1 Föreläsning 10 7.3.1-7.3.3, 7.3.6, 8.1.2 i Griffiths Maxwells ekvationer (Kap. 7.3) åra modellagar, som de ser ut nu, är E(r,t) = B(r,t) Faradays lag H(r,t) = J(r,t) Ampères lag D(r,t) = ρ(r,t) Gauss lag B(r,t) = 0 Flödeskonservering Maxwell insåg att dessa ekvationer inte var kompletta!! Kontinutetsekvationen J = ρ är ej uppfylld!! i ser att så är fallet genom att ta divergensen på Ampères lag. 0 = ( H) = J Motsägelse!! Det fattas en term på höger sida. Gauss lag medför ρ = D = D Modifierad (korrekt) version av Ampères lag är H(r,t) = J(r,t)+ D(r,t) Notera kopplingen mellan H- och D-fälten. Anmärkning: Den extra termen D fungerar som en strömtäthet, och kallas ofta för förskjutningsströmmen. i får Maxwells fältekvationer: E(r,t) = B(r,t) Faradays lag H(r,t) = J(r,t)+ D(r,t) Ampères (generaliserade) lag D(r,t) = ρ(r,t) Gauss lag B(r,t) = 0 Flödeskonservering
2 eller på integralform dl = LE d B ˆn d Faradays lag dt dl = I enc + LH d D ˆn d Ampères (generaliserade) lag dt D ˆn d = Q enc Gauss lag B ˆn d = 0 Flödeskonservering i har nu samtliga ekvationer för de elektromagnetiska fälten. Lösning av skenbar paradox a C I(t) d A. Ampères lag (före Maxwell) L Tidsvarierande strömkälla B dl = µ 0 I enc (t) 1. Om strömmen beräknas genom "plana ytan" I enc (t) = I(t), vilket leder till ett konsistent resultat 2. Om vi istället väljer en yta genom kondensatorn (ingen ström korsas!) blir I enc (t) = 0, vilket leder till en motsägelse, eftersom tangentlinjeintegralen av B är skild från noll B. Ampères lag (Maxwell) B dl = µ 0 I enc +ε 0 µ 0 L ˆn d Det elektriska fältet utanför kondensatorn är försumbart, E 0. Inuti kondensatorn gäller E(t) = ρ (t) ε 0 = Q(t) ε 0 A (t) = 1 Q(t) ε 0 A = I(t) ε 0 A
3 eftersom strömmen I(t) = dq dt. 1. Om strömmen beräknas genom "plana ytan" µ 0 I enc +ε 0 µ 0 ˆn d = µ 0 I(t) }{{} 0 2. Om vi istället väljer en yta genom kondensatorn (ingen ström korsas!) blir µ 0 I }{{} enc +ε 0 µ 0 ˆn d = ε I(t) 0µ 0 ε 0 A A = µ 0I(t) =0 Båda resultaten är nu konsistenta. Randvillkor (Kap. 7.3.6) (Randvillkoren tas upp i föreläsning 12. Där används de för att bestämma reflektion och transmission av elelktromagnetiska vågor) De till Maxwells ekvationer förenliga randvillkor blir: 1 n^ 2 1. ˆn E 1 ˆn E 2 = 0 (tangentialkomponenten av den elektriska fältstyrkan är alltid kontinuerlig) 2. ˆn H 1 ˆn H 2 = J f (tangentialkomponenten av den magnetiska fältstyrkan är diskontinuerlig med språng J f, fria ytströmmar) 3. ˆn B 1 ˆn B 2 = 0 (normalkomponenten av den magnetiska flödestätheten är alltid kontinuerlig) 4. ˆn D 1 ˆn D 2 = ρ f (normalkomponenten av den elektriska flödestätheten är diskontinuerlig med språng ρ f, fria ytladdningar)
4 Poyntings teorem (Kap. 8.1.2) Använd vektoridentiteten (E H) = ( E) H E ( H) ätt in Faradays och Ampères lagar (index f slopas) (E H) = B H E Antag, linjärt, isotropt (µ, ε konstanta) material, dvs. { D = εe Detta leder till B = µh (E H) = µ H H }{{} = 1 2 (H H) ( J f + D ) ǫ E }{{ } = 1 2 (E E) E J f = 1 2 (B H +D E) E J f Här är J f den fria strömtätheten. Antag en volym som omsluts av en yta med utåtriktad normal ˆn. Integrera uttrycket ovan över volymen. ^n Resultatet blir E J f dv+ d 1 (B H +D E) dv+ (E H) dv dt 2 }{{}}{{}}{{} Tolkning: term 1 term 2 term 3 = 0 (0.1)
5 Term 1 Denna term E J f dv visade vi tidigare var effektutvecklingen P, som det elektriska fältet utför på de fria laddningsbärarna (jfr P = RI 2 ) Term 2 Denna term är tidsderivatan av den energi som är upplagrad (bunden) i de elektriska och magnetiska fälten, dvs. dw em = 1 d (B H +D E) dv dt 2dt där W em = 1 2 (B H +D E) dv Term 3 Ny term relaterad till strålning. Divergenssatsen ger (E H) dv = (E H) ˆn d = effekten som försvinner ut ur ytan Effekten "bärs" av fälten E och H som växelverkar. Effektbalans: Effektutveckling + d (elektrisk och magnetisk energi)+utstrålad effekt = 0 dt Definition: Poyntings vektor (r, t) = E(r, t) H(r, t) anger effektflödestätheten (effekt per ytenhet) till både storlek och riktning, som det elektromagnetiska fältet för med sig. Kommentar: Griffiths härleder Poyntings teorem i avsnitt 8.1.2. I sin version av teoremet har han den totala strömtätheten J och den upplagrade elektromagnetiska energitätheten u em = 1 ) (ε 0 E 2 + 1µ0 B 2. Det är ingen konflikt mellan Griffiths 2 relation och (0.1). killnaden ligger i definitionerna av upplagrad energitäthet och effektförluster. Termen J f E är den effekt som övergår i värme medan J E är effekten som fältet ger till både de fria och bundna laddningsbärarna.