Modul: Didaktiska perspektiv på matematikundervisningen 1 Del 5: Mätandets idé och pengar Lektionsaktivitet: Mäta längd och massa Berit Bergius & Lena Trygg, NCM Syfte I vardagen möter vi många företeelser som har med begreppet storlek att göra. Våra sinnen uppfattar information om t ex längd, area, volym och vikt. Aktiviteten avser att ge erfarenheter och redskap för att förstå innebörden i några av storleksbegreppets olika delar samt att jämföra, bedöma, beräkna och beskriva dem på olika sätt. Eftersom begreppet storlek kommer igen i både längd och massa används samma kontext som utgångspunkt för båda undervisningsinnehållen. Innebörden i storlek exemplifieras genom direkta och indirekta jämförelser, där resultaten kan beskrivas med uttryck som stor, lång, kort, tung, lätt och deras komparationsformer samt mätningar där resultaten uttrycks med ett mätetal och en enhet. Genom att använda och uppmärksamma matematiska ord och uttryck som hör till området utvecklas elevens förmåga att förklara och resonera. Om arbetsgången Arbetsgången bygger på en progression som i princip är densamma för längd och massa, och den kan även användas för konstruktion av aktiviteter till area och volym, se fördjupningen. De inledande undersökningarna utgår från att jämföra två objekt där skillnaden är lätt att uppfatta med ögonmått (längd) eller genom att väga i händerna (massa). Därefter fortsätter aktiviteterna med direkta och indirekta jämförelser där eleverna också får storleksordna flera objekt. För att besvara frågor om hur lång, hur mycket längre/kortare; hur tung, hur mycket mer/mindre väger, behöver eleverna använda mätredskap för att få fram ett mätetal och ange vilken enhet som används. Enheterna som används är inledningsvis informella och de konventionella enheterna införs så småningom. För att eleverna ska förstå principerna för hur mätverktygen fungerar introduceras de i små steg. Aktiviteten visar också på samband mellan enheter. Dokumentera med foto. Gör diktering eller låt eleven själv skriva en kort text, alternativt berätta muntligt i en inspelning, om sina erfarenheter och upptäckter. Mäta längd Kontext Johanna hade en bild på världens starkaste man. Han är inte bara stark, han är stor också, sa hon. Vadå stor? Hur menar du? Vem är störst av oss? Johanna, Filip, Kari och Romina diskuterade. Det är jag, menade alla fyra och var säkra på sin sak. http://matematiklyftet.skolverket.se 1 (8)
I så fall är ni lika stora, sa Alex. Vi får undersöka saken. Stor kan betyda olika saker. Vi kan börja med att se vem av er som har störst gorillamått, ja alltså så långt man når om man sträcker ut armarna rakt åt sidorna, så här. (Visa.) Johanna och Kari började. De ställde sig mitt emot varandra och sträckte armarna rakt åt sidan. Alex kontrollerade noga att spetsen på ena handens långfingrar låg jäms med varandra. Vem når längst åt andra hållet? Johannas längsta finger nådde lite bortanför Karis. Hennes gorillamått var störst. Johanna jämförde sedan med Filip och Romina. Johannas gorillamått var störst, större än både Filips, Karis och Rominas. Så här stort är mitt gorillamått (visa). Hur stort gorillamått har du? (Eleverna visar med händerna.) Undervisningsinnehåll Följande punkter är förslag på undervisningsinnehåll om att mäta längd. Fortsätt arbeta på den nivå som passar eleverna. Låt eleverna jämföra sina gorillamått på samma sätt som Johanna, Filip, Kari och Romina gjorde. Vems gorillamått är längst? Ordna i storleksföljd. Kommer det alltid att vara så? Samtala om förändringar som kan påverka. Alex påstod att gorillamåttet och kroppslängden brukar vara desamma. De kontrollerade. Tror ni det stämde? Stämmer det i vår grupp? Samtala om hur det kan kontrolleras. Förslag: låt eleven lägga sig på golvet med händerna sträckta rakt åt sidan. Markera sträckan på golvet. Klipp en pappersremsa med gorillamåttet. Sätt upp vertikalt på väggen, så att eleven kan jämföra med kroppslängden. Ordna gorillamåttsremsorna i storleksföljd på väggen. Direkt jämförelse Låt eleverna parvis jämföra längden på underarmen (från armbågen till handleden), längden på underbenet (till knävecket), fotlängd och kroppslängd. Vilka förslag har eleverna om hur mätningarna kan göras? Låt eleverna upptäcka att mätningen måste ha en gemensam utgångspunkt, exempelvis armbågen mot bordet eller hälen mot golvet. Låt eleverna ställa sig i ordning efter längd på underarm/underben/ fotlängd/kroppslängd och sedan beskriva hur de kom fram till ordningen. Använd fem snören/pennor/spikar som är något olika långa. Låt eleverna arbeta i par med att storleksordna dem. Vilka strategier använder de? Hur uttrycker de sina upptäckter? Använd tre snören. Bestäm själv längden på ett. Låt eleverna göra ett som är dubbelt så långt och ett som är hälften så långt. Samtala om hur långa snörena är jämfört med varandra. Hur löser eleverna uppgiften? Hur uttrycker de resultaten? http://matematiklyftet.skolverket.se 2 (8)
Filippa hade jämfört hur långt det är runt midjan, låret och handleden. Hon hade ett band som precis räckte runt midjan. Samtala om hur många varv runt låret det kan ha räckt. Runt handleden? Låt eleverna undersöka hur det är för dem själva och sedan jämföra med kamraterna. Informella längdenheter Låt eleverna arbeta parvis med att mäta bredden på entrédörren, toadörren, korridoren, gångvägen och löparbanan med hjälp av utklippta skoavtryck. Samtala om var mätningen ska börja, att skoavtrycken ska placeras tätt samman, utan tomrum eller överlappning och hur de ska hantera sträckan om sista biten inte är ett helt skoavtryck långt. Hur många skoavtryck gick åt? Aktivera uttryck som lite mer än, drygt, lite mindre än, knappt. Mät samma sträckor med hjälp av klädnypor. Samtala om varför resultaten blir olika. Låt eleverna undersöka hur många klädnypor lång en Dominolåda är, en elevbänk, en penna, en kritask, en matta, etc. Hur många gem lång är Dominolådan, elevbänken, pennan, kritasken, mattan, etc? Låt eleverna redovisa. Jämför resultaten. Samtala om varför de är olika. Låt eleverna arbeta parvis med att mäta skruvmejslar, pennor, penslar, kritor, böcker, snäckor, kottar, etc med hjälp av multilinkklossar. Dokumentera de olika mätningarna. Låt dem berätta om arbetet och resultaten. Sätt samman rader med 3, 5, 8, 10, 13 multilinkklossar. Lägg centikuber tätt samman utmed varje rad. Hur många behövs? Kan eleverna beskriva sambandet? Mät samma pennor, skruvmejslar, pennor, penslar, kritor, böcker, snäckor, kottar, etc som i föregående mätning men nu med centikuber. Jämför mätningarna med tidigare resultat. Samtala om skillnaderna. http://matematiklyftet.skolverket.se 3 (8)
Formella längdenheter Klipp en remsa med hela rutor av centimeterrutat papper. Klistra färgat papper på denna, så att ungefär hälften av rutorna syns. Resultatet är en linjal utan siffror. Låt eleverna lägga en rad med centikuber, tätt samman. Lägg linjalen utmed raden och visa att avståndet mellan markeringarna på linjalen och längden på en kub är lika. Låt eleverna mäta samma föremål som de tidigare mätt med centikuber med sin egentillverkade linjal. Hur många bitar långa är de olika föremålen. Jämför resultaten med mätningen med centikuber. Låt sedan eleverna beskriva arbetet och sambandet mellan kuber och bitar på linjalen. Placera centikuber längs en meterstock eller meterlinjal. Resonera om sambandet mellan meter och centimeter. Vilka föremål i skolan är ungefär en meter? Ytterligare ett sätt att synliggöra mätning med och avläsning på linjalen är att använda en linjal med en skåra med lagom plats för centikuber. Eleven kan räkna antalet centikuber som föremålet är långt och också se mätetalet på linjalen. Använd meterstocken. Hur många hela meter lång är fönsterväggen, korridoren, skrivtavlan, etc? Lägg märke till hur eleverna löser problemet om de bara har tillgång till en meterstock. En beskrivning på att tillverka en egen meterstock finns på ncm.gu.se/node/2351. Som alternativ till meterstock kan en metersnodd tillverkas. Se Strävornaaktiviteten Längdlådor 4C, ncm.gu.se/media/stravorna/4/c/4c_langdlador.pdf Använd ett flera meter långt måttband. Undersök vad markeringarna innebär, meter, centimeter, kanske också decimeter. Låt eleverna använda måttbandet för att visa olika avstånd eller längder. Inled med enbart hela meter, t ex 1 meter, 3 meter, 9 meter. Gå vidare med hela meter och jämna tiotals centimetrar, t ex 1 meter 50 cm, 4 meter 90 cm, 7 meter 20 cm. Fortsätt med hela meter och olika antal centimetrar, t ex 2 meter 75 cm, 6 meter 48 cm, 9 meter 99 cm. http://matematiklyftet.skolverket.se 4 (8)
För att även få med decimeter är Annies kloss, som beskrivs i Mätandets idé, ett väl fungerande hjälpmedel. Mäta massa Kontext Johanna hade en bild på världens starkaste man. Han är inte bara stark, han är stor också, sa hon. Vadå stor? Hur menar du? Vem är störst av oss? Det är jag, menade alla fyra och var säkra på sin sak. I så fall är ni lika stora, sa Alex. Vi måste undersöka saken. Johanna, Kari, Romina och Filip diskuterade vad stor kan betyda. (Diskutera med eleverna vad stor kan vara). Johanna, Filip, Kari och Romina kom fram till att ett exempel på stor kan vara hur mycket något väger. Hur kan man veta om en sak väger mer än en annan? Jag vet, sa Romina, man kan väga i händerna, så här. Hon tog en apelsin i ena handen och ett gem i den andra. Den här väger mest. Det känner jag. (Sök på Världens starkaste man på Youtube ) Undervisningsinnehåll Fortsätt arbetet med att väga där det passar eleverna. Utgå från något av följande förslag. Väg i händerna Material: I princip vad som helst som finns tillgängligt. Frukter, grönsaker, pasta, bönor, muttrar, skruvar, bomull, knappar samt tomma burkar i olika storlekar. Låt eleverna jämföra en banan ett russin; en apelsin en clementin; ett äpple en vindruva; en potatis en makaron; potatis äpple. Vad känner de? Lättast? Tyngst? Lika? Använd två lika stora burkar. Fyll den ena med bönor/muttrar/kulor/ knappar/spikar, den andra ska vara tom. Vilken burk är tyngst/väger mest? Vilken är lättast/väger minst? Använd två lika stora burkar. Fyll den ena med bomull (stoppningsvadd), den andra med sand/bönor/muttrar/pärlor/knappar/spikar. Vilken burk är tyngst/väger mest? Vilken är lättast/väger minst? Fyll en liten och en stor burk med t ex bönor. Vilken är tyngst/väger mest? Vilken är lättast/väger minst? Fyll en liten burk med t ex bönor. Låt en större vara tom. Vilken är tyngst/väger mest? Vilken är lättast/väger minst? Använd fem burkar i olika storlek. Fyll med samma sak. Ordna efter vikt. Använd elevernas gosedjur, ryggsäckar och ytterplagg. Jämför gosedjur med gosedjur etc. Vilken är tyngst? Lättast? Vilka är lika tunga? Låt eleverna hämta var sin sten som får plats i den kupade handen. Jämför stenarnas vikt, två i taget. Storleksordna. http://matematiklyftet.skolverket.se 5 (8)
Låt eleverna söka efter något som är lika tungt som den egna stenen. Sök också efter något som väger mer och något som väger mindre än den egna stenen. Mät med balansvåg Jämför vikten på olika föremål med hjälp av en balansvåg. Sådana finns i många olika utföranden. En enkel klädhängare kan fungera om ni inte har tillgång till en balansvåg, eller om det är svåra att få plats med föremålen på den. Visa att när vågen är i jämvikt väger föremålen lika. Jämför två bananer, två potatisar, två böcker, två pennor, en banan en potatis, ett äpple en apelsin, en sko en stövel, två ryggsäckar, två jackor, en ryggsäck - en jacka. Samtala om huruvida skillnaderna är små eller stora och hur resultaten ska beskrivas. Jämför fem objekt med varandra. Storleksordna. Låt eleverna redogöra för hur de vet att ordningen stämmer. Använd jämförbjörnar om ni har sådana. Jämför en stor björn med småbjörnar. Hur många små behövs för att det ska väga lika? Gå vidare med fler stora björnar. Hur ser mönstret ut för hur många små som behövs? Jämför vikten på en mellanstor björn och en liten. Hur många små behövs för att väga lika? Hur många små björnar behövs för att väga lika mycket som en stor och en mellanstor björn? Informella och konventionella viktenheter När frågorna Hur mycket tyngre? och Hur mycket lättare? ska besvaras krävs en mätning som anger ett mätetal och en enhet. Inledningsvis kan informella enheter användas. För att det ska fungera måste de vara lika stora, t ex spikar, byggklossar, multilink, muttrar och kulor. Hur många likadana spikar (muttrar/klossar/skruvar/kulor/multilink) behövs för att väga lika mycket som en potatis, en banan, en apelsin, en sko eller burkar med olika innehåll? Använd samma enhet så att vikterna kan jämföras, t ex att potatisen väger tolv skruvar och bananen nio skruvar. Potatisen väger tre skruvar mer än bananen. http://matematiklyftet.skolverket.se 6 (8)
Låt eleverna berätta om hur mycket de olika föremålen väger. Jämför och beskriv likheter och skillnader. Inför de konventionella enheterna g, hg, kg. Centikuber, där en kub väger 1 g, är ett åskådligt material för att introducera dem. Hjälps åt att sätta samman tiostavar och tio tiostavar till en hundraplatta för att illustrera ett hekto(gram), d v s hundra gram. Fortsätt med tio hundraplattor, d v s tusen stycken i en kub, eller i en liten påse för att illustrera ett kilo(gram). Visa traditionella viktsatser. Jämför vikten av en centikub med en 1 g-vikt, hundraplattan med hekto(gram)vikten, tusenkuben med kilo(gram)vikten på balansvågen. Låt eleverna jämföra burkar och föremål med vikterna ett gram, ett hekto(gram) och ett kilo(gram), genom att väga i händerna. Vilka föremål väger mer än ett gram, men mindre än ett hekto(gram)? Mer än ett hekto(gram) men mindre än ett kilo(gram)? Mer än ett kilo(gram)? Låt eleverna leta efter föremål inne och ute, som väger ungefär 1 g, 10 g, 1 hg, 1 kg. Kontrollera med balansvågen. Väg en potatis, en banan, en apelsin, en sko och burkar med olika innehåll på balansvågen. Använd konventionella enheter för att bestämma vikten. Låt eleverna berätta om föremålens vikt. Jämför och beskriv likheter och skillnader. Ta fram en enkilosvikt. Låt eleverna känna på tyngden. Repetera att den väger 1 kilo(gram). Placera vikten på balansvågens ena sida och ett tomt genomskinligt mått med tydlig decilitergradering på vågens andra sida. Häll långsamt färgat vatten i litermåttet. Stanna upp vid varje markering. Samtala om hur mycket vatten har hällts i och om det väger lika som kilovikten. När väger det lika? Häll över vattnet i en enliters mjölkförpackning. Blir den full? Samtala om hur mycket vatten ni hällde i tio deciliter. Visa på sambandet mellan liter och deciliter. Jämför med enkilosvikten på balansvågen. Samtala om vikten på 1 liter vatten. Väg en 1-liters, en 1 1/2-liters och en 2-liters förpackning med vatten. Jämför vikten. Vilka samband finns? Fyll petflaskor i olika storlekar (33 cl, 50 cl, 150 cl, 200 cl) med vatten. Hur mycket väger varje flaska? Storleksordna. Beräkna skillnader. Låt eleverna ta reda på sin födelsevikt. (Skolsköterskan har oftast den uppgiften.) Hitta något som väger lika mycket. Visa vikten med konventionella enheter och storleksordna. Lägg enheter som motsvarar födelsevikten på en digital köksvåg. Vad visar displayen? Tolka siffrorna. Väg olika föremål på brevvåg, personvåg och köksvåg. Tolka gemensamt siffrorna som anger vikten. http://matematiklyftet.skolverket.se 7 (8)
Hur många av oss, och vilka, väger tillsammans lika mycket som världens starkaste man, som väger 150 kg? Diskutera: I vilka affärer finns det vågar? Var? Beskriv några. Vem får använda dem? Vad berättar de? Hur? I affären finns skyltar med kilopriset för olika varor. Hur kan den som sitter i kassan veta vad en påse äpplen kostar? Hur kan man ta reda på om det man betalt för en ostbit är rätt? http://matematiklyftet.skolverket.se 8 (8)