Kerstin Hagland Ta till en tabell Tabeller används traditionellt som stöd för minnet, men de kan även utgöra ett bra verktyg vid problemlösning. Med hjälp av en tabell kan man systematiskt undersöka givna uppgifter, hitta matematiska mönster och därmed förenklingar och generaliseringar. Här presenteras några exempel på detta. Fler liknande problem återfinns på Nämnaren på nätet. Med tabell menas enligt Nationalencyklopedin en koncentrerad, överskådlig uppställning av fakta i rader och kolumner. Tabeller används till vardags exempelvis för att man ska kunna hålla reda på buss- och tågtider eller för att få en bra översikt över priser eller resultat. Ett av de första matematiska hjälpmedlen mänskligheten använde sig av var tabellen. Redan för 4 000 år sedan utnyttjade sumerer och babylonier tabeller nedskrivna på lertavlor. Tabellerna förenklade olika räkneuppgifter vid multiplikation, division, bråkräkning, beräkning av kvadratrötter och kubikrötter och mycket annat. Här är ett exempel på en sådan lertavla, en sumerisk multiplikationstabell från ca 1 900 f Kr. Än idag använder vi liknande multiplikationstabeller och vi ger våra elever i uppgift att lära sig dem utantill. Ett sätt att underlätta för eleverna är att tidigt låta dem bekanta sig med kommutativa lagen för multiplikation. Den lagen säger att det inte spelar någon roll i vilken ordning vi multiplicerar talen, resultatet blir detsamma. a b = b a I Kina får eleverna tidigt klart för sig att kommutativa lagen gäller för både addition och multiplikation. Den multiplikationstabell de kinesiska eleverna behöver memorera är därmed enklare än den våra svenska elever vanligtvis i många fall pluggar in. De hoppar helt över ettans tabell och sedan lär de sig bara de förkryssade multiplikationerna, se tabell nästa sida. Nämnaren nr 2 2010 59
2 3 4 5 6 7 8 9 2 x x x x x x x x 3 x x x x x x x 4 x x x x x x 5 x x x x x 6 x x x x 7 x x x 8 x x 9 x Det är bara 36 multiplikationer att minnas mot våra svenska elevers 81. Kanske något att ta efter? Matematik går ju mycket ut på att förenkla för sig. Tabeller kan också användas för att undersöka givna uppgifter och hitta matematiska mönster och därmed förenklingar. Här är ett exempel på ett problem med en sådan tabellösning. Kulmönster Här är ett växande mönster lagt med vita och blå kulor. figur 1 figur 2 figur 3 a) Hur många vita kulor och hur många blå kulor innehåller figur 5? b) Hur många vita kulor och hur många blå kulor innehåller figur 10? c) Hur många vita kulor och hur många blå kulor innehåller figur 20? d) Hur många vita kulor och hur många blå kulor innehåller figur n? Här är n ett godtyckligt positivt heltal. Ett sätt att lösa problemet är att sätta upp en tabell och noga och systematiskt undersöka de figurer man redan vet något om. Man ska då samtidigt försöka uttrycka det matematiska mönstret med hjälp av figurens nummer. Sedan kan man utgå från de matematiska mönstren man har hittat och enkelt lösa problemet utan att rita eller bygga figurerna. 60 Nämnaren nr 2 2010
Figur nr Antal vita kulor Matematiskt mönster Antal blå kulor Matematiskt mönster 1 1 1 2 1 2 2 4 2 2 6 2 3 3 9 3 3 12 3 4 5 5 5 = 25 5 6 = 30 10 10 10 = 100 10 11 = 110 20 20 20 = 400 20 21 = 420 n n 2 n(n + 1) Även andra typer av problem kan innehålla matematiska mönster som kan upptäckas med hjälp av en tabell. Här är ett sådant exempel. Djuren hjälps åt Tre djur hjälps åt att bära tunga. Elefanten orkar bära tre gånger så många som hästen. Åsnan orkar bära hälften så många som hästen. a) Om åsnan bär 1 säck, hur många bär de tre djuren totalt? b) Om åsnan bär 2, hur många bär de tre djuren totalt? c) Om åsnan bär 3, hur många bär de tre djuren totalt? d) Om de tillsammans ska bära 63, hur många ska åsnan bära? e) Om de tillsammans ska bära n, hur många ska var och en bära? Här är n ett godtyckligt positivt heltal. Delproblem Åsnans Hästens Elefantens Totalt antal Upptäckter av matematiska mönster a 1 2 1 = 2 3 2 1 = 6 1 + 2 + 6 = 9 b 2 2 2 = 4 3 2 2 = 12 2 + 4 + 12 = 18 Totala antalet är c 3 2 3 = 6 3 2 3 = 18 3 + 6 + 18 = 27 alltid 9 gånger större än åsnans antal. d 63 63 Då är det totala antalet 9 =7 dividerat med 9 det antal åsnan bär. e n 9 2n 9 6n 9 = 2n 3 n Åsnan bär alltid 1/9 av totala antalet. Hästen bär alltid dubbelt så mycket som åsnan. Elefanten bär alltid 3 gånger så mycket som hästen, alltså 6 gånger så mycket som åsnan. Logiska klurigheter är ännu en problemvariant som kan lösas genom en systematisk undersökning med hjälp av en tabell. Här är ett sådant exempel: Nämnaren nr 2 2010 61
Häxans kistor I häxan Hemskas skattkammare står det tre kistor på golvet. En kista innehåller gift, en annan innehåller godis, en tredje innehåller gift och godis blandat. Varje kista har en etikett där det står Gift, Godis eller Blandat. Men häxan har varit riktigt elak och satt alla etiketter fel! Din uppgift blir att sätta alla etiketter rätt. Men på varje kista sitter en jättestor, illaluktande och slemmig padda och vaktar. Varje gång man ska öppna en kista måste man tyvärr kyssa den äckliga paddan som sitter ovanpå. Då skuttar den snällt av kistan och man kan öppna och titta efter vad som ligger i kistan. Hur många paddor måste man minst kyssa för att kunna vara säker på att sätta alla etiketter rätt? Med hjälp av en tabell kan man hitta alla alternativ man kan stöta på: Om kistan är märkt kan det i den finnas Då finns i de andra kistorna Slutsatser Gift godis eller blandat blandat och gift Godis innehåller blandat och Blandat innehåller gift gift och godis Godis innehåller gift och Blandat innehåller godis Godis gift eller blandat godis och blandat Gift innehåller blandat och Blandat innehåller godis gift och godis Gift innehåller godis och Blandat innehåller gift Blandat gift eller godis godis och blandat Godis innehåller blandat och Gift innehåller godis gift och blandat Gift innehåller blandat och Godis innehåller gift Genom att följa varje möjlig väg genom tabellen upptäcker man snart att det faktiskt räcker om man tittar i en enda av kistorna. Sedan kan man tänka ut vad det finns i de andra två kistorna, eftersom alla kistor är felmärkta, ingen etikett sitter rätt. Det räcker alltså med att man pussar en enda slemmig padda. Skönt! Det finns en typ av problem där det finns många fakta att ta hänsyn till. För att få ordning på allt kan en tabell vara ett bra redskap. Här är ett sådant exempel. 62 Nämnaren nr 2 2010
Idrottsdagen 26 elever i en klass fick inför en idrottsdag välja mellan simning, cykling och promenad. 11 av dem var flickor. 14 elever valde cykling. 5 pojkar valde simning. 3 flickor och 1 pojke valde promenad. Hur många flickor valde cykling? Vi gör en tabell för att få tydlig översikt och fyller sedan i det vi fått veta: flickor 3 11 pojkar 5 1 Sedan gör vi några enkla beräkningar, t ex följande: 1) Vi tar reda på hur många pojkar det fanns i klassen: 26 11 = 15 flickor 3 11 pojkar 5 1 15 2) Vi tar reda på hur många av pojkarna som valde cykling: 15 1 5 = 9 flickor 3 11 pojkar 9 5 1 15 3) Vi tar reda på hur många av flickorna som valde cykling: 14 9 = 5 flickor 5 3 11 pojkar 9 5 1 15 Vi fyller i den nya informationen i tabellen: Nu har vi svaret på frågan: Det var 5 flickor som valde simning. Nämnaren nr 2 2010 63
Observera att man alltså inte behöver fylla i alla tomma rutor i tabellen för att få fram svaret på frågan. Men man kan ta sig till svaret på flera sätt, vilket i klassrummet kan ge upphov till en givande diskussion. Det finns förstås många fler användningsområden av tabeller i matematikundervisningen, t ex inom statistik och funktionslära, men jag nöjer mig med dessa exempel och hoppas de inspirerar till fortsatt kreativ användning av tabeller. Litteratur Butterworth, B. (1999). Den matematiska människan, Stockholm: W&W. Hedrén, R., Taflin, E. & Hagland, K. (2004). Problem med stenplattor. Nämnaren 31(3), s 12 17. Hagland, K. (2007). Rita en bild! Nämnaren 34(3), s 27 31. Lester, F. (1988). Teaching mathematical problem solving. Nämnaren 15(3), s 32 43. Schoyen Collection MS 3866. Tillgänglig 20100413 på http://www.schoyencollection.com/math.htm#3866s. 64 Nämnaren nr 2 2010