Vektorgeometri för gymnasister

Vektorgeometri för gymnasister Per-Anders Svensson http://homepage.lnu.se/staff/psvmsi/vektorgeometri/gymnasiet.html Fakulteten för teknik Linnéuniversitetet Linjära avbildningar IV

Innehåll Nollrum och värderum Dimensionssatsen Matrisrepresentation i olika baser 2(30)

Nollrum och värderum Definition (Värderum) För en linjär avbildning F av rummet (planet), så kallas mängden av alla möjliga bilder F(u) för värderummet till F och betecknas V (F). Exempel Förra föreläsningen studerade vi fyra exempel på linjära avbildningar: F 1 : Spegling i planet x 1 + 2x 2 2x 3 = 0 F 2 : Ortogonal projektion på planet 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 F 3 : Ortogonal projektion på den räta linjen (x 1, x 2, x 3 ) = t(1, 1, 1) F 4 : Varje vektor avbildas på nollvektorn. För dessa avbildningar konstaterade vi att V (F 1 ) är hela rummet V (F 2 ) är planet 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 V (F 3 ) är den räta linjen (x 1, x 2, x 3 ) = t(1, 1, 1) V (F 4 ) = {0}. 3(30)

Värderummet innehåller alltså F(u) för varje tänkbar vektor u. Om (e 1, e 2, e 3 ) är en bas för rummet så gäller alltså speciellt att F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) tillhör V (F). Detta innebär i sin tur att kolonnvektorerna i en avbildningsmatris till F tillhör F:s värderum, för vi har ju följande sats: Sats För varje linjär avbildning F av rummet finns det i varje given bas en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att y = F(x) på matrisform ges av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna y respektive x. Kolonnerna i A utgörs av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) i basen (e 1, e 2, e 3 ). 4(30)

Exempel Antag att den linjära avbildningen F av rummet i en given bas (e 1, e 2, e 3 ) har avbildningsmatrisen 4 1 6 A = 1 2 3. 1 3 5 Då ser vi direkt att vektorerna v 1 = (4, 1, 1), v 2 = (1, 2, 3) och v 3 = (6, 3, 5) finns med i värderummet till F, ty av det sätt på vilket vi bildar A följer att v 1 = F(e 1 ), v 2 = F(e 2 ) och v 3 = F(e 3 ). Men V (F) består inte enbart av dessa tre vektorer, utan också av varje tänkbar linjärkombination av v 1, v 2 och v 3 ; t.ex. finns v = 2v 1 v 2 + 3v 3 = (25, 5, 10) med i F:s värderum, ty eftersom F är linjär så är v = 2F(e 1 ) F(e 2 ) + 3F(e 3 ) = F(2e 1 e 2 + 3e 3 ) = F(u), där u = 2e 1 e 2 + 3e 3 = (2, 1, 3). 5(30)

Definition (Nollrum) Låt F vara en linjär avbildning av rummet (planet). Med nollrummet till F avses mängden N(F) av alla vektorer som F avbildar på nollvektorn, d.v.s. N(F) = {x F(x) = 0}. Exempel För de fyra linjära avbildningarna F 1 : Spegling i planet x 1 + 2x 2 2x 3 = 0 F 2 : Ortogonal projektion på planet 2x 1 3x 2 + x 3 = 0 F 3 : Ortogonal projektion på den räta linjen (x 1, x 2, x 3 ) = t(1, 1, 1) F 4 : Varje vektor avbildas på nollvektorn från förra föreläsningen, fann vi att N(F 1 ) = {0} N(F 2 ) är den räta linjen (x 1, x 2, x 3 ) = t(2, 3, 1) N(F 3 ) är planet x 1 x 2 + x 3 = 0 N(F 4 ) är hela rummet. 6(30)

Om F är en linjär avbildning, representerad av matrisen A i någon bas, så kan vi bestämma nollrummet till F genom att lösa det linjära ekvationssystemet AX = O, eftersom detta är ekvationen F(x) = 0 skriven på matrisform. Exempel Vi bestämmer N(F) för den linjära avbildning F från ett tidigare exempel, som hade avbildningsmatrisen 4 1 6 A = 1 2 3. 1 3 5 Vi får efter litet räkningar 4x 1 + x 2 + 6x 3 = 0 AX = O x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 x 1 3x 2 5x 3 = 0 x 1 = t x 2 = 2t x 3 = t, så nollrummet består av alla vektorer på formen tv, där v = (1, 2, 1). 7(30)

Dimensionssatsen Såväl nollrum som värderum till en linjär avbildning av rummet kan geometriskt tolkas antingen som hela rummet, ett plan genom origo, en rät linje genom origo, eller enbart av nollvektorn. Om X betecknar antingen hela rummet, ett plan genom origo, en rät linje genom origo eller mängden av enbart nollvektorn, så definierade vi förra gången dimensionen av X så att dim X = 3 om X är hela rummet, dim X = 2 om X är ett plan genom origo, dim X = 1 om X är en rät linje genom origo, dim X = 0 om X = {0}. Med hjälp av begreppet dimension kan man formulera följande samband mellan nollrum och värderum till en linjär avbildning av rummet: Sats (Dimensionssatsen) Om F är en linjär avbildning av rummet, så är dim N(F) + dim V (F) = 3. 8(30)

Exempel Vi konstaterade i ett tidigare exempel, att nollrummet till den linjära avbildning F av rummet, som har 4 1 6 A = 1 2 3 1 3 5 som avbildningsmatris, ges av alla vektorer på formen tv, där v = (1, 2, 1). Geometriskt kan vi tolka detta som en rät linje genom origo (med v som riktningsvektor). Alltså är dim N(F) = 1. Enligt dimensionssatsen är därmed dim V (F) = 2, d.v.s. V (F) är ett plan genom origo. Kan vi ta reda på vilket plan det är frågan om? För att kunna härleda en ekvation för detta plan, behöver känna till två icke-parallella vektorer som spänner upp planet. Eftersom planet är just värderummet till F, kan vi leta efter dessa två vektorer i V (F). Vi vet att åtminstone F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) tillhör V (F) (där (e 1, e 2, e 3 ) är den aktuella basen), och koordinaterna för dessa vektorer hittar vi som kolonner hos A. Alltså skulle vi kunna välja v 1 = (4, 1, 1) och v 2 = (1, 2, 3) (de två första kolonnerna hos A), ty dessa två vektorer är icke-parallella. 9(30)

Vi bestämmer nu en ekvation (på normalform) för det plan går genom origo och som spänns upp av v 1 = (4, 1, 1) och v 2 = (1, 2, 3). Ett sätt att göra detta på är att först bestämma normalvektorn (vi förutsätter ON-bas). Som normalvektor kan vi välja vektorprodukten ( ) 1 1 n = v 1 v 2 = 2 3, 1 4 3 1, 4 1 1 2 = (1, 13, 9). Eftersom vi vet att planet ska gå genom origo, kan vi därmed konstatera att V (F) alltså beskrivs av planet x 1 + 13x 2 + 9x 3 = 0. 10(30)

Om en linjär avbildning F av rummet har avbildningsmatrisen A i en given bas (e 1, e 2, e 3 ), så kan vi använda följande strategi för att bestämma noll- och värderummet till F: Bestäm N(F) genom att lösa ekvationen AX = O. Tolka lösningen geometriskt. Bestäm dim N(F). Beräkna dim V (F) med hjälp av dimensionssatsen. Välj lämpliga kolonner i avbildningsmatrisen A för att bestämma (en ekvation för) V (F). 11(30)

Exempel Vi ska bestämma noll- och värderum till de linjära avbildningarna F 1 och F 2 som i en och samma bas har avbildningsmatriserna 2 4 2 3 6 2 A 1 = 1 2 1 respektive A 2 = 1 2 1. 5 10 5 3 6 2 Vi tar oss först an F 1, och bestämmer N(F 1 ) genom att lösa 2x 1 + 4x 2 2x 3 = 0 A 1 X = O x 1 2x 2 + x 3 = 0 5x 1 + 10x 2 5x 3 = 0. Vi ser att samtliga ekvationer är ekvivalenta med x 1 + 2x 2 x 3 = 0, vilket är ekvationen för ett plan. Detta plan utgör alltså nollrummet, så dim N(F 1 ) = 2. 12(30)

Av dimensionssatsen följer nu att dim V (F 1 ) = 3 dim N(F 1 ) = 3 2 = 1, d.v.s. vi kan tolka V (F 1 ) geometriskt som en rät linje genom origo. För att kunna ange ekvationen för denna linje (på parameterform) behöver vi en riktningsvektor, och denna måste tillhöra V (F 1 ). Eftersom kolonnerna i avbildningsmatrisen A 1 = 2 4 2 1 2 1 5 10 5 alla ligger i V (F 1 ), duger vilken som helst av dem som riktningsvektor, t.ex. den första. Alltså ges V (F 1 ) av den räta linjen x 1 = 2t x 2 = t x 3 = 5t. 13(30)

På liknande vis hanteras F 2. Först bestämmer vi N(F 2 ) genom att lösa 3x 1 6x 2 + 2x 3 = 0 x 1 = 2t A 2 X = O x 1 2x 2 + x 3 = 0 x 2 = t 3x 1 + 6x 2 2x 3 = 0 x 3 = 0. Alltså utgörs N(F 2 ) av den räta linje som går genom origo och har v = (2, 1, 0) som riktningsvektor. Eftersom dim N(F 2 ) = 1, så ger dimensionssatsen att dim V (F 2 ) = 2, d.v.s. V (F 2 ) är ett plan genom origo. Vi behöver två icke-parallella vektorer i V (F 2 ) för att spänna upp detta plan, och kan hämta dessa från kolonnerna hos avbildningsmatrisen 3 6 2 A 2 = 1 2 1. 3 6 2 Den första och den tredje kolonnen är inte parallella, så planet spänns upp av v 1 = (3, 1, 3) och v 3 = (2, 1, 2). Eftersom vektorprodukten v 1 v 3 = (1, 0, 1), är normalvektor till planet, ges dess ekvation av x 1 + x 3 = 0. 14(30)

Vi tar ett exempel till... Exempel Bestäm nollrum och värderum till den linjära avbildning F som har 1 2 3 A = 2 1 0 3 7 1 som avbildningsmatris. Lösning. Vi bestämmer först N(F): x 1 + 2x 2 3x 3 = 0 AX = O 2x 1 + x 2 = 0 3x 1 7x 2 + x 3 = 0 x 1 = 0 x 2 = 0 x 3 = 0. Vi ser att N(F) = {0}, så dim N(F) = 0. Dimensionssatsen ger dim V (F) = 3, så V (F) är hela rummet. Detta innebär att F som avbildning är bijektiv, d.v.s. den har en invers F 1 (se föregående föreläsning). 15(30)

Matrisrepresentation i olika baser Vi påminner om följande sats. Sats För varje linjär avbildning F av rummet finns det i varje given bas en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att y = F(x) på matrisform ges av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna y respektive x. Kolonnerna i A utgörs av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) i basen (e 1, e 2, e 3 ). Låt (f 1, f 2, f 3 ) vara en annan bas. För att bilda avbildningsmatrisen B för F i denna bas, ska vi alltså som kolonner i B välja koordinaterna för F(f 1 ), F(f 2 ) och F(f 3 ) i basen (f 1, f 2, f 3 ). Kommer B att se likadan ut som A? 16(30)

Exempel Låt F vara den linjära avbildning som projicerar varje vektor i rummet ortogonalt på planet 3x 1 2x 2 + 4x 3 = 0. n x u = λn F (x) Bilden av en godtycklig vektor x genom F kan beräknas med hjälp av formeln F(x) = x λn, där n = (3, 2, 4) är en normalvektor till planet och där λ = (x n)/ n 2, enligt projektionsformeln. Med hjälp av denna formel får vi att F(e 1 ) = ( 20 29, 6 29, 12 29 ), F(e 2 ) = ( 6 29, 25 26, 8 29 ) och F(e 3) = ( 12 29, 8 29, 13 29 ), så i basen (e 1, e 2, e 3 ) har F den föga tjusiga avbildningsmatrisen A = 1 20 6 12 6 25 8. 29 12 8 13 17(30)

Med hjälp av matrisen A kan vi nu beräkna t.ex. F(f 1 ), F(f 2 ) och F(f 3 ), där f 1 = (2, 3, 0), f 2 = (3, 2, 4) och f 3 = (4, 0, 3). Vi får F(f 1 ) = f 1 ty 20 6 12 2 2 1 6 25 8 3 = 3 29 12 8 13 0 0 På samma sätt fås F(f 2 ) = 0, i och med att 20 6 12 3 0 1 6 25 8 2 = 0 29 12 8 13 4 0 och F(f 3 ) = f 3, eftersom 20 6 12 4 1 6 25 8 0 = 29 12 8 13 3 4 0. 3 18(30)

Vi sammanfattar: F(f 1 ) = f 1 F(f 2 ) = 0 F(f 3 ) = f 3. Nu visar sig (f 1, f 2, f 3 ) vara en bas för rummet, ty för den matris T som har f 1, f 2 och f 3 som sina kolonner gäller att 2 3 4 dett = 3 2 0 0 4 3 = 9 0, vilket visar att f 1, f 2 och f 3 är linjärt oberoende (volymen av den parallellepiped som dessa vektorer spänner upp är skild från noll), och därmed utgör de tillsammans en bas. Vi ska nu bestämma hur avbildningsmatrisen för F ser ut i denna bas. 19(30)

Vi påminner därför än en gång om följande sats. Sats För varje linjär avbildning F av rummet finns det i varje given bas en 3 3-matris A som representerar F, i det avseendet att y = F(x) på matrisform ges av Y = AX, där Y och X är de kolonnmatriser som representerar vektorerna y respektive x. Kolonnerna i A utgörs av koordinaterna för F(e 1 ), F(e 2 ) och F(e 3 ) i basen (e 1, e 2, e 3 ). I basen (f 1, f 2, f 3 ) ges alltså avbildningsmatrisen för F av den matris, vars kolonner ges av koordinaterna för F(f 1 ), F(f 2 ) och F(f 3 ) i basen (f 1, f 2, f 3 ). Eftersom F(f 1 ) = f 1, F(f 2 ) = 0 och F(f 3 ) = f 3, så får alltså matrisen för F i basen (f 1, f 2, f 3 ) det betydligt enklare utseendet (jämfört med A): 1 0 0 B = 0 0 0. 0 0 1 Basbytet (e 1, e 2, e 3 ) (f 1, f 2, f 3 ) ger alltså en matris för F med snällare utseende. En naturlig fråga i sammanhanget: Vad finns det för samband mellan A (matrisen för F i basen (e 1, e 2, e 3 )) och B (matrisen för F i basen (f 1, f 2, f 3 ))? 20(30)

För att härleda ett sådant samband, låter vi F vara en linjär avbildning som i basen e = (e 1, e 2, e 3 ) har avbildningsmatrisen A. Antag att y = F(x). Då har vi på matrisform en motsvarande ekvation Y e = AX e. (1) Här Y e och X e de kolonnmatriser som svarar mot vektorerna y respektive x i basen e. Nu gör vi ett basbyte! Låt f = (f 1, f 2, f 3 ) vara den nya basen. I basen f får vektorerna y och x nya koordinater, och kommer alltså representeras av andra kolonnmatriser; vi kallar dessa för Y f respektive X f. Om B betecknar avbildningsmatrisen för F i basen f, så blir ekvationen y = F(x) på matrisform istället Y f = BX f. (2) Vi söker ett samband mellan A och B. Hur var det nu med basbyten? Jo, ett basbyte kunde ju beskrivas med hjälp av en transformationsmatris T. Sambanden mellan koordinaterna för y och x i de olika baserna kan på matrisform skrivas Y e = TY f respektive X e = TX f. (3) 21(30)

Enligt ekvationerna (3) är alltså Y e = TY f och X e = TX f. I ekvation (1), som säger att Y e = AX e, kan vi därmed ersätta Y e med TY f, och X e med TX f. Vi får då TY f = A(TX f ). I egenskap av att vara transformationsmatris är T inverterbar. Vi multiplicerar båda leden i ekvationen ovan med T 1 från vänster. Då blir resultatet Y f = T 1 A(TX f ), vilket vi också kan skriva som Y f = (T 1 AT)X f. En jämförelse med ekvation (2), enligt vilken Y f = BX f, ger nu att sambandet mellan B och A kan skrivas B = T 1 AT. 22(30)

Sats Låt F vara en linjär avbildning av rummet. Antag att F i baserna e = (e 1, e 2, e 3 ) och f = (f 1, f 2, f 3 ) har avbildningsmatriserna A respektive B. Om T är transformationsmatrisen för basbytet från bas e till bas f, så är B = T 1 AT. Exempel I det tidigare exemplet med den ortogonala projektionen på planet 3x 1 2x 2 + 4x 3 = 0 så hade F avbildningsmatrisen A = 1 29 20 6 12 6 25 8 12 8 13 i den bas (e 1, e 2, e 3 ) som var given från början. 23(30)

I basen (f 1, f 2, f 3 ), där f 1 = (2, 3, 0), f 2 = (3, 2, 4) och f 3 = (4, 0, 3), kom vi fram till att F i stället hade avbildningsmatrisen 1 0 0 B = 0 0 0. 0 0 1 Transformationsmatrisen vid basbytet ges här av 2 3 4 T = 3 2 0 0 4 3 (Kom ihåg att T:s kolonner = koordinaterna för f 1, f 2, f 3 ). Enligt satsen ovan ska alltså sambandet B = T 1 AT (4) gälla. Kontrollera på egen hand att detta verkligen stämmer! Tips: För att slippa beräkna T 1 kan du istället kontrollera att TB = AT, vilket är samma sak som (4). 24(30)

Exempel För att bestämma avbildningsmatrisen A för den linjära avbildning S som speglar varje vektor i planet x 1 + x 2 + 2x 3 = 0, skulle vi kunna göra som tidigare, d.v.s. beräkna S(e 1 ), S(e 2 ) och S(e 3 ), där (e 1, e 2, e 3 ) är den från början givna basen, och låta koordinaterna för dessa vektorer vara kolonnerna i A. Vi ska dock använda föregående sats till att plocka fram A på ett alternativt sätt: 1. Låt (f 1, f 2, f 3 ) vara en annan bas. 2. Bestäm avbildningsmatrisen B för S i denna bas. 3. Om T är transformationsmatrisen för ovanstående basbyte, så gäller då sambandet B = T 1 AT. Om vi multiplicerar denna likhet från vänster med T och från höger med T 1 får vi A = TBT 1, och har därmed bestämt den matris A vi ville ha från början. Metoden ovan kan tyckas vara omständlig: Varför komplicera räkningarna med ett basbyte; är det inte jobbigt nog ändå? Poängen är att vi, genom ett fiffigt val av basen (f 1, f 2, f 3 ), kan bestämma B i princip utan någon ansträngning alls. 25(30)

Hur ser då en fiffig bas ut i det här fallet? Eftersom vi vet att det rör sig om en spegling i ett plan genom origo, kan vi se till att välja två av basvektorerna f 1 och f 2 så att de ligger i detta plan (men inte är parallella med varandra). De blir då lika med sina egna spegelbilder, d.v.s. S(f 1 ) = f 1 och S(f 2 ) = f 2. Den tredje basvektorn f 3 väljer vi i form av en normalvektor till planet; då blir S(f 3 ) = f 3. f 3 S(f 2 ) = f 2 S(f 1 ) = f 1 S(f 3 ) = f 3 I en sådan här bas kommer avbildningsmatrisen för S att få det enkla utseendet 1 0 0 B = 0 1 0. 0 0 1 26(30)

En bas som uppfyller ovanstående krav är (f 1, f 2, f 3 ), där f 1 = (1, 1, 1) f 2 = (2, 0, 1) f 3 = (1, 1, 2). Här är nämligen f 1 och f 2 inte parallella, och de ligger båda i planet x 1 + x 2 + 2x 3 = 0, ty deras koordinater uppfyller planets ekvation. Vidare är f 3 normalvektor till planet. Matrisen för S i den ursprungliga basen kommer därmed att ges av A = TBT 1, där B är som ovan och T är transformationsmatrisen, som på grund av ovanstående basbyte har utseendet 1 2 1 T = 1 0 1. 1 1 2 27(30)

Med litet räkningar får man nu att T 1 = 1 1 5 1 1 1 0. 6 1 1 2 (Kommer du ihåg hur man beräknar en matrisinvers?) Detta ger att 1 2 1 1 0 0 A = TBT 1 = 1 0 1 0 1 0 1 1 5 1 1 1 0 6 1 1 2 0 0 1 1 1 2 = 1 2 1 2 1 2 2 3 2 2 1 är avbildningsmatrisen för S i den ursprungliga basen. 28(30)

Vi avslutar med ett par kommentarer kring sambandet B = T 1 AT (5) mellan två avbildningsmatriser i olika baser, för en och samma linjära avbildning. Om man byter från en ON-bas till en annan så vet vi från kapitel 4 att transformationsmatrisen T då är ortogonal, d.v.s. T 1 = T T. Sambandet (5) kan alltså i detta fall skrivas B = T T AT. Om man beräknar determinanterna för två olika avbildningsmatriser för en och samma avbildning, så är de lika, ty räknelagarna för determinanter ger tillsammans med (5) att detb = det(t 1 AT) = dett 1 deta dett = 1 deta dett = deta. dett 29(30)

Exempel Avbildningsmatrisen för speglingen S i planet x 1 + x 2 + 2x 3 = 0 (se det tidigare exemplet) gavs av A = 1 2 1 2 1 2 2. 3 2 2 1 Determinanten av denna matris måste vara densamma som determinanten av den matris 1 0 0 B = 0 1 0 0 0 1 vi plockade fram i den fiffiga basen (f 1, f 2, f 3 ). Det är att lätt se att detb = 1 (determinanten av en diagonalmatris är lika med produkten av elementen på huvuddiagonalen), så därför kan vi dra slutsatsen att även deta = 1, utan att behöva beräkna determinanten! Detta för att vi vet att A och B är avbildningsmatriser för en och samma linjära avbildning, fast i olika baser. 30(30)