Tidsserier Säsongrensning F7 Tidsserier forts från F6 Vi har en variabel som varierar över tiden Ex folkmängd omsättning antal anställda (beroende variabeln/undersökningsvariabeln) Vi studerar den varje år halvår tertial ( mån) kvartal månad vecka dag Tid kan nu ses som den oberoende variabeln/bakgrundsvariabeln Vi har tittat specifikt på två typer av trender Linjär trend Exponentiell trend
8 7 Linjär trend Den absoluta förändringen av Y då t ökar en enhet är densamma för alla värden på t Tidsserie (linjär trend) Y=a+bt Exponentiell trend Den absoluta förändringen av Y beror på var i intervallet vi är Den procentuella förändringen av Y är densamma för varje ökning av t med enhet Tidsserie (exponentiell trend) Omsättning (i miljoner kr) 6 5 3 Antal anställda 5 5 Y=ab t 997 998 999 År Ex 7 K&W 997 998 999 År Ex 73 K&W
3 År (x) t År (x) t t Kodning av t Om vi centrerar t så blir beräkningarna enklare oavsett om vi använder en linjär modell eller en exponentiell modell 998-997 -5-5 999-998 -3-5 999 - eller -5 5 3 5 5 5 b n y t i= = n a = t i= y i i i Linjär trend. Koda om t. Använd MK-metoden och skatta a och b med förenklade formler 3. Tolkning av b: genomsnittlig ökning per t-enhet. Om vi använt t-kodning eller 3 ovan: genomsnittlig ökning per år. Om vi använt kodning ovan: genomsnittlig ökning per halvår. För att få genomsnittlig ökning per år: ta b Se K&W s86 3
Exponentiell trend Vi har ej en linjär funktion Gör funktionen linjär genom att logaritmera t ( a b ) log y = log log y = log a + t logb log y = y log a = a y = a + b t logb = b Skatta a och b genom MK-metoden på de loggade y-värdena Ta antilogen för lösningarna för att få a och b Exponentiell trend. Koda om t. Logaritmera y-värdena 3. Använd MK-metoden och skatta a och b med förenklade formler. Ta antilog av a och b för att erhålla a och b 5. Tolkning av b: genomsnittlig procentuell ökning per t-enhet. Om vi använt t-kodning eller 3 ovan: genomsnittlig procentuell ökning per år. Om vi använt kodning ovan: genomsnittlig procentuell ökning per halvår. För att få genomsnittlig procentuell ökning per år: ta b
Variationsorsaker Trend Konjunktur Säsong Slump Säsonganalys Omsättning (miljoner kr) Vi antar nu att utöver den slumpmässiga variationen kring trenden finns också en säsongberoende variation 5 5 5 K&W s 96 997: 998: 999: : : 5
Additiv modell Exempel additiv modell Säsongvariationerna för en viss säsong är desamma i absoluta tal för varje år och oberoende av trendens storlek y ik = T ik + S k + ε ik Omsättning (miljoner kr) 9 8 7 6 5 3 Tidsserie: Additiv modell 997: 998: 999: : 6
Multiplikativ modell Säsongvariationerna för en given säsong avviker med samma procentsats från trenden varje år. De absoluta avvikelserna beror på trendens storlek y ik = T ik S k ε ik Omsättning (miljoner kr) 8 6 8 Exempel multiplikativ modell Tidsserie: Multiplikativ modell 6 997: 998: 999: : : K&W s 96 7
Vad vill vi göra? Vi vill skatta trenden Ett trendvärde som inte är påverkat av säsongvariation Vi vill skatta säsongkomponenter Hur stor del av omsättningen (exempelvis) beror på den säsongmässiga variationen. Vi säsongrensar först tidsserien för att få trendvärden oberoende av säsong. Vi skattar därmed också säsongkomponenter.. Vi skattar trenden (linjär/exponentiell trend modell) på de säsongrensade värdena Säsongrensning Vi kan få flera skattningar av varje säsongkomponent vi skattar ett medelvärde för varje säsong S K k Additiv modell: Villkor: S k = k = K Multiplikativ modell: Villkor: S = K k k = Där K är antal säsonger (ex vid kvartalsdata) 8
Exempel: Uppskattning av trendvärden genom (79+9+6) glidande medelvärden 9 8 Exempel multiplikativ modell: Uppskattning av säsongkomponenter 93 Period 997: 998: 999: Obs. värde 79 9 6 89 5 6 63 83 3-punktsumma 35 36 38 398 9 7 6 56 Medelvärde 8 33 667 367 3633 33 867 5 (9+6+89) 35/3 För varje säsong (tertial kvartal etc.) beräknar vi kvoten mellan det faktiska värdet och trendvärdet År 997 998 999 Medelvärde Säsongindex 73 73 69 689 69675 697 Tertial 93 93 96 8 8 6 3 3 5 : : 8 5 3 77 98 5 53 55 59 66 7 77 8333 69675 999767 697 Medelvärdena summerar ej till 3 - vi justerar genom att multiplicera varje medelvärde med kvoten 3 999767 69675 + 6 + 5 9
Tolkning av säsongkomponenter Säsongindex 697 Under första tertialet ligger omsättningen på grund av att det är lågsäsong drygt 3 procent under det beräknade trendvärdet Under tredje tertialet ligger omsättningen på grund av att det är högsäsong drygt % procent över det beräknade trendvärdet Säsongrensade värden säsongrensat värde 5 5-8 -6 - - t 6 8
Vi kan nu anpassa en trendmodell med MK-metoden detta fall verkar en linjär modell vara bäst. Vi kan koda t så att andra tertialet 999=. The regression equation is Omsättning = 9 + 5 t Predictor Coef SE Coef T P Constant 8865 5 975 t 53 58 667 S = 93785 R-Sq = 99% R-Sq(adj) = 99% Prognoser Omsättning = 9 + 5 t Säsongkomponenter: 697 Säg att vi vill göra en prognos för andra tertialet t=9 Prognos för trendvärde: Omsättning = 9 + 5x9 = 976 Prognos för observerat värde: Omsättning = (9 + 5x9) x = 98 x = 76 Om vi istället hade uppskattat en exponentiell modell hade prognosformen sett ut: Omsättning ik = (a + b t ) x S k
Exempel: Antal sjukdagar (i tusental) se Något om säsongrensning Period 988: V Obs. värde 3 -punktsumma -punktsumma -punktsmedelvärde Säsongkomponenter för additiv modell 989: 86 7 3 35 69 7865 7-7865=-765 99: V V 6 8 85 65 6 8 3 98 98 98 9 8 69 6 596 596 59 578 765 755 75 75 7 75 År 989 99 99 Medelvärde Säsongindex 5 5 77 Kvartal -765-95 -65-95 -98-5 - -65-9 V 875 75 5 99: 8 55 5 7 53 556 55 695 6565 95 65 + 5 = 77 Under kvartal ligger antal sjukanmälningar över trenden med i genomsnitt 77 st Under kvartal under trenden med i genomsnitt 98 st V 65
Prognoser Linjär trend: Antal sjukdagar ik =a+bt+s k Exponentiell trend: Antal sjukdagar ik =axb t +S k Vikter för glidande medelvärden Kvartalsdata: 5-leds Halvårsdata: 3-leds Tertialdata: 3-leds Veckodata: 7-leds 7 8 8 3 3 3 7 7 7 7 7 7 3