5 augusti 23 Sammanfattning 1 (11) Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Besöksadress: MIC hus 2, Polacksbacken Lägerhyddsvgen 2 Postadress: Box 337 751 5 Uppsala Telefon: 18 471 (växel) Telefax: 18 52 3 49 Hemsida: http://www.it.uu.se Department of Information Technology Scientific Computing Visiting address: MIC bldg 2, Polacksbacken Lägerhyddsvgen 2 Postal address: Box 337 SE-751 5 Uppsala SWEDEN Telephone: +46 18 471 (switch) Telefax: +46 18 52 3 49 Web page: http://www.it.uu.se Block 1 Teknisk databehandling DV1 vt 23 Flyttal Ett realtal representerat på formen, med begränsat antal siffror i, samt begränsad storlek på Mantissa Bas (ovan) (ovan) Exponent (ovan) Precision I detta sammanhang: det antal siffror som mantissan representeras med Maskinepsilon Minsta så att Normalisering Villkoret Hidden bit normalization När innebär normaliseringen att den inledande biten i mantissan är 1. Den behöver då inte lagras. Därmed får man plats för en extra bit i slutet av mantissan. Detta kallas hidden bit normalization. Absolut fel (det är också vanligt att definiera felet utan absolutbelopp, samma gäller relativt fel nedan) Relativt fel Korrekta decimaler korrekta decimaler i :! "$#&%('*)+,#.-./ Kancellation Förlust av inledande signifikanta siffror (inträffar vid subtraktion mellan jämnstora tal, leder till stort relativt fel) Kondition Störningskänslighet hos matematiskt problem (man talar om illa-konditionerade respektive välkonditionerade algoritmer) Stablititet Störningskänslighet hos algoritm (man talar om instabila respektive stabila algoritmer) Underflow Uppstår vid flyttalsrepresentation av tal vars belopp är mindre än till beloppet minsta normaliserade flyttalet. Overflow Uppstår vid flyttalsrepresentation av tal vars belopp är större än största flyttalet.
2 (11) Sats om att relativa felet i normaliserade flyttalsrepresentationen är högst maskinepsilon Medelvärdessatsen Taylors formel, taylorutveckling Tumregel: undvik subtraktion mellan jämnstora tal (för att undvika kancellation) Tumregel: Undvik att addera tal av mycket olik storlek (det mindre talet Block 2 avrundas bort ) Iterativ metod Algoritm som givet en startgissning genom successiva iteration åstadkommer en i bästa fall successivt förbättrad approximation av lösningen till problemet, s.k. konvergens. Lineär konvergens Felet minskar med en konstant faktor i varje iteration Kvadratisk konvergens Felet ungefär kvadreras i varje iteration (innebär att antal korrekta decimaler ungefär fördubblas) Linearisering Ett icke-lineärt problem ersätts av ett lineärt Fixpunktsiteration Iterativ metod på formen 132,46587 :9<; =132,7?> Feluppskattning a priori Feluppskattning på förhand, d.v.s. uppskattning som endast utnyttjar sådan information som finns tillgänglig innan iterationsprocessen påbörjas. Feluppskattning a posteriori Feluppskattning i efterhand, d.v.s. uppskattning som utnyttjar information om resultat av iterationsprocessen. Multiplicitet hos nollställe till funktion. Om funktionen själv och alla dess derivator upp till :a derivatan har som nollställe, så sägs vara ett nollställe av multiplicitet Noggrannhet hos approximativ lösning. Ett mått på hur väl lösningen approximeras, uttryckt i t.ex. absolut eller relativt fel Intervallhalveringsmetoden, som även kallas bisektionsmetoden Newton-Raphsons metod Härledning av Newton-Raphsons metod Feluppskattning a priori för bisektionsmetoden
3 (11) Feluppskattning a posteriori för bisektionsmetoden Metodoberoende feluppskattning, inklusive uppskattning av inverkan från avrundningsfelen i flyttalsräkningarna Bevis av kvadratisk konvergens hos Newton-Raphsons metod Bevis av lineär konvergens för allmän fixpunktsiteration Stoppvillkor för bisektionsmetoden Stoppvillkor för Newton-Raphsons metod Villkor för konvergens hos fixpunktsiteration Sats om val av startgissning för garanterad konvergens hos fixpunktsiteration Block 3 Matematisk modell Matematisk beskrivning av något fenomen inom t.ex. naturvetenskapen Differentialekvation Ekvation som innehåller derivator Ordinär differentialekvation Differentialekvation där det bara förekommer derivator med avseende på en viss oberoende variabel, t.ex. derivator m.a.p. tiden Partiell differentialekvation Differentialekvation där det förekommer derivator m.a.p. flera oberoende variabler, t.ex. derivator m.a.p. tiden och rummet Ordning hos ODE Om derivator upp till @ :te derivatan förekommer i ekvationen, så sägs den vara av ordning @ Diskretisering Att kontinuerliga variabler, t.ex. tiden, ersätts av diskreta punkter och att kontinuerliga operatorer, t.ex. derivator, approximeras med operatorer som bara utnyttjar de diskreta punkterna Explicit metod En numerisk metod för lösning av ODE sägs vara explicit om lösningsvärdet i punkt nummer @ ges av en explicit formel i termer av redan beräknade lösningsvärden i punkt nummer @A, @A, etc. Implicit metod En numerisk metod för lösning av ODE sägs vara implicit om formeln för lösningsvärdet i punkt nummer @ utgör en ickelineär eller lineär algebraisk ekvation, så att man för att bestämma lösningsvärdet måste lösa denna ekvation Runge-Kutta-metoder En typ av numeriska metoder för lösning av ODE Prediktor-korrektor-metoder En typ av numeriska metoder för lösning av ODE
4 (11) Konsistens En diskret approximation (numerisk metod) sägs vara konsistent med en viss ODE, om denna ODE är gränsvärdet för approximationen då diskretiseringsparametern B går mot noll Trunkeringsfel Felet i den diskreta approximationen Lokalt trunkeringsfel Det lokala fel som uppstår i ett steg med den numeriska metoden Noggrannhetsordning Om det lokala felet är C ; BDE465F> sägs den numeriska metoden ha noggrannhetsordning G Stabilitet En numerisk metod för lösning av ODE kan vara stabil för tillräckligt små B men instabil för större B Stabilitetsvillkor Ett villkor som säger att den numeriska metoden är stabil för BH$BJI, annars instabil Eulers framåtdifferensmetod Eulers bakåtdifferensmetod Trapetsformeln Heuns metod Omskrivning av andra ordningens ODE som system av första ordningens ODE Analys av konsistens och noggrannhetsordning m.h.a. taylorutveckling Block 4 Kvadratisk matris Matris med lika många rader som kolonner Enhetsmatris Kvadratisk matris K, sådan att elementen på huvuddiagonalen är ett, övriga element är noll, vilket medför att matris-vektor-multiplikationen K+ ger resultatet Triangulär matris Matris sådan att endast elementen på ena sidan om huvuddiagonalen är nollskilda Övertriangulär matris Triangulär matris där elementen ovanför huvuddiagonalen är nollskilda Undertriangulär matris Triangulär matris där elementen nedanför huvuddiagonalen är nollskilda Bandmatris Matris sådan att endast elementen i ett band runt huvuddiagonalen är nollskilda; bandet utgörs av ett antal diagonaler ovanför respektive nedanför huvuddiagonalen
5 (11) Bandbredd Det antal diagonaler som utgör bandet i en bandmatris Pivotelement De matriselement som man dividerar med vid gausseliminering Pivotering Byte av ordningen mellan rader och/eller kolonner i en matris, för att åstadkomma att pivotelement har större belopp än de matriselement som divideras med dessa. Syftet med pivotering är att göra gausselimineringen stabil Permutationsmatris Matris som har precis en etta i varje rad och varje kolonn och vars övriga element är noll. Vid LU-faktorisering med radpivotering blir resultatet LNM :OP, där L är en permutationsmatris. Multiplikationen LQM innebär att raderna i M permuteras Residual Om är en approximativ lösning till MR TS, så sägs S UM vara motsvarande residual Konditionstal Konditionstalet hos matrisen M är ett mått på störningskänsligheten hos systemet MR S Bakåtsubstitution Framåtsubstitution Gausseliminering LU-faktorisering Radpivotering Tumregel: undvik explicit beräkning av MV-W5 Komplexitet hos gausseliminering: C ; @YXE> Komplexitet hos gausseliminering av bandmatris: C ;[ZQ\ @6> Komplexitet hos bakåtsubstitution respektive framåtsubstitution: C ; @ \ > Residualen är inte ett tillförlitligt mått på felet. För att få en korrekt uppfattning om felets storlek måste man även ta hänsyn till konditionstalet Block 5 Vektorrummet ] ^ Med detta avses mängden av alla vektorer som har @ stycken element, vilka samtliga är reella tal. De grundläggande räkneoperationerna i ] ^ är addition mellan vektorer samt multiplikation mellan skalär och vektor Lineär operation Operationen 9 69_;[c > sägs vara lineär om 9_;a` <b dc > e`69_; f>b
6 (11) Lineärkombination Ett uttryck på formen g 5ih"5 b%,%,%jb$glk h k, där gfm är skalärer och h m vektorer Underrum till ]n^ En delmängd o element ur o tillhör o till ]n^, sådan att varje lineärkombination av Kolonnrum Spänns upp av matrisen M :s kolonner. Betecknas p ; M>. Nollrum Det rum som utgörs av alla vektorer för vilka MR q #. Betecknas ; M>. #. Be- Radrum Spänns upp av matrisen M :s rader. Betecknas p ; MNrY>. Vänsternollrum q Det rum som utgörs av alla vektorer för vilka M r tecknas ; M r >. Existens av lösning Det finns minst en lösning till Ms S. Entydighet hos lösning Det finns högst en lösning till Ms S. Grundvariabler De variabler i en vektor som motsvarar positionerna för pivotelementen i den Gausseliminerade matrisen. Fria variabler De variabler som inte är grundvariabler. Kan väljas som man vill. Underbestämt system Färre ekvationer än obekanta. Överbestämt system Fler ekvationer än obekanta. Partikulärlösning En lösning D så att MR D S. Homogen lösning En lösning ft så att Msut #. Rang Antalet lineärt oberoende kolonner respektive rader. Lineärt beroende En uppsättning vektorer sägs vara lineärt beroende om minst en av dessa vektorer kan uttryckas som lineärkombination av de andra Lineärt oberoende En uppsättning vektorer sägs vara lineärt oberoende om ingen av vektorerna kan skrivas som en lineärkombination de andra Spänna upp vektorrum Om varje vektor h i ett vektorrum o kan skrivas som en lineärkombination av h 5wv %,%,% v h k, så sägs h 5wv %,%,% v h k spänna upp o Bas En uppsättning vektorer som är lineärt oberoende och spänner upp ett vektorrum o sägs utgöra en bas för o Dimension Det antal vektorer som varje bas till vektorrummet måste innehålla kallas vektorrummets dimension Fundamentala underrum förknippade med matrisen Mxp ; M> q, ; M*>, p ; q M r >, ; M r >.
7 (11) Operationer i ] ^ Lösning av allmänt ekvationssystem Ms S (M, zy @ -matris) Hur man finner bas för de olika fundamentala underrummen Algebrans fundamentalsats, del 1 Konstruktion av transformationsmatriser Block 6 Ortogonalitet Två vektorer är ortogonala mot varandra ifall de är vinkelräta mot varandra Ortogonalitetsvillkoret Om r cv # så är ortogonal mot c (betecknas!{ c ) Ortonormal bas En bas är ortonormal ifall basvektorerna är ortogonala mot varandra och längden på basvektorerna är ON-bas Förkortning för ortonormal bas Ortogonala underrum Två underrum är ortogonala mot varandra ifall varje vektor i ena underrummet är ortogonal mot alla vektorer i det andra underrummet Ortogonala komplementet till ett underrum o Det underrum i ] ^ som utgörs av samtliga vektorer som är ortogonala mot o Minsta kvadratanpassning Att hitta den vektor i ett kolonnrum som är närmast en given vektor, mätt i euklidisk vektornorm Ortogonal projektion av vektor på linje Den ortogonala projektionen av en vektor på en linje ges av G u;} r S >~ ;} r > Ortogonal projektion av vektor på kolonnrum Den ortogonala projektionen av en vektor på ett kolonnrum ges av G M ; MrdM> -W5 Mr S Minsta kvadratlösning Minstakvadratlösningen är x; M*rdM> -W5 Mr S Om dim b dim dim för hela rummet samt och är ortogonala underrum till varandra så är en bas för b en bas för en bas för hela rummet. Då kan en given vektor i rummet skrivas som en summa av en vektor ifrån och en vektor från. Algebrans fundamentalsats, del 2 Normalekvationerna Gram-Schmidts ortonormaliseringsprocess
8 (11) Matrisen A:s QR-faktorisering kan användas för att lösa normalekvationerna Block 7 Determinant Determinanten av en matris är ett skalärt värde som betecknas det ; M>. Egenvärde Lösning till karakteristiska ekvationen det ; Mƒ.K"> #. Egenvektor En basvektor i q ; M:.K"> där är ett egenvärde till matrisen M. Egenrum q ; M: JK&> där är ett egenvärde till matrisen M. Diagonaliserad matris En matris kan diagonaliseras ifall!-w5im ˆ där kolonnerna i är M :s egenvektorer och ˆ är en diagonalmatris med M :s egenvärden på huvuddiagonalen. Markovprocess En beskrivning av hur en process varierar mellan ett antal givna tillstånd. Beskrivs av 2Š465 MR. Kännetecken för en Markovprocess är 2 att summan i varje kolonn av A är, alla matriselementen är positiva och att steg Qb: enbart beror av steg. Singulär matris har det ; M> # det ; Triangulär matris> produkt av huvuddiagonalelementen det ; MŒ > det ; M> det ; ŒV> Utveckling av determinant efter kolonn Egenvärden och egenvektorer karakteriserar hur matrisen A fungerar som transformation Diagonala och triangulära matriser har egenvärden på huvuddiagonalen. En diagonal matris har koordinatvektorerna som egenvektorer A symmetrisk Ž A har reella egenvärden och ortogonala egenvektorer Spektralsatsen q ; M: JK&> är invariant Beräkning av M*2 när M är diagonaliserad Jämviktsläge i Markovprocesser ges av egenvektorn motsvarande egenvärdet
^ ^ c 2 O 2 9 (11) Block 8 Interpolation En metod för att bstämma en funktion som går genom interpolationspunkterna ; m c v m > för # v v %,%,% v @. Kan ses som ett specialfall av minsta kvadratapproximation (fallet kvadratisk matris). Polynom-interpolation Att anpassa ett polynom på formen L ; f> 2, f 2 2 till interpolationspunkterna. Fördel: C ; @6> att evaluera polynomet. Nackdelar: C ; @=Xw> att hitta koefficienterna. Illa-konditionerad matris. Vandermonde-matris Den illa-konditionerade matris som fås vid polynom-interpolation Lagrange-interpolation Att bestämma ett polynom på formen L ; W> e 2, f till interpolationspunkterna. O ; 2 f> är Langrage-polynomen som har egenskapen att O ; 2 2 > medan O ; 2 m > # då A. Fördel: Trivialt att hitta koefficienterna ( c ). Nackdelar: 2 C ; @ \ > att evaluera polynomet. Svårt att ta fram det riktiga polynomet. Newton-interpolation Att bestämma ett polynom på formen L ; f> M bm ; 5 Y >EbA%,%,%ab_M ; ^ > %,%,% ; ^ -W5 > till interpolationspunkterna. Fördelar: C ; @6> att evaluera polynomet. Enkelt att lägga till nya punkter. Nackdel: C ; @ \ > att ta fram koefficienterna. Dock billigare än polynom-interpolation. Horner s schema Metod för att evaluera polynom. Fungerar även för polynom på Newton-interpolationform. Bygger på en faktorisering av polynomet. Runges fenomen Högt gradtal på interpolationspolynomet kan leda till kraftiga oscillationer mellan interpolationspunkterna, speciellt om avståndet mellan x-värdena är ekvidistant. Styckvis interpolation Ett sätt att undvika Runges fenomen genom att definera olika polynom på olika delintervall. Styckvis lineär interpolation Funktionen approximeras av en rät linje mellan två granninterpolationspunkter. Nackdel: Kantigt. Styckvis kvadratisk interpolation Tre grannar används till att approximera funktionen med ett andragradspolynom. Nackdelar: Kräver två intervall. Ingen kontroll på derivatan. Styckvis kubisk Hermite interpolation Använder funktionsvärdena samt funktionens derivator i interpolationspunkterna för att approximera funktionen med ett tredje-gradspolynom i varje delintervall. Nackdel: Ser inte snyggt ut pga diskontinuerlig andraderivata. Styckvis kubisk spline interpolation Använder funktionsvärdena samt kräver kontinuerlig första- och andraderivata i de inre punkterna för att approximera funktionen med ett tredje-gradspolynom i varje delintervall. Kräver ytterligare villkor. Används t ex vid kurvrepresentation och i CAD-program. Interpolationsvillkor Kravet att interpolationsfunktionen ska anta funktionsvärdena i interpolationspunkterna ; f>
1 (11) Kontinuitetsvillkor Kraven att interpolationsfunktionen ska ha kontinuerlig förstaoch andraderivata i de inre interpolationspunkterna för splines Kompletta splines Splines med funktionens derivator i ändpunkterna definerade Naturliga splines Splines med andraderivatorna i ändpunkterna # Not-a-knot splines Splines med kravet att tredjederivatan ska vara kontinuerlig i de två punkterna närmast innanför ändpunkterna Entydighet hos interpolationspolynomet Interpolationsfelet Genomförande av newton-interpolation Block 9 Primitiv funktion En funktion 9_; f> är en primitiv funktion till ; W> om 9Vš ; f> ; W>. Partiell integration Analytiskt trick för att beräkna en integral. Variabelsubstitution Analytiskt trick för att beräkna en integral. Trapetsformeln Ger en approximation till en integral genom formeln œy ž ; W>?Ÿ B ; ;} >6b ;} bbu>db ;} b B >6b:%,%,%jb ;} b ; @Hƒ E> B >db$ ;as >~>~. Där B x;as >~ @ är steglängden. Simpsons formel Ger en approximation till en integral genom formeln œ ž ; f>? + B ; ;} >6b + ;} bbu>db ;} b B >6b:%,%,%jb + ;} b ; @Hƒ E> B >db$ ;as >~>~j. Där B x;as >~ @ är steglängden. Richardsonextrapolation Uttnyttjar att det är känt hur felet beter sig när B # för att förbättra det numeriska värdet på en approximation. Rombergs metod Utnyttjar succesiva Richardsonextrapolationer på integralvärden beräknade med trapetsmetoden och olika steglängder för att få fram exaktare värde på integralen. Generaliserade integraler En integral med oändligt integrationsintervall. Kan beräknas numeriskt genom att integralen delas upp i ett ändligt och ett oändligt intervall, där integralen på det oändliga intervallet har så litet värde att det totala felet blir mindre än det eftersträvade felet.
11 (11) Resttermen för trapets r ; Bu> sb \ ;as > š ša;}ª >~". Resttermen för Simpson Q«; B > RB ;as > 61 7 ;}ª >~" w j#. Totalt fel Resttermen wb ;as >. Tredjedelsregeln, femtondelsregeln, %,%,%. Trapets b Richardsonextrapolation Simpson. r ; Bu>~ ± : r ; B > ;³² ; Bu >µ ²±; B >~>~j. «; Bu>~" w : «; Bu >n ; ; B >n ; B >~>~" w'.