TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y TSRT2 för Y3 och D3 TID: 7 mars 25, klockan 4-9. ANSVARIGA LÄRARE: Mikael Norrlöf, tel 28 27 4, Anna Hagenblad, tel 28 44 74 TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori med normala inläsningsanteckningar och rättningar, errata till kursmaterialet, kompletterande kursmaterial: Bodes integral och Optimering av kvadratiska kriterier, tabeller, formelsamling, räknedosa utan färdiga program. LÖSNINGSFÖRSLAG anslås efter tentamen på ISY:s anslagstavla, B-huset ingång 27, C-korridoren till höger, samt på kursens hemsida, http://www.control.isy.liu.se/student/tsrt2/tentor.html VISNING av tentan äger rum torsdag 7 april 25 kl 2.3-3. i Ljungeln, B-huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 betyg 4 betyg 5 23 poäng 33 poäng 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
. a) Realisera systemet G(s) = s + s 2 + s + på minimal tillståndsform. Kontrollera att din realisering är styr- och observerbar. (3 p) b) Signalen u(t) = 3 sin 3t läggs på ingången till systemet G(s) = 4 s + Vad blir utsignalen i stationärt tillstånd? (3 p) c) Tag fram överföringsfunktionen från r till u för det kaskadreglerade systemet nedan. r + Σ F z ref + 2 Σ F u G z G y 2 (4 p)
2. a) I figur 2 finns rotorter avbildade för fyra olika system. Parametern som varieras i rotorterna är förstärkningen K i en P-regulator. I figur 3 visas stegsvaret för de återkopplade systemen då K =., och. Ange vilken rotort som hör ihop med vilket stegsvar. (4 p) OBS! Motivering krävs! Enbart en korrekt hopparning av rotort och stegsvar ger ingen poäng. b) Går det att med P-reglering stabilisera ett första ordningens system med en pol och ett nollställe i höger halvplan? (3 p) c) Ett system beskrivs av blockschemat nedan. r + Σ u KG o (s) y I figur visas nyquistkurvan till G o (s) (som vi vet saknar poler i höger halvplan). För vilka K > kommer det slutna systemet att bli stabilt? Motivera ditt svar. (3 p) 2.5 Nyquist Diagram 2.5.5 Imaginary Axis.5.5 2 2.5.5.5.5 2 2.5 3 Real Axis Figur : Nyqvistkurva för systemet G o (s). 2
Imaginary Axis Imaginary Axis.8.6.4.2.2.4.6.8 Rotort 6 5 4 3 2 Real Axis.8.6.4.2.2.4.6.8 Rotort 3 4 2 8 6 4 2 2 Real Axis Imaginary Axis Imaginary Axis.8.6.4.2.2.4.6.8 Rotort 2 2.5 2.5.5.5 Real Axis 5 4 3 2 2 3 4 Rotort 4 5 6 5 4 3 2 2 Real Axis Figur 2: Rotorter för fyra olika system med P-återkoppling. 3
Stegsvar a K =..9 Stegsvar b K =..9.8.8.7.7 Amplitude.6.5.4 Amplitude.6.5.4.3.3.2.2.. 5 5 2 Time (sec) 5 5 2 Time (sec) Stegsvar c 2 K =..8.6 Stegsvar d.4 K =..2.4 Amplitude.2.8 Amplitude.8.6.6.4.4.2.2 5 5 2 Time (sec) 5 5 2 Time (sec) Figur 3: Stegsvar för de återkopplade systemen med K =., och. 4
3. a) Tag fram en tillståndsåterkoppling för systemet ẋ(t) = ( )..2 x(t) + 3 3 y(t) = ( ) x(t) ( ) u(t) som placerar polerna i 2 ± 2i. (3 p) b) Bestäm en observatör för systemet i a) så att observatören får poler i -5. (3 p) c) Genom att använda t.ex. tillståndsåterkoppling och observatör har vi kommit fram till två olika val av F r och F y. Dessa två val ger samma överföringsfunktion för slutna systemet men känslighetsfunktionen och komplementära känslighetsfunktionen enligt figurerna 4 och 5. Utgå ifrån aspekterna robusthet, undertryckning av systemstörningar, påverkan från mätstörningar och ange för- och nackdelar med de två designerna. (4 p) S känslighetsfunktionen S(i ω) 2 2 3 Frekvens [rad/s] Figur 4: Känslighetsfunktionen, design I (heldragen) och II (streckad). 5
2 Q komplementära känslighetsfunktionen 2 Q(i ω) 4 6 8 2 3 Frekvens [rad/s] Figur 5: Komplementära känslighetsfunktionen, design I (heldragen) och II (streckad). 6
4. Styrningen av tjockleken hos stålet som kommer ut från ett valsverk görs genom att justera avståndet mellan valsar som trycker ihop stålet lite grann i taget (ungefär som man kavlar ut pepparkaksdeg för att göra pepparkakor). Överföringsfunktionen för en av valsarna ges av G(s) = 25(s + 2) (s +.)(s +.2)(s + 5)(s + ) med bodediagrammet i figur 6. Insignal är spänning till ventilen som styr flödet av hydraulolja till hydraulcylindrarna som sedan i sin tur trycker ihop valsarna. Utsignal är tjockleken på stålet. a) Gör en regulatordesign så att följande specifikationer är uppfyllda: ω c =.5 rad/s φ m 5 Det stationära reglerfelet ska vara mindre än % då referenssignalen är ett steg. Regulatorn ska inte ha onödigt stor låg- respektive högfrekvensförstärkning. b) Antag att stålet passerar valsarna med hastigheten 2 m/s. På vilket maximalt avstånd från valsen kan sensorn som mäter tjockleken hos stålet placeras för att det återkopplade systemet ska vara stabilt om specifikationerna i a) är uppfyllda? (3 p) OBS! Uppgiften går att lösa även om du inte har löst a)-uppgiften! (7 p) 7
2 G(i ω) 2 3 4 5 3 2 2 Frekvens [rad/s] 5 arg G(i ω) 5 2 25 3 3 2 2 Frekvens [rad/s] Figur 6: Bodediagram för valsen. 8
5. Antag att följande två överföringsfunktioner är givna G (s) = s + 2 s(s + )(s 2 + 2s + 4) = s + 2 s 4 + 2s 3 + 24s 2 + 4s och och att G 2 (s) = s 2 + s + s(s + )(s 2 + 2s + 4) = s 2 + s + s 4 + 2s 3 + 24s 2 + 4s Y (s) = G (s)u(s), Y 2 (s) = G 2 (s)u(s) a) Tag fram en minimal tillståndsmodell som har u(t) som insignal och ger y (t) samt y 2 (t) som utsignal. (5 p) b) Visa hur man kan överföra tillståndsmodellen i (a) till en ny tillståndsmodell ż(t) = Āz(t) + Bu(t), y(t) = Cz(t) med och de nya tillstånden y(t) = ( ) y (t) y 2 (t) y (t) z(t) = ẏ (t) y 2 (t) ẏ 2 (t) Tag fram transformationen mellan de gamla tillstånden x(t) och de nya z(t) och tala om vad Ā, B och C blir uttryckta i de ursprungliga A, B och C. (5 p) Notera: De nya tillståndsmatriserna behöver inte beräknas explicit men ska vara uttryckta på ett sådant sätt att man med ett verktyg som t.ex. Matlab enkelt kan utföra beräkningen. 9