OCHALMERS TEKNISKA H GSKOLA GOTEBORG Pluritoriska upplösningar av kvotsingulariteter Den impopulärovetenskapliga versionen Samuel Bengmark Department of Mathematics Göteborg 1998
Populärvetenskaplig version av avhandling för filosofie doktorsexamen i matematik vid Göteborg universitet, som enligt beslut av Matematik och Datavetenskap kommer att offentligt försvaras fredagen den 4 december 1998 kl 10.15 i hörsalen, Matematiskt centrum, Eklandagatan 86, Göteborg. ISBN 91-628-3276-Xtra versionen Matematik och Datavetenskap Göteborgs universitet och Chalmers tekniska högskola Göteborg 1998
Contents 1 Inledning 5 2 Kvotsingulariteter 5 3 Upplösning 8 4 Pluritorisk 10 5 Avslutning 12 3
1 Inledning När jag försöker förklara för någon, som inte håller på med matematik, vad jag forskar om brukar det ta högst trettio sekunder innan jag får frågan vad man skall ha det till. Mina svar på denna fråga brukar sällan göra åhöraren nöjd. Orsaken till detta är nog att jag inte kan peka på industriella tillämpningar. Jag tycker dock att man gott kan säga att det finns tillämpningar av denna matematik, men dessa tillämpningar finns inom matematik och teoretisk fysik. Men framför allt tycker jag matematik är en del av vår kultur, den är vacker och spännande, och har ett värde i sig. Men håller man nu inte med om detta så skall man ha klart för sig att det används mer, och annan, matematik i industrin idag än för tio år sedan. Matematiker har trampat upp stigarna och lyft fram objekt och samband som man sedan tagit till sig i industriella sammanhang. Vem vet, om tio år så är man kanske intresserad av kvotsingulariteter på Ericsson, Volvo eller ABB. Ingen kan veta helt säkert. Nu skall jag försöka ge en bild av innehållet i originalversionen av denna avhandling. Jag gör det genom att gå igenom orden i titeln, ett och ett, baklänges. 2 Kvotsingulariteter Tänk dig att vi har ett pappersark. För att kunna referera till olika punkter på arket så ritar vi in ett koordinatsystem på pappret med origo mitt på, som i följande bild. 5
Nu viker vi arket längs y-axeln, d v s den lodräta linjen, och spritsar in lim emellan och trycker ihop enligt följande skiss. Resultatet blir ett nytt pappersark. Detta nya pappersark är nu hälften så stort och dubbelt så tjockt men det är inget som bekymrar en matematiker. Matematiska pappersark är nämligen oändligt stora och oändligt tunna. Detta får till följd att om vi viker ett sådant så har vi efter vikning fortfarande ett oändligt stort och oändligt tunt pappersark. Men haka inte upp dig på detta för det är inte väsentligt för oss just nu. Vi skall snart se andra situationer som blir något mer komplicerade, men för att kunna beskriva dem tänker vi efter vad denna vikning av pappret egentligen innebar. Jo, t ex ser vi att punkten (3, 2) limmades ihop med punkten ( 3, 2). Vi säger att (3, 2) och ( 3, 2) identifieras. ( 3, 2) (3, 2) ( 3, 2) (3, 2) På samma sätt gjorde vi med varje punkt, d v s en godtycklig punkt (x, y) limmades ihop med punkten ( x, y). Detta är alltså ett sätt att säga vilka punkter som skall identifieras med vilka punkter. Vi anger detta genom att för en godtycklig punkt (x, y) ge en lista på alla punkter som skall identifieras med den. I vårt 6
exempel får vi listan (x, y), ( x, y), d v s listan består av två punkter eftersom vi identifierade punkterna två och två. Låt oss också titta på ett annat exempel där vi identifierar punkter två och två, fast på ett annat sätt. För att göra detta snyggt klipper vi först arket så att det blir runt och har (0, 0) i mitten. (3, 2) ( 3, 2) Vi tänker oss detta som en stor urtavla och att vi har en liten visare som har sin ändpunkt i punkten (3, 2). Den visaren kommer, efter att ha vridits ett halvt varv, ha ändpunkt i ( 3, 2). Dessa punkter vill vi limma ihop. Helt allmänt vill vi limma ihop punkten (x, y) med punkten ( x, y), d v s vi vill identifiera enligt listan (x, y), ( x, y). För att kunna göra detta rent praktiskt får vi först klippa ett rakt snitt in till mittpunkten på cirkelskivan och sedan rulla ihop till en kon på följande vis. 7
I denna kon kommer nu punkter (x, y) och ( x, y) identifieras. Denna gång fick vi inte en bit platt papper utan en kon. Denna kon har en väldigt speciell punkt, nämligen spetsen, som är en så kallad singulär punkt, en singularitet. Denna avhandling handlar om singulariteter som uppkommer genom identifikation av punkter med hjälp av regler på detta sätt. De kallas kvotsingulariteter. Nu har du förhoppningsvis någon bild av vad sista ordet i titeln betyder. Låt oss nu ge oss på övre raden och låt oss börja med det andra ordet där. 8
3 Upplösning Ytor utan singulariteter, som t ex det plana pappersarket, är i någon mening enkla. Nu har vi sett att det på ytor, som t ex konen ovan, kan finnas kvotsingulariteter. Upplösning av en singularitet handlar om att ta bort singulariteten. Men man gör inte detta hur som helst utan man vill ha koll på hur ytan förändras. Låt oss använda en analogi. Om jag är intresserad av bilar skulle jag kanske vilja göra en lista över alla bilar som finns i världen. Listan skulle kanske börja: Reg.num. Modell Stad APG 305 Volvo 245 Göteborg SE UH24536 Morris Minor Wellington NZ... Det blir en nästan övermänsklig uppgift att göra en sådan lista. Något klokare är kanske att göra en lista över alla bilmodeller som finns. Man tänker då att alla Volvo 245 som finns i världen är tillräckligt lika för att utgöra en enda punkt i min lista. Man säger att alla 245:or är ekvivalenta. Detta ger en tillräckligt nogrann lista för att den skall vara intressant, eller hur? Nu kan den som inte är riktigt så energisk kanske nöja sig men att göra en lista på alla bilmärken som finns. I den listan kan man säga att alla Volvo modeller är ekvivalenta, d v s man har klumpat ihop Volvo S80, Volvo 245 o s v till en enda punkt på listan. Denna lista blir nu ännu kortare och mindre detaljrik, men även den skulle vara intressant. På samma sätt är det med ytor. Man kan liksom inte lista alla ytor som finns. Man klumpar därför ihop ytor som är tillräckligt lika i någon lämplig mening. I algebraisk geometri finns det i huvudsak två sätt att klumpa ihop ytor. Ett finare sätt, som liksom motsvarar bilmodell i vår liknelse, och ett grövre sätt 9
som motsvarar bilmärke. Upplösning är en sätt att utifrån en ytan med singulariteter skapa en yta utan singulariteter. Den yta man får efter upplösning är naturligtvis inte samma yta som den ursprungliga, den är inte ens av samma modell, men man vill att den yta man får efter upplösning skall vara av samma märke som den ursprungliga ytan som hade singulariteter. En algebraisk geometriker skulle småle just här för han vet att man normalt använder ordet modell i de sammanhang som här associeras med ordet märke, fast på ett lite annat sätt. Låt oss nu försöka ge en bild av vad upplösning av singularitet innebär. Låt oss titta på en dubbelkon. Den har en singulär punkt där den övre och undre konen möts. Nu kan man tänka sig att man tar en oändligt tunn nål, för den uppifrån in i den övre konen och sticker ett hål i den singulära punkten. Den singulära punkten har nu blivit en liten cirkel. Vi för in händerna och drar isär tills vi får en cylinder. Vips så har vi en yta utan singulära punkter. Matematiskt sett liknar denna process egentligen mer vad vi skulle kalla deformation, men resultatet stämmer i alla fall i en viktig aspekt med vad upplösning skulle innebära. Den singulära punkten har bytts ut mot något av högre dimension, nämligen en hel cirkel, som vi ritar in i följande bild. 10
Nu var detta den enklaste typ av singularitet man kan tänka sig. I allmänhet kan det efter en sådan här nålstickning fortfarande finnas någon singulär punkt kvar. Om man då sticker en gång till så byter man åter igen ut en punkt mot en kurva. Tillsist blir det dock så att det inte finns några singulariteter kvar, d v s man har löst upp den ursprungliga singulariteten. Nu kan man förstå något av hur avancerad den ursprungliga singulariteten var genom att se på vilka kurvor man fick ersätta den singulära punkten med för att lösa upp den. Om du t ex tittar på sidan 72 i originalversionen av denna avhandling ser du en bild bestående av fem streck. Denna bild beskriver just fem kurvor som man behövt för att ersätta en singulär punkt för att få en upplösning av den. Denna avhandling går till en del ut på att försöka förstå vilka saker man skall ersätta en singulär punkt med för att göra en upplösning, och att göra detta genom att bara titta på den identifikation man använde då singulariteten uppstod. Nu återstår att behandla ett ord i titeln på denna avhandling nämligen pluritorisk. 4 Pluritorisk De två sätten att identifiera punkter som vi sett ovan innehåller bara vars ett väsentlig recept på hur man skall se vilka punkter som skall identifieras. I det första fallet, d v s då vi vek ett pappersark, ges receptet av att man går ifrån (x, y) till ( x, y). Vi skriver detta så här: (x, y) ( x, y). Eftersom varje punkt ges av ett par av tal (x, y) så låter alltså receptet på ren svenska 11
så här: Byt tecken på första talet. Upprepar man samma recept igen finner man att man går ifrån ( x, y) till (x, y), d v s vi kommer tillbaka till startpunkten (x, y). Detta betyder att alla punkter som identifieras med t ex (3, 2) nås genom att hela tiden använda samma recept. Denna avhandling handlar om identifikationer givna av recept som är sådana att man kommer tillbaka till startpunkten efter att ha använt dom ett antal gånger. T ex tittar vi aldrig på recept av typen (x, y) (x + 1, y), eftersom detta recept aldrig tar oss tillbaka till (x, y) igen. Däremot tittar vi på identifiering av punkter som är given av två, eller flera, recept. Låt oss titta på ett exempel där vi har två recept givna av Byt tecken på första talet, d v s (x, y) R 1 ( x, y). Byt tecken på andra talet, och sedan plats på talen, d v s (x, y) R 2 ( y, x). Om man håller på och använder dessa två recept i alla möjliga ordningar så finner man till sist att man hoppar omkring bland åtta olika punkter nämligen (x, y), ( y, x), ( x, y), ( x, y), ( y, x), (y, x), (y, x), (x, y) Man säger att dessa två recept genererar en ändlig grupp. Vi kan tänka oss här att detta betyder att den identifikationskaka jag bakar med mina recept alltid identifierar ett ändligt antal punkter med varandra. I detta fall identifieras de åtta och åtta. Vad som är speciellt med identifikationer givna av fler än ett recept är att det kan spela roll i vilken ordning man använder recepten. Det gör det t ex i vårt fall, som vi nu skall se. (x, y) R 1 ( x, y) R 2 ( y, x). Om vi använder recepten i omvänd ordningsföljd så får vi (x, y) R 2 ( y, x) R 1 (y, x). 12
Nu kom vi till ( y, x) i det första fallet men till (y, x) i det andra. Om det spelar roll i vilken ordning man använder sina recept så säger man att man har en ickeabelsk grupp. Denna avhandling handlar i stor utsträckning om de singulariteter som uppkommer då man använder en ickeabelsk grupp för att identifiera punkter. Kapitel 2 handlar om abelska grupper, dvs grupper där det inte spelar någon roll i vilken ordning vi använder recepten. De singulariteter som uppkommer vid identifikation av punkter då man använder en abelsk grupp kan man behandla med hjälp av något som kallas torisk varietet. Det är en väldigt rolig typ av objekt, tycker jag, men det skulle tyvärr inte komma till sin rätt här. Med toriska varieteter kan man göra något som kallas torisk upplösning. Nu anar du förhoppningsvis hur ordet torisk kommer in i titeln. Ordet pluritorisk är ett hemmagjort ord sammansatt av pluri och torisk och syftar på att man använder ett flertal toriska upplösningar. För att förstå något av hur det går till så låter vi igen identifikationen vara given av de två ovanstående recepten. D v s vi identifierar punkterna åtta och åtta enligt (x, y), (x, y), ( x, y), ( x, y), (y, x), (y, x), ( y, x), ( y, x) Nu letar man upp delar av detta där det inte spelar någon roll i vilken ordning man tar dom, d v s man letar upp abelska delgrupper. Det finns tre sådana av maximal storlek. De ges av samt (x, y), (x, y), ( x, y), ( x, y) (x, y), ( x, y), (y, x), ( y, x) (x, y), ( x, y), (y, x), ( y, x) Var och en av dessa mindra identifikationer kan ge upphov till singulära punkter. Nu kan man använda toriska varieteter för att finna kurvor jag måste ersätta dessa singulära punkter med 13
för att göra en upplösning av var och en av dessa singulariteter. Man får på detta sätt två separata uppsättningar av kurvor. I avhandlingen ser man att dessa separata delar kan, efter lite pyssel, sättas ihop till precis den uppsättning med kurvor som behövs för att göra en upplösning av singulariteten när man identifierar med hela den ickeabelska gruppen. Detta kallas pluritorisk upplösning. Jag har valt detta exempel för att det är litet. För att inte förvirra den som kan lite mer kanske det bör tilläggas att detta exempel inte är så bra i den meningen att det innehåller speglingar, som ju inte ger upphov till singulära punkter, vilket gör att man faktiskt kunde använt vanlig torisk upplösning i detta exempel. Syftet med denna avhandling är att ge ökad förståelse av kvotsingulariteter, inte bara av kvotsingulariteter på ytor utan också om man går upp i dimension och tittar på kvotsingulariteter på trefalder, och så vidare. Pluritorisk upplösning är då ett möjligt hjälpmedel att studera dessa singulariteter. I Kapitel 6 i originalversionen av denna avhandling, finns en del påståenden om kvotsingulariteter, och dessa påståenden visar man där är sanna genom att utnyttja pluritorisk upplösning. 5 Avslutning Nu återbara bara en väsentliga frågor. Hur kan detta, som åtminstone verkar någorlunda begripligt, behöva se så hopplöst obegriplig ut som det gör i originalversionen av denna avhandling? Om man bortser från författarens tillkorta kommande när det gäller att framställa innehållet, så finns det nog två orsaker till detta. För det första, i den mån denna omformulering av avhandlingen är trogen originalversionen så ger den inte hela sanningen, som du kanske anar. Men den viktigaste orsaken att det ser komplicerat ut i originalversionen är nog något annat. Vet du vad en snickare menar med att lusa i eller vad en läkare menar med sfygmogram, eller vad man skall göra när 14
bilmekanikern säger att den skall skränkas loss? De flesta yrkeskategorier skapar sin egen uppsättning av begrepp som underlättar arbetet och kommunikationen. Så är det synnerligen för matematiker. De begrepp som gör att det kan se obegripligt ut för en utomstående är till för att underlätta arbetet för matematiker och kommunikationen dem emellan. Att uttrycka allt som sägs i original versionen av avhandlingen, i den typ av språk som används i denna version, är nog näst intill omöjligt, speciellt när det gäller alla tekniska detaljer. Dessutom skulle det behövas många, många fler sidor är de knappt hundra som används idag. Frågan är också om det hade upplevts lättare att ta till sig för det. Man hade kanske inte sett skogen för alla träden. 15