Matematik Grundskola årskurs 7-9 Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 7: Matematiska undersökningar med kalkylprogram Aktiviteter med kalkylprogram Håkan Sollervall, Malmö högskola Exempel 1: Energikostnad för uppvärmning När det är kallt ute måste våra bostäder värmas för att kompensera den värmeenergi som försvinner ut genom fönster, dörrar, väggar, golv och tak. Effektförlusten P (watt, W) genom en specifik del av huset kan beräknas med formeln P = λ A T L (effektförlust) (1) Storheten λ (lambda; enhet W/(m )) kallas värmeledningsförmåga och har olika värden för olika material. Exempelvis har mineralull λ = 0,038 medan trä har λ = 0,14. Dessa och andra värden går enkelt att söka fram på nätet med sökordet värmeledningsförmåga. Vidare tar formeln (1) hänsyn till materialets area A (kvadratmeter, m 2 ) och tjocklek L (meter, m). Den återstående variabeln T (grader Celsius, ) är skillnad mellan inomhus- och utomhustemperaturerna. Med formeln (1) kan vi beräkna effektförlusterna genom en vägg, en dörr eller ett fönster. Vi måste utföra dessa beräkningar var för sig eftersom de olika delarna har olika värmeledningsförmåga, olika areor och olika tjocklekar. Husets totala effektförlust kan vi sedan beräkna genom att addera effektförlusterna för husets yttre delar. För att hålla en konstant inomhustemperatur i ett hus vid en viss utomhustemperatur behöver kontinuerligt tillföras en effekt motsvarande den totala effektförlusten. Då uppstår en uppvärmningskostnad K kr som beräknas utifrån energipriset (kronor per kilowatt-timme), den effekt P (watt, W) som utnyttjas för uppvärmning och den tid t (timmar, h) som denna effekt utnyttjas. Kostnaden för husets uppvärmning kan då beräknas med formeln P K = 1,50 t (energikostnad) (2) 1000 I denna formel (2) är energipriset satt till 1,50 kr/kwh, vilket kan ändras om så önskas. De båda formlerna kan kombineras eftersom den tillförda effekten P i formeln (2) ska kompensera för effektförlusten P i formeln (1). Om vi gör detta algebraiskt, genom att sätta in den första formeln i den andra, uppstår en komplicerad algebraisk formel som kan vara svår att hantera på ett effektivt sätt i undervisningen. Ett alternativ kan vara att arbeta med fokus på övergripande samband, enligt följande modell: Material, dimensioner Effektförlust Energikostnad http://larportalen.skolverket.se 1 (10)
Genom att arbeta utifrån material och dimensioner kan eleverna få arbeta med att designa egna hus (figur 1), där de själva får välja hur stort huset ska vara samt hur många och hur stora fönster och dörrar det ska ha samt undersöka vilka konsekvenser denna design får för energikostnaden. Ett arbetsblad till en sådan uppgift finns som bilaga i Moment A. Figur 1. Ett hus ritat med ritprogrammet Google Sketchup. Denna strategi går alldeles utmärkt att hantera med hjälp av ett förberett kalkylblad, där läraren i förväg har skrivit in formler i de olika cellerna (jämför uppgift 4 i bilagan). Figur 2. Lärarens förberedda kalkylblad. Även detta kalkylblad finns som bilaga i denna del. I figur 2 visas det tomma kalkylbladet. En sammanfattande diskussion kan ledas i riktning mot olika lärandemål (jämför med texten om didaktiska situationer i del 2). Via numeriska undersökningar i kalkylbladet har ele- http://larportalen.skolverket.se 2 (10)
verna fått åtminstone en preliminär uppfattning om hur formlerna fungerar och kan då relatera till detta i sina fortsatta resonemang. En slutsats kan bli att bygga billigt ger en hög driftkostnad och att bygga dyrt ger en lägre kostnad. Fast det gäller inte alla kostnader, det är dyrt att bygga med stor area och det ger också en hög energikostnad. Ett mindre hus ger lägre energikostnad än ett större. Någon finurlig elev kan komma på att det går att tjäna pengar om det är varmare ute än inne, i alla fall om formeln gäller för alla möjliga temperaturer. Här kan det bli intressant att diskutera hur långt de matematiska (och fysikaliska) principerna sträcker sig och när verklighetens villkor tar över. Effektförlusten blir ju negativ, alltså borde det bli en effektvinst, men det finns inte något sätt att få betalt för detta. Man kan alternativt välja att lägga större vikt vid husets geometriska utformning och de aritmetiska samband som kan underlätta elevernas undersökningar. Exempelvis finns det ett sådant samband mellan storleken av fönster, dörrar och övrig väggyta. Detta samband kan användas för att kontrollera kalkylbladet i figur 5 och då visar det sig att värdena i kolumn B bör justeras en aning. Exempelvis bör B4 inte vara lika med 12 utan ersättas med 15 1 0,6 2 = 11,4. Exempel 2: Formulera och undersöka matematiska samband I detta exempel får eleverna möjlighet att använda kalkylprogrammet som ett instrument för att undersöka och själva formulera matematiska samband i form av talföljder. Om eleverna får till uppgift att implementera talföljden a n = 5 n + 2 i ett kalkylblad, kan de gå tillväga på följande sätt. Först definierar de en uppräknare av talen 1 till och med 23, enligt figur 3(a), 3(b) och 3(c). http://larportalen.skolverket.se 3 (10)
(a) (b) (c) (d) (e) Figur 3. Inmatning steg för steg i ett kalkylblad. Inmatningen fortsätter med att talföljden a n = 5 n + 2 implementeras som 5 A3 + 2 (figur 3(d) och 3(e)). De båda formlerna a n = 5 n + 2 och 5 A3 + 2 är snarlika men skiljer sig åt framför allt avseende variablerna, eftersom n en oberoende variabel som kan ersättas med vilket värde som helst (i detta sammanhang, ett positivt heltal) medan variabeln A3 hänvisar till ett specifikt fält i kalkylbladet. Genom att förlänga formeln som kopplar samman B3 med A3 (figur 3(e)) så kopplas B4 samman med A4; B5 med A5 och så vidare. Detta är kalkylprogrammets sätt att behandla formler vilket kan ta en stund för eleverna att vänja sig vid, men om de hjälper varandra så brukar de gemensamt kunna reda ut den tekniska hanteringen utan att man som lärare behöver visa alltför mycket. Därefter skulle eleverna kunna formulera uppgifter till varandra. Exempelvis kan eleverna visa kalkylblad med ifyllda tal, men utan att visa vilken formel de har använt, och fråga efter just denna formel. Två exempel visas i figur 4(a). När eleverna har kommit fram till att skillnaden mellan talet under och talet ovanför avslöjar lite av formeln, kan detta utföras direkt i kalkylbladet (figur 4(b)). Formeln för talföljden i kolumn C (vars skillnader visas i kolumn G) måste då vara a n = 3 n + (något). http://larportalen.skolverket.se 4 (10)
(a) (b) Figur 4. Kalkylbladet visar ifyllda celler utan att visa formeln. Exempel 4: Hur lönen kan variera Här är ett annat exempel på en uppgift där eleverna får möjlighet att använda kalkylprogrammet som ett instrument för att undersöka och själva formulera matematiska samband i ett mer konkret sammanhang. Markus har fått sommarjobb på ett café. Han får betalt per timme, men har ännu inte fått veta hur hög timlönen är eller hur många timmars jobb det kommer att bli. Det enda han vet nu är att han ska betala 31 % i skatt. Beskriv hur Markus kan bestämma hur mycket pengar han får efter skatt (när han väl vet timlönen och antalet arbetstimmar). Använd ett kalkylprogram för att enkelt räkna ut hur mycket pengar han får efter skatt (när han väl vet timlönen och antalet arbetstimmar). Skriv en formel som Markus kan använda för att enkelt räkna ut hur mycket pengar han får efter skatt (när han väl vet timlönen och antalet arbetstimmar). http://larportalen.skolverket.se 5 (10)
Exempel 5: Sannolikheten att vinna ett spel med upprepade myntkast Spelet nedan är en del av det så kallade Penney s game, som går ut på att två personer ska spela mot varandra genom att kasta ett mynt flera gånger. De väljer var sin kastserie, som i första spelet består av två och i andra spelet av tre specificerade resultat i rad. Den spelare vinner som först får upp sin kastserie. En vanlig gissning är att båda personerna har samma chans att vinna. Denna gissning stämmer i fallet med två resultat i rad, oavsett vilka kastserier de väljer, men visar sig vara felaktig för de flesta kombinationer av serier med tre resultat i rad. Detta upptäcks när man har spelat ett tag, eftersom den ene spelaren vinner markant fler omgångar. Dessa spel kan simuleras med kalkylprogram och ger då snabbt en insikt om att något inte står rätt till. Just detta att oväntade saker händer kan leda till att elever vill förklara och förstå orsakerna, genom att analysera spelet. Detta kan göras med träddiagram, där mönster framträder som inte är helt enkla att tolka. Eftersom träddiagram kan vara svåra att rita, så har det till denna uppgift förberetts en mall för träddiagram som kan skrivas ut och användas av elever samt som underlag för helklassdiskussion vid skrivtavlan. Uppgift. Viktor och Hamid ska spela två olika spel med ett mynt, där ena sidan har målats grön och den andra sidan har målats gul. Spelet går ut på att kasta myntet flera gånger, tills antingen Viktor eller Hamid får upp den kastserie de har valt. I det första spelet består kastserien av två resultat (i rad, dvs. direkt efter varandra) och i det andra spelet består den av tre resultat (också i rad). (a) Vem har störst chans att vinna, om Viktor satsar på grön-grön och Hamid satsar på grön-gul? Eller har de samma chans att vinna? (b) Vem har störst chans att vinna, om Viktor satsar på grön-grön-gul och Hamid satsar på gul-grön-grön? Eller har de samma chans att vinna? I en undervisningssituation skulle eleverna kunna simulera spelet, exempelvis i Excel. På skrivtavlan kan följande kodning tydliggöras. http://larportalen.skolverket.se 6 (10)
Viktors satsning grön-grön ( ) kan kodas 1-1. Hamids satsning grön-gul ( ) kodas då 1-0. Genom att skriva in kommandot =RANDBETWEEN(0;1) i rutan A1 skapas ett slumptal (0 eller 1, med lika sannolikheter) i denna ruta. När Excel-rutans nedre högra hörn dras i sidled skapas fler slumptal, nedan i rutorna A1-T1. Dessa rutor kan markeras som en helhet och dras nedåt, så att ett helt rutnät av slumptal skapas. I figur 5 nedan visas 180 slumptal. Varje kolumn kan representera en spelomgång, där eleverna kan följa utfallet och se vem som vinner. Alternativt kan läraren göra detta på tavlan, gärna i interaktion med eleverna. I bilden nedan har läraren markerat med röd färg om serien 1 1 (Viktor) har vunnit och med blå färg om serien 1 0 (Hamid) har vunnit. Av de 20 omgångarna har Viktor vunnit 11 och Hamid vunnit 9. Figur 5. Simulering av 20 spelomgångar. Utfallet 11 9 antyder att spelet har varit rättvist, men det är naturligtvis inte tillräckligt som bevis. Eleverna kan då få analysera spelet i ett träddiagram. Eftersom träddiagram kan vara lite knepiga att rita, så att alla grenar får plats, kan det vara praktiskt att dela ut färdiga träddiagram som eleverna kan arbeta med, gärna i par eller i mindre grupper där de kan resonera och komma överens om vad som gäller. När eleverna har arbetat en stund med detta, kan en lärarledd uppföljning genomföras där eleverna bjuds in att tänka och bidra till de konstruktioner som görs på tavlan. Här kan det vara lämpligt att projicera mallen med träddiagrammet på skrivtavlan alltså från lärarens dator, via en tak- eller bordsprojektor både för att effektivisera det fortsatta arbetet och för att eleverna lättare ska kunna jämföra med vad de själva har gjort på papper. Genom att resonera med eleverna kan läraren markera deras slutsatser och be dem förklara hur de har resonerat (figur 6). Rent teoretiskt kan spelet pågå hur länge som helst, om den gula sidan fortsätter att komma upp om och om igen. En sammanfattande slutsats kan bli att spelet kommer in i ett avgörande skede när den gröna sidan kommer upp för första gången. Då avgörs spelet i nästa kast och både Viktor och Hamid har därför lika stor chans att vinna. http://larportalen.skolverket.se 7 (10)
Antingen Viktor eller Hamid vinner efter nästa kast! Figur 6. Träddiagram som stöd för analys av spelet. Deluppgift (a) fyller flera syften. Dels får eleverna se hur Excel kan användas för att simulera spelet, antingen genom att pröva själva eller genom att observera hur läraren gör, dels kan de få hjälp att tolka de spelregler som även gäller i deluppgift (b), dvs. att den spelare vinner som först har fått sina resultat i rad. Med samma kodning som i deluppgift (a) så vinner Viktor om 1-1-0 kommer upp först medan Hamid vinner om 0-1-1 kommer upp först. En elevs undersökning i Excel kan ge följande utfall (figur 7). Färgmarkeringen är gjord för hand, en spelomgång i taget, efter det att eleven har listat ut vem som vann just den omgången. Det färdiga diagrammet visar att Hamid vann med 12 8. Ganska jämnt. Figur 7. Ett kalkylblad som visar resultatet 12-8. En annan elev kan ha fått det utfall som redovisas i figur 8. I detta fall blev det utklassning, Hamid vann med 16 3. (I kolumn J blev det ingen vinnare, men det går att förutse vem som skulle ha vunnit om spelet hade fortsatt.) http://larportalen.skolverket.se 8 (10)
Figur 8. Ett kalkylblad som visar resultatet 16 3. Slumpen kan alltså starkt påverka utfallet trots att hela 20 omgångar undersöktes i respektive fall. Om alla elever i en klass genomför var sin undersökning torde ändå utfallet bli att de flesta kom fram till att Hamid har störst chans att vinna en ny omgång. Men hur stor är denna chans? Detta kan eleverna reda ut med stöd av ett träddiagram, enligt nedan. Hamid vinner 3 av 4! Figur 9. Ett träddiagram som stöd för analys av ett spel med tre kast. Viktor vinner bara om han hinner få två gröna innan den första gula kommer. Om det kommer gul på första eller på andra kastet, så vinner Hamid. Spelet är alltså avgjort efter högst två omgångar! Dessa egenskaper i spelet får eleverna större möjligheter att upptäcka om de själva får följa och analysera mönster i form av numeriska kastserier i Excel och/eller förgreningar i träd- http://larportalen.skolverket.se 9 (10)
diagrammet. Träddiagrammet ger dessutom en visualisering av möjliga förlopp som är svårare att tolka i Excel. För de elever som kan hantera sannolikhetsberäkningar för binomialfördelning kan dessutom räkna ut (med Excel eller annat beräkningsverktyg) att Hamid har 98,6% chans att vinna om han och Viktor spelar 20 omgångar, samt att det är 1 % chans för oavgjort 10 10. Så Hamids risk att förlora är endast 0,4 %. Detta kan vara bra att veta för en lärare som planerar att använda uppgiften i undervisning. När en klass med 30 elever vardera genomför 20 slumpförsök i Excel är det troligt att alla kommer fram till att Hamid vinner, även om vinstmarginalen inte behöver bli stor (som i exemplet 12 8). En fortsättning på denna uppgift skulle kunna bestå i att diskutera olika kastserier med tre resultat i rad, och fundera på om det alltid finns en annan kastserie som slår ut en given satsning när man jämför sannolikheter. Svaret är ja. Om man får se sin motståndares kastserie i förväg, så kan man anpassa sin egen kastserie så att man har mer än 50 % chans att vinna. Oavsett vilken kastserie den andre har valt att satsa på. Detta kan man reda ut med stöd av träddiagrammet. Exempelvis gäller att en kastserie med tre lika resultat i rad (kronakrona-krona) endast har 1/8 chans att vinna, om den ställs mot en kastserie som avviker i första positionen (klave-krona-krona). Så fort en klave kommer upp, så vinner den senare kastserien. Vidare skulle eleverna kunna fundera på längre kastserier, exempelvis fyra resultat i rad, där man kan förvänta sig (?) ett liknande resultat som i fallet med tre resultat i rad. Att kunna formulera och undersöka hypoteser av detta slag är en central aspekt såväl i matematiskt arbete som i vardagslivet. http://larportalen.skolverket.se 10 (10)