Även i de senare årskurserna i grundskolan finns det elever som har brister

Lena Trygg Tiobasmaterial för tal i decimalform Högstadieelever bör ha tillägnat sig begreppsförståelse av tal i decimalform. I de fall så inte är fallet kan användning av tiobasmaterial vara ett sätt för att stärka och utveckla det. Här beskrivs Dienes klassiska tiobasmaterial och förslag ges på aktiviteter för tal i decimalform. Även likhetstecknet tas upp. Även i de senare årskurserna i grundskolan finns det elever som har brister i sin begreppsuppfattning om tal i decimalform. Många kan ha en begränsad förståelse, men när de ska storleksordna och/eller operera med tal i decimalform blir bristerna synliga. I artikeln Longer is larger or is it? beskriver Anne Roche två vanliga strategier bland elever som hade högst några enstaka fel på diagnoser som prövade deras förståelse av tal i decimalform. Strategi 1 Eleverna använde ett språk där de benämner tiondelar och hundradelar korrekt samt nyttjade hållpunkter för att jämföra tal i decimalform. 0,567 är större än 0,3 därför att fem tiondelar är större än tre tiondelar, eller 0,567 är mer än en halv och 0,3 är mindre än en halv. På motsvarande sätt resonerade de om hundradelar. Strategi 2 Dessa elever använde en regel som innebar att de lade till nollor till de kortare talen så det blev lika många decimaler i varje tal. Därefter jämförde de decimalerna som om de vore heltal. 0,37 är större än 0,217 eftersom 370 är större än 217. Båda strategierna ledde till ett korrekt resultat så som diagnosuppgifterna var utformade, men uppföljande studier visade att elever som använde den andra strategin gjorde misstag när uppgifterna var konstruerade på annat sätt. Tolv kort placeras slumpvis framför eleven, som då ska placera dem i ordning från det minsta till det största. 1

Det vanligaste felet eleverna gjorde var att placera 0,9 före 0,10 och det tyder på att dessa elever kan en regel, men de har inte en fullständig begreppsförståelse för tal i decimalform. För sistnämnda elever, och övriga som inte har full begreppsförståelse, kan det vara värdefullt att låta ett förnyat arbete med tal i decimalform få utgå från en konkret representation. Sedan åtminstone mitten av förra seklet finns det omfattande matematikdidaktisk forskning som visar på vikten av att elever får möta matematikens olika representationer (eller uttrycksformer som de benämns i svenska kursplaner). I kunskapsöversikten Laborativ matematikundervisning vad vet vi? ges följande exempel: Idéerna om att matematiklärandet utvecklas genom flera representationsnivåer har funnits länge, troligtvis började det med Pestalozzis arbete, även om det är möjligt att spåra grundläggande delar ännu längre bakåt i tiden (Suydam & Higgins, 1977) och de utvecklas fortfarande (Goldin & Shteingold, 2001). I många studier refereras till den amerikanske psykologen Jerome Bruners tre representationsnivåer, vilka beskrivs på följande sätt i The mathematics laboratory Theory to practice (Reys & Post, 1976): Enactive (handlingsbaserad). På denna första nivå är eleven fysiskt aktiv; manipulerar, konstruerar eller arrangerar föremål från den verkliga världen. Detta steg är det mest konkreta och här grundläggs begreppen, men de existerar bara så länge eleven kan relatera dem till den verkliga världen. Om eleven får möjlighet att utveckla begreppen kan dessa så småningom bli abstrakta och funktionella då eleven når den symboliska nivån. Iconic (bildmässig). Den andra nivån identifieras genom att den representerar händelser i den verkliga världen genom beskrivande former som t ex verbala formuleringar eller bilder av olika slag. Symbolic (symbolisk). Den tredje nivån är den mest sofistikerade och bygger på att eleven, vid lärande av ett givet begrepp, har erfarenheter från de båda föregående nivåerna. Karaktäristiskt för denna nivå är att all manipulation sker med symboler helt oberoende av de handlingsbaserade och bildmässiga representationerna. (s 27 28) Att låta elever arbeta med en handlingsbaserad eller konkret representation innebär att de får möta matematikinnehållet konkretiserat med hjälp av något material. Ett pedagogiskt material avsett att användas vid arbete med tal i decimalform är LAB, linear arithmetic blocks (se länk nedan). Tittar vi i företagskataloger kan vi dessutom hitta olika abakusliknande plattor, plock- och byggmaterial, dominospel etc som också är avsedda att konkretisera tal i decimalform. Flera av materialen bygger på idén att när en talsort är fylld, ska man växla till närmaste större talsort. Zoltan Dienes multibasmaterial finns på många svenska skolor sedan tiden för mängdläran. Materialet brukar vara i trä och innehåller kuber och plattor för arbete med baserna 3, 4, 5 och 6, förutom basen 10. Det tiobasmaterial som införskaffas idag är i regel tänkt för de yngre eleverna. Materialet består av kuber, stavar och plattor. Oftast benämns plattan som hundraplatta eftersom den består av 100 cm 3, stavarna som tiostavar (10 cm 3 ) och de små kuberna som enkuber (1 cm 3 ). Det finns även tusenkuber som alltså består av 1 000 cm 3. 2

Tiobasmaterialet finns tillverkat i både trä och plast, sistnämnda ofta i flera olika färger. Det finns även motsvarande material för OH, whiteboard och för användning på IST. Följande text är också hämtad från kunskapsöversikten Laborativ matematikundervisning vad vet vi? och visar ett exempel på hur tiobasmaterial kan användas genom hela grundskolan. Flersiffriga tal och material ett exempel Här ges en bild av hur ett laborativt material kan fungera i matematikundervisningen (Fuson, 1990). Exemplet är från en artikel som handlar om hur elever ska få förståelse för hur flersiffriga tal är uppbyggda utifrån positionssystemet. I artikeln diskuteras amerikanska elevers svårigheter med att addera och subtrahera flersiffriga tal ur ett språkligt och kulturellt perspektiv. Ett av problemen som lyfts fram är att talen 11 19 inte är språkmässigt logiska i engelska språket (och inte heller i det svenska) till skillnad från i asiatiska språk, baserade på kinesiska, där exempelvis tolv heter tio två. Detta anges som en trolig orsak till att amerikanska (och svenska) barn länge föredrar upp- och nedräknande strategier istället för att använda tio som en enhet. I artikeln ges en ingående bakgrund till problemet och olika alternativ på lösningar diskuteras. Ett förslag är att när eleverna är tillräckligt förtrogna med de tio första talen och deras delar, bör undervisningen direkt fortsätta med fyrsiffriga tal. Detta för att eleverna snabbare ska börja ta hjälp av begreppen ental, tiotal, hundratal och tusental. Multibaskuber som representerar talet 1 437. Karen Fuson beskriver hur utgångspunkt kan tas i språket och tillsammans med laborativt material övergår sedan undervisningen till allt mer abstrakt matematik och ett matematiskt korrekt skrivsätt. I det här exemplet används multibaskuber, också kallade Dienes kuber, vilka ingår i kategorin pedagogiska 3

material. Stora tal uttrycks genom att allt större enheter (tiotal, hundratal, etc) sätts samman av siffrorna 0 9 i positionssystemet. För att elever ska få förståelse för varför tal uttrycks på detta sätt, behöver de få perceptuellt stöd för att skapa begreppsstrukturer som speglar tiotalssystemets uppbyggnad. I artikeln betonas att lärarens uppgift är att stödja eleverna så att de får förståelse för sambandet mellan det laborativa materialet och de olika tal det representerar. Elevernas tankesätt behöver uppmärksammas, en elev kan t ex sätta den korrekta verbala etiketten tiotal på tiostaven, men ändå inte uppfatta att ett tiotal består av tio ental. Ett sätt att möta detta är att låta eleven använda andra material en tid och tillverka sina egna tiostavar av t ex byggbara kuber. Tiostavar i syfte att visa att ett tiotal består av tio ental. Fuson visar i tabellform, se nästa sida, den begreppsliga strukturen för flersiffriga tal och hur den kan utformas. Vi har översatt och förenklat tabellen som en illustration till vår text för att visa på sambandet mellan ett laborativt material och den formella matematikens uttrycksformer. Kopplingen till den kinesiska ordstrukturen samt tiotusenkolumnen har inte tagits med och läsare som vill veta mer om detta hänvisas till originaltexten. I exemplet blir det möjligt att utifrån det laborativa materialet komma så långt att eleven får en visuell representation av det abstrakta begreppet 10 0 = 1. Exemplet visar kortfattat att samma laborativa material kan komma till nytta upprepade gånger under en elevs skolgång för att ge allt djupare förståelse för tals uppbyggnad. Inledningsvis handlar det om att benämna talen korrekt och få förståelse för positionssystemet, flera år senare kan undersökningar av Dienes kuber leda till insikt i hur tal skrivs och förstås i grundpotensform. Vi vill i detta sammanhang påpeka att det också finns material som är 1/10, 1/100 och 1/1000 av kubikcentimetern. Det gör att tabellens idé kan utvidgas och även konkretisera decimaltal, ner till tusendelar då kubikcentimeterns värde bestäms till 1. (s 12 13) 4

Namn på begreppsliga strukturer för flersiffriga tal Plats Första platsen längst till höger, sedan andra osv åt vänster Platsvärde Ental på första platsen sedan ökande platsvärde med en tiomultipel för andra platsens siffror osv Laborativt material som gestaltar platsvärden som byggstenar, en liten enhetskub motsvarar talet 1 Växlingar Tio enheter på en plats kan växlas till en enhet på platsen närmast till vänster, och vice versa, beroende på ökningen med en mutlipel av tio för varje plats Kumulativa växlingar Växlingar kan ske i flera led med en multipel av tio i varje led, ökande åt vänster, minskande åt höger Multiplar Växlingar kan ske i flera led med en multipel av tio i varje led, ökande åt vänster, minskande åt höger Fackspråk Tiopotenser som språkliga uttryck Symbolspråk Tiopotenser i symbolform Hur den begreppsliga strukturen kan utformas fjärde tredje andra första tusen hundra tio en(tal) tio hundratal en tio tiotal tio en tio ental tio en ett ental tre byten två byten ett byte inget byte tre multiplar av tio (t t t) tio upphöjt till tre (tredje potensen av tio) två multiplar av tio (t t) tio upphöjt till två (andra potensen av tio) en multipel av tio (t) tio upphöjt till ett (första potensen av tio) tio ingen multipel av tio tio upphöjt till noll 10 3 10 2 10 1 10 0 Ett finskt material, Desimaaliosat/Decimaler, som visar tiondelar, hundradelar och tusendelar av en kubikcentimeter. På fotot är den gröna kuben till vänster en kubikcentimeter och den stora, flerfärgade, en kubikdecimeter. Prickarna längst till höger är alltså av storleksordningen en kubikmillimeter. 5

En annan representation Många högstadieelever känner igen tiobasmaterial från sin tidigare skolgång. I de fall de behöver göra ett förnyat grundläggande arbete med tal i decimalform skulle det finska materialet som visas ovan, Desimaaliosat/Decimaler, kunna vara utmärkt. Tyvärr gör dess litenhet att det blir svårt att hantera det rent praktiskt för många elever och det är troligen inte särskilt tydligt. Det finns ändå en poäng att visa materialet och diskutera exempelvis hur liten en tusendels kubikcentimeter är och i vilka sammanhang det är viktigt att kunna använda så små enheter. Alternativet kan vara att se tiobasmaterialet som ett relationsmaterial (jmf t ex med cuisenairestavar) och bestämma att hundraplattan nu ska representera ett eller en hel. För enstaka elever kan det ställa till problem om de plötsligt ska tänka på hundraplattan som något annat än vad de är vana vid. Enligt somliga matematikdidaktiker kan det vara ett tecken på att dessa elever inte är mogna för att använda ett material som representation för andra talsorter. De är då troligen inte heller mogna för att börja arbeta med tal i decimalform utan bör fortsätta arbeta för att få en stabil grund med heltal och positionssystemet. Om en elev kan använda ett slags material som stöd för sitt tänkande men inte byta till ett annat, är det också ett tecken på att begreppsbildningen ännu inte är säker och orsaken bör undersökas. Andra forskare förespråkar istället andra sätt att representera decimaler, exempelvis så som det beskrivs i aktiviteten Färglägg decimaler (se länk nedan). I det fortsatt beskrivna arbetet med tal i decimalform används alltså hundraplattan som ett, tiostaven som tiondel och den lilla kuben som hundradel. Vill man gå vidare till tusendelar osv väljer de flesta att göra det enbart i tankarna. Decimaltecknets placering kan exempelvis markeras med en kort bit piprensare. Ytterligare ett alternativ till att använda tiobasmaterial i trä eller plast är att eleverna själva tillverkar sitt material i papper. Utgå ifrån tomma hundrarutor kopierade på lite styvare papper som eleverna klipper i tiondelar och hundradelar. Om vi återvänder till de tre representationsnivåerna kan de bli synliga genom att eleverna får hantera och strukturerat lägga tiobasmaterialet, handlingsbaserat och konkret rita eller fotografera av (det finns elever som efter en tid ritar en hel som en liten ruta, en tiondel som ett streck och en hundradel som en prick) eller använda stämplar (tycks vara slut för försäljning men finns sedan tidigare på många skolor), bildmässigt och slutligen skriva talen i decimalform med siffror, symboliskt. Arbetsgång med tiobasmaterial Här ges ett förslag på en arbetsgång som bygger på de tidigare beskrivna representationsnivåerna. 1. Inled arbetet med ett samtal om tal i decimalform och decimaltecken. Hur ser ett tal i decimalform ut? Varför behövs de? När brukar vi använda tal i decimalform? Var finns de på tallinjen? Hur många decimaltal finns det? Hur många decimaler kan ett tal ha? Vad heter de olika decimalerna? Hur stor skillnad är det på en tiondel och en hundradel? etc 6

2. Ta fram tiobasmaterial, titta på de olika delarna och benämn dem. Jämför med texten ovan om att använda hundraplattan som en representation av ett eller en hel. Lägg olika tal i decimalform. Läs och säg vad du lagt. Gör det både gemensamt och låt eleverna göra det två och två. 1,34 = 1 hel, 3 tiondelar och 4 hundradelar (inte en och trettiofyra eller en komma trettiofyra ). 3. Använd två tiosidiga tärningar. En tärning visar ental och en visar tiondelar. Slå tärningarna och skapa ett så stort tal som möjligt. Lägg talet med tiobasmaterial och rita av. Ändra till ett så litet tal som möjligt. Upprepa tills det sitter. 4. Använd tre tiosidiga tärningar. En tärning visar ental, en tiondelar och en hundradelar. Slå tärningarna samtidigt och skapa ett så stort tal som möjligt. Lägg talet med tiobasmaterialet och rita av. Ändra till ett så litet tal som möjligt. Upprepa tills det sitter. 5. Ge eleverna ett arbetsblad där de ska jämföra tal i decimalform. Använd det bifogade bladet eller gör ett eget. Eleverna ska lägga talen med tiobasmaterial, rita av och skriva. 6. Låt eleverna göra egna uppgifter som de byter med varandra. 7. Be eleverna lägga tal som tretton tiondelar och tjugofem tiondelar. Resonera om vad tretton tiondelar innebär. Hur kan det läggas med materialet? Hur skriver man? 8. Gör på motsvarande sätt med hundradelar. Fler exempel på uppgifter finns i Nämnarenartikeln Konkretion av decimaltal En nödvändig ingrediens för förståelse av Maria Hilling-Drath. Likhetstecknet Under arbetet med att jämföra tal i decimalform ges tillfälle att även uppmärksamma likhetstecknet och dess funktion. Ingrid Olsson skriver så här i en text riktad till lågstadielärare: För att kunna avgöra vilken kvalitet som eleverna behöver ha på olika begrepp måste vi titta framåt på hur det ska användas senare eftersom det är det som avgör vilken kvalitet som krävs. Ibland kan vi tidigt låta eleverna utveckla den kvaliteten, t ex likhetstecknets funktion och innebörd, och ibland kan vi hjälpa eleverna en bit på väg men i rätt riktning. Risken är annars stor att man nöjer sig med att eleverna får rätt svar på uppgifter just då, men brister i begreppsförståelsen kan göra att de misslyckas i sitt fortsatta lärande. Det är vanligt att likhetstecknet, =, presenteras som en balansvåg. För att vågskålarna ska väga jämnt krävs att de väger lika mycket liksom att likhetstecknet kräver att värdet av talen/operationerna ska ha samma värde på var sida om tecknet t ex 4 + 1 = 3 + 2. Betydelsen av likhetstecknet är då är och inte blir och det är denna betydelse vi önskar att eleverna ska kunna använda sig av när de t ex resonerar i, med och om matematik och senare vid ekvationer i algebra. Problemet är emellertid att även om eleverna möter likhetstecknet med balansvågar och matematiska likheter men sedan enbart möter uppgifter av typen blir, som exempelvis 3 + 2 = och 34 + 25, är risken stor att 7

likhetstänkandet efter en tid försvinner och tecknet endast får betydelsen blir. Vid introduktion av ekvationer har detta inte alltid uppmärksammats och många elever har misslyckats i sitt arbete med ekvationer på grund av bristande begreppsförståelse av likhetstecknets innebörd. Erövrad kunskap måste hållas vid liv och vi måste hela tiden ge eleverna möjlighet att repetera begrepp och operationer. Vilken begreppsförståelse tror du att dina elever har av likhetstecknet? Av tradition har likhetstecknet ofta införts i samband med att eleverna lär sig additionssymbolen + och uppgiften har kanske varit Du har tre pennor och får två pennor till. Hur många pennor har du då? Eftersom denna uppgift är dynamisk, det händer något när två pennor kommer till, så kan likhetstecknet i uttrycket 3 + 2 = 5 lätt uppfattas som att det blir fem pennor. Om uppgiften i stället formulerats som Du har tre blå pennor och två röda pennor. Hur många pennor är det sammanlagt?, är det naturligare att säga att det är fem pennor. I det senare fallet är situationen statisk, det är inget som tillkommer utan en sammanläggning sker av de två pennsorterna. Även om denna text är riktad till lärare som undervisar grundläggande grundskolematematik, kan det vara av värde att uppmärksamma detta innehåll tillsammans med äldre elever som visar bristar i sin begreppsförståelse av likhetstecknet. Talområde får naturligtvis anpassas till eleven och för högstadieelever är det kanske lämpligt att exemplifiera med tal i decimalform. LITTERATUR Hilling-Drath, M. (2007). Konkretion av decimaltal. Nämnaren 2007:1, 21 25. Roche, A. (2005). Longer is larger or is it? Australian Primary Mathematics Classroom, volym 10, nr 3, s 11 16. Rystedt, E. & Trygg, L. (2010). Laborativ matematikundervisning vad vet vi? NCM, Göteborgs universitet. FILMER Pia Cedergren, Lerbäckskolan, Lund visar hur tiobasmaterial kan användas: publiceramer.se/video/decimaltal-med-hjaelp-av publiceramer.se/video/multiplikation-av-decimaltal LÄNKAR Beskrivning av LAB: www.education.vic.gov.au/studentlearning/teachingresources/maths/mathscontinuum/number/lab.htm#1 Desimaaliosat/Decimaler: www.tevella.fi Färglägg decimaler: ncm.gu.se/media/namnaren/npn/arkiv_xtra/farglagg_brak_clarke.pdf 8

Vilket tal är störst? Använd tiobasmaterial där hundraplattan får representera en hel. Det medför att en tiostav representerar en tiondel av plattan och en liten kub representerar en hundradel av plattan. 1. Jämför paren med tal i decimalform. 2. Lägg båda talen i ett par med tiobasmaterialet. 3. Bestäm vilket tal som är störst, använd symbolerna <, > eller =. 4. Skriv en motivering, alltså varför, talet är störst. Motivering 0,7 0,3 0,7 är störst därför att 7 tiondelar är fler än 3 tiondelar. 0,8 0,12 0,03 0,30 1,60 1,6 1,89 1,9 1,12 1,2 Fortsätt på samma sätt som ovan men utför beräkningarna innan du jämför. 0,7 0,12 0,05 0,7 + 0,9 0,16 0,20 + 0,1 0,25 + 0,5 0,4 + 0,5 0,30 + 0,45 1,13 0,3 1,10 0,15 + 0,05 0,2 Motivering Använd tre tiosidiga tärningar, slå och skapa egna tal att jämföra. 9