen är oberoende av varandra. I Skolverkets rättningsnorm finns följande svar. b) Godtagbar förklaring med korrekt svar ( Jennifer har fel, oavsett vilka tre 3 nummer du väljer blir sannolikheten för vinst = 0,15 = 1,5% ) +1 g 4 c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05 6. Skiss Färdig logotyp Ma /1 Kommentar: Elevens svar ger inget underlag för att avgöra om Robin har rätt eller fel. Godtagbar bestämning av + 1 g Godtagbar bestämning av y ( = 45, y =,5 ) Elevlösning (1 g) + 1 g
Har Robin rätt eller fel? Förklara. (1/0) b) De planerar sedan att spela på tre nummer i samma spelomgång. Jennifer påstår att det är lättare att vinna om de spelar på tre nummer intill JENSEN vu varandra, t.e. 3, 4 och 5, än om de spelar på tre nummer som inte är intill varandra. utbildning NpMaB ht006 18(41) Har Jennifer rätt eller fel? Förklara. (1/0) Del 1 # 6 (/1) Logotyp i cirkel 6. På en reklambyrå ska en cirkulär logotyp tillverkas för en kunds räkning enligt skissen nedan. För att kunna tillverka logotypen måste vinklarna bestämmas. Beräkna och y. (/1) Skiss Färdig logotyp A C y M y 4(4) Randvinkelsatsen finns i FORMELSAMLINGEN. B Kordasatsen Randvinkelsatsen ab = cd u = v BMC Pythagoras är centrumvinkel sats till randvinkeln BAC och Trigonometri BMC = 90 vilket ger BAC = = 45 enligt randvinkelsatsen. c = a + b a sin v = c b cos v = c a tan v = b c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 19(41) A y y C y M y B Enligt uppgiftens figur gäller att MBA och MCA är lika. MAB är likbent med två lika vinklar y. MAC är också likbent med två lika vinklar y. För BAC också kallad gäller att = y + y vilket ger y =,5. Svar = 45 och y =,5 c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 0(41) Del 1 # 7 (1/) NpMaB ht Beräkna 006 Version 1 och förenkla 7. Låt f + ( ) = (1 ) (1 ) a) Beräkna f () (1/0) b) Förenkla uttrycket f ( a) f ( b) så långt som möjligt. (0/) a) Beräkna f() 8., y och z är yttervinklar = till = { }} { { }} triangeln { nedan. f() = (1 ) (1 + ) Visa att + y + z = 360 (0/1/ ) f() = (1 ) (1 + ) = 8 } {{ } } {{ } ( 1) =1 3 =9 1(4) Svar Formler a) 8 till nationellt prov i matematik kurs b) Förenkla f(a) f(b) f(a) = (1 a) (1 + a) Algebra f(b) = (1 b) (1 + b) Använd kvadreringsreglerna i FORMELSAMLINGEN. Regler Andragradsekvationer ( a + b) = a + ab + b ( a b) = a ab + b ( a + b)( a b) = a b + p + q = 0 p = ± p q Vi får (1 a) (1+a) { }} { { }} { f(a) = 1 a + a (1 + a + a ) Aritmetik f(a) = 1 a + a 1 a a ) = 4a (1 b) (1+b) { }} { { }} { f(b) = 1 b + b 1 + b + b = + b T G f(b) M = 1k b + h b 1d b c b ) = m 4b µ n p Prefi f(a) f(b) = 4a ( 4b) = 4a + 4b = 4(b a) tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 10 1 10 9 10 6 10 3 10 10-1 10-10 -3 10-6 10-9 10-1 Svar b) 4(b a) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05 Potenser a a y = a + y a a y y y y = a ( a ) = a a = a 1 a a 1 0
7. Låt f + ( ) = (1 ) (1 ) a) Beräkna f () (1/0) JENSEN b) vu Förenkla utbildning uttrycket f ( a) fnpmab ( b) så långt ht006 som möjligt. (0/) 1(41) Del 1 # 8 (0/1/ ) Triangel 8., y och z är yttervinklar till triangeln nedan. Visa att + y + z = 360 (0/1/ ) Inför vinklar, y och z enligt figuren. Triangelns vinkelsumma är 180. 180 = + y + z Det gäller att = 180 y = 180 y z = 180 z Vi får 180 = (180 ) + (180 y) + (180 z) 180 = 3 180 y z + y + z = 180 = 360 z z y y Vilket skulle visas. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
NpMaB ht 006 Version 1 JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 (41) Del II Del II: Digitala verktyg är tillåtna Denna del består av 10 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. Del 1 # 9 (1/0) Utveckla och förenkla 9. Utveckla ( 3)( + 7) och förenkla uttrycket så långt som möjligt. Endast svar fordras (1/0) Variant I 10. Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (15, 8) och har riktningskoefficienten k = 0, (/0) ( 3)( + 7) = ( + 7) 3 ( + 7) = ( + 7) (3 + 3 7) = ( + 14 ) (3 + 1) = + 14 3 1 11. I triangeln ABC är DE parallell med AB. = + 11 1 Variant II ( 3)( + 7) = ( 3) + ( 3) 7 ( 3 ) + ( 7 3 7) ( 3 ) + (14 1) 3 + 14 1 + 11 1 Figuren är inte skalenligt ritad Svar + 11 1 a) Bestäm längden av sträckan AC. (/0) b) Bestäm längden av sträckan DE. (/0) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
Denna del består av 10 uppgifter och är avsedd att genomföras med miniräknare. Observera att arbetet med Del II kan påbörjas utan tillgång till miniräknare. 9. Utveckla JENSEN vu ( 3)( + 7) och förenkla uttrycket så långt som möjligt. utbildning NpMaB ht006 Endast svar fordras (1/0) 3(41) Del 1 # 10 (/0) Linje genom punkt 10. Bestäm en ekvation för den linje som går genom punkten (15, 8) och har riktningskoefficienten k = 0, (/0) (4) IFunktioner FORMELSAMLINGEN på sidan finns räta linjens ekvation. 11. I triangeln ABC är DE parallell med AB. Räta linjen Andragradsfunktioner y = k + m y y1 k = y = a + b + c 1 a 0 Med Potensfunktioner k = 0, blir ekvationen Eponentialfunktioner a y = C y = 0, + m y = C a a > 0 och a 1 Linjen går genom punkten (15, 8) y=8 =15 {}}{ {}}{ y = 0, Figuren + }{{} mär inte skalenligt ritad m=5 Geometri a) Bestäm längden av sträckan AC. (/0) Svar y = 0, + 5 Triangel b) Bestäm längden av sträckan DE. Parallellogram (/0) bh A = A = bh Parallelltrapets h( a + b) A = Cirkel d π A = πr = 4 O = πr = πd Cirkelsektor Prisma v b = πr 360 v br A = πr = 360 V = Bh c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05 Cylinder Pyramid
Endast svar fordras (1/0) 10. Bestäm JENSEN vu en ekvation för den linje som går genom punkten (15, 8) och har riktningskoefficienten utbildning k = 0, NpMaB ht006 (/0) 4(41) Del # 11 (4/0) Triangel med parallell linje 11. I triangeln ABC är DE parallell med AB. Figuren är inte skalenligt ritad a) Bestäm längden av sträckan AC. (/0) b) Bestäm längden av sträckan DE. (/0) a) Kalla sträckan AC för z. Pythagoras sats ger z = 14 + (5,4 +,3) z = 196 + 59,9 = 55, 9 z = 15,978... Svar a) Sträckan AC är 16 cm. Kommentar Alla i uppgiften givna längder är givna med siffror. Då är det också lämpligt att ge svaret med siffror, 15,798 är alltså olämpligt. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
Kon Klot πr h 3 4πr 3 V = JENSEN vu V = utbildning NpMaB ht006 3 5(41) A = πrs A = 4πr (Mantelarea) b) Trianglarna ABC och DEC är likformiga då de har två lika vinklar, en rät vinkel och vinkel C. När två trianglar är likformiga gäller enligt FORMELSAMLINGEN följande. Likformighet Trianglarna ABC och DEF är likformiga. a d = b e = c f Skala Areaskalan = (Längdskalan) Volymskalan = (Längdskalan) 3 Kalla sträckan DE för u. Likformigheten ger Topptriangel- och transversalsatsen u 14 = 5, 5 5,4 +,3 Om DE är parallell 14 5, 5 med AB u gäller = = 10 7,7 DE CD CE = = och AB AC BC Svar b) Sträckan DE är 10 cm. CD CE = AD BE Bisektrissatsen AD = BD AC BC Vinklar u + v = 180 Sidovinklar w = v Vertikalvinklar L 1 skär två parallella linjer L och L 3 v = w Likbelägna vinklar u = w Alternatvinklar 13-01-4 Skolverket c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 6(41) Del # 1 (/1) NpMaB ht 006 Lådagram Version 1 1. Sara ville ta reda på hur vanligt det är att man skickar SMS i hennes klass. I klassen går det 9 elever. En dag lämnade Sara ut lappar med frågan Hur många SMS skickade du förra veckan? Alla i klassen utom Sara svarade på frågan. Det lådagram som hon ritade över resultatet ser du här nedanför. Med lådagrammet delas antalet elevsvar in i fyra lika stora delar. Till eempel så finns en fjärdedel av elevsvaren mellan det minsta värdet och nedre kvartilen, se figur. a) Bestäm variationsbredden. Endast svar fordras (1/0) b) Medelvärdet är 3 skickade SMS. Förklara vilket lägesmått (medelvärde eller median) som är lämpligast att använda om du vill beskriva hur många SMS en elev i klassen skickar under en vecka. (1/0) c) Sara hade själv skickat 5 SMS. Undersök om medianen ändras om Saras SMS räknas med. (0/1) a) 13. Figuren visar en variationsbredden del av ett koordinatsystem med linjen y = + 70 } {{ } = } största {{ värdet } minsta } {{ värdet } Vilka koordinater har punkten A? (0/) Svar a) 59 65 6=59 65 6 c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
a) Redovisad godtagbar metod, t.e. ställer upp Pythagoras sats korrekt +1 g med korrekt svar (16 cm) +1 g b) Redovisad godtagbar metod, t.e. använder likformighet korrekt +1 g JENSEN vu med korrekt svar (9,8 cm) utbildning NpMaB ht006 +1 g 7(41) 1. NpMaB ht 006 Version 1 Ma /1 Svar b) Median är lämpligast eftersom enstaka kraftigt avvikande värden inte påverkar medianen. I Skolverkets rättningsnorm står följande. a) Korrekt svar (59) +1 g Uppg. Bedömningsanvisningar Poäng 11. b) Godtagbart svar ( Eftersom fördelningen är sned så är medianen lämpligast Ma 4/0 att använda ) +1 g a) Redovisad godtagbar metod, t.e. ställer upp Pythagoras sats korrekt +1 g c) Med c) jämt Godtagbar antal personer, undersökning 8, kring blir medianen vad som kan medelvärdet ske medianen med av de två mittersta talen. om Saras korrekt SMS svar räknas (16 cm) med ( Medianen kan ändras eller vara densamma ) +1 +1 vg g Elevlösning b) Redovisad 1,..., 13, 14, 15 1 (1 vg) godtagbar metod, t.e. } använder, {{ } 16, likformighet..., 8 korrekt +1 g median = ( 15 + 14 )/ med korrekt svar (9,8 cm) +1 g Med udda antal personer, 9, blir medianen mittersta talet som i detta fall är större än den tidigare medianen. 1. Ma /1 1,..., 13, 14, }{{} 15, 16,..., 8, 9 a) Korrekt svar (59) +1 g median = 15 Svar b) c) Godtagbart Medianen i svar de tvåfallen ( Eftersom är fördelningen lika endast då är sned de två så mittersta är medianen talen lämpligast är lika. I Skolverkets att rättningsnorm använda ) står följande. +1 g c) Godtagbar undersökning kring vad som kan ske med medianen om Saras SMS räknas med ( Medianen kan ändras eller vara densamma ) +1 vg Elevlösning 1 (1 vg) Kommentar: Eleven beskriver vad som sker kring medianen då ett etra värde till höger tillkommit. Elevens val av tal i eemplet beskriver inte situationen i uppgiften men eemplet förtydligar elevens förklaring. Kommentar: Eleven beskriver vad som sker 1 kring medianen då ett etra värde till höger tillkommit. Elevens val av tal i eemplet beskriver inte situationen i uppgiften men eemplet förtydligar elevens förklaring. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
en fjärdedel av elevsvaren mellan det minsta värdet och nedre kvartilen, se figur. b) Medelvärdet är 3 skickade SMS. Förklara vilket lägesmått (medelvärde eller median) som är lämpligast att använda om du vill beskriva hur många SMS en elev i klassen skickar under en vecka. (1/0) JENSEN c) vu Sara utbildning hade själv skickat 5 SMS. NpMaB ht006 8(41) Undersök om medianen ändras om Saras SMS räknas med. (0/1) Del # 13 (0/) Punkt ovanför linje 13. Figuren visar en del av ett koordinatsystem med linjen y = + 70 Vilka koordinater har punkten A? (0/) a) Bestäm variationsbredden. Endast svar fordras (1/0) b) Medelvärdet är 3 skickade SMS. Förklara vilket lägesmått (medelvärde eller median) som är lämpligast att använda om du vill beskriva hur många SMS en elev i klassen skickar under en vecka. (1/0) c) Sara hade själv skickat 5 SMS. Undersök om medianen ändras om Saras SMS räknas med. (0/1) 13. Figuren visar en del av ett koordinatsystem med linjen y = + 70 Vilka koordinater har punkten A? (0/) y = 130 10 10 {}}{ y = }{{} + 70 5 Punkten A har y-koordinaten 130. Vi söker -koordinaten för punkten A men -aeln är inte graderad. Punkten på linjen med y-koordinaten 10 har samma -koordinat som punkten A. Stoppa in y = 10 i linjens ekvation y = + 70 och ut trillar = 5. Svar Koordinaterna för punkten A är (5, 130). c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 9(41) Del # 14 (0/) NpMaB ht 006 Linjaler Version 1 14. Firma Plastsaker & Sånt tillverkar bland annat linjaler. Varje vecka tillverkas 50 000 linjaler. Alla linjaler som tillverkades under en viss vecka såldes till en kund i Lund. Efter ett tag började firman få klagomål från kunden och beslöt att göra en kvalitetskontroll i form av en stickprovsundersökning. Under en vecka kontrollerades kvaliteten på var 00:e linjal som tillverkades. Man hittade 11 linjaler som var av dålig kvalitet. Hur många av de linjaler som skickades till Lund kan antas ha varit av dålig kvalitet? (0/) 15. Veckans Sveriges produktion största rovfågel är havsörnen. Uppskattningsvis 50 00070 linjaler % av de svenska havsörnarna är ringmärkta. Havsörnar som lever i par håller under hela sin Stickprovets livslängd andel ihop med samma partner. 1 00 1 Stickprovets storlek 50 000 50 linjaler 00 Antal dåliga i stickprovet 11 linjaler Andel dåliga i stickprovet Antal dåliga i veckans produktion 11 50 11 50 000 50 00 linjaler Svar Antalet dåliga i veckans produktion är 00 under antagandet att stickprovet är representativt. a) Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av två ringmärkta fåglar. (1/0) b) Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av en ringmärkt och en omärkt fågel. (0/1) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
Efter ett tag började firman få klagomål från kunden och beslöt att göra en kvalitetskontroll i form av en stickprovsundersökning. Under en vecka kontrollerades kvaliteten på var 00:e linjal som tillverkades. Man hittade 11 linjaler som var av dålig kvalitet. JENSEN Hur vu många utbildning av de linjaler som skickades NpMaB till ht006 Lund kan antas ha varit av 30(41) dålig kvalitet? (0/) Del # 15 (1/1) Ringmärkta havsörnar 15. Sveriges största rovfågel är havsörnen. Uppskattningsvis 70 % av de svenska havsörnarna är ringmärkta. Havsörnar som lever i par håller under hela sin livslängd ihop med samma partner. a) Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av två ringmärkta fåglar. (1/0) b) Beräkna sannolikheten att ett havsörnspar består av en ringmärkt och en omärkt fågel. (0/1) Uppgiften behandlar dragning ur två populationer, hanar och honor. Sannolikheten för att en fågel är ringmärkt är 0,7. Låt R beteckna ringmärkt fågel och O beteckna icke märkt fågel. I träddiagrammet visas dragning av hane och därefter hona. Med P (RO) menas sannolikheten för att hanen är ringmärkt och honan icke ringmärkt med P (OR) menas att sannolikheten för att hanen är icke ringmärkt och honan ringmärkt population P (R) = 7 10 P (O) = 3 10 population population P (R) = 7 10 P (O) = 3 10 P (R) = 7 10 P (O) = 3 10 P (RR) = 7 10 7 10 = 49 100 P (RO) = 7 10 3 10 = 1 100 P (OR) = 3 10 7 10 = 1 100 P (OO) = 3 10 3 10 = 9 100 Resultatet av dragningen kan sammanfattas i följande tabell. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 31(41) sannolikhet R R 0,49 R O 0,1 O R 0,1 O O 0,09 Svar a) Sannolikheten att få ett par där båda är ringmärkta är 0,49. b) Sannolikheten att få ett par där hanen är märkt och honan icke märkt är 0,1 och sannolikheten att få ett par där hanen är icke märkt och honan märkt är 0,1. Sannolikheten att ett havsörnspar består av en ringmärkt och en icke ringmärkt fågel är 0,1 + 0,1 = 0,4. Svar b) 0,4. Kommentar Vi brukar skilja på dragning med återläggning och dragning utan återläggning. I detta fall är denna skillnad icke aktuell då vi drar hane och hona ur olika populationer och bara gör ett drag ur varje population. Skillnad mellan dragning med respektive utan återläggning märks först vid andra draget. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 3(41) Del # 16 (0// ) Låda med volymen 000 cm 3. NpMaB ht 006 Version 1 16. Kalle och Lisa ska tillverka var sin öppen låda. De har några kartongark i A4-format med måtten 1,0 cm 9,7 cm. Först tar de var sitt ark och viker upp kortsidorna och sedan klipper de till två remsor av ett annat ark och tejpar fast dem på långsidorna, se figuren. Bredden på remsorna blir höjden på lådan. De vill båda tillverka en låda med volymen 000 cm 3. Efter en stunds pysslande har de gjort var sin låda. Kalles remsor är bredare än Lisas. Är det möjligt att Kalle och Lisa har tillverkat var sin låda med volymen 000 cm 3? (0// ) 17. a) y = 3 + 1 I ekvationssystemet är k en konstant. y = k + För vilket eller vilka värden på k saknar ekvationssystemet lösning? Förklara. (0/1) y = 3 + 1 b) I ekvationssystemet är a och b konstanter. y = a + b Hur många lösningar får ekvationssystemet för olika värden på a och b? Förklara. (0// ) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 33(41) bottenyta A (9,7 ) 1,0 1,0 9,7 1(4) Lådans bottenyta A är A = (9,7 ) 1,0 Formler till nationellt prov i matematik kurs och med höjden blir volymen V = (9,7 ) 1,0. Välj så att volymen blir 000 cm 3. Lös ekvationen 000 = (9,7 ) 1,0. Använd Algebra pq-formeln som finns i FORMELSAMLINGEN och skriv på normaliserad form. Regler ( a + b) = a + ab + b ( a b) = a ab + b ( a + b)( a b) = a b Andragradsekvationer + p + q = 0 p = ± p q Aritmetik Prefi T G M k h d c m µ n p tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 10 1 10 9 10 6 10 3 10 10-1 10-10 -3 10-6 10-9 10-1 c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05 Potenser a a y = a + y a a y y y y = a ( a ) = a a = a 1
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 34(41) 000 1 = 9,7. 0 = + 9,7 000 1 0 = 9,7 } {{ } p= 14,85 + 000 4,0 } {{ } q=47,619 = 7,45 ± 7,45 47,619 = 7,45 ±,4707 1 = 10,166 = 4,684 4,7 10, bottenyta A 0,3 1,0 1,0 bottenyta A 9,4 1,0 1,0 4,7 10, 4,7 0,3 4,7 10, 9,4 10, Svar Det finns två olika möjliga lådor med volymen 000 cm, en med låga kanter och stor bottenyta och en med höga kanter med liten bottenarea. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
Kalles remsor är bredare än Lisas. Är JENSEN vu det möjligt att Kalle och Lisa har tillverkat var sin låda med utbildning NpMaB ht006 35(41) volymen 000 cm 3? (0// ) Del # 17 (0/3/ ) Ekvationssystem 17. a) y = 3 + 1 I ekvationssystemet är k en konstant. y = k + För vilket eller vilka värden på k saknar ekvationssystemet lösning? Förklara. (0/1) y = 3 + 1 b) I ekvationssystemet är a och b konstanter. y = a + b Hur många lösningar får ekvationssystemet för olika värden på a och b? Förklara. (0// ) a) y = 3 + y = 3 + 1 Svar a) k = 3. Linjer med lika k är parallella och skär aldrig varandra. Lösning saknas då c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 36(41) b) Tre olika fall finns. entydig lösning k 3 y = 3 + 1 lösning saknas k = 3 och b 1 y = 3 + b y = 3 + 1 oändligt antal lösningar k = 3 och b = 1 y = 3 + 1 k 3 två icke parallella linjer skär varandra entydig lösning k = 3 och b 1 två parallella skilda linjer skär icke varandra lösning saknas k = 3 och b = 1 två identiska linjer ger att alla punkter på linjen är lösning oändligt antal lösningar Svar b) Se ovan. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: Hur väl du genomför dina beräkningar Hur JENSEN vu väl du redovisar och kommenterar ditt arbete Hur väl utbildning du motiverar dina slutsatser NpMaB ht006 37(41) Vilka matematiska kunskaper du visar Hur väl du använder det matematiska språket Del # 18 (3/4/ ) Stoppsträcka Hur generell din lösning är 18. I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då föraren upptäcker ett hinder, bromsar in och stannar. Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är den sträcka bilen kör från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren reagerar och trycker på bromspedalen. Den andra delen, bromssträckan, är den sträcka som bilen kör då föraren bromsar in och stannar, se figur. Stoppsträckan s vid ett visst väglag kan beräknas enligt följande formel: där stoppsträckan s anges i meter och hastigheten v anges i km/h. Beräkna reaktionssträcka, bromssträcka och stoppsträcka för några hastigheter, t.e. 70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rita en tabell och fyll i dina värden. Hastighet (km/h) 70 90 110 Reaktionssträcka (m) Bromssträcka (m) Stoppsträcka (m) Vid landsvägskörning i mörker lyser halvljusen upp vägen ca 50 meter framför bilen. Det är vid det avståndet föraren tidigast kan upptäcka ett hinder. Kommentera möjligheten att kunna stanna på 50 meter. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 38(41) NpMaB ht 006 Version 1 Enligt formeln för stoppsträckan s = 0,7v + 0,005v hinner föraren inte stanna före ett hinder som upptäcks då avståndet till hindret är 50 meter och föraren kör med hastigheten 110 km/h. Om bilen kan passera hindret och föraren fortsätter att bromsa, hur långt bortom hindret stannar då bilen? Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret? Om du vill kan du ta hjälp av diagrammet nedan. Reaktionssträcka och bromssträcka som funktion av hastigheten Undersök och beskriv sambandet mellan den ursprungliga hastigheten v 1 km/h en bil har när en förare upptäcker ett hinder på 50 meters håll och den hastighet v km/h bilen har när den är vid hindret. (3/4/ ) c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 39(41) NpMaB ht 006 Version 1 Vid bedömningen av ditt arbete med följande uppgift kommer läraren att ta hänsyn till: Hur väl du genomför dina beräkningar Hur väl du redovisar och kommenterar ditt arbete Hur väl du motiverar dina slutsatser Vilka matematiska kunskaper du visar Hur väl du använder det matematiska språket Hur generell din lösning är 18. I samband med bilkörning brukar man tala om stoppsträcka i situationer då Beräkna föraren reaktionssträcka, upptäcker ett hinder, bromssträcka bromsar in och stannar. och stoppsträcka för några hastigheter, t.e. 70 km/h, 90 km/h och 110 km/h. Rita en tabell och fyll i dina värden. Stoppsträckan s kan delas in i två delar. Den första delen, reaktionssträckan, är den sträcka bilen kör från det att föraren ser ett hinder till dess att föraren reagerar Ifylld ser och tabellen trycker ut på bromspedalen. på följande sätt. Den andra delen, bromssträckan, är den sträcka som bilen kör då föraren bromsar in och stannar, se figur. Hastighet Reaktionssträcka Bromssträcka Stoppsträcka (km/h) (m) (m) (m) 70 0, 7 70 = 18,9 0,005 70 = 4,5 18,9 + 4,5 = 43,8 90 0, 7 90 = 4,3 0,005 90 = 40,5 4,3 + 40,5 = 64,8 110 0, 7 110 = 9,7 0,005 110 = 60,5 9,7 + 60,5 = 90, Kommentera möjligheten att kunna stanna på 50 meter Denna uppgift Stoppsträckan lösas s vid analytiskt ett visst väglag ellerkan numeriskt/grafiskt. beräknas enligt följande formel: Alternativ: analytiskt lösning. Stoppa in s = 50 i formeln för stoppsträckan och lös ut v med pq-formeln. 50där stoppsträckan s anges i meter och hastigheten v anges i km/h. {}}{ s = 0,7 v + 0,005 v } {{ } 0 pq-formeln ger v Beräkna reaktionssträcka, bromssträcka och stoppsträcka för några = hastigheter, 0,7 v + t.e. 0,005 70 km/h, v 90 50km/h och 110 km/h. Rita en tabell och fyll i Normalisera ekvationen, dina värden. alltså ordna så att koefficienten framför v blir 1. Dividera alla termer i ekvationen med 0,005. 0 Hastighet = v + 54Reaktionssträcka v 10 000 Bromssträcka Stoppsträcka (km/h) (m) (m) (m) v 1, = 7 ± 7 70 + 10 000 v 1 = 90 7 + 7 + 10 000 76, 6 v 110 130, 6 negativ rot, ej intressant Vid landsvägskörning i mörker lyser halvljusen upp vägen ca 50 meter framför bilen. Det är vid det avståndet föraren tidigast kan upptäcka ett hinder. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05 Kommentera möjligheten att kunna stanna på 50 meter.
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 40(41) Alternativ: grafisk/numerisk lösning. Den ekvation som ska lösas är vänsterled {}}{ 50 = högerled { }} { 0,7 v + 0,005 v. Använd grafritande miniräknare. Plotta vänsterled och högerled och bestäm skärningspunkten. Kommandon till Teas-räknare Y= mata in funktion GRAPH WINDOW TRACE ND CALC rita graf välj fönster, standard är Xmin = 10, Xma = 10, Ymin = 10, Yma = 10 i detta problem är det lämpligare med Xmin = 0, Xma = 100, Ymin = 0, Yma = 100 ger cursorns och y koordinat på kurva välj intersect i denna uppgift för att bestämma skärningspunkt stoppsträcka m 100 s = 0,7 v + 0,005 v 75 50 s = 50 76,6 km/h hastighet 70 90 110 km/h Uppgiften gäller att bestämma för vilka hastigheter det är möjligt att stanna vid hindret. Den högsta möjliga hastigheten v är 76,6 och den lägsta är 0 < v km/h. Hastigheten noll är inte möjlig. Svar Möjliga hastigheter är 0 < v 76,6 km/h. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05
JENSEN vu utbildning NpMaB ht006 41(41) Om bilen kan passera hindret och föraren fortsätter att bromsa, hur långt bortom hindret stannar då bilen? Enligt tabellen är stoppsträckan 90, meter, det är 40, meter efter hindret. Svar 40, meter Vilken hastighet har bilen när den är vid hindret? Enligt uppgiften gäller att stoppsträckan s är s = 0,7 v } {{ } reaktionssträcka + 0,005 v. } {{ } bromssträcka Antag att bilens hastighet vid hindret är u km/h. Enligt tidigare är bromssträckan efter hindret 40, meter. Formeln för bromssträcka ger 40, = 0,005 }{{} u u=89,666 Svar Hastigheten vid hindret är 89,7 km/h. Undersök och beskriv sambandet mellan den ursprungliga hastigheten v 1 km/h en bil har när en förare upptäcker ett hinder på 50 meters håll och den hastighet v km/h bilen har när den är vid hindret. Låt v vara utgångshastighet och u hastigheten vid hindret. Utgångspunkt för sambandet u och v är bromssträcka från u km/h { }} { 0,005 u = stoppsträcka bortom hindret { }} { 0,7 v + 0,005 v 50 som kan förenklas till u = 54 v + v 10 000. Detta samband gäller för sådana v att högerledet är positivt. För v 0 gäller att lösning saknas och för utgångshastigheter så låga att hindret inte passeras gäller att u = 0. Svar u = lösning saknas : v 0 0 : 0 < v 7 + 7 + 10 000 54v + v 10 000 : 7 + 7 + 10 000 v Kommentar I Skolverkets rättningsnorm förekommer endast svaret u = 54v + v 10 000 på deluppgiften undersök och beskriv sambandet mellan... Skolverkets rättningsnorm behandlar alltså enbart fallet att bilen passerar hindret. c G Robertsson buggar robertrobertsson@tele.se 015-04-05