Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik

2011-06-10 Kommentarer till uppbyggnad av och struktur för ämnet matematik Likheter och skillnader jämfört med den gamla kursplanen Ämnesplanen i gymnasieskola 2011 (Gy 2011) har en ny struktur jämfört med kursplanen 2000. Ämnesplanen utgår dock från samma ämnessyn som i tidigare kursplan. Målen är formulerade som ämnesspecifika förmågor och är gemensamma för alla kurser och därmed för såväl yrkesprogram som högskoleförberedande program. Kunskapskraven anger nivåer relaterade till varje förmåga i målen. Den stora skillnaden jämfört med kursplanen 2000 är att centralt innehåll och kunskapskrav skiljer sig åt mellan olika grupper av program. Matematikämnet är indelat i 100-poängskurser på fem nivåer varav de första tre har spår för olika program. En av anledningarna till det är att kurserna bättre ska passa yrkesprogrammens och de högskoleföreberedande programmens intentioner och utmana alla elever på alla kunskapsnivåer. Ämnet är uppbyggt på följande sätt: Kurs 1a och 2a (a-spåret) för yrkesprogram Kurs 1b, 2b och 3b (b-spåret) för ekonomiprogrammet, estetiska programmet, humanistiska programmet och samhällsvetenskapsprogrammet Kurs 1c, 2c och 3c (c-spåret) för naturvetenskapsprogrammet och teknikprogrammet Kurs 4 Kurs 5 Matematik specialisering 1

Ämnets syfte I Ämnets syfte har följande aspekter betonats jämfört med i kursplanen 2000: Problemlösningens betydelse både som mål och medel. Att målen är uttryckta som ämnesspecifika förmågor och ligger till grund för strukturen i kunskapskraven. Inriktningen för undervisningens genomförande. Det centrala innehållet i kurserna. Problemlösningens betydelse både som mål och medel Ställningstagandet att betona problemlösningens betydelse både som mål och medel är grundat på forskningsresultat, bland annat i samband med TIMSS-studier (Trends in International Mathematics and Science Study). De nationer som lyckas bäst i dessa internationella forskningsstudier bedriver en undervisning som mer baseras på problemlösning. Att målen är uttryckta som ämnesspecifika förmågor Att målen uttrycks som ämnesspecifika förmågor grundar sig på internationell forskning om matematikkompetenser. Ämnets syfte är att ge elever förutsättningar att utveckla förmågor som karaktäriserar vad det innebär att kunna matematik. Utmärkande är att förmågorna inte anger ett innehåll. Till exempel anges att eleverna ska utveckla förmåga att använda begrepp men inte vilka begrepp. Det är det centrala innehållet som anger till exempel vilka begrepp, metoder, resonemang och sammanhang som eleverna ska få möjlighet att möta i undervisningen. Denna tydliga uppdelning mellan förmågor och centralt innehåll är en förändring jämfört med kursplanen 2000. Inriktningen för undervisningens genomförande Till skillnad från tidigare kursplaner anges i ämnesplanen i Gy 2011 inriktningen på undervisningens utformning i syftestexten, till exempel: Undervisningen ska innehålla varierade arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. När så är lämpligt ska undervisningen ske i relevant praxisnära miljö. Att formuleringar av det här slaget finns med i ämnesplanen utgör en tydlig skillnad mot kursplanen 2000. Tanken är att formuleringarna ska leda till att en ensidig matematikundervisning motverkas. Det centrala innehållet i kurserna Innehållet är framskrivet under en egen rubrik, är mer preciserat jämfört med kursplanen 2000 och är indelat i områden efter underrubriker. Att dela in matematiken i områden skapar en del problem eftersom visst innehåll blir svårplacerat, till exempel trigonometri. Därför har breda områden skapats, till exempel Aritmetik och algebra. Nya rubriker som införts är Samband och förändring inspirerat från PISA samt Problemlösning i likhet med grundskolans kursplan 2011. Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i kursplanen 2000 Vad har flyttats? Sannolikhetsteorin har flyttats från matematik B till matematik 1a. Potensekvationer har flyttats från matematik A till matematik 2a. Vad är nytt? Betoningen av hjälpmedel som används inom karaktärsämnena och som kan inrymma ett matematikinnehåll, till exempel formulär, mallar, tumregler, föreskrifter, manualer och handböcker. 2

Studier av omfångsrika problemsituationer med koppling till Detta möjliggör att karaktärsspecifika problem, som är relevanta för eleverna och det program de går på, kan behandlas i ämnet matematik. Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga och yrkesmässiga sammanhang. Tydliggörande av samband och skillnader mellan olika begrepp eller områden inom matematiken i kurs 1a. Metoder för beräkningar vid budgetering i kurs 2a. Vad har utgått? Linjära olikheter. Geometrin är i högre grad kopplad till karaktärsämnenas behov. Därför kan det på vissa program ha utgått: o Att eleven ska vara så förtrogen med grundläggande geometriska satser och resonemang att hon eller han förstår och kan använda begreppen och tankegångarna vid problemlösning från matematik A. o Att eleven ska kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri från matematik B. Att eleven ska planera och genomföra en statistisk undersökning. Statistik finns kvar men inte i form av en statistisk undersökning. Kurs 1b, 2b och 3b i Gy 2011 jämfört med kurs A, B och C i kursplanen 2000 Vad har flyttats? Sannolikhetsteorin har flyttats från matematik B till matematik 1b. Linjära olikheter har flyttats från matematik B till matematik 1b. Begreppet funktion har flyttats från matematik B till matematik 1b. Logaritmer i samband med ekvationslösning har flyttats från matematik C till matematik 2b. Andraderivatan i samband med teckenstudium har flyttats från matematik D till matematik 3b. Vad är nytt? Begreppet symmetrier. Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet i matematik 1b. Integraler och derivata finns i samma kurs, matematik 3b. Metoder för beräkningar vid budgetering i kurs 2b. Utvidgning av talsystemet genom introduktion av begreppet komplext tal i samband med lösning av andragradsekvationer i matematik 2b. Förstärkning av statistiken i matematik 2b: korrelation och kausalitet, standardavvikelse samt egenskaper hos normalfördelat material. Linjär optimering i tillämpningar relevanta för karaktärsämnena i matematik 3b. Förstärkning av funktionsbegreppet med mer detaljer i matematik 2b och 3b: definitionsoch värdemängd, kontinuerlig och diskret funktion, gränsvärde, sekant samt tangent. 3

Tydliggörande av samband och skillnader mellan olika begrepp eller områden inom matematiken. Det har dels gjorts med underrubrikerna i det centrala innehållet, dels genom följande: - Räta linjens ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp i matematik 2b. - Skillnader mellan begreppen ekvation, algebraiskt uttryck och funktion i matematik 2b. Omformuleringar: - Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga sammanhang och inom olika ämnesområden. - Illustration av begreppen definition, sats och bevis, till exempel med Pythagoras sats och triangelns vinkelsumma. Vad har utgått? Att kunna planera, genomföra och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna diskutera olika typer av fel samt värdera resultatet. att lösa polynomekvationer av högre grad. Kurs 1c, 2c, 3c, 4 och 5 i Gy 2011 jämfört med kurs A, B, C, D, E och diskret matematik i kursplanen 2000 Vad har flyttats? Sannolikhetsteorin har flyttats från matematik B till matematik 1c. Rationella exponenter har flyttats från matematik B till matematik 1c. Linjära olikheter har flyttats från matematik B till matematik 1c. Begreppet funktion har flyttats från matematik B till matematik 1c. Trigonometri för rätvinkliga trianglar har flyttats från matematik D till matematik 1c. Logaritmer har flyttats från matematik C till matematik 2c. Andraderivatan i samband med teckenstudium har flyttats från matematik D till matematik 3c. Trigonometri för godtyckliga trianglar, areasats o.s.v. har flyttats från matematik D till matematik 3c. Integraler har flyttats från matematik D till matematik 3c. att lösa polynomekvationer av högre grad har flyttats från matematik C till matematik 4. Komplexa tal har flyttats från matematik E till matematik 4 och 2c. Differentialekvationer har flyttats från matematik D till matematik 5. Rekursion, induktion, mängder och operationer på mängder har flyttats från diskret matematik till matematik 5. Vad är nytt? Egenskaper hos mängden av heltal, olika talbaser samt begreppen primtal och delbarhet i matematik 1c. Vektorer i matematik 1c. Rotekvationer samt linjära ekvationssystem med fler än två obekanta tal i matematik 2c. Integraler och derivata finns i samma kurs, matematik 3c. 4

Cirkelns ekvation i matematik 3c. Egenskaper hos normalfördelat material i matematik 2c. Standardavvikelse i matematik 2c. Utvidgning av talsystemet genom introduktion av begreppet komplext tal i samband med lösning av andragradsekvationer i matematik 2c Förstärkning av funktionsbegreppet med mer detaljer i matematik 3c: definitions- och värdemängd, kontinuerlig och diskret funktion, gränsvärde, sekant samt tangent. Absolutbelopp i matematik 3c. Skissning av grafer och tillhörande asymptoter i matematik 4. Integraler kopplas till sannolikhetsföredelning i matematik 4. Användning och bevis av de Moivres formel i matematik 4. Begreppen bevis, sats, definition och bevismetoder har fått en mer framträdande roll i matematik 1c, 3c, 4 och 5. Begreppet kongruens hos hela tal och kongruensräkning i matematik 5. Begreppet graf, olika typer av grafer och deras egenskaper, och några kända grafteoretiska problem samt talföljd i matematik 5. Tydliggörande av samband och skillnader mellan olika begrepp eller områden inom matematiken. Det har dels gjorts med underrubrikerna i det centrala innehållet, dels genom följande: - Kurva och räta linjens och parabelns ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp i matematik 2c. - Skillnader mellan begreppen ekvation, algebraiskt uttryck och funktion i matematik 2c. Omformuleringar: - Matematisk argumentation med hjälp av grundläggande logik samt jämförelser med hur man argumenterar i vardagliga sammanhang och inom olika ämnesområden. - Illustration av begreppen definition, sats och bevis, till exempel med Pythagoras sats och triangelns vinkelsumma. Vad har utgått? Att kunna planera, genomföra och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna diskutera olika typer av fel samt värdera resultatet. Geometrisk summa nämns inte explicit i ämnesplanen, men det finns utrymme att behandla det i matematik 1c och 5. I matematik D står det att eleven ska göra en större uppgift. Detta har utgått från matematik 4 men återfinns i matematik 5 med en annan formulering. Att kunna redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk integration i matematik D. Att kunna förklara och använda tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning i matematik D. Att kunna ange exakta lösningar till några enkla differentialekvationer och förklara tankegången bakom någon metod för numerisk lösning i matematik E. I samband med att kunna arbeta med mängder och operationer på mängder har preciseringen i tillämpningar inom dataområdet i diskret matematik utgått. I samband med att kunna arbeta med induktion och rekursion har preciseringen att redovisa hur begreppen kan användas inom datatillämpningar i diskret matematik utgått. 5

Att kunna använda grundläggande begrepp och principer inom kombinatorik samt att tillämpa dessa vid t.ex. analys av algoritmer i diskret matematik. Att kunna beskriva begreppet relation och kunna arbeta med samband mellan datamängder i diskret matematik. I samband med att känna till grundläggande satslogik har preciseringen hur den används i programmering och problemlösning i diskret matematik utgått. Förändringar som rör matematik specialisering I matematik specialisering ges exempel på områden inom matematiken att specialisera sig inom till skillnad från i matematik breddning som var mer öppet formulerad. Betoningen på större problemsituationer finns kvar från matematik breddning. Likheter och skillnader mellan de tre spåren i matematik Likheter Alla tre spåren tillhör samma ämnesplan och har därmed gemensam syftestext som beskriver vad undervisningen syftar till och vilken inriktning undervisningen ska ha. Målen är skrivna som förmågor som eleverna ska ges förutsättningar att utveckla och de är också gemensamma för alla tre spåren. Skillnader Det centrala innehållet skiljer sig åt mellan de olika spåren. Visst innehåll är gemensamt, medan andra delar är olika. Dessa skillnader har sin utgångspunkt i programmens karaktär och behov. Kunskapskraven skiljer sig också till viss del åt mellan några spår. Skillnader i centralt innehåll mellan de olika spåren Kurserna 1a och 2a I kurserna 1a och 2a uppmärksammas kopplingen till Detta gäller inte enbart generella beskrivningar utan också i direkt anslutning till ett specifikt innehåll. Det centrala innehållet fördjupar grundskolans matematik i ett mer komplext sammanhang, dvs. karaktärsämnenas och yrkeslivets. Kurserna 1a och 2a är konstruerade för att kunna läsas av elever på alla tolv yrkesprogram och då har det i vissa fall varit omöjligt att precisera ett innehåll som är programspecifikt. Framför allt geometrin och algebran har formuleringar som tillåter att innehållet väljs efter karaktärsämnenas behov. Kurserna 1b, 2b och 3b Kurserna 1b, 2b och 3b betonar statistik, estetiska aspekter av matematiken (symmetrier och matematisk argumentation) samt matematik som är relevant för modellering av samhällsvetenskapliga och ekonomiska frågeställningar (linjär optimering, derivata och integraler). I detta spår ingår ingen trigonometri till skillnad från c-spåret och i viss mån även a-spåret (där det är valbart utifrån karaktärsämnenas behov). Kurserna 1c, 2c, 3c, 4 och 5 I kurserna 1c, 2c, 3c, 4 och 5 fördjupas funktionsbegreppet, aritmetiken och algebran. Bevisföring inom olika områden kopplas till varandra genom att samband och skillnader mellan olika begrepp eller områden inom matematiken har skrivits fram. Skillnader i kunskapskrav mellan de olika spåren Kunskapskraven ska läsas tillsammans med syftestexten och det centrala innehållet. De är skrivna med förmågorna i målen som grund. Kunskapskraven ska läsas som en helhet men för tydlighets skull avspeglas målen i den ordning de presenteras i syftet. Progression mellan de olika kurserna avgörs med hjälp av det centrala innehållet eftersom det finns en inbyggd progression i 6

matematikens ämnesinnehåll. Det finns större likheter än skillnader i kunskapskraven mellan de tre spåren och dess varianter. Se indelning nedan: Variant I: Kunskapskrav för matematik 1a Variant II: Kunskapskrav för matematik 1b, 1c, 2a, 2b och 2c Variant III: Kunskapskrav för matematik 3b, 3c, 4, 5 och specialisering Skillnader mellan variant I och II I variant I för kurs 1a betonas möjligheten att med ord och i praktisk handling kunna visa sina kunskaper inom karaktärsämnena och i en praxisnära miljö. Vidare krävs retorisk algebra (för betyg A) i samband med problemlösning och karaktärsämnenas roll är synligare än i variant II. Variant II lyfter fram symbolisk algebra i samband med problemlösning. Skillnader mellan variant II och variant III I variant III lyfts aritmetik och algebra in i procedurförmågan samt enkel bevisföring inom resonemangsförmågan. Byte mellan spåren och att läsa icke-obligatoriska kurser Om eleven läser mer matematik än den obligatoriska omfattningen på valt program eller byter program kan hon eller han behöva läsa in vissa avsnitt. Skolorna bör kunna lösa detta lokalt genom att studera skillnader i det centrala innehållet och kunskapskraven mellan olika kurser. I det nedanstående kommenteras de övergångar som bedöms vara vanligast och innehållet jämförs. Övergång från 2a till 3b eller 3c I kursen 2a är behandling av vissa begrepp inom algebran kopplade till dess tillämpning, till exempel kvadrerings- och konjugatregeln i samband med ekvationslösning samt algebraiska uttryck, formler och ekvationer kopplade till konkreta situationer och I kurserna 2b/2c och 3b/3c är algebran framskriven utan sådana explicita kopplingar, vilket lämnar ett friutrymme till lärare och elever. Detta kan också innebära att elever efter kursen 2a behöver förberedas på att använda algebra mer generellt. Logaritmer finns inte med i kurs 2a men i kurs 2b/2c och kan eventuellt behövas för att lösa exponentialekvationer. Linjära olikheter finns inte med i 1a/2a och kan behövas inför området linjär optimering i 3b. Trigonometrin för rätvinkliga trianglar från 1c fördjupas i 3c. Trigonometri ingår inte nödvändigtvis på alla yrkesprogram i 1a/2a då det centrala innehållet när det gäller geometriområdet är valbart utifrån karaktärsämnenas behov. För alla spåren gäller att kunskapskraven för 3b och 3c skiljer sig något åt från kunskapskraven från 2a/2b/2c. Övergång från 3b till 4 I matematik 4 fördjupas trigonometrin ytterligare med till exempel hantering av trigonometriska uttryck och bevis av trigonometriska formler. Trigonometri är ett område som inte ingår i kurserna 1b/2b/3b, här bör skolan alltså lokalt stödja eleverna. I matematik 4 ingår att representera komplexa tal som vektorer, begreppet vektor behandlas i kurs 1c men inte i kurserna 1b/2b/3b. 7

Logaritmer i kurs 3b är kopplat till lösning av exponentialekvationer. Denna koppling finns inte i kurs 3c. Där betonas även explicit logaritmlagarna och logaritmfunktioner. I matematik 4 ingår derivering av logaritmfunktioner. Absolutbeloppet behandlas i kurs 3c och fördjupas till att betraktas som funktion i matematik 4. I kurs 3b ingår inte absolutbelopp. Kunskapskraven för 3a/3b och 4 är densamma En jämförande uppställning av vissa delar av det centrala innehållet mellan kurser aktuella vid övergång mellan spåren 2a Taluppfattning, aritmetik och algebra Metoder för beräkningar vid budgetering. Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Strategier för att formulera algebraiska uttryck, formler och ekvationer kopplat till konkreta situationer och Hantering av kvadrerings- och konjugatregeln i samband med ekvationslösning. Räta linjens ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp. Användning av linjära ekvationssystem i problemlösningssituationer. att lösa potens- och andragradsekvationer samt linjära ekvationssystem. Lösning av exponentialekvationer genom prövning och grafiska metoder. Begreppet funktion, definitions- och värdemängd. Tillämpningar av och egenskaper hos linjära funktioner samt potens-, andragrads- och exponentialfunktioner. Representationer av funktioner, till exempel i form av ord, gestaltning, funktionsuttryck, tabeller och grafer. Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, utan och med digitala verktyg. Skillnader mellan begreppen ekvation, algebraiskt uttryck och funktion. 3b Algebra Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar till hantering av dessa begrepp. att lösa polynomekvationer av högre grad. Användning av begreppet geometrisk summa samt linjär optimering i tillämpningar som är relevanta för Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion samt begreppet gränsvärde. Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad. Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner. Introduktion av talet e och dess egenskaper. bestämning av derivatans värde för en funktion. lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium och andraderivatan. Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata. Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata. Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för 8

2a Taluppfattning, aritmetik och algebra Metoder för beräkningar vid budgetering. Metoder för beräkningar med potenser med rationella exponenter. Strategier för att formulera algebraiska uttryck, formler och ekvationer kopplat till konkreta situationer och Hantering av kvadrerings- och konjugatregeln i samband med ekvationslösning. Räta linjens ekvation samt hur analytisk geometri binder ihop geometriska och algebraiska begrepp. Användning av linjära ekvationssystem i problemlösningssituationer. att lösa potens- och andragradsekvationer samt linjära ekvationssystem. Lösning av exponentialekvationer genom prövning och grafiska metoder. Begreppet funktion, definitions- och värdemängd. Tillämpningar av och egenskaper hos linjära funktioner samt potens-, andragrads- och exponentialfunktioner. Representationer av funktioner, till exempel i form av ord, gestaltning, funktionsuttryck, tabeller och grafer. Konstruktion av grafer till funktioner samt bestämning av funktionsvärde och nollställe, utan och med digitala verktyg. Skillnader mellan begreppen ekvation, algebraiskt uttryck och funktion. 3c Aritmetik, algebra och geometri Begreppet absolutbelopp. Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar för hantering av dessa begrepp. Egenskaper hos cirkelns ekvation och enhetscirkeln för att definiera trigonometriska begrepp. Bevis och användning av cosinus-, sinusoch areasatsen för en godtycklig triangel. Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion samt begreppet gränsvärde. Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad. Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner. Introduktion av talet e och dess egenskaper. bestämning av derivatans värde för en funktion. lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium och andraderivatan. Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata. Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata. Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för 3b Algebra Begreppen polynom och rationella uttryck samt generalisering av aritmetikens lagar till hantering av 4 Aritmetik, algebra och geometri Metoder för beräkningar med komplexa tal skrivna på olika former inklusive rektangulär och polär form. 9

dessa begrepp. att lösa polynomekvationer av högre grad. Användning av begreppet geometrisk summa samt linjär optimering i tillämpningar som är relevanta för Orientering kring kontinuerlig och diskret funktion samt begreppet gränsvärde. Egenskaper hos polynomfunktioner av högre grad. Begreppen sekant, tangent, ändringskvot och derivata för en funktion. Härledning och användning av deriveringsregler för potens- och exponentialfunktioner samt summor av funktioner. Introduktion av talet e och dess egenskaper. bestämning av derivatans värde för en funktion. lösning av extremvärdesproblem inklusive teckenstudium och andraderivatan. Samband mellan en funktions graf och funktionens första- och andraderivata. Begreppen primitiv funktion och bestämd integral samt sambandet mellan integral och derivata. Bestämning av enkla integraler i tillämpningar som är relevanta för Komplexa talplanet, representation av komplext tal som punkt och vektor. Konjugat och absolutbelopp av ett komplext tal. Användning och bevis av de Moivres formel. att lösa enkla polynomekvationer med komplexa rötter och reella polynomekvationer av högre grad, även med hjälp av faktorsatsen. Hantering av trigonometriska uttryck samt bevis och användning av trigonometriska formler inklusive trigonometriska ettan och additionsformler. att lösa trigonometriska ekvationer. Olika bevismetoder inom matematiken med exempel från områdena aritmetik, algebra eller geometri. Egenskaper hos trigonometriska funktioner, logaritmfunktioner, sammansatta funktioner och absolutbeloppet som funktion. Skissning av grafer och tillhörande asymptoter. Härledning och användning av deriveringsregler för trigonometriska, logaritm-, exponential- och sammansatta funktioner samt produkt och kvot av funktioner. bestämning av integraler med och utan digitala verktyg, inklusive beräkningar av storheter och sannolikhetsfördelning. Begreppet differentialekvation och dess egenskaper i enkla tillämpningar som är relevanta för 10