Till oändligheten, och vidare!

Räddningsgymnasiet Sandö Gymnasiearbete Handledare: Jonas Gerdin Rägy 11 - VT 2014 Till oändligheten, och vidare! En studie av oändligheten ur ett matematiskt perspektiv Elsa Kågström

Sammanfattning Denna rapport innefattar en studie av oändligheten från ett matematiskt perspektiv. Rapporten fokuserar på bevisning av olika oändliga mängders storlekar med hjälp av begrepp som kardinalitet, injektiva, surjektiva och bijektiva funktioner. Genom Cantors kontinuumhypotes visar jag på de olika storlekarna av de oändliga mängderna heltalen, de rationella talen samt de reella talen. Dessutom berörs addition samt subtraktion med den uppräkneliga oändliga mängden. Vidare behandlar rapporten även hur oändliga mängder kan konstrueras med hjälp av delmängder. Slutligen diskuterar jag även konsekvenserna av ett potentiellt oändligt universum. Studien av oändligheten har skett genom att läsa andras verk samt handledning från två kunniga personer, rapporten innehåller samlad och sammanställd fakta från dessa olika källor samt egna tankar och funderingar. 2

Abstract This report includes a study of infinity from a mathemathical perspective. The report focuses on demonstrating the different sizes of various infinite sets while using cardinality, injective, surjective and bijective functions. With Cantor s continuum hypothesis I demonstrate the sizes of the infinite sets of the whole numbers, the rational numbers and the real numbers. The report shows that even numbers, odd numbers, whole numbers and rational numbers all have the cardinality aleph 0 according to Cantors continuum hypothesis while the real numbers have the bigger cardinality aleph 1. Through the paradox Hilbert s Hotel addition as well as subtraction with the countable infinite sets is explained. Furthermore the report also explains the infinite number of infinite sets that can be constructed by using subsets and how thus higher aleph cardinalities exist. Lastly I discuss the consequences of a potential infinite universe and how that would mean that there are lives on infinitely other places in the universe. While studying infinity I have read others works as well as gotten help from two educated persons in this section of mathematics. The report contains collected and compiled facts from these various sources as well as my own thoughs and reflections. Innehåll 3

Till oändligheten, och vidare!...1 Sammanfatning...2 Abstract...2 Innehåll...3 1.Inledning...4 1.1Teoretsk bakgrund...4 1.2 Syfe och frågeställningar...4 1.3 Metod och material...4 1.4 Avgränsning...4 2.At räkna med och jämföra ändliga och oändliga mängder...4 2.1 Matchning...4 2.2 Kardinalitet...5 2.3 At räkna med funktoner...5 2.4 Exempel...5 3. Oändliga mängder...5 3.1 Cantors Kontnuumhypotes...5 3.2 Aleph 0...5 3.3 Aleph 1...6 4. At räkna med oändligheten...6 4.1 Additon...6 4.2 Subtrakton...6 5. Oändligt många oändligheter...6 5.1 Mängder och delmängder...6 5.2 De övriga aleph-talen...6 6. Oändligheten i rymden...7 7. Diskussion...7 1.Källförteckning...7 4

4.1 Böcker...7 4.2 TV-program...7 4.3 Intervjuer...7 4.4 Foton och bilder...7 5

1. Inledning Detta arbete växte fram från något så litet som en film min mattelärare visade(how big is infinity?, Dennis Wildfogel, 2014)Filmen säger att det finns lika många heltal som jämna tal, och precis som du nog tänker nu så gick jag absolut inte med på den idéen. Det finns ju såklart dubbelt så många heltal som jämna tal! Efter att ha grävt ner mig i detta lite djupare var jag fast i denna fascinerande värld av oändligt många oändligheter som får ens hjärna att slå knut på sig själv. Och ändå har jag bara tagit ett myrsteg mot att förstå konceptet av en oändlighet, för det verkar helt enkelt vara något som vi människor inte riktigt kan uppfatta. Men jag hoppas att du som läser denna rapport också kommer att få ta det där lilla myrsteget och fastna i denna fascinerande värld. Denna rapport kommer att omfatta en förklaring av vad en oändlighet är i den mån som går med matematiken jag behärskar idag samt inom tidsramen detta arbete haft. Dessutom kommer jag att förklara hur man kan mäta en oändlighet, jämföra oändligheter och genom kontinuumhypotesen visa på några olika stora oändligheter. Vidare kommer jag att beröra oändlighetens egenskaper och vad som händer om man använder addition och subtraktion med en oändlighet. Utöver det kommer jag även berätta om hur man konstruerar oändligt många oändligheter, där varje oändlighet är oändligt större än den förra. Till slut kommer jag även att prata om oändligheten kopplat till rymden, möjligtvis det enda stället man kan hitta oändligheten i vår konkreta värld. Något man måste acceptera då man hanterar oändliga mängder är att sunt förnuft inte fungerar särskilt bra. Sunt förnuft är baserat på erfarenheter och vi har ju i princip ingen erfarenhet av oändligheter från våra liv(eriksson, Kimmo & Gavel, Hillevi, Diskret matematik och diskreta modeller, 2006, s. 255). 1.1Teoretisk bakgrund Ordet oändlighet är något vi alla är bekant med, redan vid några års ålder när man börjar räkna så förstår man att man kan fortsätta räkna i all evighet. Men själva konceptet av att något är oändligt är väldigt abstrakt i sig, det finns ju ingenting i vårt vardagliga liv som är oändligt. Inte ens om man skulle räkna alla atomer på jorden skulle de vara oändligt många, de skulle bara vara väldigt väldigt många. Ändå har oändligheten spelat en central roll i mänsklighetens historia, dels såklart i matematiken där man försökt att förstå och tolka egenskaperna hos en oändlighet, men även i vetenskapen, filosofin och religionen för att försöka svara på frågor om rymden, världens uppkomst och liv på andra planeter. I alla tider 6

har vi människor intresserat oss för det vi inte vet, och oändligheten har hjälpt oss på vägen till att hitta svaren. Även oändligheten i sig är något ovisst som matematiker intresserat sig för, och det är främst detta intresse som kommer att beröras i denna rapport. För att läsa denna rapport krävs det att du är bekant med ett antal begrepp som jag sammanställt i en lista nedan. Definitioner: - Naturliga tal: positiva heltal samt talet 0 - Heltal: positiva och negativa heltal samt talet 0 - Rationella tal: tal som kan skrivas som kvoten mellan två heltal - Irrationella tal: tal som inte kan skrivas som kvoten mellan två heltal - Reella tal: summan av de rationella och de irrationella talen 1.2 Syfte och frågeställningar Mitt syfte med detta arbete är att förstå den bas för mängdlära som Cantor byggde upp samt sådant som följer därav. Anledningen till att jag valt detta som arbete är för att jag tycker att matematik som kopplas till filosofi är något som borde beröras mer i skolan eftersom att det verkligen kan få en att utveckla egna idéer och tankar om matematiken, vilket jag hoppas att denna rapport kan komma att framkalla. Mina frågeställningar är som följer: Vad är en oändlighet, vilka former kommer dem i och vad har de för egenskaper? Hur många oändligheter finns det och hur kan man jämföra oändligheters storlekar? Hur kan man koppla oändligheten till rymden? 1.3 Metod och material För att fördjupa sig inom en nisch i matematiken är det lämpligaste sättet att läsa andras verk då man själv troligtvis inte kommer att tillföra några nya idéer såvida man inte fortsätter med mer avancerad matematik på högskola. För att genomföra mitt arbete har jag fokuserat på att använda trovärdiga källor men dessutom försökt fått en mångfald av källor för att få en större förståelse och dessutom större trovärdighet. Jag har använt mig av läroböcker som alla handlar om diskret matematik skrivna av matematiker för att få olika perspektiv och förklaringar. Dessutom har jag använt flera filmer och föreläsningar samt fått handledning av två kunniga personer inom området. 7

1.4 Avgränsning I denna rapport kommer inte hela kontinuumhypotesen och dess följder att avhandlas då den var för avancerad för det tidsintervall jag hade. Jag kommer dessutom inte att beröra viss del av räkning med den uppräkneliga oändliga mängden som multiplikation eller division samt ex. vad oändligheten upphöjt till 0 är. Inte heller kommer räkning med den överuppräkneliga oändliga mängden att beröras. 2. Att räkna med och jämföra ändliga och oändliga mängder 2.1 Matchning För att undersöka oändlighetens komplexitet krävs en förståelse för hur räkning och jämförelse av mängder fungerar. För att illustrera detta kommer jag nedan att använda mig av diverse exempel samt förklaringar för olika metoder av räkning och jämförelse av mängder. Vid räkning av antalet element i en mängd använder vi oss av s.k matchning. Låt oss säga att vi har en bonde som inte kan räkna med tal. Bonden äger får som han varje dag släpper ut ur hagen för att sedan släppa in dem igen på kvällen. För att veta att alla får är hemma i hagen på kvällen så använder bonden matchning. För varje får som går ut ur hagen så lägger bonden en sten vid grinden, och matchar alltså ihop varje får med en sten. När fåren sedan kommer in igen på kvällen tar han bort en sten för varje får som kommer tillbaka, och bonden vet på så sätt om alla får är hemma i hagen igen utan att ha räknat dem. Egentligen är det också detta vi gör varje gång vi räknar med siffror, men istället för att matcha föremålen vi ska räkna med andra föremål så matchar vi dem med siffror. Första fåret matchas med siffran 1, andra fåret matchas med siffran 2 etc. På så sätt vet vi hur många får som finns i hagen. (How big is infinity?, Dennis Wildfogel, 2014) Jämförelse av två mängder kan ske på olika sätt. Ett vanligt sätt är att räkna hur många element som finns i varje mängd och sedan se vilken av dem som har flest element. Denna metod kan dock vara alltför tidskrävande vid stora mängder. Vid stora och oändliga mängder använder man istället matchning. Man matchar ihop varje element i den ena mängden med ett, och endast ett, element i den andra mängden och skapar därmed ett par. På så sätt kommer vi att se om mängderna är lika stora, likmäktiga, eller om någon av mängderna har fler element. Detta använder man ofta i verkliga livet, säg exempelvis att vi har en mängd stolar och en mängd barn, och vi vill veta vilken mängd det är mest av. Istället för att räkna stolarna respektive barnen så ber vi alla barn att sätta sig på varsin stol. Om det blir stolar över så finns 8

det fler stolar, om vissa barn inte får någon stol så finns det fler barn, och om varje barn får en stol var så är mängderna lika stora. På detta sätt kan vi alltså jämföra mängder utan att räkna elementen i dem. (How big is infinity?, Dennis Wildfogel, 2014) 2.2 Kardinalitet Ett av de mest centrala begreppen i läran om oändligheten är kardinalitet. Kardinalitet är något förenklat uttryckt ett mått på hur stor en mängd är och betecknas med absolutbelopp eller card. Exempel: Mängden X består av elementen [A, B, C, D] Card(X) = 4 eller X = 4 Kardinaliteten av en mängd är användbart då man vill jämföra två oändliga mängder. Med hjälp av kardinalitet kan vi jämföra oändliga mängders storlekar och det är detta kontinuumhypotesen som matematikern Cantor formulerade baseras på. Georg Cantor var en tysk matematiker som gav oss en helt annan bild av oändligheten. Cantor kategoriserade in olika oändliga mängder enligt storlek med hjälp av att räkna ut deras kardinalitet. Med hjälp av kontinuumhypotesen kommer jag att bevisa att antalet hela tal är lika många som antalet jämna tal, men att det däremot finns oändligt många fler decimaltal än antalet hela och jämna tal. (Björn, Anders & Turesson, Bengt Ove, Diskret Matematik, 2001, s. 139) 2.3 Att räkna med funktioner Vid jämförelse av två mängder med hjälp av matchning och kardinalitet så använder man bijektiva, surjektiva och injektiva funktioner. För att förklara dessa tre typer av funktioner kommer jag att använda jag mig av en mängd A, definitionsmängd, och en mängd B, värdemängd. Vi ska nu undersöka vilken av dessa mängder som är störst genom att matcha element i A till elementen i B. Vi skapar alltså en funktion f:a B. Låt oss säga att elementen i B vid denna matchning tar slut innan alla element i A har matchat till ett element i B. Det innebär att något eller några element i A måsta matcha till samma element i B och att A alltså har fler element(se fig.1). Om detta sker så är funktionen surjektiv. I en surjektiv funktion så kan alltså elementen i värdemängden bli matchat till mer än en gång. Kravet för en surjektiv funktion är att för varje element i B så finns ett element i A d.v.s. alla element i värdemängden är matchade till minst ett element i definitionsmängden. Om f:a B är surjektiv så är A B (Stefan Borell, 2013) 9

Surjektiv funktion: Fig. 1 Om motsatsen sker och elementen i A tar slut då ett eller flera element i B inte blivit matchade till bildas en injektiv funktion. I ett injektiv funktion kan det finnas element i värdemängden som inte blir matchade till(se fig.2). Kravet för en injektiv funktion är att för varje element som tillhör A så finns ett element i B. Varje element i definitionsmängden matchas alltså till ett, och inte mer än ett, element i värdemängden. Om f:a B är injektiv så är B A (Stefan Borell, 2013) Injektiv funktion: Fig. 2 Då mängderna A och B är lika stora, så finns vid matchning från A till B ett element i A för varje element i B och vice versa(se fig.3). I detta fall bildas en bijektiv funktion mellan mängderna. I en bijektiv funktion blir alltså inget element i värdemängden inte matchat till 10

alls eller matchat till mer än en gång. Detta betyder att en bijektiv funktion är både injektiv och surjektiv. Definitionen av att två mängder har samma kardinalitet är att en funktion som skapas mellan de två mängderna är bijektiv. A och B har alltså samma kardinalitet om A = B då funktionen f(a) B är bijektiv. Bijektiv funktion: Fig. 3 I exemplet ovan då vi jämförde stolar och barn så var det faktiskt detta vi gjorde, vi konstruerade funktionen sitter-på från mängden barn till mängden stolar. När denna funkton är injektiv får alla barn minst en stol var, när funktionen är surjektiv så får alla stolar minst en barn var, och är funktionen bijektiv så finns det alltså lika många av vardera sorten. (Eriksson, Kimmo & Gavel, Hillevi, Diskret matematik och diskreta modeller, 2006, s. 255) 2.4 Exempel Genom att använda matchning, kardinalitet samt injektiva, surjektiva och bijektiva funktioner kan vi nu visa på att olika oändliga mängder är lika stora. Ett exempel på två lika stora oändliga mängder är de udda talen och de jämna talen. Med logiskt tänkande kan man komma fram till att eftersom att hälften av alla tal är udda och hälften är jämna så måste de vara lika många. Men att mängderna är lika stora kan också bevisas på ett mer matematiskt sätt. Detta görs genom att konstruera två olika listor med de två mängderna, där alla element i vardera mängd finns med någonstans på listan. Genom att skriva mängderna i storleksordning vet vi att alla tal som ingår i mängden har sin plats någonstans på listan. Därefter skapas en funktion från de udda talen till de jämna talen där varje element i den första mängden matchas ihop med ett element i den andra mängden längs hela listan. Eftersom att varje element i den udda mängden matchas till ett, och inte mer än ett, element i den jämna mängden så är funktionen bijektiv vilket betyder att mängderna är lika stora och har samma kardinalitet. 11

1 3 5 7 9 etc.. 2 4 6 8 10 (Crilly, Tony, Matematik- vad som är värt att veta, 2012, s. 29) Vidare kan man med denna metod även bevisa att de udda talen och heltalen är lika stora oändliga mängder. Med fortsatt logiskt tänkande så stämmer detta inte, då de udda talen ju bara borde vara hälften så många som heltalen. Men logiskt tänkande fungerar som sagt vanligtvis inte då man handskas med oändligheten. Istället måste frågan tolkas matematiskt. Som förut så kan detta bevisas genom att konstruera två listor med de två mängderna, även här i storleksordning för att veta att alla element i mängderna finns med någonstans på listan. Genom att skapa en funktion där alla element i mängden med udda tal matchas till mängden med heltal ser vi att de stämmer överens i en en-till-en korrespondens. Funktionen är då bijektiv, mängderna lika stora och har därmed samma kardinalitet. 1 3 5 7 9 etc.. 1 2 3 4 5 (Crilly, Tony, Matematik- vad som är värt att veta, 2012, s. 29) Med hjälp av matchning, kardinalitet samt bijektiva funktioner har vi nu bevisat att mängderna hela tal, jämna tal och udda tal är lika stora. Exempel på andra oändliga mängder med samma kardinalitet är primtalen och bråktalen. 3. Oändliga mängder Enkelt uttryckt är oändligheten konceptet av obegränsning och obundenhet i stolek, antal eller utrsträckning. En mängd vars kardinalitet ej är ett ändligt nummer är en oändlig mängd. 3.1 Cantors Kontinuumhypotes I Cantors kontinuumhypotes använder Cantor räknebegrepp enklare än de vi använder till vardags, ex. matchning istället för räkning med siffror. I teorin har Cantor använt kardinalitetsbegreppet för att jämföra storleken på oändliga mängder och sedan dela in dem i kategorier. Den mest kända kategorin är aleph 0 dit exempelvis de naturliga talen ingår. Sedan fortsätter det med aleph 1, aleph 2 etc. Kontinuumhypotesen säger att det inte finns 12

någon mängd vars kardinalitet strikt ligger mellan aleph 0 och aleph 1. Nedan kommer jag att bevisa hur några olika oändliga mängder har kardinaliteten aleph 0 respektive aleph 1. (Crilly, Tony, Matematik- vad som är värt att veta, 2012, s. 28, s. 75) 3.2 Aleph 0 Cantor började med att benämna kardinaliteten för de naturliga talen som aleph 0. Alla mängder vars kardinalitet överensstämmer med de naturliga talen har därmed också kardinaliteten aleph 0. Ovan kom vi till slutsatsen att de naturliga talen och de udda talen är lika många. Detta betyder alltså att de naturliga talen, de jämna talen och de udda talen alla har kardinaliteten aleph 0. Genom att betecka de udda talen som U och de jämna talen som J kan vi med matematiskt språk skriva: card(n) = card(u) = card(j) = aleph 0. Alla mängder med kardinaliteten aleph 0 kallas för uppräkneliga oändliga mängder. En uppräknelig oändlig mängd innebär att elementen i mängden kan ordnas i en lista enligt ett system då inget element i mängden blir utelämnat. Listan över udda tal kan enkelt skrivas ner genom att ordna talen i storleksordning: 1, 3, 5, 9 etc Alla element i mängden udda tal kommer att ha en plats i denna oändligt långa lista. Nedan kommer jag att undersöka vilken kardinalitet de rationella talen har. Intuitivt borde de rationella talen vara fler än de naturliga talen eftersom att de naturliga talen bara är en delmängd av bråktalen. Men som sagt innan så är begreppet fler oklart när man handskas med oändliga mängder. För att undersöka de rationella talens kardinalitet matematiskt undersöker man om det går att skapa en lista av de rationella talen där alla element i mängden finns med någonstans i listan. Om detta går kommer de rationella talen vara en uppräknelig oändlig mängd och därmed ha kardinaliteten aleph 0. Att ordna listan enligt storlek är omöjligt eftersom att man inte kan benämna det bråk som är närmast noll. Istället konstrueras en tvådimensionell lista med en vågrät rad med alla heltal samt en lodrät rad med alla heltal. Genom att röra sig diagonalt längs tabellen skapas en lista där alla rationella tal kommer att finnas med någonstans: 13

Fig. 4 Därefter skapas en funktion från denna lista till listan med naturliga tal. Denna funktion kommer att vara bijektiv och därmed är mängderna lika stora vilket betyder att även de rationella talen har kardinaliteten aleph 0. 1/1 1/2 2/1 1/3 2/2 etc.. 1 2 3 4 5 (Taming Infinity, Manil Sura, UMBCtube, 2014) 3.3 Aleph 1 För att fylla en tallinje måste både de rationella och de irrationella talen användas. Dessa två tillsammans kallas för de reella talen. Man kan även kalla detta för ett kontinuum då det ger tallinjen en kontinuitet d.v.s det finns inga glapp längs linjen. Nedan kommer jag att undersöka vilken kardinalitet de reella talen har. Genom att försöka skapa en lista med de reella talen där alla element i mängden finns med någonstans på listan kan vi avgöra om de reella talen är en uppräknelig oändlig mängd och därmed har kardinaliteten aleph 0. (Taming Infinity, Manil Sura, UMBCtube, 2014) Cantors diagonalbevis visar att de reella talen inte är en uppräknelig oändlig mängd. Cantor försökte lista alla reella tal mellan 0 och 1(bara däremellan finns oändligt många) och 14

upptäckte att detta var omöjligt. Låt oss säga att vi inte tror på Cantor och vi gör en lista på alla reella tal mellan 0 och 1. Vi får då en oändligt lång lista där varje tal uttrycks med oändligt många decimaler(på de tal med ändlig decimalutveckling lägger vi på oändligt många nollor i slutet). Ex: Tal 1: 0,500000000000.. Tal 2: 0.33333333333. Tal 3: 0.472638746283.. Osv i all oändlighet. Cantors diagonalbevis säger att man alltid kan hitta ett tal som inte finns med i listan. Det man gör är att man konstruerar ett nytt tal vars första decimal skiljer sig från första decimalen i det första talet. I detta fall skulle vi alltså börja med ex. 0.6. Det betyder att det nya talet inte är samma som första talet i vår lista. Den andra decimalen i vårt nya tal skiljer sig från den andra decimalen i det andra talet. I detta fall skulle vi fortsätta med ex. 0.64. Det betyder att talet inte kan vara likadant som det andra talet i vår lista. Genom att fortsätta så längs hela listan konstrueras ett nytt decimaltal mellan 0 och 1 som omöjligt kan finnas med på listan. Dessutom så kan man vid varje val av en decimal som skiljer sig från decimalen hos siffran i listan välja mellan 9 olika siffror. I vår lista är första talets första decimal 5, vi kan ju då välja alla nummer från 0-9 förutom 5 att sätta in i vårt nya tal. Och så kan man göra vid varje ny decimal, så det visar sig att det inte bara finns ett tal som inte är med i listan; det finns oändligt många. De reella talen är alltså oändligt många fler än de oändliga mängder som har kardinaliteten Aleph 0. (Björn, Anders & Turesson, Bengt Ove, Diskret Matematik, 2001, s. 147) De reella talen kallas för en överuppräknelig mängd, den är en större oändlig mängd än de naturliga talen och har därmed en större kardinalitet än aleph 0. Cantor formulerar då kontinuumhypotesen som säger att nästa oändlighetsnivå efter de oändligheter med kardinaliteten aleph 0 är oändligheten av reella tal. Kardinaliteten av de reella talen kallas för c(continuum) eller aleph 1. Dessutom visar det sig att kardinaliteten av de reella talen är 2 upphöjt till aleph 0, men det kommer vi att komma tillbaka till lite senare. (Stefan Borell, 2013) 15

4. Att räkna med oändligheten Detta kapitel kommer att beröra oändlighetens egenskaper, närmare bestämt addition samt subtraktion med den uppräkneliga oändliga mängden, dvs oändligheter med kardinaliteten aleph 0. För att förklara detta kommer jag att ta hjälp av en känd paradox; Hilberts Hotell. 4.1 Addition Paradoxen Hilberts Hotell skapades av matematikern David Hilbert. I paradoxen äger Hilbert ett hotell som har oändligt många rum. David Hilbert frågade sig vad som händer då hotellet är fullbokat men ännu en gäst kommer för att checka in. Man kan inte låta gästen bo i det sista rummet för det finns ju inget sista rum, och även om det fanns ett skulle ju det vara upptaget. Hilbert kom då på att genom att alla gäster flyttar till nästa rumsnummer; gästen i rum 1 flyttar till rum 2, gästen i rum 392847 flyttar till rum 392848 osv. så kan den nya gästen få plats. När alla gäster bytt rum kommer rum 1 att vara ledigt, och den nya gästen kan flytta in där. Oändligt många gäster + en gäst blir alltså fortfarande oändligt många gäster, och eftersom att det finns oändligt många rum så får ju då alla gäster plats. Vi får alltså att: Oändlighet + 1 = Oändlighet (The infinite hotel paradox, Jeff Dekofsky, 2014) I nästa steg i paradoxen så är fortfarande alla rum bokade, då oändligt många nya gäster kommer för att checka in. Hilbert kom då på att genom att alla gäster flyttar till rumsnumret som är dubbelt så stort som sitt eget så kommer de nya gästerna att få plats. Gästen i rum 1 flyttar till rum 2, gästen i rum 10 flyttar till rum 20, gästen i rum 192837 flyttar till rum 385674 osv. När alla gjort detta står alla rum med udda nummer lediga, och eftersom att antalet udda nummer är oändligt många så får de oändligt många nya gästerna plats. Oändligt många gäster + oändligt många gäster är alltså oändligt många gäster: Oändlighet + oändlighet = oändlighet. Slutsatsen som kan dras av denna paradox är att om man har X antal tal och vill addera dem med varandra och minst ett av talen är oändligt så kommer summan av talen att vara det största av talen. Om man vill göra en oändlig mängd större, så måste man addera något som är ännu större. Man lägger alltså till det som man vill att det ska bli. Jämna tal(aleph 0) + Udda tal(aleph 0) = Heltal(Aleph 0) Heltal(Aleph 0) + Reella tal(aleph 1) = Reella tal(aleph 1) (The infinite hotel paradox, Jeff Dekofsky, 2014) 16

4.2 Subtraktion Genom att fortsätta med Hilberts Hotell-paradoxen kan vi även undersöka oändligheten kopplat till subtraktion. Detta kan undersökas genom att tänka sig att oändligt många gäster nu bestämt sig för att checka ut från Hilberts Hotell. Hur många gäster finns då kvar på hotellet? Låt oss säga att alla gästerna på hotellet checkar ut, de är oändligt många. Då finns 0 gäster kvar. Så; en oändlighet en oändlighet = 0. Men låt oss istället säga att alla gäster förutom en checkar ut, det är då oändligt många gäster som checkar ut men en är fortfarande kvar. Vi får då fram att en oändlighet en oändlighet = 1. Vi provar med ett tredje exempel, alla gäster som bor i jämna rum checkar ut, då är det oändligt många som checkar ut och oändligt många kvar. Så oändlighet oändlighet = oändlighet. Slutsatsen av det hela är helt enkelt att en oändlighet en oändlighet = vad som helst. Om man tvärtom tänker sig att X antal gäster bestämmer sig för att checka ut där X är ett godtyckligt tal(x får alltså inte vara en oändlighet) så kommer det alltid finnas oändligt många gäster kvar. Vi får då fram att en oändlighet vilket tal som helst = en oändlighet. Det var matematikern Dedekind som kom på att om man tar bort ett tal från något oändligt så kommer det alltid vara en oändlighet kvar. (To infinity and beyond, BBC, 2010) 5. Oändligt många oändligheter 5.1 Mängder och delmängder Hitills har bara oändliga mängder med kardinaliteten aleph 0 samt aleph 1 berörts, nedan kommer jag att undersöka oändligheter större än aleph 1 och hur dessa kan konstrueras. Faktum är att man med hjälp av delmängder faktiskt kan skapa oändligt många oändligheter. Mängder har vi handskats med förut i rapporten, en mängd är helt enkelt en uppsättning objekt som i mängdlära kallas element. Om vi plockar ett eller flera av elementen ur mängden så får vi en delmängd. Ett tydligt exempel är de udda talen som är en delmängd till mängden av alla heltal. Till en mängd kan det alltid skapas fler delmängder än antalet element i mängden. Ex: låt oss säga att vi har en mängd A med elementen [300, 2, 43]. Vi kan då skapa 17

delmängderna [300], [2], [43], [300, 2], [300, 43], [2, 43], [300, 2, 43]. Även delmängen [ ] kan skapas, alltså den tomma delmängden. Till en mängd med tre element kan åtta delmängder skapas(2 upphöjt till 3). Om du är bekant med kombinatoriken så vet du att formeln för antalet delmängder som kan skapas till en mängd är 2 upphöjt till n där n är antalet element i den ursprungliga mängden. (Eriksson, Kimmo & Gavel, Hillevi, Diskret matematik och diskreta modeller, 2006, s. 27) Kardinaliteten av antalet delmängder som kan skapas ur en mängd ökar exponentiellt med antalet element i mängden. Låt oss säga att vi har 250 personer som står på en fotbollsplan och du får uppgiften att välja ut valfria personer ur dessa 250. Antalet sätt man kan välja ut människor ur dessa 250 personer är antalet delmängder som kan skapas till 250, d.v.s 2 upphöjt till 250. Mängden av alla delmängder som kan skapas av en mängd A kallas för A:s potensmängd och betecknas P(A). 5.2 De övriga aleph-talen Som nämnt ovan så är aleph 1 lika stort som 2 upphöjt till aleph 0. Detta innebär att aleph 1 är lika stort som potensmängden(alla delmängder) av aleph 0; Aleph 1 = P(Aleph 0) Aleph 0 anses vara den minsta storleken av en oändlighet, och genom att ta dess delmängder får vi alltså en större oändlighet. Vidare kan vi få en ännu större oändlighet genom att ta potensmängden av delmängderna av aleph 0, dvs. potensmängden av aleph 1. Denna nya, ännu större, oändlighet benämner vi aleph 2. Aleph 2 = P(Aleph 1) = P(P(Aleph 0) Genom att ta potensmängden av aleph 2 får vi en mängd med kardinaliteten aleph 3. Som man snart kan lista ut så kan man upprepa denna procedur oändligt många gånger vilket betyder att det finns oändligt många alephtal och alltså oändligt många oändligheter, varje oändlighet oändligt större än den förra. (Stefan Borell, 2013) 6. Oändligheten i rymden I dagsläget vet vi inte om rymden är oändlig eller inte. Detta kan inte avgöras då vi bara kan få information om det s.k. observerbara universum. Det observerbara universumet anses bara vara en liten del av helheten, och det är helheten som vi inte kan avgöra om den är oändlig eller inte. I århundranden har människan frågat sig om vårt universum är oändligt och vad det 18

skulle innebära om det var så. Detta kapitel kommer bara att beröra en potentiell oändlig rymd och vilka konsekvenser det skulle få om rymden är oändlig. (Institutet, P3, 2011) Sannolikheten att det finns liv på en annat planet än vår finns. Ju större yta som finns för denna sannolikhet att slå in, ju större blir chansen att den kommer att göra det. Ju fler tillfällen för sannolikheten att slå in, ju större sannolikhet att sannolikheten slår in. I ett oändligt universum kommer denna sannolikhet att slå in så småningom. Faktum är att det finns en sannolikhet att det finns en annan plats exakt likadan som jorden med människor som har samma namn, där en kopia av dig finns som läser denna rapport just i denna stund. Självklart är denna sannolikhet ofattbart liten, men i ett oändligt universum så kommer den att slå in någon gång. Det häpnadsväckande med det hela är att allt som kan inträffa, hur liten chansen än är, kommer att inträffa någonstans ute i universum. Det kommer att finnas en exakt identisk plats som jorden där du har 10 syskon, en där andra världskriget aldrig hände, en där du har på dig en tröja i en annan färg än den du har på dig nu. Faktum är att sådant som inte kan hända också har en sannolikhet att inträffa på ställen med andra naturlagar, ex. en exakt plats som jorden där människor kan flyga. (To infinity and beyond, BBC, 2010) Inte nog med att allt som har en sannolikhet att kunna inträffa kommer att inträffa i en oändlig värld. Dessa saker kommer dessutom att inträffa oändligt många gånger. Tänk dig bara, oändligt många kopior av dig ute i universum i alla former och varianter som är möjliga. Ett exempel är att tänka sig en apa som sitter och slumpmässigt trycker in bokstäver på ett tangentbord. I en oändlig värld kommer det att finnas oändligt många apor som sitter och gör exakt detta, och oändligt många av aporna kommer dessutom att slumpmässigt skriva ner ex. Hamlet av Shakespeare. Sannolikheten för detta är extremt liten, faktum är att sannolikheten för att apan kommer att skriva in 17 tecken i rad rätt är lika stor som sannolikheten att samma person vinner på lotto varje vecka i 29 000 år. Och precis som att en person som har evigt liv och spelar på lotto varje vecka så småningom kommer att vinna 29 000 år i rad så kommer det om man åker ut i ett oändligt universam att så småningom finnas en apa som råkar trycka in 17 tecken i rad av Hamlet på ett tangentbord. Problematiken med det hela är att detta skulle inträffa så otroligt långt bort från jorden att vi aldrig kan veta om det sker eller inte. Så, hur otroligt det än är så kan det finnas oändligt många kopior av dig ute i universum, frågan är om 19

vi någonsin kommer att få veta svaret på det? (To infinity and beyond, BBC, 2010) 7. Diskussion Då rapporten börjar närma sig sitt slut får vi anledning att titta tillbaka på de ursprungliga frågeställningarna för att se om målet med rapporten nåtts. Vi har kommit fram till vad en oändlighet är och hur man kan jämföra olika oändliga mängder med hjälp av kardinalitet då man skapar en bijektiv funktion mellan mängderna. Genom Cantors kontinuumhypotes har vi sett att de rationella talen är en mindre mängd än de reella talen och att oändligt många olika stora oändliga mängder kan konstureras med hjälp av delmängder. Dessutom har vi pratat om vilka konsekvenser det skulle få om universum är oändligt. Som sagt så är innehållet i denna rapport bara en pytteliten del av allt som finns att lära sig och fundera över när man handskas med oändligheten. Oändligheten är ett av matematikens största mysterier, och det är just därför som jag personligen har tyckt att det varit så häftigt att göra detta arbete. För mig har detta arbete satt igång många funderingar vilket jag hoppas att det även gjort för dig som läser detta. För dig som tyckt att denna rapport varit intressant och vill gå vidare i läran om oändlighetens mystik så föreslår jag att du undersöker Cantors kontinuumhypotes till fullo samt bevisen som senare tillkommit som bevisar att hypotesen varken kan bevisas vara sann eller falsk. Ett annat spår att fortsätta på är oändlighetens egenskaper och hur exempelvis multiplikation och division fungerar med den uppräkneliga oändliga mängden. Just det senare problemet kan man fundera över med hjälp av exempelvis denna uppgift: Min förhoppning är att du som läsare har njutit av denna läsning lika mycket som jag njutit av lärandet under mitt skrivande. Tack för mig! 1. Källförteckning 4.1 Böcker 1. Eriksson, Kimmo & Gavel, Hillevi, Diskret matematik och diskreta modeller, Studentlitteratur, Lund, 2006 20

2. Crilly, Tony, Matematik- vad som är värt att veta, Lind & Co, Kina, 2012 3. Björn, Anders & Turesson, Bengt Ove, Diskret Matematik, Matematiska Institutionen, Linköping, 2001 4.2 TV-program 1. How big is infinity?, Dennis Wildfogel, http://ed.ted.com/lessons/how-big-is-infinity, 2013-10-20 2. The Infinite Hotel Paradox, Jeff Dekofsky, http://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotelparadox-jeff-dekofsky, 2014-04-19 3. Taming Infinity, Manil Sura, UMBCtube, http://www.youtube.com/watch? v=kbs_cnhvnbe, 2007-12-17 4. To infinity and beyond, BBC, 2010-02-10 5. Institutet, P3, 2011-06-20 4.3 Intervjuer Stefan Borell, universitetslektor, Mittuniversitetet, Mittuniversitetet i Sundsvall, 2013-10-28 4.4 Foton och bilder Fig 1: Elsa Kågström Fig 2: Elsa Kågström Fig 3: Elsa Kågström Fig 4: http://www.askamathematician.com/2011/03/q-how-do-you-talk-about-the-size-ofinfinity-how-can-one-infinity-be-bigger-than-another/, 2014-04-22 21