TANA09 Föreläsning 8 Kubiska splines Approximerande Splines s s s s 4 B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor. x x x x 4 x 5 Exempel Parametriska Kurvor. Ritprogram. Beziér kurvor. Design av kurvor och ytor. Tillämpning - Matematisk typografi. Definition En funktion s(x) är en kubisk spline med noder x,..., x n om. s(x), s (x), och s (x) är kontinuerliga på [x, x n ].. s(x) ges av ett tredjegrads polynom på varje delintervall [x i, x i+ ]. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida / 9 B-Splines Lemma Mängden kubiska splines S, med noder x,..., x n, utgör ett linjärt rum av dimension n+. Hittar vi n + linjärt oberoende kubiska spline funktioner har vi en bas för rummet. Hur skall en lämplig uppsättning basfunktioner väljas? Man kan på liknande sätt bilda rum av linjära eller kvadratiska splines men det används nästan aldrig. Sats Låt x,..., x n vara givna noder. Till varje intervall [x i, x i+4 ] finns en kubisk spline funktion B i (x) med egenskaperna. B i (x) = 0 för x x i och x x i+4.. B i (x i+ ) = B i (x i+ ) = /6 och B i (x i+ ) = /. Denna funktion kallas för kubiska B-spline. Sats Låt x, x,..., x n+, x n+ vara noder. Kubiska B-splines {B i (x)} n bildar en bas för rummet S och n i= i= B i (x) =, x < x < x n. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida 4 / 9
.5 0.5 0 0.5.5 0.7 0.6 0.5 0.4 0. 0. 0. 0 0. x x x 0 x x x x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 Exempel Låt B(x) vara den naturliga kubiska spline funktion som interpolerar tabellen, x - - 0 B(x) 0 /6 / /6 0 Om noderna x,..., x n+ är ekvidistanta, med steglängd h=x x, så gäller att B i (x) = B((x x i )/h). 4 december 07 Sida 5 / 9 Alla B-spline basfunktioner som behövs för intervallet x < x < x 5. Totalt 7 basfunktioner behövs för att beskriva rummet S. Vi har alltså S = span(b (x), B (x),..., B 4 (x)). 4 december 07 Sida 6 / 9 Minsta Kvadrat Anpassning med Splines Exempel Vi vill studera koncentrationen av ett visst kemiskt ämne i ett vattendrag. Vi har därför placerat ut ett instrument som mäter koncentrationen fyra gånger dagligen, under 00 dagar. Vi är intresserade av att behandla den uppmätta signalen teoretiskt, exempelvis vill vi kunna beräkna derivator vid olika tid punkter. Mätningarna innehåller även en del slumpmässiga mätfel. Dessa vill vi i möjligaste mån eliminera. Vi väljer ett grovt grid x < x < < x N+ sådant att x = 0 och x N = 00. Antalet grid punkter bestämmer hur mycket detaljer spline approximationen kommer att innehålla. Ansats F(t) s(x) = N i= c i B i (x). Koncentration [g/m ].8.6.4..8.6.4. 0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 00 Tid [dag] Vi väljer nu ett fint grid 0=x <x <...<x <x n =00, som svarar mot mätningarna, dvs F i = F(x i ) är kända. Formulera problemet att bestämma koefficienterna c som ett överbestämt ekvationssystem Ac = F. 4 december 07 Sida 7 / 9 4 december 07 Sida 8 / 9
0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 00 Koncentration [g/m ].8.6.4..8.6.4. Tid [dag] Koncentration [g/m ].8.6.4..8.6.4. 0 0 0 0 40 50 60 70 80 90 00 Tid [dag] Resultatet med steglängd h = 5 dagar, eller B-spline basfunktioner. Approximationen är bra förutom nära de två spikarna! Utöka med ett par extra basfunktioner med h = nära spikarna. 4 december 07 Sida 9 / 9 Approximation med totalt 9 basfunktioner. Förutom de funktionerna med h = 5 används basfunktioner med h = nära varje spik. Mycket flexibelt sätt att approximera en vektor innehållande mätvärden med en deriverbar funktion. Styckvis polynom gör det enkelt att beräkna derivator eller integraler. 4 december 07 Sida 0 / 9 Ett enkelt Ritprogram Parametriska kurvor De flesta ritprogram, exempelvis xfig, innehåller en funktion där vi ritar krökta linjer genom att klicka på ett antal punkter. Definition En parametrisk kurva i planet ges av s(t) = (x(t), y(t)) Ț a < t < b. Varje kurva i planet beskrivs alltså av två funktioner x(t) och y(t). För en kurva i R tillkommer en tredje funktion z(t). Detta är inte en funktions kurva y = f(x). Hur skall vi göra istället? 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida / 9
Exempel Vi vill att en kurva s(t) skall interpolera ett antal givna punkter. P 4 = (x 4, y 4 ) T Välj ett parameter interval a = t t t 4 = b och bestäm två kubiska spline funktioner som interpolerar tabellerna t t t t t 4 x(t) x x x x 4 P = (x, y ) T P = (x, y ) T P = (x, y ) T och t t t t t 4 y(t) y y y y 4 Kurvan s(t) skall interpolera punkterna P, P, P, och P 4. Då gäller s(t i ) = (x(t i ), y(t i )) T = (x i, y i ) T = P i. Kurvan s(t), a t b, interpolerar de givna punkterna. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida 4 / 9 Givet vektorer t, x, och y skriver vi Exempel Hitta en kurva som interpolerar punkterna använd naturliga ändpunktsvillkor. t 0 5 x(t) 8. 6.0.. y(t) 4.8.8.7 7. I MATLAB kanginput() användas för att klicka ut punkter och enkelt skapa tabellen. >> px = csape(t,x, variational ); >> py = csape(t,y, variational ); >> tt=0:0.:5; >> plot( ppval(px,tt), ppval(py,tt), b- ); >> plot( x,y, r+ ); Resultatet blir en kurva som interpolerar tabellen 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 4 december 07 Sida 5 / 9 4 december 07 Sida 6 / 9
Inverkan av ändpunktsvillkoren Givet vektorer t, x, och y skriver vi nu Definition Kurvans tangent i punkten s(t) är s (t) = (x (t), y (t)) T. >> px = csape(t,x, complete,[ -]); >> py = csape(t,y, complete,[- ]); >> tt=0:0.:5; >> plot( ppval(px,tt), ppval(py,tt), b- ); >> plot( x,y, r+ ); 8 7 Kurvans tangent visar kurvans riktning i en viss punkt. Exempel Använd samma tabell som tidigare men välj s (0) = (, ) T, och s (5) = (, ) T. Vad händer? 6 5 4 4 5 6 7 8 9 4 december 07 Sida 7 / 9 Kurvans tangent riktning ändras i ändpunkterna! 4 december 07 Sida 8 / 9 Beziér kurvor Definition En Beziér kurva (eller yta) bestäms av ett antal styrpunkter. Kubiska Beziér kurvor En kubisk Beziér kurva ges av fyra styrpunkter. P P Exempel P 4 P P P P P P Kurvan ges av uttrycket s(t) = ( t) P + ( t) tp + ( t)t P + t P 4. En linjär Beziér kurva bestäms av två styr punkter. En kvadratisk kurva bestäms av tre punkter. Beziér kurvor är approximerande splines. 4 december 07 Sida 9 / 9 Lemma En kubisk Beziér kurva s(x) interpolerar den första och sista styrpunkten. Alltså gäller s(0) = P och s() = P 4. 4 december 07 Sida 0 / 9
Definition Det konvexa höljet som bildas av punkterna {P i } n i= är alla punkter som kan skrivas som konvexa linjär kombinationer av punkterna {P i } n i=. Exempel Vad blir det konvexa höljet av punkterna ( ) ( ) ( 0 P =, P 0 =, och P = ). Sats En Beziér kurva ligger helt inom det konvexa höljet som bildas av dess styrpunkter. Sats För en Beziér kurva med styr punkter {P i } n i= gäller att kurvans tangent i start, respektive slutpunkt, ges av s (0) = α(p P ), och s () = α(p n P n ), där α > 0. Vi kan allstå enkelt styra kurvans lutning i ändpunkterna. P P P P 4 P 5 P 6 Två kubiska Beziér kurvor som ges av styrpunkter {P, P, P, P 4 } respektive {P 4, P 5, P 6, P 7 }. Interpolationspunkten P 4 är gemensam. P 7 Villkoret P 4 P =P 5 P 4 ger kontinuerlig tangent. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida / 9 Vektoriserade Fonter För att ett dokument skall kunna tryckas på olika skrivare med varierande upplösning måste vi kunna generera bitmap bilder som representerar bokstäver i olika upplösning. Exempel För att representera bokstaven e inför vi ett antal styrpunkter på kurvan. 50 50 Exempel Tre bokstäver från Computer Modern 00 50 00 50 00 00 50 50 00 00 50 50 50 00 50 00 50 00 50 00 50 00 50 00 Hur skall bokstävernas form representeras? Välj först ett par interpolationspunkter och sedan extra styrpunkter. 4 december 07 Sida / 9 4 december 07 Sida 4 / 9
Välj först interpolationspunkterna och plotta linjestycket. >> P=[ 74 76 79 7 7 4]; >> plot( P(,:),P(,:) Vi väljer sedan styrpunkter >> C = [ 74 05 55 76] 0 4 4 0]; 50 00 50 00 50 00 50 50 00 50 00 50 00 50 och kan exempelvis rita en streckad linje mellan interpolationspunkt P och styrpunkt C med >> plot([p(,),c(,)],[p(,),c(,)], r-- ) 50 00 50 00 50 00 Slutresultatet med eller utan styrpunkterna utritade. 50 00 50 00 50 00 Totalt behövs Linjestycken och Beziér kurvor för att beskriva bokstaven. Font paket är inte särskilt stora. 4 december 07 Sida 5 / 9 4 december 07 Sida 6 / 9 Beziérytor Inför interpolationspunkter P, P och P samt styrpunkter C, C och C..5 En kvadratisk yta ges av uttrycket s(x, y) = P x + P y + P ( x y) + C xy+ C x( x y)+c y( x y), 0.5 där 0 x, 0 < y och x+y. 0 Välj interpolations- och styrpunkter 0 0 4 5 6 7 5 4 Rita sedan upp ytan. P=[0 0 0 ; 0 5 ; 7 ] ; C=[0 ; 4 ; 5 4 ] ; Styrpunkerna ligger högre (i z-koordinat) än interpolationspunkerna vilket ger ytan en krökning. 4 december 07 Sida 7 / 9 4 december 07 Sida 8 / 9
Sammanfattning Mängden spline funktioner med givna noder är ett linjärt rum. Finns olika basfunktioner (exempelvis B-splines). Kan göra minsta kvadrat anpassningar. Splinefunktioner kan användas för att beskriva parametriska kurvor i planet eller rummet. Vanligt i ritprogram. Standard metoden att beskriva mera komplicerade kurvor och ytor är att använda Beziér kurvor. Definition av vektoriserade fonter använder Beziér kurvor. 4 december 07 Sida 9 / 9