Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om total sannolikhet : Anta att vi har n st händelser H 1,...,H n sådana att H 1 H j = om i j. Ω = H 1... H n. Då gäller att för varje händelse A P(A) = n P(A H i )P(H i ). i=1 Bayes sats Om man vill vända på betingningen kan man använda Bayes sats: Under ovanstående villkor P(H i A) = P(A H i)p(h i ). P(A)
Exempel på användning av Bayes sats och satsen om total sannolikhet Exempel På vissa cigarrpaket kan man läsa att 9 av 10 som drabbas av strupcancer är rökare. Befolkningsdata (2005): 49% av befolkningen är män, av männen röker 13.9 %, av kvinnorna röker 18%. Sannolikheten att drabbas strupcancer är 1%, 1. Vad är sannolikheten att en slumpmässigt vald person är rökare? 2. Vad är sannolikheten att få strupcancer om man är rökare?
Oberoende händelser Om P(A B) = P(A) så innebär detta att P(A) inte ändras om B har inträffat. Genom att använda definitionen av betingad sannolikhet kan man skriva detta som P(A B) = P(A)P(B) (men då bara om P(B) > 0!). Mera generellt gör vi: Definition Vi säger att händelserna A och B är oberoende om P(A B) = P(A)P(B) Exempel Kasta två tärningar. Låt A = första tärningen är sexa B = summan är sju C = summan är åtta. Vilka av paren A,B eller A,C eller B,C är oberoende?
Beräkning sannolikheter för många oberoende händelser: alla, ingen eller någon Om vi har n st oberoende händelser A 1,...,A n är sannolikheten att alla inträffar ingen inträffar någon inträffar P(A 1... A n ) = P(A 1 )... P(A n ), P(A 1...A n ) = P(A 1 )... P(A n ), P(A 1... A n ) = 1 P(A 1... A n ).
Oberoende och disjunkta Inte samma sak!
Stokastiska variabler En stokastisk variabel (s.v.) X är en funktion X : Ω R. En s.v. är ett tal vars värde styrs av slumpen. Vi skiljer på två slags stokastiska variabler: Diskreta s.v. X antar värden i en ändlig eller uppräkneligt oändlig mängd. Den kan användas som modell till exempel för - X = Antal neutroner som träffar en detektor på ESS. - Y = Antal personer i Lund som åker med buss 169 från Centralstationen till Kårhuset under en dag. Kontinuerliga s.v. X antar alla möjliga värden i ett (eller flera) intervall i R. Den kan användas som modell till exempel för - U = En svensk mans vikt. - V = ph-halten i Ringsjöns vatten.
Sannolikhetsfunktionen för en diskret s.v. Om X är en diskret s.v. som tar värden i en mängd {a 1,a 2,...} kan man definiera sannolikhetsfunktionen p X (k) = P(ω : X(ω) = k) = P(X = k), för alla k {a 1,a 2,...}. En sannolikhetsfunktion har följande egenskaper: (i) : 0 p X (k) 1, för alla k (ii) : P(X A) = k Ap X (k), för alla delmängder A {a 1,a 2,...} (iii) : k {a 1,a 2,...} p X (k) = 1 Varje funktion p som satisfierar ovanstående kan användas som en sannolikhetsfunktion. Olika funktioner beskriver olika fördelningar. (Detta ger olika stokastiska modeller.)
Några exempel på diskreta fördelningar (diskreta modeller) Enpunktsfördelning Om hela fördelningsmassan är koncentrerad i ett enda värde a så att P(X = a) = p X (a) = 1, sägs X vara enpunktsfördelad. Detta innebär X alltid antar värdet a, och kan ses som en modell för mätningar utan fel. Tvåpunktsfördelning. Bernoullifördelad s.v. Om X antar endast två värden a och b med sannolikheter p och 1 p, sägs X vara tvåpunktsfördelad. Alltså p X (a) = p p X (b) = 1 p. Om speciellt a = 1,b = 0 kallas X en Bernoulli-fördelad s.v.. Detta är en modell för ett experiment där man gör ett försök som antingen lyckas (X = 1) eller misslyckas (X = 0). Man kan också skriva X = 1{A} indikatorfunktionen för händelsen A, där händelsen A = försöket lyckas. Betecknas med X Bern(p).
Likformig fördelning Om X antar värden {1,2,...,m} med sannolikhetsfunktion för k = 1,...,m, kallas X likformigt fördelad. p X (k) = 1 m Exempel Kasta tärning en gång. X = resultatet. Om tärningen är rättvis är likformig fördelning på {1,2,...,6} en lämplig modell. För första gången fördelning Om X är en s.v. som antar värden k = 1,2,3,... med sannolikhetsfunktion p X (k) = (1 p) k 1 p, för p (0,1) kallas X för-första-gången fördelad. Betecknas med X ffg(p). Exempel Kasta tärning till man får en sexa för första gången. X = antal kast (tom sista) tills detta inträffar.
Geometrisk fördelning Om X har sannolikhetsfunktion p X (k) = (1 p) k p, för k = 0,1,2,... sägs X vara geometriskt fördelad. Betecknas X Ge(p). Exempel Kasta tärning till man får en sexa för första gången och låt X vara antal kast innan man får sexan. Då är X Ge(1/6).