Matematikuppgifter del I, FYTA11

Matematikuppgifter del I, FYTA11 För inlämning och muntlig redovisning. 1. En viss datorskärm visar 1680 1050 bildpunkter på en bildyta vars diagonal mäter 510 mm. Bildpunkterna är lika stora i vertikal och horisontell led. Upplösning hos skärmar och skrivare anges ofta i dpi (dots per inch) som anger antalet bildpunkter per tum. En tum är definierad till att vara 25.4 mm. Beräkna bildskärmens upplösning i dpi. Som jämförelse har skrivare av kontorstyp vanligtvis en upplösning på 600 dpi. Använd endast uttryck med fullständiga fysikaliska storheter. 2. Den gravitationella attraktionskraften F mellan två sfäriskt symmetriska kroppar med massorna m och M ges av F = G mm (Ö2.i) r 2 där G är den universella gravitationskonstanten och r är avståndet mellan kropparna. a) Jordens ekvatorradie är något större än polarradien, medan tyngdaccelerationen g vid havsytan är större vid polerna än vid ekvatorn. Uppskatta g vid ekvatorn och vid polerna med hjälp av ekvation (Ö2.i). Använd endast uttryck med fullständiga fysikaliska storheter. b) Jämför reslutaten från föregående deluppgift med tabellerade värden av g och kommentera avvikelserna. Hur kan uppskattningen förbättras? Genomför eventuella förbättringar som är enkla att hantera. 3. Lös uppgift 5.1 i boken. (Funktionen tan 1 i uttryck (iv) står för atan.) 4. Utgå från föreläsningsanteckningarnas problembeskrivning av det flytande rätblocket för att återskapa och komplettera det som presenterats på föreläsningen. a) Återskapa figuren från föreläsningen utifrån föreläsningsanteckningarnas problembeskrivning. b) Visa att E v = gρbl ( 1 2 cosϕ y2 + 1 24 b2 sin 2 ϕ ) (Ö4.i) under förutsättning att vattenlinjen går längs rätblockets bägge sidor. c) I resonemanget som leder till ekvation (A41) i föreläsningsanteckningarna finns det minst ett dolt antagande som endast gäller approximativt. Finn minst ett sådant antagande. 1

d) Visa att E ϕ = gρbl( 1 2 y2 + 1 24 b2) sinϕ cos 2 ϕ +( 1 24 gρb3 l gmh ) sinϕ. (Ö4.ii) e) Visa att sinϕ ϕcos 2 ϕ = 2 cos 3 ϕ 1 cosϕ. (Ö4.iii) f) Varför innehåller nämnaren 1 1 2 ϕ2 i ekvation (A97) inte termer av ordning tre och fyra? 5. Låt f vara en funktion av u och v och låt u och v vara funktioner av x och y. Variablerna x och y beror endast på tiden t. Uttryck derivatan df med hjälp av de dt partiella derivatorna för f, u och v samt tidsderivatorna dx dy och. dt dt 6. Taylorutveckla funktionerna i bokens uppgift 4.24 kring x = 0 så att varje utveckling inkluderar de två första icke-försvinnande termerna. 7. Betrakta uppgift 5.6 i boken. a) Hur ska variablerna tolkas för att den givna ekvationen ska var fysikaliskt rimlig? b) Lös uppgiften. c) Gör en taylorutveckling av den givna ekvationen under antagandet att V är stort. Detta motsvarar en taylorutveckling av x = 1/V kring x = 0. Tag med de två första icke-försvinnande termerna och försök att tolka resultatet. 8. Lös uppgift 5.8 i boken. 9. Lös uppgift 5.29 i boken. 10. Använd ekvationerna (A154) och (A163) för att beräkna mantelarean av ett klot och tröghetsmomentet för ett tunt sfäriskt skal. 11. En ellipsoid har huvudaxlar som är parallella med x-, y- och z-axlarna och har längderna 2a, 2b respektive 2c. Ellipsoidens utsträckning bestäms av villkoret x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 1. (Ö11.i) 2

a) Beräkna ellipsoidens volym genom att transformera variablerna i följande trippelintegral: x 2 +y 2 +z 2 1 dxdydz = 4 3 π. (Ö11.ii) b) Beräkna tröghetsmomentet för rotation kring z-axeln under förutsättning att ellipsoidens densitet är homogen. 12. Lös uppgift 6.9 i boken. 13. Rita figurer som illustrerar ekvationerna (A168), (A173) (A175) och (A184) (A186) geometriskt. 14. Använd resultaten från avsnitt 3.4 i föreläsningsanteckningarna att bestämma villkoren för att rätblocket i avsnitt 1.3 ska flyta stabilt utan att luta. Är resultaten konsistenta? 15. a) Undersök flytstabiliteten hos ett homogent klot och kommentera resultatet. b) Undersök flytstabiliteten hos ellipsoiden i uppgift 11 under antagandet att ellipsoidens densitet är homogen. Kommentera resultatet. 16. Använd ekvationerna (A190) (A192) för att bestämma 2 x T ϕ ψ och 2 x T ψ ϕ. Kommentera resultatet. 17. Lös uppgift 7.1 i boken. 18. a) Kontrollera överensstämmelsen mellan ekvationerna (A263) och (A283) genom insättning av ekvation (A281). b) Kontrollera överensstämmelsen mellan ekvationerna (A270) och (A284) genom att skriva ut vektoroperationerna på komponentform och använda ekvation (A282). 3

19. a) Skriv ut jacobideterminanterna (x,y) (x,y,z) och för omvandling från cartesiska (r,ϕ) (r,θ,ϕ) koordintsystem till planpolära repspektive rymdpolära koordinatsystem. b) Beräkna jacobideterminanterna från den förra deluppgiften och verifiera reslutaten gentemot ekvationerna (A266) och (A278). 20. a) Härled de båda likheterna i ekvation (A234). b) Tolka ekvation (A233) geometriskt och ta hjälp av tolkningen för att härleda denna ekvation på ett smidigare sätt än det som presenteras i föreläsningsanteckningarna. 21. Under antagandet att månen är sfärisk och att dess yta reflekterar solljuset likformigt i alla riktningar som pekar bort från månytan så blir intensiteten hos månskenet approximativt proportionell mot f(α) = dωmax(ê x ˆn,0)max(â ˆn,0) (Ö21.i) där integralen går över rymdvinkelelement med riktning ˆn relativt månens centrum i ett koordinatsystem där ê x pekar mot solen och â pekar mot jorden. Vinkeln mellan ê x och â är α. a) Sätt â = ê x cosα + ê y sinα och använd rympolära koordinater för att uttrycka ovanstående integral. b) Visa att f(α) = C där C är en konstant och 0 α π. c) Visa att π/2 α π/2 dϕcosϕcos(ϕ α) f(α) f(0) = ( ) 1 α π cosα+ 1 sinα. π (Ö21.ii) (Ö21.iii) d) Månskenet är ungefär nio gånger starkare vid fullmåne än vid halvmåne. Jämför detta med ovanstående approximation. 22. Bestäm egenvärden och egenvektorer till följande matriser: a) ( ) 0 1 2 0 (Ö22.i) 4

b) 0 1 0 0 0 1 1 0 0 (Ö22.ii) c) ( ) 1 i i 2 (Ö22.iii) 23. Transformationsmatriserna för rotation kring x- respektive y-axeln i ett 3-dimentionellt rum ges av R x (θ) = 1 0 0 0 cosθ sinθ (Ö23.i) 0 sinθ cosθ och cosθ 0 sinθ R y (θ) = 0 1 0. sinθ 0 cosθ (Ö23.ii) a) Bestäm rotationsmatrisen R(ϕ,ψ) = R x (ϕ)r y (ψ) genom insättning av ovanstående matriser. b) Sätt x y = R x (ϕ)r y (ψ) x 0 y 0 z z 0 (Ö23.iii) och visa att x ϕ = 0, y ϕ = z, z ϕ = y och x ψ = ysinϕ+zcosϕ, y ψ = xsinϕ, z ψ = xcosϕ. (Ö23.iv) (Ö23.v) (Ö23.vi) c) Använd ovanstående ekvationer för att för att bestämma 2 x och 2 x. Jämför med ϕ ψ ψ ϕ resultatet i övning 16. 5

24. Lös uppgift 8.10 i boken. 25. En viktig egenskap hos determinanter är att de är invarianta under matristransponering. Det innebär att det(a ) = det(a) (Ö25.i) och denna egenskap går att bevisa med hjälp av ekvation (A298). Nedanstående deluppgifter fyller gradvis ut ett sådant bevis efter införandet av inversa permutationer. Inversen r till en given permutaion s S n är en permutation som återställer ordningen av elementen som permuterats av s. Det innebär att r sk = k k {1,2,...,n}. (Ö25.ii) a) Visa att villkoret (Ö25.ii) leder till s rk = k k {1,2,...,n}. (Ö25.iii) b) Motivera följande likheter: A s1 1A s2 2 A snn = A sr1 r 1 A sr2 r 2 A srn r n (Ö25.iv) = A 1r1 A 2r2 A nrn (Ö25.v) c) Skriv om summan i ekvation (A297) så att följande likhet framträder: p(r) = p(s) (Ö25.vi) d) Sambanden från ovanstående deluppgifter ger att ( 1) p(s) A s1 1A s2 2 A snn = ( 1) p(r) A 1r1 A 2r2 A nrn (Ö25.vii) under förutsättning att r uppfyller ekvation (Ö25.ii). Använd ekvation (Ö25.vii) för att visa att det(a ) = det(a). 26. Beräkna följande determinanter: a) 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 (Ö26.i) 6

b) 2 1 0 1 1 2 1 0 0 1 2 1 1 0 1 2 (Ö26.ii) c) 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 (Ö26.iii) 27. Invertera matrisen 2 1 0 0 A = 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 genom att utföra radoperationer som bevarar likheten i 2 1 0 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 = 0 1 0 0 0 0 1 0 A 0 0 1 2 0 0 0 1 så att inversen A 1 framträder på formen 1 0 0 0 (A 1 ) 11 (A 1 ) 12 (A 1 ) 13 (A 1 ) 14 0 1 0 0 0 0 1 0 = (A 1 ) 21 (A 1 ) 22 (A 1 ) 23 (A 1 ) 24 (A 1 ) 31 (A 1 ) 32 (A 1 ) 33 (A 1 ) 34 A. 0 0 0 1 (A 1 ) 41 (A 1 ) 42 (A 1 ) 43 (A 1 ) 44 (Ö27.i) (Ö27.ii) (Ö27.iii) 28. Lös deluppgifterna (a) och (b) till uppgift 8.20 i boken. 29. Lös uppgift 8.21 i boken. 30. Lös uppgift 8.26 i boken. 31. En godtycklig unitär matris A har en ortogonal bas i egenvektorer och kan diagonaliseras till en matris med diagonalelement på formen e iϕ 1,e iϕ 2,...,e iϕn där ϕ 1,ϕ 2,...,ϕ n 7

är reella tal. a) Antag att A är unitär och att x är en egenvektor till A. Visa att y x = 0 leder till (Ay) x = 0. b) Resultatet från deluppgift a innebär att resonemanget på sidorna 38 och 39 i föreläsningsanteckningarna kan användas på unitära matriser. Det betyder att en unitär matris har en ortonormerad bas av egenvektorer. Visa att ett egenvärde till en unitär matris kan skrivas som e iϕ där ϕ är ett reellt tal. c) Visa att följande påstående är sant för en godtycklig 3-dimensionell reell och untär matris: Något av matrisens egenvärden är lika med 1 eller 1. d) Tolka påståendet i deluppgift c geometriskt. 32. Gram Schmidts ortogonaliseringsmetod är en teknik för att ta fram en ortonormerad bas {ĉ 1,ĉ 2,...,ĉ n } utifrån en godtycklig bas {b 1,b 2,...,b n } enligt följande ekvationer: ĉ 1 = b 1 b 1 c 2 = b 2 ĉ 1 (ĉ 1 b 2 ) ĉ 2 = c 2 c 2. k 1 c k = b k ĉ i (ĉ i b k ) ĉ k = c k c k. i=1 n 1 c n = b n ĉ i (ĉ i b n ) ĉ n = c n c n i=1 (Ö32.i) (Ö32.ii) (Ö32.iii) (Ö32.iv) (Ö32.v) (Ö32.vi) (Ö32.vii) a) Visa att vektorerna {ĉ 1,ĉ 2,...,ĉ n } är ortonormerade. b) Vektorerna 1 1 ĉ 1 = 1 1 2 1 och ĉ 2 = 1 2 3 5 3 1 1 (Ö32.viii) 8

är normerade och ortogonala. Välj två vektorer ĉ 3 och ĉ 4 så att {ĉ 1,ĉ 2,ĉ 3,ĉ 4 } bildar en ortonormerad bas. 33. I kristallstrukturen för vanlig is omges varje syreatom av fyra väteatomer varav två av dessa tillhör samma molekyl. Varje vattenmolekyl kan orientera sig på 6 olika sätt så att dess väteatomer pekar åt två av de 4 närmaste grannmolekylerna. För två grannmolekyler måste exakt en av molekylerna ha en väteatom som pekar mot grannen i det aktuella paret och varje par av grannmolekyler reducear därför antalet tillägnliga konfigurationer med en faktor 2. Det går två par av molekylgrannar för varje molekyl och ovanstående samband ger att varje molekyl bidrar med en faktor på ungefär 6/2 2 = 3/2 till det totala antalet molekylkonfigurationer i iskristallen. Detta ger en makroskopisk entropi på R ln(3/2) där R är den allmänna gaskonstanten. Ovanstående resonemang tar inte hänsyn till korrelationer mellan olika molekylers orientering. I kristallstrukturen för vanlig is finns det 2 hexagonala ringar per molekyl. Entropitillskottet för korrelationer inom en enskild ring ges av R ( lntr ( (AB) 6) ) 6ln 3 (Ö33.i) 2 där A = 1 2 ( ) 1 2 2 1 och B = ( ) 0 1. (Ö33.ii) 1 0 De relevanta korrelationerna kan inte separeras till korrelationer inom enskilda ringar men ovanstående entropikorrektion får rätt storleksordning i jämförelse med detaljerade beräkningar. Beräkna spåret Tr ( (AB) 6). 34. Lös uppgift 8.36 i boken. 35. Lös uppgift 8.37 i boken. 36. Lös uppgift 8.41 i boken. 37. I ett enkelt mekaniskt system kan två lika dana massor röra sig horisontellt. De hålls på plats mellan två väggar och vardera massa är kopplad till en vägg via en fjäder. Ytterligare en fjäder kopplar ihop massorna. Samtliga fjädrar har samma fjäderkonstant. a) Låt κ beteckna fjädrarnas fjäderkonstant och låt q 1 och q 2 vara förflyttninen av respektive massa från dess jämviktsläge. Visa att den potentiella energin V(q) ges av V(q) = 1 2 κ(q2 1 +q 2 2 +(q 1 q 2 ) 2 ). (Ö37.i) 9

b) Bestäm matriserna V och T i följande rörelseekvation: 0 = T q+vq. (Ö37.ii) c) Bestäm systemets egenfrekvenser och egenmoder. d) Antag att man tvingar den ena massan att flytta sig en sträcka x och sedan släpper den. Den andra massan antas ligga stilla i sitt nya jämviktläge innan den första massan släpps. Beräkna rörelsen hos de båda massorna efter att den första massan släppts. 38. a) Visa att matrisen Ṽ i ekvation (A477) är symmetrisk. b) Hur kan man får fram matrisen N i ekvation (A490) med hjälp av uttrycket för T i ekvation (A486)? c)hurkanmandraslutsatsenattwkanskrivaspådenangivnaformeniekvation(a498) utan att bestämma ett uttryck för vinkeln α. d) Tolka svängningsmoderna i ekvationerna (A507) och (A508) under förutsättning att α är nära 0. Vad händer för α = 0? 39. Man kan kontrollera rimligheten hos svängningsmoderna i ekvationerna (A506) (A509) genom att testa parametervärden för olika specialfall. a)jämförbilensegenfrekvenserω 2 ochω 3 medegenfrekvensernahosettsystemavfjädrar och massor där massorna är frikopplade från varandra. Hur ska m, I y, l 1 och l 2 väljas för att man ska kunna göra en kvantitativ jämförelse? Kontrollera den kvantitativa överensstämmelsen för de aktuella parametervärdena. b) Jämför bilens svängningar i sidled med svängningar framåt/bakåt. Ta upp kvalitativa likheter eller skillnader. 40. Lös uppgift 14.2 i boken. 41. Den nedåtriktade kraften på ett fallande föremål med massan m som bromsas av luftmotstånd kan approximeras med F = mg γv kv 2 (Ö41.i) där g är tyngdaccelerationen, v är den nedåtriktade hastigheten och γ och k är konstanter som bestäms av hur luften strömmar runt det fallande föremålet. 10

a) Använd m v = F och visa att mdv mg γ 2 /(4k) k(v +γ/(2k)) 2 = dt. (Ö41.ii) b) Gör ett variabelbyte som transformerar ekvation (Ö41.ii) till där K är en konstant. du 1 u 2 = Kdt c) Bestäm v som funktion av t under förutsättning att v = 0 vid t = 0. (Ö41.iii) 42. Lös uppgift deluppgifterna (a) och (b) till uppgift 14.3 i boken. 43. Två elektroder är anslutna till ett tunt ledande skikt. Elektroderna är små i förhållande till avståndet a mellan elektroderna som i sin tur är litet i förhållande till skiktets utsträckning. En stationär ström flyter mellan de båda elektroderna. I ett koordinatsystem med den ena elektroden i origo och den andra elektroden på den positiva delen av x-axeln blir både det elektriska fältet och strömtätheten proportionella mot följande funktion: f(x,y) = ( ) fx (x,y) = f y (x,y) En fältlinje uppfyller differentialekvationen x x 2 +y x a 2 (x a) 2 +y 2 y x 2 +y y. 2 (x a) 2 +y 2 (Ö43.i) f x (x,y)dy f y (x,y)dx = 0. (Ö43.ii) a) Visa att ovanstående differential är exakt genom derivering av f x och f y. b) Bestäm en funktion U(x,y) som uppfyller du = f x (x,y)dy f y (x,y)dx. (Ö43.iii) c) Extrauppgift: Visa att fältlinjerna bildar cirkelbågar. 44. Lös uppgift 14.6 i boken. 45. Lös uppgift 14.29 i boken. 11

46. Lös uppgift 15.3 i boken. 47. En operator A som verkar på funktioner är linjär om följande ekvation gäller för alla val av funktioner f, g och konstanter α, β: A(αf +βg)(x) = αaf(x)+βag(x). (Ö47.i) Vilka av nedanstående definitioner av A ger en linjär operator? a) Af(x) = x 2 f(x) b) Af(x) = (f(x)) 2 c) Af(x) = f(x 2 ) d) Af(x) = x d dx f(x) e) Af(x) = x d dx f(x)+f(x2 ) f) Af(x) = f(x)+x g) Af(x) = f(x) d dx f(x) h) Af(x) = d dx ef(x) 48. Lös uppgift 15.8 i boken. 49. Lös uppgift 15.21 i boken. 50. Lös uppgift 15.33 i boken. 12