4.2 Procentuella förändringar

4.2 Procentuella förändringar Förändringsfaktor Förändringar uttrycks ofta i procent. Det kan vara en prissänkning, en ökning av invånarantalet eller en värdeminskning på en bil. vid sådana procentuella forändringar jämfor man "det nya värdet" rned "det gamla värdet'l Om priset på en mobiltelefon sänks från 1 800 kr till I 125 kr, så kan man beräkna den procentuella sänkningen på två olika sätt: 1, Med hjälp av av andelen: S na r Prissänkningen uttryckt i kronor är 1 800 kr - 1 125 kr = 675 kr Prissänkningen uttryckt i procent blir prissänkningen 675 g""r1" p.".t - I 800 = nol-', 0,375-17,5 oo Ardplpr Ll-ol ne å Föröndringsfaktor 2. Med hjälp av föröndringsfaktorn: nya priset = \?? = 0,625 = 62,5 o/o Det nya priser är 62.5 o/aav det gamta gamla priset 1 800 Förändrrngsfa (torn Prissänkningen i procent blir 100 o/o - 62,5 o/o = 37,5 o/o Förömdrriregsfmkfor )1- ker ]I :ket red f,xcaa*p*f ; Förändringsfakrorn = ljyl tu'49t Gamla värdet Vid en minskning är förändringsfaktorn mindre än 1. Vid en ökning är förändringsfaktorn större än 1. Om förandringsfaktorn är lika med 1, så betyder det att det inte har skett någon värdeförändring. Priset på en vara förändras. Hur stor blir forandringsfaktorn om priset a) hojs med 12 o/o b) sänks med 8 %o Lösning; a) Förändringsfaktorn : I00 o/o + 12 o/o = Il2 o/o : I,72 V d en höjnlng/ökninq är förändringsfaktorn större 1 Svar: Förändringsfaktorn blir l, i2. b) Förändringsfaktorn = 100 %o - 8 % - 92 o/o = 0,92 Vid en sän <n ng/mins <n ng är förändringsfal<torn m ndre än 1 Svar: Förändringsfaktorn blir 0,92. protent o 4 2 pr0centuella FöRÄNDR NCAR l3s

Exempel: En cykel kostade 3 750kr. På våren höjde man priset med 10 %' a) Vad blev det nya Priset? b) Eftersom cykeln fortfarande fanns kvar i augusti lämnade man 15 o/o rabaltpå vårens pris. Vad kostade cykeln efter prissänkningen? Lösning: a) En ökning med 10 % innebär att det nya priset blir 100 % + l0 Vo = 110 % av ursprungspriset. Förändringsfaktorn är 1,10 Priset efter hojningen är 1,10 '3 750 kr = 4 125 kr Svar: Priset efter hojningen dt 4125 k. b) En sänkning med 15 %o innebär att augustipriset blir 100 % - 15 o/o = 85 o/o av vårens Pris' Förändringsfaktorn är 0,85 Priset efter prissänkningen är 0,85 ' 4 I25 kr = 3 506,25 kr = 3 506 kr N,4an,(an ocl(så beräkra a.lgustipriser som 1,10 0,8s 3 750 kr = : s09 2s 11= : sos \l Svar: Priset efter sänkningen i augusti är 3 506 kr' l/, Exempelt Premien på en försäkring hojdes med 8 % till 2 350 kr' Hur stor var försäkringspremien innan höjningen? Lösning: Förändringsfaktorn= 100% i8o/o= 108%= 1,08 "' Nya värdet = Förändringsfaktorn ' Gamla värdet Vi kallar den gamla premien för x. 2350=1,08'x 2 350 r=-=1,1/6 '- 1,08 Svar: Premienvar 2176 kr innan höjningen' Fö rsä l(rings p re m ie n blir efter höjningen 108 % av premten före höjningen Exempel: Lösning: En varas pris hojs först och sänks sedan. Vilken sammantagen procentuell förändring ger två hojningar på 10 % följda av en sänkning med 10 o/o? Två höjningar med 10 % följda av en sänkning med 10 7o ger en förändringsfaktor som är 1,10. 1,10.0,90 = 1,102'0,90 = 1,089 Svar: Det blir en prishöjning med 8'9 %o, t!6 cnocenr o 4.2 PROcENTUELLA FÖRÄNDRINcAR

311 i., irij-,'r'å ii 4201 Vilken förrlndringsfaktor svarar mot 4202 a) en ökning med 13 % b) en minskning med 7 0/o c) en minskning rned 1,5 %o d t en ökning nred 1 02 oo När Anna reste till Cypern på semester förra året betalade hon 6 530 kr för resan. i år kostar en likadan resa 7 200 kr. Med hur rnånga procent har priset ökat? 4203 En dr.d-speiare kostade 799 kr. På rean betaiade David 550 kr för den. Med hur många procent var priset på dvd-spelaren nedsatt? 4204 Claudia och Anders köpte en gammal bil som de rustade upp och sålde. De bet:rlade 5 600 kr för bilen och köpte reservdelar för 4 300 kr. När de sålde bilen lick de 28 500 kr. Hur många procent var deras vinst? 4205 En moped säljs med 12 o/o rabatl för 7 900 kr' Vad kostade mopeden innan rabatten var avdragen? 4205 Linn har en souvenirshop. Inför sommaren har hon köpt tröjor med tryck. Hon har betalat 65 kr/styck för de kortärmade och 102 kr/styck för de långärmade. Linn har bestämt sig for att sälja de kortärmade tröjorna för 80 kr/styck. a) Hur stort påslag i procent gör Linn på de kortärmade tröjorna? b) Vilket pris ska hon sätta på de långärmade tröjorna om hon vill göra santma påslag räknat i procent? 4207 Momsen på lir.smedel är 12 70. En matkasse kostar 398 kr med rnoms. Vad skulle matkassen ha kostat utan moms? 4208 Artur har en damm med guldfiskar. En morgon upptäcker han en häger i dammen. I slutet på veckan har han förlorat 40 7o av sina fiskar och har då bara 54 l<var. Hur många guldfiskar hade han från början? 4209 Vilken sammantagen förändringsfaktor ger förändringarna upphov till? 42tg ö a) Först en hojning på 5 % foljt av en siinkning på 8 %. b) Två sänkningar pä3 o/o vardera. c) 5 höjningar pä2 o/o. Skriv en text till en uppgift som kan lösas med folj ande beräkning: l 700. 1,20. 0,70 4211 Tabellen visar hur Stockhoimsbörser"r (OMX) har förändrats under en vecka i augusti. måndag tisdaq onsdaq torsdag fredag +2,8o/a -I,7o/o +0,9 % +3,1% -1,8 o/o Bestäm Stockholmsbörsens förändring under veckan. Svara i procentform med en decimal. 4212 Petra tror att hennes lägenhet kommer att öka i värde med 10 %o per år. Hon vill riikna ut hur lång tid det i så fall skulle ta innan viirdet fördubblas. Så hiir tänkte hon:.l 00 0/o = i0. l0 %. Alltså tar det tio år för att värdet ska öka med 100 % ocir då blir det dubbelt så mycket. Hennes vän Sandro säger att man ska räkna så här: 1,1. 1,1. 1,1. 1,1. 1,1. l,l.1,,1.r,l =2,14 Det tar åtta år. Vem har rätt? Förklara varför. procent o 4.2 protentuetta FÖRÄNDRINCAR 137

i*wm '+Fffirc 4213 Eva tjänar 2l 000 kri mån och hennes kille Per 19 500 kr/mån. Eva får en löneökningpä3 o/o och Per får en höjning på 5 %' Med hur många procent höjdes deras gemensamma lön? 4214 Lisa mätte sin halsduk och klippte bort 10 o/o ö av längden. Sedan mätte hon den del soln var kvar och sydde dit en bit i annan färg som var 10 % av den avklippta halsdukens langd' Forklara varför den nya halsduken inte hade samma längd som den hade från början' 4215 Andersson fick en dag detta reklamblad av "sin" lunchrestaurang: Restaurang PRIMA Ät din lunch hos ossl Du l<an spara upp till 50 % om du utnvttjar vårt rabatterbiudande: FÖrsta besöl(et: ordinarie pris 50 kr Andra besöl<et: 5 o/o rabatt på ordinarie pris Tredie besöket:10 o/o rabatt på ordinarie pris Fjärde besoket:15 % rabatt på ordrnarie pris Femte besöl(et: 20 % rabatt på ordinarie pris a) Reklamen för att man kan spara upp till 50 7o stämmer inte' Beräkna hur många procents rabatt erbjudandet ger om du äter fem gånger På restaurangen' b) Ge förslag på rabatter i procent vid det andra till det femte besöket så att restaurang PRIMA:s reklam stämmer' Visa med beräkningar att ditt förslag stämmer' (l'lp MaAht 1999) 42LG Ien rektangel ökas längden med 30 7o och bredden med 40 %' a) Med hur många procent ökar rektangelns area? b) Med hur många procent skulle rektangelns area öka om i stället iängden ökas med 40 %o och bredden med 30 %? 4217 Värdet på Ainos aktier minskar med en qaraeaet ett år. Andra året ökar värdet med en åttondel. Med hur många procent har värdet på aktierna förändrats under de två åren? 4218 En ögrupp i Stilla Havet hade 43 000 invåna-,e å. ZOO9. Enligt prognosen kommer befolkningsmängden att öka med 3 o/o per år inom 3,Å"g1fÅ R den närmaste tolvårsperioden' a) Hur många invånare har ögruppen är 20L5? b) Med hur många procent kommer befolkningsmängden att öka från år 2012 til1 år 2019? 4219 Med hur många procent måste man öka sidlängden av en kvadrat, för att kvadratens area 4229 ö 422L ska öka med 40 %? Formulera en egen uppgift med upprepade procentuella förändringar.1,5 o/o, 3,1 7o och 1,2 % tku finnas med i uppgiften och svaret ska bli ungefär I 200 liter. h Volym = o'b'h Titta på förpackningen på bilden' Anta att vt förlänger sidan a med 25 % och höjden h med 30 %' Samtidigt förkortar vi sidan b med 20 70. Bestäm förpackningens volymförändring i Procent. 4222 Yärd,et på en målning kan antas förändras enligt någon av följande modeller: Modell 1: Värdet ökar först med ett antal procent och minskar sedan med lika många procent av det nya Priset' Modell 2: Värdet minskar först med ett antal procent för att sedan öka med lika många Procent av det nya Priset' a) b) c) Viiken modell ger en värdeminskning på slutet? Vilken modell ger en värdeökning på slutet? Vilka slutsatser kan man dra av dessa två modeller? at8 enotrr',rr o 4.2 PRotENIuELLA FÖRÄNDRINcAR

E Procentenheter Det är viktigt att känna till skillnaden mellan procent och procentenheter. Procentenheter används för att uttrycka differensen mellan två tal i procent. Socialdemokraterna fick 30,6 %o av rösterna i riksdagsvalet år 2010. Fyra år tidigare fick de 35,0 o/o. Det innebär att de hade minskat sitt väljarstöd med 35,0-30,6-4,4 procentenheter. Hur stor var minskningen i procent? Minskning i procent - minskningen - ++= 0,13 = 13 0/o ursprungsvärdet 35,00o Minskningen för Socialdemokraterna var 13 o/o. ffx*:rr'ape$r Utlåningsräntan hos Bolåneinstitutet sänktes från 3,8 % rili 3,1 0/o. a) Bestäm räntesänkningen i procentenheter. b) Hur stor var sänkningen uttryckt i procent? Lösning a) Räntesänkningen i procentenheter är 3,8-3,1 Svar: Sänkningen är 0,7 procentenheter. bt Sänkningen uttryckt i procent: = 0,7 5killnaden mel an talen procentform Förändrinssfaktor' "'o"'-".'-' = ]ly-utdtt =?!Y = 0,82 Gamla värdet 3,8 oo Sänkningen är I - 0,82 = 0,18-18 o/o Svar: Sänkningen är 18 70. $åvä s 4223 Miljopartiet fick I0,7 Vo av rösterna i skolvalet år 2006. År 2010 fick de 13,3 o/o av rösterna. a) Hur stor var ökningen i procentenheter? b) Hur stor var ökningen i procent? 4224 Fetthalten i Västerbottensost ar 3I o/o,i grekisk fetaost 36 o/o och i brieost 24 %. a) Mellan vilka två ostar är skillnaden i fetthalt störst uttryckt i procentenheter? b) Hur stor är den procentuella skillnaden mellan fetthalten i fetaost iämfört med brieost? 4225 Adams inkomstskatt sänktes frän 32,07 o/o tlll 29,59 o/o. a) Hur många procentenheter sänktes hans skatt? b) Hur många procent sänktes skatten? Arbetslösheten ökade under en femårsperiod från 3,8 o/o till 6,9 o/o. a) Hur många procentenheter ökade arbets- 1ösheten? b) Hur många procent ökade arbetslösheten under perioden? prorento4 2 procentuetla FöRÄNDRTNcAR 139

a 4227 Fetthalten i mellanmjölk är 1,5 % och i lättmjölk är den 0,5 o/o. Hur mycket lägre fetthalt är det i lättmjölk än i mellanmjölk räknat i a) procentenheter b) procent i^j-lmilti,ffiffiffi il,m"li r*.;,... lettmjrilk : mellanmjölk qiglk llllililltl ffiffihttil ru{vå" ffi 4228 Moms är en mervärdesskatt som tas ut på alla varor och tjänster. Momsen på böcker är i dag 6 o/o. Tänk dig att den skulle sänkas med 30 o/o. a) Hur hög skulle momsen på böcker bli efter sänkningen? b) Hur många procentenheter skulle momsen sänkas? 4229 De senaste opinionsmätningarna visar att väljarstödet till Missnöjespartiet har tredubblats och ligger nu pä 2,2 o/o. Med hur många procentenheter har väijarstödet till Missnöjespartiet ökat? Inflyttningen till en svensk stad var 2,60 o/oo i juni. I juli hade den ökat till 4,55 %0. Med hur många procent ökade inflyttningen? ErsättA och B med de ord som saknas i foliande terl. "Nya mätningar visar att den angivna fetthalten på olika margarinförpackningar inte överensstämmer med verkligheten. I ett fal1 var skillnaden mellan det angivna r,ärdet på 30 % och det faktiska värdet så m,vcket som 5 A. I(onsekvensen av detta är att konsumenterna hck i sig nästan l7 B mera fett än vad de har räknat med." 4232 24 karats guld innehåller 100 o/o rent guld. Det är 25 procentenheter mer än i 18 karats guld. Hur många procent högre är guldhalten i 24 karats guld jamfort rned l8 karats guld? 4233 Formulera en egen uppgift som innehåller ö 12 o/o och l0 procentenheter och där svaret blir 80 kronor. TEwÅffi 4234 Barnadodligheten i världen var l3 miljoner under år 1990. FN:s mål är att den ska sjunka med67 % till år 2015. Är 2000 var den 11 miljoner. Kommer FN:s mål att uppnås om dödligheten fortsätter att minska med samma antal personer per år. Ange ar'vikelsen från målet år 2015 i procent och procentenheter. **o -* u***** =.r*.-ade-.- drjrcfå**;,-**"--;*-*." *Å**-*@i # Hur beräknar man föråndringsfaktorn? d* VjLka slutsatser kan man dra av förändringsfaktorns värde? # Hur beräknar man upprepade procentue[[a fördndringar? # Vad är skjllnaden mellan procent och procentenheter? # Ge ett exempel som visar sambandet mellan en räntehöjning uttryckt i procentenheter och i procent. # Yarför kan något stiga i värde med mer dn roo "/", men aldrig sjunka med mer ån rco y.? s Om man har ett pris utan moms så ska man tägga på z5 % för attf äpriset med moms, men om man har priset med moms och vi[[ veta priset utan moms så ska man dra bort 20 "/".Fö(klara varför det är så. ',{O oco F\- o I I Dqo FN I L t-la I oqä\dr NLAa