Lördagen 6 Nu vill vi fokusera på linjära avbildningar från vektorrum W Om T : R n R n är en linjär avbildning, och W R n ett vektorrum, då har vi en inducerad avbildning T W : W R m Och denna avbildning är linjär Exempel 2 Låt T : R 5 R 3 vara avbildningen x x 2 T (X) = T ( x 3 ) = x x 3 x x 5 Projektionen på första faktorerna, tredje och femte faktor Detta är en linjär avbildning Låt W R 5 vara vektorrummet som ges som lösningsmängden till ekvationssystemet 3x + x 2 + 3x 3 + 2x x 5 = (2) 2x 2 + x 3 + x + 2x 5 = 3x 3x 2 + x 3 6x 5x 5 = Vi studerade detta vektorrum i måndags Den inducerade avbildningen T W : W R 3 är simpelthen T ( w w 2 w 3 w w 5 x 5 ) = w w 3 Och vi vill gärna representera denna avbildning med en matris Detta ges dock inte av formeln A = T W (e ) T W (e n ) ] En av anledningarna är att tex e inte finns med i W Då e inte är med i W kan vi inte prata om T W (e ) 3 Representera linjära avbildningar med matriser Vi har den linjära avbildningen T W : W R 3 från Exempel 2, och vi vill representera denna med en matris Lösningen är att välja en bas för vektorrummet W Vi har tidligare sätt att vektorerna u = 5 6 2 w 5 2 3, u 2 2 =, u 3 =
2 är en bas för W Vi applicerar avbildningen T = T W på dessa tre punkt, och har att T (u ) = 5 6, T (u 2 ) =, T (u 3 ) = Vi kommer nu att representera varje vektor w i W med sin koordinatmatris med avseende på basen β = {u, u 2, u 3 } Betrakta nu matrisen Jag hävdar nu att B = T (u ) T (u 2 ) T (u 3 ) ] = 5 2 6 3 T (w) = B w ] β Eller, för att vara mera specifik Om vektorn w = t w + t 2 w 2 + w 3, då har vi att T (w) = 5 2 6 3 t t 2 = 5t 6 + 2t 3 3 t På den andra sidan har vi att om w = t w + t 2 w 2 + w 3, dåhar vi att 5 t 6 + 2t 3 3 w = t 2 2t 2 t t 2 och vi har att T (w) = 5 6 t + 2 3 t 2 3, vilket visar vad vi hävdade En allmän formel Om T : W R n är en linjär avbildning, och β = {w,, w r } är en bas för W då kan vi representera avbildningen T med en matris och matrismultiplikation Vi bildar matrisen B = T (w ) T (w r ) ] som är en (n r)-matris samband För varje vektor w i W har vi följande T (w) = B w ] β 5 Notera att om W = R n, och basen som vi väljer är standardbasen {e,, e n } då blir den allmänna formeln den som vi redan har för linjära avbildningar
Exempel 6 Låt W R 2 vara linjen som ges som lösningsmängd till ekvationen 3x + y = Låt T : R 2 R 2 vara spegling om linjen W Av rent geometriska argument ser man att T (X) = X + 2proj W (X) Så om vi låter w = så är detta en orthonormal bas för W Om 5 x X = då blir y] Detta ger att proj W (X) =< X, w > w = ] 5 (x 3y) 5 3 5 x T (X) = + y] 2 ] 25 (x 3y) 3 Och slutligen att standardmatrisen blir ] 7 2 3 A = 25 2 7 Exempel 7 Vi betraktar samma avbildning T : R 2 R 2 som exemplet ovan; spegling om linjen L = {3x + y} Nu väljer vi dock en annan bas för W = R 2, vektorrummet var avbildningen T går ifrån 6 Vi låter v =, och w = Vektorn v är en bas för linjen L, 8] och vektorn w är en bas för normallinjen till L Dessa två vektorer utgör en bas β = {v, w} för W = R 2 Vi har att T (v) = v = och att T (w) = w, vilket betyder att A = T (v) T (w) ] ] 6 = 3 8 representerar avbildningen T : R 2 R 2 Exempel 8 Låt oss nu summera Vi har i exemplerna 6 och 7 gett olika matrisrepresentationer av en och samma linjära avbildning T : R 2 R 2 Dessa två matriser vi fick var A = ] ] 7 2 3 A 25 2 7 2 = 6 8 Där A var standardmatrisen i Exempel 6, och matrisen A 2 kom i Exempel 7 Båda matriser beskriver den linjära avbildningen som speglar planet i linjen L = {3x + y = } Låt S = {e, e 2 } beteckna standarbasen och β = {v, w} vara basen i Exempel 7 Detta betyder att för varje punkt X i planet R 2 har vi T (X) = A X = A X] S = A 2 X] β
Till exempel har vi att med X = v = att T (v) = v Vi har också att Och att A v = A = ] 7 + 3 2 = 25 ( 2) + 3 ( 7) A 2 v] β = A 2 = ] 9 Identifikation av vektorrum Låt W R m vara ett vektorrum, och låt β = {w,, w n } vara en bas för W Vi bildar den linjära avbildningen T : W R n som skickar en godtycklig vektor w = t w + t n w n till t t T (w) = 2 Matrisen som representerar denna linjära avbildning är identitetsmatrisen Avbildningen T identifierar W med R n Alla vektorrum med samma dimension är lika Ett vektorrum av dimension n kan alltid identifieras med R n Detta betyder att varje vektorrum, dvs varje lösningsmängd till ett homogent ekvationssystem, alltid kan identifieras med R n, för något n Och, även om man tillåter mera allmänna vektorrum, dvs abstrakta vektorrum som inte nödvändigtvis är delmängder av R n, så vill dessa abstrakta vektorrum vara identifierbara med R r för något r Exempel Låt L R 2 vara linjen som ges av ekvationen 3x + y = Med andra ord har vi att L är lösningsmängden till det homogena ekvationssystemex + y = Vi har att L är ett vektorrum, och att en bas ges av tex vektorn v = Detta betyder att t n ] t L = { tal t} 3t Om vi väljer att glömma bort att L är en delmängd av planet R 2 så är L inget annat enn den reella linjen R En identifikation görs vid avbildningen T : L R, som skickar ] t T ( ) = t 3t Med andra ord identifierar vi basen v = med basen för de reella talen
En enda mera allmän formel Om vi tänker oss en linjär avbildning T : W V mellan två vektorrum, så kan även denna representeras med en matris och matrismultiplikation Vi måste dock välja en bas β = {w,, w r } för W, och en bas γ = {v,, v s } för V Konstruera matrisen B = T (w ) ] γ T (wr ) ] γ] Matrisen B består av r kolumner För att bestämma kolumn, tar vi och applicerar avbildningen T på vektorn w, detta ger T (w ) Därefter tar vi och bestämmer koordinatmatrisen till T (w ) i basen γ, detta symboliseras med T (w ) ] Detta är kolumn ett i matrisen B För γ varje vektor w i W har vi att ] T (w) = B w ] γ β Exempel 2 Låt oss igen titta på den linjära avbildningen T : R 2 R 2 som ges som speglingen om linjen L = {3x + y = } Vi väljer 3 nu basen β = {v, w} = γ, där v = och där w = Vi har ] i exemplerna ovan sätt att T (v) = v och att T (w) = w Detta betyder att T (v) = v + w och att T (w) = v + w Och att matrisrepresentationen blir ] ] ] ] B = T (v) γ T (w) γ = Exempel 3 Vi gjorde ett exempel med allmänna vektorrum Detta tror jag inte att ni tyckte om Exemplet var Tentamensuppgift 8 från tentamen 2 Låt V vara vektorrummet av symmetriska (2 2)- matriser Innan vi fortsätter med uppgiften, notera nu att mängden av alla (2 2)-matriser är ] a b M = { tal a, b, c, d} c d ] a b En matris X = i mängden M är symmetrisk om och endast om c d c = b Detta betyder att mängden av alla symmetriska matriser är ] r s V = { tal r, s, t} s t Uppgiften ger oss att mängden V är ett vektorrum Vi har också givet följande tre matriser ] ] ] v = v 2 = v 3 = 5
6 Av beskrivningen ] ovan följer det nu att en godtycklig symmetrisk matris X = kan skrivas r s s t X = rv + sv 2 + tv 3 Detta betyder att det linjära höljet Span(v, v 2, v 3 ) = V Att vektorerna v, v 2 och v 3 är linjärt oberoende är uppenbart (!) Detta betyder att β = {v, v 2, v3} är en bas för V Betrakta nu den linjära avbildningen T : V V som skickar en godtycklig symmetrisk matris X till T (X) = P XP, där matrisen P = ] ] r s Detta betyder att om X = då har vi att s t ] ] ] ] r s t s T (X) = = s t s r Specielt har vi att T (v ) = ] = v + v 2 v 3 Och vi har att T (v 2 ) = v 2, och att T (v 3 ) = v Detta ger att matrisrepresentation av avbildningen T : V V är matrisen A = Uppgifter Tentamen 222 Uppgift 2 och 7 Tentamen 2925 Uppgift 7 Anton-Rorres, Sektion 8: 9,7, 3 Sektion 8:, 5, 6, 9, Department of Mathematics, KTH, Stockholm, Sweden E-mail address: skjelnes@kthse 9nde 8: 2-6, 8:,5,6, 9,