Övningsuppgifter 2 i spelteori

Linköpings universitet Ht 10 IEI/Nek Göran Hägg Övningsuppgifter 2 i spelteori Uppgift 1 Betrakta spelet nedan: Halvan (smal) Vik ner dig Utmana Helan (tjock) Vik ner dig 2, 2 0*, 5* Utmana 5*, 0* -20, -20 Anta att payoffen är von Neuman Morgenstern nyttor. a) Vad kallas detta spel och hur kan vi se att det är just detta spel? b) Översätt spelet till extensiv form. c) Analysera spelet och möjliga Nash jämvikter samt spelarnas utfall under förutsättningen att spelet bara spelas en gång mellan de deltagande spelarna. d) På vilket sätt påverkas analysen av spelet om payoffen varit uttryckt i kronor istället för i von Neuman Morgenstern nyttor? e) Ange olika förutsättningar som skulle kunna motivera att en av Nash jämvikterna är mer trolig lösning än någon annan i spelet i uppgift c). f) Analysera spelet och möjliga Nash jämvikter under förutsättningen att spelet spelas upprepat mellan de deltagande spelarna och att spelarna inte vet när spelet kommer att ta slut. g) Vilken betydelse har sannolikheten för att det upprepade spelet kommer att sluta efter nästa spelomgång för möjliga lösningar på spelet? h) Redogör kort för olika sociala situationer där detta spel är ett relevant analysredskap. 1

Uppgift 2 a) Definiera/förklara begreppet Bayesiansk Nash jämvikt samt när det är intressant för en spelteoretiker att använda. b) Definiera/förklara begreppet Perfekt Bayesiansk Nash jämvikt samt när det är intressant för en spelteoretiker att använda. c) Definiera/förklara begreppet Bayes sats samt när det är intressant för en spelteoretiker att använda. Uppgift 3 Denna fråga berör olika aspekter av spelteori och jämviktslösningar: a) Definiera, förklara och jämför lösningskoncepten (i) Nash jämvikt, (ii) Subgame pefect equilibrium, (iii) Backward induction equilibrium, (iv) Dominant strategy equilibrium, (v) Iterated domenance equilibrium, (vi) Pareto dominated equilibrium. b) Vad menas med att en Nash jämvikt är en s.k. steady state. c) Om vi känner till en Nash jämvikt, kan vi då uttala oss om hur Nash jämvikten etablerats? Diskutera olika möjligheter. d) Om ett spel innehåller många Nash jämvikter representerar då alla Nash jämvikter lika goda lösningar. Diskutera och jämför för (i) unikt spel(situation) som spelarna har liten erfarenhet och som bara spelas en gång, (ii) ett ej unikt spel(situation) som spelarna har stor erfarenhet av och som bara spelas en gång, (iii) ett upprepat spel där spelarna ej säkert vet när spelet kommer att ta slut. 2

Uppgift 4 Betrakta spelet i extensiv form nedan: 1 C D 2 (2,0) E F 1 (3,1) G H (1,2) (0,0) Spelare 1 börjar spelet genom att välja mellan C och D. Väljer spelare 1 C kommer spelare 2 kunna välja mellan E och F, och så vidare. Notera att spelare 1 har fyra möjliga strategier. a) Vad menar vi med begreppet strategi? b) Vad är spelets proper subgames? Rita upp dem. c) Analysera spelet ovan och identifiera alla Nash-jämvikter och deras egenskaper. Utgå från att spelet bara spelas en gång. d) Finns det ett uppenbart sätt att spela spelet på. Motivera och diskutera! e) Översätt spelet till normal form och analysera det spelteoretiskt. f) Anta att spelet upprepas i all oändlighet (alternativt att spelarna inte vet när det kommer att ta slut). Vad finns det då för möjliga Nash jämvikter? Ge exempel och motivera varför. Uppgift 5 Signalspel är en typ av Bayesianska spel. Nedan följer några frågor om detta. a) Vad är ett Bayesianskt spel och vad menas med en Bayesiansk Nash-jämvikt? b) Vad menas med en perfect Bayesian Nash jämvikt? c) Vad fyller Bayes sats för funktion i ett Bayesianskt spel? 3

d) Vad är utmärkande för ett signalspel? e) Vad menas med en separerande och en poolande Nash jämvikt, och vad krävs generellt för att vi skall få en separerande jämvikt och inte en poolande jämvikt? f) I vilka ekonomiska sammanhang kan det vara aktuellt att spela signalspel och vad fyller de för funktion. Illustrera med ett exempel. Uppgift 6 If you are a really nasty person and are trying to extract some exclusive information from someone, you can threat to kill him/her unless he/she reveals the secret. Hollywood films provide excellent illustrations of this game and how to play it. For example, from the film High Winds in Jamaica, the pirate captain Chavez wants his captive (prisoner) to tell where the money is hidden, and puts his knife to the man s throat to make him talk. After a moment or two, during which the man keeps his mouth shut, the mate laughs. If you cut his throat he can t tell you. He knows it. And he knows you know it. Chavez puts his knife away and tries something else. a) Construct a game in its normal form representation based on the story above. Briefly state the underlying assumptions of your game and carry out a game theoretic analysis. b) Construct a game in its extensive form representation based on the story above and use the same payoffs as in a). Briefly state the underlying assumptions of your game and carry out a game theoretic analysis. c) Does your solution(s) to the game in b) change if the pirate captain threats the man by saying that if the captive does not reveal where the money is hidden, he (Chavez) will roll a dice and if number 6 comes up he will kill the captive. d) Does the solution(s) to the game in b) change if the pirate captain takes up a revolver and then threats the captive by saying that if the captive does not reveal where the money is hidden he (Chavez) will play Russian Roulette 1 once with the captive s life. e) Assume that the revolver of Chavez can hold six bullets at most. Does it matter how many bullets Chavez puts in the revolver? 1 Russian Roulette: A game where the participants play with a revolver. The revolver is loaded with one or several bullets. One of the players spins the chamber of the revolver. By doing this he/she does not know whether the revolver will blow away a bullet or not when he/she pulls the trigger. Then he/she directs the revolver against the head and pulls the trigger. If he/she survives, the next player is on turn to follow the same procedure. The player that finally survives wins the game; the other participants are in heaven (hopefully). 4

f) Does the solution(s) to the Russian Roulette variant of the game depend on the players preferences towards risk? g) How would you solve the dilemma of Chavez if you were the pirate captain as well as a nasty person? Do you have any nasty advice to Chavez? Uppgift 7 Betrakta följande spel. T1 T2 S1 6, 6 3, 8* S2 8*, 3 4*, 4* Spelet upprepas i all oändlighet. Avkastningen (utfallet, nyttan) från spelet är u i () t, där indexet i representerar spelare 1 eller spelare 2 ( i = 1,2 ). Argumentet t står för delspelet (the stage of the game) ( t = 0,1,2,3,..., ). Första delspelet betecknar vi med t = 0. Antag att båda spelarna diskonterar framtida utfall med diskonteringsfaktorn α = 0.9. Båda spelarna antas vara nyttomaximerare/avkastningsmaximerare för hela spelet. a) Vad kallas detta spel? b) Analysera spelet och då särskilt i förhållande till om det finns någon samarbetsjämvikt respektive jämvikt där spelarna inte samarbetar. Beskriv strategierna för spelarna som leder till dessa jämvikter. Vad blir utfallet/avkastningen/nyttan för spelarna för hela spelet i dessa jämvikter? c) Om båda spelarna spelar strategin tit for tat, vad kommer då utfallet/avkastningen/nyttan att bli för hela spelet (the supergame)? d) För vilka värden på α kommer spelare 1 att spela strategin S2 även om spelare 2 förväntas spela tit for tat. e) Analysera spelet utifrån Folk teoremet. 5

Uppgift 8 Betrakta spelet nedan. R (2,2) U 1 D 2 r L (0,2) (3,3) 1 l R (6,6) L (8,0) a) Analysera spelet och identifiera möjliga Nash jämvikter. b) Identifiera alla proper subgames c) Vad menas med att en jämvikt är subgame perfect? Existerar det någon sådan i spelet? Uppgift 9 I Påskhelgen tittade jag på Stanley Kubrick klassiska film Doktor Strangelove som är en komedi över det kalla kriget och det överhängande kärnvapenhotet. Har ni inte sett filmen så har ni en godbit att se fram emot. Storyn kan delas in i delar. Del 1 av storyn. En galen amerikansk general överträder sina befogenheter och sätter igång ett begränsat kärnvapenanfall mot dåvarande Sovjetunionen. Generalen vill rena världen från kommunism. Generalen förskansar sig på sitt regemente och är den enda som innehar den hemliga koden som kan återkalla de kärnbestyckade B 52 flygplanen. Piloterna i B 52 flygplanen tror att flyganfallet är en vedergällningsattack efter att Sovjet först anfallit städer i USA. Total radiotystnad råder och det finns ingen möjlighet för Pentagon att få kontakt med de anfallande flygplanen. Del 2 av storyn. I Pentagon ställs presidenten och övriga generaler inför fullbordat faktum. På en stor skärm ser de hur flygplanen närmar sig sina mål. En av generalerna vill då utöka anfallet till ett 6

totalanfall mot Sovjet som utplånar nationen innan de hinner vedergälla. Presidenten vill stanna vid det begränsade anfallet och försöka avvärja vedergällningen. Presidenten ringer upp Sovjetunionens högste ledare och förklarar dilemmat de båda står inför och ber om förståelse och att Sovjetunionen inte vedergäller. Del 3 av storyn. Nu kastas en ny faktor in i dramat. Sovjetunionen har i hemlighet låtit konstruera en domedagsmaskin som svarar automatiskt med total vedergällning om en enda pytteliten atombomb exploderar i Sovjetunionen. Domedagsmaskinen går inte att stänga av och är utom all mänsklig kontroll. Alla inser nu att de står inför civilisationens undergång. a) Titta på del 1 av storyn. Rangordna de olika utfallen för speldeltagarna och analysera med hjälp av spel i både normal och extensiv form. Se det som ett spel mellan den galne generalen och Sovjet. Utgå ifrån att den galne generalen har stormaktsambitioner och att det sämsta utfallet för Sovjet är att ej vedergälla efter ett anfall. Det sämsta alternativet för USA generalen är om Sovjet vedergäller. Glöm inte specificera spelet och att tala om vilka antagande som spelet är baserat på. b) Ger spelet insikter i det som brukar kallas för terrorbalansen mellan stormakterna. Är kärnvapen ett användbart vapen för att generellt avskräcka från militära anfall? c) Skall vi lägga någon betydelse i att generalen beskrivs som galen eller är detta bara för att krydda storyn i filmen. d) Titta nu på del 2 av storyn. Analysera den nya spelsituationen. e) Förändras spelet du konstruerade i a) av den nya informationen i del 2 av storyn? Förklara! f) Betrakta nu del 3 av storyn. Är det rationellt av Sovjetunionen att i hemlighet ha konstruerat en domedagsmaskin? Förklara! Uppgift 10 Anta att på en marknad för diskmaskiner finns det en lika stor andel av två typer av företag. Den ena typen av företag tillverkar produkter med hög kvalité. Den andra typen av företag tillverkar produkter med låg kvalité. Företagen väljer om de skall ta betalt för hög eller låg kvalité. Diskmaskiner av hög kvalité håller i genomsnitt i 15 år, medan diskmaskiner med låg kvalité i genomsnitt håller i 5 år. Konsumenterna kan inte avgöra kvalitén på diskmaskinerna förrän de går sönder. Det kostar nästan dubbelt så mycket att tillverka hög kvalité jämfört med 7

att tillverka låg kvalité. Konsumenterna är beredda att betala minst dubbelt så mycket för hög kvalité. a) Konstruera ett spel i extensiv form utifrån informationen i frågan. Du behöver inte sätta ut/konstruera payoffen (det finns inte tillräckligt med information i frågan för att kunna göra detta fullständigt). Vad är det för typ av spel och vad finns det för olika möjliga jämvikter som är intressanta att analysera? b) Genomför en ekonomisk analys av marknaden för diskmaskiner av olika kvalitéer. c) Inför möjligheten att erbjuda en garanti och analysera situationen. d) Ligger det i konsumenters intresse att få en lagstiftad garanti som alla diskmaskinstillverkare måste erbjuda? Motivera/diskutera! Uppgift 11 Betrakta spelet mellan spelare A och spelare B i extensiv form nedan: A S1 S2 B T1 T2 T1 T2 (20,20) (5,18) (18,5) (15,15) Payoffen är von Neumann Morgernstern nyttor. a) Översätt spelet till normal form och genomför en spelteoretisk analys av möjliga Nash jämvikter. Finns det någon lösning som är mer trolig än någon annan. b) Vad är det den förväntade nyttan för A givet att A tror att det är 50% chans att spelare B kommer att spela T2? c) Vad är bästa respons för B givet att han/hon vet att A tror att det är 50% chans att spelare B kommer spela T2? d) Påverkas spelare As val av strategi av det faktum att hon/han hyser riskaversion? Förklara kort. 8

Uppgift 12 Vi har på kursen behandlat Bayesianska spel. a) Vad är en Bayesiansk Nash jämvikt. Försök att ge en definition och en förklaring. b) Antag att du är en köpare K som skall spela mot en säljare S som du aldrig spelat mot förut. Du vet att det finns två typer av säljare. De som är ärliga och de som är oärliga. De som är ärliga säljer produkter av hög kvalité och de oärliga säljer produkter av låg kvalité. Du kan inte observera kvalitén före köpet. Du vet att fördelningen mellan ärliga och oärliga säljare är som följer: Pr(Ärlig) = 80 % Pr(Oärlig) = 20 % Du vet också att ett köp kan gå fel av andra anledningar än att säljaren är oärlig. Det kan vara fel på produkten från fabriken. Även oärliga säljare kan ibland sälja produkter av hög kvalité. Enligt din mening fungerar kvalitén på produkten som en signal om säljaren är en ärlig eller oärlig typ. Enligt din subjektiva uppfattning (prior belifs) gäller följande: Pr(Dålig kvalité: Ärlig) = 5% Pr(God kvalité: Ärlig) = 95% Pr(Dålig kvalité: Oärlig) = 80% Pr(God kvalité : Oärlig = 20% Antag att du spelar spelet en gång mot säljaren S och du får en produkt av låg kvalité. Vad är sannolikheten att du spelat mot en ärlig säljare? Det vill säga, vad är Pr(Ärlig: Dålig kvalité) =? c) Antag att du kan rita upp ett spelträd som belyser köpsituationen som du befinner dig i och som tar följande form (fortsättning på fråga b): K Anta S Hög kvalité Avstå Låg kvalité (1,1) (0,0) (-1,2) 9

Ni känner igen spelet. Du som köpare börjar genom att välja mellan att anta erbjudandet alternativt avslå erbjudandet. Genomför en spelteoretisk analys hur du (spelare K) skall välja att spela i nästa spelomgång givet att du i den första spelomgången (uppgift b) fick erfara en produkt med låg kvalité som gav dig en payoff på 1 och säljaren S en payoff av 2. Utgå från uppgifterna och svaret till fråga b). OBS! Du behöver inte krångla till det med att anta att det följer fler spelomgångar där du behöver diskontera framtida payoffs. Uppgift 13 Betrakta det något underliga spelet nedan: 1 U (6,2) 1 2 1 2 1 2 U F F F F F N (2,6) A A A A A N U (0,10) (3,3) (2,5) (4,4) (3,6) (5,5) 1 N (8,4) Spelet spelas mellan spelare 1 och spelare 2. Spelare 1 börjar spelet genom att välja mellan A (avsluta) eller F (fortsätt). Om spelare 1 väljer A så avslutas spelet och båda spelarna får payoffen 3. Om spelare 1 istället väljer F fortsätter spelet och spelare 2 ges möjlighet att välja mellan A (avsluta) och F (fortsätt). Om någon spelare under spelets gång väljer A så avslutas spelet och de får sina payoffs. Så länge ingen spelare väljer A utan väljer F fortsätter spelet tills spelare 2 i tredje rundan kan välja mellan U (upp) eller N (ner). Spelet avslutas sedan med att spelare 1 väljer mellan U (upp) eller N (ner). Payoffen är von Neuman-Morgenstern nyttor. Genomför en så fullständig spelteoretisk analys av spelet som du klarar av. Uppgift 14 Jag (Göran) tillhör dem som inte är speciellt intresserad av fotboll, medan Thomas är vansinnigt intresserad. De gånger jag tittat har jag observerat att det ofta är omröstning om t.ex. landslagets bästa spelare under matchen. TV-tittarna bjuds in att ringa och rösta på en av tre föreslagna spelare. Telefonsamtalet kostar pengar. När matchen är slut får den spelare som 10

fått flest telefonröster ett pris. Samtidigt lottas ett pris ut till någon/några av alla dem som röstat på den spelare som fått flest röster. Genomför en spelteoretisk analys av spelet mellan de telefonröstande TV-tittarna i att rösta fram matchens bästa landslagsspelare för att få vara med i lotteriet om vinst till någon/några av TV-tittarna. Finns det Nash-jämvikter och finns det uppenbara sätt att spela spelet. Ta hänsyn till faktorer som att: - Spelet spelas en gång alternativt upprepade gånger. - Spelarna är olika populära och olika kända. - De röstande TV-tittarnas rationalitet. - De röstande TV-tittarnas intresse för fotboll (t.ex. Göran o Thomas) och fördelningen dem emellan. - TV-tittarnas preferenser i förhållande till risk. Hur skulle du spela spelet? Uppgift 15 De gamla visdomsorden ärlighet varar längst står i skarp kontrast till spelet fångarnas dilemma. Analysera och diskutera problematiken utifrån dina ekonomiska och spelteoretiska kunskaper. 11

Uppgift 16 Betrakta följande spel mellan spelare A och B: A 1 R B 1 r A 2 R B 2 r A 3 R D d D d D (2,1) (4,4) (10,2) (3,3) (10,0) (1,-10) Betrakta följande spel mellan spelare A och B: A 1 R B 1 r A 2 R B 2 r A 3 R D d D d D (2,1) (4,4) (10,2) (3,3) (10,0) (1,-10) a) Beskriv utförligt vad detta är för typ av spel. b) Analysera möjliga Nash jämvikter. c) Är det möjligt att identifiera en Nash jämvikt där spelare B vid nod B 2 väljer d (lovar att spela d)? Motivera! d) Är det möjligt att identifiera en Nash jämvikt där spelare A vid nod A 3 väljer D? Motivera! e) Vad är bästa respons för B om A vid nod A 1 väljer R? Motivera! f) Spelar det någon roll för den spelteoretiska analysen om payoffen är uttryckta i kronor och ören eller om de är uttryckta som von Neuman Morgenstern nyttor? Motivera. 12