Labbrapport Auhtor: Mesut Ogur, 842-879 E-mail: salako s@hotmail.com Author: Monica Lundemo, 8524-663 E-mail: m lundemo2@hotmail.com Handledare: Bo Hellsing Göteborgs Universitet Göteborg, Sverige, 27--
Innehåll Fråga II 3 2 Fråga III 4 3 Fråga IV 5 4 Fråga V 5 5 Fråga VI 7 6 Fråga VII 8 7 Fråga VIII 8 Fråga IX 9 Slutsats 2 2
Fråga II Vi körde isingdplot.m med kall ferromagnetisk start (systemet startar på låg temperatur och därmet låg termisk energi. Denna energi är inte tillräckligt stor för att ippa på spinnen vilket medför att alla spinnen är riktade åt samma håll vid start). F igur : visar en plot av parametrarna N = antal spinn, J = ferromagnetisk spinnkoppling, k B T = temperatur (termisk/kinetisk energi), mub = yttre magnetfält, I = antalet iterationer (dessa parametrar gäller för alla grafer). F igur : visar att de simulerade värdena följer de teoretiska värderna någorlunda väl, vilket är antydan på att det inte sker någon fasövergång vid simuleringen i en dimension. en startar vid kallstart på, sedan uktuerar den inte så häftigt kring nollan och ger antydan till att vilja nå jämvikt ganska snabbt...45.2.2.4.3.35.4.3.8.5.6.25.2.6.4.7.5.2.8..9.5.2 Figur : Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 5, J =, k B T = 5, mub = O och I = 5. De svarta kurvorna är teoreiska värden och de färgade är de simulerade värdena (gäller för alla grafer). Vi varierade sedan varje parameter och undersökte hur simuleringen påverkades. Fortfarande stämmer de simulerade värden ganska bra med de teoretiska, dvs. det sker ingen fasövergång i en dimension. Om man utför er iterationer så kan man få exeptionellt goda värden vilket man ser i F igur : 2. I de fall vi har tittat på, beroende på vad för parameter vi ändrat på, så har systemet ändrats på ett karaktäristiskt sätt. Höjning av temperaturen, och utan yttre magnetfält, leder till att uktuationerna blir häftigare på grund av högre termisk energi och därför tar det längre tid att nå jämvikt. Om man istället ändrar magnetfältet och håller temperaturen låg kommer det att leda till att uktuationerna minskar och går mot noll. 3
..45.2.2.3.4.35.4.3.8.5.6.25.2.5.6.4.7..2.8.9.5.5.2 Figur 2: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering. Värdena är här desamma som för F igur :, men med I = 5 2 Fråga III Vi repeterade nu föregående fråga, fast med varm start (systemet startar på hög temperatur och därmet hög termisk energi. Denna energi är tillräckligt stor för att ippa på spinnen vilket betyder att spinnen inte är riktade åt samma håll då vi startar. Systemet körs som om det redan har varit igång och därför så är spinnen godtyckligt riktade). Man ser på F igur : 3 att uktuationerna är mkt intensivare och det verkar som att systemet tar längre tid på sig innan det når jämvikt. Detta kan jämföras med ändring till hög temperatur i fråga II. Ändringar av andra parametrar leder till att systemet ändras på liknande sätt som i fråga II. Det ska nämnas att det simulerade specika värmet skiljer sig avsevärt från det teoretiska i början. Det beror på att vi startar med en för stor medelenergi och systemet reagerar på det innan det kan börja stabiliseras. (Detta gäller för de esta gurer där specika värmet avviker från den teoretiska kurvan). 4
3.5 Specifikt v?rme.2..2.3 3 2.5..4 2..5.6.5.2.3.7.8.9.5.4.5.6 Figur 3: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 5, J =, k B T = 5, mub = O och I = 5 3 Fråga IV Helt klart får vi bättre värden ju er iterationer vi har på våran simulering. Så om vi låter I gå mot oändligheten och väljer att plotta K nästan oändligheten så borde systemet ligga i jämvikt. Egentligen är det bara att välja I tillräckligt stort och låta K I för att systemet ska nå jämvikt. Ett annat sätt vore att programmera in så att datorn bara plottar den del av simuleringen med amplitud, t.ex. 5 procent av startamplituden. Då uktuationerna inte överstiger denna 5 procents-gräns, kan man anta att systemet är i jämvikt. 4 Fråga V Det specika värmet har beräknats ur följande samband, med β = k B T < ( E) 2 >= 2 lnz () β 2 Detta kan jämföras med det uttryck som nns i isingplot.m som är c k B = ( <E 2 > N 5 <E>2 N ) k B T 2 (2)
Med N = och ( E) 2 = < E 2 > - < E > 2 = k B T 2 <E> T vilket påvisar att ekv. och 2 är ekvivalenta. Skalningen med k B och det specika värmet är nödvändig ifall vi ska beskriva energier med låga temeperaturer. 5 Fråga VI Vi gjorde ett antal körningar med ferromagnetisk kall start där vi succesivt ökade N och I. Vi började med låga värden på parametrarna N och I och som tidigare konstaterat så uktuerar systemet kring noll men vill gärna ta sin tid innan det närmar sig jäm..45.2.3.4.35.8.4.3.6.5.6.25.2.5.4.2.7..8.9.5.2.5.4 Figur 4: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 5, J =, k B T = 5, mub = O och I = 2 Sedan ökade vi N och I. Vi såg att ju er spinn vi simulerade desto mer iterationer krävdes det för att det skulle ge bra värden på simuleringen. I F igur : 5, med stort antal spinn och ännu större antal iterationer, ser man att de simulerade värdena stämmer mycket väl med de teoretiska och att uktuationerna E varierar mer som en sinusvåg än de tidigare uktuationerna. Detta beror på att ippet på det enskillda spinnet har en mycket mindre påverkan på medelenergin då det är ett stort antal spinn, vilket resulterar i små uktuationer som vi just nämnt. 6
..8.2.2.6.3.4.4.2.8.5.6.8.6.4.7.6.2.8.4.9.2.2 Figur 5: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med N =, J =, k B T = 5, mub = O och I = 5 6 Fråga VII Vi repeterade föregående fråga, fast med varm start. På samma sätt som med kall start beror uktuationernas storlek på antalet iterationer och spinn. Vid varm start är skillnaden att systemet uktuerar från start kring jämviktsläget, vilket det inte gör med ferromagnetisk kall start. Se F igur : 6 och F igur : 7. 7
9 Specifikt v?rme.3..2 8 7.2.3 6..4.5.6 5 4..7 3.2.8 2.9.3.4 Figur 6: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 5, J =, k B T = 5, mub = O och I = 2. 4 Specifikt v?rme.4.2 35.3.3 3.2.4 25..5.6 2..7 5.2.8.3.9 5.4.5 Figur 7: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N =, J =, k B T = 5, mub = O och I = 5 8
7 Fråga VIII Vi undersökte här hur magnetiseringen påverkas av att yttre magnetfält. Vi varierade då magnetfältet med olika styrkor, både med ferromagnetisk kall start och med varm start. Som tidigare påpekats i föregående uppgifter så kommer ett pålagt magnetfält vid låg temperatur att stabilisera funktionerna så att de går mot ett jämviktsläge. Detta jämviktsläge varierar med magnetfältets styrka, är fältet tillräckligt starkt kommer jämviktsläget vara vid magnetiseringen M = och då sker inga uktuationer alls. Beroende på om man startar med kall start eller varm start, så får man bara olika startvärden på magnetiseringen men vid lika parametrar kommer jämvikstläget vara lika för båda simulationerna. F igur : 8 visar en plot över varmstart med magnetfält. Man kan se att systemet uktuerar kring kring M =,9 där jämviktsläge antas vara i detta fall. 6 5.9 2 4.8 3 3.7 4 2.6 5.5 6.4 Figur 8: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med värdena N = 5, J =, k B T = 5, mub = 5 och I = 65 9
8 Fråga IX Här körde vi ising2dplot.m med ferromagnetisk kall start på ett 2 2 gitter och utan magnetfält. I teorin ska det ske en fasövergång vid k B T = J/,44. Ur F igur : 9 med J = ser vi att fasövergången stämmer väl överens med det simulerade resultatet. På grund av den ökade temperaturen minskar magnetiseringen vid fasövergången. Man kan också se att det specika värmet divergerar vid fasövergången. För att påvisa att detta verkligen stämmer så går det att se i F igur : med J = 2 att fasövergången stämmer väl med teorin och att den specika värmen divergerar i den punkten fasövergången sker..5.2..9.8.8.7.6.6.5.4.2.5.4.3 2.2 Figur 9: Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med 2 2 gitter och värdena J =, k B T = 5, mub =, K = 4 och I = 5
.5.2 2.8.6.9 2.5.4.8 3.2.7 3.5..8.6 4.6.5.4 4.5.2.4 5 Figur : Plott över medelenergi, specikt värme och magnetisering med 2 2 gitter och värdena J = 2, k B T = 5, mub =, K = 4 och I = 5 9 Slutsats Våra simuleringar stämmer överens med de i teorin förväntade modellerna i dimension och 2 dimensioner. I 2 dimensioner ser man att det specika värmet som man plottat mot temperaturen k B T divergerar vid den punkt där fasövergången sker. Jämför man det med resultat i dimension så kan man se att det specika värmet inte divergerar vid någon punkt alls och därmed kan man anta att någon fasövergång inte sker. Tittar man sedan på magnetiseringen och jämför mellan och 2 dimensioner så uktuerar magnetiseringen kring jämviktsläget när temperaturen ökar till skillnad från det 2-dimensionella fallet då magnetiseringen sjunker när temperaturen ökar.